¿C´omo omo afecta el uso de herramientas computacionales para solucionar problemas de v´ orticidad? Caso: Puente de Tacoma orticidad? Daniel Francisco Quicaz´an an Rubio 23 de mayo de 2017 El 7 de noviembre de 1940 el puente de Tacoma Narrows ubicado en la carretera carretera Washingto Washington n State Route 16 se derrumb´ derrumb´ o luego de que durante su tiempo funcionando funcionando presentar presentaraa efectos efectos de resonancia resonancia a causa del viento. viento. Los an´ alisis realizados en ese momento no fueron suficientes para explicar el alisis motivo por el cual el puente tuvo esta reacci´on. on. Numerosas Numerosa s teor t eor´´ıas se plantearon, p lantearon, pero ninguna lograba explicar del todo la fuente de la fuerza que provoc´o este efecto. No fue hasta 2006 cuando Daniel Green y William G. Unruh de la Universidad de British Columbia , cuando luego de analizar el video que se realiz´o cuando se derrumb´o el puente, encontraron una de las posibles razones para explicar esta reacci´on. on. En una parte del video, en la cual el puente a causa de una fractura fractura liber´o una peque˜ na cantidad de polvo, observaron que se formaba na un v´ ortice que cruzaba de lado a lado el puente. ortice Realizando un an´alisis alisis del modelo propuesto, se pudo simular la situaci´on on que se present´o aquel aqu el d´ıa, ıa, utiliza u tilizando ndo m´etodos etod os en los cuales c uales se superpu su perpusieron sieron un fluido laminar alrededor del puente y numerosos v´ortices ortices en su superficie. El u unico ´ nico problema fue que se s´olo olo se lograron resultados v´alidos, alidos, sin interferencia debida debida a turbulencia turbulencia generada por el m´ etodo, etodo, en un rango de velocidade velocidadess no tan amplio. Numerosas investigaciones se realizaron luego de la ca´ ca´ıda del puente de Tacoma, aproximando el sistema como un oscilador arm´onico onico amortiguado y variaciones de este modelo, pero ninguna de estas logr´o explicar del todo lo que sucedi´ o, ya sea por no poder explicar del todo la fuerza externa que provoc´o esta o, reacci´ on o porque no explicaban del todo el efecto de las distintas velocidades on del viento. Green y Unruh proponen entonces que los v´ortices ortices generados por la forma de ”H”del corte transversal transversal del puente puente fueron la fuente fuente de la fuerza externa que provoc´o la resonancia del puente. Al generarse zonas de baja y alta presi´on on en los dos lados del puente, provocaron que este reaccionara inclin´andose como se ve´ ve´ıa en el video. vid eo. Simulando esto, pudieron recrear la situaci´on on observada en el rango de ve1
locidades que se presentaron el d´ıa del colapso, aproxim´ andose con bastante precisi´ on a los resultados que se hab´ıan hecho con maquetas y t u ´neles de viento, y los an´alisis que se hab´ıan hecho sobre los videos. Pero no lo lograron del todo bien, los resultados s´olo lograron simular unos pocos ciclos del movimiento del puente (enti´endase como ciclos un giro en sentido de las manecillas del reloj y otro en sentido contrario). Esto fue debido a la estabilidad num´erica de los c´alculos y la acumulaci´on de turbulencia en el fluido y en los c´alculos computacionales. Esto abre la pregunta, ¿Qu´e tan confiables son las aproximaciones num´ericas que se hacen en las simulaciones, y qu´e criterios deber´ıamos usar para tomarlas como v´alidas? Ya en algunos m´ etodos existen criterios por los cuales podemos saber si el resultado obtenido computacionalmente es v´alido y converge a la soluci´on real, pero, m´etodos como el usado por Green y Unruh vuelven a abrir la pregunta. Por otro lado, ¿Hasta que punto las m´aquinas usadas nos permitir´ıan simular con mayor exactitud estos sistemas f´ısicos? Por experiencia propia en algunas simulaciones he encontrado que este par de preguntas son bastante importantes al momento de realizar este tipo de c´alculos. En el caso de la ecuaci´on de onda, aunque se coloque un modo normal como condici´ on inicial, la evoluci´on temporal del sistema no es del todo consistente con la soluci´on anal´ıtica de la situaci´ on, vi´ endose luego de algunos ciclos la aparici´ on de peque˜ nos desfases en la oscilaci´on de dos picos del modo normal, por ejemplo. Lo mismo puede suceder al simular fluidos que produzcan v´ortices, al utilizar elementos finitos, es posible en algunos casos que los c´alculos hechos por la m´ aquina produzcan soluciones que diverjan r´apidamente a cambio de provocarlos v´ortices que se esperaban en la soluci´on anal´ıtica. Aunque los c´alculos realizados por Green y Unruh son bastante v´alidos para el sistema propuesto, ser´ıa interesante llevar a cabo un estudio m´ as exhaustivo sobre la convergencia del m´etodo usado para solucionar este modelo, as´ı como considerar nuevos m´etodos que permitan llegar a soluciones del mismo tipo, pero sin los inconvenientes de la inestabilidad de la soluci´on para ciertas velocidades a causa del ruido y la turbulencia generados por las aproximaciones. Por otro lado, a´ un queda un largo camino para hallar la mejor manera de simular este tipo de modelos, y la era de la simulaci´on apenas ha dado unos primeros pasos, a´ un falta ver que nos trae el uso de supercomputadores, o quien sabe, tal vez la computaci´on cu´antica.
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