El Colapso del Puente Tacoma Narrows El puente de Tacoma Narrows fué abierto al tráfico por primera vez el 1 de julio de 1940. En el momento de su construcción se convirtió en el tercer mayor puente colgante de Estados Unidos, con 1800 metros incluyendo los accesos. Sus dos torres de soporte tenían 129 metros de altura y estaban separadas entre si 853 metros. Tenía como misi ón unir Tacoma y Harbour Gigs, en el estado de Washington, al noroeste de los Estados Unidos. Los puentes concebidos para el ferrocarril y que debían soportar el paso de pesados trenes de mercancías estaban usualmente basados en arcos, cerchas y voladizos. Los puentes colgantes son más económicos y elegantes, especialmente indicados indicados para el tráfico rodado. Para el puente de Tacoma Narrows, además de escogerse esta tipología se optó por construir el tablero basado en grandes vigas en forma de I, en vez de utilizar celosías metálicas o cerchas. Figura 1. Colapso del puente de Tacoma Narrows
El 7 de Noviembre de 1940, tan solo 4 meses después de su inauguración, el puente comenzó a experimentar una serie de vibraciones debido a la acción de una ventisca con ra chas en torno a los 56 kilómetros por hora. Después de 3 horas los vientos se intensificaron i ntensificaron hasta alcanzar velocidades de 72 kilómetros por hora. Debido a este v iento más intenso el tablero del vano central del puente comenzó a experimentar vibraciones torsionales con una frecuencia de 0.2 Hz (1 ciclo cada 5 segundos) y una amplitud de 8,5 metros. Curiosamente, Curi osamente, el tablero quedo dividido en 2 mitades que oscilaban en sentido contrario. La int ensificación paulatina de dichos movimientos de torsión, debido a que el viento iba aportando más energía que la que la flexibilidad del puente podía soportar, produjeron finalmente el derrumbe del tablero del puente en el vano central. El suceso supuso un gran escándalo y cierto temor a los puentes suspendidos. A partir de entonces el puente de Tacoma Narrows r ecibió el apodo popular de Galloping Gertie. Diez años después del derrumbe, el puente fue sustituido por otro nuevo en el que se solucionaron los problemas que causaron el fracaso del primero. Actualmente además está siendo ampliado mediante la construcción de un nuevo puente paralelo. Definición de resonancia: El término resonancia se refiere a un conjunto de fenómenos relacionados con los movimientos periódicos o cuasi periódicos en que se produce reforzamiento de una oscilación al someter el sistema a oscilaciones de una frecuencia determinada. La resonancia es un estado de operación en el que una frecuencia de excitación se encuentra cerca de una frecuencia natural de la estructura de la máquina. Una frecuencia natural es una frecuencia a la que una estructura vibrará si uno la desvía y después la suelta. Una estructura típica tendrá muchas frecuencias frecuencias naturales. Cuando ocurre la resonancia, los niveles de vibración que resultan pueden ser muy altos y pueden causar daños muy rápidamente. Proyecto 5
Es probable que usted allá visto las películas. El puente comienza a bambolearse de lado a lado. Las oscilaciones se vuelven cada vez más grandes. Leonard Coatsworth abandona su automóvil con su perro Tubby dentro y camina a gatas para ponerse a salvo. De repente, el puente se colapsa. La fecha es 7 de noviembre de 1940 sólo meses después de su gran apertura. El colapso se esperaba porque el puente Tacoma Narrows , o Galloping Gertie, como lo llamaban los residentes, era notorio, incluso antes de que se abriera al tránsito, por un movimiento ondulatorio bamboleante y vertical de su superficie de rodamiento causado por corrientes de viento perpendiculares que pasaban por las partes angostas. Se podría sospechar que la resonancia fue la culpable. De alg una manera coincidieron la fuerza del viento y la frecuencia natural de los cables de suspensión y, por lo tanto, la amplitud del sistema forzado (en este caso el puente) creció sin lími tes, lo que finalmente causo la caída del puente. Pero el trabajo reciente del Lazer y Mckenna hace pensar que el fenómeno que causo el colapso fue más complejo que la resonancia. La mayor parte de los modelos presentados en su trabajo quedan fuera del alcance de este proyecto. La sección ¿Quieres saber más? A l final de este proyecto, proporciona una introducción a uno de sus modelos más elementales. Gilbert Lewis propuso un nuevo modelo basado en el t rabajo de Lazer y Mckenna. Este modelo ilustra un mecanismo no lineal que pudo haber origi nado la destrucción del puente Tacoma Narrows. Imagine un cable del puente suspendido que cuelga verticalmente. En cierto modo el cable tiene mucho parecido con un resorte muy rígido. Este tiene una longitud natural, cuyo extremo se coloca en x=0. Cuando el cable se alarga m ás allá de esta longitud (x>0), ejerce una fuerza en la dirección hacia arriba, cuando se comprime (x<0), ejerce una fuerza en la dirección hacia abajo. Sin embargo, el cable no es un resorte, y es relativamente fácil convencerse a sí mismo de que la fuerza de restitución hacia arriba que resulta de alar gar el cable es mayor que la fuerza hacia abajo que proviene de comprimirlo. En otras palabras, se desea m odelar el cable como un resorte usando la Ley de Hooke con diferentes constantes de r esorte, lo que depende de si x <0 o x>0. Sea a la constante de resorte para la compresión y b la constante de resorteo para el estiramiento de modo que 0
=0 Defina: F(x)=
(2)
En ausencia de amortiguamiento, la ecuación diferencial se convierte en: mx´´+ F(x)= g(t) Donde la función g(t) representa la fuerza debido al viento.
PROBLEMA 1. Suponga que en la ecuación 2 m =1, a=1, b=4, g (t)=sen(4t) y las condiciones iniciales x(0)=0, x´(0)=. Grafique las soluciones en el intervalo de 0<=t<=100 para diversos val ores de . ¿Qué observa y qué podrían indicar estas observaciones acerca del destino del puente? Como se mencionó, el modelo previsto en (2) es no lineal. Pero la no linealidad surge porque F(x) es lineal por partes. Así que es posible hallar soluciones parciales que se definen en intervalos de tiempo donde la solución x(t) no cambia de signo.
El problema nos da los siguientes datos m=1, a=1, b=4 y g (t)=sen(4t). Los valores iniciales son x(0)=0, x´(0)=. Cuando x es menor que 0 tenemos la siguiente ecuación diferencial: mx´´+ ax=sen(4t). Se sustituyen los valores que nos da el problema en la ecuación diferencial y tenemos: x´´+ x=sen(4t) Obtenemos la solución homogénea de la ecuación diferencial proponiendo la solución x= la segunda derivada es igual a x´´=m²emt. Sustituimos los valores en la Ecuación Diferencial teniendo: (m²+1)emt =0. Mediante la fórmula general obtenemos las raíces de m. m=-0±02-4*1*12*1m1= i y m2=-i
Las raíces son imaginarias por lo que la solución homogénea de la ecuación diferencial es: x= C1 cos(t)+ C2 sen(t). Ahora solucionamos la parte no homogénea g(t) la solución que se propone es la siguiente: x=A cos(4t)+B sen (4t). x´= -4A sen (4t) + 4B cos(4t).
x´´=-16 A cos(4t) - 16B sen(4t). Sustituimos los valores anteriores en la ecuación diferencial. -16 A cos(4t) - 16B sen(4t) + 4A cos(4t)+ 4B sen (4t) = s en (4t). A=0 y B=-1/12. La solución de la parte no homogénea es igual a x=-112 sen(4t). La solución general de la ecuación diferencial es x=C1cos (t)+C2sen t-112sen(4t). Su derivada es: x´=-C1sen (t)+C2cos t-13cos(4t) Usando los valores iniciales obtenemos C1=0 y C2= (13+). La Solución Particular de la ecuación diferencial es: x=13+sen t-112sen(4t)
Ahora vamos en donde x=0 ó x > 0 tenemos la siguiente ecuación diferencial: mx´´+ bx = sen(4t). Se sustituyen los valores que nos da el problema en la ecuación diferencial y tenemos: x´´+ 4x=sen(4t) Obtenemos la solución homogénea de la ecuación diferencial proponiendo la solución x= la segunda derivada es igual a x´´=m²emt. Sustituimos los valores en la Ecuación Diferencial teniendo: (m²+4)emt =0. Mediante la fórmula general obtenemos las raíces de m. m1= 2i y m2=-2i m=-0±02-4*1*42*1 Las raíces son imaginarias por lo que la solución homogénea de la ecuación diferencial es: x= C1 cos(2t)+ C2 sen(2t). Ahora solucionamos la parte no homogénea g(t) la solución que se propone es la siguiente: x=A cos(4t)+B sen (4t). x´= -4A sen (4t) + 4B cos(4t). x´´=-16 A cos(4t) - 16B sen(4t).
Sustituimos los valores anteriores en la ecuación diferencial. -16 A cos(4t) - 16B sen(4t) + 4A cos(4t)+ 4B sen (4t) = s en (4t). A=0 y B=-1/12. La solución de la parte no homogénea es igual a x=-112 sen(4t). La solución general de la ecuación diferencial es x=C1cos (2t)+C2sen 2t-112sen(4t) Su derivada es: x´=-2C1sen (2t)+2C2cos 2t-13cos(4t) Usando los valores iniciales obtenemos C1=0 y C2= 0.5 (13+). La Solución Particular de la ecuación diferencial es: x= 0.5 13+sen 2t-112sen(4t) Gráfica 1. Solución de la ecuación diferencial con x(0)=0, x´(0)= cuando =0
Gráfica 2. Solución de la ecuación diferencial con x(0)=0, x´(0)= cuando =1
Gráfica 3. Solución de la ecuación diferencial con x(0)=0, x´(0)= cuando =2
PROBLEMA 2. Use los parámetros y condiciones iniciales dadas en el Problema 1, pero suponga que >0. Si F(x)=4x para t pequeña demuestre que: xt=16sen2t*(3+1-cos2t) Es una solución de (2) en el intervalo 0<=t<=/2. Observe que además de mostrar que x(t) satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales también se debe demostrar que x(/2)=0. Demostrando con =1 Derivando dos veces la ecuación diferencial dada nos queda: x't=-23cos2t2+43cos2t+13 x''t=83sen2tcos2t-83sen2t Sustituyendo en la ecuación diferencial x´´+ 4x=sen(4t) del problema 1 83sen2tcos2t-83sen2t+416sen2t3+1-cos2t=sen4t
Reduciendo 2sen2tcos2t=sen4t Y para terminar gracias a la identidad senxcosx=sen2x2 nos queda sen(4t)=sen(4t), la ec. xt=16sen2t*(3+1-cos2t) es solución de x´´+ 4x=sen(4t). Grafique esta función en el intervalo de tiempo provisto. Determine x´( /2) y muestre que es negativa. Para el siguiente intervalo de tiempo se usa F(x)=x. Gráfica 4. Posición del cable
PROBLEMA 3. Use los valores de x( /2) y x´( /2) obtenidos en el Problema 2 y demuestre que: xt=cost [+25- 415 sen t*cos2t] Es una solución de (2) en el intervalo /2<=t<=3* /2. Se hace referencia a cada trozo de solución como un ciclo. Por consiguiente, cada ciclo corresponde a un desplazamiento positivo o negativo del puente. Demostrando, se deriva dos veces la ecuación diferencial dada, lo cual nos queda lo siguiente: x't=415-815cost2cos2t+815sentcostsen2t-57sent x''t=3215sentcostcos2t+162cost2-1sen2t15-75cost
Sustituyendo en la ecuación diferencial x''+x=sen4t, y a sí nos queda 28sentcostcos2t15+162cost2-1sen2t15=sen4t, resolviendo con la Ti nos queda sen4t=sen4t, si es solución de la ecuación diferencial.
PROBLEMA 4. Use las soluciones de los problemas 2 y 3 para trazar x(t) en el intervalo
0
t 3*( 2) ¿Cómo se compara la velocidad en t=3*( /2) con la velocidad en t=0? Es claro que se podría continuar de esta manera resolviendo en forma sucesiva la ecuación diferencial lineal apropiada con las condiciones iniciales x=0 y un nuevo valor x´ calculado de la x´ final de la solución previa. Un análisis cuidadoso de esto revela que la amplitud de cada ciclo sucesivo se incrementa por una rapidez constante proporcional a 2/15. Así que cuando t, las
amplitudes de las oscilaciones crecen sin límite. Esto es lo que se debió haber observado en el Problema 1. Es instructivo ver lo que sucede para algunos otros valores de a y b en (1). Gráfica 5. Posición del cable
PROBLEMA 5. Considere los tres casos de (1) donde b=1, a=4; b=64, a=4 y b=36, a=25. Observe que en el primer caso no se satisface la condición 0
X (0)=1
En este caso no se cumple la condición de 0 < a < b. La constante de estiramiento de la cuerda es menor que la constante de compresión por lo que el puente oscila un poco pero no entra en resonancia. Gráfica 7. CASO II A=4, B=64
En este caso la constante de estiramiento es mucho m ayor que la de compresión lo que provoca una mayor oposición al desplazamiento positivo, por lo que permanece oscilando en el nivel estable. Grafica 8. CASO III A=25, B=36
Coeficientes grandes de compresión y estiramiento provocan pocas oscilaciones causando de esta forma que no entre en resonancia. Si hay velocidades en para ambas posiciones pero la posición del puente permanece estable.
