1 V 6 8 5 2 0 A C L 4 X E M I S
1 V 6 1 A 4 2 0 T M S E C S N E
Matemática ENSAYO
MT-024
INSTRUCCIONES 1.
Esta prueba consta de 80 preguntas. Cada una de ellas tiene 5 opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.
2.
Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.
3.
Marque su respuesta en la la de celdillas que corresponda al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella.
Hágalo exclusivamente con lápiz de grato. 4.
Lea atentamente las instrucciones especícas para responder las preguntas Nº 74 a Nº 80 de esta prueba, en donde se explica la forma de abordarlas.
5.
Las guras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.
6.
Si lo desea, puede utilizar este folleto como borrador.
7.
Cuide la hoja de respuestas. No la doble, ni la manipule innecesariamente. Escriba en ella solo los datos pedidos y las respuestas.
8.
Es obligatorio devolver el facsímil íntegramente antes de abandonar la sala.
9.
Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque estos son de su exclusiva responsabilidad. Cualquier omisión o error impedirá que se entreguen sus resultados.
INSTRUCCIONES 1.
Esta prueba consta de 80 preguntas. Cada una de ellas tiene 5 opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.
2.
Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.
3.
Marque su respuesta en la la de celdillas que corresponda al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella.
Hágalo exclusivamente con lápiz de grato. 4.
Lea atentamente las instrucciones especícas para responder las preguntas Nº 74 a Nº 80 de esta prueba, en donde se explica la forma de abordarlas.
5.
Las guras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.
6.
Si lo desea, puede utilizar este folleto como borrador.
7.
Cuide la hoja de respuestas. No la doble, ni la manipule innecesariamente. Escriba en ella solo los datos pedidos y las respuestas.
8.
Es obligatorio devolver el facsímil íntegramente antes de abandonar la sala.
9.
Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque estos son de su exclusiva responsabilidad. Cualquier omisión o error impedirá que se entreguen sus resultados.
Matemática O Y A S N E
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1.
A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.
2.
Las guras que aparecen en el modelo son solo indicativas.
3.
Los grácos que se presentan en este modelo están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares.
4.
Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir.
5.
En esta prueba, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario.
6.
Los números complejos i y – i son las soluciones de la ecuación x2 + 1 = 0.
7.
Si z es un número complejo, entonces z es su conjugado y |z| es su módulo.
8.
Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z ∼ N(0, 1) y donde la parte sombreada de la gura representa a P(Z ≤ z), entonces se verica que: z
P(Z ≤ z)
0,67
0,749
0,99
0,839
1,00
0,841
1,15
0,875
1,28
0,900
1,64
0,950
1,96
0,975
2,00
0,977
2,17
0,985
2,32
0,990
2,58
0,995
0
Z
z
Cpech
Preuniversitarios
3
ENSAYO
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
4
<
es menor que
≅
es congruente con
>
es mayor que
∼
es semejante con
≤
es menor o igual a
⊥
es perpendicular a
≥
es mayor o igual a
≠
es distinto de
ángulo recto
//
es paralelo a
∠
ángulo
∈
pertenece a
log
logaritmo en base 10
AB
trazo AB
∅
conjunto vacío
|x|
valor absoluto de x
ln
logaritmo en base e
x!
factorial de x
∪
unión de conjuntos
∩
intersección de conjuntos
Ac
complemento del conjunto A
Cpech
Preuniversitarios
→
u
vector u
Matemática 1. Sean m, n, p y q cuatro números primos distintos menores que 10. Si (m – n) = p y (m + n) = q, entonces el valor numérico de (p – q) es A) B) C) D) E)
2.
O Y A S N E
–2 –4 0 un número positivo. indeterminable con los datos entregados.
A m cocineros se les entregan m frutas a cada uno, de las cuales cada una es cortada en m trozos. Si se juntan todos los trozos y el total se reparte en partes igules entre m platos, ¿cuántos trozos de fruta habrá en cada plato? A) B) C) D) E)
m m4 m2 m3 1
3. Sean b, k y m números enteros positivos, tales que k y m son múltiplos de b. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) siempre a un múltiplo de b? I)
k+b m b
II)
III)
k+m b
A) B) C)
Solo I Solo I y III Solo II y III
D) E)
I, II y III Ninguna de ellas.
Cpech
Preuniversitarios
5
ENSAYO
11 truncado a la décima es m, entonces m2 redondeado a la 7 décima es
4. Si
A) B) C) D) E)
5.
2,2 2,6 2,3 2,4 2,5
2 – 3 + 3 – 2 – 6 – 2 = A)
0
B)
1 72
C)
1 53
D)
5 24
E)
1 4
a a b < < , ¿cuál de b c c las siguientes relaciones es siempre verdadera?
6. Si a, b y c son números positivos, tales que
A) B) C) D) E)
6
Cpech
a
Preuniversitarios
Matemática 7. Se dene la operación (m Ω n) como el cuociente entre la raíz enésima de m y n, con n entero mayor que 1. ¿Cuál de los siguientes valores es igual a (– 8 Ω 3)? A)
1 4
B)
2 3
C)
– 1 4
D)
– 2 3
E)
–2
O Y A S N E
8. Si �b es un número irracional, con b un número impar, ¿cuál de las siguientes expresiones representa siempre a un número irracional? A)
�b – 1
B)
�2b
C)
�b + 1
D)
1 �b – 1
E)
�3b
9. Sea �r aproximadamente 0,4 y �4s aproximadamente 1,2. ¿Cuál de los siguientes valores es el más cercano a (s �4r )? •
A) B) C) D) E)
0,960 0,576 0,480 0,288 0,192
Cpech
Preuniversitarios
7
ENSAYO
10. Sea n un número entero mayor que 1 y a un número real mayor que 2. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) siempre menor(es) n
que �a ? I)
II)
III)
n
�2a
2n
�a
2n
�2a
A) B) C) D)
Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III
E)
I, II y III
11. Si log 6 es aproximadamente 0,78, entonces ¿cuál de los siguientes valores es el que más se aproxima a log �6.000 ? A) B) C) D) E)
12.
8
1,89 1,56 1,39 3,39 3,78
log8 32 – log32 8 = A)
8 5
B)
0
C)
2 3
D)
16 15
E)
2
Cpech
Preuniversitarios
Matemática 13. Sea p = 2 • log5 a
y q = log5�a , con a > 0. ¿Cuál(es) de las siguientes
armaciones es (son) verdadera(s)? I)
El triple de p es igual a log5 a6.
II)
El cuádruple de q es igual a p.
III)
p – 2q =
A) B) C)
Solo I y II Solo I y III Solo II y III
D) E)
I, II y III Ninguna de ellas.
O Y A S N E
1 • log5 a 2
14. Sea m = �4n – 12 . Para que m sea un número entero positivo, ¿cuál es el menor valor que podría tomar n? A)
11 4
B)
3
C)
13 4
D)
15 4
E)
4
15. Sea z un
número complejo cuya parte real es el triple de su parte imaginaria. Si la parte imaginaria del conjugado de z es 4, entonces la mitad de z es A) B) C) D) E)
– 6 – 2i – 24 – 8i – 9 – 3i –3–i – 12 – 4i
Cpech
Preuniversitarios
9
ENSAYO
16. Si z = 3 – 4i, entonces | z | A) B) C) D) E)
•
(z )2 es igual a
– 35 + 120i – 7 + 24i 15 + 20i 45 – 80i – 125 – 600i
17. Sean p
y q dos números complejos. ¿Cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) siempre verdadera(s)?
Si el módulo de p es igual al módulo de q, entonces p es igual a q. II) Si la parte real de p y q es 0, entonces (p q) es un número real. III) Si p es el conjugado de q, entonces (p + q) es un número real. I)
•
A) B) C) D)
Solo II Solo I y II Solo I y III Solo II y III
E)
I, II y III
18. En la gura, EFGH es un cuadrado de lado (x – 10), y ACDH es un rectángulo tal que AC = (x – 9) y AH = 4. Si HD y FB se intersectan en E, ¿cuál de las siguientes expresiones representa siempre el área de toda la gura? F G A) B) C) D) E)
10
Cpech
(x + 8)2 (x – 8)2 (x – 4)2 (x – 9)2 (x + 16)2
Preuniversitarios
H
E
D
A
B
C
Matemática ax2 + bx 19. En la ecuación x + 3 = 3b + ax, con a y b números positivos. La expresión que representa a x es A)
b 2b + 3a
B)
– 9b 2b + 3a
C)
– b 3a
D)
9 3b + 2a
E)
9b 2b + 3a
20. Si al triple de A)
x 2
B)
2x 3
C)
4x 5
D)
5x 6
E)
11x 6
O Y A S N E
x se le suma la sexta parte de 2x, resulta 2
Cpech
Preuniversitarios
11
ENSAYO
21.
wx2 – vy2 Sea la expresión z = , con w(x + vy) ≠ 0. Si w(x + vy) I)
w = 1 y v = w, entonces z = x – y.
II)
w = 1 y v = 0, entonces z = 1.
III)
w = 4 y v = 9, entonces z =
2x – 3y . 4
Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)
solo I. solo II. solo I y II. solo II y III. ninguna de ellas.
22. Sean x1
y x2 las soluciones (o raíces) de la ecuación en x, mx2 – nx + p = 0, con n, m y p constantes distintas de cero. La expresión (x1 x2 – x1 – x2) es igual a •
12
A)
p+n m
B)
p–n m
C)
n–p m
D)
p+n
E)
p–n
Cpech
Preuniversitarios
Matemática 23.
El perímetro de un rectángulo es 16 cm y su diagonal mide 6 cm. El lado mayor de dicho rectángulo mide A)
5 cm
B) D)
(2 +�2 ) cm (4 +�2 ) cm (1 + �2 ) cm
E)
10 cm
C)
O Y A S N E
24. Sea x(x + 3) = 3p – 7 una ecuación en x. ¿Qué valor debe tener p para que una de las raíces (o soluciones) sea imaginaria? A)
– 19
B)
– 15 4
C)
– 3 2
D)
73 4
E)
21
(
)
– 3 + 4i , con i la unidad 2
Cpech
Preuniversitarios
13
ENSAYO
25. Ana tiene a años y Pedro tiene b años. La suma entre la edad de Ana y la edad de Pedro es a lo menos 25 años y el doble de la diferencia entre la edad de Pedro y la edad de Ana es a lo más 6 años. ¿Cuál de los siguientes sistemas de inecuaciones representa la situación descrita?
26.
14
A)
a + b ≤ 25 2(b – a) ≥ 6
B)
a + b ≥ 25 2b – a ≥ 6
C)
a + b ≥ 25 2(b – a) ≤ 6
D)
a + b ≥ 25 2b – a ≤ 6
E)
a + b ≥ 25 2(b – a) ≥ 6
La solución en los reales del sistema de inecuaciones 3 2
A)
– ∞,
B)
2, + ∞
C)
– ∞, 1
D)
3 , 2 2
E)
– ∞, 2
Cpech
Preuniversitarios
3 – x > 1 es 2(x – 1) < 1
Matemática 27. Dada la inecuación – 7 ≤ 3x + 5 < 3, un posible valor para x que satisface la desigualdad es I)
– 2 3
II)
–4
III)
–2
O Y A S N E
Es (son) correcta(s) A) B) C) D) E)
28.
solo I. solo II. solo I y II. solo II y III. I, II y III.
Una empresa comercial inició su venta con un total de 9.000 artículos en bodega, y luego de ocho meses su inventario en bodega fue de
3.000 unidades. Si el comportamiento entre la cantidad de artículos de la bodega y el tiempo de venta es lineal, la función que representa el número de artículos en bodega después de x meses, durante el primer año de funcionamiento de la empresa, es A) B) C) D) E)
f(x) = 9.000 – 6.000x g(x) = 9.000 – 750x h(x) = 9.000x – 750 i(x) = 9.000 – 3.000x j(x) = 9.000x – 3.000
29. Sean las funciones reales g(x) = 3x2 + 2 y h(x) = – 5x + 3. Entonces, la expresión que representa a h(g(x)) es A) B) C) D) E)
75x2 – 60x + 2 3x2 – 5x + 5 25x2 – 30x + 11 – (5x2 + 5) – (15x2 + 7)
Cpech
Preuniversitarios
15
ENSAYO
30. Sea la función f(x) = (x – 3)2, con x en los reales. ¿En cuál(es) de los siguientes intervalos para x se cumple que f es inyectiva?
31.
16
I) II) III)
[2, 5] [– 3, + ∞[ [– 3, 1]
A) B) C) D)
Solo en II Solo en III Solo en I y en III Solo en II y en III
E)
En ninguno de ellos.
En la ecuación log (2x) – log 3 = log (1 – x), el valor de x es A)
1 3
B)
3 7
C)
3 5
D)
1
E)
4 3
Cpech
Preuniversitarios
Matemática 32. El gráco que mejor representa a la función real f(x) = �2x + 1 – 3 es y
A) y
y
B)
O Y A S N E
C)
– 1 2
3
x
4 2
4
D)
x
– 3
– 1 2
4
x
y
E)
y
– 1 2
2
x
x
– 1 – 2
33. Sea f(x) = 3ax en los reales, con a un número real positivo distinto de 1. Si f(– 1) = 6, ¿cuál es el valor de f(2)? A)
1 36
B)
1 2
C)
3 4
D)
3 2
E)
9 4
Cpech
Preuniversitarios
17
ENSAYO
34. Sea f(x) = ax2 + bx + c, con x en los reales,
a > 0 y b2 – 4ac < 0. ¿Cuál de los siguientes grácos representa mejor a esta función?
A)
B)
y
C)
y
y
x x
x
D)
E)
y
y
x x
35.
Dada las siguientes opciones, la función que está mejor representada
por el gráco de la gura es A) B) C) D) E)
f(x) = x5 + 1 g(x) = x3 – 8 j(x) = (x – 2)2 h(x) = (x – 2)5 k(x) = x2 + 1
y
1 2
18
Cpech
Preuniversitarios
3
x
Matemática 36. Sean a y b números distintos de cero y distintos entre sí. Si al punto S(a – b, b) se le aplica una traslación según el vector T(b, a – b), seguido de una simetría con respecto al eje Y, ¿cuál es el punto resultante? A) B) C) D) E)
O Y A S N E
(a, a) (– a, b) (a, – a) (– a, a) (a, – b)
37. En la gura, el segmento PQ y el segmento RS se intersectan en T. ¿Cuál de las siguientes condiciones es suciente para concluir que el triángulo PTR es congruente con el triángulo QTS? R
Q
T
P
A) B) C)
D)
S
Los triángulos PTR y QTS tienen igual área. PR es paralelo con SQ . PR y SQ tienen igual medida. Los triángulos PTR y QTS son isósceles en P y en Q, respectivamente.
E)
T es el punto medio de PQ y RS . → → u y v en el plano cartesiano, como muestra la → → (2 u – v ) es igual a y
38. Sean los vectores gura. Entonces, A) B) C) D) E)
(7, 0) (7, 3) (– 2, 6) (0, 0) (1, 0)
→
v
2 →
u
1 – 3
2
Cpech
Preuniversitarios
x
19
ENSAYO
39. Sean los puntos P(– 1, 2), Q(3, – 2) y R(– 3, 4) en el plano cartesiano. El vector de traslación que lleva al punto Q hasta el punto medio del
segmento PR es A) B) C) D) E)
(– 5, 5) (– 7, 8) (– 2, 3) (1, 1) (– 1, 4)
40. En la gura, PR y SQ son diagonales del romboide SRQP. ¿Cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) II) III)
ST ≅ TQ ∠ RPQ ≅ ∠ PRS ∆ PTS ≅ ∆ RTQ
A) B) C) D)
Solo II Solo I y II Solo I y III Solo II y III
E)
I, II y III
P
Q
T S
R
41. Sea P un punto ubicado en el plano cartesiano a dos unidades de distancia del origen y M un punto ubicado a una unidad de distancia
de P. Si K es la gura formada por todas las posibles posiciones de M, ¿cuál es el área de K, en unidades cuadradas? A) B) C) D) E)
20
Cpech
6π 8π 3π
π 9π
Preuniversitarios
Matemática 42. En la gura, los puntos T y U se encuentran en los lados del rectángulo PQRS, de tal forma que ∆ SRT ≅ ∆ URT. Si TP = a, PU = b y UQ = c, ¿cuál de las siguientes expresiones representa siempre la medida del lado RQ ? A)
a c b+c
B)
a b c
C)
•
S
O Y A S N E
R
•
a b b+c
T
•
D)
a c b
E)
b c a
P
Q
U
•
•
43. En la gura, PQR es un triángulo isósceles en P, inscrito en una circunferencia de centro O. Si el ángulo QOR mide 70°, entonces el arco PQ mide R
A) B) C) D) E)
155° 145° 110° 140° 175°
O
Q
P
Cpech
Preuniversitarios
21
ENSAYO
44. En la gura se muestra una semicircunferencia de diámetro PQ y un rectángulo PQRS. Si PS = 1 cm y la cuerda AB mide la mitad del diámetro PQ, ¿cuánto mide el radio de la semicircunferencia?
A)
�3 2
cm
B)
3�3 cm 2
C)
2�2 cm 3
D)
2�3 cm 3
E)
3�2 cm 2
A
S
B
P
R
Q
45. En la gura, PQS es un triángulo rectángulo en P y PR es la altura que cae sobre su hipotenusa. Si SP = 3 y PQ = 4, entonces la medida de RQ es A)
22
16 5
B)
20 7
C)
7 2
D)
10 3
E)
15 4
Cpech
Preuniversitarios
S R
P
Q
Matemática 46. En la gura, los puntos P, Q, C, S y R pertenecen a la semicircunferencia, de modo que PQ // AC . Si ∠ CPQ = 46° y R es punto medio del arco
PS, ¿cuánto mide el ángulo QTP? A) B) C) D) E)
134° 88° 111° 92° 69°
P
Q
R A
O Y A S N E
T C
S
47. En la gura, los puntos B y D pertenecen a los lados del triángulo ACE, de manera que AE // BD . Si AE = 9 cm, BC = 10 cm y E
¿cuál es la medida de AB ? A) B) C) D) E)
DB 2 = , AC 5
12 cm 5 cm 6 cm 3 cm 15 cm
D
A
C
B
48. En el rectángulo ABCD de la gura, siempre es posible armar que el triángulo BCD es el resultado de aplicar al triángulo DAB una homotecia con centro en el D
C
A
B
A)
vértice A y razón de homotecia 1.
B)
vértice D y razón de homotecia – 1.
C)
punto medio de DB y razón de homotecia – 1.
D)
vértice A y razón de homotecia – 1.
E)
punto medio de DB y razón de homotecia 1.
Cpech
Preuniversitarios
23
ENSAYO
49. Sea una recta L en el plano cartesiano, cuyas intersecciones con los ejes son (0, 2c) y (3c, 0), con c > 0. Si M es una recta paralela a L, cuya intersección con el eje X es (2c, 0), ¿cuál de las siguientes ecuaciones puede representar a M? A) B) C) D) E)
3x – 2y = 4c 2x + 3y = 4c 3x + 2y = 2c 2x + 3y = 2c 2x – 3y = 4c
50. En la gura, PQRSTU es un hexágono regular de lado 1 y L es una recta que contiene al lado TS . Si P y S están en el eje X y el centro del hexágono está en el origen, entonces la ecuación de la recta de L es – �3 x + 1 3
y=
B)
y = – x + �3
C)
y=
D)
y = – �3 x + �3
– x + �3 3 •
E)
y=
y
•
A)
U
S
P
x
– �3 x + 3 3 •
Q
51. Una
T
R
L
recta L pasa por los puntos medios de dos lados opuestos de
un cuadrado. Si al girar indenidamente el cuadrado en torno a L se genera un cuerpo de volumen V, entonces al girar indenidamente el cuadrado en torno a uno de sus lados se genera un cuerpo cuyo volumen es A) B) C) D) E)
24
Cpech
8V V 4V 2V menor que V.
Preuniversitarios
Matemática 52. Sea P: a
x + b y + b z + a = 0 un plano en el espacio, con a y b
•
•
•
distintos de cero. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a P? A) B) C) D) E)
53.
O Y A S N E
(– 1, 1, – 1) (1, – 1, 1) (1, 1, – 1) (– 1, 1, 1) (1, – 1, – 1)
Un paralelepípedo recto tiene 4 cm de largo, 2 cm de ancho y 3 cm de alto. ¿Cuál es el área total de dicho paralelepípedo? A) B) C) D) E)
24 cm2 52 cm2 48 cm2 18 cm2 26 cm2
54. En la gura, A, B, C y D son vértices de un cubo, y P es el centro de la cara superior de él. ¿Cuál(es) de los siguientes triángulos NO es (son) escaleno(s)?
I) II) III)
∆ APC ∆ BPC ∆ ADC
A) B) C) D)
Solo III Solo I y II Solo I y III Solo II y III
E)
I, II y III
P D
C A
B
Cpech
Preuniversitarios
25
ENSAYO
55. El gráco de la gura muestra el tiempo, en minutos, que tardan los estudiantes de un curso en responder una prueba. Respecto al gráco, ¿cuál de las siguientes armaciones es FALSA? Número de estudiantes 18 15 13
7 5 0
60
80
100
Tiempo
Los estudiantes que rindieron la prueba fueron 58. Los estudiantes que tardaron menos de 40 minutos fueron 12.
C)
Por lo menos un estudiante tardó 100 minutos.
D)
Menos de la cuarta parte de los alumnos se encuentra en el tercer intervalo. Los estudiantes que tardaron como mínimo 60 minutos fueron 33.
En la distribución de frecuencias de la tabla, a es un número positivo y b es un número entero mayor que 2. El promedio (o media aritmética) de los datos, a partir de la marca de clase, es A) B) C) D) E)
26
40
A) B)
E)
56.
20
Cpech
2a b a 6a – 2b a 4a – 2b 2a 16a – b a 5a – 2b 20a –
Preuniversitarios
Datos
Frecuencia
[a, 3a[
b+2
[3a, 5a[
b–3
[5a, 7a[
b+1
[7a, 9a]
b
Matemática 57.
La tabla adjunta muestra los litros de bencina, agrupados en intervalos, que consumen en un día todos los vehículos de reparto de pizza de
un cierto restaurante. Respecto a la tabla, ¿cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)?
I)
Litros
Nº de repartidores
[8, 12[
5
[12, 16[
8
[16, 20[
11
[20, 24]
6
II) III)
La mayoría de los vehículos consumen más de 16 litros de bencina. El restaurante cuenta con 30 vehículos de reparto. 25 vehículos consumen como mínimo 12 litros de bencina.
A) B) C) D)
Solo II Solo I y II Solo I y III Solo II y III
E)
I, II y III
Cpech
Preuniversitarios
O Y A S N E
27
ENSAYO
58. El gráco adjunto muestra los puntajes obtenidos por los estudiantes de cuarto medio de un cierto establecimiento en un ensayo de
Matemática. Respecto al gráco, ¿cuál de las siguientes armaciones es FALSA? Número de estudiantes 32 20 6 2 350 450 550 650 750 850
A) B) C) D) E)
Puntajes
Los estudiantes que rindieron el ensayo fueron 80. El percentil 7 se encuentra en el intervalo [450, 550[. El decil 9 se encuentra en el intervalo [750, 850]. El segundo quintil se encuentra en el intervalo [650, 750[. El segundo cuartil se encuentra en el intervalo [550, 650[.
59. Sea el conjunto M = {1, 1, 2, 2, 3}. Si de M se extraen todas las muestras posibles de tamaño 2 (sin reposición y sin orden) y a cada una de ellas se le calcula la media, ¿cuál es la mayor diferencia, en valor absoluto, que puede producirse entre la media de una muestra y la media de M? A) B) C) D) E)
28
Cpech
1,0 0,3 0,7 0,8 1,2
Preuniversitarios
Matemática 60.
En la tabla adjunta se muestran los resultados obtenidos al lanzar 300
veces un dado común. Respecto a la tabla, ¿cuál es la desviación estándar de los resultados? A)
1
B)
1 2
C)
2
D) E)
�2 0
Número
Frecuencia
1
0
2
0
3
150
4
0
5
150
6
0
O Y A S N E
61. En
un ensayo de Lenguaje, uno de Matemática y uno de Ciencias, Andrés obtuvo 650, 700 y 750 puntos, respectivamente. ¿Cuál es la desviación estándar de los puntajes de Andrés? A)
100 3
B)
50
C)
50
D)
5.000 3
E)
10.000 3
•
•
� 4 �3 2 3
Cpech
Preuniversitarios
29
ENSAYO
62. Sea X una variable aleatoria que se distribuye de forma normal, de media igual a 18 y desviación estándar igual a 3. Si X se transforma en una variable aleatoria Z con distribución normal tipicada, ¿qué valor toma Z cuando X toma el valor 12? A) B) C) D) E)
2 1 0 –1 –2
63. Sean X e Y dos variables aleatorias que se distribuyen de forma normal, ambas con media μ, de tal manera que la desviación estándar de X
es mayor que la de Y. Respecto al gráco de ambas distribuciones, es correcto armar que I) II) III)
la curva relacionada a la variable Y es más alta que la de X. el área bajo la curva relacionada a la variable X es mayor que el de Y. el máximo de la curva relacionada a la variable X está más hacia la derecha que el de Y.
Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)
30
Cpech
solo I solo II solo I y II solo I y III ninguna de ellas.
Preuniversitarios
Matemática 64. Cuatro
personas participan en una corrida familiar, donde a cada
competidor se le regala una polera por asistir. Si hay siete colores distintos para escoger entre las poleras, y ninguno se repite los colores, ¿de cuántas formas distintas pueden escoger las cuatro personas los colores de estas poleras? A) B) C) D) E)
O Y A S N E
28 256 35 840 210
65. Se tiene una caja A que contiene tres bolitas rojas y dos azules, y una caja B que contiene cuatro bolitas amarillas y dos bolitas rojas, todas
de igual peso y tamaño. Si un experimento consiste en extraer bolitas de ambas cajas de manera alternada, sin reposición y comenzando con la caja A, ¿cuál es la probabilidad de que la primera extraída sea azul, la segunda sea roja, la tercera sea roja y la cuarta sea amarilla? A)
2 225
B)
4 25
C)
2 15
D)
4 225
E)
2 25
Cpech
Preuniversitarios
31
ENSAYO
66.
En una prueba de cinco preguntas de verdadero o falso, si se contestan todas las preguntas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tres estén correctas y dos estén incorrectas? A)
1 10
B)
5 32
C)
10 32
D)
5 10
E)
20 32
67. Una
reunión de fanáticos de un determinado videojuego convocó a 500 jóvenes, de los cuales dos quintos son de sexo femenino. Al
consultarles sobre el rol que preeren en dicho videojuego, la mitad de las mujeres escoge ser magos, un octavo de ellas preere el rol de luchador y el resto de las mujeres escoge el rol de lanzador. Por otra parte, un tercio de los hombres preere ser lanzadores, dos quintos escogen ser luchadores y el resto preere el rol de mago. Si se escoge a una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de escoger a una
mujer que preera el rol de lanzador o a un hombre que preera el rol de mago?
32
A)
77 120
B)
21 120
C)
39 100
D)
29 100
E)
31 100
Cpech
Preuniversitarios
Matemática 68. Una
caja contiene tarjetas, todas de igual forma y tamaño, con las letras de la palabra NEUMÁTICO. Si un experimento consiste en
extraer cuatro tarjetas, sin reposición, deniendo la variable aleatoria
O Y A S N E
X como el número de vocales extraídas, entonces el recorrido de X corresponde al conjunto
A) B) C) D) E)
{0, 1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4, 5} {0, 1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3, 4} {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
69. En una bolsa hay una cha de color verde, dos chas de color amarillo y una cha de color azul, todas de igual forma y tamaño. Si un experimento consiste en extraer una cha, registrar su color y luego devolverla a la bolsa, repitiendo esa acción 280 millones de veces,
¿cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)
La moda de las extracciones es la cha de color amarillo. Teóricamente, el número de extracciones de la cha verde es el mismo número de extracciones de la cha azul. Teóricamente, 70 millones de veces se extrae una cha azul.
A) B) C) D)
Solo III Solo I y II Solo I y III Solo II y III
E)
I, II y III
70. Diego
participa en un juego de azar que consiste en lanzar una moneda dos veces. En caso de que en ambos lanzamientos salga
cara, gana $ 500. En cualquier otro caso, debe entregar $ 200. Si el juego se realiza una vez, el valor esperado (esperanza matemática) del resultado del juego es que Diego A) B) C) D) E)
gane $ 150. pierda $ 100. gane $ 275. gane $ 350. pierda $ 25.
Cpech
Preuniversitarios
33
ENSAYO
71. Una
fábrica de botellas cuenta con una máquina de marca A, que elabora 5.000 botellas diarias, y otra de marca B, que elabora 3.000 botellas diarias. Al escoger una botella al azar de la máquina A, la probabilidad que esté en buen estado es de un 95%, mientras que en la máquina B la probabilidad de escoger una botella en buen estado
es de un 94%. Si se escoge al azar una botella de la fábrica y esta es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad que haya sido fabricada por la máquina de marca A? A)
18 43
B)
81 86
C)
25 43
D)
21 43
E)
5 86
72. Se lanza un dado y se dene la variable aleatoria X como la cantidad de números 3 obtenidos. Luisa comienza a realizar el gráco adjunto, que representa la función de probabilidad de la variable aleatoria X, donde falta representar la altura de las barras que comienzan en el
eje horizontal para los valores de m = 0 y m = 1. Si J, K y L son líneas horizontales que representan los valores indicados del eje vertical,
entonces es correcto armar que la barra de m = 0 y la barra de m = 1 deben llegar
A) B) C) D) E)
hasta L y J, respectivamente. ambas hasta K. hasta J y K, respectivamente. hasta J y L, respectivamente. ambas hasta J.
P(X = m) 5 6 1 2 1 6
L
K J m 0
34
Cpech
Preuniversitarios
1
Matemática 73. Sea X una variable aleatoria con distribución normal tipicada. Si P(– a ≤ X ≤ a) = b y P(X ≥ c) = d, con 0 < c < a, entonces P(c ≤ X ≤ a) es igual a A)
b+d–1
B)
b + 2d – 2 2
C)
b + 2d – 1 2
D)
b + 2d + 3 2
E)
b – 2d + 1 2
Cpech
Preuniversitarios
O Y A S N E
35
ENSAYO
Instrucciones para las preguntas Nº 74 a la Nº 80 En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si los datos proporcionados en el enunciado del problema
más los indicados en las armaciones (1) y (2), son sucientes para llegar a esa solución.
Usted deberá marcar en la hoja de respuestas la letra: A) B) C)
D) E)
(1) por sí sola, si la armación (1) por sí sola es suciente para
responder a la pregunta, pero la armación (2) por sí sola no lo es; (2) por sí sola, si la armación (2) por sí sola es suciente para responder a la pregunta, pero la armación (1) por sí sola no lo es; Ambas juntas, (1) y (2), si ambas armaciones (1) y (2) juntas son sucientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las armaciones por sí sola es suciente; Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suciente para responder a la pregunta; Se requiere información adicional, si ambas armaciones juntas son insucientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.
74. Sean a, b y c números enteros distintos, tales que a puede determinar el valor numérico de a si:
36
(1) (2)
a b = 2 a
A) B) C) D)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E)
Se requiere información adicional.
Cpech
•
Preuniversitarios
•
b c = 6. Se •
Matemática 75.
Matías, Felipe y Bárbara se reparten un premio de $ 600.000. Matías
recibe la suma de lo que recibe Felipe más lo que recibe Bárbara. Se puede determinar cuánto recibió cada uno si: (1) (2)
Felipe recibe la mitad de lo que recibe Bárbara. Matías recibe el triple de lo que recibe Felipe.
A) B) C) D)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E)
Se requiere información adicional.
O Y A S N E
76. Sea la función cuadrática f(x) = x2 – ax – a + 1, con x en los reales. Es posible determinar los puntos de intersección del gráco de f con el eje de las abscisas si:
a es un entero positivo.
(1) (2)
a2 = 16
A) B) C) D)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E)
Se requiere información adicional.
77. Sea L una recta que pasa por el origen y M un punto ubicado en la parte positiva del eje Y. Se puede encontrar el punto simétrico de M con respecto a L si: (1) (2)
La ordenada de M es 3. L es creciente.
A) B) C) D)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E)
Se requiere información adicional.
Cpech
Preuniversitarios
37
ENSAYO
78. Sea la recta L: k
x + y = p, con p ≠ 0, en el plano cartesiano. Se puede determinar el valor numérico de k si: •
(1) (2)
L intersecta al eje X en el punto (p, 0). L intersecta al eje Y en el punto (0, p).
A) B) C) D)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E)
Se requiere información adicional.
79. Sean a, b y c tres números reales, con a < b < c. Se puede determinar la varianza de este conjunto de números si:
(1) (2)
El rango de la muestra es 12. b es igual a la media aritmética (o promedio) de la muestra.
A) B) C) D)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E)
Se requiere información adicional.
80. En una bolsa se tienen chas con la letra A, otras con la letra B y el resto con la letra C, todos de igual peso y tamaño. Se puede determinar la probabilidad de extraer una cha con la letra B si: (1) (2)
En la bolsa hay 40 chas. La cantidad de chas con la letra C es el doble de la cantidad de chas con la letra A y el doble de la cantidad de chas con la letra B.
38
A) B) C) D)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E)
Se requiere información adicional.
Cpech
Preuniversitarios
