G R E A MA E G R S G A O D
R
O
P
S
Guía Análisis de datos agrupados
Bloque 32
Ejercicios PSU A continuac continuación, ión, se presentan los siguientes ejercicios, de los cuales cuales sugerimos responde responderr el máximo posible y luego, junto a tu profesor(a), revisar detalladamente las preguntas más representativas, correspondientes a cada grado de dicultad estimada. Solicita a tu profesor(a) que resuelva aquellos ejercicios que te hayan resultado más complejos.
1.
Un conjunto está formado por todos los números pares entre el 15 y el 75, sin que ninguno de ellos se repita. Si el conjunto se agrupa en cinco intervalos de igual amplitud, ¿cuál es la marca de clase del cuarto intervalo? A) B) C) D) E)
2.
Sea M el el conjunto de todos los múltiplos positivos de 3 menores que 200, sin que ninguno de ellos se repita. Si el conjunto M se se agrupa en intervalos de frecuencia 6, ¿en qué intervalo queda ubicado el número 150? A) B) C) D) E)
2 V 8 1 A R G E 1 0 0 I U G 2 3 M E
3.
45 57 36,5 62 56,5
En el noveno. noveno. En el quinto En el octavo. En el sexto En el décimo.
En la distribución de frecuencias de la tabla adjunta, el valor de x se se puede expresar siempre como A) B) C) D) E)
k – p – p k – – 100m 100 m 100m 100m k – – 100 p 100(k – p 100(k – p))
Frecuencia relativa
Frecuencia porcentual acumulada
[16, 20]
m
x
[21, 25]
p
k
Datos [11,15]
[26,30] Cpech 1
MATEMÁTICA 4.
La tabla adjunta muestra los resultados de una prueba realizada a un grupo de conductores, en la cual se registró la rapidez máxima que alcanzó cada uno, sin decimales. Con respecto a la información de la tabla, es correcto armar que I) II) III)
los conductores del tercer intervalo alcanzaron en promedio una rapidez máxima de 95,5 km/h. en el primer intervalo, al menos dos conductores registraron la misma rapidez máxima. la frecuencia porcentual acumulada hasta el segundo intervalo es de 32%.
Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)
5.
solo I. solo II. solo III. solo I y II. solo I y III.
[71, 80]
11
[81, 90]
8
[91, 100]
6
El dueño de una pequeña tienda realizó un inventario de los precios de sus artículos, registrando los datos en la tabla adjunta. Si quisiera mostrar los resultados en un gráco circular, el tercer intervalo estaría representado por un sector cuyo ángulo del centro sería de A) B) C) D) E)
6.
Precio (pesos) Frecuencia
62,5° 108° 90° 135° 37,5°
[0, 2.500[
20
[2.500, 5.000[
12
[5.000, 7.500[
30
[7.500, 10.000]
18
A un grupo de personas se le consultó por la cantidad de películas que ha ido a ver al cine en el último año, y las respuestas recogidas fueron 7, 12, 17, 6, 5, 17, 19, 8, 14, 12, 16, 20, 6, 14, 8, 2, 12, 17, 16 y 10. ¿Cuál(es) de las siguientes tablas de datos agrupados representa(n) correctamente la información recogida? I)
Cpech
II)
Cantidad
Frecuencia
5
[1, 5]
[8, 14]
8
[15, 21]
7
Cantidad
Frecuencia
[1,7]
A) B) C) D) E)
2
Rapidez máxima Frecuencia (km/h)
Solo I Solo III Solo I y III Solo II y III I, II y III
III)
Cantidad
Frecuencia
2
[1, 4]
1
[6, 10]
5
[5, 8]
6
[11, 15]
6
[9, 12]
4
[16, 20]
7
[13, 16]
4
[17, 20]
5
Guía 7.
En la tabla adjunta se muestra el resultado de una prueba de habilidad aplicada a un grupo de 300 trabajadores, en la cual a cada uno le medían el tiempo que tardaba en completar una tarea. ¿Cuál es la frecuencia del intervalo [4, 6[? A) B) C) D) E)
8.
9.
Tiempo (minutos)
Frecuencia porcentual acumulada
[0, 2[
25%
[2, 4[
55%
[4, 6[
90%
[6, 8]
100%
La tabla adjunta muestra la longitud de un grupo de troncos cortados en un aserradero, agrupadas en intervalos. ¿Cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)
La frecuencia porcentual acumulada hasta el intervalo [34, 36[ es 50%. Siete de los troncos miden menos de 34 cm. La frecuencia porcentual del intervalo [36, 38[ es 20%.
A) B) C) D) E)
Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III
Longitud (cm)
Frecuencia
[30, 32[
4
[32, 34[
7
[34, 36[
9
[36, 38[
12
[38, 40]
8
Las edades de los 24 participantes de un taller de arte se representan en la tabla adjunta. Según los datos, ¿cuál es el valor numérico de z ? A) B) C) D) E)
10.
135 195 30 270 105
16 8 18 9 15
Edad (años)
Frecuencia
Frecuencia acumulada
[8, 10[
x
y
[10, 12[
6
z
[12, 14]
y
w
La tabla adjunta muestra la edad, en años, de los residentes de un condominio. ¿Cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)
a = 30 b = 35 c = 64
A) B) C) D) E)
Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III
Edad (años)
Marca de Frecuencia clase (años)
[0, 20[ [20, 40[
Frecuencia acumulada 6
a
15
[40, 60[
b
56
[60, 80]
8
c
Cpech
3
MATEMÁTICA 11.
En la tabla adjunta se muestra la distribución de frecuencias de un conjunto numérico Q dividido en cuatro intervalos de igual amplitud. ¿Cuántos datos componen el conjunto Q?
A) B) C) D) E)
100 80 200 50 No se puede determinar.
Edad (años) Frecuencia [a, b[
4
Cpech
m
2 p
[c, d [
4 p 3m – 20
5 p
Una empresa realiza un cuestionario a un grupo de personas con el objetivo de medir el nivel de satisfacción por el servicio brindado. El cuestionario consiste en una lista de veinte preguntas, en las cuales el encuestado debe contestar positiva o negativamente, representándose los resultados en la tabla adjunta. Con respecto a las personas consultadas, es INCORRECTO armar que
Cantidad de respuestas positivas
Nivel de satisfacción
Mujeres
Hombres
0–6
Bajo
7
4
7 – 13
Medio
3
6
14 – 20
Alto
5
5
B)
2 de las personas con un nivel de satisfacción medio son hombres. 3 hay más hombres con un nivel de satisfacción alto que mujeres con un nivel de satisfacción bajo.
C)
el 20% de las mujeres tiene un nivel de satisfacción medio.
D)
más del 30% del total tiene un nivel de satisfacción alto.
E)
se consultó a igual cantidad de hombres y mujeres.
A)
13.
p
[b, c [ [d, e]
12.
Frecuencia relativa acumulada
En una tabla de distribución de frecuencias de cinco intervalos de igual amplitud, se puede determinar la frecuencia relativa acumulada hasta el tercer intervalo, si: (1) (2)
Todos los intervalos tienen igual frecuencia. La frecuencia relativa acumulada hasta el segundo intervalo es 0,4.
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
Guía
Estrategia de s íntesis Completa las columnas en blanco que se adicionaron a la tabla adjunta en la pregunta 5. ¿Cuál de ellas crees que puede ser de mayor utilidad? ¿Será siempre la más útil en otro tipo de preguntas?
14.
Precio (pesos)
Frecuencia
[0, 2.500[
20
[2.500, 5.000[
12
[5.000,7.500[
30
[7.500, 10.000]
18
Frecuencia acumulada
Frecuencia relativa
Frecuencia porcentual
El gráco de la gura adjunta muestra el resultado de lanzar un dado común 40 veces. ¿En qué porcentaje de los lanzamientos se obtuvo a lo más un 4? Frecuencia A) B) C) D) E)
40% 32% 80% 20% No se puede determinar.
24
1-2 15.
3-4
5-6
Resultado
En una prueba de tiro con arco cada competidor tiene 30 oportunidades para acertar a un objetivo. Si el gráco adjunto representa la frecuencia acumulada después de la participación de varios competidores, ¿cuál es la frecuencia relativa del segundo intervalo?
A) B) C) D) E)
0,333… 0,3125 0,25 0,555… 0,444…
Frecuencia acumulada 9k 5k 2k 0
10 20 30 Aciertos
Cpech
5
MATEMÁTICA 16.
El gráco adjunto representa las edades de los integrantes del grupo de gimnasia de un colegio, de manera que todos los intervalos son de la forma [ a, b[, excepto el último que es de la forma [c , d ]. Según el gráco, ¿cuál de las siguientes armaciones es FALSA? Frecuencia 10 5 6 A) B) C) D) E)
17.
10 14 18
Años
El 25% de los integrantes del grupo se encuentra en el intervalo [10, 14[. El grupo de gimnasia tiene 25 integrantes. La marca de clase del tercer intervalo es 16 años. El número de integrantes que tiene menos de 10 años es igual al número de integrantes que tiene 14 años o más. Menos de la mitad de los integrantes del grupo no tiene más de 10 años.
El gráco adjunto muestra el registro de las masas de los sacos guardados en una bodega, de manera que todos los intervalos son de la forma [ a, b[, excepto el último que es de la forma [ c , d ]. Según la información del gráco, es FALSO armar que Frecuencia 50 45 35 30
0 A) B) C) D) E)
6
Cpech
5
10 15 20 25
Kilos
menos del 25% de los sacos se encuentra en el intervalo [5, 10[. 65 sacos tienen una masa mayor o igual a 15 kilos. hay 20 sacos más en el tercer intervalo que en el quinto intervalo. hay 160 sacos guardados en la bodega. 35 sacos tienen una masa menor a 5 kilos.
Guía 18.
El gráco adjunto muestra los resultados de una prueba tomada a 120 alumnos de un colegio. ¿Cuál de los siguientes grácos de barras representa la distribución de los datos presentados? Frecuencia porcentual acumulada
100% 75%
25% 0 A)
Frecuencia
6
12 18
Puntos
B) Frecuencia
C) Frecuencia
90
120 90
50
60
25
30 0
6
Puntos
12 18 D)
Frecuencia
0
30 6
Puntos
12 18 E)
100 75
0
6
12 18
Puntos
Frecuencia 60 30
25 0
6
12 18
Puntos
0
6
12 18
Puntos
Cpech
7
MATEMÁTICA 19.
Un estudiante registra una distribución de frecuencias en la tabla adjunta, y luego traspasa los datos al gráco circular adjunto, con a, b y d los ángulos de centro de los intervalos de igual amplitud F , G y H , respectivamente. Si después se agrega un dato a cada intervalo, ¿qué modicación habría que hacer al gráco circular para adaptarlo a este cambio?
A) B) C) D) E)
20.
Intervalo
Frecuencia
F
2
G
3
H
4
F H
G
Aumentar a y disminuir b y d. Aumentar a, mantener b y disminuir d. Disminuir a y aumentar b y d. Mantener a, b y d. Disminuir a, mantener b y aumentar d.
En el gráco de distribución de frecuencias adjunto, los intervalos J , K , L y M tienen la misma amplitud. La frecuencia relativa del intervalo L es Frecuencia 4 p 3 p 2 p
J A) B) C) D) E)
8
Cpech
d a b
K
L
p · 0,363636… p · 0,4 p · 0,444… p · 0,8 un valor constante que no depende de p.
M
Intervalos
Guía 21.
El gráco circular de la gura adjunta muestra los resultados obtenidos en una prueba de selección por los postulantes a un taller, en la cual se les asignaba un puntaje de 1 a 60 puntos, sin decimales. Entonces, es correcto armar que la frecuencia relativa del grupo que obtuvo I) II) III)
de 1 a 15 puntos es menor al 20%. de 31 a 60 puntos es de 40%. menos de 46 puntos es de 75%.
[16,30] puntos [1,15] puntos
13 15
Es (son) verdadera(s) 32 A) B) C) D) E)
22.
solo I. solo I y II. solo I y III. solo II y III. I, II y III.
20
[31,45] puntos
[46,60] puntos
En el gráco circular de la gura adjunta, el ángulo de centro correspondiente al intervalo [6, 7[ es
A) B) C) D) E)
120° 132° 216° 108° 66°
[9,10]
[6,7[ 2a a
[8,9[
20% [7,8[
Cpech
9
MATEMÁTICA 23.
El gráco circular de la gura adjunta muestra el resultado de una encuesta en que se consultó a 800 personas sobre la cantidad de veces que va al médico en un año. Con respecto a las personas consultadas, ¿cuál(es) de las siguientes armaciones es (son) verdadera(s)? [1, 3] [13, 15]
[4, 6] 18% 27%
[10, 12] I) II)
24.
15% 22% [7, 9]
III)
Más de la mitad de las personas se encuentra en el intervalo [7, 12]. La cantidad de personas en el intervalo [1, 3] es igual a la cantidad de personas en el intervalo [13, 15]. 120 personas se encuentran en el intervalo [4, 6].
A) B) C) D) E)
Solo II Solo III Solo I y III Solo II y III I, II y III
El gráco circular adjunto muestra los resultados de un examen rendido por un grupo de alumnos en una universidad, divididos en cinco intervalos de igual amplitud. Si el intervalo P contiene 50 alumnos, entonces es FALSO armar que el intervalo Q A) B) C) D) E)
T contiene la doceava parte de los alumnos. P tiene una frecuencia porcentual de 20,8333...% S contiene menos alumnos que cualquier otro intervalo. R tiene un ángulo de centro de 93º en el gráco. Q está compuesto por 60 personas.
25% P
R 75º 30º T
25.
S
En el gráco de distribución de frecuencias adjunto, se puede determinar el valor de m, si: (1) (2)
La frecuencia del primer intervalo es 140. La frecuencia porcentual del tercer intervalo es 35%.
A) B) C) D) E)
(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.
Frecuencia
m
0
10 Cpech
20%
20 40 60
Intervalos
Guía
Este torpedo resume aquellos conceptos de Educación Básica necesarios para comprender los contenidos de este eje temático. Revísalo y estúdialo, ya que te podría ser de utilidad al momento de la ejercitación.
Torpedo Datos y Azar Glosario Datos •
Población: conjunto sobre el cual se realiza el estudio estadístico.
•
•
dentro del total de la muestra.
Muestra: subconjunto de la población utilizada como estadístico.
datos
en
el
estudio
Variables cuantitativas: variables que representan una propiedad numérica. Pueden ser discretas (ciertos valores jos) o continuas (ciertos valores dentro de un intervalo).
•
Frecuencia relativa: proporción del dato
•
Frecuencia
•
frecuencia
relativa en forma de porcentaje. •
Frecuencia
acumulada:
•
Clases: intervalos donde se encuentran
suma de frecuencias desde el primer valor hasta el valor indicado. agrupado los datos de una variable estadística continua.
Frecuencia absoluta (o frecuencia): número de veces que aparece un dato dentro de la muestra o cantidad de elementos que agrupa un determinado intervalo.
porcentual:
Marca de clase: valor representativo de
•
un intervalo o clase. Se obtiene calculando el promedio entre los extremos de un intervalo.
Tipos de gráfcos
De barras
Polígono de frecuencia
Frecuencia
Frecuencia f 4 f 5 f 2 f 3
f i
f 1
x i
Dato
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5
Circular
Dato
Histograma Frecuencia
100
200
300
400
Dato
El histograma se utiliza para datos agrupados. En el gráfco circular , la información se representa en porcentajes.
Cpech 11
MATEMÁTICA Tablas Dato Frecuencia x 1
Frecuencia acumulada
f 1
Frecuencia porcentual
f 1
x 2
f 2
f 1+f 2
.. .
.. .
.. .
x k
f k
f 1+f 2+... +f k = N
f 1 N f 2 N
N
Marca de clase
Frecuencia
[35 – 56[
35+56 2
17
[56 – 76]
56+76 2
8
• 100% • 100% .. .
f k
Intervalos
• 100%
Medidas de tendencia central en datos no agrupados Moda: dato que más se repite dentro de la
Mediana: valor que ocupa la posición central
muestra
de una muestra (¡OJO! Los datos deben estar ORDENADOS)
(¡NO CONFUNDIR CON LA FRECUENCIA DE LA MODA!) Si todos los datos tienen la misma frecuencia, no existe moda (amodal). En una muestra puede haber más de un moda.
Promedio o media aritmética: x
Sea una muestra con una cantidad N de datos: Si N es un número impar , entonces la mediana es el dato que ocupa el lugar número
.
Si N es un número par , entonces la mediana es el promedio entre los datos que ocupan los N N lugares y + 1. 2
x 1 • f 1 + x 2 • f 2+ x 3 • f 3 + ... + x k • f k
=
N + 1 2
2
N
x k : Dato f k : Frecuencia del dato
Glosario Azar •
Experimento aleatorio: actividad cuyo
•
resultado no se puede predecir a pesar de que se manejen todas las condiciones. •
•
•
Suceso imposible: evento que no tiene elementos, es decir, la probabilidad de que ocurra es nula.
Eventos mutuamente excluyentes: eventos que no tienen ningún elemento en común, es decir, no ocurren simultáneamente.
Evento o suceso: subconjunto del espacio muestral que cumplen con alguna condición.
•
los mismos que los del espacio muestral, es decir, la probabilidad de que ocurra es uno, siempre ocurrirá.
Espacio muestral: conjunto de todos los posibles resultados distintos de un experimento.
Suceso seguro: evento cuyo elementos son
•
Eventos independientes: eventos cuya ocurrencia de cada uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.
Sea A un evento en un determinado experimento aleatorio. P ( A) =
12 Cpech
número de casos favorables número de casos totales
0 ≤ P ( A) ≤ 1
⇒ P (no A) = 1 – P ( A)
Guía
Tabla de corrección
Ítem
Alternativa
Habilidad
Nivel de difcultad
1
Comprensión
Fácil
2
Comprensión
Media
3
Comprensión
Fácil
4
Comprensión
Media
5
Aplicación
Media
6
Aplicación
Media
7
Aplicación
Media
8
Aplicación
Media
9
ASE
Difícil
10
ASE
Fácil
11
ASE
Difícil
12
ASE
Media
13
ASE
Media
14
Comprensión
Media
15
Comprensión
Difícil
16
Comprensión
Media
17
Comprensión
Media
18
Aplicación
Media
19
Aplicación
Difícil
20
Aplicación
Fácil
21
ASE
Media
22
ASE
Media
23
ASE
Media
24
ASE
Difícil
25
ASE
Media
Cpech 13
MATEMÁTICA
Mis apuntes
14 Cpech
Guía
Mis apuntes
Cpech 15
_____________________________________________________ Han colaborado en esta edición: Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional Katherine González Terceros Coordinadora PSU Francisca Carrasco Fuenzalida Equipo Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Marcelo Gajardo Vargas Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfco y Diagramación Cynthia Ahumada Pérez Daniel Henríquez Fuentes Vania Muñoz Díaz Tania Muñoz Romero Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre Imágenes Banco Archivo Cpech
El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias.
Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial.