Preuniversitario Solidario Santa María Ensayo General 1
Solucionario Ensayo General 1 1)
( a) b) c) d) e)
(
))
18 -3 9 -9 3
Resolviendo desde adentro hacia afuera: (
) (
) (
)
2) Acerca del número P = -3,60567328…es correcto afirmar que: a) P redondeado a la centésima es -3,60. b) P redondeado a la centésima es -3,61. c) P truncado a la milésima es -3,606. d) P redondeado a la unidad es -3. e) Ninguna de las anteriores. Dado que las alternativas involucran truncamiento y redondeo, se aproximará el número por ambos métodos, para descartar opciones. P truncado a la milésima es -3,605, por lo que la opción C es falsa. P redondeado a la centésima es -3,61, pues la cifra de la milésima es mayor o igual a 5, generando que la cifra de la centésima aumente su valor en 1 unidad. 3) El resultado de la resta entre: -3,6786 aproximado por defecto, y -3,6786 aproximado por exceso, ambos a la décima, es: a) b) c) d) e)
0 0,1 -0,1 -1 1
Ambas aproximaciones funcionan por desplazamiento. Aproximar por defecto siempre existe desplazamiento hacia la izquierda, mientras que por exceso, la traslación es hacia la derecha. De esta forma, -3,6786 aproximado por defecto y por exceso, ambos a la décima, serán -3,7 y -3,6, respectivamente. La resta entre ellos es: -3,7 + 3,6 = -0,1.
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4) Se define la siguiente operatoria: ( ( ) ( ) es:
, con
)
. El resultado de
a) 2 b) -2 c) 1 d) -1 e) No se puede determinar ( (
)
) (
)
Por ende, la diferencia entre ambos será -2. 5) El resultado de (
(
)
) es:
a) 1, para todo valor de x b) 0, para todo valor de x c) -1, para todo valor de x d) 0, para algún valor de x e) Ninguna de las anteriores El exponente cero es tentador para concluir que el resultado será 1. Pero al simplificar lo expresado en la base, resulta 0 + x. De esta forma, la expresión completa tomará valor 1, siempre y cuando x no sea cero. De lo contrario, se produce una indeterminación. 6) √(
)
√(
) =
a) -6 b) 6 c) 3 d) 0 e) -3 √(
)
√(
)
(
)
7) Tres buses salen del terminal de Santiago a las 08:00 hrs del día 20 de Agosto, cada uno con destinos a Traiguén (8 horas), Valdivia (10 horas) y Pichilemu (4 horas). Si estos 3 buses realizan continuamente servicios ida y vuelta, sin considerar tiempos de descanso, ¿qué día, y a qué hora volverán a juntarse en Santiago? a) 23 de Agosto a las 16:00 hrs b) 23 de Agosto a las 08:00 hrs 2
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c) 24 de Agosto a las 00:00 hrs d) 22 de Agosto a las 00:00 hrs e) Jamás volverán a juntarse Para partir, los buses vuelven a Santiago cada 16 horas, 20 horas y 8 horas. El mcm entre 16, 20 y 8 entregará la cantidad de horas transcurridas hasta que los tres buses se reencuentren en Santiago. 16 20 8 4 4 5 2 2 2 5 1 2 1 5 1 5 1 1 1 80 Por lo tanto, pasan 80 horas, es decir, 3 días y 8 horas. En consecuencia, se volverán a encontrar el día 23 de agosto a las 16:00 horas. 8) Si z = 3 – 4i, entonces Re(z) – Im(z) + |z| = a) b) c) d) e)
4 32 12 8 + 4i 8 – 4i
Re(z) = 3. Im(z) = -4. |z| = sqrt(3^2 + (-4)^2) = 5. Por lo tanto, Re(z) – Im(z) + |z| = 3 - -4 + 5 = 12. 9) Es posible determinar el único valor de Im(z), con z un número complejo, si: (1) |z| = 5, y Re(z) es un número natural. (2) ̅ + z = |z| + 1 a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) o (2) e) Se requiere información adicional Con (1) por sí sola es insuficiente, pues Re(z) e Im(z) pueden tomar diversas combinaciones bajo la condición de Re(z) especificada. En (2) es posible asumir que z = a + bi (un número complejo cualquiera). ̅ + z = |z| + 1 = a - bi + a + bi = sqrt(a^2 + b^2) + 1, una ecuación de dos variables imposible de resolver. Por ende, (2) por sí sola es insuficiente. Al analizar ambas juntas, conviene trabajar con (2), pues ya se conoce el módulo: A – bi + a + bi = 6, de donde 2*a = 6, a = 3.
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Para que el módulo sea 5, la parte imaginaria de z deberá ser 4 o -4 (pensar en el trío 3 – 4 – 5), por lo que no existe un único valor de Im(z). Falta información para saber si es 4 ó -4. 10) Una familia porteña se va de vacaciones al Lago Ranco (1.000 km) en una camioneta en la que 3 personas son conductores. Si el primer conductor manejó las tres quintas partes de la mitad del viaje completo; y el segundo manejó 250 kilómetros, ¿A cuántos kilómetros de Valparaíso ocurre que el tercer conductor toma el volante, si éste conduce hasta llegar a destino? a) 450 kilómetros b) 550 kilómetros c) 850 kilómetros d) 150 kilómetros e) 750 kilómetros El primer conductor maneja 300 kilómetros (3/5 partes de 500). Por lo tanto, el tercer conductor toma el volante tras 550 kilómetros recorridos. 11) Sea
, con
, entonces el valor de (
)
es: a) b) c) d) e)
2 1/2 1 0 Otro valor
Note que el ejercicio muestra las restricciones suficientes (denominadores). Por lo tanto, ud puede desarrollar este problema por dos métodos: El primero es reemplazar directamente a y b por los números, y luego resolver. El otro método, mucho más viable, es ver si la expresión es simplificable, lo cual significaría un gran ahorro de pasos y de tiempo. Los numeradores se factorizan buscando dos números que multipliquen -3 y que sumen -2 ó +2, según corresponda. En los denominadores se tiene suma por su diferencia: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Esto significa que, independiente de los valores de a y b a insertar (siempre que se cumplan las restricciones), la operación siempre arroja valor 1. De esta forma: (
)
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12) (
)
a) 1, para todo n real b) -1, para todo n real c) 1, para n impar d) -1, para n impar e) 1, para todo n real positivo Se sabe que -1 elevado a un número impar es siempre igual a -1. Para que ello ocurra, el valor de n debe ser obligatoriamente impar. -1 elevado a un número par siempre resulta 1. Para que ello ocurra, el valor n debe ser par. 13) Sean m y n números enteros. Es posible concluir que
es par si:
(1) mn es impar. (2) m es impar. a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) o (2) e) Se requiere información adicional Para efectuar este análisis, conviene factorizar la expresión: (
)
Analizando (1); si mn es impar, obligatoriamente m y n son impares, por lo que tanto m^2 como n^2 son impares, cuya suma será par. Luego, m^2 * n es impar, lo cual multiplicado por un número par, resulta siempre ser par. Así, con (1) es suficiente para concluir que la expresión es par. Analizando (2), ya se sabe que si m es impar, y n es impar, la expresión resulta ser par. Pero n puede ser par (no se especifica su naturaleza). Si n fuese par, n^2 es par, m^2 es impar, m^2 + n^2 es impar, lo cual al multiplicar por m^2 resulta impar. Finalmente, n multiplicado por un número impar resulta siempre par. De esta forma, sabiendo que m es impar, se llega a que la expresión es siempre par.
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14) En un circuito eléctrico de corriente continua se conectan 3 resistencias idénticas en paralelo a una fuente de poder de voltaje V. Se sabe que la resistencia equivalente del circuito (Req) se calcula con la ecuación
Si una de las resistencias es cambiada por otra que tiene un valor de resistencia igual al doble de la reemplazada, ¿Cuántas veces está contenida la resistencia equivalente antigua en la nueva? a) 5/6 veces b) 3 veces c) 3/4 veces d) 6/5 veces e) Ninguna de las anteriores Si originalmente todas las resistencias son idénticas (valor arbitrario “R”), entonces: ( ) Si una de las resistencias tiene valor “2R”, entonces:
Así, Req = 2R/5. Ahora, se pregunta por la cantidad de veces que está contenido R/3 en 2R/5, lo cual involucra la siguiente operación matemática:
Está contenida 6/5 veces. (
15) El valor de
( (
) ) )
es igual a:
a) 0,25 b) 0,5 c) 2 d) 4 e) 8 ( ( (
) ) )
(
)
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16) El valor de √
es:
a) 1 +3i b) 1 – 3i c) -1 + 3i d) 4 +3i e) 3 + 4i El objetivo es encontrar un número complejo de la forma a + bi, tal que al elevarlo a 2 resulte -8 + 6i. Note que al elevar el complejo a 2 resulta: a^2 + 2abi – b^2. De ello: A^2 – b^2 = -8 -> (a + b)(a – b) = -8 2ab=6 -> ab = 3. Se buscan dos valores enteros de a y b, los cuales serán a = 1 y b = 3. Por lo tanto, el resultado será 1 + 3i. 17) Un grupo de amigos va a un restaurant, y deciden pagar el total de la cuenta en partes iguales. Si cada uno pone $5.000, faltarían $2.000 para cubrir la cuenta. En cambio, si cada uno pone $6.000, sobrarían $1.000 respecto al total. ¿Por cuántos amigos está conformado el grupo? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) Falta información En este problema se desconoce la cantidad de personas que conforma el grupo (se asignará como “x”), y el precio de la cuenta (“y”). Así, es posible plantear que: 5000x + 2000 = y 6000x – 1000 = y Resolviendo por igualación: 5000x + 2000 = 6000x – 1000 3000 = 1000x X = 3, lo que justamente se pregunta. 18) ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones tiene infinitas soluciones? a) { b) {
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c) { d) { e) { Un sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones si ambas rectas (ecuaciones) se superponen (ecuaciones de la recta idénticas). De todas ellas, la única que muestra 2 ecuaciones idénticas es la opción c: 2x + y = 30 X + y/2 = 15 (amplificar por 2) 2x + y = 30, idéntica a la ecuación 1. 19) Al reducir la expresión
( (
)
)
se obtiene:
a) -xy b) xy + x2 c) xy + 3x2 d) –xy +x2 e) xy Resolviendo de adentro hacia afuera: -2(xy - x^2 + x^2) + 3xy -2xy + 3xy = xy. 20) En un bus con servicio directo Santiago – Concepción, sin capacidad (50 asientos), van estudiantes (valor pasaje: $8.000 c/u) y pasajeros comunes (valor pasaje: $12.000 c/u). El auxiliar, tras cortar todos los boletos, calcula que el total de dinero que figura en cada boleto pedido es de $580.000. ¿Cuántos pasajeros comunes más que estudiantes van en el bus? a) 50 b) 5 c) 45 d) 40 e) 35 En este problema se desconoce la cantidad de estudiantes y pasajeros comunes que van en el bus. Sea “x” el número de estudiantes, e “y” el número de pasajeros comunes. Se sabe que en total van 50 pasajeros: Luego, se sabe que el bus lleva $580.000 en función de los boletos cortados:
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Resolviendo el sistema, se llega a que x = 5 , y = 45, 40 de diferencia. 21) ¿Cuántos valores enteros de x satisfacen el sistema: { a) 3 b) 4 c) 5 d) 1 e) 0 Se debe encontrar el conjunto solución de las 3 ecuaciones: 3x + 5 < 9 -> x < 4/3 = 1,333… -x + 6 > 8 -> x < -2. -2x + 4 < 1 -> x > 3/2 = 1,50. Note que no existen números que sean menores que 1,333 y mayores que 1,5. De inmediato se intuye que el conjunto solución del sistema es vacío. 22) Sean las rectas y . Si la recta se traslada 2 unidades hacia abajo y 2/3 unidades hacia la derecha, el nuevo punto de intersección estará ubicado, respecto al punto original: a) Sólo hacia la izquierda b) Sólo hacia la derecha c) Sólo hacia arriba d) Sólo hacia abajo e) En el mismo lugar Trasladar 2 unidades hacia abajo, significa disminuir el coeficiente de posición en 2: Y = -3x – 1. Luego, trasladar 2/3 unidades hacia la derecha, implica que: Y = -3(x – 2/3) – 1 = -3x + 2 – 1 = -3x + 1 (la misma recta original). Dado que L1 y L2 tienen distinta pendiente, se infiere que existe un punto de intersección (no interesa saber cuál es, sólo saber si existe o no). Además, las dos transformaciones que sufrió L2 no generaron efecto (se llegó a la misma L2), por lo que el punto de intersección nuevo es exactamente el mismo que el original.
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23) Sea (
)
, entonces ( ) es igual a:
a) -4 b) 32 c) -6 d) 6 e) 4 En este caso, cuando se evalúa f(2), significa que x + 2 = 2, pues la función transforma el “x + 2” para obtener un “x^3 – 9x + 4”. De ello, x = 0, el cual se evalúa en la función. 0^3 – 9*0 + 4 = 4. 24) La mejor representación para la función
( )
es:
Para este análisis conviene descomponer la función valor absoluto: F(x) = x – x = 0, si x es mayor o igual que cero. F(x) = -x – x = -2x, si x es negativo. Dicha función por tramos se encuentra representada en la opción A.
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25) Si ( )
[
[ ] [ ]
] una función parte entera, entonces f(-3/2) es igual a:
a) 0 b) -1 c) 1 d) -1/2 e) 1/2 La parte entera de un número es el entero más grande por la izquierda del número. En este caso, reemplazando -3/2 en la función, se debe resolver [x] = [-1,5] = -2. (
)
[
]
[
]
[ ]
26) Para obtener la gráfica de la función ( ) √( ) a partir de la función ( ) √ , ¿Cuál de las siguientes secuencias en el plano cartesiano es correcta? a) Traslación de g tres unidades hacia la izquierda y tres hacia abajo b) Traslación de f tres unidades hacia abajo y tres hacia la derecha c) Traslación de g tres unidades hacia abajo y tres hacia la derecha d) Traslación de g tres unidades hacia arriba y tres hacia la izquierda e) Ninguna de las anteriores Si g(x) se traslada 3 unidades hacia la izquierda, se obtiene √ esta función se traslada 3 unidades hacia arriba, se obtiene f.
√
. Luego, si
27) Se ha lanzado un proyectil desde la azotea de un edificio de 20 metros, con un cierto ángulo, tal que la función que entrega la altura x del proyectil en una posición p desde la base del edificio (a altura cero) es
, ¿Cuántos metros de
( )
elevación ganó el proyectil? a) 11,25 metros b) 31,25 metros c) 15 metros d) 35 metros e) Falta información Se intuye que se necesita saber la altura máxima del proyectil. Como la función que modela el caso es cuadrática, se tiene que las coordenadas del vértice en una función ax^2 + bx + c son: (
(
))
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Desde la función dada, el vértice viene dado por:
(
(
))
(
(
))
Luego, f (15) = -15*15/20 + 3*15/2 + 20 = -45/4 + 90/4 + 80/4 = 125/4 = 31,25. Finalmente, el proyectil alcanza una altura máxima de 31,25 metros (desde el suelo), por lo que desde la azotea, ganó sólo 11,25 metros. De hecho, cuando p = 0, x = 20 (altura del edificio). 28) Sea ( )
, con
, es verdadero:
a) Es una función inyectiva para todo su dominio. b) La curva es simétrica axial respecto a x = -b/a. c) El valor máximo de la función se encuentra evaluando
(
).
d) Si a<0, b>0 y c>0, entonces la parábola tiene su vértice en el primer cuadrante. e) Si a>0, b<0 y c>0, entonces la parábola tiene su vértice en el segundo cuadrante. a) La función cuadrática, para todo su dominio, no es inyectiva, pues para todos los elementos del dominio no siempre existe 1 elemento del codominio (hay imágenes que son obtenibles de dos preimágenes). b) Falso, la suma de las soluciones es –b/a, por lo que el eje de simetría se describe como el promedio de esta suma de soluciones (equidista de los posibles ceros de la función) x = -b/2a. c) Falso. Si bien el valor máximo se encuentra de esa forma, no es posible determinar la concavidad de la función, y por ende, no es seguro si el máximo se encuentra en el vértice de la parábola (puede que sea un valor mínimo). d) Bajo dichos parámetros, es posible saber que: Si a < 0, significa que la parábola es cóncava hacia abajo. Si c > 0, significa que se produce un intercepto en los valores positivos del eje Y. Si b > 0, significa que la ecuación del eje de simetría, dada por x = b/2a, es positiva, por lo que el vértice podría encontrarse en el I o IV cuadrante. Ahora, es imposible que el vértice se sitúe en el IV cuadrante, pues de ser así, el intercepto con el eje Y sería en un valor negativo (vértice que indicaría punto máximo). e) Falso, basta con saber el signo de la ecuación del eje de simetría, -b/2a es positivo, por lo que es imposible que el vértice se sitúe en el II cuadrante (requiere que –b/2a sea negativo).
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29) Con respecto a la función ( )
se cumple siempre que:
a) f(x) es inyectiva en el intervalo de eje x [1,7]. b) f(x) es biyectiva. c) f(x) posee un valor máximo igual a 2. d) f(x) tiene concavidad hacia arriba. e) Ninguna de las anteriores. a) Verdadero. El vértice es igual a (
(
))
(
( ))
(
). De esta forma, si el
dominio estuviera en [1,7], la función sería inyectiva, pues para valores de x mayores que 1, la función es decreciente. b) Falso, pues no es inyectiva en su dominio. c) Falso, desde la opción a) se llegó a que el valor máximo es 3. d) Falso, el coeficiente del término cuadrático es negativo, lo que indica que la parábola es cóncava hacia abajo. 30) Se tienen las siguientes relaciones desde un conjunto A a un conjunto B: {(1,1);(2,1);(3,7);(4,0);(5,1);(6,6)}. Si dichos elementos componen únicamente a estos conjuntos, es verdadero concluir que: a) Se ilustra una función de A en B, con dominio equivalente al conjunto B. b) El codominio de la función corresponde al conjunto B. c) El conjunto A está compuesto por: {1, 0, 6, 7}. d) La gráfica de la función es una curva que conecta dichos puntos. e) Ninguna de las anteriores. A = {1,2,3,4,5,6} B = {0,1,6,7} Como es una función de A en B, el dominio de la función es el conjunto A, mientras que el codominio es el conjunto B. 31) Sea Entonces (
definida por )( ) es:
( )
, y
definida por
( )
√ .
a) b) √ c) g-1(x) d) e) Ninguna de las anteriores Ambas funciones, bajo sus dominios y codominios especificados, son invertibles. La función inversa de f es x^(1/7). Por ende, la evaluación de la composición de funciones se efectúa de derecha a izquierda. 13
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( ( ))
(
√
)
Luego: (
)
(
( )
)
32) En una planta de producción de pulpas de frutas, se ha determinado que la eficiencia de envasado final (en porcentaje) depende del flujo de pulpa despachado desde el proceso (en megatoneladas por día), gobernado por la función ( ) . ¿Cuántas megatoneladas por día deberá producir la planta para lograr un 75% de efectividad? a) b) c) d) e)
3,5 4 5 6 8
El problema se reduce a determinar el valor de x tal que f(x) = 75.
(
)(
)
Por lo tanto, la eficiencia del 75% se logra produciendo 3 ó 5 megatoneladas por día. Sólo aparece 5 en las respuestas, por lo que se selecciona aquella. 33) Si p es un número real, ¿Cuál debe ser el valor de k para que una solución de la ecuación sea el recíproco de la otra? a) -4, para todo valor real de p b) -4, para algunos valores reales de p c) -2, para todo valor real de p d) -2, para algunos valores reales de p e) Falta información Para que esto sea válido, las soluciones deben ser distintas de cero. Si una solución es x1, la otra será 1/x1, y su producto es igual a 1:
Si una solución fuera el cero, debería ocurrir que k = -1, por lo que no importa el valor de p. 34) En una fábrica se necesitan procesar 30 [ton/h] de pulpa de ciruelas, por lo que la empresa compra un inactivador enzimático de capacidad nominal 35 [ton/h]. Si la 14
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misma empresa deseara producir 42 [ton/h], necesitará un inactivador de capacidad nominal 49 [ton/h]. Siguiendo la relación lineal entre flujo real y nominal, ¿Cuál será la producción máxima que logrará la fábrica, si dispone de un inactivador enzimático de capacidad nominal 63 [ton/h]? a) b) c) d) e)
73,5 [ton/h] 63 [ton/h] 54 [ton/h] 58 [ton/h] 50 [ton/h]
Se tiene una función lineal que relaciona flujo real con flujo nominal. Se tienen los puntos (30,35) y (42,49), por los que pasa una recta de pendiente:
Teniendo la pendiente y un punto, es posible conocer n:
Por lo tanto, si la capacidad nominal es 63, entonces el flujo real será 6/7 de 63 = 54 [ton/h]. 35) Valentina deposita $P en un banco, dinero que es sometido a un sistema de interés compuesto bimensual del 1%. Si tras 5 semestres decide retirar su dinero, ¿cuánto ganó, respecto al dinero depositado inicialmente? a) b) c) d) e)
( ( ( ( (
) ) ) ) )
La ecuación que permite obtener el capital final bajo interés compuesto del i% por periodo, durante n periodos, es: (
)
El interés es bimensual. El tiempo es de 5 semestres = 30 meses = 15 bi-meses. Por lo tanto, el capital final será:
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(
)
Finalmente, la ganancia será la diferencia entre el capital final y P. 36) El conjunto solución de la ecuación
es:
a) x = {-4} b) x = {3} c) x = {1,3} d) x = {1} e) Es conveniente realizar el cambio de variables u = 3^x, resultando una ecuación cuadrática (9^x = 3^(2x)): (
)(
)
Luego, 3^x es siempre positivo, por lo que se considera sólo que u = 3, lo que genera que x = 1. 37) Un ángulo “x”, junto con otro que mide el triple de “x”, son suplementarios. ¿Cuánto vale “x”? a) 22,5° b) 135° c) 67,5° d) 45° e) 90°
38) En el triángulo ABC de la figura, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) II) III)
El perímetro del triángulo BCD es el doble del perímetro del triángulo CAD El área del triángulo BCD es cuatro veces el área del triángulo CAD DAC = DCB
a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) Solo I y III e) I, II y III
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El triángulo ADC es semejante con el triángulo CDB. Como las hipotenusas de dichos triángulos están en la razón 1:2, entonces sus perímetros también están bajo esa razón, por lo que I y III son verdaderas. A la vez, bajo la misma razón, las áreas están en la razón 1:4 (el cuadrado de la razón de longitud). En fin, todas son verdaderas.
39) En la figura, triángulo ABC equilátero, EF, FG, CE, AD y ED son segmentos. ̅̅̅̅ es bisectriz del
ED bisectriz de ángulo BEC, implica que los ángulos BED y DEC miden 45°. La razón de los ángulos EAG y LAH = 2:1 implica que el ángulo EAG mide 40° y LAH mide 20°, pues el ángulo EAH mide 60°. Hasta este momento, notar que el ángulo DEA mide 135°. Observando el triángulo AED, el ángulo “beta” medirá 180° - 135° - 40° = 5°. Como el triángulo AHL es isósceles de base HL, implica que los ángulos HLA, AHL y KHF miden 80°. Observando el triángulo ACG, se tiene que el ángulo CGA mide 130° (180° 30° - 20°). Este ángulo es bisectado por FG, por lo que el ángulo KGA mide 65°. El paso siguiente es ver el triángulo CKG, cuyo ángulo GKC medirá 180° - 30° - 65° = 85°. Finalmente, observando el triángulo HFK, se tiene que el ángulo H mide 80°, el ángulo K mide 85°, por lo que “alfa” medirá 15°. Así, “alfa” – “beta” = 15° - 5° = 10°. 40) ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es verdadera? a) Un ángulo exterior de un triángulo es cóncavo. b) Existe un triángulo de lados 3 [cm], 4 [cm] y 7 [cm]. c) Sólo el ortocentro y circuncentro se sitúan fuera de un triángulo obtusángulo. d) En todo triángulo isósceles, incentro, circuncentro, baricentro y ortocentro son colineales y están siempre dentro del triángulo. e) En un sistema de dos rectas paralelas cortadas por una recta transversal, los ángulos colaterales externos tienen la misma medida. 17
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a) Falso, el ángulo exterior de cualquier ángulo interior de un triángulo es siempre suplementario, y por ende, convexo. b) Imposible, 3 + 4 no es mayor que 7. (Axioma de construcción de un triángulo). c) Verdadero, el resto de los puntos clásicos se sitúa en el interior de todo triángulo. d) Falso, puede ocurrir que el triángulo sea obtusángulo, el cual es un contraejemplo para la aseveración (ortocentro y circuncentro estarían fuera del triángulo). e) Falso, son suplementarios. 41) En la figura adjunta, los rectángulos ABCD y BEFG son congruentes de tal manera que AB = √ cm, y GF = 2cm. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? (
I.
)
( ) √ A, C y F son colineales
II. III.
a) Solo I b) Solo I y II c) Solo I y III d) Solo II y III e) I, II y III La congruencia de estos rectángulos genera que BC = 2, y que GC = I) La razón de las áreas será: (√ (
√ )
)
√
√
√
√
√
√
√
√
.
√ √
(
√ )
√
Por lo tanto, I es verdadera. También era posible aplicar producto cruzado (comparación de fracciones). II) Para que esto ocurra, los triángulos ABC y FGC deben ser semejantes en ese orden. Se tiene la siguiente relación de medidas:
√ Aplicando producto cruzado:
√
√ )(√ ( ) De aquí se concluye que II y III son verdaderas.
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42) Dados los vectores ⃗ afirmaciones es falsa?
= (-2,-3,-2) y ⃗
= (1,1,-2), ¿Cuál de las siguientes
⃗ = (-3,-4,0) a) ⃗ = (3,4,0) b) ⃗ c) El vector (3,4,0) corresponde a una dirección de la recta que pasa por los puntos ⃗ y⃗ d) La ecuación de la recta AB podría describirse como (t) = (1,1,-2) +t(3,4,0), con t un número real e) La ecuación de la recta que pasa por ⃗ y ⃗ , pasa también por el origen ⃗ ( ) ( ) a) b) Al preguntarse por el vector en sentido contrario, resulta (3,4,0). c) Verdadero, la diferencia entre dos vectores es un vector que pasa por los puntos extremos de A y B. De esta forma, (3,4,0) es el vector director de la ecuación vectorial de la recta. d) Verdadero, se ha escogido un punto de origen igual a (1,1,-2), más el vector director. e) Falso, basta con observar la componente z. -2 + 0*t jamás será cero, por lo que la recta no puede pasar por el origen. 43) En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces la medida del lado BE en el rectángulo DBEF mide a) b)
√
√
c)
√
d)
√ e) 1
Por teorema de Pitágoras, BD = sqrt(5). Luego, es posible deducir que los triángulos CEB y DAB son semejantes en ese orden. Así se puede plantear la siguiente proporción para determinar la longitud de BE: 19
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√ De donde BE = 2/sqrt(5).
44) En la circunferencia de centro O y diámetro AB, C es un punto de ella. Se extiende el diámetro hasta P y desde P se traza una recta tangente a la circunferencia en T, como se indica en la figura adjunta. Si AP = 3 cm y PT = √ cm, ¿cuánto mide el segmento OC? a) b) c) d)
e)
√
Se emplea proporcionalidad en la circunferencia, con la particularidad de que la secante PB contiene al diámetro AB, por lo que es conveniente asignar la variable radio como “r”. Entonces: (
)
De donde r = 5/6, igual al segmento OC. 45) En la figura, triángulo ABC acutángulo. El segmento BD genera que DC = 3*AD, mientras que el segmento CE genera que EB = 2*AE. Entonces la razón entre el área achurada y el triángulo ABC es: a) 17/115 b) 17/132 c) 115/132 d) 1/6 e) No se puede determinar 20
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Para este análisis se necesita la comprensión del concepto general de área de un triángulo. Se hará un trazo que pase por A y F, hasta cortar a BC. Sea “a” el área del triángulo AEF, y “b” el área del triángulo ADF. Por las relaciones métricas mencionadas, el área del triángulo EFB es el doble del área del triángulo AEF (comparten altura, pero la base mide el doble). De la misma forma, el área del triángulo DFC es el triple del área del triángulo ADF. Falta determinar el área del triángulo BFC. Para ello, se sabe que el área del triángulo ADB es “3a + b”, igual a la tercera parte del área del triángulo DBC (comparten altura, pero la base de este último es 3 veces mayor). Por lo tanto, 3(3*a + b) = 3b + Área BFC. De esta forma, el área del triángulo BFC es igual a 9*a. Luego, el área del triángulo EBC es 11*a, el doble del área del triángulo EAC, igual a 4b + a. Por consiguiente:
Finalmente, el área total del triángulo ABC será 12*a + 9*a/2 = 33*a/2. El área achurada es a + b = 17*a/8. Dividiendo:
46) En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de centro O, tal que el ángulo CBA mide 58º. ¿Cuál es la medida del ángulo BDC? a) 64º b) 32º c) 116º d) 58º e) 42º Como AB es diámetro, el ángulo ACB mide 90° (teorema del ángulo inscrito). Luego, el ángulo BAC mide 32°, igual al ángulo pedido, pues ambos son ángulos inscritos que subtienden el mismo arco. 47) Un punto P de coordenadas (3,4,2) sufre las siguientes transformaciones: Simetría central respecto al origen, simetría respecto al eje z, y simetría central respecto al origen. ¿Cuáles son las coordenadas del punto resultante de todas las transformaciones efectuadas? a) (-3,-4,-2) 21
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b) c) d) e)
(3,4,2) (-3,-4,2) (3,4,-2) (-3,4,-2)
Simetría central respecto al origen, resulta el punto (-3,-4,-2). Luego, aplicar una simetría axial respecto al eje z, es equivalente a aplicar simetría central respecto al punto (x,y) = (0,0), pero conservando la componente z, por lo que resulta (3,4,-2). Luego se aplica la primera transformación, resultando (-3,-4,2). 48) Se realiza una perforación a un cubo de concreto de arista 2 [cm], de modo que se ha extraído un cuerpo equivalente a un cono recto, cuya circunferencia basal es tangente interior a la base del cubo, y la altura del cono coincide con la altura del cubo. Si , entonces la razón entre el volumen de concreto perdido y el original es: a) 1/5 b) 1/4 c) 3/4 d) 1/3 e) 2/5 El cono recto virtual tiene radio 1 y altura 2, por lo que su volumen es: [
]
Luego, el volumen original del cubo es 2*2*2 = 8 [cm3]. Por ende, la razón es de 2/8 = 1/4. 49) ¿Cuál debe ser la medida del radio de una semiesfera, de tal manera que su volumen sea igual al de un cilindro recto de radio R y altura 2R?
a) b) c) √ d) √ e)
√
Sea “r” el radio de una semiesfera. Los volúmenes referidos son:
Se plantea la ecuación respectiva:
22
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√
50) Se tienen las siguientes rectas modeladas como ecuaciones vectoriales en el ( ) ( ) ( ) ( ) espacio: ( ) y ( ), con a y b números reales. Es verdadero que: a) Si , entonces es posible determinar el único valor de a. b) Los vectores directores pueden ser equipolentes. c) El módulo del vector unitario resultante de la suma de los vectores directores es 2. d) L2 puede pasar por el origen para algún valor de a y algún valor de b. e) Ninguna de las anteriores. a) Si las rectas son perpendiculares, entonces el producto punto de los vectores directores es cero. ( )( ) Es imposible determinar el valor de a, pues depende de b. b) Que los vectores directores sean equipolentes, significa que tienen idénticas componentes. Es decir: ( ) ( ) Se desprende que a = 3, por lo que: ( ) ( ) Para igualar la segunda componente, debe ocurrir que b = 7, pero al insertar este valor en la tercera componente, se produce una desigualdad. Por lo tanto, los vectores no son equipolentes. c) Falso, basta con una buena lectura, pues el módulo de un vector unitario siempre es 1. d) El valor de lambda debe ser -1, para que en la primera componente la suma sea cero. Luego:
Por ende, la aseveración es cierta.
51) Las aristas del ortoedro miden 3, 2 y 1 tal como se indica en la figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto A? a) (1,2,3) b) (2,1,3) c) (1,3,2) 23
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d) (2,3,1) e) (3,2,1) El punto A está a 2 unidades desde el plano YZ, 3 unidades desde el plano XZ y 1 unidad desde el plano XY. Por lo tanto, el punto A se representa como (x,y,z) = (2,3,1).
52) Es posible determinar el área de un triángulo si: (1) El producto de sus tres bases es B. (2) El producto de sus tres alturas es H. a) b) c) d) e)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) o (2) Se requiere información adicional
Recurriendo al concepto de área de un triángulo, se tiene que:
Entonces, si se multiplican las 3 áreas se obtiene: Sustituyendo: Por lo tanto, con ambas juntas es posible conocer el área del triángulo. Por separado es insuficiente, pues no se conoce la otra componente de la fórmula. 53) Es posible concluir que un triángulo ABC es equilátero si: (1) Su incentro coincide con su baricentro. (2) Tanto el ortocentro como el circuncentro están en el interior del triángulo. a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) o (2) e) Se requiere información adicional Analizando (1), cuando una bisectriz es simetral, se genera al menos un triángulo isósceles. Si las tres bisectrices son simetrales, entonces el triángulo pasa a ser equilátero. 24
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Con (2) por sí sola es insuficiente. Con dicha información se puede asegurar que el triángulo es acutángulo. 54) Si un punto ubicado inicialmente en el primer cuadrante de coordenadas (a,b), con a y b distintos de cero, sufre la siguiente transformación: 40 rotaciones sucesivas de -22,5° en torno al origen, ¿Cuáles son las coordenadas del punto resultante? a) (a,b) b) (-b,-a) c) (-b,a) d) (-a,-b) e) (b,-a) Las 40 rotaciones sucesivas en -22,5° es equivalente a realizar 1 rotación en -900°, equivalente a hacer 4 rotaciones en 360° y 1 en -180°. Por lo tanto, el punto resultante es (-a,-b) (simetría central respecto al origen). 55) Es posible determinar el número de lados de un polígono regular si: (1) Si se traslada 2[cm] en dirección perpendicular al plano del polígono, se genera un cuerpo de 27 aristas. (2) Desde cada vértice nacen 6 diagonales. a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) o (2) e) Se requiere información adicional Con (1) por sí sola es suficiente, pues al efectuar la traslación del polígono regular se genera un prisma, de n aristas por base, y n aristas laterales. Por lo tanto, 3n = 27, de donde n = 9, nonágono regular. Con (2) por sí sola también es suficiente, pues la cantidad de diagonales que nacen desde 1 vértice de un polígono de n lados es n – 3. Por lo tanto, n = 9. 56) Respecto a la recta de ecuación (
)
(
I) Pasa por el origen. II) Pasa por el punto (-3,5,4). III) Es perpendicular a la recta de ecuación (
)
) se puede afirmar que:
(
)
(
)
(
)
a) Sólo II b) Sólo III c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III 25
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I) Para que pase por el origen, lambda debería valer cero (ver tercera componente), pero las otras dos componentes se anulan, generando que la recta pase por (1,3,0). II) (-3,5,4) – (1,3,0) = (-4,2,4). Para generar este vector, el vector director debe multiplicarse por 2, por lo que la aseveración II es verdadera. III) Verificar que el producto punto de los vectores directores es cero. ( )( ) Son perpendiculares. 57) Un vendedor de plantas carnívoras ha comprado 100 maceteros idénticos, de radio mayor 20 [cm], radio menor 10 [cm] y altura 20 [cm]. Todos los debe llenar con tierra de hoja, la cual tiene un costo de $0,1 por [cm3]. ¿Cuánto dinero gastará el vendedor? (Suponga que ) a) $14.000 b) $140.000 c) $1.400 d) $1.400.000 e) Otro valor El volumen de un tronco de cono se puede obtener realizando una extensión auxiliar de la altura, hasta generar el cono original (se tiene un cono grande y uno pequeño). Luego, como los radios están en la razón 1:2, las alturas de dichos conos también están en la misma razón, por lo que la altura de extensión es 20 [cm].
Luego, se necesitan 1400000 cm3 de tierra, lo cual multiplicado por su precio (0,1), resulta $140.000. 58) En la figura, O1 es centro de la circunferencia que pasa por los puntos B, C y D. O 2 es centro de la circunferencia que pasa por B, D y O1 (no dibujada).Además se presenta una circunferencia que pasa por B, D y O2. El valor del ángulo y, en función de x, es: a) x b) 2x c) 3x d) 3x/2 e) 4x
El ángulo del centro DO_1B medirá 2x. Este último ángulo es el inscrito respecto al ángulo y. De esta manera, y = 4x.
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59) En un gimnasio se enfrentan dos equipos de voleibol (6 jugadores en cancha por equipo), ambos con altura media de 1,85[m] y de igual rango. Al respecto, ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es verdadera? a) Ambos equipos tienen la misma desviación estándar. b) Al menos 1 jugador de cada equipo mide 1,85[m]. c) En cada equipo hay 1 jugador de mayor altura que el resto. d) Los jugadores más altos de cada equipo miden lo mismo. e) Ninguna de las anteriores. De los equipos, se sabe que los 6 jugadores suman 11,1 metros. a) Es imposible asegurar que tienen la misma dispersión, pues si el rango es mayor a cero, faltaría información de 4 jugadores de estatura no superlativa. b) No es posible asegurarlo, pues las 6 estaturas pueden diferir de 1,85, y su promedio puede ser 1,85. c) Tampoco es posible asegurarlo, el rango puede ser cero, o bien, pueden haber 2 o más jugadores de altura mayor que el resto (el rango toma el valor más alto y más bajo, independiente de su frecuencia). d) No es posible asegurarlo, pues el rango entrega la diferencia entre altura máxima y mínima. 60) Juan inscribió la asignatura “Estadística”, la que es evaluada con 3 pruebas, con ponderaciones 20% (primera prueba), 40% (segunda prueba) y 40% (tercera prueba). Si las notas, por reglamento, fluctúan entre 0 y 100, la nota mínima exacta de aprobación del curso es 60, y además sus notas en las dos primeras pruebas fueron un 30 y 40, ¿qué nota debe obtener como mínimo en la tercera prueba para aprobar el curso? a) 90 b) 92 c) 94 d) 95 e) No necesita nota. Si obtiene un 100, reprueba inevitablemente. Se plantea el cálculo de la media ponderada:
61) La siguiente tabla muestra la frecuencia absoluta para cada dato numérico. Se puede determinar el valor de X si: dato frecuencia 2 1 4 4 6 X 27
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(1) La media aritmética es 6. (2) Y = 6.
8
Y
a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) o (2) e) Se requiere información adicional Si la media aritmética (promedio) es 6, entonces:
Es imposible conocer X con (1) por sí sola. Con (2) por sí sola tampoco es suficiente, pues X tiene libertad de valor, no existe criterio para definirlo. Ambas juntas tampoco es suficiente, pues la variable x se cancela al resolver la ecuación. 62) La siguiente tabla muestra la cantidad acumulada de personas en ciertos rangos de edades. Al respecto, es(son) falsa(s): I) Si en el rango [30,40[ hay 14 personas, se convierte en el intervalo modal. II) Si en el rango [30,40[ hay 16 personas, el intervalo mediano es [30,40[. III) Si la frecuencia relativa porcentual del intervalo [30,40[ es 34%, entonces obligatoriamente hay 5 personas en el intervalo [40,50[. Edad a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III
[20,30[ [30,40[ [40,50[ [50,60[ [60,70[
Frecuencia absoluta acumulada 12 34 50
I) Falso, pues uno de los dos últimos intervalos pueden tener frecuencia absoluta 15 o 16, y dejaría de ser intervalo modal. II) Las frecuencias absolutas ordenadas serían 12 – 16 – 6 – x – y. Con x + y = 16. Realizando descarte hasta la llegada al término central, los 22 del extremo derecho se descartan con los 12 y 10 del segundo intervalo. Así, la aseveración es verdadera. III) 34% = 34/100 = 17/50. Se tienen 29 acumulados hasta el segundo intervalo, por lo que el tercer intervalo tendrá frecuencia absoluta igual a 5.
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63) Tamara tiene un promedio 4,5 en Matemáticas. Debido a que los promedios del resto de sus asignaturas son mucho mayores, su profesor decide aumentar en 3 décimas cada nota de la asignatura. Al respecto, se puede afirmar que: a) La desviación media cambia. b) La mediana se mantiene. c) El promedio se mantiene. d) La varianza se mantiene. e) Ninguna de las anteriores. Si todas las notas aumentan su valor en una misma cantidad, sólo se mantiene la dispersión.
64) Se tiene el siguiente set de datos: a, b, c, d, a + 2. Es posible determinar la mediana de los datos si: (1) b > c > d (2) d > a a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) o (2) e) Se requiere información adicional Con (1) no es suficiente, pues se desconoce la posición de a y a + 2. Con (2) es insuficiente, falta información del resto de los datos. Ambas juntas sucede que es posible ordenar a, b, c y d, pero a + 2 no tiene una posición definida. Por ende, es imposible determinar la mediana. 65) De acuerdo a la Ley de los Grandes Números se realizan las siguientes afirmaciones. I) II) III)
Si un evento se repite una gran cantidad de veces, entonces las probabilidades muestrales serán mayores a las probabilidades teóricas. Si un evento se repite un gran número de veces, entonces no es posible afirmar que las frecuencias muestrales coincidan exactamente con las probabilidades teóricas. Si un evento se realiza un número elevado de veces, las frecuencias muestrales irán acercándose a las probabilidades teóricas conforme aumente el número de repeticiones del experimento
De ellas, es(son) siempre verdadera(s)
29
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a) b) c) d) e)
Solo Solo Solo Solo Solo
I III I y II I y III II y III
La Ley de los Grandes números establece que si un experimento se realiza en una cantidad enorme de veces, la frecuencia relativa de cierto suceso se aproxima cada vez m´s a la frecuencia relativa teórica (probabilidad teórica). Así, sólo III es verdadera. 66) Se tiene el siguiente set de datos: 1 – 1 – 2 – 2 – 2 – 2 – 3 – 3 – 3 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4 – 5 – 5 – 5 – 5. El valor del percentil 50 es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 3,5 e) 4 El percentil 50 coincide con la mediana de los datos, igual al promedio entre 3 y 4 = 3,5. 67) Se lanzan dos monedas cargadas una vez. Para ambas monedas, la probabilidad de que salga cara es el 50% de la probabilidad de que salga sello. Un juego consiste en que se ganan $400 si salen dos caras, y se ganan $100 si sale al menos 1 cara. ¿Cuánto debe ser el monto de pérdida si salen dos sellos, considerando un juego justo? a) $200 b) $600 c) $400 d) $800 e) $100 Si el juego es justo, entonces la esperanza matemática es igual a cero. Además, P(cara) = 1/3 y P(sello) = 2/3. Por ende: De donde x = -200. 68) Javiera rinde una prueba de 20 preguntas de 5 alternativas cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente a 12 preguntas, si en total contestó 18? a)
( )
( )
b)
( )
( ) 30
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c)
( ) ( )
( )
d)
( ) ( )
( )
e) (
) ( ) ( )
( )
La probabilidad de que Javiera acierte a 12 preguntas y erre las 6 restantes es (1/5)^12 * (4/5)^6. Además, contestó 18 de 20, por lo que la cantidad de maneras en que pudo contestar 18 preguntas se determina gracias a que se trata de una combinación sin repetición (no importa el orden de las preguntas contestadas): (20 sobre 18). Por otro lado, de las 18 contestadas, tuvo 12 buenas, que pueden combinarse: (18 sobre 12). Por lo tanto, la probabilidad total viene dada por la opción E. 69) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 5 personas en 5 sillas en torno a una mesa circular? a) b) c) d) e)
120 60 24 12 6
Se tiene una permutación circular de 5 elementos: (
)
70) En un cierto país, las patentes vehiculares tienen 2 grupos de caracteres: un trío de consonantes repetibles (se excluyen las letras Ñ, Q, CH y LL) (de BBB hasta ZZZ) y un cuarteto de dígitos repetibles (de 0000 hasta 9999). ¿Cuántas placas patentes diferentes se pueden obtener si se fija el trío de letras BBB? a) 1.000 b) 10.000 c) 100.000 d) 715 e) 6561 En cada posición de números pueden ir las 10 cifras. Se tiene una variación con repetición, pues el orden numérico sí importa.
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71) En un bar hay 8 mujeres y 3 hombres. Si 3 mujeres y 1 hombre usan lentes, ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar una persona al azar, ésta use lentes, sabiendo de que es mujer? a) 8/11 b) 3/11 c) 1/8 d) 3/8 e) 5/8 Probabilidad condicional: (
)
(
) (
)
72) La probabilidad de que una bicicleta resbale dado que está lloviendo es 60%. Si la probabilidad de que llueva es 30%, ¿Cuál es la probabilidad de que llueva y resbale en la bicicleta? a) 18% b) 20% c) 30% d) 50% e) 90% Aplicando probabilidad condicional: ( (
)
(
) (
)
)
73) Sean A y B eventos mutuamente excluyentes. Si P(A) = P(B) = 0,3, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sucesos ocurran? a) 1 b) 0,6 c) 0,09 d) 0,3 e) 0 De inmediato la probabilidad es cero, pues si son eventos mutuamente excluyentes, la ocurrencia de uno implica la NO ocurrencia del otro. Por ende, no pueden ocurrir juntos. 74) Se puede saber el número de helados de 3 bolas que se pueden crear si: (1) Las 3 bolas son de sabores distintos. (2) Hay 10 sabores disponibles. 32
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a) b) c) d) e)
(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) o (2) Se requiere información adicional
Con (1) no es suficiente, se desconoce la cantidad de sabores disponibles. Con (2) no es suficiente, pues no se sabe si las 3 bolas deben ser distintas entre sí, o si se pueden repetir. Ambas juntas sí es posible, bajo una combinación sin repetición (si se tiene un helado de bolas ascendentes A, B y C, es el mismo que si las bolas fueran de sabores B, C y A, por ejemplo. 75) La siguiente tabla muestra la función de distribución de probabilidad asociada a la variable aleatoria discreta X. X P(X≤w)
1 0,07
2 0,25
3 0,35
4 0,56
5 0,88
6 1
A partir de ello, P(X = 5) es: a) 0,12 b) 0,32 c) 0,88 d) 0,20 e) Ninguna de las anteriores. Notar que la tabla muestra probabilidad acumulada. Las probabilidades absolutas son: 0,07 – 0,18 – 0,10 – 0,21 – 0,32 – 0,12. Por lo tanto, P(X = 5) = 0,32. 76) La siguiente tabla muestra la variable aleatoria X, que representa el número de infracciones por mal estacionamiento en Concepción. También se muestran las distribuciones probabilísticas para X: X P(X = x)
1 0,1
2 0,3
3 0,3
4 0,2
5 0,1
La varianza de X es: a) b) c) d) e)
2,9 8,41 1,29 9,7 Otro valor 33
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Para calcular la varianza, se requiere el valor esperado. El valor esperado de X viene dado por: La varianza de X viene dada por:
77) Los volúmenes de bebida en botellas se distribuyen de forma normal, con media 500 [ml] y varianza 4 [ml2]. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que una botella contenga 504[ml] o más? a) b) c) d) e)
97,5% 4,5% 2,3% 95% 5%
La desviación estándar es de 2, por lo que la distribución es normal de media 500 y desviación estándar 2. El dato 504 está a 2 desviaciones estándar de 500 (z = 2), por lo que, según la tabla figurante en las instrucciones de este ensayo, P(Z<=z) = 0,977. Así, la probabilidad de que la botella tenga 504 o más [ml] es complementaria: 1 – 0,977 = 0,023 = 2,3%. 78) Si un conjunto de datos se distribuye de forma normal con media -5, es posible conocer la desviación estándar de ellos si: (1) La variable normalizada o estandarizada se expresa como
, con
un
dato. (2) La varianza es igual al cuadrado de -3. a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola c) Ambas juntas, (1) y (2) d) Cada una por sí sola, (1) o (2) e) Se requiere información adicional Con (1) sí es suficiente, pues se muestra la normalización, cuyo denominador muestra la desviación estándar. Con (2) es suficiente, pues la varianza es 9, y la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es decir, 3. 79) Si se tiene un set de datos que se distribuye de forma normal N(0,1), ¿a cuántas desviaciones estándar de distancia están los datos que equidistan del cero, y entre ellos contemplan un área bajo la curva de 0,95?
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a) 2,00 b) 1,96 c) 1,00 d) 0,98 e) 2,50 Por teoría, el 95% de los datos alrededor de la media es fronterizado por z = -1,96 y z = 1,96. 80) Una máquina llenadora de sacos de urea entrega un promedio de 50 [kg] y una desviación estándar de 1 [kg]. Se toman aleatoriamente 100 sacos llenos, los cuales son pesados con tal de ser aceptados o rechazados en función del intervalo de confianza correspondiente. Al respecto, siempre se puede afirmar que: I) Si el nivel de confianza es de un 98%, un saco de 50,2 [kg] es rechazado. II) Si la desviación típica se duplicara (uso de otra máquina), un saco de 50,4[kg] sería aceptado. III) Si el tamaño de la muestra disminuye a 36, un saco de 50,3 [kg] sería aceptado bajo un 95% de confianza. A) Sólo III B) Sólo I y III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna El intervalo de confianza se determina por:
√ Con z el valor z de acuerdo a la significancia, s la desviación estándar muestral y n el tamaño de la muestra. I) Note que si el % de confianza fuese 95,4%, el valor z es igual a 2, por lo que se aceptaría un saco de masa máxima 50,2 [kg]. Por lo tanto, si el porcentaje de confianza es 98%, entonces la masa máxima permitida es mayor que 50,2, por lo que se aceptaría. Así, I) es falsa. II) Falso, se desconoce el porcentaje de confianza. III) El nuevo intervalo de confianza será: Por lo tanto, la masa máxima permitida es 50,32666…, mayor que 50,300, por lo que el saco es aceptado.
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