PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA DERIVADA
MARITZA LUCIA RAMOS MARIN
UNIVERSIDAD LIBRE SECCIONAL PEREIRA FACULTAD DE INGENIERIA PEREIRA, MAYO 23 2012
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA DERIVADA
MARITZA LUCIA RAMOS MARIN
Trabajo presentado al profesor Bernardo Patiño en la asignatura de Cálculo Diferencial como requisito para optar a la nota requerida. requerida.
UNIVERSIDAD LIBRE SECCIONAL PEREIRA FACULTAD DE INGENIERIA PEREIRA, MAYO 23
2012
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA DERIVADA
1. Se desea construir una caja rectangular rectangular con una pieza de cartón cartón de 24 pulgadas de largo por 9 de ancho cortando cuadrados idénticos con las cuatro esquinas, y doblando los lados. Encuentre las dimensiones de la caja de máximo volumen. ¿Cuál es ese volumen?
Solución: Sea X el lado del cuadrado que se va a cortar; V el volumen de la caja resultante. Luego: V=x (9-2x) (24-2x) = 216 x – 66 x2 + 4x3
X no puede ser menor que cero ni mayor que 4.5 o sea que se debe maximizar V sobre el intervalo [0,4.5]. Los puntos estacionarios se encuentran igualando a cero la derivada de y resolviendo la ecuación resultante: V’ (x) = 216-132x + 12x2 = 12 (18-11x+x2) V’ (x) = 12 (9-x) (2-x) = 0 (9-x) = 0X=9 y (2-x) = 0 X= 2 Como 9 no está en el intervalo solo se toma 2. Luego hay 3 puntos críticos que son: 0, 2, 2, 4.5. En los puntos puntos frontera V (0) = 0 y V (4.5)= 0; en 2 el volumen V= 200. Se concluye que la caja tiene un volumen máximo de 200 pulgadas cúbicas cuando X=2 o sea que la caja tiene 20 pulgadas de largo, 5 pulgadas de ancho y 2 pulgadas de alto o profundidad. 2. Un volante debe contener contener 50 pulgadas cuadradas cuadradas de material impreso con 4 pulgadas de margen arriba y abajo y 2 pulgadas de margen a los
lados. ¿Qué dimensiones debe tener el volante para que gaste menos papel?
Solución: Sea X la anchura y “Y” la altura del volante su área será A=XY. Las dimensiones del texto serán: X-4 de ancho y Y-8 de largo. Como el área es de 50 pulgadas pulgadas cuadradas, cuadradas, entonces el área será 50= (x-4) (y-8) despejo Y y queda: Y= +8 por lo tanto el área será: A= + 8x. Los valores permitidos serán X>4 o sea (4, ∞).Derivando = +8= ; igualando a cero =0
X= -1 y X= 9 como X tiene que ser mayor que cuatro ( X>4) el valor X= -1 no es permitido; entonces el área alcanza su mínimo valor cuando X=9 por lo tanto Y=18. Así que las dimensiones del volante en que se usara la mínima cantidad de papel son 9 x 18 pulgadas. 3. Se tienen 100 m de tela de alambre con la cual se planea construir construir dos corrales adyascentes idénticos. Cuáles son las dimensiones del cercado total para el que es máxima el área.
Solución: Sea X el ancho y “Y” la longitud del cercado total; entonces 2y+3x=100
y=
–
además 0
x
y = 50 -
como A=XY A = x (50 -
hay que maximizar en [0, ]
) = 50x - ;
derivando A queda:
= 50 -3x; luego 50-3x=0
para X = 0 y X=
x = . Los puntos críticos son 0,
el área A = 0; para X =
lo tanto las dimensiones son X=
,
produce A = 416.67 por
y Y = 25 m.
4. Se va a cortar una viga rectangular de de un tronco de sección sección transversal transversal circular. Si la resistencia de una viga es proporcional al producto de su anchura por el cuadrado de su altura; encuentre las dimensiones de la sección transversal que da la viga de mayor resistencia.
Solución: El diámetro del tronco es “a”, la anchura de la viga es “X” y la altura “Y”.
Se maximiza a S, o sea, la resistencia de la viga que está dada por S = KXY2 donde K es una constante constante de proporcionalidad. La resistencia depende de las dos variables X y Y en donde a2 =X2 + Y 2 Y2 = a2 -X2 Luego S= KX (a2-X2) S = KXa2 KX3. Los valores admisibles de X –
= K a2 – 3 KX2 = 0 K (a2 – 3 X2) = 0 X2 = critico de (0, a) es probable que de X= √ como √ es el único punto el máximo de S, al sustituir a X = √ en Y2 + X2 = a2 Y = √ √ son 0 < X < a
5. Se quiere cercar cercar un lote rectangular de 800m2 de área. Si uno de los lados está sobre la orilla recta de un río. ¿Cuáles son las dimensiones del lote para que la longitud de la cerca sea mínima?
Solución: Supongamos que X es el ancho de la cerca. Como A = X Y y A = 800 es el largo. La longitud de la cerca total está 800 = X Y Y =
y es la dada por: L = 2X + . Ésta se puede expresar: L = ) ( ) que se minimiza L =0 L = =0 2 2 ’
’
2 X – 800 = 0 X = ó X = 0 X = 0, se descartan los valores 0 y – 20. Para comprobar que X=20 es valor mínimo relativo se halla la segunda derivada, o sea, L ” (20) > 0. Si X = 20 = = 40.
6. Se requiere construir construir un envase cilíndrico de base circular cuyo cuyo volumen 3. es 125cm Hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de la lamina empleada (área total) sea mínima.
Solución:
R = Es el radio de la base base en cm. cm. H = La altura del cilindro en cm A = Material gastado
A = + 2 R2 1 V = r 2 h = 125 cm3, entonces la función que se minimiza es la 1 que tiene variables ( R y h) despejamos h de la ecuación del volumen y reemplazamos h. h =
.Se minimiza ( ) = 0 = así: A’= ; R2 =0 R= 0, se descarta a R= 0 R = √ R = h = √ √ que se deduce de h= .
R. + 2 R ; A= + 2R 2
A=2
2
A=
7. ¿Cuáles son las dimensiones de un cono con área de superficie 10
que encierra el mayor volumen? [Indicación: Área de superficie = (h2+r 2)1/2; volumen = 1/3 r 2 h]
Solución: La cantidad que se debe maximizar es el volumen
V=
, se resuelve para h en términos de r y queda: h= , y luego se reemplaza a h en se deriva y se . así: V = iguala a cero así: V (r) = V (r) = 100-3r 0 r = √ h= √ √ = √ √ √ √ r = = h= √ √ =2 √ √ √ Luego las dimensiones de r y h son: r = = y h = 2 El área de la superficie es: 10
’
’
2
4
=
8. Un silo consta de un cilindro con una parte superior hemisférica. Hallar
las dimensiones del silo con un volumen fijo de V = 40 menor área de superficie. Inclúyase al piso.
que tiene la
Solución: Se toma el volumen del hemisferio y del cilindro y las áreas de cada uno. . El El volumen de una esfera es: V = y su área es A= 4
volumen de un cilindro esta dado por: VC = superficie del cilindro incluyendo su base es:
AC = V=
. Luego el volumen del silo h y su área por: A= 2 r +2 rh+
2
2
y el área de la esta dado por: 2 A= (3r +2rh).
Hay que minimizar el área y despejar h del volumen que es fijo entonces: = ,y se sustituye en el área:
)= ( ), se deriva A (r) = ( ), si A (r) = 0 10r 80 = 0 10 r = 80 r =8 r = √ ; luego h = h=2 y r=2 A=
’
’
3
3
3
–
R: luego el silo tiene radio 2 y altura 2.
9. Se va a fabricar un recipiente cilindrico abierto, de volumen de 1pie 3.Halla
las dimensiones que minimizan el area del material usado en su construcción.
Solución: de r para allar h en función A= + =
El area del material sera: A= se tiene que V= y V=1h =
A (r) = 2 Se iguala a cero 2 = 0 – = 0 r = pies; reemplazo en h y queda h= = = = * + √ = pies. Se deriva A con respecto a “r”
A’ (r) =-
’
10. Hallar las dimensiones del cono circular recto de área maxima de
superficie que puede inscribirse en una esfera de aradio r = 1
Solución: de acuerdo a s la figura S= √ A= .Como la esfera tiene un radio 1 entonces h = 1 + x = 1 + . Aqui hay dos posibilidades: Escoger El area del cono es: A =
donde “ ” es la generatriz
como variable a “x” o en la variable r. Al reemplazar el area en funcion de r se hace mas complejo por lo tanto se reemplaza en funcion de x. Luego: x2 = 1- r 2 r 2 = 1 – x2 A2 =
A = A = 2 = 2 ( )= 0 2 2
2
1+x = 0 x=-1 . El valor -1 no es valido por lo tanto se toma x= h= 1+ = . r = ( = √
x=
11. Un hombre esta en un bote y se encuentra a 24km de distancia de una
playa recta y desea un punto situado a 20Km de la playa. Puede viajar a 5Km por hora en el bote y a 13Km por hora en tierra. ¿En que punto debera atracar el bote con el objeto de minimizar el tiempo que se requiera para llegar al destino deseado?
Solución: Tomese x el numero de Km desde un punto P recoger a 5 Km/h es:
la distancia que debe
t = la distancia que recorre a lo largo de la playa es: d 2 = 20-x o sea que t2 = d t2 = .El tiempo total sera: tr = t 1 + t2. ,derivando esta expresion queda: tr= - .Se iguala a cero - = 0 169x2 = 25 x2 = 13x = 5 = 100 x= √ 2 = 10Km. x = d1 = o sea que el tiempo sera: t =
12. Un cartel debera contener un área impresa de 150 cm 2, con margenes
de 3 cm en la parte superiro e inferior, y 2cm a cada lado. Hallar el área minima total.
Solucion: Se toma x y a “y” las dimensiones del área impresa del carte l. Luego el área total esta dada por: A = (x+4)(y+6) pero como A I = 150cm2 luego el área total sera: sera: A = (x+4)( ) = xy= 150 y= 174+6x+600x-1.Se deriva para minimizar y queda: A ’ (x)= 6-600x-2 , se iguala a cero A’ (x)= 6-600x-2 =0 6x2 – 600= 0 x2 = = 100
x=10 luego y = = 15. Luego el cartel medira : y = X= 10+4 = 14 de ancho por y = 15+6 = 21 de largo.
13. Se necesita cortar y doblar un pedazo cuadrado de cartón de 1 metro
por cada lado para formar una caja que no tenga parte superior (habrá que recortar pequeños cuadrados en cada esquina). Hallar las dimensiones de la caja que contenga el mayor volumen.
Solución: Se debe maximizar el volumen: V =W2h donde h y W se relacionan así: 2h +W = 1 h = . V=
Se deriva con respecto a W y queda V = W - W Si se iguala a cero W-W =0 W (1- ) = 0 W = 0 y W = . El máximo queda para 0
’
(W)
2
14. Hallar el punto sobre la grafica de y= x 2 +1 que este más cercano al
punto (8,3/2). S
Solución: Tómese un punto de la parábola P(x, y)= (x, 1+x 2). La formula de la distancia entre dos d= s=
puntos
, o sea que de P a (8,3/2) se tiene:
es
* +
Esta * + Esta
S = = es la distancia que se debe minimizar se eleva al cuadrado y se deriva así: S2 = =
x = 4 x= √ el punto P seria = (√ . ( √ , 1+
3
15. El grosor de un empaque de cartón es el perímetro de un extremo. Las
restricciones de embarque requieren que la suma del grosor y la longitud no exceda 100 pulgadas. Hallar las dimensiones del embalaje con un extremo cuadrado que tenga el mayor volumen.
Solución: Se toma un extremo como cuadrado de lado x pulgadas y L pulgadas su longitud, de acuerdo al enunciado enunciado L+4x debe ser ser menor menor o igual a 100 L+4x = 100 o sea que x debe ser mayor que cero pero menor que 25 L = 100-4x luego el volumen será: V= x2 L = x2 (100-4x) ’ 2 3. 2 V=100x - 4x Al derivar se tiene: V (x) = 200x-12x , se iguala a cero:
2
V’(x) = 200x-12x = 0
Luego x = L=
pulgadas.
L= 100-4x
x (200-12x) = 0
X=0
.
x=
16. Para el embalaje del cartón del problema anterior, suponga que el
paquete es cilíndrico (es decir, el extremo es un circulo)
Solución: Se toma un cilindro de radio r y longitud L. El perímetro de la circunferencia es 2
0
’
(r)= ’
(r)
pulgadas L= 100-
r=
pulgadas.
17. Hallar las dimensiones del cilindro de mayor volumen que encajaría
dentro de un cono de radio de 3 y de altura 5. Suponer que los ejes del cilindro y del cono coinciden.
Solución:
Se debe maximizar el volumen del cilindro V= figura se toma:
. De acuerdo a la
El
ABC BED
Luego =
=
h=5-
se deriva : V ’(r) = 10
ED= h
AB= 3 AC= 5
EB= 3-r
V=
,se iguala a cero
r = 0 y r = 2 si r = 0
v= 0 y r=3
v=0
R=2 y h= 18. Considere un triangulo rectángulo con sus catetos sobre los ejes
coordenados, cuya hipotenusa pasa por (4,3). Hallar el área mínima que pueda encerrar tal triángulo.
Solución: Para hallar el área, primero se obtiene la longitud de la base. La recta que pasa por el punto (o, b) y (4,3) es: Y =
⁄ .
esta recta tiene intersección con x en
La variable b debe ser mayor o igual a 3 o sea b A (b) = se iguala a cero b=0 y b=6 A (6)= El área mínima debe ser de 24. Luego el área del triangulo es: A=
’
19. Considere círculos que tienen el centro sobre el eje positivo x, y que
pasan por el punto (0, a) donde a > 0. Entre tales círculos, ¿Cuál es el centro (x, 0) que maximiza la razón entre x y el área del circulo?
( X,0)
Solución:
La razón entre x y el área del circulo es R= pero x y r están relacionados por la ecuación pitagórica a2+x2 = r2. De acuerdo a esta expresión la razón está dada por: R = se deriva esta razón y
queda: R (X)= Se iguala a cero 2 2 ’
x =a
r azón R. x=a o sea que x=a produce el máximo valor para la razón
20. ¿Qué numero positivo minimiza la suma entre él y su reciproco?
Solución:
X2 = 1
Sea X el numero y es su reciproco x Se deriva deriva y se iguala a cero.
S’(x) = 1-
X=1
= 0
la suma S = x +
donde
21. Hallar las dimensiones del triangulo isósceles de área máxima que
podría inscribirse en un circulo de radio a.
Solución:
El área del triangulo es: A = bh donde h = a + y tomando la figura
√ y b=2x y=
luego el área queda:
(√ ) √ se deriva y se tiene A =a+ A = a A =a = 2 a = 4x -4 a x +a 4 x - 3 a x = 0 x (4 x -3 a )= 0
A = x ’
(X)
’
2
4 x2= 3 a2
’
(X)
4
x=
2 2
√
4
4
2
(X) 2
2
2
o sea que el área máxima del triangulo será
√ cuando x = siendo así; h = a+ y b=2 √ b=
2
o sea
√
22. Se necesita cortar un alambre de 100 pulgadas de longitud de dos
pedazos. Un pedazo deberá doblarse para formar un cuadrado, mientras que el otro formara un círculo. ¿En donde debería hacerse el corte si la suma de las dos áreas debe ser se r minina?
Solución: Se toma un pedazo del alambre con el que se forma el círculo y que llamamos x. Luego el cuadrado se hará con 100-x, o sea el perímetro del círculo será 2 y perímetro del cuadrado 4S o sea S =
El área del circulo A 1= y área del cuadrado A2= S2 o sea A2 = Se deriva A1= = . El área total es: A= A 1+ A2 A= + e iguala a cero: A = - =0 4x- (100 - x)= 0 x (4+ ) = 100 X = o sea que en A = - = A, tiene un mínimo en
4s =100-x S =
’
’
23. Una bodega rectangular tendrá dos cuartos rectangulares separados por
una pared interior y el piso deberá tener 5.000, metros cuadrados de área. El costo de las paredes exteriores es de $ 150 por m lineal, y el costo de las paredes interiores es de $90 por m lineal. Hallar las dimensiones de la bodega menos m enos costosa.
Solución: Se toma xm el ancho y largo ym o sea, el área será A= xy = 5000m2 el costo será C= 150(2x+2y)+90x en términos de x será. C= 390x+30 derivando C’(X) = 390-1500000 X -2=0
X2 =
x = 100
luego y = 50
24. Un automóvil va por una autopista hacia el oeste. 90 metros al norte de
ella esta estacionada una patrulla de la policial vial. El patrullero observa el radar y ve que el automóvil esta a 150 m de distancia de la patrulla y que la distancia que los separa está aumentando a razón de 72 m por segundo. Hallar la velocidad del automóvil en ese instante.
Solución:
72; se busca y2+902 = x2 se deriva con respecto al tiempo t implícitamente 2y y = 1 Cuando x = 150,
Cuando x= 150, y 2+902=1502 .Así que que y= 120. 120. Debe hallarse y=120 y
=
72. Al hacer. las sustituciones en 1
cuando se tiene:
o 120 = 90m/seg 25. Si y= -x2 y durante todo el tiempo t. Hallar 120
X=2
Solución: Se toma la función y se deriva implícitamente y = -X 2 como
Cuando x= 2
. Se
deriva de nuevo
.
26. Un hombre de 5 pies de estatura se aleja de un poste de alumbrado a
razón de 7 pies/seg. El farol del poste esta a 20 pies del suelo. Hallar la tasa a la cual se mueve el extremo de la sombra del hombre cuando este se encuentra a 8 pies del poste.
Solución:
Tomando la figura y el problema dice que =7 y pide hallar Para relacionar x y y se toma la semejanza entre los triángulos de la figura luego 3z = 4x y 3 como entonces
3
27. Cada uno de los lados de un estadio de beisbol mide 90pies. Si la pelota
se batea por la línea hacia la tercera base con una velocidad de 100 pies por segundo. ¿Con que rapidez está cambiando la distancia entre la
pelota y la primera base cuando la pelota se halla a mitad del camino hacia la tercera base?
Solución:
El enunciado plantea que y pide hallar cuando x = 45. Por Pitágoras se tiene: X2 + 902 = Y2 se deriva con respecto al tiempo: 2x = 2y ; cuando x = 45 452 +902 = y2 así que y = 45
√ )
2(45)(100)= 2(45
cuando x = 45
= 20√ pies/seg.
√
28. Un aviso rectangular que tiene 24m de ancho y una profundidad no
pertinente, da vueltas sobre un eje vertical que pasa por su centro a razón de 5 revoluciones por minuto. Una persona que observa a distancia el aviso lo ve como un rectángulo de ancho variable. ¿Con que rapidez está cambiando el ancho aparente del aviso cuando este tiene 12m de ancho, según lo ve el observador, y su ancho está aumentando?
Solución: W es el ancho del aviso. El enunciado plantea que el aviso gira a razón del 5 rev/min. Luego = 10 rad/min. Se halla la relación entre y según la figura W= 24 . Se deriva con respecto al tiempo implícitamente = 24cos .Cuando w= 12 .Dado que el ancho del aviso está aumentando,
.
en
consecuencia
29. Se está vaciando arena sobre un montón de forma cónica a razón de
20 m3/min. La altura del montón es siempre igual al radio de su base. Cuando el montón tiene 3 metros de altura ¿Con que rapidez está aumentando su altura?
Solución:
como r = h entonces V= como = 20 cuando h=3 20=
El volumen del cono es V=
= .
Se deriva
30. Considere un triangulo rectángulo
variable en un sistema de coordenadas rectangulares. El vértice A es el origen, el ángulo ángulo recto esta en el vértice B sobre sobre el el eje y el vértice C esta sobre la parábola parábola y= x2+ 1. Si el el punto punto B comienza comienza en (0, 1) y se mueve mueve hacia arriba a una tasa tasa constante de 2 unidades/seg. ¿Con que rapidez esta aumentando el área del triangulo cuando t=7/ 2segundos? 2segundos?
Solución: Cuando B esta en (0, y), c debe estar en el punto (x, y), en donde
X
2
+ 1 = y es decir: X=
* +el área del triangulo es
* + .Derivando con respecto a t se tiene: = * + * + = * + +* + = * + * + Como B comienza en (0, 1) y se mueve hacia arriba = 2 cuando t = ; y = 1+ en ese instante = * + (2)+ * + (2) .
A =
31. Una partícula se mueve a lo largo de la parábola y=x 2. ¿En que punto de
su recorrido están la abscisa y la ordenada de la partícula cambiando a la misma velocidad? Solución: Para que la velocidad sea la misma en “ y” y en x debe cumplirse que:
luego terminando la función y=x2 = 2x , Para que se cumpla la condición 2x debe ser igual “1” (uno) o sea, 2x= 1 x= = luego las coordenadas serán . 2 y = x y= 32. Considere una arandela de caucho que está siendo comprimida. En un
determinado momento se obtienen las siguientes medidas: El diámetro externo de la arandela es de 3 cm; su diámetro interno es de 1 cm; el grosor de la arandela disminuye a una tasa de ¼ cm/min; y el diámetro externo esta aumentando aumentando a una tasa tasa de 1/2cm/min. Si el volumen volumen de la 3 arandela se mantiene en cm en todo momento. ¿A qué tasa está cambiando el diámetro interno en el instante en que se toman medidas?
Solución: Sea V el volumen, el grosor G, el diámetro interno H y el diámetro externo D de la arandela están relacionadas por:
[ [ ] = se deriva con respecto al tiempo = = ; = D=3; H=1. Es necesario hallar G, luego queda que como el volumen siempre es igual a en todo momento = 0 y G se puede hallar tomando V= G (8) G = G= .Luego reemplazando en la derivada: 0 = 0 = - + - = = - = - R= - cm/min. V= G
33. Sean A, D, C y r el área, el diámetro, la circunferencia y el radio de un
circulo, respectivamente. En un determinado instante, r =6 y =3 cm/seg. Hallar la tasa de variación con A respecto a: a) r b) D; c) C y d) t. Solución: El área de un círculo esta dado por: a) A = derivando =2 cuando r = 6
b) El diámetro D es igual a 2r =
cm2/seg
A=
=r
= = 12
ambas y A= se derivan = = 2
c) La longitud de la circunferencia C = 2 con respecto a c =2 y 1=
2/seg cuando r =6 = 6cm
=
d) Derivaciones A =
=
respecto a t.
; pero r=6 =3
y
cm /seg 2
=2
34. Dos motocicletas que viajan de noche en dirección opuesta por una
carretera de doble vía están aproximándose la una a la otra. Cada moto va por el centro de su respectivo carril y los centros de los carriles están a 10 metros de distancia uno del otro. La motocicleta, que viaja hacia el oeste esta desplazándose a razón de 25m/seg. La motocicleta que viaja hacia el este se desplaza a razón de 30m/seg y la luz de su faro proyecta la luz de la otra motocicleta sobre la carca que bordea la carretera, a 20 metros del centro del carril contrario ¿Con que rapidez se mueve la sombra que proyecta la cerca de la motocicleta que viaja en dirección al Oeste?
Solución: Se halla
.El enunciado dice que
de triángulos en la figura se tiene. se sustituye las cantidades conocidas.
2
-
=3
2(-30) = 3(25)-
=
= -30 y
= 25 .Por semejanza 2z=3y-x se deriva y
= 135m/seg
R= la sombra se mueve m ueve a razón de 135m/seg.
35. Un farol de alumbrado público tiene 20 pies de altura y esta a 5 pies de
la acera. Si un policía que mide 6 pies de estatura camina sobre la acera a razón de 4 pies/seg, ¿Con que rapidez está cambiando la longitud de su sombra cuando él está está a 13 pies de distancia de la la base del poste de alumbrado?
Solución:
Se halla cuando x=13. El enunciado dice que =4 se verifica que y y z estén relacionadas por dos ecuaciones, la primera de las cuales es por Pitágoras. Y2 = X2 = 25 o Y2 + 25 = X2. Por semejanza de triángulos = 7z=3x
reemplazando a x 2 En el de Pitágoras queda:
x=
=
Y2 + 25 = 2y
y2 + 25 =
también se halla y y z cuando x=13
derivada queda: 2(12)(4)=
derivando con respecto a t queda:
y = 12; 7z = 3 (13)
z=
Y2 + 25 = 132
= 4 reemplazando en la pies/seg. como
36. Hallar las dimensiones del cono circular recto del volumen mínimo o que se puede circunscribir en una esfera de 8 cm de radio.
Solución: Sea x el radio de la base del cono y+8 .La altura del cono, como los triangulo A E D y A B C son semejantes, se puede establecer las X= siguientes relaciones: = = , el
volumen del cono esta dado por V
√ = h
√
donde r = x
2 2 = X X = y h = y+8 .Luego V= = V= derivando queda V = = 0 Y = - 8 y Y = 24 2
X2 =
’
3(Y-8) = 0 Y = 8 que deben analizarse pues V ’ (-8) y V’ (8) deben descartarse luego se toma Y = 24 .Luego la altura del cono es y+8 = 24+8 = 32; el radio de la l a base será: X=
= √ √
=
√
=8
√ .
37. El departamento de carreteras planea construir un área de picnic para automovilistas al lado de una carretera principal. Sera rectangular, tendrá un área de 500 yardas al cuadrado y estará cercada por los tres lados no adyascentes a la carretera. ¿Cuál es la menor cantidad de cerca que será necesaria para completar el trabajo?
P=2Y+X
A = X Y = 5.000 Y =
= + X se minimiza derivando P’= 1 - = 0 X2 – 10000 = 0 X = √
P = 2.
=
100
100 es el único valor crítico admitido. Se aplica la segunda derivada P” = la cual es positiva para x>0. Luego 100 es un mínimo
absoluto en el intervalo F (100) =
+
100 = 200 yardas. yardas.
38. Una escalera de 3m descansa contra un muro sobre el nivel del suelo. Si se aleja el extremo inferior de la escalera a una velocidad de 1.2 m/seg. ¿A qué velocidad desciende el extremo superior, en el instante en que esta a 2.4m del suelo?
Solución: Sea Y la altura sobre el suelo; X la distancia que la separa del muro. Cuando Y = 2.4 x= 1.8 por Pitágoras, pues x 2 + y2 = 9 derivando implícitamente se tiene que:
2x
+2y
=0
= 1.2
X = 1.8
y
Y = 2.4
2(1.8) (1.2) + 2 (2.4) =0 == -0.9m/seg, es la velocidad con que desciende la escalera verticalmente cuando está a la altura de 2.4 metros.
39. Un hombre está parado en un muelle y hala un bote por medio de una cuerda sus manos están a 3 m por encima del amarre del bote. El bote esta a 3.6 m del muelle. Si el hombre hala la cuerda a una velocidad de 0.9m/seg. ¿A qué velocidad se aproxima el bote al muelle?
Solución: Sea x la distancia del bote al muelle y z la longitud de la cuerda. Cuando x = 3.6 z = 4.7 por Pitágoras x 2 + 9 = Z2. Derivando se tiene:
= 2 z = = = 1.175 Es la velocidad con que se acerca el bote al muelle.
2x
40. Un hombre de 1.8 metros de estatura se aleja a una velocidad de 3km/h de una luz que está a 4.5 m sobre el nivel del piso. Cuando su distancia horizontal de la luz es de 3.6 metros. a. ¿A qué qué velocidad velocidad crece crece la sombra? b. ¿A qué velocidad se mueve la parte más alejada de la sombra sombra con respecto a la luz?
Solución: a. Sea x la distancia del hombre a la proyección de la luz y “ Y” la longitud de la sombra. Por semejanza de triángulos: = 1.8x = 2.7 y
derivando queda 1.8 1.8 (3) = 2.7 = = 2 Se necesita saber con qué rapidez cambia x+y (x+y) = + = 3+2 = 5 .
derivando queda 1.8 b.
= 2.7.
= 2.7. o
sea
41. Un estudio ambiental de cierta comunidad sub-urbana señala que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será (cp) = partes por millón cuando la población sea p miles. Se estima que dentro de t años la población de la comunidad será: P (t) = 3.1 + 0.1 t2 miles. ¿A qué tasa cambiara el nivel de monóxido de carbono con respecto al tiempo, dentro de 3 años?
Solución:
cuando t = 3 la regla de la cadena deduce que: √ = Para t = 3 P (3) = 3.1 + 0.1 (3)2 √ El objeto del problema es hallar
P
(3) = 3.1+ 0.1 (9) = 3.1 + 0.9 = 4 .Reemplazando en
= = = 0.24 partes por millón al año. √ √
queda
42. Una mancha de petróleo se expande circularmente en el agua, de manera tal que el radio aumenta a una velocidad de 4 pies por segundo, cuando el radio es de 20 pies. ¿A qué velocidad aumenta el área del círculo de agua contaminada?
= 4 pies/seg se debe derivar el área con respecto al tiempo, y el área del circulo es A = r 2 = 2 , cuando r = 20 pies, = 2 = 160 que es la
Solución: Como
velocidad a que aumenta el área de agua contaminada.
43. A un cono recto invertido (circular) le entra agua a razón de 2cm 3 por segundo. La altura del cono es 2 veces su diámetro. ¿A qué rapidez sube la superficie del aguan cuando la misma alcanza una profundidad de 10cm en el cono?
Solución: Sea V el volumen del cono; h = la altura o su profundidad. r= el radio superior. t= tiempo en segundos. El volumen del cono es V = r2h donde h = 4r r =
. ( )2h V = = = = h = 10cm = = = 0,102
V=
44. En una sisterna cónica fluye agua a razón de 8 pies cúbicos por minuto. Si la altura de la sisterna es de 12 pies y el radio de su base circular es de 6 pies, ¿Si su base está hacia arriba con qué rapidez sube el nivel del agua cuando ésta tiene 4 pies de profundidad?
Solución: El volumen en que h=4.
y lo que se quiere saber es
El volumen de un cono es V =
en el momento
r h. Tomando la figura hay 2
semejanza de de triángulos y se puede dar la relación
=
12r = 6 h
h= 2 r ó r = V = V = que se cumple para toda t>0 = = 8 = = 0,637
o sea que el agua sube a razón de 0,637 por minuto.
45. Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto r ecto de máximo volumen que se puede inscribir en un cono circular recto dado.
Solución: Sea a la altura del cono y b el radio del cono dado, ambos constantes. h; r y v de altura, el radio y el volumen del cilindro.
- por que = h = a - y se que es el volumen del cilindro. Maximizamos = 2 a = (2- ) = 0 3r= 2b
V= (a. ) = a reemplaza h en V = a V en [o, b]
r=
–
h = a – = a-
como h = a -
= h=
46. Encuentre las dimensiones del rectángulo de máxima área que se puede inscribir en un semicírculo de radio r.
Solución: A= x h
donde r 2 =
x2 = 4r 2 – ah2 A = h.2
+ h2
4r 2 = x2 + 4h2
4h2
=
4r 2 – x2
x = x= Se deriva para maximizar 0
√ = 0 = 0 √ r = h √
4r 2 =
r 2 =
h
2
47. Cuál es el área máxima posible de un rectángulo cuya base reposa sobre el eje X con sus dos vértices superiores sobre la grafica.
Solución: Sean las dos vértices superiores dados por (x,4-X 2) y (-x, a-x2). Entonces el área está dada por A = 2x (4-x 2) n A = 2x (4-x2) = 8x -2x3 0
El área máxima ocurre cuando A ’ = 0
2
√ , por lo tanto Y = 4-( √ )2 =4- = . √ . = √ . A” <0 se tiene que el área máxima es A = 2.
= x2
X=
A’ = 0
Dado que
48. La resistencia de una viga rectangular varía según el ancho de esta. Cuando la viga es apuntalada cuidadosamente en los extremos, la resistencia es proporcional al cuadrado del espesor de la viga. ¿Cuáles son las dimensiones de la viga más resistente que pudiera cortarse de un tronco cilíndrico de radio de 3 pies? (La viga tiene una resistencia S= KXY2).
Solución:
K es una constante de proporcionalidad de acuerdo a la figura
+ = 9 por Pitágoras. + = 9 = 9 x2 + y2 = 36 despejando y 2 queda: y2 = 36-x2 = 36 k – 3k x2 2 3 S = KX. (36-X ) 0 x S = 36 kx-kx Se igualan a cero 36 k – 3 k x2 = 0 3 k x2 = 36 k X= = 2√ pies. Como Y2= 36- X2 y x2 = Y2 = 36- Y2 = 36-12 Y = √ =
√ .
√ √ √
Las dimensiones son x = A= . = (4)(3) = 12
√ √
√
y= . El área será A = xy A = 12
√
49. Al derretirse una bola de nieve con radio inicial de 12cm, su radio decrece a razón constante de 0.50 . Si comienza a derretirse cuando t=0. ¿Cuál será la tasa de disminución del volumen de la bola de nieve al cabo de 12 horas?
Solución:
Sea r el radio de la bola de nieve. El volumen de la bola es V= . Se deriva el volumen. = como = 0.5 . El radio que inicialmente es de
12cm, en las 12 horas decrece 0.5 = (6)2.0.5 = 72 . Luego la tasa de disminución del volumen fue de 72
