KARADENİZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK BÖLÜMÜ
EMİN OLCAY DOKUZ 210298 ELKE304 OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ PROJE ÖDEVİ KISIM-1: Verilen sistemin modellenmesi ve simülasyonu KISIM-2:Sistemin çeşitli denetleyicilerle kontrol edilmesi
PROF.DR. İSMAİL HAKKI ALTAS
MAYIS 2011
Sayfa 2 / 42
İçindekiler İçindekiler............................................................................................................................. 2 ÖNSÖZ…………………………………………………………………………………….4 ÖZET………………………………………………………………………………………………………...5 GİRİŞ………………………………………………………………………………………………………………………………………...6 Jet Uçağı Kontrol Sistemi..................................................................................................7 Sistemin karakteristik eşitliği ..............................................................................................7 Sistemin karakteristik eşitliğinin kökleri..............................................................................8 Durum denklemlerinin hesaplanması....................................................................................9 Sistemin kök yer ergilerinin çizimi .....................................................................................9 Sistemin Nyquist eğrisi .......................................................................................................10 Sistemin bode eğrileri.......................................................................................................... 11 Sistemin birim basamak tepkisi............................................................................................12 Sistemin birim rampa tepkisi................................................................................................13 Sistemin birim darbe tepkisi.................................................................................................14 Sisteme Denetleyicilerin Eklenmesi...................................................................................14 P, I ve D Denetleyicilerin Özellikleri...................................................................................15 Oransal denetleyici (P) ........................................................................................................15 Oransal-integral denetleyici (PI) .........................................................................................15 Oransal-Türev denetleyici (PD) ..........................................................................................16 Oransal-integral-Türev denetleyici (PID) ...........................................................................16 Faz ilerlemeli denetleyici (P-LEAD) ..................................................................................16 Faz gerilemeli denetleyici (P-LAG) ....................................................................................16 Sisteme Oransal Denetleyicinin (P) Eklenmesi ...............................................................17 Karakteristik eşitliğinin kökleri............................................................................................18 Kök yer eğrilerinin çizimi ....................................................................................................18 Nyquist ergisinin çizimi .......................................................................................................19 Bode diyagramının elde edilmesi .........................................................................................19 Birim basamak cevabı ..........................................................................................................20 Birim rampa cevabı ..............................................................................................................21 Birim impulse cevabı ...........................................................................................................22 Sisteme Oransal-İntegral Denetleyici (PI) eklenmesi......................................................22 Karakteristik eşitliğinin kökleri............................................................................................24 Durum denklemleri ..............................................................................................................24 Kök Yer Eğrilerinin Çizimi...................................................................................................25 Nyquist Eğrisinin Çizimi...................................................................................................... 25 Bode Diyagramının Elde Edilmesi....................................................................................... 26 Birim Basamak Cevabı......................................................................................................... 27 Birim Rampa Cevabı ............................................................................................................28 İmpulse Cevabı..................................................................................................................... 29 Sisteme Oransal-Türev Denetleyici (PD)Eklenmesi.........................................................30 Karakteristik Eşitliğinin Kökleri ..........................................................................................31 Kök Yer Eğrilerinin Çizimi.................................................................................................. 31 Nyquist Eğrisinin Çizimi...................................................................................................... 32 Bode Diyagramının Elde Edilmesi....................................................................................... 32 Birim Basamak Cevabı......................................................................................................... 33 Birim Rampa Cevabı ............................................................................................................34 Birim İmpulse Cevabı ..........................................................................................................34 Sisteme Oransal-İntegral-Türev denetleyici (PID)Eklenmesi.........................................35
Sayfa 3 / 42
Durum Denklemleri..............................................................................................................36 Kök Yer Eğrilerinin Çizimi..................................................................................................37 Nyquist Eğrisinin Çizimi......................................................................................................37 Bode Diyagramının Elde Edilmesi.......................................................................................38 Birim Basamak Cevabı.........................................................................................................38 Birim Rampa Cevabı ...........................................................................................................38 Birim İmpulse Cevabı ..........................................................................................................39 Sonuç ve Değerlendirme ....................................................................................................40 Kaynaklar ........................................................................................................................... 42
Sayfa 4 / 42
ÖNSÖZ
Yoğun bir çalışma sonucu otomatik kontrol dersinin uygulamasının nasıl yapıldığını, devre sistemlerinin matlab. Kullanarak nasıl simule edildiğini öğrendim. Bir ödev nasıl hazırlanır ve teslim edilir, karşıma çıkan sorunlar ve bunların çözümleri hakkında deneyim kazandım. Çalışmalarımı hazırlarken enteraktif ortamdan, ders kaynaklarından yararlandım.
Sayfa 5 / 42
Özet Bu çalışmada, bir uçağın uçuş kontrol sisteminde önem arzeden yatış açısı kontrolü için klasik denetleyicilerden P, PD, PI tip denetleyiciler ile karşılaştırmaları yapılmaktadır. Basit bir yatış açısı otomatik uçuş kontrol
sistemin blok diyagramı Şekil’de verilmektedir. .
Burada, φ yatış açına, δ k kanatçık eyleyici çıkışına, E(t) hata vektörüne, φref girişe karşılık gelmektedir
Sayfa 6 / 42
GİRİŞ Kapalı çevrim kontrol sistemleri, kontrol edilen çıkış değişkeninin ölçülüp geri beslenerek arzu edilen giriş değişkeni ile karşılaştırıldığı sistemlerdir. Sistemin çıkışı, arzu edilen çıkış değerini sağlayacak biçimde giriş büyüklüğü ile ayarlanır. Negatif geri beslemede daima giriş ile çıkışın bir farkı alınır. Kontrol elemanına bir hata girişi olarak iletilen bu fark, çıkışın istenilen değere getirilmesini ve bu değerde sabit tutulmasını sağlar. Kapalı çevrim kontrol sistemlerinde denetleyicinin amacı, hata değerinin yapısına ve kendi denetim etkisine bağlı olarak uygun bir kumanda denetim sinyali üretmektir. Sistem yapısına bağlı olarak bir takım ayarlamalar ile P, PI, PD ve PID denetleyiciler, bu amaçla sıklıkla kullanılan geleneksel denetleyicilerdir. Klasik denetleyicilerin yetersiz kaldığı durumlarda, bulanık denetleyiciler de bu amaçla kullanılabilir olup, burada da üyelik fonksiyonları ve kuralların seçimi önem kazanmaktadır
Sayfa 7 / 42
Jet Uçağı kontrol sistemi
Transfer Fonksiyonu
❶Sistemin karakteristik eşitliği Sistemin karakteristik eşitliği transfer fonksiyonunun paydasıdır. Buna göre karakteristik eşitlik,
Routh Hurwitz kararlılık kriterini uygulayalım;
1 -1 K
K 0 0
0 0 0
Routh listelemesinde birinci sütun elemanlarının işaretleri aynı ise denklem köklerinin tümü sol yarı düzlemdedir. İşaret değişimi sayısı sağ yarı düzlemde kalan köklerin sayısına eşittir. Buna göre; sistemin kararlı olması için birinci sütunda bulunan değerlerin pozitif çıkması gereklidir. Yani,
Sayfa 8 / 42
1 -1
0 olduğunda sistem kararlı değildir
K Birinci sütunun elemanları iki işaret değişmesine sahip olduğu için karakteristik denklem pozitif-gerçel kısımları olan iki köke sahiptir.Sistem karalı değildir..
❷Sistemin karakteristik eşitliğinin kökleri
Sistemin karakteristik eşitliğinin köklerini bulmak için Matlab’da roots fonksiyonunu kullandım.
Karakteristik denkleminin kökleri r(1)=0,5000+0.8660i r(2)=0,5000-0.8660i
Sayfa 9 / 42
❸Durum denklemlerinin hesaplanması Durum denklemini matrisini transfer fonksiyonunu kullanarak matlab üzerinden hesapladım.
K=1 için;
Transfer Fonksiyon
Transfer fonksiyonumuzda, tespit edilen durum denklemi matrisleri yazılırsa;
elde ederiz..
❹Sistemin Kök Yer eğrileri Karakteristik denkleminin kökleri r(1)=0,5000+0.8660i r(2)=0,5000-0.8660i
Sayfa 10 / 42
❺Sistemin Nyquist Eğrisi Nyquist yer eğrisi kapalı çevrim sistemin kararlılığının belirlendiği grafiksel bir yöntemdir. Kök yer eğrilerinden farklı olarak Nyquist kriteri karakteristik denklem köklerinin konumunu tam olarak belirlemez. Nyquist diyagramına bakarak sistemin kararlı olup olmadığını söyleyebiliriz. Bir sistem için Z = 0 (sıfır) ise sistem kararlıdır denir. Z ≠0 ise sistem kararsızdır.
N=Z−P N: Nyquist diyagramında (-1)’i çevreleme sayısı.. Saat yönünde çevreleme pozitif, tersi olan çevreleme negatif alınır ve toplamı N’yi verir. Z: Kapalı sistemin transfer fonksiyonunun sağ yarım küredeki kutuplarının sayısı P: G(s)H(s)’nin açık çevrim kutuplarının sayısı Kararlılık testi için; Z = P + N denklemi yoluyla kararlılık test edilir. Bunun için önce sistemin açık çevrim transfer fonksiyonunun kutupları sayısına bakılır. Bundan sonra sistemin nyquist diyagramı çizilir ve (-1) çevreleme sayısına bakılır.
Sayfa 11 / 42
❻Sistemin Bode Eğrileri Tasarımda sisteme eklenen denetleyiciler ve parametrelerinin etkisi Bode diyagramlarında nyquist egrisine göre daha açık görüntülenebilir.
Matlab da yapılan çalışmalar sonucu oluşturulan görüntüler şekildeki gibidir..
Sayfa 12 / 42
Sistemin Matlab Simulink ile Simülasyon Diyagramının elde edilmesi Devreyi matlab kullanarak simule ettim.
Oluşan görüntümüz ise;
Sayfa 13 / 42
❼Sistemin birim basamak tepkisi
Sayfa 14 / 42
❽Sistemin birim rampa tepkisi Sistemin birim rampa tepkisini bulmak için Matla’da hazır komut olmadığı için ve rampa fonksiyonu birim basamak fonksiyonunun entegrali olduğundan sisteme ( 1/s ) seri olarak eklenir. Böylece sistemin rampa tepkisi bulunabilir.
❾Sistemin Birim Darbe Tepkisi Sistemin birim darbe tepkisini aşağıdaki gibi elde ederiz;
Sayfa 15 / 42
Sisteme Denetleyicilerin Eklenmesi ❶Oransal denetleyici (P) Oransal kontrolörün transfer fonksiyonu sabit bir sayı seklindedir ve Kp ile gösterilir. Oransal Kontrol sistemin yükselme zamanını azaltır ve kalıcı durum hatasını azaltır, asımı arttırır.
❷Oransal-İntegral denetleyici (PI): Entegral kontrolör, hata değeri sabit bir değerde kalmışsa bu hatayı gidermek üzere giderek artan bir kontrol sinyali üreterek sistem çıkısının referans değere ulaşmasını sağlar. Hata sıfır Olduğunda entegral çıkısı da sıfır olur. Orantı-Türev kontrolörler her iki denetim etkisinin özelliklerini taşırlar. PI denetleyicilerin etkileri şunlardır: • Sönümü düzeltir ve asımı azaltır. • Yükselme zamanını artırır. • Bant genişliğini azaltır. • Kazanç payı, faz payı ve rezonans tepesini düzeltir.
❸Oransal-Türev denetleyici (PD) Türev kontrol hatanın türevini alarak bir kontrol sinyali üretir. Dolayısıyla kalıcı durum hatası Üzerinde bir etkisi yoktur, çünkü sabit bir sinyalin türevi sıfırdır. Bu yüzden, türev etki Kontrolörlerde yalnız basına kullanılmaz diğer etkilerle beraber kullanılır. Orantı-Türev Kontrolörler her iki denetim etkisinin özelliklerini taşırlar
Sayfa 16 / 42
PD denetleyicinin etkileri şunlardır: • Sönümü artırır ve en büyük asımı azaltır. • Yükselme ve yerleşme zamanlarını azaltır. • Bant genişliğini artırır. • Kazanç payı, faz payı ve tınlaşım tepesini düzeltir. • Yüksek frekans gürültüsünü artırabilir. • Az sönümlü veya kararsız sistemlerde etkili olmaz. • Devrenin tasarımında nispeten büyük kapasitelere ihtiyaç duyulabilir
❹Oransal-İntegral-Türev denetleyici (PID) Oransal-İntegral-Türev kontrolörler her üç denetim türü etkisinin özelliklerini taşırlar
❺ Faz ilerlemeli denetleyici (P-LEAD) Faz ilerlemeli denetleyicilerin etkileri • Faz ilerlemeli denetleyici, sistemin ileri yol transfer fonksiyonuna kutup sıfırın Sağında olmak üzere bir kutup ve sıfır ekler. Bu tip denetleyici, kapalı çevrimli sistemi Daha sönümlü hale gelecek şekilde etkiler. Sistemin genelde yükselme ve yerleşme Zamanını azaltır. • İleri yol transfer fonksiyonunun fazı geçiş frekansı civarında artar. Bunun sonucu olarak kapalı çevrimli sistemin faz payı da artar. • İleri yol transfer fonksiyonunun genlik ergisi eğimi kazanç geçiş frekansı civarında Azalır. Bunun sonucu olarak kazanç ve faz payında oluşan artış genellikle nispi Kararlılığın düzelmesine neden olur. • Sistemin bant genişliği artar. Bunun sonucu olarak sistem cevabı hızlanır. • Sistemin kararlı hal hatası değişmez.
❻ Faz gerilemeli denetleyici (P-LAG) Faz gerilemeli denetleyicilerin etkileri; • Belirli bir ileri yol kazancı K için, ileri yol transfer fonksiyonu genliği, kazanç geçiş Frekansı civarı ve ötesinde, zayıflatır ve böylece sistemin nispi kararlılığı artırılmış Olur. • Kazanç geçiş frekansı düşer ve sistemin bant genişliği buna bağlı olarak daralır. • Bant genişliğinin azalması nedeniyle yükselme ve yerleşme zamanı genellikle artar. • Sistem parametre değişimlerine karsı daha duyarlıdır.
Sisteme Oransal Denetleyicinin (P) Eklenmesi
Sayfa 17 / 42
Sistemin transfer fonksiyonunu; =
E(s) R(s) Y(s)
Birim basamak girişi için;
Sürekli durum hatası;
Oransal denetleyicide sürekli çalışma hatası birim basamak giriş için sıfır olmaz;
Routh Hurwitz kararlılık kriteri;
1 -1 1+
1+ 0 0
0 0 0
İki işaret değişimi olduğu için sağ yarı düzlemde iki kök vardır. sistem kararsızdır..
İçin;
Sayfa 18 / 42
❶Karakteristik eşitliğinin kökleri
Matlab ile karakteristik denklem çözüldü;
0.5000 + 0.8718i 0.5000 - 0.8718i
Sistemin kök yer eğrilerinin çizimi;
Sayfa 19 / 42
❸Sistemin Nyquist eğrisi;
Oluşan grafiğimiz;
❹Sistemin bode eğrileri;
Tasarımda sisteme eklenen denetleyiciler ve parametrelerinin etkisi Bode diyagramlarında Nyquist eğrisine göre daha açık görüntülenebilir..
Sayfa 20 / 42
❺Birim basamak cevabı;
Sayfa 21 / 42
❻Birim impulse cevabı;
Sayfa 22 / 42
❼Birim rampa cevabı;
Sisteme Oransal-İntegral Denetleyici (PI) eklenmesi İntegral kontrolör, hata değeri sabit bir değerde kalmışsa bu hatayı gidermek üzere giderek artan bir kontrol sinyali üreterek sistem çıkısının referans değere ulaşmasını sağlar. Hata sıfır olduğunda integral çıkısı da sıfır olur.
Sayfa 23 / 42
Routh kriteri uygulanırsa;
1 -1 0
0 0 0
0
0
İki işaret değişimi olduğu için sistem kararlı değildir. Sürekli durum hata kriterine bakıldığında ess 0,1 için; E(s) R(s) Y(s)
Birim rampa girişi için;
bulunur..
ç ,
seçilir..
Sayfa 24 / 42
❶Karakteristik eşitliğinin kökleri;
Köklere matlab yardımıyla;
P(1)= 0,5047 + 0.8971i P(2)= 0,5047 - 0.8971i P(3)=-0,0094
❷Durum denklemleri;
Sayfa 25 / 42
❸Kök Yer Eğrilerinin Çizimi
❹Nyquist Eğrisinin Çizimi
Sayfa 26 / 42
❺Bode Diyagramının Elde Edilmesi;
❻Birim Basamak Cevabı
Sayfa 27 / 42
Sayfa 28 / 42
❼Birim Rampa Cevabı
Sayfa 29 / 42
❽İmpulse Cevabı;
Sayfa 30 / 42
Sisteme Oransal-Türev Denetleyici (PD) Eklenmesi
Sisteme Oransal-Türev Denetleyici (PD) Eklenmesi Transfer fonksiyonumuz;
PD denetleyici
PD denetleyici ile sistemin transfer fonksiyonu;
E(s) R(s) Y(s)
Birim basamak girişi için;
Sürekli hal hatası;
Routh Hurwitz kararlılık kriteri için;
1 0 0
0 0 0 olur..
> 0 olduğunda sistem kararlıdır Kp 0,5 alınırsa,,, Kd 0.2 alınırsa;
Sayfa 31 / 42
❶Karakteristik Eşitliğinin Kökleri
0.4000 + 1.1576i 0.4000 - 1.1576i
❷Kök Yer Eğrilerinin Çizimi
Sayfa 32 / 42
❸Nyquist Eğrisinin Çizimi;
❹Bode Diyagramının Elde Edilmesi
Sayfa 33 / 42
❺Birim Basamak Cevabı;
Sayfa 34 / 42
❻İmpulse Cevabı;
❼Birim Rampa Cevabı;
Sayfa 35 / 42
Sisteme Oransal-İntegral-Türev denetleyici (PID) Eklenmesi Sisteme Oransal-İntegral-Türev denetleyici (PID) Eklenmesi
Sayfa 36 / 42
E(s) = R(s) -Y(s) R(s) Birim rampa girişi için;
Sürekli hal hatası;
=0.05,
,
aldığımızda; bulunur.
❶Durum Denklemleri;
Sayfa 37 / 42
❷Kök Yer Eğrilerinin Çizimi;
❸Nyquist Eğrisinin Çizimi
Sayfa 38 / 42
❹Bode Diyagramının Elde Edilmesi;
❺Birim Basamak Cevabı;
Sayfa 39 / 42
❻Birim Rampa Cevabı
Sayfa 40 / 42
❼Birim İmpulse Cevabı
Sayfa 41 / 42
Sonuç ve Değerlendirme Verilen sistemin farklı denetleyicilerle Matlab-Simulink ortamında oluşturularak, sistemin bode eğrileri, nyquist eğrisi, kök yer eğrileri incelenmiş, denetleyici bulunmayan sistemle farkı gözlenmeye çalışılmıştır. Kullanılan denetleyiciler; Oransal denetleyici, oransal-integral denetleyici, oransal-türev denetleyici ve oransal-türevintegral denetleyicilerdir. Denetleyicilerle birlikte sistemin birin basamak, birim rampa ve birim darbe tepkileri de görülmeye çalışılmıştır.
Sayfa 42 / 42
Kaynaklar “Matlab 7.04 Simulink ve Mühendislik Uygulamaları”, Prof.Dr. Uğur AR_FOGLU, Alfa Yayınları, 2005. “Otomatik kontrol sistemleri” dersi ile ilgili kaynaklar Enteraktif ortam
