TEOREMA DE THEVENIN
El teorema de Theve Thevenin nin establece establece que cualquier circuito circuito line lineal al activo con term terminale inaless de sali salida da A y B, tal como el representado en la Fig. 11-2(a), puede sustituirse (o equivale) por una fuente de tensión V' en serie con una impedancia Z' [Figura 11-2(b)].
Fig. 11-2. 11-2.
Circuito equivalente equivalente de de Thevenin
La tensión equivalente de Thevenin, V', es la tensión entre los terminales AB medida a circuito abierto, y la impedancia, Z', es la impedancia de entrada de los terminales AB con todas las fuentes internas iguales a cero. La polaridad de la tensión equivalente de Thevenin, V', se elige de forma que la corriente en una impedancia que se conecte tenga el mismo sentido que si dicha impedancia se conectara al circuito activo original. Ejemplo 1. Dado el siguiente circuito
Fig. 11-3
Determinar el circuito equivalente de Thevenin con respecto a los terminales AB. Utiliza el resultado para hallar la corriente en las dos impedacionas, Z1=5-j5 y Z2=10/00, conectadas sucesivamente a los terminales AB y determinar las potencias a ellas suministradas. En la Fig. 11-3 la corriente I=50/00 / 5+j5=10/00
La tensión V' equivalente de Thevenin es entonces la caída de tensión en la impedancia 5+j5. Por lo tanto, V'= VAB=I5+j5=70,7/450
La impedancia de entrada en los terminales AB es: Z'= (5+j5)(-j5)5+j5-j5=5-j5 (5+j5)(-j5)5+j5-j5=5-j5
Si se une la impedancia Z1 a los terminales del circuito equivalente de Thevenin, se tiene la Fig. 11-4(b). En este circuito I1=(70,7/450 )/(5-j5+5-j5)=5/900
y
P1=5(I1)2=125 W
Con la impedancia Z2 en lugar de la Z1. Fig. 11-4(c), se tiene I2=(70,7/450 )/(5-j5+10)=4,47/63,430
y
P2=10(I2)2=200 W
TEOREMA DE NORTON
El Teorema de Norton establece que cualquier circuito lineal activo con terminales de salida AB, tal como el representado e n la Fig. 11-5(a), puede sustituirse (o equivale) por una fuente de intensidad I' en paralelo con una impedancia Z', Fig. 11-5(b).
Fig. 11-5.
Circuito equivalente de Norton
La fuente de intensidad, I', equivalente de Norton es la corriente en un cortocircuito aplicado a los terminales del circuito activo. La impedancia Z' en paralelo es la impedancia de entrada del circuito en los terminales AB cuando se hacen iguales a cero todas las fuentes internas. Por consiguiente, dado un circuito lineal activo, las impedancias Z' de los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton son idénticas. La intensidad de la corriente en una impedancia conectada a los terminales del circuito equivalente de Norton ha de tener el mismo sentido que la que circularía por la misma impedancia conectada al circuito activo original. Ejemplo 2 Dado el circuito de la Fig. 11-6, determinar el circuito equivalente de Norton respecto de los terminales AB. Utilizar el resultado para hallar la corriente en dos impedanciasZ1=5-j5 y Z2=10/00, unidas sucesivamente a los termínales AB y determinar las potencias a ellas suministradas.
Z'= -j5(5+j5)5+j5-j5=5-j5
El circuito equivalente de Norton es el de la Fig. 11-8(a). Obsérvese que la corriente va hacia el terminal A.
Si se conecta la impedancia Z1a los terminales del circuito equivalente de Norton, se tiene la Fig. 11-8(b). La corriente que pasa por Z1es I1=I'Z'Z'+Z1= 10/900 5-j510-j10=5 /900 . La potencia suministrada a Z1 vale P1=5(I1)2=125 W
Con la impedancia Z2 unida a los terminales AB se tiene la Fig. 11-8(c) I2=I'(5-j5)/(15-j5)=4,47/63,430
y
P2=10(I2)2=200 W
TEOREMA DESUPERPOSICION
El teorema de superposición establece que la respuesta en cualquier elemento de un circuito lineal bilateral que contenga dos o más fuentes es la suma de las respuestas obtenidas para cada una de las fuentes, actuando separadamente y con todas las demás fuentes iguales cero. a Este principio de superposición estaba realmente implícito en los dos métodos de análisis por las corrientes en las mallas y las tensiones en los nudos. Dichas corrientes y las tensiones veníandetermi nadas por cocientes de dos determinantes. El desarrollo de los determinantes del denominador por los elementos de la columna que contiene las fuentes da lugar a ecuaciones del tipo siguiente:
I1=V1∆11∆Z+V2∆21∆Z+V3∆31∆Z+…
(7)
y
V1=I1∆11∆Y+I2∆21∆Y+I3∆31∆Y+…
(8)
Los términos de (7) son las intensidades componentes de la corriente de malla I1 debidas a las tensiones de alimentación V1, V2, etc… Los términos de (8) son los componentes de la tensión de nodo V1, debidas a las corrientes de excitación I1, I2, etc… Si se eligen las corrientes en las mallas de manera que todas las fuentes estén en mallas no acopladas, los términos de (7) serán idénticos a las corrientes que resultarían si las fuentes actuasen separadamente. De forma análoga, si las fuentes de intensidad de un circuito que ha de resolverse por el método de los nodos tienen el mismo punto de retorno, tomando este punto como referencia, los términos de (8) serán idénticos a las tensiones que se tendrían en los nodos si cada fuente actuase separadamente. El principio de superposición se aplica para determinar las corrientes y tensiones en los nodos que están relacionados linealmente con las fuentes que actúan en el circuito. La potencia no se puede hallar por superposición, ya que la relación entre la potencia y la corriente o la tensión es cuadrática.
Sea I' la corriente en la resistencia de 2 Ω debida V1 cuando se hace V2=0, e I'' la corriente en la misma rama debida a V2 cuando se hace V1=0. Eligiendo las corrientes en las mallas como en la Fig. 12-16 y hallando I' e I''. I'= V1 50V1 12-40-46750512-40-46=1012-4-46-1050-46242=1,075 A
I'' = 0 50-V2 12-40-46242=-(-20)50-46242=2,48 A
Aplicando el principio de superposición, la corriente I1 debida a la acción simultánea de las dos fuentes es I1=I'+I''=1,075+2,48=3,555 A TEOREMA DE RECIPROCIDAD
El teorema de reciprocidad establece que en un circuito lineal, bilateral, con una sola fuente, la relación de la excitación a la respuesta es constante al intercambiar las posiciones de excitación y respuesta. El teorema se puede demostrar en el caso de corrientes en las mallas con una fuente única de tensión en el circuito, considerando la ecuación siguiente para la corriente de malla Ir Ir=V1∆1r∆Z+V2∆2r∆Z+…+Vr∆rr∆Z+Vs∆sr∆Z+…
Sea Vs la única fuente en el circuito. Entonces, Ir=Vs∆sr∆Z
El cociente de la excitación a la respuesta es VsIr=∆Z∆sr= Ztransferencia sr
(9)
Ahora bien, al cambiar las posiciones de la excitación y la respuesta, la fuente será Vr y la corriente Is Is=Vr∆rs∆Z
La relación excitación – respuesta es, ahora, VrIs=∆Z∆rs= Ztransferencia rs
(10)
Las dos impedancias de transferencia de (9) y (10) son iguales en todo circuito lineal bilateral, ya que en tales circuitos la matriz de impedancia Z es simétrica respecto de la diagonal principal y los adjuntos ∆sr y ∆rs son iguales. Por tanto, la
los terminales a b es igual a la tensión en lo terminales a b cuando la fuente se traslada a los terminales m n. Debe observarse que las tensiones en otros puntos del circuito no se mantendrán iguales Ejemplo 4 El circuito de la Fig. 12-20(a) contiene una sola fuente de intensidad I=12/900 amperios. Determine la tensión V2 en el nodo 2. Aplicar el teorema de reciprocidad y comparar los resultados
El sistema de ecuaciones nodales del circuito de la Fig. 12-20(a), escrito en forma matricial, es 13+j4+1j10-1j10-1j101j10+15+12+j2V1V2=12/9000
De donde V2=0,12-j0,2612/900j0,100,12-j0,26j0,1j0,10,45-j0,35=12/900-j0,10,161/200,350=7,45/99,650
Utilizando el teorema de reciprocidad se aplica la corriente I en el nodo 2 y el nodo de referencia en el circuito de la Fig. 1220(b). Se calcula la tensión en los terminales por los que la fuente de intensidad alimentaba. Como solo hay dos nodos en este circuito, solo hace falta una ecuación nodal.
13+j14+15+12+j2V2= 12/900
De donde
V2=12/900 0,563/-34,40 =21,3/124,40
Por lo tanto la tensión Vx es Vx=V23+j43+j4+j10= 21/124,40 3+j43+j14=7,45 /99,60
Comparando los valores calculados de V2 en el circuito de la Fig. 12-20(a) y Vx en el circuito de la Fig. 12-20(b) vemos que son iguales, probándose así el teorema de reciprocidad. Obsérvese también que V2 no es la misma después del intercambio de las posiciones de excitación y respuesta. TEOREMA DE COMPENSACION O SUSTITUCION
Una impedancia Z de un circuito, por la que circula una corriente de intensidad I, tiene una caída de tensión ZI. De acuerdo con el teorema de compensación, esta impedancia se puede sustituir por una f.e.m de compensación, cuyo modulo y fase sean las de ZI. De igual modo, si la tensión en bornes de un elemento o rama de un circuito que contiene una impedancia Z es Y, dicho elemento o rama se puede sustituir por una fuente de intensidad I = V/Z. Las corrientes y tensiones en todas las demás
Si en el circuito se produce un cambio cualquiera que afecte a I1, la fuente de compensación ha de variar en consonancia. Por esta razón, la fuente de compensación VC se denomina fuente dependiente.
El teorema de compensación es útil para determinar las variaciones de corriente y tensión en un elemento de un circuito cuando varía el valor de su impedancia. Esta aplicación se presenta en los circuitos puente y potenciómetros cuando una ligera variación en una impedancia da lugar a un desplazamiento de las condiciones de equilibrio
En la Fig. 12-5(a) la fuente V aplicada a un circuito origina una corriente I = V/Z. En la Fig. 12-5(b) la impedancia del circuito se ha modificado a (Z + δZ). Entonces, la intensidad de la corriente es I'=V/(Z+δZ) . Ahora bien, una fuente de tensión de compensación VC = (δZ)I, actuando en el circuito con las impedancias Z y δZ y con la fuente original puesta igual a cero, da lugar a la c orriente ∆I Fig. 12-5(c). ∆I Es la variación de la corriente originada por la variación δZ en la impedancia del circuito. Por el teorema de superposición I+∆I=I' o bien ∆I= I'-I Ejemplo 5 En el circuito de la Fig. 12-6 se sustituye la impedancia 3 + j4 por 5 + j5, esto es δZ = 2 + j1. Determinar la variación de la intensidad de corriente por cálculo directo y comprobar el resultado aplicando el teorema de compensación.
I'=V/(Z+δZ )= (50/00)/(5 + j5) = 7,07/-450
La variación de corriente es ∆I= I'-I=5-j5-6-j8=-1+j3=3,16 /108,450
Aplicando el teorema de compensación, la fuente de compensación es. VC = δZI=(2+j1) (10/-53,10 ) = 22,35/-26,50
Insertando la fuente en el circuito que contiene Z y δZ y haciendo cero la fuente 50/00 Fig. 12-7(b), la variación de corriente será ∆I=VCZ+δZ=-22,35/-26,505+j5= 3,16/108,450
Por consiguiente, cuando se cambia la impedancia de un circuito y se desea conocer el cambio correspondiente en la intensidad ∆I, se obtiene haciendo actuar la fuente de compensación VC en el circuito, igualando a cero el resto