EJERCICIOS UNIDAD I

Unidad I: Introducción a la lógica

Ejercicios

Ejercicios: unidad I

1.1 Determine Determine si si cada una de las afirma afirmaciones ciones es una proposició proposición. n. Si la afirmaci afirmación ón es una una proposición, escriba su negación. a) 3+5= 3+5=9. 9. b) ¿Cómo ¿Cómo estás? estás?.. c) Pél Pélame ame una manza manzana. na. d) La suma de dos dos números números impares impares es par. e) ¡Qué ¡Qué lind lindoo día!. día!. f) La difer diferenci enciaa de dos ente enteros ros.. g) La luna luna está está brilla brillando. ndo. h) Hoy no es martes martes y está está lloviendo lloviendo.. 1.2 Evalúe Evalúe cada cada prop proposi osició ciónn con los valore valoress de verdad verdad dado dados. s. p=0 (falso), q=1 (verdadero), r =0 =0 (falso) a) p q . b) ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ q ) . c) p ∨ ( q ∧ r ) . p∨q ). d) q∧( p e) q ∨q p . f) q ∨( p r ) . g) ( p p∨r )∧( ( q ∨ r ) ∨ ( r ∨ p ) ) . ∨

∧

∨

1.3

Si p es verdadera, q es falsa y r es verdadera, determine el valor de verdad de cada proposición: a) ( p p∧q)→r . p∨q)→r . b) ( p c) p∧(q→r ). ). d) p→(q→r ). ).

1.4 1.4 Dadas Dadas las las propo proposi sici cione oness simp simple less p. 3≥ 5. q: 3 es un número racional. r : 3 es un número entero. s: 5 es un número real. Represente en forma simbólica las siguientes proposiciones compuestas: a) 3 no es menor menor que 5 y 3 es un un número número entero. entero. b) No es cierto cierto que, 5 es un número real y 3 es un número número entero. c) Es falso falso que 3 es un número número racional racional y 3 es un número número entero entero,, o que 5 es un número número real y 3 menor que 5. d) Es falso falso que, 3 es un número número irraci irraciona onall y 3 es mayor o igual a 5; o que 3 es un número número entero y racional.

Una introducción a las matemáticas de la computación

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Ejercicios

1.5 Considere las proposiciones simples del ejercicio 1.4, representar en palabras las siguientes proposiciones. a) p ∨ ( q ∧ r ) . b) p ∧ ( q ∨ s ) . c) ( p ∧ q ) ∨ ( s ∨ r ) . 1.6 Determine el valor de verdad de las proposiciones de los ejercicios 1.4 y 1.5. 1.7 a) b) c) d) 1.8 a) b) c) d)

Sean p y q, proposiciones primitivas para las que la implicación p→q es falsa. Determine los valores de vedad de las proposiciones siguientes: p∧q. p ∨q. q→ p. q → p . Sean p y q proposiciones primitivas para las que la implicación p∨q es falsa. Determine los valores de vedad de las proposiciones siguientes: p∧q. p ∨q. q→ p. q→ p .

1.9

Sean p, q, r , y s las siguientes proposiciones p: Termino de escribir mi programa de computadora antes de la comida; q: Jugaré tenis en la tarde; r : El sol está brillando; s: La humedad es baja. Escribe en forma simbólica las proposiciones siguientes: a) Si el sol está brillando jugaré tenis en esta tarde. b) Terminar de escribir mi programa antes de la comida es necesario para que juegue tenis esta tarde. c) La humedad baja y el sol brillante son suficientes para que juegue tenis esta tarde.

1.10 Sean p, q, y r las siguientes proposiciones acerca de un triángulo ABC particular; p: es triángulo ABC es isósceles; q: El triángulo ABC es equilátero; r : El triángulo ABC es equiangular. Traduce cada una de las siguientes proposiciones en una frase en español. a) p →q . b) ( p∧q )→r . c) r →(q→ p) 1.11 Sean p, q y r las siguientes proposiciones: p: El triángulo ABC es isósceles; q: El triángulo ABC es equilátero; r : El triángulo ABC es equiangular. Traduzca cada una de las siguientes proposiciones en una frase en español. a) q→ p. Una introducción a las matemáticas de la computación

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Ejercicios

b) p →r . c) ( p q ) . d) q → p . ∨

1.12 Escribe las siguientes proposiciones como una implicación de la forma si p entonces q. a) La práctica diaria de su servicio es una condición suficiente para que Daniela tenga una buena posibilidad de ganar el torneo de tenis. b) María puede subir a la motocicleta de Luis sólo si usa el casco. c) José aprobará el examen de matemáticas discreta si estudia mucho. d) Rosa podrá graduarse si tiene 160 créditos. e) Una condición necesaria para que Eduardo compre una computadora es que tenga $8000. f) Una condición suficiente para que Karina lleve el curso de algoritmos es que apruebe matemáticas discretas. g) El auditorio se dormirá si el presidente imparte la conferencia. h) El programa es legible sólo si está bien estructurado. 1.13 Escribe la recíproca y la contrapositiva de las proposiciones del ejercicio 1.10. 1.14 Escribir las proposiciones inversa, recíproca y contrapositiva de cada una de las siguientes implicaciones. a) p →q. b) p →q . c) q → p. d) p →q. 1.15 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. ( p q ) ( p q ) . ( p ∧ q ) → ( p ∨ q ) . [ ( p → q ) ∧ ( q → r ) ] → ( p → r ) . ( p ∨ q ) ∧ ( r ∨ p ) . ( p ∨ ( q ∧ r ) ) . ( ( p → ( q ↔ r )) ∧ q ) . ( r ∨q ) ↔ p . ( p∨q)∧ p . ( p∧q)∨( p ∨q). ( p∨q)∧( p ∨q)∧( p∨q )∧( p ∨q ). q p ∨(q∨r ). ( p ∨q )∨ p. ∧

∨

∨

∧

m) ( p∧q)∧ p . p 0q 0 1 1

0 1 0 1

( p ∧ q ) ∧ p

0 0 0 1

0 0 0 Una 0 introducción a las matemáticas de la computación

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n) p 0 0 0 0 1 1 1 1

q 0 0 1 1 0 0 1 1

1.16 a) b) c) d) e) f) g) h)

q

∧

r 0 1 0 1 0 1 0 1

p

Ejercicios

∨(r ∧ p )

(

q ∧ p ∨ r ∧ p

1 1 1 1 1 1 0 0

)

1 1 1 1 1 1 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

Verifique que las proposiciones siguientes son tautologías. p→( p∨q). ( p∧q)→( p∨q ). [( p→q)∧ p]→q. [( p→q)∧q ]→ p . ( p→q)↔ ( p ∧ q ) . [ p∧( q r ) ]→[( p∧q )∨( p∧r )]. ( p∨q)↔[( p ∧q)∨( p∧q )]. [ p→(q→r )]→[( p→q)→( p→r ). ∨

1.17 a) b) c)

Verifique que las proposiciones siguientes son contradicciones. ( x∨ y)∧( x∨ y )∧ x . x∧( x→ y)∧ y . x→ y)∧( x → y)∧ y .

1.18 a) b) c) d)

Verifique que las proposiciones siguientes son contingencias. ( p→q)∧( p∨q ). ( p→q)∧( q → p). [( p→q)∧q]→ p. [( p→q)∧ p ]→q .

1.19 Determine si las proposiciones siguientes son o no equivalentes. (Usar tabla de verdad) q → p . a) p→q y p →q . b) q→ p y Una introducción a las matemáticas de la computación

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c) ( x∧ y)∨( x∧ y ) d) ( p q ) e) ( p q ) f) p→q g) ( x∨ y)→ z h) p→q i) p↔q j) ( p∧q )∨( p∧r )∨( p∧q) k) ( p∨q)∧( p ∨q) l) p → (q ∧ r ) m) ( p → q ) ∧ ( q → p )

y y y y y y y y y y y

n)

y

∨

→

(

)

p ∨ q ∧ r

x. p

∧q .

p∧q . ( p∧q )→(r ∧r ). ( x→ z )∧( y∧ z ). p ∨q. ( p→q)∧(q→ p). p.

Fo. ( p

→

q ) ∧ ( p

p ↔ q

.

→

r ) .

( p ∨ q ) ∧( p ∨ r ) .

1.20 Simplifique las proposiciones siguientes usando las leyes del álgebra de proposiciones. a) p ∨( p∧q). b) ( p ∧ q ) ∨ p. c) p∧( p ∨q). d) [( p q ) ( p q )] q . e) p q ( p q ) . f) ( p ∨q)∧( p∧( p∧q)). g) ( p q ) ( p q ) . h) p ∧ ( ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) ) . i) p → ( p ∨ ( p ∧ q ) ) . j) ( p q) ( q p ) . k) [( p ∨ q ) ∧ ( r ∨ q )] → ( p ∨ r ) . l) ( p ∨ q ) ∧ ( p ∧ q ) . m) [ ( p ∨ q ) ∧ r ] ∨ q . n) [ ( p ∨ q ) ∧ r ] → q . o) p ∧ [ ( q → ( r ∧ r ) ) ∨ [ q ∨ ( ( r ∧ s ) ∨ ( r ∧ s ) ) ] ] . ∨

∨

∧

∨

∧

∨

∨

→

∨

∨

∨

∨

→

1.21 Dé las razones para cada paso de las siguientes simplificaciones de proposiciones compuestas. a) [( p∨q)∧( p∨q )]∨q. ≡ [ p∨(q∧q )]∨q. ≡ ( p∨Fo)∨q. ≡ p∨q. b) ( p ∨ q ) ∨ [( p ∧ q ) ∨ q ] . ≡ ( p ∨ q ) ∨ [ q ∨ ( p ∧ q )] . ≡ ( p ∨ q ) ∨ [( q ∨ p ) ∧ ( q ∨ q )] .


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Ejercicios

≡ ( p ∨ q ) ∨ [( q ∨ p ) ∧ To ] . ≡ ( p ∨ q ) ∨ [( q ∨ p ) ] . ≡ ( p ∨ q ) ∨ [ ( q ∧ p ) ] . ≡ ( p ∨ q ) ∧ ( q ∧ p ) . ≡ ( q ∧ p ) ∧ ( p ∨ q ) . ≡ q ∧ [ p ∧ ( p ∨ q ) ] . ≡ ( q ∧ p ) .

c) ( p→q)∧[ q ∧(r ∨q )]. ≡ ( p→q)∧q . ≡ ( p ∨q)∧q . ≡ q ∧( p ∨q). ≡ ( p q )∨( q ∧q). ≡ ( p q )∨Fo. ≡ p q . ≡ ( p ∨ q ) . ∧ ∧

∧

d) ( p∨q)∧( p q ) . ≡ ( p∨q)∧( p ∨q ). ≡ ( p∨q)∧( p∨q ). ≡ p∨(q∧q ). ≡ p∨Fo. ∧

≡ p.

e) [[ ( p ∨ q ) ∧ r ] ∨ q] . ≡ [ ( p ∨ q ) ∧ r ] ∧ q . ≡ [( p∨q)∧r ]∧q. ≡ ( p∨q)∧(r ∧q). ≡ ( p∨q)∧(q∧r ). ≡ [( p∨q)∧q]∧r . ≡ q∧r .

1.22 Usando el álgebra de proposiciones demuestre que las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes. a) [( p∧q ∧r)∨( p∧q∧r )]≡ ( q r ) . b) [( p∨q∨r )∨( p ∧q ∧r )]∧[(q∧r)∨(q∧r )∨( q ∧r)]≡ q∨r . c) p∨To≡ To. d) p∧Fo≡ Fo. e) [( p∧q)∧( q p ) ≡ p. f) [q∨( r ∧q)∧(q∨( p∧r ))]≡ q. ∨

∧


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g) h) i) j) k)

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[( p∧q )∨( p∧r )∨( p∧q)]≡ p. [( p∨q )∧(q∨r )∧(q∨r )]≡ p∧q. p∨[ p∧( p∨q)]≡ p. p∨q∨( p ∧q ∧r )≡ p∨q∨r . [( p ∨q )→( p∧q∧r )]≡ p∧q.

1.23 Sean p, q dos proposiciones tales que q≡ To, es decir q es una proposición siempre verdadera. Demuestre que a) ( p∨q)≡ q. b) ( p∧q )≡ Fo. c) ( p∧q)≡ p. d) ( p ∨q)≡ To. 1.24 Determinar si los siguientes argumentos son válidos. a) p→(q∨r ) f) p∨q. p∨q q→r . r ∨q ∴ p

p→m. m

b)

∨q. q ∨r . p∨r . ∴ r . p

c) p→r . →q. q→ s. ∴ r →s.

.

∴ r ∧( p∨q).

g) p→(q→ s). p. r ∨ q. ∴ r → s.

p

d) c∨d . (c∨d )→e . e →(a∧b ). (a∧b )→( f ∨ g ). ∴ f ∨g. e) p∨q. q→r . q→ s.

h) u→r . (r ∧ s)→( p∨t ). q→(u∧ s). t . ∴ q→ p. i) p→r . r → s. t ∨ s . t ∨ u. u. ∴ p.

∴ s∨r .

1.25 Determine si la conclusión C se obtiene lógicamente da las premisas H1 y H2. a) H1: p→q H2: ( p ∧ q ) C : p . b) H1: p H2: p↔q C : ( p ∧ q ) . Una introducción a las matemáticas de la computación

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c) H1: p→ q

H2: q

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C: p.

1.26 Muestre que la conclusión C se obtiene de las premisas H1, H2,... en los casos siguientes. a) H1: p→q C: p→( p∧q). H2: ( q ∧ r ) H2: p∨q H2: p→q H2: q→r H2: p∨ p

b) H1: p ∨q c) H1: p d) H1: q e) H1: p→q f) H1: r 1.27 a) b) c) d) e)

r H3:

C: p . C: q. C: p . C: p→r . C: r .

Determine si la conclusión C es válida en lo que sigue, cuando H1, H2,... son las premisas H1: p→q H2: q C: p. H1: p∨q H2: p→r H3:q→r C: r . H1: p→(q→r ) H2: p∧q C: r . H1: p→(q→r ) H2: r C: p. H1: p H2: p∨q C: p∧q.

1.28 Demuestre que ( p ∧ q ) se obtiene de

p

q

∨

.

1.29 1. 2. 3.

Demuestre que 3–2=1 si (1+1=2)∧(2+1=3). (3-2=1)∨( 2 −1 = 1) . (1+1=2)→(2-1=1).

1.30 1. 2. 3. 4.

Muestre que las siguientes premisas son inconsistentes. Si Andrés falta a clases por enfermedad, entonces reprueba matemáticas. Si Andrés reprueba matemáticas, entonces es un ignorante. Andrés falta a clases por enfermedad y lee muchos libros. Si Andrés lee muchos libros entonces no es un ignorante. p: Andrés falta a clases por enfermedad. q: Andrés reprueba matemáticas. r : Andrés es un ignorante. s: Andrés lee muchos libros. p→q. q→r . p∧ s. s→ r .

1.31 Demuestre la validez de los siguientes argumentos, para los que las premisas están a la izquierda, y la conclusión de la derecha. a) ( p ∧ q ) ,

q

∨r , r

p

.


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b) (a→b)∧(a→c), ( b ∧ c ) , d ∨a c) d) e) f) g) h)

(m∨n), (h∨ g )→ j , h∨ g p→q, ( q ∨r )∧ r , ( p ∧ s ) , ( p∧q)→r , r ∨ s, s p→q, q→ r , r , p∨( j∧ s) b∧c, (b↔c)→(h∨ g ) ( p→q)→r , p∧ s, q∧t j

d .

m∨n.

→

s p

.

∨q . j∧ s. g ∨h.

r .

1.32 Demuestre que la conclusión es consecuencia de las premisas dadas. Usa la regla CP si es necesario. a) p ∨q, q ∨r , r → s⇒ p→ s. b) p, p→(q→(r ∧ s))⇒q→ s. c) p→q⇒ p→( p∧q). d) ( p∨q)→r ⇒( p∧q)→r. e) p→(q→r ), q→(r → s)⇒ p→(q→ s). 1.33 Demuestra la validez de cada argumento. Premisas Conclusión p . p→ q , r →q, r p→ q , r →q, q r . p . p→q, r ∨q , r p→ q , r ∨q, r  p. p→q, p∨r , q r. p→ q , p∨r , r q. p→ q , q∨r , p r . p . a) p→r , r → s, t ∨ s , t ∨u, u s. r → b) p→r , p →q, q→ s c) p→q, q→(r ∧ s),  r ∨( t ∨u), p∧t u. d) ( p ∨ q)→(r ∧ s), r →t , t p. q→ p. e) u→r , (r ∧ s)→( p∨t ), q→(u∧ s),  t f) ( p ∨q)→r , r →( s∨t ), s ∧u , u → t p. q→ s. g) p→q, r ∨ s, p∨r r . h) p, p→q, q ∨r ( p ∨ r ) . i) p→q, q , r p . j) p→q, r →q , r k) p→(q→r ), q → p , p r . l) p∧q, p→(r ∧q), r →( s∨t ), s t . m) p→(q→r ), p∨ s, t →q, n) p∨q, p ∨r , r o) p→q, (q∧r )→ s , r

s

r → t .

q. p→ s.


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1.34 Demuestra la validez de los siguientes argumentos. a) Si María estudia, entonces aprobará computación. Si María no va al cine, entonces estudiará. María reprobó computación. Por lo tanto María fue al cine. p. María estudia q: María va al cine. r : María aprueba computación.

Premisas p→r . q→ p. r . ∴ q. b) Cuando hay marchas, transportarse es difícil. Si llegan a tiempo, entonces transportarse no es difícil. Llegaron a tiempo. Por lo tanto no hubo marcha. p: Hay marchas. q: Transportarse es difícil. r : Llegaron a tiempo. Premisas p→q r →q r ∴ p

c) Si A trabaja duro, entonces B o C se divertirán. Si B se divierte, entonces A no trabajó duro. Si D se divierte, entonces C no. Por lo tanto si A trabaja duro, entonces D no se divertirá. a: A trabaja duro. b: B se divierte. c: C se divierte. d : D se divierte. Premisas a→(b∨c) b→a d →c ∴ a→d

1.35 Escriba el siguiente argumento en forma simbólica. Establezca después la validez del argumento o dé un contra ejemplo para mostrar que no es válido. a) Si se requiere ya sea álgebra o geometría, entonces todos los estudiantes cursarán matemáticas. Se requiere el álgebra y se requiere la trigonometría. Por lo tanto, todos los estudiantes tomarán matemáticas. b) Si continua la investigación se descubre nueva evidencia. Si se descubre nueva evidencia, entonces muchos importantes ciudadanos son implicados. Si muchos importantes Una introducción a las matemáticas de la computación

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ciudadanos son implicados, entonces los periódicos detienen la publicación del caso. Si la continuación de la investigación implica que los periódicos detienen la publicación del caso, entonces el descubrimiento de nueva evidencia implica que la investigación continúa. La investigación no continúa. Por lo tanto, no se descubre nueva evidencia. c) Si el rey no se enroca y el peón avanza, entonces o el alfil queda bloqueado o la torre inmovilizada. Si el rey no se enroca, entonces, si el alfil queda bloqueado entonces el juego es tablas. O el rey se enroca o si la torre es inmovilizada se pierde el cambio. El rey no se enroca y el peón avanza. Por lo tanto, o el juego es tablas o se pierde el cambio. d) Si Andrés está presente entonces Pedro está presente, y si Pedro está presente entonces Carlos no está presente. Si Carlos está presente entonces David no está presente. Si Pedro está presente, entonces Juan está presente. Si David no está presente entonces Fernando está presente. O Juan no está presente o Fernando no está presente. Por lo tanto, o Andrés no está presente o Carlos no está presente. e) Si o Jorge se inscribe o Eduardo se inscribe entonces Edith no se inscribe. O Edith se inscribe o Eduardo se inscribe. Si o Eduardo se inscribe o Jorge no se inscribe entonces Jaime se inscribe. Jorge se inscribe. Por lo tanto, o Jaime se inscribe o Eduardo no se inscribe. f) Si Tomás recibió el mensaje entonces Tomás tomó el avión, pero si Tomás no tomó el avión, entonces Tomás faltó a la reunión. Si Tomás faltó a la reunión, entonces David fue elegido consejero, pero si David fue elegido consejero, entonces Tomás recibió el mensaje. Si o Tomás no faltó a la reunión o Tomás no recibió el aviso, entonces o Tomás no tomó el avión o David fue elegido consejero. Tomás no faltó a la reunión. Por lo tanto, o Tomás no recibió el mensaje o Tomás no faltó a la reunión. g) Si Marco fue vacunado hace poco entonces él tiene fiebre. O Marco fue vacunado hace poco tiempo o si aparecen viruelas entonces Marco debe ser aislado. O Marco tiene sarampión o si se le desarrolla salpullido entonces hay complicaciones. Si Marco tiene sarampión entonces tiene fiebre. Si Marco no fue vacunado hace poco y Marco no tiene sarampión, entonces o se le desarrolla salpullido o le aparecen viruelas. Marco no tiene fiebre. Por lo tanto o hay complicaciones o Marco debe ser aislado. h) Si Rosa María obtiene el puesto de supervisor y trabaja mucho, entonces obtendrá un aumento. Si obtiene un aumento, entonces comprará un auto nuevo. Ella no ha adquirido un auto nuevo. Por lo tanto, Rosa María no ha obtenido el puesto de supervisor o no ha trabajado mucho. i) Si José apuesta en el casino, entonces María se va de la casa. Si Carlos juega cartas toda la noche, entonces Martha se va de la casa. Si María o Martha se van de la casa le avisarán a su mamá. La mamá de María y Martha no ha tenido noticias de sus hijas. En consecuencia, ni José fue al casino ni Carlos jugo cartas toda la noche.


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j) Si Pepe va a la escuela el lunes por la mañana, entonces deberá levantarse muy temprano ese día. Si va al baile de los Temerarios el domingo por la noche, entonces llegará a su casa después de las 12 p.m. si Pepe llega a su casa a esa hora y se levanta temprano al día siguiente, entonces tendrá que ir a la escuela después de dormir menos de cinco horas. Por desgracia Pepe no puede ir a la escuela con menos de cinco horas de descanso. Por lo tanto, Pepe no deberá ir al baile de los Temerarios o deberá faltar a la escuela el lunes por la mañana. k) Si estudio obtengo buenas calificaciones. Si no estudio me divierto. Por lo tanto, u obtengo buenas calificaciones o me divierto. l) Si el suministro de plata permanece constante y la utilización de plata aumenta entonces el precio de la plata se eleva. Si un aumento en el uso de la plata implica que se eleva el precio de la plata entonces lloverán especuladores. El suministro de plata permanece constante. Por lo tanto, lloverán especuladores. m)Pedro es elegido presidente de la sociedad de alumnos o ambos Paco y Pablo son elegidos consejeros. Si Pedro es elegido presidente de la sociedad de alumnos o Paco es elegido consejero, entonces David presentará una protesta. Por lo tanto, o Pablo es elegido consejero o David presentará una protesta. n) Si se usa una buena carnada entonces si los peces están mordiendo entonces tiene probabilidades de pescar. Él usa buena carnada, pero no tiene probabilidades de pecar. Por lo tanto, los peces no muerden. o) El gobernador y el suplente del gobernador ambos intentan reelegirse, o la campaña primaria quedará despejada y el partido fragmentado por las disensiones. El gobernador no intentará reelegirse. Luego, el partido quedará fragmentado por las disensiones. p) Si los Dodgers ganan el gallardete entonces ganarán la serie. Por lo tanto, si los Dodgers ganan el gallardete entonces si continúan pegando entonces ganarán la serie. q) Si el candidato Pérez atrae el voto de los granjeros entonces se adjudicará las áreas rurales, y si atrae el voto de los trabajadores entonces se adjudicará los centros urbanos. Si se adjudica tanto las áreas rurales como los centros urbanos está seguro de su elección. No está seguro de su elección. Por lo tanto, o no atrae el voto de los granjeros o no atrae el voto de trabajadores. r) Argentina no se une a la alianza o Brasil la boicotea, pero si Argentina se une a la alianza entonces Chile la boicotea. Si Brasil boicotea la alianza entonces si Chile la boicotea entonces Ecuador la boicotea. Por lo tanto, si Argentina se une a la alianza entonces Ecuador la boicotea. s) Si Argentina se une a la alianza entonces tanto Brasil como Chile la boicotean. Si o Brasil o Chile boicotean la alianza entonces la alianza no será efectiva. Por lo tanto, si Argentina se une a la alianza entonces la alianza no será efectiva.


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t) Carlos tomó o el autobús o el tren. Si tomó el autobús o condujo su propio automóvil entonces llegó tarde y se perdió la reunión. No llegó tarde. Por lo tanto, él tomó el tren. u) Si te inscribes en el curso y estudias duro entonces pasarás, pero si te inscribes en el curso y no estudias duro entonces no pasarás. Por lo tanto, si te inscribes en el curso entonces o estudias duro y pasarás o no estudias duro y no pasarás. v) Si los precios bajan o suben los salarios entonces las ventas al menudeo y las actividades publicitarias aumentan. Si las ventas al menudeo aumentan entonces los destajistas ganan más dinero. Pero los destajistas no ganan más dinero. Por lo tanto, los precios no bajan. w)Si entra a la campaña primaria entonces si hace una campaña vigorosa entonces es nominado. Si gana la nominación y recibe el apoyo del partido, entonces será elegido. Si toma en serio la plataforma del partido entonces recibirá el apoyo del partido, pero no será elegido. Por lo tanto, si participa en la campaña primaria entonces si hace una campaña vigorosa entonces no toma en serio la plataforma del partido. x) Rebajan la tarifa o las importaciones siguen disminuyendo y nuestras propias industrias prosperan. Si rebajan la tarifa entonces nuestras propias industrias prosperan. Por lo tanto, nuestras propias industrias prosperan. y) hace reparar su automóvil o compra uno nuevo. Si hace reparar su automóvil deberá mucho dinero al taller de reparaciones. Si debe mucho dinero al taller tardará en salir de sus deudas. Si compra un auto nuevo entonces pedirá un préstamo al banco, y si pide un préstamo al banco tardará en salir de sus deudas. O sale pronto de sus deudas o sus acreedores lo llevarán a la ruina. Por lo tanto sus acreedores lo llevarán a la ruina. z) Si sale de día de campo viste ropa sport. Si viste ropa sport entonces no asiste a ambos, al banquete y a la fiesta. Si él no asiste al banquete conserva su boleto de entrada, pero él ya no tiene su boleto de entrada. El asiste a la fiesta. Por lo tanto, no sale de día de campo. aa) Si estudia ciencias entonces se prepara para vivir desahogadamente, y si estudia humanidades entonces se prepara para vivir adecuadamente. Si él se prepara para vivir desahogadamente o se prepara para vivir adecuadamente, entonces sus años de universidad están justificados. Pero sus años universitarios no están justificados. Por lo tanto, no estudia ni ciencias ni humanidades. bb) Si siembra tulipanes entonces su jardín florece temprano, y si siembra margaritas su jardín florece tarde. De modo que si siembra o tulipanes o margaritas su jardín florece tarde o temprano. cc) Si vamos a Europa entonces recorremos Escandinavia. Si vamos a Europa entonces si recorremos Escandinavia entonces visitamos Noruega. Si recorremos Escandinavia entonces si visitamos Noruega entonces haremos un viaje a los Fiordos. Por lo tanto, si vamos a Europa haremos un viaje a los Fiordos.


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dd) Si el reloj está adelantado, entonces Juan llegó antes de las diez y vio partir el coche de Andrés. Si Andrés dice la verdad, Juan no vio partir el coche de Andrés. O Andrés dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimen. El reloj está adelantado. Por lo tanto Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen. ee) Si el Barcelona no es primero, entonces lo es el Madrid. Pero el Madrid no es primero. O el Barcelona no es primero o el Español es tercero. Si el Atlético es segundo, el Español no es tercero. Por lo tanto el Atlético no es segundo. 1.36 Traducir cada una de las siguientes oraciones a la notación lógica de las funciones proposicionales y los cuantificadores. a) Todas las tiendas están cerradas. b) Algunos elementos no son radiactivos. c) Algunos vertebrados son aves. d) Algunos hombres son inteligentes. e) Existen números reales que son racionales. f) Todas las tiendas no están cerradas. g) Ninguna tienda está cerrada. h) Hay tiendas no cerradas. i) Hay tiendas cerradas. j) Algunos políticos son honrados. k) Todos los Hippies aman la naturaleza. l) Nadie es amigo de todos. m) Algunas personas son gemelos. n) Las serpientes son reptiles. o) Las serpientes no son todas venenosas. p) Los niños están presentes. q) Los ejecutivos todos tienen secretarias. r) Sólo los ejecutivos tienen secretarias. Una introducción a las matemáticas de la computación

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Ejercicios

s) Sólo los propietarios pueden votar en las elecciones municipales especiales. t) Los empleados sólo podrán utilizar el ascensor de servicio. (u(x): x es un ascensor que los empleados podrán utilizar, A(x): x es un ascensor de servicio). u) Sólo los empleados podrán utilizar el ascensor de servicio. (E(x): x es un empleado, U(x): x puede utilizar el ascensor de servicio). v) Nadie sino los valientes merecen a la bella. (B(x): x es valiente, D(x): x merece a la bella). w) No todos los visitantes se quedaron a cenar. x) Ningún visitante se quedó a cenar. y) Nada en la casa escapó a la destrucción. (C(x): x estaba en la casa, E(x), x escapó a la destrucción). z) Algunos estudiantes son inteligentes y trabajadores. aa) Ningún abrigo es impermeable a menos que haya sido especialmente tratado. bb) Algunos medicamentos son peligrosos sólo si se toman en cantidades excesivas. cc) Todas las frutas y las verduras son sanas y nutritivas. dd) Cada cosa placentera es o inmoral, o ilegal, o engorda. (M(x): x es moral). ee) Un profesor es un buen conferencista si y sólo si esta bien informado y es entretenido. ff) Sólo los policías y los bomberos son indispensables y mal pagados. gg) No todo actor famoso tiene talento. hh) Cualquier chica es atractiva si es bien arreglada y de buen gusto. ii) No es verdad que todo reloj dará la hora correcta si y sólo si se le da cuerda con regularidad y no se le maltrata. jj) No toda persona que habla mucho tiene mucho que decir. kk) Ningún automóvil que tenga más de diez años será reparado si está seriamente dañado. 1.37 Dar una interpretación, al menos, en el lenguaje ordinario, de los siguientes enunciados: a) ∀ x(P( x)→ ( x)) Una introducción a las matemáticas de la computación

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b) c) d) e) f) g) h)

Ejercicios

∀ x(P( x)→Q ( x, y ) ) ∃ x(P( x)∧Q( x)) ∃ x (P( x)∧Q( x)) ∃ x(P( x)∧Q ( x ) ) ∃ x (P( x)∧Q ( x ) ) x (P( x)→Q( x)) ∀ ∃ x ( P ( x) ∧Q ( x ))


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EJERCICIOS UNIDAD I

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