EJERCICIOS UNIDAD 1_ MATEMÁTICAS DISCRETAS TEORIA DE CONJUNTOS
PRESENTADO POR: ANA YICELA BUITRAGO JEREZ-1084869659
PRESENTADO A: LUIS GERARDO ARGOTY HIDALGO
GRUPO: 204041_7
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA 08/03/2018
INTRODUCCION
En el siguiente trabajo se presenta el desarrollo de ejercicios correspondientes a a la evaluación de los conocimientos sobre temáticas fundamentales de la Unidad 1, en lo que respecta a teoría de conjuntos e Inducción y Recursividad Matemática. La temática de teoría de conjuntos es correspondiente a los estudios de la Lógica Matemática, como lo es también la Inducción Matemática, aunque la primera es más de corte operativo y objetivo y la última es más de corte sistemático, por tal razón el propósito es demostrar la validez de un postulado en formula. Por medio de la realización de ejercicios en complemento grupal se logra complementar ideas y construir aprendizaje significativo
1. Escriba por extensión el conjunto y realice el diagrama de Venn
4. S = {x/ x es una letra de la palabra “calcular”}
EXTENCION: S={c, a, l, u, r} COMPRENCION: S = {x/ x es una letra de la palabra “calcular”}
Diagrama de Venn
II. Clasifique los dos conjuntos, justifique adecuadamente.
4. a) G = {x/x es presidente de la Atlántida en el período 2016-2018} b) H = {x/x ∊ℕ, x > 10} Solucion G = {x/x es presidente de la Atlántida en el período 2016-2018}
conjunto vacio o nulo Es un conjunto vacio o nulo debido a que no existe un presidente en la atlantida en el periodo 2016-2018 ya que esta isla es una isla mitica que no existe por tanto:
A∅ A{} b) H = {x/x
, x > 10}
Es un conjunto infinito Es un conjunto infinito ya que tiene una cantidad ilimitada de elementos. X pertenece a los números naturales de tal forma que x tiene que ser mayor que 10 asi:
A {11,12,12,14,15,16,17,18... }
III 4
Dados los conjuntos A = {r, s, t}; B = {t, u, v, w} C= {v, w, x, y, z} D = {a, b, c} U = {a, b, c, d, e, r, s, t, u, v, w, x, y, z}
Justifique debidamente si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F).
a) {B}
P (B)
……………………..
V (verdadero)
{B}= {t, u, v, w} P(B)= {Ø, {t}, {u}, {v}, {w}, {t,u}, {t,v}, {t,w}, {u,v}, {u,w}, {v,w}, {t,u,v}, {t,u,w}, {t,v,w}, {u,v,w}, {t,u,v,w}}
Luego se observa que el conjunto B={B}, pertenece al conjunto de las partes de B=P(B)
⇒
{B} € P (B) verdadero
b) u P (B)
……………………….
(V) verdadero
U= {a,b,c,d,e,r,s,t,u,v,w,x,y,z} Si observamos los elementos del conjunto universal (U) en el encontramos los elementos de P(B)
IV. Dados los conjuntos U = {x/x es número dígito}, M = {2, 4, 6, 8}, N = {1, 3, 5, 7}, R = {2, 4, 5, 7}, S = {0, 1, 3} Realice lo indicado:
4. a) Diagrama de Venn de R∆N R = {2, 4, 5, 7} ∆ N = {1, 3, 5, 7} R ∆ N= {
( ∪ ) − ∩ )}
∪ 1,2,3,4,5,7 ∩ {5,7} ∆ 1,2,3,4 b) Analíticamente (S’ – R’)
(M U N)={1,2,3,4,5,6,7,8} (S’ – R’)=
{2,4,5,7}
(M U N)={1,2,3,4,5,6,7,8}
⋂ (M U N)
(S’ – R’)
⋂ (M U N)= {2,4,5,7}
INDUCCIÓN Y RECURSIVIDAD 4: Demuestre por inducción matemática que 2 + 4 + 6 +… + 2n = n(n+1) Paso 1: Verificamos la igualdad en sumatoria cuando n=1
∑2 ( 1) =
∑2 2 1(1 1) 1(2) 2 =
. Paso 2: Como sabemos que la igualdad es verdadera establecemos la Hipótesis
de inducción
∑ ( ) =
Se comprueba la hipótesis cuando n = k Ahora postulamos la Tesis de Inducción donde
..() +
∑ ( )() = +
∑ ( )() =
+
∑ (( ) ( ) ( )( )) =
∑ ( ) =
∑ ⋯ = +
+
=
=
∑ ⋯ ( ) (∑ ( ))
Aplicamos factor común para demostrar:
( ) ( )( ) Operando y solucionando por medio de factorización, también se logra demostrar:
+
∑ ( ( 1) 2( 1)
= 2 2 ( 1)( 2)
3 2 ( 1)( 2) Factorizando se tiene
3 2 ( 1)( 2) ( )( ) ( )( ) Con ello hemos demostrado la validez con K para cualquier número natural.
Referencias
Donializ. (26 de Septiembre de 2011). es.sildeshare. Obtenido de Sumatorias i: http://es.slideshare.net/donializ/sumatorias-i Liu, C. L. (2005). http://bibliotecavirtual.unad.edu.co. Obtenido de Elementos de matemáticas discretas (2a.ed.): http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=104446 47&p00=Elementos+de+matem%C3%A1ticas+discretas Matemáticas, á. (18 de Marzo de 2016). Youtube.com. Obtenido de Inducción matemática. Sumatoria de 1 a n = n(n+1)/2: https://www.youtube.com/watch?v=wNIOi4aZalY SÁEZ, E., & SZANTO, I. (UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA de DEPARTAMENTO DE MATEMATICA de s.f). esaez.mat.utfsm.cl . Obtenido de Inducción Matemática: http://esaez.mat.utfsm.cl/iii.pdf
