̇ =
1.32. En un contenedor cilíndrico largo de pared delgada se empacan desechos radiactivos. Estos generan energía térmica de manera no uniforme de acuerdo con la relación , donde es es la velocidad local de generación de energía por unidad de volumen, es una constante, y es el radio del contenedor. Las condiciones de estado estable se mantienen sumergido el contenedor de un líquido que está a y proporciona un coeficiente de convección h uniforme.
̇ 1/̇ ̇
∞
∞, ℎ
̇ 1/ Obtenga una expresión para la velocidad total a la que se genera energía por unidad de longitud del contenedor. Aproveche este resultado y obtenga una expresión para la temperatura Ts de la pared del contenedor. SOLUCIÓN
Esquema:
∞, ℎ
Fluido
̇ 1/
̇ ̇
Hipótesis:
Estado Estable. Caída de temperatura a través sobre de las paredes es insignificante.
Análisis: El flujo de generación de energía será:
̇ = ∫ ̇ = ∫ 1 ()2.. = 2. ̇ .∫ 1 () . ̇ = 2. ̇.2 4 = .̇2. . ̇′ = ̇ = .̇2. ̇′ ̇′ = 0 .̇2. = ℎ2 ∞ = ∞ + 4ℎ̇
O por unidad de longitud:
Al realizar un balance de energía para la superficie de control, en un instante
Y al sustituir por el flujo de calor por convección por unidad de longitud:
2.22. Se observa que la distribución de temperatura de estado estable en una pared unidimensional de conductividad térmica 50 W/m.k y espesor 50 mm es T (°C)=a + bx2, donde a = 200 °C, b = -2000 °C/m2, y x esta en metros.
̇
a) ¿Cuál es la rapidez de generación de calor en la pared? b) Determine los flujos de calor en las dos caras de la pared. ¿De qué manera se relacionan estos flujos de calor con la rapidez de generación de calor? SOLUCIÓN Esquema:
L
x
Hipótesis:
= 50 /. , ̇ ̇ = + ′ ′ 0 ° = 200°°/ { =2000
L = 50 mm
Condiciones de estado estable Flujo de calor unidimensional
Análisis: a) Ley de Fourier:
̇ = [] ̇ = [ +] = 2 = 2 ̇ = 2(2000 ° ) 50 . = 2.0 10 /
Distribución de temperatura:
b) Los flujos de calor en las caras de las paredes se evalúan con la ley de Fourier:
Gradiente:
′ = ] ′ = + = 2 500 ′ 0 = 0 ′ = 2 = 2( . )(2000 ° ) 0.050 ′ = 10,000 /
Los flujos en x=0 y x=L:
3.6.
Una técnica para medir coeficientes de transferencia de calor implica adherir una superficie de una hoja metálica delgada a un material aislante y exponer la otra superficie a las condiciones de corriente del fluido de interés.
é
Al hacer pasar una corriente eléctrica a través de la hoja, se disipa calor de manera uniforme dentro de la hoja y se infiere el flujo correspondiente, , a partir de las mediciones de voltaje y corriente relacionadas. Si se conocen el espesor L del aislante y la conductividad térmica K, y se miden las temperaturas del fluido, hoja y aislante (T∞, Ts, T b), es posible determinar el coeficiente de convección. Considere condiciones para las que T∞ = T b = 25 °C, = 2000 W/m2, L = 10 mm. y k = 0.040 W/m.K
é
a) Con un flujo de agua sobre la superficie, la medición de la temperatura de la hoja da Ts = 27 °C. Determine el coeficiente de convección. ¿Qué error se cometería al suponer que toda la potencia disipada se transmite el agua por convección? b) Si, en su lugar, fluye aire sobre la superficie y la medición de temperatura da Ts = 125 °C, ¿Cuál es el coeficiente de convección? La hoja tiene una emisividad de 0.15 y se expone a alrededores a 25 °C. ¿Qué error se cometería al suponer que toda la potencia que se disipa se transfiere al aire por convección? SOLUCIÓN Esquema: Aire o Agua h, T∞= 25 °C L = 10 mm
′ ′ ′
′ = =272000/ ° ′ = 125 °
Aislamiento (k = 0,040 W/m.K) T b = 25 °C
Alrededor TAlr = 25 °C
Hipótesis:
Estado estable Conducción unidimensional
Análisis: a) Balance de energía:
′ = ′ +′ = ℎ ∞+ / 2 00 ℎ = ′ / 0.04/. 2/0.01 = ∞ 2 200 8/ ℎ = 2 = 996 /.
Si se descuida la conducción, se obtiene un valor de h = 1000 W/m2.K, con un error de asistencia de (1000 – 996)/996 = 0.40% b)
′ = ′ +′ +′ ′ = ℎ ∞+ + / ℎ = ∞ / = 2000 / 0.155.6710. /.398100 298 0.04 /.100/0.01 = 14.5 /. −−/ =
3.38. Una larga varilla cilíndrica de 100 mm de radio está hecha de un material de reacción nuclear (k = 0.5 W/m.K) que genera 24.000 W/m3 de una manera uniforme a lo largo de su volumen. Esta varilla esta encapsulada dentro de un tubo que tiene un radio externo de 200 mm y una conductividad térmica de 4 W/m.K. La superficie externa está rodeada por un fluido a 100 °C, y el coeficiente de convección entre la superficie y el fluido es 20 W/m2.K. Encuentre las temperaturas en la interfaz entre dos cilindros y la superficie externa.
Esquema:
= 4/. ∞ = 27 ° ℎ = 25 / Manga,
Barra
= 0.5 /. ̇ = 24,000 /
Hipótesis:
Conducción radial unidimensional. Condiciones de estado estable.
Análisis: a) Circuito Termico:
∞ ′ ′ = ̇′ = ̇ = 24,000 . .0.20 /4 = 400 l n l n / ′ = 2 = 2 x 4 200 − = 2. 7 5810 . / /. = ℎ1 = 25 . x 1 x 0.400 = 3.18310− . / ′ = ′ + ′∞ = ′ ∞ = ∞ + ′′ + ′ = 27 ° +754 2.758x10− +3.183x10−/. = 71.8 ° = ∞ + ′′ = 27 ° +754 x 3.183x10− ./ = 51.0 ° 754 W/m
Ecuación de velocidad:
b) Temperatura en centro de la varilla:
̇ 2 4, 0 00 / 0. 1 00 0 = = 4 + = 4x0.5 /. +71.8 ° = 192 °
′
′ , ,
3.60. La superficie externa de una esfera hueca de radio , se sujeta a un flujo de calor uniforme . La superficie interna en se conserva a una temperatura constante
,
.
a) Desarrolle una expresión para la distribución de temperaturas T(r) en la pared de la esfera en términos de , , , , y la conductividad térmica del material de la pared k. b) Si los radios interno y externo son = 50 mm y = 100 mm. ¿Qué flujo de calor se requiere para mantener la superficie externa a = 50 °C, mientras que la superficie interna está a = 20 °C? La conductividad térmica del material de la pared es k = 10 W/m.K.
′
Hipótesis:
,
3.92. El medidor de calor por radiación que se muestra en el diagrama está construido con hoja metálica de constantán, que se cubre de negro y tiene la forma de un disco circular de radio R y espesor t. El mediador se localiza en un recinto vacío. El flujo de radiación incidente que absorbe la hoja, , se difunde hacia la circunferencia exterior y al anillo grande de cobre, que actúa como un sumidero de calor a temperatura constante T(R). Dos alambres conductores de cobre se unen al centro de la hoja y al anillo para completar un circuito termopar que permite la medición de la diferencia de temperaturas entre el centro de la hoja y su extremo. ΔT = T (0) – T(R).
′
Obtenga la ecuación diferencial que determina T(r), la distribución de temperaturas en la hoja, en condiciones de estado estable. Resuelva esta ecuación para obtener una expresión que relacione ΔT con . No tome en cuenta el intercambio de radioacion entre la hoja y sus alrededores.
′
4.2.
Una placa rectangular bidimensional se sujeta a condiciones de frontera preestablecidas. Mediante los resultados de la solución exacta para la ecuación de calor que se presentó en la sección 4.2, calcule la temperatura en el punto medio (1, 0.5) considerando los primeros cinco términos diferentes de cero de la serie infinita que debe evaluarse. Estime el error que resulta de utilizar solo los primeros tres términos de la serie infinita. Elabore una gráfica de las distribuciones de temperaturas T(x, 0.5) y T (1.0, y).
5.8.
Una bala esférica de plomo de 6 mm de diámetro se mueve aproximadamente a Mach 3. La onda de choque resultante calienta el aire alrededor de la bala a 700 K, y el coeficiente de convección promedio para la transferencia de calor entre el aire y la bala es 500 W/m 2·K. Si la bala sale de la escopeta a 300 K y el tiempo de vuelo es 0,4 s, ¿cuál es la temperatura en la superficie en el momento del impacto?
6.7.
Los experimentos que se hicieron a fin de determinar el coeficiente de transferencia de calor por convección para un flujo uniforme normal a un disco circular calentado dan una distribución radial del número de Nusselt de la forma
= = 1 + donde n y a son positivos. El número de Nusselt en el punto de estancamiento esta
= / = ℎ = 0 = 0.814/. ̅ = ℎ̅/
correlacionado en términos de los números de Reynolds
y de Prandtl
Obtenga una expresión para el número de Nusselt promedio. , que corresponda a una transferencia de calor desde un disco isotérmico. Normalmente, el desarrollo de una capa limite desde un punto de estancamiento da un coeficiente de convección que disminuye al amentar la distancia desde el punto de estancamiento. Proporcione una explicación plausible de por qué se observa la tendencia opuesta para el disco.
7.38. Un arreglo de 10 chips de silicio, cada uno de longitud L = 10 mm por lado, está aislado en una superficie y se enfría en la superficie opuesta mediante aire atmosférico un flujo paralelo T∞ = 24 °C y = 40 m/s. Cuando está en uso, se disipa la misma potencia eléctrica en cada chip lo que mantiene el flujo de calor uniforme sobre toda la superficie enfriada. Si la temperatura de cada chip no excede 80 °C, ¿Cuál es la potencia máxima permisible por chip? ¿Cuál es la potencia máxima permisible si un generador de turbulencia se usa para disparar la capa limite en la primera orilla? ¿Sería preferible orientar el arreglo como normal, en lugar de paralelo, al flujo de aire?
∞
8.22. Por un tubo de 25 mm de diámetro fluye aceite de motor a razón de 0.5 kg/s. El aceite entra al tubo con una temperatura de 25 °C, mientras que la temperatura del tubo se mantiene a 100 °C. a) Determine la temperatura de salida del aceite para un tubo de 5 m y uno de 100 m de longitud. Para caso, compare la diferencia de temperatura media logarítmica con la diferencia de temperaturas media aritmética. b) Para 5 ≤ L ≤ 100 m. calcule y grafique el número de Nusselt promedio y la temperatura de salida del aceite como función de L.
̅
