UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA FACULTAD DE ESTUDIOS A DISTANCIA PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL
Ejercicios Solucionados Taller 1 3. Un tanque tiene forma de cono invertido, con una altura de 8,2ft, 8,2ft, y radio de la base r=2,46ft, si se vierte agua en el tanque a razón de 3,96gal/s. ¿Cuánto tiempo en horas tardará en llenarse el tanque?
Para determinar el tiempo que tarde en llenarse es necesario primero conocer el v olumen tiene, como es un cono, l a definición del volumen es:
= ℎ → = 2,468,2 → =51,96 3
Se expresa el volumen en m .
=51,96 0,3048 1
0,02832 = 51,96 51,96 1 =1,471
Como se tiene la razón de llenado, se despeja el tiempo, 3 pero primero se expresa la razón, en m /s.
=3,96 3,786 1 =0,01499 / 1 1000 1,471 1ℎ → =0,0273ℎ = 0,01499/ → =98,165 3600 El tiempo que se necesita para llenar el tanque es 0,0273h. 6. La atmósfera tiene un peso que es, efectivamente, alrededor de 15libras por cada pulgada cuadrada de la superficie de la tierra. La densidad promedio del aire en la superficie de la tierra es 3 alrededor de 1,275kg/m . Si la atmósfera fuese uniformemente densa (no lo es, la densidad varía 3 en forma significativa), ¿Cuál sería su espesor? (r Tierra Tierra=6,37x10 km) Como lo que se busca es el espesor de la capa de atmósfera, se debe encontrar el volumen, que se despeja de la densidad, para lo que primero debe encontrarse la masa.
= =6,8181 =1,056810 / , , , 2
El área superficial de la tierra en m , es:
=4 =46,3710 =509904363,8 1000 1 1000000 = 509904363,8 509904363,8 1 =5,09910
Luego la masa total es:
= ∗=1,056810 /5,09910 →=5,38910 De la densidad se despeja el v olumen:
=
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= = 5,38910 =4,22610 1,275 El volumen ocupado por la capa de aire es:
= ℎ Donde la base está determinada por el área es el área superficial de la tierra, y la altura, representa el espesor de la capa de aire sobre ella, que al despejar es:
ℎ = → ℎ = 4,22610 5,09910 →ℎ=8,28910 3
El espesor de la capa de aire sobre la superficie de la tierra es de 8,289x10 m. 8. Una embarcación debe ir de una isla A, a una isla C, que se encuentra a 100km 35° al Este del Norte, si primero viaja desde A, a otra isla B a recoger a un pasajero, 75Km a 120°, qué distancia debe recorrer y en qué dirección debe viajar para llegar de B a C?. Se está buscando el segundo desplazamiento, que va desde la isla B hasta la C.
Y
C
B α
60°
65°
75km
100km
30° 35° 120° X
Como el ángulo entre los vectores es de 65°, se puede aplicar el Teorema de Coseno y del Seno.
BC = √ 100 + 75 21007565° =96,36
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El ángulo se halla aplicando el teorema del seno, teniendo en cuenta que se define con respecto a la cola, por lo que se dibuja el plano cartesiano, para ubicarlo.
= 65° 100 96,36 =sin− 0.9405 =70,14° Para hallar la dirección, como el ángulo se forma con respecto al eje X positivo se le restan los 60° que quedan por debajo del eje X, luego para ir de la isla B a la C se recorre: B C = 96,36km 10,14°
9. Un helicóptero que entrega suministros médicos, despega a las 6:00 de la mañana de la base y realiza los siguientes recorridos, 380Km al Este, luego 420km 40° Oeste del Norte, después 69Km Sur del Oeste y finalmente, 95Km 120°. ¿Cuál es la ubicación del último campamento al que hace entrega con respecto a su base? (Utiliza el método de descomposición vectorial)
Como se deben sumar cuatro vectores el método más sencillo para aplicar es el de descomposición vectorial. D1= 380km Este, el vector está sobre el eje X hacia los positivos, no tiene componente en Y. D1x= 380km D1y= 0km
D2 = 420km 40º Oeste del Norte, como está al oeste del Norte me paro en el Norte y trazo el ángulo hacia el oeste, por lo que el ángulo se forma con el eje Y, entonces las componentes cambian, además está en el segundo cuadrante la componentes en X es negativa, y en Y positiva. 40° D2x= 420kmSen40° D2y= 420kmCos40° D2x= -269,97km D2y= 321,74km
D3 = 69km SO como no tiene ángulo se sabe que es 45°, está en el tercer cuadrante por lo tanto las dos componente en X y en Y son negativas. D3x= 69kmCos45° Ax= -48,79km
D3y= 69kmSen45° D3y= -48,79km
45°
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D4= 95km 120º Como no aparece sino el ángulo se mide a partir del eje X positivo y va en la dirección contraria a las manecillas del reloj, por ser positivo, además como es mayor de 90° queda en el segundo cuadrante luego su componente en X es positiva, y en Y negativa. D4x= 95km Cos120° D4x= -47,5km
D4y= 95kmSen120° D4y= 82,27km
120° 60°
Se suman algebraicamente las componentes Rx= 380km – 269,97km - 48,79km - 47,5km Rx= 13,74km
Ry= 0km + 321,74km - 48,79 km + 82,27km Ry= 355,22km
-1
Aplicando Pitágoras se determina la magnitud y Tg la dirección, teniendo en cuenta que tanto la componente en X, como la componente en Y, son positivas, el vector está en el primer cuadrante: 2
2
2
R = (13,74km) + (355,22 km) R= 355,49 km
355,22
α
α= Tg-1(355,22/13,74)
87,8°
α= 87,8°
La resultante por lo tanto es:
13,74
R= 355,49km 87,8° 11. En una competencia de Drones, dos participantes A y B, que deben llegar a la mismo punto de encuentro realizan los siguientes recorridos ya estando en el aire, Drone A, 12m este, 9m al sur y 8m hacía abajo, Drone B, 9m Oeste, 6m al Norte y 11m hacía abajo..
a. Construya los vectores desplazamiento de cada Drone desde el punto de partida hasta el punto de encuentro, y halle el vector unitario de cada uno.
b. Halle A B , su magnitud y ángulos formados con cada eje, ¿Qué representa este vector diferencia para los participantes? c. Halle A.B
d. Halle
A x B
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a. La construcción de los vectores sería:
Y
X A
Z
= 12+98
Y
B
X
Z
= 9 6 11 Para hallar el vector unitario, primero se halla la magnitud de cada vector aplicando el teorema de Pitágoras.
A = √ 12 + 9 +8 → A = 17 B = √ 9 +6 +11 → B = 15,43
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9 8 = 12 + 17 17 17 = 0,706+0,5290,471 9 6 11 = 15,43 15,43 15,43 = 0,5830,389 0,713 El ángulo con respecto a cada uno de los ejes del vector resultante se calcula con la magnitud del vector y con cada componente teniendo en cuenta los signos y aplicando los cosenos directores. b. Para la diferencia se define primero el vector – B, para hallar A+(-B).
= 9 +6 + 11 + = (12+9 + 9 + 6 + 8 +11) + = 21+15+3
Los ángulos con cada eje se hallan por cosenos directores y con la magnitud de A+(-B).
+ = √ 21 + 15 + 3 → + =25,98 Con respecto al eje x :
21 − = cos− 25,98
36,07°
Con respecto al eje y :
15 − = cos− 25,98
− = 54,73 °
Con respecto al eje z :
3 − = cos− 25,98
A -B es
− = 83,37°
decir A +(-B ), representaría la posición de la casa de tu mamá con respecto a tu apartamento.
c.
El producto punto A.B
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. = 12∗9+ 9∗6 +8∗11 . = 108 + 54 + 88 . = 74 d. El producto cruz AxB: i
j
k
12
9
-8
-6
-11
-9
= (9∗11 6∗8) (12∗11 9∗8) + (12∗6 9∗9) = 147 + 204 + 9
