EJERCICIOS DE APLICACIÓN EJERCICIO No.1. Los productos X y Y deben tratarse en dos máquinas A y B. Para tratar una unidad de X en la máquina A se necesitan dos horas, mientras que en la máquina B, el tiempo necesario es de cinco horas. Los tiempos de tratamiento del producto Y medi me dian ante te las las má máqu quin inas as A y B son son de tres tres y dos dos hora horas, s, resp respec ecti tiva vame ment nte. e. La capacidad de la máquina A es de 400 horas; la de B, 600 horas. El costo unitario del producto X es de $9.00, el del producto Y es de $15.00, y los precios unitarios de venta son de $12.00 para X y $21.00 para Y. El efectivo disponible disponible para el pago de los costos unitarios es $1125.00. $1125.00. *** Formule el Modelo de Programación Lineal correspondiente, para maximizar las ganancias ganancias en el proceso descrito SOLUCION EJERCICIO No.1 PRODUCTO PRODUCTO X PRODUCTO PRODUCTO Y CAPA CAPACIDA CIDAD D MAQUINA B
2 Horas/ ras/u und 5Horas/u s/und
3 Horas ras/un /und 2Horas/und
400 Horas ras 600 Horas ras
Costo X Costo Y
$9 $15
Pventa X Pventa Y
$12 $21
MAQUINA A
EFECTIVO DISPONIBLE : $1.125 VARIABLES: X1 X2
No. De Prod roductos X a producir No. De Prod roductos Y a producir
F.O: MAX Z = 3 * X1 + 6 * X2 S.A. 2 * X1 + 3 * X2 < 400
Restricció tricción n de capacid capacidad ad Máquina uina A
5 * X1 + 2 * X2 < 600
Restricció tricción n de capacid capacidad ad Máquina uina A
9 * X1 + 15 * X2 < 1125 1125
Restricción tricción de Presupuesto esto
X1, X2 > 0
Restricción de No negativida idad
EJERCICIO No.2. Una Una pequeñ pequeña a empres empresa a fabric fabrica a dos dos produ producto ctos, s, A y B. En su ela elabo borac ración ión,, cada cada producto debe pasar por dos (2) secciones. El tiempo de Mano de Obra cuesta U$20 por hora en la Sección 1 y US15 por hora en la Sección 2. Las horas de Mano de Obra necesarias por unidad de cada producto y el total disponible se dan así: SECC SECCIO ION N PROD PRODUC UC PRODUCTO HORAS TO A B DISPONIBL ES 1 4 2 200 2 2 8 300 PRECIO 250 300 DE VENTA (U$) La materia prima cuesta U$15 por unidad. La cantidad máxima de unidades de cada producto son 80 y 100 respectivamente. Si los Precios de venta son U$250 y U$300, respectivamente, Formule un M.P.L., que permita determinar la producción óptima de A y B. SOLUCION EJERCICIO No.2
M.P.PDTO A 4H
2H
SECCION M.P.PDTO B
DISPONIB.200H
SECCION DISPONIB.300H
VARIABLES: Sean XA = No. De unidades a fabricar del producto A. XB = No. De unidades a fabricar del producto B. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS; GANANCIA = PV – COSTO COSTO = COSTO MATERIA PRIMA + COSTO MANO DE OBRA COSTO PDTO A = 15 + 4*20 + 2*15 = U$125 COSTO PDTO B = 15 + 2*20 + 8*15 = U$175 GANANCIA A = U$250 – U$125 = U$125 GANANCIA B = U$300 – U$175= U$125 F.O.: MAX Z = 125*XA + 125*XB s.a.: 4*XA + 2*XB <= 200 2*XA + 8*XB <= 300 XA <= 80 XB <= 100 XA, XB >= 0 EJERCICIO No.3. Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustibles, Ay B. El combustible A tiene: 25% de gasolina grado 1, 25% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina tipo 3. El combustible tipo B, tiene: 50% de gasolina grado 2 y 50% de gasolina grado 3. Disponibles para producción hay 500 galones/hora de gasolina grado 1 y 200 galones/hora de gasolina tipo 2 y 3 respectivamente. Los costos son: U$30/Galón grado 1, U$60/Galón grado 2, U$40/Galón grado 3. Si el Combustible clase A puede venderse a U$75 el galón y el B a U$90 el galón, formule un M.P.L. que debe fabricarse de cada combustible para maximizar la ganancia del fabricante. SOLUCION EJERCICIO No.3 VARIABLES: Sean XA = No. De galones a producir del combustible A. XB = No. De galones a producir del combustible B. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS; GANANCIA = PV – COSTO COSTO = COSTO MATERIA PRIMA + COSTO MANO DE OBRA COSTO PDTO A = 7,5 + 15 + 20 = U$42,5 COSTO PDTO B = 30 + 20 = U$50 GANANCIA A = U$75 – U$42,5 = U$32,5 GANANCIA B = U$90 – U$50 = U$40 F.O.: MAX Z = 32,5*XA + 40*XB s.a.: XA*0,25 <= 500 XA*0,25 + XB*0,5 <= 200 XA*0,5 + XB*0,5 <= 200 XA, XB >= 0 EJERCICIO No.4. Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados. Cada paquete pesa por lo menos 2 libras. Tres tamaños de tuercas y tornillos componen el paquete y se compran en lotes de 200 lbs. Los tamaños 1,2 y 3 cuestan respectivamente U$20, U$8 y U$12, Además: a) El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete. b) El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1,6 libras. c) Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos 10% del paquete total. Cuál será la composición del paquete que ocasionaría un costo mínimo? SOLUCION EJERCICIO No.4 VARIABLES:
Sean Xij = Peso del material i (1,2) del tamaño j (1, 2, 3) (lbs.) i =1: Tuerca, 2: Tornillo j=1: Tamaño 1, 2: Tamaño 2, 3: Tamaño 3 PROBLEMA: Determinar la composición del paquete en lbs. F.O.: Min Z = 20*(X11 + X21) + 8*(X12 + X22) + 12*(X13 + X23) s.a.: X11 + X12 + X13 + X21 + X22 + X23 >= 2 (lbs) X11 + X12 + X13 + X21 + X22 + X23 = 200 (lbs) X11 + X12 + X21 + X22 <= 1,6 (lbs) X21, X22, X23 >= 0.1*(∑Xij) X11 + X21 + X13 + X23 >= 0.5*(∑Xij) Xij >= 0 EJERCICIO No.5. Una empresa manufacturera ha descontinuado la producción de cierta línea de productos no provechosa. Esto, creó un exceso considerable en la capacidad de producción. El gerente está considerando dedicar esta capacidad en exceso a 1 o más de 3 productos; llamémoslos productos 1,2 y 3. La capacidad disponible de las máquinas que podría limitar la producción, se resume en la tabla siguiente: TIPO DE TIEMPO MAQUINA DISPONIBLE (HRS MAQ/SEMANA) FRESADORA 500 TORNO 350 RECTIFICADORA 150 El número de Horas-Máquina requeridas por cada unidad de los productos respectivos es: Coeficiente de productividad (Hrs-Máq por unidad) TIPO DE PRODUCTO PRODUCTO PRODUCTO MAQUINA 1 2 3 FRESADORA 9 3 5 TORNO 5 4 0 RECTIFICADORA 3 0 2 El Departamento de Ventas indica que el potencial de ventas para el producto 3 es de 20 unds/semana. La utilidad unitaria sería de U$30, U$12 y U$15, respectivamente para los productos 1,2 y 3. Formule un M.P.L. para determinar cuánto debe producir la empresa de cada producto para hacer máxima su utilidad. SOLUCION EJERCICIO No.5 VARIABLES: Sean X1 = No. Unidades a producir del producto 1. X2 = No. Unidades a producir del producto 2. X3 = No. Unidades a producir del producto 3. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS; F.O.: MAX Z = 30*X1 + 12*X2 +15*X3 s.a.: 9*X1 + 3*X2 + 5*X3 <= 500 5*X1 + 4*X2 <= 350 3*X1 + 2*X3 <= 150 X3 = 20 X1, X2, X3 >= 0 EJERCICIO No.6. La firma Pavimentos está licitando por un contrato para la construcción de la calzada de una carrertera. Las especificaciones dadas indican que deben tener un mínimo de 12 cms de espesor y un máximo de 48 cms. Debe además construirse de concreto, asfalto, gravilla o cualquier combinación de los tres (3), siempre y cuando que la resistencia total sea al menos equivalente a la que tendría una calzada de 9 cms de concreto. La firma Pavimentos ha establecido que 3 cms de asfalto son tan fuertes como 1 cm de concreto y que 6 cms de gravilla son tan resistentes como 1 cm de concreto. Su costo estimado para un m 2 y un centímetro (cm) de espesor, para el concreto es de U$200, para el asfalto U$700 y para gravilla, U$300. Formule
un M.P.L. que le permita a la firma saber cuál es la combinación óptima para la calzada. SOLUCION EJERCICIO No.6 VARIABLES: Sean Xi = cms de espesor de material i usado para 1 m 2 de calzada. (i=1, 2, ó 3) X1 = Concreto. X2 = Asfalto. X3 = Gravilla. FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR COSTOS F.O.: MIN Z = 200*X1 + 700*X2 +300*X3 s.a.: 12 <= X1 <= 48 X1>=9 12 <= X1+X2 <= 48 X2>=27 12 <= X2+X3 <= 48 X3>=54 12 <= X1+X3 <= 48 X1 + (1/3)*X2 >= 9 12 <= X1+X2+X3 <= 48 X1 + (1/6)*X3 >= 9 12 <= X2 <= 48 (1/3)*X2 + (1/6)*X3 >= 9 12 <= X3 <= 48 X1 + (1/3)*X2 + (1/6)*X3 >= 9 X1, X2, X3 >= 0 EJERCICIO No.7. Una compañía desea preparar una nueva aleación que contenga 40% de plomo, 35% de Zinc y 25% de estaño; a partir de las siguientes aleaciones: PROPIEDADE ALEACION S 1 2 3 4 5 %Pb 60 25 45 20 50 %Zn 10 15 45 50 40 %Estaño 30 60 10 30 10 Costo (U$/lb) 12 11 14 13 15 Disponibilidad(l 300 400 200 300 100 b) El objetivo es determinar las proporciones de estas aleaciones que deben mezclarse para producir la nueva aleación a un costo mínimo. Formule el correspondiente M.P.L. SOLUCION EJERCICIO No.7 VARIABLES: Sean X1 = Cantidad en libras de aleación 1. X2 = Cantidad en libras de aleación 2. X3 = Cantidad en libras de aleación 3. X4 = Cantidad en libras de aleación 4. X5 = Cantidad en libras de aleación 5. FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR COSTOS; F.O.: MIN Z = 12*X1 + 11*X2 +14*X3 + 13*X4 + 15*X5 s.a.: 0,6*X1 + 0,25*X2 + 0,45*X3 + 0,2*X4 + 0,5*X5 = 0,4*(∑Xi) 0,1*X1 + 0,15*X2 + 0,45*X3 + 0,5*X4 + 0,4*X5 = 0,35*(∑Xi) 0,3*X1 + 0,6*X2 + 0,1*X3 + 0,3*X4 + 0,1*X5 = 0,25*(∑Xi) X1 <=300 X2 <=400 X3 <=200 X4 <=300 X5 <=100 X1, X2, X3, X4, X5 >= 0 Nota: (∑Xi) = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 EJERCICIO No.8. Cuatro personas viajan a Panamá y disponen de un presupuesto global de $10.000.000 para inversiones. Hay tres alternativas: Televisores, Equipos de Sonido y Aspiradoras, cuyos precios correspondientes son: $240.000, $300.000 y $100.000 y se venden en Cartagena con relativa facilidad en $400.000, 550.000 y 210.000 respectivamente. La Aduana no permite que una persona transporte dos o más artefactos eléctricos.
FORMULE UN M.P.L. QUE PERMITA DETERMINAR CÓMO DEBE INVERTIRSE EL DINERO PARA UNA MAYOR UTILIDAD. SOLUCION EJERCICIO No.8 TIPO DE PRECIO DE COSTOS UTILIDADES INVERSION VENTA T.V. $400.000/artícul $240.000/artícu $160.000/artícu o lo lo EQUIPO DE $550.000/artícul $300.000/artícu $250.000/artícu SONIDO o lo lo ASPIRADORA $210.000/artícul $100.000/artícu $110.000/artícu o lo lo Sean Xij = No. artículos que compran las personas i (1, 2, 3, 4) en cada alternativa j (1, 2, 3); siendo 1=T.V., 2=Equipo de sonido, 3=Aspiradora. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS; F.O.: MAX Z = 160.000*(X11+X21+X31+X41) + 250.000*(X12+X22+X32+X42) + 110.000*(X13+X23+X33+X43) s.a.: X11+X12+X13<=1 (Restricción de la Aduana) X21+X22+X23<=1 (Restricción de la Aduana) X31+X32+X33<=1 (Restricción de la Aduana) X41+X42+X43<=1 (Restricción de la Aduana) 240.000*(X11+X21+X31+X41) + 300.000*(X12+X22+X32+X42) + 100.000*(X13+X23+X33+X43) <=10.000.000 (Restricción del presupuesto global disponible) Xij >= 0 (Restricción de no negatividad de las variables.) EJERCICIO No.9. El Hospital Regional está tratando de determinar el número de comidas de pescado y de res que debe servir durante el mes venidero. El hospital necesita una comida para cada uno de los 30 días. Las comidas de pescado cuestan $200 cada una y de res $250. Ambas comidas cumplen con las necesidades de proteínas. Si se juzga el sabor en una escala de 1 a 10, el pescado obtiene un 5 y la res un 9. El hospital quiere alcanzar en el mes por lo menos 200 puntos en el sabor. Los requerimientos totales de vitaminas en el mes deben ser por lo menos 300 unidades. La comida de pescado proporciona 8 unidades y la de res 12 unidades. ¿Cuántas comidas de cada tipo debe planear el hospital? Plantee como un modelo de P.L. SOLUCION EJERCICIO No.9 VARIABLES: Sean X1 = No. de comidas de pescado a planear. X2 = No. de comidas de res a planear. FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR LOS COSTOS; F.O.: MIN Z = 200*X1 + 250*X2 s.a.: X1 + X2 = 30 5*X1 + 9*X2 >= 200 8*X1 + 12*X2 >= 300 X1, X2 >= 0
EJERCICIO No.10. Usted ha decidido entrar en el negocio de los dulces. Está considerando producir dos tipos de dulces: caramelos y confites, que se componen solamente de azúcar, nueces y chocolate. Actualmente, tiene en bodega 100 oz de azúcar, 20 oz de nueces y 30 oz de chocolate. La mezcla para producir confites tiene que contener por lo menos 20% de nueces. La mezcla para producir caramelos tiene que
contener por lo menos 10% de nueces y 10% de chocolate. Cada onza de confite se vende a $250 y una onza de caramelo a $200. Formule un M.P.L que le permita maximizar sus ingresos por la venta de dulces. SOLUCION EJERCICIO No.10 AZUCA NUECE CHOCOLAT P.VENT R S E A CONFITES 20% 250 CARAMELOS 10% 10% 200 DISPONIBILI 100 OZ 20 OZ 30 OZ DAD VARIABLES: Sean X1 = Onzas de confites a producir. X2 = Onzas de caramelo a producir. X3 = Onzas de azúcar a utilizar. X4 = Onzas de nueces a utilizar. X5 = Onzas de chocolate a utilizar. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS; F.O.: MAX Z = 250*X1 + 200*X2 s.a.: X3 <= 100 X4 <= 20 X5 <= 30 X1 >= 0,2*X4 X2 >= 0,1*X4 X2 >= 0,1*X5 X1, X2, X3, X4, X5 >= 0 EJERCICIO No.11. Medicosta usa 2 productos químicos (1 y 2) para producir dos medicamentos. El medicamento 1 tiene que contener por lo menos 70% del producto químico 1, y el medicamento 2 tiene que contener por lo menos 60% del producto químico 2. Se puede vender hasta 40 oz del medicamento 1, a 6 dólares la onza, y hasta 30 oz del medicamento 2, a 5 dólares la onza. Puede comprar hasta 45 oz del producto químico 1, a 6 dólares la onza, y hasta 40 oz del producto químico 2, a 4 dólares la onza. Formule un modelo de P.L que se pueda utilizar para maximizar las ganancias de Medicosta. SOLUCION EJERCICIO No.11 VARIABLES: Sean X1 = Cantidad a utilizar de producto químico 1. X2 = Cantidad a utilizar de producto químico 2. X3 = Cantidad a utilizar de medicamento 1. X4 = Cantidad a utilizar de medicamento 2. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS; F.O.: MAX Z = 1,8*X1 + 2,6*X2 Aclaración: UTILIDAD MEDICAMENTO 1: U$6 – 0,7*U$6 = U$1,8 UTILIDAD MEDICAMENTO 2: U$5 – 0,6*U$4 = U$2,6 s.a.: X3 >= 0,7*X1 X4 >= 0,6*X2 X3 <= 40 X4 <= 30 X1 <= 45 X2 <= 40 X1, X2, X3, X4 >= 0
EJERCICIO No.12.
Un granjero cría pavos, gallinas y patos. El costo de la crianza de una gallina, un pato y un pavo es de U$1,5 U$1 y U$4, respectivamente hasta el momento de su venta. Las gallinas se venden a U$3, los patos a U$2 y los pavos a U$5,5. Sabiendo que la granja puede alojar sólo 500 aves y que el granjero no desea tener más de 300 patos a la vez, formule un M.P.L. que permita determinar cuántas aves de cada especie debe criar a fin de maximizar sus utilidades. SOLUCION EJERCICIO No.12 VARIABLES: Sean X1 = No. de pavos a criar. X2 = No. de gallinas a criar. X3 = No. de patos a criar. FUNCION OBJETIVO: MAXIMIZAR LAS GANANCIAS; F.O.: MAX Z = (5,5-4)*X1 + (3-1,5)*X2 + (2-1)*X3 MAX Z = 1,5*X1 + 1,5*X2 + X3 s.a.: X1 + X2 +X3 <= 500 X3 <= 300 X1, X2,X3 >= 0 EJERCICIO No.13. Jugos la pulpa de oro debe preparar con cinco (5) bebidas de frutas, 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de piña. Si los datos del inventario son los que se presentan a continuación, formule un M.P.L. que permita determinar qué cantidad de cada bebida de fruta debe emplear a fin de obtener la composición requerida a un costo mínimo. BEBID % JUGO % JUGO % A DE DE JUG EXISTEN COSTO NARANJ TORONJ O DE CIA(GAL) (U$/GAL) A A PINA A 40 40 0 200 1,5 B 5 10 20 400 0,75 C 100 0 0 100 2 D 0 100 0 50 1,75 E 0 0 0 800 0,25 SOLUCION EJERCICIO No.13 VARIABLES: Sean X1 = Cantidad de bebida A. X2 = Cantidad de bebida B. X3 = Cantidad de bebida C. X4 = Cantidad de bebida D. X5 = Cantidad de bebida E. FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR LOS COSTOS; F.O.: MIN Z = 1,5*X1 + O,75*X2 + 2*X3 + 1,75*X4 + 0,25*X5 s.a.: X1 + X2 +X3 + X4 +X5 = 500 0,4*X1 + 0,05*X2 + X3 >= 100 0,4*X1 + 0,1*X2 + X4 >= 50 0,2*X2 >= 25 X1<= 200 X2<= 400 X3<= 100 X4<= 50 X5<= 800 X1, X2,X3 >= 0
EJERCICIO No.14. La junta administradora local (JAL) de la comuna 20 tiene tres proyectos de pavimentación de vías. La junta tiene el problema de determinar qué contratistas llevarán a cabo los proyectos, entre contratistas locales, y tres presentaron diligenciados sus pliegos. El costo de cada proyecto según propuesta de cada contratista se presenta en la siguiente tabla (en millones). PROYECTOS CONTRATIST P1 P2 P3 AS C1 280 320 360 C2 360 280 300 C3 380 340 400 Formule un M.P.L que permita determinar cómo deben ser asignados los contratos si se quiere minimizar los costos totales de todos ellos y si para evitar descontentos de tipo político, se desea adjudicar un contrato a cada contratista. SOLUCION EJERCICIO No.14 VARIABLES: Sean Xij = el proyecto i (1,2,3) que se asigna al contratista j(1,2,3) FUNCION OBJETIVO: MINIMIZAR LOS COSTOS; F.O.: MIN Z = 280*X11 + 360*X12 + 380*X13 + 320*X21 + 280*X22 + 340*X23 + 360*X31 + 300*X32 + 400*X33 s.a.: X11 + X12 +X13 = 1 X21 + X22 +X23 = 1 X31 + X32 +X33 = 1 X11 + X21 + X31 =1 X12 + X22 + X32 =1 X13 + X23 + X33 =1 Xij >=0
