Probabilidad y estadística Unidad 5. Introducción a la probabilidad
Unidad 5. Introducción a la probabilidad Ejercicios complementarios Ejercicio 1
Considera los siguientes experimentos: a) Tirar dos dados al aire. b) Tirar dos monedas al aire. c) Tirar una moneda y un dado al aire. Determina los elementos de los siguientes eventos: a) Que aparezca por lo menos un número impar al tirar dos dados al aire. b) Que aparezca por lo menos una cara al tirar dos monedas al aire. c) Al tirar una moneda y un dado al aire, que que aparezca una cara en la moneda. Solución
a) Considerando al primer término de una pareja ordenada como el resultado de tirar el primer dado, y al segundo término como el resultado de tirar el segundo dado; entonces los elementos del evento E : : “al tirar dos dados que aparezca por lo menos un número impar” son: ,1), (1, 2),( 2), (1, 3), 3), (1, 4),( 4), (1, 5),(1, 5),(1, 6),(3 6), (3,1 ,1), ),(3 (3,, 2),(3 2), (3,, 3),(3,4), 3),(3, 4),(3 (3,, 5), (1,1), (3, 6),(5,1),(5, 6),(5,1),(5, 2),(5,3),(5, 2),(5,3),(5, 4), 4), (5, (5, 5),(5, 5),(5, 6),(2,1),(4,1 6),(2,1),(4,1),(6,1 ),(6,1),(2, ),(2, 3), 3), E = (3, (4,3),(6,3),(2,5),(4,5),(6,5)
b) Si definimos C = cara y X = cruz y considerando el primer término de una pareja ordenada como el resultado de tirar la primera moneda, y al segundo término como el resultado de tirar la segunda moneda; entonces al tirar las dos monedas, el evento A consistente en “que aparezca por lo menos una cara al tirar dos monedas al aire” está definido como: A = {( C , X ) , ( C , C ) , ( X , C )}
c) Considerando al primer término de una pareja ordenada como el resultado de tirar la moneda, y al segundo término como el resultado de tirar el dado, entonces al tirar la moneda y el dado, el evento B consistente en que “aparezca cara en la moneda al tirar un dado y una moneda” está definido como: B = {( C ,1) , ( C , 2 ) , ( C , 3) , ( C , 4 ) , ( C , 5) , ( C , 6)}
1
Probabilidad y estadística Unidad 5. Introducción a la probabilidad
Ejercicio 2
Se tienen dos eventos, A y B con probabilidades P ( A ) =
2
, P ( B) =
1
, P ( A ∩ B) =
7 3 Calcula las siguientes probabilidades (redondea los resultados a 3 decimales):
1 4
.
a) P ( A ) b) P ( B ) c) P ( A ∪ B )
( ) e) P ( A ∩ B ) d) P A ∪ B
Solución
a) P ( A ) = 1 − P ( A ) = 1 − b) P ( B ) = 1 − P ( B ) = 1 −
2 7 1 3
=
5
=
2
7
3
= 0.714
= 0.667
c) P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) =
(
)
(
)
d) P A ∪ B = 1 − P ( A ∪ B ) = 1 −
e) P A ∩ B = 1 − P ( A ∩ B ) = 1 −
31 84 1 4
=
= 3 4
53 84
2 7
1
1
3
4
+ −
=
31 84
= 0.369
= 0.631
= 0.75
2
Probabilidad y estadística Unidad 5. Introducción a la probabilidad
Ejercicio 3
De un lote de 120 computadoras, el departamento de Control de calidad detectó que 4 de ellas están defectuosas. Si el encargado de ese departamento toma 2 computadoras al azar, calcula la probabilidad de que ninguna de las computadoras que toma el encargado esté defectuosa. Solución
La probabilidad es el cociente del número de casos favorables entre el total de posibilidades. El número de maneras en que se pueden escoger 2 equipos de un total de 120 es:
120
C 2
Entonces:
120
C 2 =
120!
(120 − 2 ) !2!
=
120! 118!⋅ 2
=
120 ⋅ 119 ⋅ 118! 118!⋅ 2
=
120⋅ 119 2
= 7140
Por lo tanto, hay 7140 maneras de escoger 2 equipos entre 120. Ahora, el número de computadoras no defectuosas es de 116, entonces el número de maneras de escoger 2 computadoras y que ninguna esté defectuosa es: 116 C 2 Entonces:
116
C 2 =
116!
(116 − 2 ) !2!
=
116! 114!⋅ 2
=
116 ⋅ 115 ⋅ 114! 114!⋅ 2
=
116 ⋅ 115 2
= 6670
Por lo cual existen 6670 maneras de escoger 2 computadoras no defectuosas. La probabilidad de que al elegir 2 computadoras al azar ninguna esté defectuosa es: p =
p =
116
C 2
120
C 2
6670 7140
= 0.934
3
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Ejercicio 4
De un grupo de 95 empleados de una empresa, 56 realizan labor de ventas, 32 se encargan de dar capacitación y 15 llevan a cabo labor de ventas y capacitación (redondear los resultados a 4 decimales). a) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar realice sólo labor de ventas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar lleve a cabo alguna de las dos labores? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado elegido al azar no realice labor de ventas ni de capacitación? Solución
Para resolver este problema es conveniente realizar un diagrama de Venn, donde: V = realizar labor de ventas y C = realizar labor de capacitación.
a) Según la figura, el número de empleados que realizan sólo labor de ventas es de 41, mientras que el total de empleados es de 95; por lo que la probabilidad de que un empleado elegido al azar lleve a cabo sólo labor de ventas es: 41 P (V ) = = 0.4316 95 b) El número de empleados que efectúan alguna de las dos labores es de: 41 + 15 + 17 = 73, por lo que la probabilidad de que un empleado elegido al azar realice alguna de las dos labores se calcula como: 73 P (V ∪ C ) = = 0.7684 95 c) La probabilidad de que un empleado elegido al azar no realice ninguna de las dos labores es de: 73 22 P V ∪ C = 1 − P (V ∪ C ) = 1 − = = 0.2316 95 95
(
)
4
Probabilidad y estadística Unidad 5. Introducción a la probabilidad
Ejercicio 5
Se realizó una encuesta sobre manejo de autos a un grupo de personas formado por menores de edad y adultos, obteniéndose los siguientes resultados: Menor de edad Sabe manejar 25 No sabe manejar 34
Adulto 38 15
Si se selecciona una persona al azar, calcula las siguientes probabilidades (redondea los resultados a 4 decimales): a) b) c) d)
Que Que Que Que
la persona sea un adulto. la persona no sepa manejar. la persona sea un adulto y no sepa manejar. la persona sea menor de edad o sepa manejar.
Solución
Para calcular cualquiera de las probabilidades, es necesario saber el total de personas que cumple con cada una de las condiciones. Menor de edad Sabe manejar 25 No sabe manejar 34 59 Total
Adulto 38 15 53
Total 63 49 112
a) El número de adultos es de 53 y el total de personas es de 112. Por lo tanto: P ( adulto ) =
53 112
= 0.4732
b) El número de personas que no sabe manejar es de 49. Entonces: P ( no sabe manejar ) =
49 112
= 0.4375
c) Para calcular la probabilidad de que al elegir una persona al azar éste sea un adulto y no sepa manejar, se observa que en la intersección de esas dos condiciones hay 15 personas. Por lo tanto: 15 P ( adulto y no sabe manejar ) = = 0.1339 112 5
Probabilidad y estadística Unidad 5. Introducción a la probabilidad
d) Para calcular la probabilidad de que al elegir una persona al azar ésta sea menor de edad o sepa manejar se aplica el teorema P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) , donde: A = menor de edad, B = sabe manejar. P ( A) =
59 112
, P ( B ) =
63 112
, P ( A ∩ B ) =
25 112
Por lo tanto, sustituyendo: P ( menor de edado sabe manejar ) =
59 112
+
63 112
−
25 112
=
97 112
= 0.8661
6
