EJERCICIOS EJER CICIOS PROBABILIDAD TELETRAFICO TELE TRAFICO Nestor Fabian Delgado Poveda – Cod. 20161093006 – Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas -2016
Cierto calzado se recibe en cinco diferentes estilos, con cada estilo disonible en c!atro colores distintos" Si la tienda desea #ostrar ares de estos zaatos $!e #!estren la totalidad de los di%ersos estilos & colores 'C!(ntos diferentes ares tendr)a $!e #ostrar*
25.5
T =4∗5 =20 Ser( osible #ostrar !n total de + ares" 25.10 'De c!entas for#as distintas se !ede resonder !na r!eba de falso
%erdadero $!e consta de n!e%e re!ntas* Por cada re!nta e.isten + osibles res!estas, a/ora, si son 0 re!ntas or la rela de #!ltilicaci1n, las n!e%e re!ntas tendr(n !n total de osibles res!estas dado or2 9
T =( 2 ) =512 contratista desea constr!ir constr!ir n!e%e casas, casas, cada !na con !n diferent diferente e 25.15 3n contratista dise4o" 'De c!antas for#as !ede colocar estas casas en !na calle si /a& seis lotes en !n lado de la calle & tres en el lado o!esto*" Para este este caso caso tene#o tene#os s n!e%e n!e%e casas casas ara ara orden ordenar ar en 0 distin distintas tas for#as for#as,, entonces2 N = 9 P 9 =362880 25.20 'De c!antas for#as se !eden llenar las cinco osiciones iniciales en !n
e$!io de baloncesto con 5 6!adores $!e !eden 6!ar en c!al$!iera de las osiciones* 5
V 8=
8!
( 8 −5 ) !
5
V 8=6720 Se !eden ordenar de 78+ osiciones distintas" 'C!(ntas er#!taciones er#!taciones distintas distintas se !eden !eden /acer con las letras de la 25.25 'C!(ntas alabra in9nito*
Se tiene2 i =3
n =2 f , t , o =1 8!
321
PR8 =
3 ! 2 ! 1!
321
PR8 =3360 61.5 61.5 Deter#ine el %alor de C de #odo cada !na de las f!nciones si!ientes
!edan !edan ser%ir ser%ir co#o co#o distri distrib!c b!ci1n i1n de roba robabil bilida idad d de la %ariab %ariable le aleato aleatoria ria discreta :2 2 f ( ( x )=c ( x + 4 ) ara x =0,1,2,3 <
a;
Para $!e la f!nci1n sea !na distrib!ci1n de robabilidad debe c!#lir2 3
f ( x )=1 ∑ =
x 0
3
c ( x + 4 )=1 ∑ = 2
x 0
1= f ( ( 0 ) + f ( ( 1 ) + ( 2 ) + f ( ( 3 ) =4 c + 5 c + 8 c + 13 c 1=30 c
c=
1 30
f ( ( x )=c
b;
( )( − ) 2
3
x 3 x
ara x =0,1,2 "
2 3 c ( )( =1 ∑ x 3 − x ) = 3
x 0
1= f ( ( 0 ) + f ( ( 1 ) + ( 2 )= c + 6 c +3 c
1=10 c
c=
1 10
61.10 Enc!entre !na f1r#!la ara la distrib!ci1n de robabilidad de la
X $!e reresenta el res!ltado c!ando se lanza !na %ez !n
%ariable aleatoria solo dado"
P ( X = 4 ) =
1 6
1 6
P ( X =5 ) =
1
1
P ( X =6 )=
P ( X =1 )=
1
P ( X =2 ) =
P ( X =3 )=
6
6
De esta for#a encontra#os $!e
f ( x )=
1 6
6
1 6
c!ando se lanza !na %ez !n solo
dado" 61.15 Encontrar la f!nci1n de la %ariable aleatoria $!e reresenta el si!iente
e6ercicio2 “Un embarque de siete televisores contiene dos unidades defectuosas. Un hotel hace una compra al azar de tres de los televisores. SI x es el número de unidades defectuosas que compra el hotel, encuentre la distribución de probabilidad de X . P ( 0 )=
P (1 ) =
P (2 )=
P ( x )=
2 C 0∗5 C 3 7 C 3
=
2 7
2 C 1∗5 C 2 4 = 7 C 3 7 2 C 2∗5 C 1 7 C 3
=
1 7
2 Cx∗5 C ( 3 − x ) 7 C 3
f ( X )=
{ {
2 0 ≤ x < 1 7 4 1 ≤ x < 2 7 1 2 ≤ x < 3 7
0 para x < 0 2
F ( X ) = 7
para 0 ≤ x < 1
6
para 1 ≤ x < 2
7
1 para x ≥ 2
Con el !so de F ( X ) enc!entre2 a;
P ( X =1)
6 7
2 7
P ( X =1 )= P ( X ≤ 1 )− P ( X ≤ 0 )= − =
b;
4 7
P ( 0 < X ≤ 2 ) 2 7
P ( 0 < X ≤ 2 )= P ( X ≤ 2 )− P ( X < 0 )=1 − =
61.20 Para la f!nci1n de densidad
f ( x )=
5 6
2 ( 1 + x ) 27
la c!al to#a %alores entre
x =2 & x =5 " Enc!entre F ( X ) , & !til)cela ara e%al!ar x
∫
F ( X ) = f ( t ) dt 2
2 F ( X ) = 27
x
∫ (1 +t )dt 2
P ( 3 ≤ X < 4 ) "
F ( X ) =
F ( X ) =
( + )| 2
2 27
2 27
t x
t
2 2
[( ) ] x +
[
x
2
2
2
−4
2 x F ( X ) = + x −4 27 2
]
F ( X ) =
1 2 x + 2 x −8 27
F ( X ) =
1 ( x + 4 )( x −2 ) 27
F ( X ) =
{
[
]
[
]
0 X < 2 1 27
( x + 4 ) ( x −2 ) 2 ≤ x ≤ 5 1 X > 5
P (3 ≤ X ≤ 4 )= F ( 4 )− F ( 3 )=
P (3 ≤ X ≤ 4 )=
1 [ ( 8 ) (2 )−(7 )( 1 )] 27
1 3
istora#a de robabilidad "8 "7 "@ "? "> "+ "=
Cateor)a = P>;
P+@;
P+;
61.25 Se seleccionan tres #onedas sin
ree#lazo de !na ca6a $!e contiene c!atro de diez centa%os & dos de cinco
centa%os" Enc!entre la distrib!ci1n de robabilidad ara el total T de las tres #onedas" E.rese la distrib!ci1n discreta de robabilidad de for#a r(9ca co#o !n /istora#a de robabilidad" 4 → 10 Centavos
f ( 30 ) =
f ( 25 ) =
f ( 20 ) =
2 → 5 Centavos
( 2 C 0 ) ( 4 C 3 ) 6 C 3
( 2 C 1 ) ( 4 C 2 ) 6 C 3
( 2 C 2 ) ( 4 C 1 ) 6 C 3
=
1 5
=
3
=
1 5
5
80.5 3na co#a4)a d!lcera distrib!&e ca6as de c/ocolate con s!rtido de
cre#as, c/iclosos & en%inados" S!ona $!e el eso de cada ca6a es !n ilora#o, ero $!e los esos indi%id!ales de las cre#as, c/iclosos & en%inados %ar)an de !na ca6a a otra" Para !na ca6a seleccionada al azar sean X & Y los esos de las cre#as & c/iclosos, resecti%a#ente, & s!ona $!e la f!nci1n de densidad con6!nta de estas %ariables es2
a; Enc!entre la robabilidad de $!e en !na ca6a dada los en%inados reresenten #(s de = ¿ 2 del eso"
(
P X + Y ≤
(
1 2
1 P X + Y ≤ 2
1 1 − y 2 2
)=∫ ∫ 0
)=
1 2
24
24 xy dxdy
0
∫ 0
1 − y ∗ y dy 2 2 0
x
2
|
(
P X + Y ≤
1 2
)=
1 2
24
∫ 0
[ ]
1 − y 2 2 y dy 2
1
(
P X + Y ≤
(
P X + Y ≤
1 2
1 2
(
1 P X + Y ≤ 2
(
1
(
1
P X + Y ≤
P X + Y ≤
2
2
)= ∫ [ 2
12
0
1 2
)
=12∫ 0
[
1 4
]
− y + y 2 y dy
]
1 2 3 y − y + y dy 4
) [
1 1 1 =12 y 2− y 3 + y 4 8 3 4
]
1/ 2
0
)=[( )( )− ( )+ ( )] )
=
1
1
1 1
1
1
8
4
3 8
4 16
1 16
b; Enc!entre la densidad #arinal ara el eso de las cre#as 1− x
g ( x ) =
∫ 24 xydy 0
1 − x
g ( x ) =24
∫ xydy 0
g ( x ) =24 x
[ ] 2
y 1 − x 2
[
0
g ( x ) =12 x ( 1− x )
[
2
2
] ]
g ( x ) =12 x ( 1− x ) 0 ≤ x ≤ 1
c; Enc!entre la robabilidad de $!e el eso de los c/iclosos en !na ca6a sea #enor de =5 de ilora#o si se sabe $!e las cre#as constit!&en >? de s! eso"
(
1 3 P 0 < Y < ∨ X = 8 4
1 /8
)=∫ ( ∨ ) f x y
0
)
1 /8
(
)
1 /8
(
)= ( − ) ∫
(
1 3 P 0 < Y < ∨ X = 8 4
1 3 P 0 < Y < ∨ X = 8 4
1 3 P 0 < Y < ∨ X = 8 4
(
1
3
8
4
(
1
3
8
4
P 0 < Y < ∨ X =
P 0 < Y < ∨ X =
=∫ 0
=∫ 0
f ( x , y ) dy g ( x ) 24 xy 12 x ( 1− x ) 1 /8
2
1 x
2
1 x
2
2
( ) 1−
3
2
)= ( )
(
1 8
3 4
)
=
2 1 /8
2
0
4
3 4
32
0
( ) y
2
1 8
P 0 < Y < ∨ X =
2 1 /8
)= ( − ) ( ) y
(
P 0 < Y < ∨ X =
y dy
0
2
)=
2
1 128
1 4
80.10 Con referencia a la f!nci1n de robabilidad
Enc!entre2 a; Distrib!ci1n #arinal de : g ( x ) =f ( x , 0 )+ f ( x , 1 ) + f ( x , 2 ) g ( x ) =
x 30
+
x + 1 x + 2 30
+
30
x + 1 g ( x ) = 10
g ( x ) =
1 2 3 4 , , , 10 10 10 10
b; Distrib!ci1n #arinal de & h ( y )= f ( 0, y ) + f ( 1, y ) + f ( 2, y ) + f ( 3, y )
h ( y )=
y 30
+
1 + y 2 + y 3 + y + + 30 30 30
h ( y )=
4 y + 6 30
h ( y )=
2 y + 3 15
h ( y )=
3 5 7 , , 15 15 15
80.15 Considere !n e.eri#ento $!e consiste en dos lanza#ientos de !n
dado balanceado" Si X es el n#ero de c!atros & es el n#ero de cincos $!e se obtienen en los dos lanza#ientos del dado, enc!entre" a; La distrib!ci1n de robabilidad con6!nta de : & <
7 @ ? > + =
=,7; =,@; =,?; =,>; =,+; =,=; =
f ( 0,0 )=1−
20 4 = 36 9
+,7; +,@; +,?; +,>; +,+; +,=; +
>,7; >,@; >,?; >,>; >,+; >,=; >
?,7; ?,@; ?,?; ?,>; ?,+; ?,=; ?
f ( 1,0 ) =
@,7; @,@; @,?; @,>; @,+; @,=; @
2 9
7,7; 7,@; 7,?; 7,>; 7,+; 7,=; 7
f ( 2,0 ) =
1 36
f ( 0,2 )=
1 36
f ( 0,1 )=
2 9
f ( 1,1 )=
1 18
b;
P [( X , Y ) ∈ ] , donde ! es la rei1n
|( x , y ) 2 x + y <3|
P [ ( X ,Y ) ∈ ] =f ( 0,0 )+ f ( 1,0 ) +f ( 0,1 ) + f ( 0,2 ) 1 9
2 9
P [ ( X ,Y ) ∈ ] = + +
P [ ( X ,Y ) ∈ ] =
1 36
11 2
80.20 Deter#ine si las %ariables aleatorias de la si!iente f!nci1n se
deendientes o indeendientes"
f ( x , y ) y
x ,@ ,@
,@ ,= ,+
,= ,>@ ,=
0,4
0,35
0,55
h ( 1 )=0,2 g (1 )=0,4 h ( 1 ) g ( 1 )=0,8 f ( 1,1 )= 0,05 h ( 1 ) g ( 1 )= f ( 1,1 )
Las %ariables son deendientes"
0,2 0,5 0,3
f ( x , y ) son deendientes o
80.25 De#!estre si las dos %ariables de
indeendientes"
50
∫
2
g ( x ) = ( x + y ² ) dy 30
[
g ( x ) = ! x y + 2
y
3
3
]
50
30
50
(¿ ¿ 3 −303) 3 2
+¿ g ( x )= ¿ 20 x
[
2
g ( x ) = 20 x +
98 ∗103 3
] 50
∫
h ( y )= ! ( x + y ² ) dx 2
30
[
2
h ( y )= 20 y +
98 ∗103 3
]
h ( y ) g ( x ) " f ( x , y ) Las %ariables son deendientes" 91.5 La distrib!ci1n de robabilidad de :, el n#ero de i#erfecciones or
cada = #etros de !na tela sintGtica, en rollos contin!os de anc/o !nifor#e, est( dada co#o2
Enc!entre el n#ero ro#edio de i#erfecciones en = #etros de tela"
# =1 ( 0,37 ) + 2 ( 0,16 ) + 3 ( 0,05 ) + 4 ( 0,01 )
# =0,88
91.10 Dos e.ertos en calidad de ne!#(ticos e.a#inan
lotes de Gstos & asinan !nt!aciones de calidad a cada ne!#(tico en !na escala de tres !ntos" Sea X la !nt!aci1n dada or el e.erto ! & " la del e.erto #" La si!iente tabla resenta la distrib!ci1n con6!nta ara X & " "
Enc!entre
# x &
# y
# y =0,23 + 2 ( 0,5 ) + 3 ( 0,27 ) # y =2.04 # x =0,17 + 2 ( 0,5 )+ 3 ( 0,33 ) # x =2.16 91.15 La f!nci1n de densidad de la %ariable aleatoria contin!a :, el n#ero
total de /oras, en !nidades de = /oras, $!e !na fa#ilia !tiliza !na asiradora en !n eriodo de !n a4o, se de9ne co#o2
Enc!entre el n#ero ro#edio de /oras or a4o $!e las fa#ilias !tilizan s!s asiradoras" $
#=
∫ xf ( x ) dx
−$ 1
2
∫
∫
0
1
# = x ² dx + 2 x − x ² dx
[
1 0
2
x
# =[ x ³ ] + x −
3
3
]
2
1
3
[( )−( − )]
1 3
[ ]
1
2
3
3
1
#= + 4 −
#= +
#= +
8 3
1
1 3
4 2 − 3 3
# =1∗100 horas =100 horas 90.20 3na %ariable aleatoria contin!a X tiene la f!nci1n de densidad
Enc!entre el %alor eserado de
g ( X )= e
2 x 3
$
#g ( x )=
∫ g ( x ) f ( x)
−$ $
∫
− x
2 x 3
#g ( x ) = ( e )( e ) dx 0
$
∫
− x /3
#g ( x ) = ( e
) dx
0
−3 e0 − x / 3 #g ( x ) = lim −3 e −¿ ; x →$
#g ( x ) =3 90.25 Re9erase a las %ariables c!&a distrib!ci1n de robabilidad se de9ne a
artir del si!iente en!nciado2
“Se sacan tres cartas sin reemplazo de las $% cartas ma&ores 'sotas, reinas & re&es( de una bara)a ordinaria de *% cartas. Sea X el número de re&es que se seleccionan & " el número de sotas & enc!entre la #edia ara el n#ero total de sotas & re&es c!ando se sacan > cartas sin ree#lazo de las =+ cartas #a&ores de !na bara6a ordinaria de @+ cartas" f ( 3,0 ) =
f ( 2,1 )=
f ( 1,2 )=
f ( 0,3 ) =
( 4 C 3 ) ( 4 C 0 ) 12 C 3
( 4 C 2 ) ( 4 C 1 ) 12 C 3
( 4 C 1 ) ( 4 C 2 ) 12 C 3
( 4 C 0 ) ( 4 C 3 ) 12 C 3
=
=
=
=
1 55
6 55 6 55
1 55
f ( 0,0 )=
f ( 1,1 )=
f ( 1,0 ) =
f ( 0,1 )=
( 4 C 0 ) ( 4 C 0 ) ( 4 C 3 ) 12 C 3
( 4 C 1 ) ( 4 C 1 ) ( 4 C 1 ) 12 C 3
( 4 C 1 ) ( 4 C 0 ) (4 C 2) 12 C 3
( 4 C 0 ) ( 4 C 1 ) (4 C 2) 12 C 3
=
=
=
=
1 55 16 55
6 55 6 55
# ( x , y )=( x + y ) f ( x , y )
# ( x , y ) =
6 12 3 6 32 18 12 18 3 + + + + + + + + 55 55 55 55 55 55 55 55 55
# ( x , y ) =
110 55
=2
123.5 De ac!erdo con la +hemical n-ineerin- ro-ress no%ie#bre de =00;,
aro.i#ada#ente >H de todas las fallas de oeraci1n en las t!ber)as de lantas $!)#icas so ocasionadas or errores del oerador" a; 'C!(l es la robabilidad de $!e las si!ientes + fallas en las t!ber)as al #enos = se deban a !n error del oerador* p=0.3 n =20
P ( X ≥ 10 ) =1− P ( X ≤ 9 ) 9
P ( X ≤ 9 )=
( 20 C% ) 0,3 0,7 ∑ = %
20 − %
% 0
P ( X ≤ 9 )=0,920 P ( X ≥ 10 ) =1−0,9520 P ( X ≥ 10 ) =0,04796 b; 'C!(l es la robabilidad de $!e no #as de ? de + falla se deban al error del oerador* 4
P ( X ≤ 4 )=
∑= ( 20 C% ) 0,3 0,7 %
20 − %
% 0
P ( X ≤ 4 )= 0,2375 c; S!ona, ara !na lanta esec)9ca, $!e de la #!estra aleatoria de + de tales fallas, e.acta#ente @ sean errores de oeraci1n 'Considera $!e la cifra de >H anterior se ali$!e a esta lanta* Co#ente
5
P ( X =5 ) =( 20 C 3 ) 0,3 ( 0,7 )
15
P ( X =5 ) ,=855
Para este caso la robabilidad es !n %alor e$!e4o, esto er#ite $!e la cifra de >H se ali$!e a esta lanta"
123.10 Sen !n reorta6e !blicado en la re%ista arade, !na enc!esta a
ni%el nacional de la 3ni%ersidad de ic/ian a est!diantes !ni%ersitarios de lti#o a4o re%ela $!e casi 8H desar!eban el cons!#o de #ari/!ana" Si se seleccionan =+ est!diantes al azar & se les ide s! oini1n, enc!entre la robabilidad de $!e el n#ero $!e desar!eban f!#ar #ari/!ana sea" a; C!al$!ier %alor entre 8 & 0" P (7 ≤ X ≤ 9 )= P ( x ≤ 9 ) − P ( x ≤ 6 ) 9
P (7 ≤ X ≤ 9 )=
6
∑= ( 12 C% ) 0,7 0,3
−∑ ( 12 C% ) 0,7 % 0,3 12−%
12 − %
%
% = 0
% 0
P (7 ≤ X ≤ 9 )= 0,9434− 0,2361 P (7 ≤ X ≤ 9 )= 0,7073 b; a lo #(s @ 5
∑= ( 12 C% ) 0,7 0,3 %
P ( X ≤ 5 ) =
12 −%
% 0
P ( X ≤ 5 ) =0,0386 c; no #enos de 5 P ( X ≥ 8 )=1− P ( X ≤ 7 ) 7
P ( X ≥ 8 )=1−
( 12 C% ) 0,7 ∑ =
%
12− %
0,3
% 0
P ( X ≥ 8 )=0,7237 123.15 Se sabe $!e ?H de los ratones inoc!lados con !n s!ero $!edan
roteidos contra cierta enfer#edad, si se inoc!lan @ ratones enc!entre la robabilidad de $!e
a; nin!no contraia la enfer#edad P=0,4
n =5 P ( X =0 )=( 5 C 0 ) 0,4 0,6⁵ 0
P ( X =0 )= 0,0776 b; #enos de + contraian la enfer#edad 1
P ( X < 2 )= P ( X ≤ 1 )=
( 5 C% ) 0,4 ∑ =
%
5 − %
0,6
% 0
P ( X < 2 )=0.0776 + 0.2592 P ( X < 2 )=0.3368 c; as de > contraian la enfer#edad 3
P ( X > 3 )=1 − P ( X ≤ 3 ) =1−
( 5 C% ) 0,4 ∑ =
%
5 −%
0,6
% 0
P ( X > 3 )=1 −(0,0776 + 0,2592+ 0,3456 + 0,2304 )
P ( X > 3 )=1 −0.9128 P ( X > 3 )= 0.0872 123.20 Sen el eriodico US!/ /oda& =5 de #arzo de =00; de ? #illones de
traba6adores en la f!erza laboral, @,5H res!lto ositi%o en !na r!eba de doras" De $!ienes res!ltaron ositi%os, ++,@H f!eron !s!arios de coca)na & @?,?H de #ari/!ana" a; 'C!(l es la robabilidad de $!e de = traba6adores $!e res!ltaron ositi%os, + sean !s!arios de coca)na, @ de #ari/!ana & > de otras droas* n =10 p 1 =0,225
p 2 =0,544
p 3 =0,231
( )
P= 10
25 3
( 0,225 )2 (0,544 ) ( 0,231) ³ ⁵
P=( 2525 ) ( 0,050625 ) ( 0,04764 ) ( 0,0123 ) P=0,07481 b; 'C!(l es la robabilidad de $!e de = traba6adores $!e res!ltaron ositi%os, todos sean !s!arios de #ari/!ana* P=
( )
10 ( 0,544 )10 (0,456 )⁰ 10
P=0,00227
c; 'C!(l es la robabilidad de $!e de = traba6adores $!e res!ltaron ositi%os, nin!no sea !s!ario de coca)na* P=
( )
10 (0,775 )10 10
P=0,07816 123.25 S!ona $!e ara !n e#bar$!e #!& rande de c/is de circ!itos
interados, la robabilidad de falla ara c!al$!ier c/i es "=" S!ona $!e se c!#len las s!osiciones en !e se basan las distrib!ciones bino#iales & enc!entre la robabilidad de $!e a lo #(s > c/is fallen en !na #!estra aleatoria de +" n =20
p=0.10 3
∑= 20 C% ( 0.10 ) ( 0,9 ) %
P ( X ≤ 3 ) =
20 − %
% 0
P ( X ≤ 3 ) =0,3486 + 0,7748 + 0,8178 + 0,5452 P ( X ≤ 3 ) =0,8670
139.5 Tres ersonas lanzan !na #oneda, & el disare6o aa los cafGs" Si todas
las #onedas tienen el #is#o res!ltado, se lanzan de n!e%o" Enc!entre la robabilidad de $!e se necesiten #enos de c!atro lanza#ientos" Por #edio de la distrib!ci1n eo#Gtrica
∑( 3
P ( X < 4 )=
x =1
3 4
x−1
)( ) 1 4
P ( X < 4 )=
( )( )( )
P ( X < 4 )=
63 = 0.9843 64
3 4
+
3 16
+
3 64
139.10 Cierta (rea del este de Estados 3nidos res!lta en ro#edio, afectada
or seis /!racanes al a4o" Enc!entre la robabilidad de $!e ara cierto a4o esta (rea res!lte afectada or" a; enos de c!atro !racanes" 3
P ( X < 4 )= P ( X ≤ 3 )=
∑
− &t
e
x=0
( &t ) x
x !
&t =6
P ( X < 4 )= ( 0.0024 ) + ( 0.014 ) + ( 0.044 ) + ( 0.089 )= 0.15 b; C!al$!ier cantidad entre 7 a 5 /!racanes" P (6 ≤ X ≤ 8 )= P ( X ≤ 8 )− P ( X ≤ 7 ) 8
P (6 ≤ X ≤ 8 )=
∑
x = 0
− &t
e
( &t ) x
x !
5
−∑ x =0
− &t
e
( &t ) x
x !
P (6 ≤ X ≤ 8 )= 0.8472−0.4456 P (6 ≤ X ≤ 8 )= 0.4016
139.15 S!ona $!e, en ro#edio, !na ersona en = co#ete !n error
n!#Grico al rearar s! declaraci1n de i#!estos" Si se seleccionan = for#as al azar & se e.a#inan, enc!entre la robabilidad de 7,8 ! 5 de las for#as contenan !n error"
Por #edio de la aro.i#aci1n de Poisson 2
p=
1 1000
'=10000∗ p=10
8
P (6 ≤ X ≤ 8 )=
∑
− '
e
( ' ) x
x !
x = 0
5
−∑
− '
e
x = 0
( ' ) x
x !
P (6 ≤ X ≤ 8 )= 0.3328−0.06708 P (6 ≤ X ≤ 8 )= 0.2657 139.20 Los ca#bios en los rocedi#ientos de los aero!ertos re$!ieren !na
laneaci1n considerable" Los )ndices de lleadas de los a%iones es !n factor i#ortante $!e se debe to#ar en c!enta" S!ona $!e los a%iones e$!e4os llean a cierto aero!erto, de ac!erdo con !n roceso de Poisson, con !n )ndice de 7 or /ora" De esta #anera, el ar(#etro de Poisson ara las lleadas en !n eriodo de t /oras es & =6 t " a; 'C!(l es la robabilidad de $!e e.acta#ente c!atro aerona%es e$!e4as lle!en d!rante !n eriodo de !na /ora*" −6
P ( X = 4 ) =
e
( 6 )4
4!
P ( X = 4 ) =0.1338 b; 'C!(l es la robabilidad de $!e al #enos c!atro lle!en d!rante !n eriodo de !na /ora* 3
P ( X ≥ 4 )=1 −
∑
x =0
−6
e
( 6 ) x
x !
P ( X ≥ 4 )=1 −0.1512 P ( X ≥ 4 )= 0.8488
c; Si de9ni#os !n d)a laboral co#o =+ /oras 'C!(l es la robabilidad de $!e al #enos 8@ e$!e4as aerona%es lle!en d!rante !n d)a*
& =6∗12
& =72 74
P ( X ≥ 75 ) =1−
∑
−72
e
x =0
P ( X ≥ 75 ) =0.3773
( 72 ) x
x !
158.5 Dada la %ariable : nor#al#ente distrib!ida con #edia =5 & des%iaci1n
est(ndar +"@ enc!entre P ( X < 15 )
a; '=18 ( =2.5
) =
15 −18 2.5
) =−1.2 P ( ) ≤ −1.2 )=0.115
b; El %alor de 0 tal $!e P ( X < )=0.2236 ) =
( ! −18 ) 2.5
−0.76=
−18 2.5
=( 2.5 ) (− 0.76 ) + 18 ! =16.1
c; El %alor de 0 tal $!e P ( X > )=0.1814 1− P ( X < ) =0.1814 1−0.1814 = P ( X < )
P ( X < )=0.8186 Oc!rre c!ando
) =0.91
0.91=
−18 2.5
) =20.275
P ( 17 < X < 21)
d;
P (17 < X < 21 )= P ( X < 21 )− P ( X < 17 )
) 1=
21−18 = 1.2 2.5
P ( X < 21 )=0.8849
) 2=
17 −18 =1. 2 2.5
P ( X < 17 )= 0.3446
P (17 < X < 21 )= 0.5403 158.10 El di(#etro interior del anillo de !n ist1n &a ter#inado se distrib!&e
nor#al#ente con !na #edia de = cent)#etros & !na des%iaci1n est(ndar de "> cent)#etros" a; 'K!G roorci1n de anillos tendr(n di(#etros sin interiores $!e e.cedan ="8@ cent)#etros* '=10
( =0.03 P ( X > 10.075 )
) 1=
( 10.075−10 ) 0.03
= 2.5
P ( X > 10.075 )=1 − P ( X < 10.075 ) P ( X > 10.075 )=1 −0.9938 P ( X > 10.075 )=0.0062
b; 'C!(l es la robabilidad de $!e el anillo de !n ist1n tena !n di(#etro interior entre 0,08 & ="> cent)#etros* ) 1=
9.97 −10 =−1 0.03
) 2=
10.03−1 0 =1 0.03
P ( 9.97 < X < 10.03 )= P ( X < 10.03 )− P ( X < 9.97 )
P ( 9.97 < X < 10.03 )=0.8413− 0.1587 P ( 9.97 < X < 10.03 )=0.6826
c; 'Por deba6o de $!e %alor el di(#etro interior caer( el =@H de los anillos del iston* P ( X < % ) = 0.15 ) =−1.35
x =(−1.35 ) ( 0.03 )+ 10 x =9.9595
158.15 3na co#a4)a aa a s!s e#leados !n salario ro#edio de =@"0
or /ora con !na des%iaci1n est(ndar de ="@" Si los salarios se distrib!&en aro.i#ada#ente de for#a nor#al & se aan al centa%o #(s r1.i#o" a; 'K!G orcenta6e de los traba6adores reciben salarios entre =>"@ & =7"++ incl!si%e or /ora* '=15.90 ( =1.50
P ( 13.75 < X < 16.22 )
) 1=
13.75−15.90 =−1.433 1.50
) 2=
16.22−15.90 = 0.2133 1.50
P (13.75 < X < 16.22 )=0.5871 −0.0749 P (13.75 < X < 16.22 )= 0.5122 b; 'El @H #(s alto de los salarios es #a&or a $!e cantidad* P ( x < % )=1− 0.05 P ( x < % )=0.95 ) =1.645
=( 1.645 ) ( 1.50 ) + 15.90 ! =18.3675 158.20 Dada !na distrib!ci1n contin!a !nifor#e, de#!estre $!e2
'=
a;
+ * 2
*
∫ * − x dx
'=
*
(¿ ¿ 2− 2 ) 2
¿
'=
(
)[ ] =( x
1
* −
2 *
2
1
*−
)¿
* (¿ ¿ 2− ) ( * + )( *− ) = 2 ( *− ) 2 ( * − ) ' =¿ 2
'=
* + 2
2
( =
b;
*
∫
+ ( x ) = 2
(
+ ( x ) = 2
( *− )2 12 2
x dx * − 1
*−
)[ ]
3 *
3
3
* − = 3 3 ( * − )
x
3 3 2 4 ( * + * + ) −3 ( * + 2 * + ) * − * + ( = − = 3 ( * − ) 2 12
( )
2
2
2
( =
2
( =
* −2 * + 12
( *− )2 12
2
2
2
2
2
