EJERCICIO 27.2. Una partícula con masa de 0,195 g lleva una carga de - 2,50x10 – 8 C. Se da a la partícula una velocidad horizontal inicial hacia el norte y con magnitud de 4,00 x 10 4 m/s. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección del campo magnético mínimo que mantendrá la partícula en movimiento en el campo gravitacional terrestre, en la misma dirección horizontal hacia el norte? IDENTIFICAR: La fuerza neta debe ser cero, por lo tanto la fuerza magnética y la fuerza gravitatoria deben tener igual magnitud o valor, y sentidos opuestos. SITUACIÓN: La fuerza de gravedad se dirige hacia abajo, por lo que la fuerza magnética debe dirigirse hacia arriba. La velocidad de la carga y las fuerzas, se muestran en la figura 27.2. Como la carga es negativa, la fuerza magnética es opuesta en sentido a lo que indica la regla de la mano izquierda. El campo magnético mínimo es cuando el vector campo magnético es perpendicular al vector velocidad. La fuerza magnética también es perpendicular al campo magnético, por lo que el campo magnético puede ser dirigido tanto hacia el este o hacia el oeste. EJECUTAR: Si el campo magnético se dirige hacia el este, entonces la regla de la mano izquierda indica que la fuerza magnética se dirige hacia afuera de la página, como era requerido. Entonces se concluye que el campo magnético se dirige hacia el este.
EVALUAR: El campo magnético puede también tener una componente a lo largo de la dirección norte – sur, que no contribuye a la fuerza magnética, pero entonces el campo magnético no tendría la mínima magnitud requerida por el enunciado de este problema. (En la figura se mira a la partícula desde arriba. w es la fuerza peso, que apunta entrante respecto al dibujo, o sea hacia abajo o hacia el centro de la Tierra. F B es la fuerza magnética y se dirige saliente en el dibujo respecto al plano, o sea hacia arriba respecto a la Tierra)
EJERCICIO 27.5. Un electrón experimenta una fuerza magnética, cuya magnitudes de 4,60 x 10 – 15 N cuando se mueve con un ángulo de 60,0° con respecto a un campo magnético de magnitud 3,50 x 10 velocidad del electrón.
– 3
T. Encuentre la
IDENTIFICAR: Aplicar la ecuación F = q . v . B . sinφ y resolverla para v. SITUACIÓN: Un electrón tiene una carga eléctrica q = −1.60×10−19 C EJECUTAR:
EVALUAR: Solamente la componente B.sin φ del campo magnético perpendicular a la velocidad contribuye a la
fuerza magnética.
EJERCICIO 27.10. El flujo magnético a través de una cara de un cubo es 10.120 Wb. a) ¿Cuál debe ser el flujo magnético total a través de las otras cinco caras del cubo? b) ¿Por qué para responder el inciso a) no necesitó conocer las dimensiones del cubo? c) Suponga que el flujo magnético se debe a un imán permanente como el que se ilustra en la figura 27.11. Muestre en un diagrama en dónde debe localizarse el cubo del inciso a) en relación con el imán.
IDENTIFICAR: Las líneas de campo magnético son curvas cerradas, por lo que el flujo neto de campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es cero. SITUACIÓN: Las líneas de campo magnético dirigidas hacia afuera de la superficie cerrada, corresponde a un flujo de campo magnético positivo, y el campo magnético dirigido hacia adentro de la superficie cerrada corresponde a un flujo negativo. Ejecutar: (a) El flujo total de campo magnético debe ser cero, por lo que el flujo a través del resto de las superficies debe ser igual a −0,120Wb. (b) La forma de la superficie no tiene importancia, solo importa que sea cerrada. (c) Una posible solución se ilustra en la figura 27.10. Evaluar: En la figura 27.10 todas las líneas de campo entran al cubo pero también salen de la superficie del cubo. Por lo tanto el flujo de campo total es cero, ya que hay el mismo flujo positivo debido a las líneas entrantes, y el mismo flujo positivo debido a las líneas salientes.
EJERCICIO 27.15. Un electrón en el punto A de la figura 27.46 tiene una
velocidad vo = 1,41 x 10 6 m/s. Calcule a) la magnitud y la dirección del campo magnético que hará que el electrón siga la trayectoria semicircular entre A y B, y b) el tiempo requerido para que el electrón se mueva de A a B.
(a) IDENTIFICAR: Los electrones tienen carga negativa, por lo que F magnética es opuesta a la dirección que se obtiene empleando la regala de la mano izquierda. Para el movimiento en un arco de circunferencia, la aceleración se dirige hacia el centro del arco, por lo que F magnética tendrá la misma dirección hacia el centro de la circunferencia. El módulo de la aceleración será: a = v 2/R SITUACIÓN: Como el electrón se mueve en un semicírculo, su velocidad es tangente a la trayectoria circular. La dirección de la fuerza magnética se muestra en la figura 27.15. EJECUTAR: Para el movimiento circular, la aceleración “a” del electrón es radial y dirigida hacia el centro del círculo. Por lo tanto, la fuerza magnética F, ejercida por el campo magnético, conociendo que es la única fuerza que actúa sobre el electrón, debe ser radial haca el centro. Sabiendo que q es negativa, la fuerza magnética F es opuesta a la dirección obtenida mediante la regla de la mano izquierda. Por lo tanto el vector campo magnético B se dirige hacia adentro de la página. Aplicar la segunda ley de Newton para calcular la magnitud de Btotal:
(b) SITUACIÓN: La velocidad del electrón cómo éste se mueve a lo largo de la trayectoria circular es constante. La fuerza magnética F cambia únicamente la dirección del vector velocidad “v”, pero no su magnitud o valor. El tiempo está dado por la distancia dividida por la velocidad “v”.
EJECUTAR: La distancia a lo largo de la trayectoria circular es: π.R , por lo que
EVALUAR: El campo magnético requiere incrementarse cuando la velocidad v se incrementa, o R disminuir y también el radio de la partícula depende de la masa de la carga.
EJERCICIO 27.16. Repita el ejercicio 27.15 para el caso en que la partícula es un protón en vez de un electrón. IDENTIFICAR: La segunda ley de Newton lleva a la ecuación: q.v.B = m.v 2 / R La velocidad v es constante. La dirección de la fuerza magnética F, debe ser en la dirección de la aceleración, y por lo tanto se dirige hacia el centro de la trayectoria semicircular. SITUACIÓN: Un protón tiene una carga q = +1,60×10 – 19 C y una masa m = 1,67×10 – 27 kg . La dirección de la fuerza magnética F, está dada por la regla de la mano izquierda. EJECUTAR:
La dirección del campo magnético es hacia afuera de la página (la carga es positive), de forma que la fuerza magnética F, esté dirigida hacia la derecha del punto A. (b) El tiempo en completar media circunferencia es: t = . R/ v =1,11 X 10 – 7 s. EVALUAR: El campo magnético requerido para producir esta trayectoria para un protón, tiene diferente magnitud (porque la masa es diferente) y sentido opuesto (porque el signo de la carga es opuesto) que el requerido para producir la misma trayectoria para un electrón.
EJERCICIO 27.18. Una partícula alfa (núcleo de He que contiene dos protones y dos neutrones, y tiene una
masa de 6,64x10 – 27 kg) se mueve horizontalmente a 35,6 km/s cuando entra a un campo magnético uniforme, vertical y con magnitud de 1,10 T. a) ¿Cuál es el diámetro de la trayectoria seguida por esta partícula alfa? b) ¿Qué efecto tiene el campo magnético sobre la rapidez de la partícula? c) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la aceleración de la partícula alfa mientras está en el campo magnético? d ) Explique por qué la rapidez de la partícula no cambia aun cuando actúe sobre ella una fuerza externa desequilibrante. IDENTIFICAR: Ya que la partícula se mueve perpendicularmente al campo magnético uniforme, el radio de la trayectoria circular es
La fuerza magnética es perpendicular tanto al vector velocidad v como al vector campo magnético B SITUACIÓN: La partícula alfa tiene carga q = +2e = 3,20×10 – 19 C. (siendo e, la carga de un protón) EJECUTAR: (a)
La partícula alfa se mueve en un arco circular de diámetro 2R =1,35 mm. (b) Para cada intervalo corto de tiempo, el desplazamiento de la particular es en la dirección del vector velocidad. La fuerza magnética es siempre perpendicular a esta dirección por lo que no realiza trabajo. El teorema del trabajo y la energía cinética, entonces establece que la energía cinética de la partícula, y por lo tanto su velocidad, es constante. (c) La aceleración es:
Podemos usar también la ecuación:
y con resultado de la parte (a) para calcular
obteniéndose el mismo resultado. El vector aceleración es perpendicular al vector velocidad v y al vector campo magnético B y por lo tanto es horizontal, dirigido hacia el centro de la trayectoria circular de la partícula. EVALUAR: (d) La fuerza magnética desbalanceada ( F ) es perpendicular a la velocidad v , por lo que cambia la dirección del vector velocidad v pero no su magnitud o valor.
EJERCICIO 27.22. En un experimento con rayos cósmicos, un haz vertical de partículas que tienen carga de magnitud 3e, y masa de 12 veces la masa del protón, entra a un campo magnético uniforme y horizontal de 0.250 T y es doblado en un semicírculo de 95.0 cm de diámetro, como se indica en la figura 27.47. a) Encuentre la rapidez de las partículas y el signo de su carga. b) ¿Es razonable ignorar la fuerza de gravedad sobre las partículas? c) ¿Cómo se compara la rapidez de las partículas al entrar al campo con la rapidez que tienen al salir del campo? IDENTIFICAR: Para el movimiento en un arco de circunferencia se cumple que la aceleración centrípeta es:
y la fuerza es de la misma forma radial, y dirigida hacia el centro del círculo. SITACIÓN: La dirección de la fuerza se muestra en la figura 27.22. La masa de un protón es 1,67×10 – 27 kg. EJECUTAR: (a) El vector fuerza magnética F es opuesto al que se obtiene mediante la regla de la mano izquierda, siendo:
de lo cual se obtiene:
Donde w es la fuerza Peso.
La fuerza magnética es mucho mayor que la fuerza peso de la particular, por lo que es una buena aproximación despreciar la fuerza peso. EVALUAR: (c) La fuerza magnética es siempre perpendicular a la trayectoria y no realiza trabajo. La particular se mueve con velocidad de modulo constante, solo cambia la dirección del vector velocidad.
EJERCICIO 27.33. Un alambre rectilíneo de 2,00 m y 150 g conduce una corriente en una región donde el campo magnético terrestre es horizontal y con magnitud de 0,55 x 10 – 4 T. a) ¿Cuál es el valor mínimo que debe tener la corriente en el alambre, para que todo su peso esté soportado por la fuerza magnética del campo de la Tierra, si sobre él no actúa más fuerza que la gravedad? ¿Parece factible que un alambre así sea capaz de resistir este tamaño de corriente? b) Muestre cómo tendría que orientarse el alambre en relación con el campo magnético de la Tierra para que esté soportado en esa forma. IDENTIFICAR: La fuerza magnética tiene una valor igual a: Para que el alambre sea completamente soportado por el campo magnético, se requiere que la fuerza magnética F, y la fuerza peso P (o también w), tengan igual valor mg =
F
El vector fuerza magnética F y el vector fuerza peso w tienen sentidos opuestos. SITUACIÓN: La fuerza que ejerce el campo magnético es de un máximo valor cuando gravedad, se dirige hacia abajo. EJECUTAR:
φ =
90°. La fuerza peso o de
Esta es una corriente de un valor muy grande, y el calentamiento de un alambre debido a su Resistencia debería ser muy alto, por lo cual esta corriente no es factible en un conductor común. (b) La fuerza magnética debe dirigirse hacia arriba. La dirección de la corriente I , del campo magnético B y de la fuerza magnética F se muestran en la figura 27.33, donde hemos asumido que el vector campo magnético B es dirigido desde el sur al norte. Para producir una fuerza magnética hacia arriba, la corriente debe dirigirse hacia el este según se ejemplificó en el dibujo. El alambre debe estar dirigido horizontal y perpendicular al campo magnético terrestre. EVALUAR: La fuerza magnética debe ser perpendicular tanto a la dirección de la corriente I, como a la dirección del campo magnético B.
EJERCICIO 27.34. Un electroimán produce un campo magnético de 0,550 T en una región cilíndrica con radio de 2,50 cm entre sus polos. Un alambre rectilíneo de longitud 0,0500m que transporta una corriente de 10,8 A pasa por el centro de esta región en forma perpendicular a los ejes de la región cilíndrica y el campo magnético. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida sobre el alambre? IDENTIFICAR: Aplicar F = I . L . B . senφ. SITUACIÓN: 0,0500 m es la longitud del alambre en el campo magnético. Debido a que el alambre está dispuesto perpendicularmente al campo magnético B, entonces: φ = 90°.
EJECUTAR: F = I . L . B . sen 90º = (10.8 A)(0.0500 m)(0.550 T) = 0,297 N. EVALUAR: La fuerza por unidad de longitud de alambre, es proporcional tanto al campo magnético B como a la corriente eléctrica I.
EJERCICIO 27.35. Un alambre largo que conduce una corriente de 4,50 A forma dos dobleces a 90°, como se muestra en la figura 27.49. La parte flexionada del alambre pasa a través de un campo magnético uniforme de 0,240 T dirigido como se indica en la figura y confinado a una región limitada del espacio. Calcule la magnitud y la dirección de la fuerza que el campo magnético ejerce sobre el alambre.
IDENTIFICAR: Aplicar F = I . L . B . sin .
SITUACIÓN: Nombraremos a los tres segmentos de alambre en la zona de campo magnético, como: a, b, and c. Llamaremos x a la longitud del segmento a. El segmento b tiene una longitud 0,300 m y el segmento c tiene una longitud 0,600 m - x. En la figura 27.35a se muestra la dirección de la fuerza magnética que se aplica sobre cada segmento de alambre, donde el ángulo en cada caso es, = 90°. La fuerza magnética total sobre el alambre es el vector resultante de sumar las fuerzas que actúan sobre cada segmento de alambre. EJECUTAR:
Ya que Fa y Fc están en la misma dirección y sentido, su vector suma Fac tiene por magnitud:
y está dirigido hacia la parte inferior de la página en la figura 27.35a.
y está dirigido hacia la derecha. El vector suma F ac está ilustrado en la figura 27.35b.
La fuerza neta tiene por magnitud 0,724 N y su dirección está especificada por el ángulo = 63,4° en la figura 27.35b. EVALUAR: Los tres segmentos de alambre son perpendiculares al campo magnético, por lo que el ángulo = 90° para cada segmento de alambre en la ecuación de la fuerza magnética. La dirección de la fuerza magnética sobre cada segmento depende de la dirección de la corriente eléctrica que circula por cada segmento de alambre.
