Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica (0250)
Ciclo Básico
EJERCICIOS RESUELTOS 1. Dado Q ( 2, 3, 2) y las rectas L 1 : x 3 - 2t, 2t, y 4 3t, 3t, z -3 2t y L 2 : x 3y 2, z 2 a) Halle la ecuación del plano
x
3
Dados L 1: y
4
z
t 3
L 2 :
y
x - 2
y , z 2
3
2
ó
x
2
L 2: y
0
r 1
z
2
0
- 3
3
3
- 2
- 3
2
v 1
que pasa por Q y es paralelo a las rectas L1 y L2 .
1
, v 2
2
, Entonces hacemos n
v 1 v 2 (normal del plano)
0
ˆ i
ˆ j k
2 3
n
3
2 6 , y con el punto Q( 2, 3, 2) , obtenemos
2
1 0
7
: - 2x - 6y 7z 0
ó
2x 6y - 7z 0
b) Calcular la distancia distancia entre L1 y L 2 .
2
1 P1(3, 4, - 3) y
P2 (2, 0, 2) , por tanto P 2P 1
4
v 1 v 2
;
n
6 7
- 5
P 2P 1 n
d (L 1, L 2 )
n
2
24
35
61
4
36
49
89
c) Calcular la distancia entre Q y L 1 .
5 QP 1
1
QP 1 v
y
ˆ i
j
ˆ k
17
5
1
5
0
- 5
2 3
2
17
QP 1 v
d (Q , L 1 )
17 2
v
17
34
2. Los puntos A(1, 3, –1), B(2, 0, 2) y C (4, (4, –1, –3) son vértices consecutivos de un paralelogramo. a) Halle el vértice D y el centro del paralelogramo. Sean A (1, 3, - 1) , B (2, 0, 2) , C (4, - 1, - 3) y D (a , b, c) .
BC
c 1
AD entonces
5
c
6.
2
a 1
- 1
b 3
- 5
c 1
Por tanto
a - 1
2
a 3 , b - 3 -1
b 2 ,
D(3, 2, - 6) .
1
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b) Calcule el área del triángulo generado por ABD.
2
Sean v
1
1 ,
AD
u
AB
5
u v
- 3 . 3
ˆ i
j
ˆ k
18
1
3
3
11
2
1
5
5
El área del triángulo es :
A
3. Dados el plano
u v
324
2
121
25
470
2
2
0 , la recta L :
: x 2y z 3
x y z 1 2x y z 2
y punto Q(1,1,0). Encuentre:
a) El punto intersección entre la recta L y el plano . Para verificar si existe intersección entre la recta y el plano tenemos que encontrar primero la recta L, la cual viene dada por la intersección de los planos dados, esto será, aplicando operaciones elementales y llevando a una matriz escalonada reducida: 1 1 2
1 : 1
1 1 : 2
f 2 f 2 2 f 1
1
1
1 : 1
0
1
1 : 0 x = 1,
, de donde obtenemos la ecuacion de la recta como:
y = –t ,
1
z=t
Para encontrar la intersección entre la recta y el plano, sustituimos las coordenadas de la recta en la ecuación del plano dado y así se obtiene:
(1) 2( t ) (t ) 3
t
0
2
3 Al sustituir el valor de t en 1 tenemos que el punto de intersección tiene coordenadas:
x 1 ; y
2
; z
2
3 3 b) La ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto Q y es paralelo plano .
Dado que el plano buscado es paralelo al plano dado podemos asegurar que Así la ecuación del plano que deseamos viene dado como:
c) La distancia del punto Q al plano
.
2
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d) El área del triángulo cuyos lados adyacentes están dados por el vector director de la recta L y el vector normal al plano . 0
1
Sean d
1
el vector director de la recta L y n
el vector normal al plano .
2
1
1
ˆ i
ˆ k
1
0
1 1
1
1
2 1
1
d n
j
Entonces el área del triangulo cuyos lados adyacentes son estos vectores, esta dado por:
A
d n
1 1 1
2
2
3 2 x 1 5t
4. Dados el plano
1 : 2x 3y 6z 25
0 , las rectas L 1 :
x 1
y 1
z 2
4
2
3
;
1
L 2 : y z
2
4t 3t
y el
punto Q(1,1,1). Encuentre: a)
Las coordenadas del punto intersección entre la recta L1 y el plano
1
.
x 1 4 L1 : y
Expresando la recta L1 de forma paramétrica tenemos:
del plano para encontrar (si existe) el valor de
2(1 4 ) 3( 1 2 ) 6(2 3 ) 25
z
1 2 2
y sustituyendo en la ecuación
3
obtenemos:
0
2 8
3 6
12 18
Entonces tenemos que las coordenadas del punto intersección son: x = 7 ;
b)
25
2
y = 5
; z = 4
La ecuación cartesiana del plano que contiene a las rectas L1 y L2 . El vector normal al plano se obtiene del producto cruz entre los vectores directores de las rectas L1 y L2 . Así
i j k
n
4 2
3
5
3
4
2 3 i 4 3
4 3 j 5 3
4 k 5
2 4
Y la ecuación cartesiana del plano buscado será:
:
6 6i 3 j 6k
:
2
3
3 1
6
2
2(x 1) (y 1) 2(z 2)
0
2x y 2z 1 3
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c)
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La ecuación cartesiana de los planos paralelos a
que estén a 5 unidades del origen.
1
Los planos son de la forma: 2x 3y 6z k 0 , así d (P ,
de los planos buscadas son
d)
k
5 7 2x 3y 6z 35
punto P es el origen se tiene d (P ,
1)
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2x 0
3y 0
6z 0
7
k
y como el
35 , de donde se tiene que las ecuaciones
k
0
1)
y
2x 3y 6z 35
0
La ecuación de la recta perpendicular a L2 que pasa por el punto Q. 5
Sean P(1, 1, 2) un punto y d
4 un vector director de la recta L2 , el vector
k PQ Pr oy d PQ
3
será un vector perpendicular al vector d , por ende será el director de la recta buscada, así tendremos:
0
k PQ Pr oy d PQ
2 1
1 10
5
1
4
16
10
3
L 3
5
:
y la recta solicitada estará dada por:
13
x
1
5
y
1
16
z
1
13
4
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