VECTORES EN R
3
Tomando Tomando como como referencia referencia la teoría de vectores vectores en el plano, plano, se obtiene obtiene deniciones y propiedades de los vectores en el espacio
1. SISTEMA DE COORDENADAS COORDENADA S TRIDIMENSIONALE TRIDIMENS IONALES.S.-
Denimos al producto cartesiano A x B x C de los conjuntos A, B, C, entonces AxBxC ={ ( x , y , z )| x ∈ A , y B , z ∈ C }
Donde el símbolo (x,y,z representa una terna ordenad! Como las ternas ordenadas de n"meros reales son el elemento del producto cartesiano # x # x #, a esto conjunto se le denota por
R
3
, es decir
R = { ( x x , y , z )| x ∈ R , y ∈ R , z ∈ R } 3
$ue determina lo %ue llamaremos espacio tridimensional! &sto es, %ueda establecido un sistema cartesiano de tres dimensiones, cuyos ejes son las rectas orientadas' (eje abscisas, ) (eje de ordenadas y * (cota, %ue se cortan perpendicularmente en el punto + (orien de coordenadas! Todo punto en el espacio %ueda determinado por la terna (x, y, z
2. VECTOR VEC TORES ES EN R
3
&n el espacio denotamos los vectores mediante -rdenes
V = ⟨ x , y , z ⟩ O = ⟨ o , o , o ⟩ tal
Denot.ndose el vector cero por 3
, un vector en R
caso R
3
se puede expresar
como la suma de componentes vectoriales paralelos a los ejes coordenados! &n
3
R , i , j , k
representan vectores unitarios en las direcciones de las partes positivas de los ejes , )! * respectivamente &ntonces/ 3. MAGNITUD O NORMA.-
v =( x , y , z ) . 1a manitud o norma de
0ea
⃗
v denotada como ⃗
‖v‖ ⃗
, se
dene como /
‖v‖= √ x 2+ y 2+ z 2 ⃗
2ote %ue la norma seria la lonitud del semente de recta %ue dene el vector! &s decir, seria la distancia entre los puntos %ue denen! v =( x 2− x 1 , y 2− y1 , z 2− y 1) sería/
3ara
⃗
z ( x 2− x 1) +( y 2 − y 1)2 +(¿ ¿ 2 − z 1)2 ‖v‖= √ ¿ 2
⃗
4. PRODUCTO ESCALAR, PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO INTERNO
v 1= ( x1 , y 1 , z 1 ) y v 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 )
0ea v1 ⃗
⃗
⃗
con
v2 ⃗
denotado como
vectores de R v1 . v2 ⃗
⃗
⃗
3ropiedades/ 0ean
v 1 y v 2 ⃗
⃗
vectores de R
! &l producto escalar de
se dene como /
v 1 . v 2= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ⃗
3
3
, entonces/
v 1 . v 2= v 2 . v 1 ⃗
•
⃗
⃗
v 1 . ( v 2 + v 3 ) =v 1 . v 2+ v 1 . v 2 ⃗
⃗
•
•
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
α . v 1 ¿ . ( β v 2 ) =αβ ( v 1 . v 2 )
(
⃗
⃗
⃗
⃗
v . v =‖v‖
2
⃗
•
⃗
⃗
5. ANGULOS ENTRE DOS VECTORES EN R
3
&l anulo entre dos vectores A y B no nulos es de anulo
θ ∈ [ 0, π ] , entre
respectivos vectores de posicion normales! A. B ‖ A‖‖B‖
cos θ =
6. VECTORES ORTOGONALES.-
1os vectores A y B diferentes de cero son ortoonales (o perpendiculares si el .nulo entre ellos es 456! Tambien se obtiene inmediatamente %ue los vectores A y B en R •
3
son perpendiculares si y solo si A!B78
&jemplo/
Demostrar que el vector
V ⟨ 2.− 1,3 ⟩ es ortogonal a los vectores A
⟨ 3,2, − 2 ⟩ , B =⟨ 1,8,2 ⟩ y C = ⟨ 1, − 4, − 2 ⟩ Demostracion: En efecto, hallaremos el producto escalar deV con cada uno de los vectores dados
A!97
⟨ 3,2, − 2 ⟩ . ⟨ 2.− 1,3 ⟩= 6 + 0 − 6= 0
B!97
⟨ 1,8,2 ⟩ . ⟨ 2.−1,3 ⟩ =2− 8 + 6= 0
C!97
⟨ 1, − 4,− 2 ⟩ . ⟨ 2.− 1,3 ⟩= 2 + 4 − 6 = 0
7. VECTORES PARALELOS.-
Dos vectores diferentes de cero A y B son paralelos si el .nulo entre ellos es cero o 4! #ecuerde %ue los vectores paralelos tienen la misma direcci-n o direcciones opuestas! 0i A : 8, entonces A y B son paralelos si y s-lo si v 7 ;u para al"n escalar ; : 8!
2
r ‖B‖ rB.B = cos θ = ‖rB‖‖B‖ |r|‖B‖2 7
r |r|
0i r ¿ 0 ⟹ cos θ=1 y si r ¿ 0 ⟹ cos θ=−1 &ntonces los vectores A y B son paralelos •
&jemplo/
¿Para que valores a y b los vectores A=
⟨− 2,3, a ⟩ y B = ⟨ b ,− 6,2 ⟩
colineales
0olucion/ A
‖B
⟹
⟨−2,3, a ⟩= r ⟨ b ,− 6,2 ⟩
De donde obtenemos: a=!" y b=#
⇔
{
−2=rb 3 =−6 r ⇒ r =−1 / 2 a= 2 r
son
Bibli!"#$#%
#!
9ectores y matrices
0tanley, =rossman
Alebra lineal
3ainas/ >ttp/55es!scribd!com5doc5?@?@59ectoresen# >ttp/55es!scribd!com5doc5?EE685Calculo9ectorialCapituloF9ectoresen # >ttp/55estudiofacultad!>ostoi!com5teoricoal5al65cap8!pdf
