1)En la armadura mostrada, la barra 3 es de dos materiales
(acero y bronce) y cada material tiene una sección transversal de 800 mm2. Las otras barras son de acero y tienen cada una un área de 600 mm 2. Todos los pasadores tienen un diámetro de 12 mm un esfuerzo cortante admisible de 100 MPa. Determine la magnitud máxima de armadura (barras
P para que los elementos de la
y pasadores) no fallen plásticamente.
Considere que los apoyos A y C no presentan horquilla y que P actúa sobre el pasador en D. Teniendo en cuenta que P debe ser máxima, considere el montaje más eficiente de las barras en los pasadores. Para el acero tome Gpa; y para el cobre
PER
PER =
180 MPa E=200
120 MPa MPa y E = 100 Gpa. Tome Tome a =
500 mm = 0,5 m.
B
1
1
3a
3
2
A
2 C D
P 4a
4a
a
Análisis estático:
B
1
1
3a
3
2
A
2 C D
P
R A 4a
Por simetría:
a
RC 4a
RA = RC = P/2
Pasador A
Σ Fx
F2
α
F2 Cos α = F1Senβ F1 = F2 Cos (14.036)/Sen (45)
β
F1 = 1.372 F2
P/2
F1
Σ Fy α= 14.036 0 β= 45
=0
=0
P/2 + F2 Sen α
0
=
P/2 = 1.372 F2 Cos (45) - F2 Sen(14.036) •
F2 = 0.687 P
•
F1 = 0.9426P
Pasador B Σ Fy = 0
F3 = 2F1Cos (45) F1
β
F1 Cos β
β
F3
F1
•
F3 = 1.33P
Análisis estático:
B
1
1
3a
3
2
A
2 C D
P
R A 4a
Por simetría:
a
RC 4a
RA = RC = P/2
Pasador A
Σ Fx
F2
α
F2 Cos α = F1Senβ F1 = F2 Cos (14.036)/Sen (45)
β
F1 = 1.372 F2
P/2
F1
Σ Fy α= 14.036 0 β= 45
=0
=0
P/2 + F2 Sen α
0
=
P/2 = 1.372 F2 Cos (45) - F2 Sen(14.036) •
F2 = 0.687 P
•
F1 = 0.9426P
Pasador B Σ Fy = 0
F3 = 2F1Cos (45) F1
β
F1 Cos β
β
F3
F1
•
F3 = 1.33P
Análisis de deformaciones de la barra 3:
FBR FAC
δacero =δbronce FAC L3 = FBR L3 A 200 A 100 • FAC =2FBR 1.33P = FAC + FBR 1.33P = 2FBR +FBR
δacero δbronce
F3 = 1.33P
FBR =0.444 P
FAC = 0.889 P
Análisis de esfuerzos: Barra 1 y 2
Las barras 1 y 2 poseen igual área; pero la barra 1 es más crítica, ya que soporta más carga que la barra 2: 180*106 σ1 = 0.9426 P < 180*10 600*10-6 •
PMAX/1 = 114577 N
Barra 3
Para el acero: σAC=
0.889 P < 180*106 800*10-6
•
PMAX/AC = 161980 N
Para el bronce: σBR
= 0.444 P < 180*106 800*106
•
PMAX/BR = 216216 N
Pasadores
Pasador A.
Pasador B.
Pasador D. F3= 1.33 P
F1= 0.9426 P F2= 0.687 P
F2
F1= 0.9426 P
P/2
F1= 0.9426 P
F3= 1.333 P
F2
P
Es mas critico el pasador D, luego: 1.333 P
1.166 P
FRD =1.3438
α
0.666 0.687 P
FRD < PER A 1.3438 P < 100*106 -3 2 (12*10 ) * π/4 •
PMAX/PAS= 8421 N
Es mas critico el pasador, luego: PMAX = 8421 N
2)
Las barras rígidas AB y BC Son de acero y están Apoyadas por
rotulas en A y C y unidas entre si por la rótula B. la
barra AB esta Sostenida, además, por el cable ED de acero de sección transversal de 0,5 in 2. Para las cargas mostradas, determine el máximo valor de P que se puede aplicar sin peligro, y la deformación total del cable en pulgadas. Tome para el cable un
PER =
22000 psi y E =29x10 6 psi. y
E 3 ft
C P
G 2P
T 3Ft
F
A z
4Ft
D 2Ft
B 2Ft
Análisis vectorial
ÜT = -6i + 3j – 6k 62 + 32 + 62 • •
= -2 i +1 j – 2k 3 3 3
T = T = -2T i + T j – 2T k 3 3 3 L= 9’= 108’’
3Ft
x
Análisis estático:
Barra AFB
AX
2P(4) + 8P/2 =6T Y 12P = 6T/3
T X
AY
AZ
4 ft
A
T = 6P
Análisis de esfuerzos
F = 6 PMAX = 22000 PSI A 0.5
PMAX = 1822.333 Lb
δ = F L = σ L AE
2 ft F
Barra BGC
σ=
T Z P/2 BZ
ΣMZ = 0
•
T Y
2P
E
δ = 22000 * 108 29*106 = 0.082 in
D
2 ft
B
3)
Una grúa de tenaza levanta troncos hasta de 4500 N. Todos los pasadores son de acero ASTM A36, con Sy = 240 MPa, y deben ser de igual diámetro. Las barras AC y BD son de un acero AST-A242, con Sy = 360 MPa, y Geométricamente son iguales. Garantizando un factor de seguridad Ns = 2, determinar
(a) El diámetro común de los pasadores, (b) La
sección transversal de los barras AC y BD.
70mm 70 mm
70 mm A
B
65 mm C
D
90 mm E
300
F
G
300 mm
Análisis estático α = 47.121 β = 49.398
Pasador A = pasador B
ΣFx=0 FAC Sen (α) =FAB FAB = FAC (0.733)
FAB
α
FAC
1. FAB = 1800.884 FAC N
Pasador C= Pasador D FAC
α
ΣFx = 0 FCE Sen (β) = FAC Cos (α)
FCE
β
FCE (0.759) = FAC (0.733) FCE =0.966 FAC 2. FCE= FDE = 2373.334 FAC N
F ACy C
F ACx
Barra CEG
E FEDx
FACx= 0.733FAC FACy=0.68 FAC
FEDy
FEDx= 0.759 FED
ΣFX= 0 FED (0.759) – FAC (0.733) = GX
GX G 2250 N
De ecuación 2. 0.966 (0.759) FAC - FAC (0.733) = GX 3. GX =1.94*10-4 FAC
ΣME = 0 90 FAC (0.733) +105 FAC (0.68) –GX(300)=150(2250) De 3. 65.97 FAC + 71.4 FAC -1.94*10-4 FAC (300)=337500 FAC = FBD= 2457.91 N FCE = FED = 2374.341 N FAB= 1801.138 N
Análisis de esfuerzos:
Diámetro común de los pasadores: Pasador A y B FAC <
PER
A α
FAC
FAB
1672.491
2457.91 < 360*106/2 2 φ π/4 2 4.864 mm.
Pasador C y D
= FAC < α
β
PER
A
FAC
3217.714 < 90*106
FCE
3217.714
2
φ π/4
6.747 mm.
1. Sección transversal de los barras AC y BD.
σ = FAC /A = 2457.91 /A < 180*106 A=13.655 mm2
4) El movimiento del cubo de la retroexcavadora mostrado en la figura, se controla mediante dos (2) brazos y un eslabón articulado en D. Los brazos están colocados simétricamente con respecto a los planos central, vertical y longitudinal de la retroexcavadora. En la figura sólo se muestra el brazo AFJ y su cilindro de control EF. La barra GH, el eslabón simple HDB y su cilindro de control BC se encuentran localizados en el plano de simetría. Determinar: (a) El esfuerzo normal en los elementos sometidos a carga axial, (b) si los pasadores deben ser del mismo diámetro, ¿cual debe ser su valor mínimo? Tome para los pasadores un AGH = 1 in 2 ABC = 1 in2 AEF =0.8 in2
PER =
8000 psi.
Análisis estático:
ΣMJ= 0 4500
GX (24) +4500 (20)=0 Gx
G
•
J
GX= 3750 Lb.
ΣFX =0
2Jx
2JX = GX 2Jy
JX= 3750/ 2 • JX=
1875 Lb.
ΣFY= 0
2JY= 4500 •
JY = 2250 Lb.
Barra GH ΣFX =0 Gx
G
28"
HX= GX
Hx
H
•
Hx= 3750 Lb.
Barra BDH: ΣMD= 0 B
Bx
20"
BX (20)= HX (24) BX=1.2 HX
D Dx 24"
•
Hx
H
BX=4500 Lb.
ΣFX =0
BX +HX =2DX •
DX = 4125 Lb. Ay A
Brazo AFJ
Ax 32"
ΣFX=0
4125
AX= FE (0.964) + 1875
D
α =15.479º ?
FE
10"
F 38"
ΣFY=0
1875 J
AY= FE (.267) +2250
2250
28"
10"
65"
ΣMA = 0
(1875)(80) - 4125(32) + (2250)(103)= FE (0.964)(42) –FE(0.267)(65) •
FE= 10796.265 Lb.
•
AX= 12182.599 Lb.
•
AY= 5132.603 Lb.
Análisis de esfuerzos 1. Esfuerzo normal en los elementos sometidos a carga axial:
σ = F/A •
Barra GH
σGH = 3750 /1 = 3750 PSI •
Cilindró de control BC Y EF
σ BC =
4500/ 1= 4500 PSI
σ EF =
10796.265 / 0.8 = 134950.331 PSI
2.
Valor mínimo de los pasadores
Pasador A es critico RA= 13219.657 Lb. F/ φ2 π/4 <
PER
13219.657 < 8000 Psi. 2 φ π/4 = 1.451 in
5) El sistema mostrado en la figura está formado por tres barras ABCD, BEF y EC unidas por medio de pasadores. El sistema es utilizado para levantar un peso de 50.000 N por medio de una polea de
= 20 cm. La barra BEF esta simplemente apoyada en F.
Si el material de las barras y los pasadores tiene un esfuerzo de fluencia Sy = 180 Mpa, y trabaja con un factor de seguridad N = 1,5. Calcular: a) El área de la sección transversal de la barra EC. b) El diámetro de los pasadores A, B, C y E.
Análisis Estático
DCL general
ΣFX= 0 AX –DX –FX= 0 AX= FX + 0.259 W
ΣFY= 0
F
Fx 20 cm E
AY=DY AY= 1.966 W
120cm
ΣMA= 0 FX(1.4) -1.966W(2.5) =0
Ay B
A
C
Ax
•
FX=3.511 W
•
AX=3.770W
160cm
Dx
DX – W COS (75) = 0 •
DX= 0.259W
ΣFY= 0 DY – W- W Sen(75) = 0 •
DY= 1.966 W
Barra ABCD:
50cm
Dy
ΣFX= 0
75°
W
D Dx
40cm
Polea D:
Dy
W
ΣMB= 0 -AY (0.4) +CY (1.6)- DY (2.1)=0 -1.966W (0.4) + CY (1.6) - 1.966W (2.1)=0 •
CY= 3.07 W
FCE= CY/Sen (36.87) •
FCE= 5.12 W
ANALISIS DE ESFUERZOS
σ= FCE / A < σPER 5.12W/A < 180*106/1.5 A = 4.267*10-8 W (m2) A= 2.13*10-3 (m2)
6) la barra rígida ABCD esta apoyada horizontalmente por un rodillo en D y soportada por las barras deformables 1,2, 3 y 4; las cuales son de acero de área de 3cm 2 y
PER=2000
Kg/cm2, y E=2*106 Kg/cm2. Determinar a) El valor máximo de P si la carga se aplica como se muestra. b) Proponer el montaje mas adecuado del rodillo, la barra ABCD, y la barra 4, sobre el pasador D. Y determinar el diámetro de dicho pasador si
PER=
1000Kg/cm2.
Análisis estático:
Sen α = 0.894
F1
F2
Cos α = 0.447 A
B a
F3
F4 DX
2p
D
C 2a
a
ΣFY=0 F1 + (F2+F3) Sen α +f4 = 3P 1. F1 + 0.894 (F2+F3)+f4 = 3P
ΣMB= 0 F1 (a) +P (2a) –F3 (2a) Sen α −F4(3a)= 0 F1 + 2P - 1.789F3 - 3F4=0 2. 1.789F3 + 3F4 - F1 = 2P
Análisis de deformaciones:
1
4 3
2
2
A 1
A
C
3
D
B
a
ΔA - ΔD = ΔB - ΔD 4a 3a 3ΔA - 3ΔD = 4ΔB - 4ΔD
D
C
B 2a
a
4
3ΔA = 4ΔB - ΔD
ΔA = δ1
ΔD = δ4
ΔB = δ2 /Sen α = 1.118 δ2 ΔC =1.118 δ3 3δ1 = 4(1.118 δ2) - δ4
3 F1 * 2a = 4.472 F2 *2.2236 a – F4 * 2a AE AE AE 6F1 = 10F2-2F4 3F1 = 5F2 –F4 3. F4 = 5F2 – 3F1
ΔA - ΔD = ΔC - ΔD 4a a ΔA = 4ΔC - 3ΔD
δ1 = 4(1.118 δ3) - 3δ4 F1 * 2a = 4.472 F3 *2.2236 a – 3 F4 * 2a AE AE AE 2F1 = 10F3 – 6F4 4. F1 = 5F3 – 3F4
3. en 1. 5. -2F1 +5.894 F2+ 0.894F3 = 3P
3. en 4.
6. F1= 1.875 F2 -0.625 F2
6. en 5. 7. F2= 1.4P –F3
3. en 2. 8. 1.789 F3 +15F2-10F1 = 2P
6. EN 8. 9. F2= 2.144 F3- 0.533P
7. en 9. F3= 0.615 P
F2= 0.785 P
F1= 1.09 P
F4= 0.655 P
Análisis de esfuerzos:
La barra 1 es crítica F1/PER= σPER *A = 6000 Kg F1 < F1/PER 1.09 P = 6000 PMAX= 5505 Kg
F1= 6000 F2= 4321.4
F3= 3385.6
F4= 3605.78
Análisis del pasador en D:
DX= (F2 - F3) Cos α = 418.6 RD=
DX2 +
RD= 3630
DY2
=
2
(418.6) + (3605.5)
DY = 3605 2
3605
418.6
DX = 418.6
La mayor fuerza aplicada en el pasador es la de la barra AD, por tanto se recomienda que esta barra se ubique en el medio del pasador y la sección crítica será por el lado de la barra 4.
τ= FY/A < τPER 3630 = 1000 πφ2/4 φ= 3630(4) 1000π = 2.15 cm. =22 mm.
7)
Las barras 1, 2, y 3; son de acero con E=2*10 6 Kg/cm2, y PER=
2000 Kg/cm2 determinar el máximo valor de la carga P,
que se pueda aplicar como se muestra. El área de la sección transversal para las tres barras es A= 2cm y a= 50cm. 1
3
2
a P
a
Análisis estático:
ΣMA= 0 1. 2P = 0.707F1 +F2 +1.414F3
a
Análisis de deformaciones:
ΔC = ΔB 2 a a ΔB= 2 δ1
1
ΔC= 2 ΔB = 2 δ2 = δ3
3
2
45
P
ΔB
δ2 = 2 δ1
ΔC
F2(a) = 2 F1 2 (a) AE AE 2. F2= 2F1
δ3
δ2
δ3 = 2 δ1 F3 2 (a) = 2 F1 2 (a) AE AE 3. F3 =2 F1 2) y 3) en 1) F1= 0.3613 P
F2=F3= 0.7226 P
Análisis de esfuerzos.
Las 3 barras son del mismo material y tienen igual área, entonces la barra crítica es la más cargada; en este caso las barras 2 y 3. Por tanto:
σ = 0.7226PMAX < σPER = 2000 2 PMAX = 5535.56 Kg.
8)
En la estructura mostrada las barras 1, 2, 3, y 4 son de acero estructural para el cual S y =36000 psi y E= 29000 ksi. Si A1=1in2; A2=2in2; A3=A4=3 in2; determine la magnitud máxima de la fuerza P que se puede aplicar sin peligro alguno, para un N=2.4.
2
1
4 3
Análisis estático:
BARRA DEF: Por simetría:
F1
1) F1=F2
ΣFY=0
F2
D
E
F
F1 +F2=F3
F3
2) 2F1 = F3 BARRA ABC: Sen θ =3/5 Cos θ =4/5
F4 AX
F3
θ
A
B
C P
AY
ΣMA= 0 3) 4F3 +1.2F4 =4P Análisis de deformaciones:
ΔC = 2ΔB ΔB= δ4/sen θ = 5δ4/3
3 4
A
ΔE - δ2 = δ1 - δ2 a/2 a ΔE = δ1 + δ2 2 ΔC = ΔE +δ3
B
C
ΔB D
δ1
E
ΔE
F
δ4 ΔC δ2
ΔC = (δ1 + δ2 ) +δ3 2 ΔC = 10δ4 / 3
(δ1 + δ2 ) +2δ3 = 20δ4 / 3 F1 (20) + F2 (20) + 2F3 (20) = (20/3) F4 (50) 1E 2E 3E 3E 4) 2F1 +F2 + (4/3) F3= (100/9) F4 •
Resolviendo 1), 2), 3), Y 4).
F1= F2= 0.4645 P
F3=0.9289 P
F4= 0.237 P
Análisis de esfuerzos:
Barra 1 crítica F1 PER= A S y / N =1* 15000 > 0.4645 P P= 32293 Lb Barra 3 crítica F3 PER= 45000 LB > 0.9989 P P= 48444 Lb.
PMAX= 32293 Lb.
9) 8La barra AD esta sostenida por un pasador en A, y las barras (4) y (3) de acero. La barra (3) pende del elemento EG, el cual a su vez esta sostenido por las barras
(1) y (2)de
acero. Determine el valor de la carga máxima P que puede soportar el sistema; si A1=2cm2, A2=4cm2, A3=A4=3cm2; E=2*106 Kg/cm2.
2 PER=1500Kg/cm
2
1
3
4
Análisis Estático:
Barra EFG Por simetría:
F1
F2
1) F1=F2
ΣFY=0 F1 +F2=F3 2) 2F1 = F3 BARRA ABCD:
E
F
G
A
ΣMA= 0 0.6 F4 (a)+ F3 (3a)= P (2a) 1. P= 0.3 F4 + 1.5 F3 Análisis de deformaciones:
ΔG = δ2
ΔG = (ΔE +ΔG)/2 ΔG = (δ1+δ2)/2 ΔD/3a = ΔB/a a. ΔD=3ΔB
F3
θ
Cos θ =0.8
ΔE = δ1
P
F4
Sen θ =0.6
B
C
D
ΔD = ΔF+δ3 b. ΔD= (δ1+δ2)/2 + δ3 c. ΔB= δ4/ Sen θ = δ4/ 0.6
Reemplazando c. e a. E igualando a. y b. (δ1+δ2)/2 + δ3 = 3δ4/ 0.6
δ1+δ2 + 2δ3=10δ4 F1(a) /2E + F2 (a)/4E + 2 F3 /3E = 12.5 F4/3E •
Reemplazo F2 Y F3
2.083 F1= 4.16 F4 2. F4= 0.5 F1
F1=F2=0.317P
F3=0.635P
F4=0.159P
Análisis de esfuerzos:
Barra 1 crítica
Barra 3 crítica
σ1= 0.317P/2 < 1500Kg/cm2
σ3=0.635P /3 <1500Kg/cm2
PMAX/1= 9450Kg.
PMAX/3=7087.5 Kg.
La barra crítica es 3 luego: PMAX=7087.5 Kg
10) 1En la estructura mostrada las barras 1, 2, y3, son de acero estructural pera el cual Sy= 250 Mpa, Su=460 Mpa y E=250 Gpa. Si A1=A3= 300mm2 y A2=400 mm2, determine la magnitud máxima de la fuerza P que se puede aplicar como se muestra. Asuma un factor de seguridad de 1.7 600 mm
3 3
2
1
4
4
3 A
P
Análisis Estático:
ΣFX= 0
F1
F2 α
β
F1 sen α = F3 sen β 0.6 F1 = 0.8 F3 1. F3 = 0.75 F1
ΣFY=0 P = cos α F1 + F2 + cos βF3 2. P = 0.8 F1 + F2 + 0.6F3
P
F3
1. En 2. 3. P =1.25 F1 + F2 Análisis de deformaciones: 60 cm
3 1
4
3
2
3
Tan α= ¾ = 60/AC
AC = 60(4) / 3= 80
Cos β= 80 /L3= 0.6
L3 = 133.33 cm.
Cos α = 80/L1= 0.8
L1= 100 cm.
Como
Sen α = Cos β = 3/5
Entonces:
α +β = 90
Por tanto AEA’F, es un rectángulo y A’F= δ1
δ2 = AI +IH AI= δ3 Cos β
4
IH = A’G =δ1 Cos α
δ2 = δ1 Cos α + δ3 Cos β δ2 = 0.8δ1 + 0.6δ3 F2* L2 = 0.8 F1 * L1 + 0.6 F3* L3 A2E2 A1E1 A3E3 F2(80) = 0.8 F1 (100) + 0.6 F3(133.33) 400 300 300 4. 0.75F2 = F1 + F
1. en 4. 5. F2 = 2.333F1
5. en 3. 6. P =3.583 F1 •
Resolviendo:
F1= 0.279 P
F2= 0.651 P
F3= 0.209 P
Análisis de esfuerzos:
Si la barra 1 es critica:
Si la barra 2 es critica:
σ1= F1 / A1 < σPER
σ2= F 2/A2 < σPER
σPER = Sy/ N = 147.059*10 6 Pa.
0.651 P2/MAX = 147.059 *106 400*10-6
0.279 P1 = 147.059*106 300*10-6 P1/MAX= 158.13 KN. •
P2/MAX = 90.36 KN.
La barra 2 es critica PMAX= 90.36 KN
11) En la estructura mostrada la barra 1 es de acero de 3cm 2 de área; la barra 2 esta compuesta por un tubo de acero de 1cm 2 de área y un núcleo de aluminio de 3cm 2 de área. El esfuerzo permisible basado en Sy para el acero y para el aluminio es respectivamente SPER/acero= 1000Kg/cm2; SPER/aluminio=500Kg/cm2; Eacero=2.1*106 Kg/cm2, Ealuminio=0.7*106 Kg/cm2. El acero y el aluminio de la barra 2 están firmemente unidos entre si. Determinar el máximo valor de P que se puede aplicar como se muestra. P A
60 cm
1
2
E
F 40 cm
G 40 cm
40 cm P
Análisis estático: A
DCL GENERAL
ΣMG= 0
D
C
B
D DX
C
B
DY 60 cm
1
2
DX (60) = P(80) DX= 1.33P
GX E
F 40 cm
G 40 cm
40 cm
GY
BARRA ABCD:
ΣFX= 0 F2 Senα = DX
P A
B
F2= 2.4 P F1
F1 (3*40) = P(2*40) +F2 Cosα (40) F1= 1.333P FALU FACE
Barra 2
ΣFY=0 FACE + FALU= F2
δACERO=δALUM FACE* L = FALU * L 1(2.1*106) 3(0.7*106) FACE = FALU =1.2 P
Análisis de esfuerzos:
Fuerza permisible de cada barra. Barra 1
D D X
α
DY
F2
ΣMA= 0
Análisis de deformaciones:
C
F2
F1/PER=1000*3 = 3000 Kg/cm2 Barra 2 FACE/PER= 1000*1=1000 Kg/cm2 FALUM/PER= 500*3= 1500 Kg/cm2 Si la Barra 1 es crítica: F1= 1.33P =3000 PMAX/1 = 2250 Kg. Si la Barra 2 es crítica: •
Para el acero:
•
Para el aluminio:
FACE= 1.2P=1000
FALU =1.2 P = 1500P
PMAX= 833.3 Kg.
PMAX= 1250 Kg.
El acero de la barra 2 es crítico; luego: PMAX= 833.3 Kg.
12) La barra rígida ABCD esta pivotada en B y soportada por las barras 1 y 2 ambas de acero de S PER= 1500Kg/cm2. A1= 2cm2, A2=3cm2; a=50 cm. Determinar P MAX. a
C
D
1
a
2
P a A
B
Análisis estático:
a
C
D
ΣMB= 0 F2(a)+ F1 sena (a) = Pa 1. P= 2 /2 F1 + F2
Análisis de deformaciones:
ΔD = ΔC 2 a a ΔB= 2 ΔC
ΔD = 2 δ2 ΔC= 2 δ1 2 δ2 = 2
2 δ1
a P a A
B
F1
F2
δ2 = 2 δ1 2. F2 =3F1
2. En 1. F1= 0.2697 P
F2= 0.8092 P
Análisis de esfuerzos:
Si la Barra 1 es crítica:
Si la Barra 2 es crítica:
σ1= F1 / A1 < σPER
σ2= F2 / A2 < σPER
0.2697 P1 /2 = 1500
0.8092 P2/3 = 1500
PMAX/1= 11123.5 Kg
PMAX/2= 5561 Kg
La barra 2 es la más crítica, luego: PMAX= 5561 Kg.
13) En cierta maquina es necesario disponer de un resorte muy rígido. Se sugiere un diseño consistente en un tubo de latón de 15cm de diámetro (diámetro a la mitad del espesor del tubo), y 6mm de espesor de pared y un tubo de aluminio de 25cm de diámetro y 6mm de espesor de pared. El tubo de aluminio tiene una altura de 0.076 mm. menor que la del tubo de latón. Dibujar
con
precisión
la
grafica
de
la
función
carga-
alargamiento de este resorte hasta el máximo valor de P que puede aplicar. Para el latón el aluminio
MAX=
MAX=400
Kg/cm2, E= 1*106, para
800Kg/cm2 E=0.7*106
Elemento rígido 0.076 mm
1 25 cm
Laton
2
Aluminio
P
Análisis estático:
A = Π * Dm *t A1= Π *15*0.6 = 28.27 cm2
A2= Π *25*0.6= 47.12 cm2 Posición final F1 = Fza latón.
F2= Fza aluminio
ΣFY=0 1. F1 + F2 = P
P
F1
F2
Análisis de deformaciones: a) Deformación hasta cuando la placa rígida hace contacto con el
tubo de aluminio. P
Pi= F1
δ1 = F1* L1 = 0.0076 cm
F1
A1 E1 F1= 7.6*10-3 * 28.27 (1*106) 25 F1= 8594 Kg.= P b) Deformación hasta cuando alguno de los dos elementos falla.
Δ = 0.0076 δ1= Δ + δ2 F1 (25) = 0.0076 + F2 (25) 28.27 (1*106) 47.12 (0.7*106)
F1 = 304 + F2 28.27 33 2. F2= 1.167 F1 – 10032
2. En 1. F1= 0.4615 P + 4629
F2=0.5385 P – 4629
Análisis de esfuerzos:
Si falla el latón:
Si falla el aluminio:
F1 / A1 = σMAX
F2 / A2 = σMAX
0.4615 P + 4629 = 400
0.5385 P – 4629 = 800
28.27
47.12
PMAX/1= 14472 Kg.
PMAX/2= 72598 Kg.
Falla primero el latón: PMAX= 14472 Kg.
La deformación total del sistema al momento de falla es δ1:
δ1= ε Y 1* L1 = Sy* L1/ E1 δ1= 400(25) = 0.01 1*106 La grafica P-δ tiene dos tramos el primero, cuando la placa rígida toca al tubo de aluminio (2), es decir el punto de coordenadas (0.0076; Pi). El segundo tramo, desde el punto anterior hasta cuando se alcanza PMAX, pareja de valores (0.01; PMAX).
16000 0,01; 14472
14000 12000 10000
Tramo 1 Tramo 2
0,0076; 8594
8000 6000 4000 2000 0
0; 0 0
0,005
0,01
0,015
14) La barra rígida ABC esta soportada por el cable de acero (1) de área= 1 cm 2 y
PER=
(2) de 2 cm 2 de área y
2000Kg/cm2, y por la barra de acero PER =
1500 Kg/cm2.
Determinar el máximo valor de la carga P que se puede aplicar como se muestra
F1
Análisis Estático:
C P
ΣMA= 0
3 60 cm
4
P (80) = F1 (60) + F2 (40) 1. 4P=3F1 +2F2
F2 A
α
40 cm
40 cm
Análisis de deformaciones: F1
1
C C
50 C’ B B
50
B’ 2
ΔC = ΔB 100 50
ΔC = 2ΔB ΔC = δ1/ Senα = 5δ1/3 ΔB= δ2/ Cosα= 5δ2/4 5δ1/3= 2 (5δ2/4)
δ1= 1.5δ2 F1 (80) = 1.5 F2 (30) 1E 2E 2. F2= 3.56 F1
Reemplazando en 1. F1= 0.3956 P
F2= 1.41 P
Análisis de esfuerzos:
Si (1) es crítica:
Si (2) es crítica:
σ1= F1 / A1 = σPER
σ2= F2 / A2 = σPER
0.3956 P/ 1 =2000
1.41 P/2= 1500
PMAX/1= 5055.611 Kg.
PMAX/2=2127.66 Kg.
La barra crítica es (2) luego: PMAX=2127.66 Kg.
15) La barra ABCD se apoya sobre el tubo de Bronce CE después de agotar el juego N=2; Y
= 0.01 en C. Determinar P MAX para un
D. Si A1= 2in2, A2=1in2, A3=0.5in2. Para el acero
E=30*106 Psi. Sy=60000 Psi; para el bronce E=15*10 6 Psi Y Sy=50000 Psi. A L1
P B 1
L1
Δ
E
C L1
3
2
L2
D P
Análisis Estático: RA
ΣFY=0 RA + RC = 2P
RA
P P -
1
1. RC= 2P - RA
A
R
RC 2
C
R + P – A
R
P
Análisis de deformaciones:
δAC = δTUBO + Δ RA (10) + (RA –P) (10) = RC (10) + 0.01 2(30*106) 2(30*106) 0.5 (15*106) (RA/ (60*105)) + ((RA –P)/ (60*105)) = ((2P- RA)/ (7.5*105)) + 0.01 (RA /30) + (RA /7.5) = (2P/7.5) + (P/60) + (0.07*105) (5 RA /30) = (17P /60) +1000 2. RA= 1.7P+ 6000
RC= 2P - RA= 2P -1.7P- 6000 3. RC= 0.3P – 6000 Análisis de esfuerzos:
Barra ABCD •
Tramo AB
•
Tramo CD
σ= RA /A= = σPER
σ= P /1 = 30000= σPER
(1.7P+6000) /2 = 30000
PMAX/CD=30000 Lb.
PMAX/AB=317.65 Lb. Tubo
σ= RC /A= (0.3P – 6000) / 0.5 = 25000= σPER PMAX/TUBO= 61.66 Lb. Tramo CD es crítico luego: PMAX =30000 Lb.
57000
δAD = ΔD ΔD= 57000 (10) + 27000(10) + 30000(15) 2(30*106)
2(30*106)
1(30*106)
D= 0.029 in
0 0 0 7 2
0 0 0 0 3
16) Un tubo de latón de 12in de largo, 1¼in de diámetro externo y área de sección transversal de 0.5in2, se coloca en una prensa ajustada de manera que sus quijadas toquen los extremos del tubo sin presionarlos ni inducir esfuerzos. Luego se aplica dos fuerzas de 42000Lb. Y 36000Lb; como se muestra. Después de aplicar las fuerzas la prensa se ajusta, disminuyendo la distancia entre quijadas en 0.01in, y además la temperatura se incrementa 50°C. Calcular: a. El máximo esfuerzo normal en el tubo. b. El desplazamiento relativo entre los puntos b y c. Para el latón: E=15*10 6psi; =18*106°C-1 La prensa se considera rígida.
4 in
Análisis Estático:
ΣFX= 0
4 in B
A
42000 Lb
4 in C 36000 Lb
RA – 42000+36000 =RD 1. RD= RA –6000
RA-42000 RA
RA- 6000
D
Análisis de deformaciones:
δAD =0.01in δAD = δADP - δADT = 0.01 2. δADP=δABP + δBCP +δCDP
δADT = αLAD* ΔT δADT = 18*106 *12*50 δADT = 0.0108in. Reemplazando en 2. RA (4) + (RA-42000) (4) + (RA – 6000) (4) – (0.0108)= 0.01 AE AE AE 4(RA + RA – 42000 + RA – 6000) =(0.01 + 0.0108) *AE RA -16000= 13000 RA= 29000 Análisis de esfuerzos:
RD= 23000
