UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICA: INGENIERIA CIVIL ASIGNATURA: SECCION: TEMA:
RESISTENCIA DE MATERIALES I B1 PRACTICAS RESUELTAS
INTEGRANTES:
AYALA FLORES LEONOR LEONOR XIOMARA CANCHANYA SANTIAGO ANGEL MUERAS CCONTO MARIA ROMERO LEIVA HANS SOTO QUISPE ELMER VILLALVA SANCHEZ FREY YALI ROJAS HANS
G00353A H01924B H01613F H01418C H01853H G00541K H00893A
PRESENTACION: El presente trabajo grupal trata acerca de la práctica de lo aprendido en clase, ya que el trabajo se ha elaborado recopilando prácticas y ejercicios desarrollados por cada uno de los integrantes presentados, para de esa manera tener una mejor visión de lo que es el tema de resistencia de materiales I. El presente trabajo contiene información sobre la parte teórica en términos generales, y lo planteado por el asesor del curso en el transcurso de cada semana y clase aportada a cada uno de nosotros con el fin de identificar cualquier problema y desarrollarla de manera rápida gracias al conocimiento adquirido.
Finalmente agradecemos al ingeniero por su tiempo y dedicación a los alumnos de la clase, ya que mediante los ejemplos y explicación del ingeniero, hacen de conocimiento abierto y general sobre el entendimiento de este curso de Resistencia de Materiales I.
PRESENTACION: El presente trabajo grupal trata acerca de la práctica de lo aprendido en clase, ya que el trabajo se ha elaborado recopilando prácticas y ejercicios desarrollados por cada uno de los integrantes presentados, para de esa manera tener una mejor visión de lo que es el tema de resistencia de materiales I. El presente trabajo contiene información sobre la parte teórica en términos generales, y lo planteado por el asesor del curso en el transcurso de cada semana y clase aportada a cada uno de nosotros con el fin de identificar cualquier problema y desarrollarla de manera rápida gracias al conocimiento adquirido.
Finalmente agradecemos al ingeniero por su tiempo y dedicación a los alumnos de la clase, ya que mediante los ejemplos y explicación del ingeniero, hacen de conocimiento abierto y general sobre el entendimiento de este curso de Resistencia de Materiales I.
INDICE:
TEMAS RESUELTOS: -
ESFUERZO UNITARIO DEFORMACION ESFUERZOS CORTANTES ESFUERZOS DE APOYO O APLASTAMIENTO ESFUERZOS DE DEFORMACION SISTEMAS INDETERMINADOS ESFUERZOS POR TEMPERATURA APLICACIÓN A LA DEFORMACION
O O Z I R R E A U T I F N S U E
1. Una varilla redonda de acero de 1 pulgada de diametro esta sujeta a una carga de tension de 15000lb. Determinar el esfuerzo en la varilla . Solucion: Diametro= 1pulg P= 15000lb A= π d2/4 A=πx / 4 A= 0.785
1
S= P/A S= 15000/ 0.785 S= 19098.59 lb/
.
2. Un cubo de 3 pulgadas de lado soporta una fuerza de compresion de 42K . Encontrar el esfuerzo de compresion. Solucion: P Diametro = 3 pulg P= 42k = 42000lb S=? S= 42000/ 3x3 S= 4666.67 PSI 3. Un tubo de laton soporta una carga de axial de 2500 lb. Si el diametro exterior es de 2 pulg. Y el interior es de 1 pulg . ¿Cuál es el esfuerzo de compresion en el cilindro? Solucion: P= 2500 lb Diametro exterior= 2 pulg Diametro interior= 1 pulg S= P/A S= 2500/ π x de2/4 – π x di2/4
S=1061,033 lb/pulg
A= π x de2/4 – π x di2/4
4. Una varilla roscada de acero de 1 ½ pulg. De diametro soporta una carga de tension de 26 k.determinar el esfuerzo en una seccion a traves del cuerpo de la varilla. Solucion: Diametro = 1 ½ pulg P = 26K = 26000 lb S=? S= 26000/ π( 1 x ½)2 /4 S= 14712,99 lb/pulg2.
5. Una varilla roscada de acero de 1 pulg de diametro soporta una carga de tension. El esfuerzo a la tension no debe exceder de 18000lb/plg2. Determinar la carga maxima que puede aplicarse. Solucion: Diametro = 1 pulg S= < 18000 lb/plg2 P=? S= P/A 18000= P/ (π(1)2/4)
P= 14137,17 PSI 6. Un poste de madera de 2 pulg x4 pulg soporta una carga axial de compresion. Determinar la carga maxima que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo unitario de 1000lb/plg2. Solucion: Diametro = 2pulg x 4 pulg P= ¿? S= 1000lb/ plg2. S= P/A 1000= P/ 2 x 4 P= 8000 lb 7. Una mesa de 3 pies x 4 pies soporta una carga uniformemente distribuida sobre su superficie. Determinar la carga maxima que puede soportar la mesa.cada una de las cuatro patas de madera tiene una seccion de 2 pulg x2 pulg ( tamaño natural ). El esfuerzo unitario a compresion no debe exceder de 18000lb/plg2. Solucion: S= F/A Fo = S.A Fo= 600 x 4( 2x2) Fo= 9600 lb
3pies x 4
2 x 2 pies
8. Una carga de 150lb debe ser soportada por un alambre de cobre. Determinar el diametro requerido. El esfuerzo en el alambre no debe exceder de 18000lb/plg2. Solucion: P= 150 lb S= 18000 lb/plg2 Diametro =? S= P/A 18000= 150 /( π (D)2/4)
Diametro= 0.103 9. ¿Qué tamaño de tuberia estandar de acero se requeriria para soportar una carga de compresion de 30000lb si el esfuerzo en la tuberia no debe exceder de 16000lb/plg2. Solucion: P= 30000 lb S= 16000 lb/plg2. 16000 = 30000/( π (d)2/4)
Diametro= 2.387 pulg 10. Una varilla roscada de acero soporta ena carga den 16k. el esfuerzo unitario de tension no debe exceder de 20k/plg2. Determinar el diametro de la varilla necesaria. Solucion: P= 16 K=16000 lb S= 20K = 20000lb/ plg2 Diametro= ¿? S= P/A 20000= 16000/ (π(D)2/4)
Diametro= 1.019 pulg
11. Un tubo de laton soporta una carga axial de 80k. si el diametro interior es de 1plg.¿cual debe ser el diametro exterior? El esfuerzo unitario no debe exceder de 12k/plg2. Solucion: P= 80k= 80000lb S= 12K=12000lb/ plg2. Diametro = ¿? S=P/A 12000= 80000/ (π x de2/4 – π x di2/4) π x de2/4 – π x di2/4 = 80000/12000 π(de2 – 1)/4 = 80000/12000
(de2 -1) = 8.4882 De2= 9.4882 De= 3.080 pulg. 12. Una varilla roscada de acero de 2 pulg de diametro soporta una carga de tension. El esfuerzo a la tension no debe exceder de 15000lb/plg2. Determinar la carga maxima que puede aplicarse. Solucion: Diametro = 2 pulg S= < 15000 lb/plg2 P=? S= P/A 15000= P/ (π(2)2/4) P= 47123.89 PSI 13. ¿Cuál debe ser el valor del diametro exterior de un tubo de acero , si el diametro enterior es de 0,25 pies . tomando en cuenta que debe soportar una carga de 160000lb para un esfuerzo unitario de 9000lb/plg2. Solucion: De=? Di= 0.25 pies = 3pulg P=160000lb S= 9000lb/plg2 S= P/A 9000= 160000/( π(de)2/4 – π(3)2/4) (π(de)2/4 – π(3)2/4)= 160000/9000 π( (de-3)2 /4)=17.777
de2= 31.635 de= 5.624 pulg
14. Una varilla roscada de acero soporta ena carga den 23 k. el esfuerzo unitario de tension no debe exceder de 35000lb/plg2. Determinar el diametro de la varilla necesaria. Solucion: P= 16 K=23000 lb S= 35000lb/ plg2 Diametro= ¿? S= P/A 35000= 23000/ (π(D)2/4)
Diametro= 0.915 pulg 15. ¿Cuál debe ser el valor del diametro exterior de un tubo de acero , si el diametro enterior es de 0,36 pies . tomando en cuenta que debe soportar una carga de 100000lb para un esfuerzo unitario de 14000lb/plg2. Solucion: De=? Di= 0.36 pies = 4.32pulg P=100000lb S= 14000lb/plg2 S= P/A 14000= 100000/( π(de)2/4 – π(4.32)2/4) (π(de)2/4 – π(4.32)2/4)= 100000/14000 π( (de-4.32)2 /4)=7.143
de2= 27.757 de= 5.27 pulg 16. Una varilla redonda de acero de 3 pulgada de diametro esta sujeta a una carga de tension de 23000lb. Determinar el esfuerzo en la varilla . Solucion: Diametro= 3 pulg P= 23000lb A= π d2/4 A=π / 4 A= 7.069
3
S= P/A S= 23000/ 7.069 S= 3253.834 lb/
.
17. Un poste de madera de 3 pulg x4 pulg soporta una carga axial de compresion. Determinar la carga maxima que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo unitario de 14000lb/plg2. Solucion: Diametro = 3 pulg x 4 pulg P= ¿? S= 14000lb/ plg2. S= P/A 14000= P/ 3 x 4 P= 14000 x 3x4 P= 168000lb 18. Una varilla roscada de acero de 1 ½ pulg. De diametro soporta una carga de tension de 16 k.determinar el esfuerzo en una seccion a traves del cuerpo de la varilla. Solucion: Diametro = 1 ½ pulg P = 16K = 16000 lb S=? S= 16000/ π( 1 x ½)2 /4 S= 81487.33 lb/
19. Un tubo de laton soporta una carga de axial de 4300 lb. Si el diametro exterior es de 3 pulg. Y el interior es de 1 pulg . ¿Cuál es el esfuerzo de compresion en el cilindro? Solucion: P= 4300 lb Diametro exterior= 3 pulg Diametro interior= 1 pulg S= P/A S= 4300/ π x de2/4 – π x di2/4 S=43007πx( /4 – π x ( /4 )
3
S= 684.366 lb/
1
A= π x de2/4 – π x di2/4
20. Un cubo de 2 pulgadas de lado soporta una fuerza de compresion de 35K . Encontrar el esfuerzo de compresion. Solucion: Diametro = 2 pulg P= 35k = 35000lb S=? S= 42000/ 2x2 S= 10500 PSI
S S E O T Z N R A E T U R F S O E C
1.- Determinar
el esfuerzo cortante en el bloque de la figura 3"
900 lb 900 lb
4"
=75 ∗
SC = =
5⁄8
2.- Dos placas se unen por medio de dos pernos de plg, como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo cortante en cada perno debido a una fuerza P de 5000 lb.
P
P
P P
2500 = = 5⁄8 =509.3 4
3⁄4
3.- Tres placas se unen por medio de dos pernos de plg, como se indica en la figura. Determinar el esfuerzo cortante en cada perno debido a una fuerza P de 12000 lb.
P
P
P/2 P
P/2
6000 = 23⁄4 4
3000 = 3⁄4 4
= 6790.61 4.- Determinar la máxima fuerza P que pueda aplicarse a las tres placas del problema anterior. El esfuerzo cortante en los pernos no debe exceder de . El diámetro de los pernos es de de plg. 10000
⁄
3⁄4
= → 1000 = 3⁄4 =4417.86 4
4 4417.86∗ 4 = 17671.46
7⁄8
5.- Determinar la fuerza necesaria para perforar un agujero redondo, de plg de diámetro en una placa de acero de plg de espesor. El esfuerzo cortante último para el acero es de 50000 . El agujero se hace forzando un punzón a través de la placa, como se muestra en la figura.
1⁄2 ⁄
P
A
=2
B
= 2 ∗ = ∗
=∗ → =5000∗∗ 78 ∗ 12 = 68722.34
6.- Se requiere una fuerza de 64000 lb para perforar un agujero redondo de plg de diámetro en una placa de de espesor. ¿Cuál es el esfuerzo cortante último sobre el material de la placa?
3⁄4
= 2 ∗ = ∗
3⁄8
=∗ → 64000=∗∗ 34 ∗ 38 = 72398.19
3⁄4
7.- Se desea perforar un agujero redondo de plg de diámetro en una placa . Si la capacidad de de acero cuyo esfuerzo cortante último es de 48000 la maquina perforada es de 100000 lb. ¿Cuál es el máximo espesor de la placa que puede perforarse?
⁄
= 2 ∗ = ∗
=∗ → 100000=48000∗∗ 34 ∗ = 0.884
8.- Hallar las ecuaciones y los valores máximos de los esfuerzos normales que aparecen en una pieza con sección transversal rectangular cuando soporta una carga de compresión en el medio de una de sus aristas.
Solución: La carga puede reemplazarse por una carga de compresión aplicada en centro de gravedad de la sección y un momento de flexión cuya magnitud es la del producto del valor de la carga por el desplazamiento.
9.- Una pieza cilíndrica está sometida a torsión y corte como se ve en la figura. Hallar la combinación de esfuerzos cortantes.
10.- Hallar la deformación vertical del extremo libre de la manivela del problema.
11.- En el problema anterior, hallar los esfuerzos máximos y las direcciones en las que estos ocurren.
12.- Determinar la máxima fuerza P que pueda aplicarse a las tres placas del diagrama mostrado. El esfuerzo cortante en los pernos no debe exceder de . El diámetro de los pernos es de de plg. 5000
⁄
3⁄8
P/2 P
P/2
= → 5000= 3⁄8 =552.233 4
4 552.233∗ 4 = 2208.932 13.- Se requiere una fuerza de 53000 lb para perforar un agujero redondo de plg de diámetro en una placa de de espesor. ¿Cuál es el esfuerzo cortante último sobre el material de la placa?
3⁄4
3⁄8
= 2 ∗ = ∗
=∗ → 53000=∗∗ 34 ∗ 38 = 59983.730
3⁄8 plg de diámetro en una placa de acero cuyo esfuerzo cortante último es de 45000 ⁄ . Si la capacidad de 14.- Se desea perforar un agujero redondo de
la maquina perforada es de 93000 lb. ¿Cuál es el máximo espesor de la placa que puede perforarse?
= 2 ∗ = ∗
=∗ → 93000=45000∗∗ 38 ∗
= 1.75 ⁄
y de 42000 tiene de espesor plg, si la perforadora tiene una fuerza de 97000 lb. ¿Cuál es el diámetro del agujero a realizar? 15.- Se tiene una placa de acero cuyo esfuerzo cortante es
3⁄4
= 2 ∗ = ∗
=∗ → 97000=42000∗∗∗ 34 = 0.98
O T S O N O O E Z Y I R M O E A P T U A S F A S E L E D P A
1. Un poste de sección cuadrada de 6 plg de lado se soporta mediante una zapata de 2 pies x 1 pies. El poste tiene una carga de 18000 lb. Determinar: a. La presión de apoyo entre el poste y la zapata. b. La presión de apoyo entre la zapata y el terreno. P =18000lb
DATOS A poste = 6 plg * 6 plg A zapata = 2 pies * 1 pies P = 18000 lb A.P = 6plg*6plg
SOLUCIÓN
P
S p / z S z / t
6 p lg* 6 p lg
18000lb 36 p lg
P
2 pies *12 p lg/ pies
2
2
500lb / p lg 2
18000lb
576 p lg
2
A.Z = 2pie*1pie
31.25lb / p lg 2
2. U n poste de sección cuadrada de 4 plg x 4 plg se apoya sobre una solera de 4 plg x 1 plg como se muestra en la figura. El poste soporta una carga P =4800lb de 4800 lb. Determinar el esfuerzo de apoyo entre el poste y la solera. DATOS A poste = 4 plg * 4 plg A zapata = 4 plg * 1 plg P = 4800 lb
A.P = 4plg*4plg
SOLUCION
S p / z S z / t
P
4 p lg* 4 p lg
16 p lg
P
4 p lg* 1 p lg
4800lb
2
2
4800lb 16 p lg
2
300lb / p lg 2
A.S = 4plg*1pl
300lb / p lg 2
3. Una columna tubular que tiene en la base una placa de acero de 6 plg x 6 plg es soportada por un muro de concreto. El esfuerzo de apoyo entre el concreto y la placa de acero no debe exceder de 500 lb/plg 2. Usando este esfuerzo de apoyo, determinar la máxima carga que puede soportar la columna. P =¿?
DATOS A placa de acero = 6 plg * 6 plg S = 500 lb/plg 2 P = ¿? SOLUCION A.P = 6plg*6plg
S p / m
P
6 p lg* 6 p lg
500lb / p lg 2
P 36 p lg 2
P 18000lb
4. Una zapata cuadrada soporta una columna que lleva una carga axial de 64 k. La presión de apoyo en el suelo no debe exceder de 4000 lb/plg 2. Determinar las dimensiones necesarias de la zapata. Despréciese el peso de la zapata. P = 64 k
DATOS A zapata = ¿? P = 64 k S = 4000 lb/plg 2
SOLUCION P S c / z A 64000lb A 4000lb / p lg 2
A.Z = ¿?
16 p lg 2
A L * L L2
16 p lg 2
L 4 p lg
5. Un perno de 7/8 de plg se usa para unir dos placas de 3/8 plg de espesor. Determinar el esfuerzo de aplastamiento entre el perno y las placas. Las placas llevan una carga de 5000 lb. DATOS A = 7/8 plg * 3/8 plg = 21/64 plg 2 P = 5000 lb 7/8 7/8 5000lb 5000lb
SOLUCION P S c A 5000lb S c 21 / 64 p lg 2
15238.10lb / p lg 2
6. Dos pernos de ½ plg se usan para unir dos placas de 5/16 plg de espesor que soportan una carga de 4000 lb. Determinar el esfuerzo de aplastamiento entre los pernos y las placas. DATOS A = 1/2 plg * 2(5/16) plg = 5/16 plg 2 P = 4000 lb 5/16 5/16 4000lb 4000lb
SOLUCION P S c A 4000lb S c 5 / 16 p lg 2
12800lb / p lg 2
7. Dos pernos de ¾ plg se usan para unir tres placas, como se muestra en la figura. Determinar el esfuerzo de aplastamiento entre los pernos y las placas. DATOS
D = ¾ plg Sc = ¿? 1/4 3/8 3600lb 7200lb 3600lb 1/4
SOLUCIÓN P
Sc
Sc
Sc
A 7200lb 1/ 4 * 3 / 8 76800lb / p lg 2
N O I O Z C R A E M U R F O S F E E D }
1.
Una barra de acero de 20 plg. De longitud y ¼ plg^2 de área está unida a una barra de latón de 30 plg de longitud y ¾ plg^2 de área, como se muestra en la figura. Para una carga aplicada P=4000lb, determinar a) El esfuerzo unitario en cada barra b) La elongación total en el sistema c) La deformación unitaria en cada barra 1. Hallando esfuerzo S= F A Barra de latón
30”
Sac=4000lb = 16000lb/plg^2 1/4pl^2 Sac=4000lb =5333.33lb/plg^2 3/4pl^2
Barra de acero
20”
P
2. hallando la elongación &=&ace+&lat
&= PLac + PL lat EA EA &= 4000 x 20 + 40000 x 30 3x 10^6x ¼ 15x10^6x ¾ &= 0.010666+0.010666 &= 0.02133 plg
3. hallando deformación E=&t L Ela= 0.0106 = 3.53 x 10^-4 30 Eac= 0.0106 = 5.3x10^-4 20
2. Determinar la carga máxima P que puede aplicarse a las barras descritas en el problema anterior. El esfuerzo permisible en el acero es de 18000. S= P A
18000 = P ¼
0.0106 =
P =4500
P X 20 3X10^7 x ¼
P = 3975
3. Una barra de acero de 30 plg de longitud y 2 plg^2 de área es soportada por una barra de aluminio de 40 plg de longitud y 3 plg ^2 de área. Una carga axial p=10000lb se aplica a la barra de acero, y una carga p= 16000lb se aplica a la barra de aluminio, como se muestra en la figura. Determinar a) El esfuerzo en el acero y el esfuerzo en el aluminio b) La deformación total del sistema P1 1. Hallando esfuerzo acero P2 30”
40”
Barra de acero
Barra de aluminio
Hallando deformación total & = & alum + & acer & = 10000 x 30 + 26000 x 40 3x10^7 x 2 1 x 10^7 x 3 & = 0.0397 plg
S=P A S = 10000 = 5000 2 2. Hallando esfuerzo aluminio S=P A S=10000 + 16000 3 S = 8666,67
4. Determinar la carga máxima P2 que puede aplicarse al sistema mostrado en la figura anterior. Aquí P1=8000 lb, el esfuerzo permisible en el acero es de 20000 lb/plg^2, el esfuerzo permisible en el aluminio es de 12000 lb/plg^2, y la deformación es de 0.060 plg.
Hallando carga máxima S=P E = PL A EA 12000 = P 3
0.060 =
P = 36000
P X 40 3 X 10^7 X 3
P= 135000
5. Una barra de aluminio de 2 plg^2 de área y 20 plg de longitud está unida a una barra de latón de 1.25 plg^2 de área y 30 plg de longitud, como se muestra en la figura. Suponiendo que P1=18000 lb, P2=34000lb, P3=16000lb, determinar a) El esfuerzo en cada barra b) La deformación unitaria en cada barra c) La deformación total del sistema P2
P1 ALUMINIO
P3
LATON
ALUMINIO 18000
LATON 18000 16000
1600
1. Hallando esfuerzo
2. Hallando deformación unitaria
S alum = 18000 =9000 2
ealum = 9000 =0.0009 pl/pl 1X10^7
S lat = 16000 =128000 1.25 3.- Hallando deformación total
elaton =
12800 15 x 10^6
=0.00085 pl/pl
& = &alum + &latón & = 18000 x 20 + 16000 x 30 1.10^7 x 2 15x 10^6 x 1.25 & = 0.0436 pl
6. Una varilla de aluminio de ¼ plg de diámetro y 25 pies de longitud transmite una fuerza de tensión. Determinar la fuerza máxima P que puede aplicarse. El esfuerzo permisible es de 10000 lb/plg^2 y la elongación permisible es de 1/8 plg. Datos D = ¼ pl L =25 pies P=? S =10000PSI & = 1/8 pulg = 1.125 plg S=P A 10000 =
P (1/4)^2X π 4 P = 490.875 lb
7. Una barra de aluminio de 0.75 m de longitud y de 25 x 10^-4 m^2 de sección transversal está unida a una barra de acero de 0.50 m de longitud y de 150 x 10^-4 de sección transversal, como se indica en la figura adyacente. Determinar el esfuerzo unitario en cada barra y la deformación total debido a una fuerza axial de compresión de 175 kN. 175 kN Barra de acero
1. Hallando el esfuerzo unitario
0.50 m
Barra de aluminio
0.75 m
α AC= P AC = 175X10^3 N A AC 15 x 10^-4 m^2 α AC = 116.7 x 10^6 α AC= 116.7 MPa. α AL = P AL = 175 X 10^3 N A AL 25 X 10^-4 m^2 α AL = 70 x 10 ^6 N/m^2 α AL = 70 MPa
2. Hallando deformación total
&total = & ac + & al &total = PL + AE AC &=
PL AE AL
(175x10^3 N) (0.50 m) + (175x10^3 N) (0.75m) (15x10^-4 m^2)(200x10^9 N/m^2) (25x10^4 m^2)(70x10^9 N/m^2)
& = 0.000292 + 0.00075 & = 1.042 mm
8. El pasador de acero B de la conexión mostrada en la figura tiene un área de sección transversal de 0.79plg2. El esfuerzo cortante que se presenta en el pasador cuando la conexión está cargada axialmente a tensión de 19000Lbs/plg2. Encontrar la deformación unitaria en la barra de acero A. el área de la sección transversal es de 1plg2 y el módulo de elasticidad es de 30x106Lbs/plg2.
Hallando P P= (1900019000Lbs/plg2) (0.79plg2) (2) P=30020Lbs
Hallando elongación α=300200Lbs/plg2
Hallando la deformación unitaria e= 300200 lb/pl2 30x106 lb/pl2 e= 0.001pl/pl
S O S D A A N I M M E R T E S T I E S D N I
1.- Una columna de concreto esta reforzada por medio de cuatro varillas de refuerzo, cada uno de 18 mm de diámetro, determinar el esfuerzo en el concreto y en el acero si la columna está sometida a una carga axial de 800 KN. Eac=200 Gpa, Ec=256 Gpa. Eac=200 Gpa Ec=256 Gpa Fac= Fac(2743.903) Fac= 2187526140 800 – Ec - Eac= 0 800000 - 2748,097 (Fac) - Fac= 0 Fac= 797257,097 Entonces: X= 24396623,78 797,257 057 RESPUESTA: x= 194452450,5
2.- La columna está constituida con concreto de alta resistencia y cuatro varillas de refuerzo de acero. Si está sometida a una fuerza axial de 800 KN, determine el diámetro requerido de cada varilla para que una cuarte parte de la carga sea soportada por el acero y sus tres cuartas partes por el concreto Eac=200 Gpa, Ec=25 Gpa. Lac =3/4 Fco= Fac (Aco) (Eco) Aac
Eac
Fco= Fac ( 20 )
(25)
(0,0122/4)
800)
(
Fco= 2187596140 Por lo tanto Fac= 797287.090 RESPUESTA: -en el acero 248656287 -en el concreto 194452985,5 3.- El poste esta hecho de aluminio y tiene un diámetro de 50 mm. Este empotrado en A y en B y en su centro C tiene un resorte unido a un collarín rígido. Si el resorte inicialmente no está comprimido, determine las reacciones en A y en B cuando se aplica la fuerza P= 40 KN el collarín. D= 50 mm RA=P +RB K= 200 SUMA FY=0
200 – Faluminio- Fposte= 0 200-FA-FB=O
FA= 78889,315+ FB(20,25) entonces, FB=FA+200 FB=78539,815+FB(0,25) entonces, FB-FB(20.25)=78739,816
Por lo tanto FA=87279,632, FB=314969,264 RA+RB=? RESPUESTA: RA+RB= 16,9 KN 4.- El poste está hecho dde e aluminio y tiene su diámetro de 50 mm. Este empotrado en A y en B y en su centro C tiene un resorte unido a un collarín rígido. Si el resorte inicialmente no está comprimido, determine la compresión en este cuando se aplica la carga P=50 KN al collarín. A
5000-FA-FB=0 0,25mm
C
F=200 0,25mm
FA (AC) = FB (CB) (AE)
B FA= 78639,816+FB(60,29) FB=78639,816+FB(0,25)-50000 RESPUESTA: FB= 264769,264 y FA=144579,632
(AE)
5.- Considerar la barra AB de la figura absolutamente rígida y horizontal antes de aplicar la carga de 20000 Kg articulado en A y soportado por la varilla de acero EB y la de cobre CD. La longitud de CD es de 90 cm y la de EB de 150 cm. Si la sección de CD es de 5 cm2 y la de EB es de 3 cm2. Determinar la tensión de cada varilla vertical y el alargamiento de la de acero. Despreciar el peso de AB. Para el cobre y para el acero. CD=90 EB=150 20000=EB+CD Entonces: EB(150) = CD(90) (30000000)
(18900000)
CD(2700000000)=2835000000(EB) CD=10243902 Por lo tanto EB= 9756.088 RESPUESTA: *¨TENSIONES: Tca= FCA/ACA=10243.903/9= 1138,211 Teb=FEB/AEB= 9756.018/25=390,240 6.- Considerar la armadura articulada: antes de aplicar la carga P, todo el sistema está libre de tensiones. Hallar la fuerza axial producida en cada barra por la fuerza vertical P. los dos brazo exteriores son idénticos y tienen una sección Ag mientras que la sección de la intermedia Ap. Todas las barras tienen el mismo módulo de elasticidad B
D
2,1(AP)=2,1(Ai)
2000000(Ai)C=22000000(Ai)B ,AV(C)=A(Ai)B RESPUESTA: A
fuerza axial P= 3(Ai)B
7.- Un peso de 10000 lb esta soportado por un alambre de cuero de 0,20 plg2 de área y 40 plg de longitud, y por un alambre de latón de 0,30 plsg2 de área y 40 plg de longitud. Determinar el esfuerzo de cada uno de los alambres. EAC=2(10)*6 plg2 100 k
ELAT=14(10)*6 plg2 RESPUESTA: SAC= 10000(4) (2(10)*6(0.20)
= 0.069
SLAT= 10000 (14(10)*6(0.20) = 0.091
8.- Resolver el problema anterior 7, suponiendo que el alambre de latón tiene una longitud de 39.98 plg. p lg. LATON : L= 39.98 RESPUESTA: SAC= 10000(4) (2(10)*6(0.20))
= 0.069
SLAT=10000(39.98) (14(10)*6(0.20))
= 0.076
9.- Un cilindro de laton esta colocado concéntricamente dentro de un tubo de acero como se muestra. Determinar los esfuerzos en el laton y en el acero debido a una carga de 6 plg antes de la carga. El área del cilindro del laton es de 4 plg2 y el área del cilindro de acero es de 6 plg2. FORMULA: F(L) 100 k
E(A) RESPUESTA: ACERO=
100(6) 29(10)*6(6)
=0.00000349 LATON=
100(6) 14.5(10)*6(4)
=0.00000103 10.- Resolver el problema anterior, suponiendo que el cilindro de laton tiene una longitud de 6006 plg. LATON= 0.006 RESPUESTA: S ACERO=
100(6) 29(10)*6(6)
S LATON=
= 0.00000349
100(0.0066) 14.5(10)*6(4)
= 0.0000104
11.- Una varilla de acero de 20 plg de longitud esta empotrada en sus extremos como se muestra en la figura. se aplica a 15 plg arriba de la base una carga axial de 20 KN. Determinar el esfuerzo en al varilla en las secciones A-A y B-B. el área de la sección transversal de la varilla es de 2 plg2. FA-FB+20000 N =0 S A-A = S B-B
2”
F A-A (L)
5” A
A A-A (E A-A) B 15”
=S
B P=20 K S A-A=
10”
20000(5) 2(3)10*3
S B-B=
20000(15) 2(3)10*3
RESPUESTA: S A-A= S B-B=
16.66 PSI 50 PSI
12.- Resolver el problema anterior suponiendo que se aplica una carga adicional hacia debajo de 10 K a 5 plg arriba de la base. RESPUESTA: S A-A=
30000(5) 2(3)10*7
S B-B=
= 25 PSI
30000(15) 2(3)10*7
= 75 PSI
13.- Un poste de concreto esta reforzado con acero como se muestra en la figura. El poste tiene 30 plg de altura y soporta una carga de 200 K, hallar el esfuerzo en el acero y en el concreto y hallar la variación total. ACERO:
CONCRETO:
A= 4 plg2
A= 160 plg2
E= 30(10)*3 k/plg2
E= 3(10)*3 K/plg2 200 K
Sa (L)
= Sb(L)
Ea(Aa)
Eb(Ab)
Sa(2.40) = Sb(2.40) 189000 30”
Sa(378000) =
Sb(458600)
RESPUESTA: P= 41.58 S=Sa + Sb 45000 = 130b Sb= 134.5
15500
14.- La barra AB es absolutamente rigida y esta soportada por 3 varillas , como se ve en la figura. Las 2 varillas extremas son de acero y tienen una seccion de 3cm2. La central es de cobre y de seccion 9cm2. Todas las varillas tienen 2.10m y estan igualemnte separadas entre si, estando aplicadas las cargas de 6000 kg en el punto medio. despreciando el peso de las barras AB, detrerminar la fuerza de cada una de las barras verticals AB permanence horizontal despues de aplicar las cargas. T1
T2
T3
A
B 6000 Kg
T1= cobre T2= acero
6000 Kg
suma fuerzas en Y= 2(T1)+T2-12000=0 2T1+T22=12000 DEFORMACION ACERO = DEFORMACION
COBRE T1(L) = T2(L) Eac(A) T1 = T2(0.583) y
Ecob(A) 2(T1)+T2=12000
2(0.583(T2))+T2=12000 RESPUESTA: T1= 3229.91 Kg T2= 5540.10 Kg
15.- la barra representada en la figura es de sección constante y está sujeta rápidamente entre los muros. Si se aplica una carga P a la distancia L, del extremo izquierdo, determinar las reacciones de los muros sobre la barra
R1
P
R2
L1
L2
DEFORMACION Y REACCIONES IGUALES SUMA FUERZAS EN X= R2+R1-P=0 , R2+R1=P R1(L1) = R2(L2)
Y
R1 = R2 (L2) (L1)
R2+R2 (L2) – P = 0 Y (L1) R1 = P-(P(L1)) L1+L2
R2 = P(L1) L1+L2
Y
R1 = P(1-L1) L1+L2
R1 = P (L1+L1-L1) L1+L2 RESPUESTA: R1= P(L2) L1 + L2
16.- Considerar la barra AB de la figura absolutamente rígida y horizontal antes de aplicar la carga de 40000 Kg articulado en A y soportado por la varilla de acero EB y la de cobre CD. La longitud de CD es de 70 cm y la de EB de 135 cm. Si la sección de CD es de 5 cm2 y la de EB es de 3 cm2. Determinar la tensión de cada varilla vertical y el alargamiento de la de acero. Despreciar el peso de AB. Para el cobre y para el acero. CD=70 EB=135 40000=EB+CD Entonces: EB(135)
= CD(70)
(30000000)
(18900000)
CD(2700000000)=2835000000(EB) CD=10243902 Por lo tanto EB= 9756.088 RESPUESTA: *¨TENSIONES: Tca= FCA/ACA=10243.903 9
= 1138,211
Teb=FEB/AEB= 9756.018 25
=390,240
17.- Una varilla de acero de 20 plg de longitud esta empotrada. se aplica a 15 plg arriba de la base una carga axial de 20 KN. Determinar el esfuerzo en al varilla en las secciones A-A y B-B. el área de la sección transversal de la varilla es de 2 plg2. FA-FB+20000 N =0 S A-A = S B-B F A-A (L) A A-A (E A-A)
=S
S A-A= 20000(5) 2(3)10*3 S B-B= 20000(15) 2(3)10*3 RESPUESTA: S A-A= S B-B=
16.66 PSI 50 PSI
18.- Resolver el problema anterior suponiendo que se aplica una carga adicional hacia debajo de 20 K a 5 plg arriba de la base. RESPUESTA: S A-A=
40000(5) 2(3)10*7
S B-B=
= 25 PSI
40000(15) 2(3)10*7
= 75 PSI
19.- Un poste de concreto esta reforzado con acero. El poste tiene 50 plg de altura y soporta una carga de 100 K, hallar el esfuerzo en el acero y en el concreto y hallar la variación total. ACERO:
CONCRETO:
A= 4 plg2
A= 160 plg2
E= 30(10)*3 k/plg2
E= 3(10)*3 K/plg2 Sa (L) Ea(Aa)
= Sb(L) Eb(Ab)
Sa(2.40) = Sb(2.40) 189000
15500
Sa(378000) = Sb(458600) RESPUESTA: P= 41.58 S=Sa + Sb 45000 = 130b Sb= 134.5
20.- Un cilindro de laton esta colocado concéntricamente dentro de un tubo de acero como se muestra. Determinar los esfuerzos en el laton y en el acero debido a una carga de 6 plg antes de la carga. El área del cilindro del laton es de 8 plg2 y el área del cilindro de acero es de 10 plg2. FORMULA: F(L) 250 k
E(A) RESPUESTA: ACERO=
250(10) 29(10)*6(6) =1.43674810
LATON=
250(6)
14.5(10)*6(8) =1.2931034
A S R O U Z T R R A R E O U P E F P S M E E T
1. determinar la variación de longitud de una varilla de latón de 10 pies de longitud si la temperatura en la varilla desciende desde 100°f hasta 50°°F DATOS:
∆ L =?
Lo = 10pies To = 100°F
∆ =10∗ 50100 ∗ 10− ∆=5∗10 ∆=0.005
Tf = 50°F Lf = Lo - 0.005
= 9.995 2. una cinta de acero para trabajos topográficos mide 100 pies de longitud a 70°f. determinar su longitud cuando la temperatura desciende a 20°f DATOS: Lo = 100 pies To = 70°f Tf =20°f Lf = ? ∆L=100 * (20 – 70) * 6.5 * 10 -^6 ∆L = -0.0325 pies
Lf = Lo – 0.0325 Lf = 100 – 0.0325 Lf = 99.97 pies
3. una barra de aluminio de 10 pies de longitud se sujeta a una elevación de temperatura de 150°f. determinar la variación de longitud de la barra. DATOS: ALUMINIO Lo=10 pies
∆=10150 ∗12.08∗10^-6
∆=150°
∆L= 0.019 pies
∆L =?
Lf = Lo + ∆L
Lf =?
∆L = Lf – Lo
∆L = 10.19 – 10 = 0.019
Lf = 10 + 0.019 = 10.19 pies 4. Un tubo de latón de pared delgada y sección circular tiene un diámetro interior de 3 plg determinar el diámetro interior cuando el tubo se calienta a una temperatura de 200°f Datos:
(tubo de latón )
Di(o)= 3plg
Di(f) = ? ∆t= 200°F
∆L=Lo*∆t*ᾳ ∆L = 3 * 200 * 10 -^5 ∆L = 0.006 plg
Lf – Lo = 0.006 Lf = 3 + 0.006 = 3.006 plg 5. Un tubo de bronce de pared delgada y de 3.98 plg de diámetro interior se va a colocar sobre un cilindro de acero de 4 plg de diámetro. El cilindro de acero se va a conservar a 70°f.determinar la temperatura a la cual el tubo de bronce deberá calentarse para que se deslice sobre el cilindro de acero. DATOS: To = 70°f Di = 3.98
∆L= 4 - 3.98 = 0.02plg ∆L = Lo *∆T * ᾳ
0.02= 3.98*(Tf – 70°)* 10˄-5 Tf= 572.5° F
6. resolver el problema anterior cuando tanto el cilindro de acero del bronce se calientan hasta la misma temperatura
7. un edificio de 300pies de longitud tiene un armazón de acero estructural. Si la temperatura en el acero aumenta 60ºF durante el día, cual es la variación de longitud del edificio? ¿Qué efecto tendría esto sobre los muros de mampostería en los extremos del edificio.
EJERCICIOS COMPLEMETARIOS
1. Un cilindro hueco de acero rodea a otro macizo de cobre y el conjunto está sometido a una carga axial de 25.000kg como se muestra en la figura. La sección de área es de 18cm2, mientras que la del cobre es de 60 cm2, ambos cilindros tienen la misma longitud antes de aplicar la carga. Determinar el aumento de temperatura del sistema necesario para toda la carga en el cilindro de cobre, la placa de cubierta de la parte Kg/cm2 superior de conjunto es rígida y para el cobre para acero kg/cm
=1∗10
=2.1∗10
=1.1∗10 =11∗10
El cilindro de cobre se dilata hacia arriba más que el de acero x que el coeficiente de dilatación de cobre es mayor que el del acero
∝ ∗∗∆ ∗∗ =∝ ∗∗∆ ∝∝∆= ∗ ∆ = ∗∝∝ ∆ = =1.1∗10 125000 ∗60∗17.∗011∗10 ∆ = 63°
2. Una barra rígida de aluminio de 4m de longitud se sujeta a una elevación de temperatura de 100°c determinar la variación de longitud de la barra. SOLUCIÓN: ALUMINIO (ᾳ)= 23.1*10-^6 L= 4m ∆T = 100°C ∆L= ∆T*ᾳ*L ∆L= 100*23.1*10-^6 *4 ∆L= 924 mm
3. Una barra de aluminio de 0.5 metros cúbicos de volumen, experimenta inicialmente una temperatura de 14°C, posteriormente se calienta a 45°C ¿cuál será su volumen final? ¿qué tanto ha incrementado?
Solución:
primero debemos pensar en el material que está sufriendo el cambio de temperatura, que es el aluminio. Por lo que esto sería: DATOS:
4. Disponemos de un cubo de un material a 24ºC que ocupa un volumen de 1 m3. Cuando aumentamos la temperatura a 55 ºC , el volumen del cubo pasa a 1.002232 m3. A. ¿Cuál es el coeficiente de dilatación cúbica del material? B. Imagina que, a 24 ºC, cortas varias barras de 1 m de longitud (valor de la arista del cubo). ¿Qué longitud pasarían a tener cuando se eleva la temperatura a 55 ºC ? DATOS
Temperatura inicial T i = 24 ºC Temperatura final T f = 55 ºC Volumen inicial V 0 = 1 m3 Volumen final V = 1.002232 m3 Longitud inicial de las barras L = 1 m
SOLUCION:
⋅ ⋅ V=V0+V0⋅γ⋅ ΔT
V=V0 (1+γ ΔT) γ = V−V0V0*ΔT = 1.002232−11* (55−24)
⋅
γ = 7.2 10−5 ºC−1 γ=3*λ λ=γ3 λ= 7.2*10−53
⋅
λ = 2.4 10−5 ºC−1
Finalmente, sustituimos en la expresión de la dilatación lineal de sólidos:
⋅
L = l0*(1+λ ΔT)
⋅
⋅
⋅
L =1 (1+2.4 10−5 31) L =1.000744 m
5. Gas helio He se licua a la temperatura de 4.15 K cuando la presión es de 23 atm. Calcula su temperatura de licuefacción en la escala centígrada y Fahrenheit. T= 4.15 K DATOS SOLUCIÓN
Para pasar de Kelvin a Celsius simplemente sumamos 273.15. T=tC+273.15 tC=T−273.15 = 4.15−273.15
tC =−269 ºC Para transformar los Kelvin a Fahrenheit podemos utilizar la ecuación que relaciona grados centígrados y grados Fahrenheit: tC5 = tF−329
⋅
5*(tF−32)=tC 9
⋅
⋅
tF=95 tC+32=95 (−269)+32 tF =−452.2 ºF 6. Si observamos un incremento de temperatura en un termómetro de 24 ºC, ¿a cuántos grados Farenheit corresponde dicho incremento?¿Y si el incremento de temperatura fuese de 24 K? DATOS: ∆t C =
24 ºC
RESOLUCIÓN:
tC5 = Tf − 329
⇒
tC =5 * tF − 329 ΔtC=tC2−tC1 , ΔtC=tC2−tC1=5*tF2−329−5*tF1−329 ΔtC =59(tF2−tF1) ΔtC=59(ΔtF)
ΔtF=95(ΔtC)=9524=43.2 ºF ΔtF=95(ΔT)=9524=43.2 ºF
Siendo ∆T la variación en kelvin.
7. Si observamos un incremento de temperatura en un termómetro de 24 ºF, ¿a cuántos grados kelvin corresponde dicho incremento? ¿y a cuántos centígrados? DATOS
∆t F =
24 ºF
RESOLUCIÓN
T − 273.155 = tF − 329 ΔtF = tF2 − tF1 ΔtF = 9*T2−273.155 + 32 – 9*T1−273.155−32 ΔtF =95 (T2−T1) ΔtF=95(ΔT) ΔT=59(ΔtF) = 5924=13.3 K ΔtC=59(ΔtF)=5924=13.3 ºC
8. Una barra de plomo mide 2 m a una temperatura de 30 ºC. Suponiendo el coeficiente de dilatación lineal constante en el rango de temperaturas considerada, determina: A. A qué temperatura la barra medirá 1 mm más B. A qué temperatura la barra medirá 1.99 m D A T O:
Coeficiente de dilatación lineal del plomo λ = 3·10-5 K-1 = 3·105 ºC-1
Longitud inicial l 0 = 2 m Temperatura inicial T 0 = 30 ºC Coeficiente dilatación lineal del plomo λ = 3·10-5 K-1
RESOLUCIÓN:
L = l0*(1+λ*ΔT) = l0*(1+λ*(Tf−T0)) Tf = l −l0+l0*λ*Tl0*λ Tf =2.001−2+2*3*10−5*302*3*10−5 = 46.66 ºC
⋅ ⋅⋅
Tf = l−l0+l0*λ*Tl0*λ = 1.99−2+2*3*10−5 302 3 10−5 = −165.66 ºC
9. el volumen inicial que tenía una determinada cantidad de glicerina si, tras aumentar la temperatura 30 ºC, su volumen ha pasado a ser 2 m 3. D A T O: α =
5.2·10-4 ºC-1
Incremento de temperatura ∆T = 30 ºC Volumen final V = 2 m3 α = 5.2·10-4 ºC-1
RESOLUCIÓN
V = V0 * (1+α*ΔT)
⋅
⋅
⋅
V0 = V(1+α ΔT) = 21+5.2 10−4 30 = 1.96 m3
10. Disponemos de un cubo de un material a 24 ºC que ocupa un volumen de 1 m3. Cuando aumentamos la temperatura a 55 ºC , el volumen del cubo pasa a 1.002232 m3. Responde a las siguientes preguntas: A. ¿Cuál es el coeficiente de dilatación cúbica del material? B. Imagina que, a 24 ºC, cortas varias barras de 1 m de longitud (valor de la arista del cubo). ¿Qué longitud pasarían a tener cuando se eleva la temperatura a 55 ºC ? DATOS:
Temperatura inicial T i = 24 ºC Temperatura final T f = 55 ºC Volumen inicial V 0 = 1 m3 Volumen final V = 1.002232 m3 Longitud inicial de las barras L = 1 m
RESOLUCIÓN:
V=V0*(1+γ*ΔT)
⋅
⇒
V=V0+V0*γ*ΔT
γ = V−V0V0 ΔT = 1.002232−11*(55−24)
⋅
γ = 7.2 10−5 ºC−1 γ=3*λ
⋅
⋅
λ = γ3 = 7.2 10 – 53 = 2.4 10−5 ºC−1
l = l0*(1+λ*ΔT) = 1(1+2.4*10−5*31) l= 1.000744 m
11. Determina qué cantidad de agua a 10º C hay que añadir a 120 g de agua a 50 ºC para que la temperatura final sea de 20 ºC . DATO: Calor específico del agua c =
4180 J/kg·k
Masa de agua A: m A = 120 g = 0.12 kg Temperatura inicial de la masa de agua A: T A = 50 ºC Temperatura inicial de la masa de agua B: T B = 10 ºC Temperatura final del conjunto: T = 20 ºC Calor específico del agua: c = 4180 J/kg·k
RESOLUCIÓN:
QA = −QB mA * c * (T−TA) = −Mb*c*(T−TB) mB = mA*(T−TA)TB−T mB = 0.12*(20−50)10−20 mB =0.36 kg
N A O I N C Ó I A C A M A L R C I O L F P E A D
1. Una barra de acero se coloca sobre dos apoyos fijos colocados a 5 pies de separación. Determinar el esfuerzo en el acero cuando la temperatura descienda a 200°F Datos LA
= 65 x10-6
L
= 5 pies
S
= ?
LT
= 200°
∆=5200 × 65 × 10− ∆=6.5×10− ∆ = 0.0065 -
Determinado el esfuerzo:
0.00065×3×10 = 5
= 39000 / 2. Resolver el problema anterior cuando los apoyos ceden 0,025 plg.
∆=0.00650.0025 ∆=0.0780.025 ∆ = 0.053 0.053= × -
Determinado el esfuerzo
0.053 ×3×10 = 5×12
= 26 500 /
3. Una barra de aluminio de 12 plg de longitud se coloca entre dos apoyos fijos. Determinar el esfuerzo unitario en la barra cuando la temperatura asciende a 150°F Datos: L
= 12 plg
∆T
= 150°F
S
= ?
∆l
= 12.8 x 10 -6
∆ = 12 150 12.8 10− ∆ = 0.023 =∆ ∆ = ×× ∆ -
Determinado el esfuerzo:
0.023= 1×12 ×10 0.023×1×10 = 12
= 19 166.67 / 4. Resolver el problema anterior cuando los apoyos ceden a 0.15 plg.
∆=0.0230.025 ∆ = 0.008 =∆ = ×× ∆ ∆ = ×× ∆
-
Determinado el esfuerzo
0.008= 1×12 ×10 0.008×1×10 = 12
= 6 666.67 / 5. Una barra de acero y una de laton se colocan entre dos apoyos fijos, como se muestra en la figura. Si la temperatura desciende a 120°F ¿Cuál es el esfuerzo unitario en cada barra? Latón
Acero
3´
2´
Datos: Acero = 6.5 x 10 -6 Latón = 1 x 10 -5 ∆T ∆T
∆ Acero = 3plg 2 ∆ Latón = 2plg 2
= 120°F = ∆ Acero+∆ Latón=0.0156 + 0.0036 x 12 = 0.06192 plg
∆ = 2 × 120 6.5 × 10− ∆ = 1.56 × 10− ∆ = 0.00156 × 12 ∆ = 0.01872 ∆ ó = 3 × 120 1 × 10− ∆ ó = 3.6 × 10− ∆ ó = 0.0036 × 12 ∆ ó = 0.0432 = + ó
×2 + ×3 0.00516= 3 ×10 × 1 15×10 × 3 3 ) 0.00516=(3 ×102 × 1 + 15×10 0.00516=×1.33×10− = 38 700 ó = 38 3700 ó = 12 900 / = 38 1700 ó = 38 700 / 6. Resolver el problema anterior cuando un apoyo cede a 0,010 plg. Datos
∆=0.01870.010 = ∆ = 0.0087 = ∆
= ×× 2∆ 2 0.0087= 3××10 0.0087 ×3 ×10 = 2 ×12
= 11 875 /
7. Un alambre de acero colocado entre dos apoyos rígidos separados por 6 pie se somete a un esfuerzo de 20 000lb/plg2. Determinar la variación de temperatura necesaria para reducir a cero el esfuerzo del alambre Datos: L
= 6 pies
∆T
= 150°F
S
= ?
∆l
= 12.8 x 10 -6
= × = ∆ 000 ×72 = 203×10 = 0.048 0.048=72 × ∆° ×6.5×10− 0.048=0.000 468× ∆° ∆°=102.564 8. Un anillo de bronce de 1/8 de plg de espesor a una temperatura de 170 °F se ajusta sobre una flecha de acero tiene un temperatura inicial de 70 °F, determinar la variación de temperatura necesaria para reducir a cero el esfuerzo en el alambre. Datos: Bronce = 1 x 10-5 Espesor ∆T
= 1/8 plg =0.125plg
= 170°F
Acero = 6.5 x 10-6 L
= 3.00 plg
∆l
= 12.8 x 10-6
∆T
= 70°F
∆T°= ? S
=?
∆=3.000.125 ∆ = 2.875 2.875= 0.25× 1×10− × 170 +3.00×6.5×10−70 2.875= 1.25×10− × 170 +1.95×10−40 2.875= 2.125×10− 1.25 ×10− +1.95+10− 1365 ×10− 2.875= 2.1125 ×10−+1.3455×10− 2.875= 1.134×10− ∆=0.000002535 9. Un anillo delgado de latón con diámetro interior de 9,98 plg va a ser ajustado sobre una flecha de acero de 10 plg de diámetro. Si la temperatura del acero se conservar a 70°F. Determinar: a. La temperatura a la que debe calentarse el anillo para ajustarse sobre la flecha de acero. b. El esfuerzo en el anillo de latón se enfría hasta 70°F Datos Latón = 1 x 10-3
⍉
= 9.98plg
Acero = 6.5 x 10 -6
⍉
= 10plg
T
= 70°F
∆ = 10 9.98 ∆=0.02 ∆=9.98× 70 ×1×10− 0.02 = 9.98 698.6 × 1 × 10− 0.02=9.98×10− 6.986 × 10− 0.02=6.986×10− 0.027= ∆ = ∆ ó + ∆ 0.280
0.02=9.98×1×10− 70 +10 ×6.5×10−70 0.02=9.98×10− 70 +6.5×10−70 0.02=9.98×10− 6.986 ×10−+6.5×10−4.55 ×10− 0.02=6.886 ×10−+4.485 ×10− 0.02=0.011 0.031= =∆ = × ×9.98 0.02= 15×10 − − 0.02 ×15 ×10 = 9.98
= 30060.120 10. Un anillo de bronce de 1/8 de plg de espesor a una temperatura de 170 °F se ajusta sobre una flecha de acero tiene un temperatura inicial de 70 °F, determinar la variación de temperatura necesaria para reducir a cero el esfuerzo en el alambre. Datos: Bronce = 1 x 10-5 Espesor ∆T
= 1/8 plg =0.125plg
= 170°F
Acero = 6.5 x 10-6 L
= 3.00 plg
∆l
= 12.8 x 10-6
∆T
= 70°F
∆T°= ? S
=?
∆=3.000.125 ∆ = 2.875
2.875= 0.25× 1×10− × 170 +3.00×6.5×10−70 2.875= 1.25×10− × 170 +1.95×10−40 2.875= 2.125×10− 1.25 ×10− +1.95+10− 1365 ×10− 2.875= 2.1125 ×10−+1.3455×10− 2.875= 1.134×10− ∆=0.000002535 10. Un tubo de 3.95 plg de diámetro, desciende a una temperatura de 120. Determinar la variación de dicho material Datos: L
= 3.95 plg
∆T
= 120°F
Acero = 6.5 x 10-6 ∆l
=?
∆=3.95 × 120° ×6.5 ×10− ∆=3.081 ×10− ∆=0.003081 11. Una cinta de acero de 8 pies de longitud, asciende a una temperatura de 180°F Determinar el esfuerzo Datos: L
= 8 pies
∆T
= 180°F
S
=?
∆=8 × 180° ×6.5 ×10− ∆=9.36×10− ∆ = 0.00936 × 12 ∆ = 35 100 / = × ×8 0.00936 = 3×10
0.00936 ×3 ×10 = 8
= 35 100 / 12. Determinado el ejercicio anterior cuando los apoyos ceden 0,015 plg. ∆l
= 96 – 0.0015
∆l
= 95.985 plg 2
95.985 ×3×10 = 96
= 29 995 313.5 / 13. Una barra de alumno de 10 plg de longitud se coloca en dos apoyos fijos. Determinar el esfuerzo cuando desciende a 140°F L
= 10 plg
∆l
= 12.8 x 10-6
∆T
= 140°F
S
=?
∆=10 × 180° ×12.8 ×10− ∆ = 0.01792 / = × 0.01792 ×3 ×10 = 10
= 17 920 /
14. Un anillo de bronce de 1/8 de plg de espesor a una temperatura de 170 °F se ajusta sobre una flecha de acero tiene un temperatura inicial de 70 °F, determinar la variación de temperatura necesaria para reducir a cero el esfuerzo en el alambre. Datos: Bronce = 1 x 10-5 Espesor ∆T
= 1/8 plg =0.125plg
= 170°F
Acero = 6.5 x 10-6 L
= 3.00 plg
∆l
= 12.8 x 10-6
∆T
= 70°F
∆T°= ? S
=?
∆=3.000.125 ∆ = 2.875 2.875= 0.25× 1×10− × 170 +3.00×6.5×10−70 2.875= 1.25×10− × 170 +1.95×10−40 2.875= 2.125×10− 1.25 ×10− +1.95+10− 1365 ×10− 2.875= 2.1125 ×10−+1.3455×10− 2.875= 1.134×10− ∆=0.000002535 15. Un anillo delgado de latón con diámetro interior de 9,98 plg va a ser ajustado sobre una flecha de acero de 10 plg de diámetro. Si la temperatura del acero se conservar a 70°F. Determinar: c. La temperatura a la que debe calentarse el anillo para ajustarse sobre la flecha de acero. d. El esfuerzo en el anillo de latón se enfría hasta 70°F
Datos Latón = 1 x 10-3
⍉
= 9.98plg
Acero = 6.5 x 10 -6
⍉
= 10plg
T
= 70°F
∆ = 10 9.98 ∆=0.02 ∆=9.98×70 ×1×10− 0.02 = 9.98 698.6 × 1 × 10− 0.02=9.98×10− 6.986 × 10− 0.02=6.986×10− 0.027= ∆ = ∆ ó + ∆ 0.280 0.02=9.98×1×10− 70 +10 ×6.5×10−70 0.02=9.98×10− 70 +6.5×10−70 0.02=9.98×10− 6.986 ×10−+6.5×10−4.55 ×10− 0.02=6.886 ×10−+4.485 ×10− 0.02=0.011 0.031= =∆ = × ×9.98 0.02= 15×10 − − 0.02 ×15 ×10 = 9.98
= 30060.120
16. Un circulo hueco de acero rodeo a otro macizo de cobre y el conjunto esta sometido a una carga axial de 25 000 kg. Como se muestre en la figura. La sección del acero es de 18 cm2, mientras que la del cobre es de 60 cm2. Ambos cilindro tiene la misma longitud antes de aplicar la carga. Determinar el aumento de temperatura del sistema necesario para colocar toda la carga en el cilindro de cobre. La placa de cubierta de la parte superior del conjunto es rígida, y para el cobre E = 1.1 x 106 kg/cm2, α = 1F-10-6 °C-1, mientras que para el acero E = 2.1 x 10 6 kg/cm2, α = 1F-10-6 °C-1
El aumento de la temperatura ∆T es el preciso para que el cobre soporte toda la carga. por tanto, la longitud del cobre aumentada, representada por las líneas de trazos en el esquema anterior, disminuirá por efecto de la fuerza, y la dilatación total será la causada por el aumento de temperatura menos la compresión debido al a carga, la variación de longitud del acero es debido solo al cambio de temperatura
∝ . . ∆ .. = ∝ . . ∆ ∝ ∝ ∆ = . ∆= .∝
− ∝
000 ∆= 1.1 ×10 /6025 17×10−° 11 × 10−° ∆ = 63°
17. En la construcción de un edificio una grúa utiliza un cable de acero de 5mm de diámetro para la elevacipon de materiales. Si en un determinado momento cuelgan verticalmente 180m de cable para elevar en su extremo inferior una carga de 30kg. Calcular a. El incremento de longitud que sufre el cable b. El coeficiente de seguridad con que sube la carga c. ¿Qué variación de temperatura produciría eses mismo alargamiento? Datos E = 2.15 X 10 6 kp/cm2 ɣ = 0.0078 kp/cm 3 Coeficiente de dilatación lineal α = 14 x 10-6 °C-1
Límite elástica = 8000kp/cm 2
a. El incremento de longitud que sufre el cable
0.5 = 4 = 4 =0.1963
= ℎ = 0.00078/0.1963 18000) =27.597 [3 + 27.567 ] 18000 + 2 2 ∆ = . = 0.19632.15×10 ∆=1.867
b. El coeficiente de seguridad con que sube la carga
+27.567 =293.26 / á = + = 300.1963 8000/ = = 293.26/ =27.3 c. ¿Qué variación de temperatura produciría eses mismo alargamiento?
∆ = ∝ . .∆ 1.867 ∆ = ∝∆. = 1800 14× 10− °− = 7.4 ° 18. Las vigas de acero de un puente estan separadas una distancia de 5mm a una temperatura de 17°C, aproximadamente, la anchura de cada tramo de la viga es de 20m- Si α
acero
= 17 x 10-6°C-1, hallar:
a. La temperatura a la que estarán en contactos dos tramos de viga
− ∆ 5 × 10 ∆ = ∝ . = 17 × 10− °−20 = 14.7 °
= +∆=17°+14.7°=31.7° b. La distancia a la que estarán dos tramos si la temperatura desciende hasta –35°C Enfrieamiento:
o
∆ = =35°+17°=52° Contracción
o
∆= ×∆=20 ×1017 ×10−° −52° = 17.68
Separación
o
= ∆∗ =5+17.68=22.68 c. La distancia a la que están si la temperatura sube a 35°C ¿Qué tensipon soportaran las vigas en ese momento?
∆ = = 35° 17°=18° ∆= ×∆=20 ×1017 ×10−° −18° =6.12 o
Por ser ∆L > holgura (5mm) habrá una compresión equivalente a 1.12mm
− ∆ 1.12× 10 = = 20 21× 10/ = 117.6 / 19. Calcular el incremento de longitud que experimenta la viga de la figura, y dibujarla deformada, indicando el valor del ángulo girado en los extremos y la flecha en el centro de la viga, cuando varia la temperatura de la forma siguiente: Temperatura inicial 50°C Temperatura final: 150° en la fibra superior, a lo largo de toda la viga 50° en la fibra inferior, a lo largo de toda la viga
Datos: Coeficiente de dilatación térmica, α = 14.10-6 K-1
Longitud de la viga, L = 5m Sección cuadrada de 25 cm de lado -
Incremento de longitud:
∆ =50°50°=0 ∆ =150°50°=100°
∆=∝. ∆ 2 ∆ =14×10− ×5×50=35×10− ∆=3.5 20. Una wicncha metálica mide 50.075m. a una temperatura de 70°C, a que temperatura será exactamente 50m. de longitud y cuál será su longitud a 40°C a. Datos α = 2.7 x 10-8 /°F
L = 50.075 m T inicial = 70°C = 158°F T final = ?
= × ∆ × − 10 0.075=2.7× ° × 158° × 50.075. = 55314.35° b. Datos L = 50.075 m
α = 2.7 x 10-8 /°F
T inicial = 70°C = 158°F T final = 40°F
= × ∆ × 50.075 =2.7×10−⁄° × 40° 158° × 50.075. 50.075=2.7×10−⁄° ×198° × 50.075. = 50.074.
