PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hal Hallar lar la longi ongittud míni mínim ma, L, de una una colu colum mna con con ext extrem remo articulado, !ue tenga un "rea tran#eral $cm %or &,$ cm ' %ara la cual cual e a%li a%li!u !uee la ()rm ()rmul ulaa de Eule Eulerr %ara %ara colu column mna a el" el"ti tica ca. . Su%)ngae !ue E * + 1-$ MPa ' !ue el límite de %ro%orcionalidad e +, 1-+ MPa. El momento de inercia mínimo de la ecci)n 7,5 x 5
tran#eral e /min *
3
12
* &,1+$ cm0.
En conecuencia. r= r
min
¿
√
√
I min h 78,125 5 = = = =1 A 7,55 12 12 √ 12 √ 12
2
=
σ C
Lueg Luego, o, util utili2 i2an ando do la ecua ecuaci ci)n )n33
π E L
( 2)
' de%e4ando de%e4ando de ella
r
la relaci)n L5r corre%ondiente al limite de %ro%orcionalidad.
6
L ¿ r
2
2
+
π E ¿ σ C
¿
5
π x 10
2
2,8 x 10
= 7050
E decir3
L r
7 ¿ =84
y
L=84 x 1,44 =121 cm
Por lo tanto i eta columna tu#iera 1+1cm o ma de longitud e %andearía el"ticamente, 'a !ue %ara tale dimenione de la colu column mnaa la ten teni) i)n n crit critic icaa en %and %andeo eo no exce excede de al limi limite te de %ro%orcionalidad del material.
+. 8uatro "ngulo de 1--x1--x1-mm e unen mediante %laca en celoía %ara (ormar una ecci)n com%ueta, como e indica en la (igura. A%licando la e%eci(icacione de la A/S8, con 9P8*+:-MPa, determinar la longitud m"xima !ue %uede tener i ;a de o%ortar una carga de $--<=. >8u"l de?e er la longitud li?re entre "ngulo, de manera !ue u e?elte2 ea, como m"ximo, igual a la tre cuarta %arte de la corre%ondiente a la ecci)n com%ueta@
P*$$- <= 9 %c*+:- MPa L* @ Para el "ngulo3 6de ta?la A*1:+- mm+ r*+-,0mm l*1&&x1-CmmC x*+,+mm Para la ecci)n com%ueta3
/*D6/i Aidi+ 'di * F x*1+$F+,+ di* :C,mm
A* DAi 061:+- * &C- mm+
La relaci)n de e?elte2 límite e3
Aumimo3 .
a L*Le 6extremo articulado
.
? Le5r G 8c
Entonce, a%licando3
Reem%la2ando #alore o?tenido3
8um%le ? Le5r * 1+$, G 8c *11&
/*061,&&x1-C 1:+-x:C,+ * 061:,&Cx1-C *0A *
L * Le * 1+$,61-1 *G L*1+,& Para o?tener la e%araci)n li?re entre "ngulo3
e donde3 L * :0,I$6I-,0 * +,m Jeri(icamo !ue el e(uer2o 9m"x G 9a%licado
I. Un %er(il KIC-x1I0 #a em%leare como columna con una longitud de :m. La columna o%orta una carga axial de +C- <= ' una excentricidad de IC-<=, !ue acta o?re el e4e . eterminar la excentricidad m"xima de carga de IC-<= uando el mNtodo del m"ximo e(uer2o ' la ()rmula lineal de la ecuaci)n3 P L =110 −0,483 ( ) A r
0. Mediante la (ormula de A/S8 determinar la carga axial de tra?a4o en una columna contituida %or un %er(il KIC- 1++ en la iguiente condicione3 aArticulada en u extremo ' con una longitud de :m ? Extremo %er(ectamente em%otrado ' longitud de 1-m
c Extremo %er(ectamente em%otrado, longitud de 1-m ' u4eta lateralmente en el centro. Ue σ pc * I- MPa
$.
etermine la carga crítica de %andeo %ara cada una de la columna uando la 6 ecuaci)n de Euler. E= 29 x 10 psi Límite %ro%orcional * I- --- %i. Su%onga extremo im%lemente a%o'ado ' una relaci)n de e?elte2 %ermii?le L5 r *+-Para una ?arra )lida cuadrada de 1.- %ulg. 1.- %ulg. a L * I %ie ? L * 0 %ie Soluci)n a L * I %ie 2
Pu=
A =l I =
π EA 2
KL ( ) r
2
=1 x 1 =1 ¿2
bh
3
3
=
12
1 x 1 12
=
1 12
¿4
KL 1 x 3 x 12 = =124.14 <200 r 0.29 2
6
π x 29 x 10
F cr =
(
1 x 3 x 12 0.29
)
2
=18.4 ksi < 30 ksi→ Rango Elástico
Carga Criticad pandosrá : Pu= F cr x A =18.4 x 1=18.4 klb!
? L * 0 %ie. 2
Pu=
A =l I =
π EA 2
KL ( ) r
2
=1 x 1 =1 ¿2
bh
3
12
3
=
1 x 1 12
=
1 12
¿4
KL 1 x 4 x 12 = =165.52 <200 r 0.29 2
F cr =
6
π x 29 x 10
(
1 x 4 x 12 0.29
)
2
=8.2 ksi < 30 ksi → Rango Elástico
Carga Critica d pandosrá : Pu= F cr x A =8.2 x 1 =8.2 klb! C. 8alcular la carga critica, el e(uer2o crítico, la carga de tra?a4o ' el e(uer2o de tra?a4o, %ara una columna ti%o m"til, E decir, em%otrada a?a4o ' li?re arri?a %ara la iguiente condicione. E LP= 22 "pa
E=19 #pa
L= 4.50 m
+- cm I-cm
8"lculo de la relaci)n de e?elte2 egn lo materiale. 2
$ cr =
π E
()
L 4 r
√
2
2
L π E = r 4 $ cr
L = r
√
( (
2
9
π 19 x 10
6
4 22 x 10
) = )
% m
2
% m
2
46
8"lculo de la relaci)n de e?elte2 egn la geometría. 2
A =30 cm x 20 cm= 600 cm I =
1 12
( 30 cm) ( 20 cm )3=20000 cm4
L 450 cm = =78 >46 r 5.77 cm
r=
√
20000 cm 600 cm
2
4
=5.77 cm
8omo & G 0C e clai(ica la columna como 8OLUM=A LARA.
8alculo del E(uer2o crítico ' el E(uer2o de tra?a4o.
8omo e una columna larga o e?elta, el e(uer2o critico de?e calculare con la ecuaci)n de Euler. 2
$ cr =
π E
()
L 4 r 2
2
(
π 19 x 10 $ cr =
9
% m
2
4 ( 78 )
2
)=
7.7 "pa
Q Para el e(uer2o de tra?a4o e toma un (actor de eguridad de I. 7.7 "pa $ u= =2.5 "pa 3
Q 8alculo de la carga crítica ' carga del tra?a4o. 2
P cr =
π EI 4 xL
2
2
(
π 19 x 10 Pcr =
9
% m
2
)
( 20000 x 10−
4 x ( 4.50 m)
8
m
4
)
2
Pcr =462955 % = 462.9 K% Tomando el mimo actor de eguridad. Pu
=
462.9 3
=154.3 K%
Laureate International Universities® FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
COLUMNAS INSTRUCTORES: - Ing. PINTO BARRANTES, Raul Antonio
PARTICIPANTES:
ESPINOA PONTE, Eri!a
CICLO:
"#$% & I
Li'a & Per( 2017
8OLUM=AS Una columna en ingeniería etructural e un elemento etructural !ue tranmite, a tra#N de com%rei)n, el %eo de la etructura o?re otro elemento etructurale !ue e encuentran de?a4o. Eta %ueden er dieada %ara reitir la (uer2a laterale del #iento o de lo mo#imiento ímico. La columna on (recuentemente uada %ara o%ortar #iga o arco o?re lo cuale la %arte u%eriore de la %arede o tec;o decanan. La %rimera columna eran contruida de %iedra, acada de una %ie2a im%le de roca, uualmente rot"ndola o?re un a%arato %arecido a un torno. Otra (ueron creada de mlti%le eccione de roca, %egada con mortero o en eco. La columna moderna on contruida de acero, concreto #ertido o %re(a?ricado, o de ladrillo. Luego %ueden er re#etida en una cu?ierta ar!uitect)nica o de4ada in cu?rir. En el %reente tra?a4o a?ordaremo la clai(icaci)n ' mNtodo %ara dimenionar una columna, como #imo en el %"rra(o anterior ete elemento etructural cum%le un rol (undamental en edi(icacione, e %or eo !ue ete modeto tra?a4o #a e#ocado %ara a di(undir alguno conce%to ' metodología de dearrollo de lo mimo. E%erando !ue ete tra?a4o ea del agrado del lector, aí tam?iNn como %arte de u a%rendi2a4e o re(or2amiento de lo !ue a continuaci)n e #er". 8olumna3 La columna e un elemento ometido %rinci%almente a com%rei)n, %or lo tanto el dieo et" ?aado en la (uer2a interna, con4untamente de?ido a la condicione %ro%ia de la columna, tam?iNn e diean %ara (lexi)n de tal (orma !ue la com?inaci)n aí generada e denomina (lexocom%rei)n. Segn el uo actual de la columna como elemento de un %)rtico, no neceariamente e un elemento recto #ertical, ino e el elemento donde la com%rei)n e el %rinci%al (actor !ue determina el com%ortamiento del
elemento. E %or ello !ue el %redimenionado de columna conite en determinar la dimenione !ue ean ca%ace de reitir la com%rei)n !ue e a%lica o?re el elemento aí como una (lexi)n !ue a%arece en el dieo de?ido a di#ero (actore. 8a?e detacar !ue la reitencia de la columna diminu'e de?ido a e(ecto de geometría, lo cuale in(lu'en en el ti%o de (alla. La columna en ete tra?a4o la di#idiremo en3 +.1.1 8olumna Larga3 Se dice una columna larga cuando u longitud e ma'or de 1- #ece la menor dimeni)n tran#eral ' u e?elte2 mec"nica e ma'or igual a 1--. +.1.+ 8olumna /ntermedia3 Se dice una columna larga cuando u longitud e ma'or a 1- #ece la menor dimeni)n tran#eral ' u e?elte2 mec"nica e encuentre entre I' 1--. En alguno cao la columna corta tam?iNn (orman %arte de eta clai(icaci)n 6e dice columna corta cuando no cum%le !ue u longitud e ma'or a 1- #ece la menor dimeni)n tran#eral.La di(erencia entre lo tre gru%o #ienen determinada %or u com%ortamiento, la columna larga e rom%en %or %andeo o (lexi)n lateral la intermedia, %or una com?inaci)n de a%latamiento ' %andeo, ' la columna corta, %or a%latamiento. +.+ 8om%ortamientoentro de lo re!uiito (undamentale de una etructura o elemento etructural et"n3 e!uili?rio, reitencia, (uncionalidad ' eta?ilidad. En una columna e %uede llegar a una condici)n ineta?le ante de alcan2ar la de(ormaci)n m"xima %ermitida o el e(uer2o m"ximo. El (en)meno de ineta?ilidad e re(iere al %andeo lateral, el cual e una de(lexi)n !ue ocurre en la columna 6#Nae igura I cuando a%arece incrementa el momento (lector a%licado o?re el elemento, el aumento de la de(lexi)n agranda la magnitud del momento (lector, creciendo aí la cur#atura de la columna ;ata la (alla ete cao e conidera ineta?le. Por ello la reitencia de la columna ometida a com%rei)n tiene do límite, el de reitencia %ara columna corta ' el de eta?ilidad %ara columna larga 6#Nae igura 1. La eta?ilidad e aí el nue#o %ar"metro !ue de(ine adem" de la reitencia ' la rigide2.
+.I 8arga crítica La de(ormaci)n de la columna #aría egn cierta magnitude de carga, %ara #alore de P ?a4o e acorta la columna, al aumentar la magnitud cea el acortamiento ' a%arece la de(lexi)n lateral. Exite una carga límite !ue e%ara eto do ti%o de con(iguracione ' e conoce como carga crítica Pcr
Lo (actore !ue in(lu'en en la magnitud de la carga crítica on la longitud de la columna, la condicione de lo extremo ' la ecci)n tran#eral de la columna. Eto (actore e con4ugan en la relaci)n de e?elte2 o coe(iciente de e?elte2, el cual e el %ar"metro !ue mide la reitencia de la columna. e eta (orma %ara aumentar la reitencia de la columna e de?e ?ucar la ecci)n !ue tenga el radio de giro m" grande %oi?le, o una longitud !ue ea menor, 'a !ue de am?a (orma e reduce la e?elte2 ' aumenta el e(uer2o crítico.
+.0 Excentricidad 8uando la carga no e a%lica directamente en el centroide de la columna, e dice !ue la carga e excNntrica ' genera un momento adicional !ue diminu'e la reitencia del elemento, de igual (orma, al a%arecer un momento en lo extremo de la columna de?ido a #ario (actore, ;ace !ue la carga no acte en el centroide de la columna 6#Nae igura 0. Eta relaci)n del momento re%ecto a la carga axial e %uede ex%rear en unidade de ditancia egn la %ro%iedad del momentoI, la ditancia e denomina excentricidad. 8uando la excentricidad e %e!uea la (lexi)n e de%recia?le ' cuando la excentricidad e grande aumenta lo e(ecto de (lexi)n o?re la columna.
+.$ Longitude(ecti#a La longitud e(ecti#a com?ina la longitud real con el (actor de (i4aci)n de extremo Lt * L (ue deducida %ara el cao de una columna con extremo articulado, o li?re de girar. En otra %ala?ra. L en la ecuaci)n re%reenta la ditancia no o%ortada entre lo %unto con momento cero. Si la columna !ue o%ortada en otra (orma, la ()rmula de Euler e %uede uar %ara determinar la carga crítica, iem%re !ue VLW re%reente la ditancia entre %unto con momento cero. A eta ditancia e le llama longitud e(ecti#a de la columna, Le. E o?#io !ue %ara una columna con extremo, %ero en (igura 6$d. Para la columna con un extremo (i4o ' uno em%otrado !ue e anali2) arri?a, e encontr) !ue la cur#a de de(lexi)n (ue la mitad de la de una columna con u extremo articulado, cu'a longitude +L ' aí tenemo m" e4em%lo con u #alore de longitud e(ecti#a.
Para calcular la longitud e(ecti#a e uaran la iguiente relacione3 . 8olumna con extremo de %aador3 Le*L* 1.-6L * L . 8olumna con extremo (i4o3 Le*L * -,C$6L . 8olumna con extremo li?re3 L,*L * +.1-6L . 8olumna con %aadore (i4o ' el otro (i4o3 L,*L*-.-6L
)rmula de Euler %ara columna larga o mu' e?elta La ()rmula de Euler e #"lida olamente %ara columna larga ' calcula lo !ue e conoce como Xcarga critica de %andeoX, eta e la ltima carga !ue %uede o%ortar %or columna larga, e decir, la carga %reente en el intante del cola%o.La columna articulada en u extremo, inicialmente recta ;omogNnea, de ecci)n tran#eral contante en toda u longitud e com%orta el"ticamente. Puede tener do %oicione de e!uili?rio3 recta o ligeramente de(ormada. Se
