Ejercicios de Resistencia de Materiales- doble integración

Problema: La viga parcialmente en voladizo de acero ABC soporta una carga concentrada P en el extremo C. Para la porción AB de la viga: a) obtenga la ecuación de la curva elástica b) determine la deflexión máxima c) calcule ymáx para los siguientes datos: w14x68

I=723in.4

E=29x106 psi

P=50 kips

L=15ft=180in

a=4ft=48in

Solución: Diagrama de Cuerpo Libre.

Reacciones: RA =

−P

a L

↓

a P(1+ ) ↑ L

RB=

Usando el diagrama de cuerpo libre de la porción AD de longitud x, se tiene: M =−P

a x (0< x < L) L

Ecuación diferencial de la curva Elástica: EI

d2 y a =−P x 2 L dx

Se sabe que la rigidez a flexión “EI” es constante, se integra dos veces. EI

EI y=

dy −1 a 2 = P x +C 1 …… (1) dx 2 L

−1 a 3 P x +C 1 x +C 2 …….. (2) 2 L

Determinación de Constantes: Para las condiciones de frontera mostradas se tiene: [x=0, y=0]

De la ecuación 2, se encuentra C2 =0

[x=L, y=0]

Usando nuevamente la ecuación (2), se escribe:

EI ( 0 ) =

−1 a 3 +1 P L +C 1 L C1= PaL 6 L 6

a) Ecuación de la curva elástica: Sustituyendo C1 y C2 en las ecuaciones (1) y (2). EI

[ ( )]

dy −1 a 2 1 dy PaL x = P x + PaL = 1−3 dx 2 L 6 dx 6 EI L

2

( 3)

2

EIy=

[ ( )]

−1 A 3 1 Pa L x x P x + PaLx y= − 6 L 6 6 EI L L

3

(4)

b) Deflexión máxima en la porción AB: La deflexión máxima Ymax ocurre en E, donde la pendiente de la curva elástica es cero. Haciendo dy/dx=0 en la ecuación (3), se determina la abscisa x m de E:

0=

[ ( )]

PaL Xm 1−3 6 EI L

2

Xm=

L =0.577 L √3

Sustituyendo Xm/L=0.577 en la ecuación (4) se obtiene: Ymax=

Pa L2 ( 3 Pa L2 [ 0.577 )−( 0.577 ) ] Ymax =0.0642 6 EI EI

c) Evaluación de Ymax: Para los datos usados, el valor de Ymax es: 48∈¿ ¿ 180∈¿ ¿ ¿2 ¿ (50 kips ) ¿ Ymax=0.0642 ¿

Problema: Para la viga uniforme AB: a) Determine la reacción en A b) Obtenga la ecuación de la curva elástica c) halle la pendiente en A.

Solución: Momento Flector, usando el diagrama de cuerpo libre obtenemos:

+↓ ∑ MD=0 R A x−

1 Wo X 2 x Wo x3 −M =0 M =R A x− 2 L 3 6L

(

)

Ecuación diferencial de la curva elástica, se utiliza la ecuación de la curva elástica obteniendo: EI

d2 y Wo x3 =R x− A 2 6L dx

Notamos que EI es constante, por lo que aplicamos el método de doble integración. EI

dy 1 Wo x 4 =EIθ= R A x 2− +C 1 ( 1 ) dx 2 24 L

1 Wo x 5 EIy= R A x 3− +C 1 x +C 2(2) 6 120 L Condiciones de Frontera: En el esquema se muestran las tres condiciones de frontera que deben satisfacerse.

3

[ x=0,θ=0 ] 1 R A L2− Wo L +C 1=0 (4)

[ x=0, y=0 ] C2=0(3)

2

24

4

[ x=L, y=0 ] 1 R A L3− Wo L +C 1 L+C 2(5) 6

120

a) Reacción en A. Multiplicando la ecuación (4) por L, restando miembro a miembro la ecuación (5) de la ecuación obtenida y notando que C2=0, se tiene: 1 1 1 3 4 R A L − Wo L =0 R A= WoL ↑ 3 30 10 Note que la reacción es independiente de E y de I. Sustituyendo 1 RA= WoL en la ecuación (4) obtenemos: 10 1 1 1 −1 WoL L2− Wo L3 +C 1=0 C 1= Wo L3 2 10 24 120

(

)

b) Ecuación de la curva elástica. Sustituyendo RA, C1 y C2 en la ecuación (2), obtenemos. EIy= y=

1 1 Wo x 5 1 WoL x 3− − Wo L3 x 6 10 120 L 120

(

)

(

)

Wo (−x5 +2 L2 x 3−L4 x ) 120 EIL

c) Pendiente en A. Derivando la anterior ecuación con respecto a X.

θ=

dy Wo 4 2 2 4 = (−5 x +6 L x −L ) dx 120 EIL

Haciendo que x=0 se tiene: 3

θA=

−Wo L 120 EI