ejercicios de resistencia de materiales

“ Universidad Nacional San Cristóbal de Huamanga” Facultad de Ingeníeria Minas , Geología y Civil Escuela de Ingeniería Civil

PROBLEM PROBLEMAS AS RESUELTOS RESUELTOS DE RESISTENCIA RESISTENCIA DE MATERIALE MATERIALES S I - II Autor: Calderón Quispe, Gilmer

( [email protected],[email protected] ) Estudiante de Ingeniería Civil

Presentacion

1

Capítulo

1

Esfuerzo Deforma Deformación ción

1.1 Definiciones 1.1.1 Solución de Problemas Problemas

Ejercicio N 1 °

Durante el montaje de un nudo de 3 barras resulto que la barra media era más larga en 5x10´4 L . Calcular las tensiones en las barras después de realizar el montaje del nudo considerando E 2x105 Mpa.

“ “





Solución:

3



Ingeniería Civil

1 Esfuerz Esfuerzo o Def Deforma ormación ción

F @B

F @A

F @C

(a)

(b) A

De la figura 1

ÿ

Fx

“

0

´ F sin sin 30˝ ` F sin sin 30˝ “ 0 F “ F F y “ F cos cos 30˝ ` F cos cos 30˝ ´ F “ 0 ? 3F “ F AB AB

Ad Ad

AB AB

AD AD

ÿ

..................................... (I)

0

AB AB

AD AD

AB AB

AC AC

AC AC

..................................... (II)

Del gráfico 2 δ “ “ cos cos 30˝ δ ` δ “ ∆ AB AB

δ

..................................... (III)

..................................... (IV)

AC AC

Remplazando 2 F AB AB ? 3 L

F L ` “ 5x10´ AE AE ? 4 σ p q ` 3σ “ 5x10´ 3 5x10´ x10 x2 ? σ “ 4`3 3 σ “ σ “ 32.622M pa σ “ 56.503M pa AC AC

4

4

AB

AB AB

AB 4

„

5



AD

AC

[tración] [compresión] pagina 4

Resistencia de Materiales I-II

Ingeniería Civil


Ejercicio N 2 °

Calcular las tensiones que se surgen en las barras durante el montaje del nudo a causa de que la barra AD es más corta que su longitud nominal δ 0.001L. El material de las barras es de acero cuyo módulo de elasticidad es 2.1x105M pa.

“ “

Solución:

A

F CE

A

F CF N

A A

(b)

(a)

De la figura a

ÿ ? ÿ

“ 2 F “ F 2 F y “ 0 F cos cos 45˝ “ 0 ? 2 F “ F 2 F “ F Fx

0

AD AD

AB AB

..................................... (I)

AD AD

AC AC

..................................... (II)

AD AD

AC AC

AB AB

..................................... (III)

pagina 5


Ingeniería Civil


De la figura b δ ´ δ “ “ ? “ ? 2δ AM “ 2 pδ ´ δ q M A˝ “ 2 ` M A˝ ` A˝A AA “ AM ` M N

AB AB

AC AC

AC AC

AB AB

AC AC

1

1

Remplazando valores

?

? 2

2δ AC AC

`

pδ ´ δ q ` δ “ δ ? F L ? 2 F L F ? F L ` 2 AE ´ 2AE ` AE “ 0.001L 2 2AE ? 2 F ? 2 ? 2 F F F ` 2 AE ´ 2 4 AE ` AE “ 0.001 2AE ? F 2 F 1 F 2 F ? ` ´ ` “ 0.001L 2AE 2 AE 4 AE 2 AE ? 2 1 2 F 1 ` 2 ´ 4 ` ? 2 A “ 0.001x2.1x10 2 “ σ “ 88.558M pa

˜

? 2

2

AC AC

2

AB AB

AC AC

2

AC AC

AB AB

AC AC

AB AB

AB AB

AB AB

ˆ

AC AC

AB AB

˙

F AB AB A

AD AD

¸ « ˆ ˙

2

ff

AD AD

AD AD

AB AB

AB AB

5

AB

[tracción]

De la relación siguiente F AB AB 2A

“ F 2A ñ 21 σ “ σ “ 44.279M pa “ 125.240M pa AC AC

AC

AB

ade adema mass σAD

“ ? 22 σ

AB

σAC

[Compresión]

σAD

[tración]

Ejercicio N 3 La viga AC articulada en un muro absolutamente rígido es sostenida por un tirante BD. Determinar la posición del punto B de unión del tirante con la viga partiendo de la condición que el peso del tirante sea mínimo , si l 6m, h 3m P 40K N , la densidad del acero es ρ 7.85x103Kg m3, la tensión admisible σ 160M pa, el peso de un metro de la viga es p 1K N

“

“

{

“

“ r s “

“

pagina 6


Ingeniería Civil


Solución:

De la figura

ÿ

“0 F sin α pxq ´ 40 p6q ´ 1 p6q p3q “ 0 ? x3x` 9 F “ 240 ` 18 ? 86 x ` 9 pK N q F “ MA

BD BD

BD BD

2

2

BD BD

x

(I)

Hallando el esfuerzo de F BD BD σBD

“ F A “ σ “ 160M pa “ 160000K pa BD BD

adm

se sabe que ρ

“ mv ?

` 9 “ m; W A “ ? ρg x ` 9 ρA x2

“ W p pesoq

mg

2

? 86 x `9 2

σBD

“

x W ρg x2

? `9

86 x2 9 x ρgσ adm

“ “ p ` q

W

Del dato

dW dx

“0

g ; ρ; σadm

“ C T E

Derivando se tiene 86 x2 9 ρgσ adm x2

p ´ q x

x

“ 3m

“ ˘3m pagina 7


Ingeniería Civil


Ejercicio N 4 °

Una viga absolutamente rígida se sostiene por un tensor y un tornapuntas , ambos de acero, cuyas secciones tienen unas áreas iguales a ABE 2cm2 ;ACD 4cm2. El tensor es más corto que su dimensión nominal es δ 0.1 %. Calcular las tensiones en el tornapuntas y en el tensor después de realizar el montaje, considerando a b c d 1m; E 2x105 Mpa

“ “

“

“ “

“

“ “ “ “

Solución:

pagina 8


Ingeniería Civil


De la figura N 1 ° °

ÿ

“0 ´ F sin sin 45˝ p1q ` F ? 2 2 ? 5 F “ 2 F MA

CD CD sin α

BE BE

Cd Cd

BE BE

Del gráfico 2 se observa

? ? 1 C C ˝ “ 2 2δ ABB „ AC ˝ C q “ 2δ ; p ? ? 2 2 “ 2 2δ sin α “ ? 5 δ “ δ M C “ ; C 1 M “ ` M? C “ “ δ “ “ C C 1 C 1 M ` 2 2 δ ` ? δ “ δ ? 5F 5 2? 2 ? 2F ? . 01 5 ? ` “ 4 ˚ 0.2 ˚ 10 100 5 2 ˚ 0.2 ˚ 10 ? 5F ? 4 4F 0.1 5 ` 2? 5 ˚ 0.2 ˚ 10 ? 10 “ 100 4 ˚ 0.2 ˚ 10 ? 5 ? 16 0.1 5 ` 2? 5 ˚ ? 10 F “ 100 0.2 ˚ 10 4 F “ 26.456K N 6 F “ 33.464K N

BB 1

BE BE

BE BE

BE BE

CD CD

BE BE

BE BE

CD CD

5

ˆ

BE BE

5

CD CD

˙

ˆ ˙ ` ˘ CD CD

5

ˆ

CD CD

5

˙

5

CD CD

CD CD

BE BE

pagina 9


Ingeniería Civil


Hallando las tensiones σCD

“ 26.4456 “ 6.614K N {cm “ 33.2464 “ 17.732K N {cm “ 6.614K N {cm 2

σBE

2

2

σCD

“ 16.732K N {cm

σBE

[Tacción]

2

[Compresión]

Ejercicio N 5 °

Calcular el peso teórico (sin tener en cuenta los pesos de los elementos de unión) de un nudo de dos barras dispuestas simetricamente, considerando que las barras están frabricadas de un material igual, cuya tensión admisible de tracción es dos veces más grande que su tensión admisible de compresión: σtr 2 σcompr . Examinar dos casos: a) en el nudo está aplicada una sola una fuerza horizontal P h y b) en el nudo esta aplicado solo una fuerza vertical P y . ¿Para qué valor del ángulo α el peso será mínimo ? Calcularlo considerando que la densidad ρ del material es conocida.

r s “ r

s

Solución:

Considerando la carga horizontal: P h pagina 10


Ingeniería Civil


De la figura 1(a)

ÿ “ y

0

F AB AB sin α

AC AC sin

´ F

α

ÿ “ “ ´ ´ ˙ ˆ “

F AB AB

F AC AC

Fx

“0

(I)

0

F AB AB cos α

1 2

F AB AB

F AC AC cos α

P h cos α

` P “ 0 h

(II)

Cuando se aplica la fuerza horizontal P h las barras estarán en tracción

“

σAB

ρgA

F AB AB ; A l cos α

“

ñ ρA

ˆ ˙“ ñ ` ˘

“ σ “

σtr

ρ

m v

W 1

1

P h

2

cos α

AB

W 1 cos α ρgl

2

2

tr

h

2

tr

ρgl “ 2σP cos α

h

W 2

2

tr

h

1

W nodo nodo

ρgl “ 2σP cos α

W 1

m1

“ σ P cosρgl α

h

tr

“

l cos α W 1 cos α ρgl

ρgl ñ W “ 2σP cos α

ρgl “ 2σP cos ; α

W 2

A

ˆ ˙“

h

tr

2

[Tracción]

“ σ P cosρgl α h

W nodo nodo

2

tr

[Para α

Considerando la carga vertical: P y

“ 0˝]

De la figura 1(b) se tiene

ÿ ÿ´

Fx

“

0

F AB AB cos α Fy

“

F AB AB sin α

AC AC cos

` F

0 AC AC sin

` F

α

“ sinP α ñ F

2F AB AB

(I)

α

y

´ P “ 0 P “ 2sin α y

y

AB AB

(II)

pagina 11


Ingeniería Civil


Del gráfico se observa claramente que AB esta en tracción y AC esta en Compresión por tanto sus esfuerzos serán σtr σcomp respectivamente

^

ρAlg W cos α “ σ “ F A ; W “ cos ; A“ α ρgl αq P ρgl “ pW pP cos{2sin ñ W “ αq { pρgl q σ sin sin 2α { p2sin αq “ σ “ 21 σ “ pW P cos αq { pρgl q AB AB

σAB

1

tr

1

1

y

σtr

y

1

tr

1

y

σAC

comp

tr

2

1 σtr 2

ρgl “ W P sin ñ sin 2α ρgl “ W ` W “ σ3P sin sin 2α y

ρgl “ σ2P sin sin 2α y

W 2

tr

2

y

W total total

1

2

tr

Hallando el mínimo 3P y ρgl σtr 6

dW dα

ˆ´

2cos2α sin2 2α

˙“

0

ùñ

y

“ 90˝ ùñ ùñ α “ 45˝

y

W 2

tr

tr

ρgl “ W ` W “ σ3P sin sin 2α

W total total

2α

ρgl “ σ2P sin sin 2α

ρgl “ σ P sin sin 2α

W 1

“0

y

1

2

tr

Ejercicio N 6 °

[Para α

“ 45˝ min]

En la columna escalonada de la figura construir los diagramas de las fuerzas longitudinales , de las tensiones y de los desplazamientos longitudinales.

pagina 12


Ingeniería Civil


Solución:

Hallando R en la figura 1

ÿ

“ ´ R ` 120 ` 60 ´ 20 “ 0 Fy

0

ùñ

R

“ 160K N

Hallando esfuerzos í

σ1 15

í

σ2

í

σ3

2

˚ ´ 160 “ 0 ñ σ “ 32K N {cm ˚ 10 ` 120 ´ 160 “ 0 ñ σ “ 4K N {cm ˚ 5 ` 120 ` 60 ´ 160 “ 0 ñ σ “ ´4K N {cm

[Tracción]

1

2

[Tracción]

2

2

[Compresión]

3

Hallando los desplazamientos para 0

ă x ă 20 “ “

δ

Para 20

" ñ

32x E

“ 0 “

δ px“0q δ px“20q

E

ă x ă 60 32 20 E

δ “ “ ˚ ` 4 px E ´ 20q ñ

Para 60

640

ă x ă 140

"

“ “

δ px“20q δ px“60q

640

E

800

E

“ “ 32E ˚ 20 ` 4 ˚e40 ´ 4 px E ´ 60q “ 1040 ´ 4x ñ δ δ pp ““ qq “ “

δ

"

800

x

60

E

480

x

140


E

pagina 13

Ingeniería Civil


Ejercicio N 7 °

En la estructura mostrada calcular: 1. Las fuerzas normales de las barras 2. Los esfuezos normales de las barras 3. las deformaciones de las barras 7

2

“ “ 2x10 Kg{cm

4. El giro que experimenta la barra rígida E 5. El desplazamiento de los puntos A y C

3T

barra rigida

1T/m

o

Solución:

C 3T

A

1T/m

C

C

A F I

F II

(a)

A (b)

pagina 14


Ingeniería Civil


Del equilibrio de la figura 1(a)

ÿ

“ 1000 ˚ 7 ˚ 3.5 ` 3000 ˚ 3.5 ´ 7F ´ 1000 ˚ 5 ˚ 2.5 ´ pF sin sin 45˝ q 5 “ 0 ? 5 2 F “ 22500 7F ` 2 ? C C 1 “ δ 2 M o

0

I I

I I

II II

II II

II II

Por semejanza δ I I 7



AA1 O

? 2δ I

„  C C 1O

I I

“

„

1 700F I I 7 1 2 107

ñ

5

“ 165F

ñ

˚ ˚

II II

F I I

“

(1) (2)

? 800 2F 1 ˚ 2 ˚ 10

II II 7

(3)

Remplazando (3) en (1) 7

ˆ ˙ ` ? 16F II II 5

5 2F II II 2

“ 22500

“ 867.536K g

“ 2776.115K g

F II II

F I I

2

“ A “ 1cm

Hallando Esfuerzos para: A1

“ 2776.115K g{cm

σI

2

2

[Compresión]

2

“ 867.536K g{cm

σII

[Tracción]

Hallando Desplazamien Desplazamientos tos AA1

“ δ “ 0.0972cm ? 1 AA “ 2δ “ 0.0694 cm I I

[Se comprime]

II II

Hallando giro: tan θ

“

[Se Alarga]

δI 7

“ 0.795˝

θ

[Antihorario (ö)]

Hallando las deformaciones

“ “

δ

σl E

$’& ñ’ %

˚

“

2776.115 700

“

867.536 800

δ I I

δ II II

2 107

˚

˚ ? 2

2 107


˚

“

0.0972cm

“ 0.0491cm

rAcorta.s rAlarg.s

pagina 15

Ingeniería Civil


Ejercicio N 8 °

Una escalera de acero está sujeta a una pared al nivel de los escalones primero y undécimo (fig a). Considerando que la pared es absolutamente rígida, calcular las reacciones en los apoyos de la escalera para el caso cuando sobre ella se encuentran tres personas de peso 1K N cada una dispuestas en los escalones quinto, noveno y décimocuarto contando desde abajo.

Solución:

Por ser absolutamente rigído se cumple

` δ “ 0 F y “ ` R “ 3P

ÿ`

δ 1

RA

δ 2

(I)

3

0

B

(II)

Entre paso y paso la dist. es 4l

p q ` R “ 0 ñ σ ´ RA ; δ “ ´ 104RAE l ´ R ; δ “ 4 pP ´ ´ R q l pAq ` R ´ P “ “ 0 ñ σ ´ P ´ A 10AE ´ R ; δ “ 2 p2P ´ ´ R q l pAq ` R ´ 2P “ “ 0 ñ σ ´ 2P ´ A 10AE b

σ3 A

b

σ2

b

σ1

3

b

3

b

b

3

2

b

b

1

b

2

pagina 16


Ingeniería Civil


Remplazando valores

´ R q l ` 4 pP ´ ´ R q l ` 2 p2P ´ ´ R q l “ 0 ´ 4 pP 10 ´ AE 10AE 10AE ´ 2R ` 2 pP ´ ´ R q ` 2P ´ ´ R “ 0 R “ 0.8K N R “ 2.2K N b

b

b

b

b

b

b

a

Ejercicio N 9 °

1

Calcular ∆A y ∆aen la figura mostrada mostrada donde E y a 10cm

2

“ “ 2 ˚ 10 1N {m ; µ “ 0.3, P “ “ 30000N

“

Solución:

Recordando fórmulas : ε

“ E σ ; ε1 “ µε “ ´µ E σ ;

∆A A

“ ´2µ E σ

(ε : Deformación unitaria longitudinal) (ε1 : Deformación unitaria transversal)

Hallando los valores pedidos

“ ´ 0 .230000 ´ 0.1 “ ´1 ˚ 10 N {m ´1 ˚ 10 “ 1.5 ˚ 10´ ε1 “ ´0.3 2 ˚ 10 1 ñ ∆a “ 2aε “ 2 ˚ 100 ˚ 1.5 ˚ 10´ “ 0.0003mm

σ

6

2

2

2

6

6

1

6


pagina 17

Ingeniería Civil


Hallando la variación de área 6

´2 ˚ 0.3 p´1 ˚ 10 q ∆A “ 2 ˚ 10 1 1

`

2002

2

˘

´ 100 “ 0.09m

2

Ejercicio N 10 °

Una barra escalonada empotrada en sus extremos rígidamente esta cargada con una fuerza P 200K N en la sección m y con una fuerza 4P en la sección n n a lo largo de eje de la barra hay un orificio pasante de diámetro d˝ 2cm; los diámetros exteriores de los escalones son: D1 6cm, D2 4cm D3 8cm. El material es de acero, E 2.1 105M pa. Determinar las reacciones en los apoyos A y B , construir los diagramas de fuerzas longitudinales N, de tensiones normales σ y de los desplazamientos longitudinales de las secciones transversales de la barra

“

“

“ “ ˚

“

“

“

´

Solución:

De la figura (a)

ÿ

Fy

“

0

` R ´ 5P “ “ 0 ñ R ` R “ 5P δ ` δ ` δ ` δ “ 0 4 ˚ 20R 4 ˚ 10 pR ´ P q 4 ˚ 20 pR ´ P q 4 ˚ 20 pR ´ 5P q ` ` π p8 ´ 2 q E ` π p8 ´ 2 q E π p6 ´ 2 q E π p4 ´ 2 q E RA

B

1

A

3

3

4

A

2

B

2

A

2

A

2

2

(I) (II)

A

2

2

2

“ “ 200K N y luego en (I) “ 266.667K N R “ 733.333K N

Remplazando para P RA

B

pagina 18


Ingeniería Civil


Hallando Esfuerzos 4 266.667 π 62 22

˚ σ “ ñ p ´ q 4 p266.667 ´ 200q σ “ π p4 ´ 2 q 4 p266.667 ´ 200q σ “ π p8 ´ 2 q 4 p266.667 ´ 1000q σ “ π p8 ´ 2 q 1

2

2

2

2

4

2

2

2

2

“ 10.610K N {cm

σ1

ñ ñ ñ

2

[Tracción]

“ 7.074K N {cm

2

“ 1.415K N {cm

2

σ2 σ2

[Tracción] [Tracción] 2

“ ´15.562K N {cm

σ2

[Compresión]

Hallando las deformaciones 5

5

2

“ “ 2.1 ˚ 10 M pa « 0.21 ˚ 10 K N {cm 4 ˚ 266.667 ˚ 20 “ 0.010cm δ “ π p6 ´ 2 q 0.21 ˚ 10 4 p266.667 ´ 200q 10 “ 0.00337cm δ “ π p4 ´ 2 q 0.21 ˚ 10 4 p266.667 ´ 200q 20 δ “ “ 0.00135cm π p8 ´ 2 q 0.21 ˚ 10 4 p266.667 ´ 1000 q 20 “ 0.00148cm δ “ π p8 ´ 2 q 0.21 ˚ 10

E 1

2

3

4

2

2

2

2

2

2

2

2

5

5

5

5

[Acumulado]

“ “ 0.0106cm

δ

“ “ 0.0141cm

δ

“ “ 0.0156cm

δ

“ “ 0cm

δ

pagina 19


Ingeniería Civil


Ejercicio N 11 °

Calcular el desplazamiento vertical del nudo A bajo la acción de una fuerza P 200K N , si el diagrama de tracción del material de las barras tiene la forma de la función lineal a trozos representada en el gráfico . Considerar que σ˝ 120M pa, E 7 105 M pa, A 10cm2 y l 3m.

“

“

“

“ “ “ “ ˚

Solución:

F AB

F AC

De la figura 1

ÿ

Fx

“

0

´ F sin sin 60˝ ` F sin sin 60˝ “ 0 F “ F F y “ F cos cos 60˝ ` F cos cos 60˝ ´ 200 “ 0 F “ 200K N 200 ˚ 1000 “ 200M pa σ “ σ “ σ “ 10 ˚ 10´ AB AB

AB AB

AC AC

AC AC

ÿ

(I)

0

AB AB

AC AC

AB AB

AB

AC

4

pagina 20


Ingeniería Civil


Del gráfico 2 hallar ε

´ σ˝ “ E σ˝ ` σ E 120 200 ´ 120 ` “ ε“ 4 ˚ 10´ 7 ˚ 10 0.5 ˚ 7 ˚ 10 ε

1

2

5

4

5

Hallando las deformaciones de las barras

“ δ “ δ “ 4 ˚ 10´ ˚ 300 δ “ “ 0.12cm δ “ δ AC AC

AB AB

4

δ “ cos cos 60˝ ∆A “ 0.24cm

∆A

AC AC

Ejercicio N 12 °

¿A qué ángulo α hace falta aplicar en el nudo la fuerza P para que el desplazamiento de éste se efectúe por la vertical? Las longitudes de las barras son iguales, están hechas de un mismo material. El área de la sección de la barra AD es dos veces mayor que el area de la sección de las barras AB y AC.

pagina 21


Ingeniería Civil


Solución:

De la figura (a)

ÿ “ y

˝ ` F AD cos 60˝ ´ p cos α “ 0 AD cos

cos 30 AC AC cos

` F

F AB AB

ÿ

0

“

Fx

(I)

0

F AC sin 30˝ AC sin

sin 60c irc AD AD sin

` F

´ p sin α “ 0

(II)

De la figura (b) δ δ “ cos “ cos 60˝ sin sin 60˝ F l F l F l 2 ? “ p 2q “ AE AE 2AE 3 F “ F ? 3 F “ F 2 AD AD

δ AB AB

AB AB

AC AC

AD AD

AB AB

AC AC

ˆ ˙

AD AD

AB AB

AC AC

(III)

(IV)

Remplazando (III) (IV) en (I) y (II) F AB AB

`

? 3 2

F AB AB

ˆ ? ˙ ` 3 2

9 F AB p cos α AB 4 3 1 3 F AB F AB AB AB 2 2 2

?

?

1 F AB AB 2

“ p cos α (V)

“

ˆ ˙ ` ?

3 3 F AB AB 4

“ p sin α

“ p sin α

(VI) pagina 22


Ingeniería Civil


Dividiendo (VI) entre (V) se tiene

? 3 3

“ tan α ? 3

´ ¯“

tan´1

3

ñ

30˝

“ α

Ejercicio N 13 °

En la estructura de la figura, el tirante A es de aluminio, la columna C es de acero y la barra horizontal B es rígida, si el esfuerzo admisible en la columna: σ adm 1100 kg cm2 calcule el máximo valor de la carga ”P” E ac 2.2x10 6 kg cm2 E Al 0.7x10 6 kg cm2 . ac Al

“

{

“

“

{

{

Solución:

De la figura 1(a)

ÿ

“ “ 0 30F ` 10F ´ 30P “ 3F ` F “ 3P δ ∆ ` δ “ 30 10 M y al al

al al

al al

0

ac ac

ac ac

(I)

ac ac

pagina 23


Ingeniería Civil

“ 3∆ ` 3δ F ˚ 60 “ 3 8 ˚ 0.7 ˚ 10

δ al al

ac ac

al al

6

15 2


ˆ ˙ 1 0.7

ˆ

˚

˚ ˚ F “ ˚ ` al al

˙`

F ac ac 30 25 2.2 106 90F ac ac 6000 25 2.2

0.006

(II)

De (I) y(II) : Asumiendo σadm para acero

“ 1100 “ F 25

ac ac

σ

ñ F “ 27500kg ac ac

Remplazando en (II)

“ 4760kg ñ σ “ 595kg {cm “ F ` F 3 ñ 13926.667kg 6 P “

F al al

2

[Dentro de rango Adm]

al

ac ac

al al

De (I) y(II) : Asumiendo σadm para aluminio 1100

“ F 8

al al

ñ F “ 8800kg al al

Remplazando en (II)

“ 53952.381kg ñ σ “ 2158.095kg {cm 6 P “ “ 13926.6667kg

F ac ac

ac

2

[Fuera de rango Adm]

Ejercicio N 14 °

Una barra absolutamente rígida se sostiene por tres tirantes paralelos con áreas de secciones iguales a A 10cm2 . Calcular los esfuerzos en los tirantes y hallar el valor admisible de la carga a partir de la tensión admisible σ 160M pa.

“

r s “

pagina 24


Ingeniería Civil


Solución:

De la figura (a)

ÿ “ ÿ` “` F y

F 1

0

F 2

M C C

“ 0

(I)

F 3 0

´ F p3aq ´ F paq ` P p2aq “ 0 “ F ` 3F 2P “ 1

2

2

1

(II)

De la figura (b) 

mA1 C 1

„ nC 1B1 δ ´ δ δ ´ δ “ ñ 2δ “ 3δ ´ δ 3a a p2F q l “ 3F p2lq ´ F l AE AE 2AE F ´ 6F ` F “ 0 Resolviendo los 3 sistemas se tiene; ademas para σ “ 16K N {cm 13P “ 0.619P ñ P ď ď 258.462 F “ 21 P F “ “ 0.143P ñ P ď ď 1120 7 5P “ 0.238P ñ P ď ď 1344 F “ 21 “ 258.462K N 6 P “ 1

3



2

3

3

3

1

2

2

3

1

1

(III)

3

2

1

2

3

Ejercicio N 15 °

Una placa absolutamente rígida de sección rectangular esta apoyada con sus ángulos sobre columnas de longitudes y secciones iguales. Sobre la placa gravita una fuerza concentrada P 100K N aplicada en el punto k que divide la diagonal AC en razon 1 : 2. Calcular la sección de las barras a partir de la tensión admisible σ 50 M pa y determinar el asiento máximo del ángulo de la placa. Viene dado: a 4.5m, b 3m 5 l 1m, E 2x10 Mpa

“

“

“ “


r “ s “ “

pagina 25

Ingeniería Civil


Solución:

De la figura (a)

ÿ “ ÿ` “` “ ˆ ˙ ˆ ˙ ´ ¯ ´ ` ` F y

0

2F b

F a

M k

(I)

0

3m 2

F a

0

F c

m 2

P

3m 2

F c

´ F ` F “ P 3 a

c

(II)

De la figura (b)

` δ “ δ ñ δ ` δ “ 2δ 2 F l F l F l ` “ 2 AE AE AE F ` F “ F δ a

c

b

a

a

a

c

c

c

b

b

b

(III)

pagina 26


Ingeniería Civil


Resolviendo (I), (II) y (III) P “ 12 “ 100K N í F “ 8.333K N pa p ara P “ P “ 100K N í F “ “ 25K N F “ F “ para P “ 4 5P “ 100K N í F “ 41.667K N F “ para P “ 12 F a

a

b

d

c

c

El esfuerzo máximo se dará en F c σ 50M pa 5K N cm2 F c 5 6A 8.333cm2 A

“ “

“

{

“

El asiento máximo se ara debido a la fuerza F c 41.667 ˚ 100 “ 8.333 ˚ 0.2 ˚ 10 ˚ 10 “ 25mm

δ max max

5

Ejercicio N 16 °

Una barra absolutamente rígida AD esta articulada en el punto D de una pared también absolutamente rígida y sometida por tres tornapuntas 1, 2 y 3: Calcular los esfuerzos en los tornapuntas y la magnitud del parámetro d la carga P a partir de la tensión admisible σ 160M pa , si las secciones de todos los tornapuntas tienen igual área 2 A 2cm

“

r s “

Solución:

pagina 27


Ingeniería Civil


De la figura 1

ÿ

M D

“

0

? pF 1 sin sin 30˝ q 2 3a

´ ¯´

p q ´ P p2aq ` pF sin sin 45˝ q p2aq ` pF sin sin 45˝ q paq “ 0 ? ? ? 2 ´ 2P ` ` 2F ` 2 F “ 0 3F ´ 6P ´ ? ? ? 2 F “ 8P 3F ` 2F ` 2 1

1

2P 3a 2

2

2

3

3

3

(I)

pagina 28


Ingeniería Civil


De las relaciones geométricas AA1 D



„ BB 1 D ? 2δ 

? 2δ ? “ ñ 2δ “ 6δ 2a 2 3a ? ? F 2 2a F p4aq “ 2 6 AE AE ? 2F “ 3F 1

2

1

„

2

 « ` ˘ff 2

1

1

2

(II)

Además se tiene

?

? “ 2 2δ ? F 2 2a “2 AE F “ F 2δ 2

2

3

` ˘ « `? ˘ ff

2

F 3

2a AE

3

(III)

De las ecuaciones (I), (II) y (III)

“ 1.914P

F 1

“ F “ 2.209P

F 2

3

Hallando P

“ 160M pa “ 16K N {cm “ 14.486K N P “ σ

2

P ñ 2.209 “ 16 2

Ejercicio N 17 °

Una barra absolutamente rígida, representada en la figura, esta articulada en un cuerpo absolutamente rígido mediante barras de acero. Calcular los esfuerzos en las barras, así como el área de la sección A de estas, si la tension admisible de tracción es σ tr 160M pa y la de compresión σ comp 50M pa. La magnitud del parámetro de la carga es P 100K N

“ “

r s “

r s “

Solución:

pagina 29


Ingeniería Civil


De la figura (a)

ÿ

“

M A

0

F BE sin 45˝ a BE sin

? 2 2

F BE BE

p q ` F sin sin 30˝ p2aq ´ 100 p3aq “ 0 ` F “ 300 CG CG

(I)

CG CG

De la figura (b) 2BB 1

“ C C 1 ? 2a ? ? F BB 1 “ 2δ “ 2 AE F BB 1 “ 2 a AE BE BE

BE BE

(II)

` ˘

ˆ ˙ ˆ ˙ ˆ ˙ ? “ “ ˆ ˙ “ ? BE BE

C C 1 C C 1

2δ CG CG

2

F CG CG AE

8

F CG CG AE

a

3

4a

3

Remplando en (II) 2

„  “ ? ˆ ˙

?

2F BE BE a AE

3F BE BE

8

3

F CG CG a AE

“ 2F

CG CG

(III)

De (I) y (III)

“ 190.702K N

F BE BE

F CG CG

“ 165.153K N

Solo hay esfuerzo de tracción 2

rσs “ 160M pa “ 16K N {cm 190.702 “ 16 ñ A “ 11.919cm 6 A

2

pagina 30


ejercicios de resistencia de materiales

Recommend Documents