Ejercicios Medidas de Dispersion Corregido

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES

FACULTAD DE INGENIERIA

CARRERA DE INGENIERIA PETROLERA

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA (MET-233)

PRACTICA N° 3 EJERCICIOS DE MEDIDAS DE DISPERSIÓN

DOCENTE:  ING. OSCAR CHAMBI ESTUDIANTES: BAUTISTA QUIJO YAMIR CONDORI CHINO HENRY FERNANDEZ HUANACO JUAN PABLO

NIERVA MAMANI MIGUEL ANGEL ROLLANO LUNA JULIO ROJAS CHOQUE JUAN JOSUE AVERANGA CHOQUE KENNY ADHEMAR

FECHA DE PRESENTACION PRESENTACION DE PRÁCTICA: 2 DE FEBRERO DE 2017

LA PAZ – BOLIVIA 1.- Obtener la desviación estándar del conjunto de datos de la siguiente tabla:

45 49 47 51

48 50 48 50

49 45 52 49

51 50 46 52

53 52 49 50

50 47 53 47

52 49 48 50

Sol:

 x´ =

∑ fx  x´ = 1382 = 49.357 n

28

Primera fla: Segunda fla:

( x − x´ )2=( 45 −49.357 )2=18.9843

( x − x´ )2=( 46 − 49.357 )2=11.2701

Tercera fla:

( x − x´ )2=( 47 − 49.357 )2=5.5559

Cuarta fla:

( x − x´ )2=( 48 −49.357 )2=1.8414

Quinta fla:

( x − x´ )2=( 49 −49.357 )2=0.1274

f  ( ( x − x´ ) = f × ( x − x´ ) 2

 x

2

f 45 46 47

( x − x´ )2

fx 2 1 3

90 46 141

189834 112694 55554

f  ( ( x − x´ )

2

379668 112694 1667

48 49 50 51 52 53

3 5 6 2 4 2

144 245 300 102 208 106

18414 01274 04134 26994 69854 132714

55242 06370 24804 53988 279416 265498

∑ f =28 ∑ fx=1382 ∑ f  ( ( x x− x´ ) = 134.4272 2

s=

√

∑ f  ( ( x− x´ ) = 2

n −1

√

134.4272 28 −1

=2.231

2.- En una fábrica de frutas en conserva, se extrajeron 6 frascos con el propósito de obtener la masa de éstos, los resultados de la medición son:

!etermine: !etermi ne: a" la media# $" la %arian&a c" la de'%iaci(n e't)ndar e't)ndar SOLUCION

Pre%iamente ela$oramo' la 'iguiente ta$la

a" !e la ta$la ta$la * con con la ecuaci(n ecuaci(n de de la media media aritm+ aritm+,ca: ,ca:

$" Con la ecu ecuaci aci(n (n de de -ari -arian& an&a: a:

c" !e la ecuaci(n de de'%iaci(n e't)ndar:

3.- Si llueve un vendedor de araguas uede ganar !s". 3## or dia$ si no llueve uede erder !s".%# or dia & cual es la eseran'a (ate(á)ca * su desviación estándar si la robabilidad de lluvia es de #.3+ Solución

Sea . la can,dad de dinero /ue el %endedor o$,ene or la %enta de aragua' a di'tri$uci(n de . e': .

300

60

P."

03

07

'i# i"  E ( X )=300 ( 0.3 )+ (−60 ) ( 0.7 )= 48 ii"  E ( X 2 ) =( 3002 ) ( 0.3 ) + (−602 ) ( 0.7 ) =29520 luego#

Var ( X )= E ( X  )−( E ( X  ) ) = 29520− 48= 27216 2

2

Por lo tanto#

σ =√ Var ( X )=√ 27216=164,973 ,.- Los siguientes son los untajes de un gruo de adolescentes en un test de gude'a isual: /0$ 1/$ 10$ /3$ /,$ 3$ 13$ 31$ 1$ 1%. 2 Calcule la varian'a * el desvo estándar

SC Calculamo' la 'uma de cuadrado' SC": SC ;

SC ; 2521#7"2 < 1221#7"2 < 1521#5"2 < 2321#7"2< 2421#7"2 < 3921#7"2 < 1321#7"2< 3121#7"2 < 1921#7"2 < 1621#7"2 SC ; 658#1 uego la %arian&a '2" re'ulta igual a: '2 ; 73#12 !e a=> o$tenemo' el de'%>o e't)ndar '": ' ; 8#55 0.- Calcular la 4esviación 5edia de la siguiente distribución.

Primero 'e determina la columna

 x i

.Cla'e" 1  5 5  9 9  13 13  17 17  21 21  25

?  4 8 9 19 6 5

n ; 42

inter%alo'" A 1  5 5  9 9  13 13  17 17  21 21  25

xi

? 

f  ⋅ x i

3 7 11 15 19 23

4 8 9 19 6 5

12 56 99 115 114 115

1  5 5  9 9  13 13  17 17  21 21  25

 x

=

∑ f  ⋅  x

i

n

⇒

 x

546 42

⇒ x =13

=ora determinamo' la' columna' /ue ?altan ara el c)lculo de n ; 42

A

Se calcula la media

marca de cla'e# el romedio de lo'

∑ f  ⋅ x =  546

xi

? 

f  ⋅ x i

3 7 11 15 19 23

4 8 9 19 6 5

12 56 99 115 114 115

n ; 42

∑ f  ⋅ x =  546

la !@

x i −  x 10 6 2 2 6 10

| x i − x| 10 6 2 2 6 10

f  ⋅| x i − x | 40 48 18 20 36 50

∑ f ⋅| x  − x| = 212

Binalmente alicamo' la ?(rmula

f ⋅| xi  − x| ∑  D . M .  = n

⇒ D . M  . =

212 42

=   5,04

%.- Se 6i'o una encuesta a un gruo de ,0 estudiantes$ sobre las 6oras 7ue le dedican or dia al uso de las redes sociales. Los resultados 8ueron los siguientes:

5 2 3 1 4

2 2 5 0 5

1 3 4 2 1

8 5 3 6 2

4 4 4 8 0

6 7 2 1 8

3 6 5 7 3

1 2 3 4 2

2 1 4 3 4

Se ide 6allar: a2 La (edia b2 9l rango o recorrido c2 La desviación absoluta (edia 452 d2 La varian'a e2 La desviación estándar

Sol n e'te ca'o 'e u'ara la ta$la de ?recuencia'# /ue 'er) de la 'iguiente ?orma:

 X i

F i

X i∗ F i

0 1 2 3 4 5 6 7

2 6 9 7 8 5 3 2

0 6 18 21 32 25 18 14

X  prom 3#51 3#51 3#51 3#51 3#51 3#51 3#51 3#51

| X i − X ´ | 3#51 2#51 1#51 0#51 0#49 1#49 2#49 3#49

 F i∗¿

| X i − X ´ |

 ´ )2 ( X i− X 

7#02 15#06 13#59 3#57 3#92 7#45 7#47 6#98

12#3201 6#3001 2#2801 0#2601 0#2401 2#2201 6#2001 12#1801

 ´ )2∗ F i ( X i− X  24#6402 37#8006 20#5209 1#8207 1#9208 11#1005 18#6003 24#3602

8

∑¿

3

24

3#51

45

158

4#49

13#47 7853

20#1601

60#4803 201#2445

a" a media 'e calcula con:

´=  X 

∑  X ∗ F  = 158 =3.51 ∑ F  45 i

i

i

$" l rango 'e calcula con la 'iguiente ?(rmula:

 R= D ¿ − Dinf = 8−0 =8 c" a de'%iaci(n a$'oluta media 'e calcula con:

| X  − X ´ |∗ F  78.53 ∑  DAM = = =1.7451 i

i

n

45

d" a %arian&a 'e calcula con:

∑ ( X  − X ´ ) ∗ F  = 201.2445 = 4.5737 s= 2

i

2

i

n−1

44

e" a de'%iaci(n e't)ndar 'er):

σ =√ s =√ 4.5737 =2.1386 2

7.- Una de las Compañías petroleras que opera en el m!"#"m$%&  de gas natural de Bolivia, en los últimos 10 años ha realizado una serie de prueas de presi!n en "ondo al pozo #$%-1&. 'urante este periodo la empresa en(argada le realizo un total de )* prueas de presi!n, (u+os datos registrados en si son los siguientes 00, 10, /0, 0, 1100, 1&00, 1*00, 1*&0, 1*0, 1700, 17&0, 100, /000, /0&0, /)00, /)&0, /00, /&00, /*00 /*&0, /700, /700, /00, //0, )000, )00&, )00&, )0/0 )110, )/00, ))00, ))&0, ))0, )00, )&00, )*00.

Cal(ular los par2metros de tenden(ia (entral + de dispersi!n para analizar el (omportamiento de la presi!n en el "ondo del pozo + (on ello tener un estimativo de la (aída de presi!n en el +a(imiento. Solución:  x i=¿ Observació n individual de las presiónes del pózó n=¿ Nu meró tótal de datós

Número de clases de intervalos: M =1 + 3,3log ( n )=1 + 3,3 log ( 36 )=6,14 6 ≅





Rango:

 X max − X min= 3600 −900 =2700 [ Psi ]

 R=¿

 Amplitud de clase:

 A =

R 2700 [ Psi ] = = 450 [ Psi ] 6  M 

Tabla de frecuencias:

Clase

¿ 900 −1350 ¿ ¿ ¿ 1350−1800 ¿ ¿ ¿ 1801−2250 ¿ ¿ ¿ 2250−2700 ¿ ¿ ¿ 2700−3150 ¿ ¿ ¿ 3151−3600 ¿ ¿

∑.

Marca de clase

Frecuencia  Absoluta

xi

f i

Frecuencia  Absoluta  Acumulada

Frecuenci a Relativa

f i

f i

Frecuencia Relativa  Acumulada

xi f i

f i

1125

5

5

0#139

0#139

5625

1575

6

11

0#167

0#306

9450

2025

3

14

0#083

0#389

6075

2475

6

20

0#167

0#556

14850

2925

9

29

0#250

0#806

26325

3375

7

36

0#194

1

23625

∑ x =¿

36

i

13500

1

∑ xi∗fi =¿ 85950

a! Medidas de tendencia central"

( n= numerototal dedato )

Media Aritm#tica:

´=  X 

∑ x ∗f  = 85950 =2387,5 [ Psi ]

Moda

i

i

n ( M 0 )

36

∆a

( M  )=li m + ∆ a + ∆ b ∗ A 0

o

l i m = Es el límiteinferior de laclase modal o

∆ a = Es ladiferencia entre la frecuenciaabsolutade laclase modal  de la clase !uela antecede ∆ a = Es ladiferencia entre la frecuenciaabsolutade laclase modal  laclase !ue ≤ si"ue  A = esla amplituddel inter#alode clase Remplazandó lós valóres:

3

( M 0 )=2700 + 3 +2 ∗450= 2970 [ Psi ] Mediana

( M e ) n

− F  ∗ A ( M e )=li md + 2

f  md

l i md= Es el límiteinferior de la clase de la mediana f  md= Es la frecuencia absoluta de la clase de lamediana  F = Es lafrecuencia absoluta acumulada de laclase !ue antecede a laclase mediana  A = esla amplitud del inter#alode clase n= numero total deda tos Remplazandó lós datós:

36 −14 2 ( M e )=2250 + 6 ∗450=2550 [ Psi ]

b! Medidas de dispersión" $arian%a

( σ  ) : 2

∑ ¿ f  ( x − X ´ ) σ  =

2

i

2

i

n −1

2

σ  =

5∗( 1125 −2387,5 )

2

+ 6∗( 1575−2387,5 )2 +$ $ $ $ .. + 7∗( 3375− 2387,5 )2 36 −1 σ  =622767,8571 [ Psi ]

2

2



&esviación 'st(ndar ( % ) :

( % )= √ σ 2=√ 622767,8571 [ Psi ] =789,156 [ Psi ] 2



&esviación Mediar ( DM ) :

´| ¿| x − X  ∑  DM = i

n

 DM =

5∗|1125 −2387,5|+ 6∗|1575 −2387,5|+$ $ $ $ $ . + .7∗|3375 −2387,5| 36

 DM = 681.944 [ Psi ] 

Coe)iciente de $ariación ( &V  ) : &V =

 % ∗ ´ 100  X 

&V =

789,156 [ Psi ]  ∗100 2387,5 [ Psi ]

&V =33,05

EJERCICO 1 Realizar los cálculos de la asimetría y curtosis

Xᵢ

xᵢ

xᵢ2

xᵢ3

xᵢ4

2

-2

4

-8

16

4

0

0

0

0

8

4

16

64

256

2

-2

4

-8

16

∑ 16

0

24

48

288

Media: x ' = 4

Varianza:  2x !6 x !2"45

 #simetría: #s!

∑  x 3 ᵢ

n( % ³ x

!

∑ x  4 −3 ᵢ

$urtosis: $r!

4

n ( %  x

48 4∗2,45³

!

! 0"82

288 4∗2,45 ⁴

−3 ! -1

Ejer!!": 2 %ada la distri&uci'n de (recuencias a&solutas mostrada en la ta&la $alcularlos coe(icientes de asimetría y a)untamiento de *is+er

SO#$CION: %#,: .nter/alo s ni

10 - 15

15 - 20

20 - 25

25  0

0 - 5

5 - 40

40  45

45 - 50

48

60

80

0

1

10

6



$álculos estadísticos:

I%&er'()" *

+(r( ,e )(*e x!

Fre-e%! ( (.*")-&(

%!x!

/x!  X

%!/x!  X2

%!/x!  X3

%!/x!  X4

10 - 15

125

48

600

-38

42225

-36141

158022

15 - 20

15

60

1050

-48

115106

-504166

220824

20 - 25

225

80

1800

062

05

130

1182

25  0

25

0

825

562

345

5251

23322

0 - 5

25

1

4225

1062

146620

155101

165641

5 - 40

5

10

5

1562

24384

81106

535288

40  45

425

6

255

2062

25511

526081

45 - 50

45



142

2562

136315

504430

108463064 1 123252144

20

470

45

1477850

11742334

314188

C6)-)"*:

De*'!(!% &9!(:

σ =

√

∑ n ( x − X ´ ) = 2

i

i

n

1

C"e!!e%&e ,e (*!;e&r( " = 1

C"e!!e%&e ,e (9-%&(;!e%&"

∑ n ( x − X ´ ) n i

i

3

σ 

"2=

1 n

√

14778.90 250

=7.69

117423.34

3

=

250 454.55

∑ n ( x − X ´  )

4

i

i

4

σ 

−3 =

=1.03 3561461.88 250 7.69

4

−3=1.06

ercicio:  -%e la distri&uci'n mostrada en la ta&la" calcular: los coe(icientes de asimetría y curtosis 7$.9:

Realizando las siuientes ta&las: .nter/

n

a

9

;

10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 <

5 11 13 21 4 60

11 1 15 1 13

5 16 5 56 60

  $alculando:  x´ =

7# M%.#:

∑ n . a = 916 =15,2667 i

i

 ) 

60

7# V#R.#9=#:

∑ n . a −´ x = 14252 −15,2667² = 4,4622 σ  =

8 26"66 58" 3" 100 na 55 14 285 5 6

naE 605 1853 425 6063 1444

316

14252

2

2

i

i

2

 ) 

<

60

σ =√ 4,4622 =2,1124

7# %V.#$.9 ,.;.$#:

,#>7# ;#R# 7 $#7$7 % #.M,R.# ? $R,.:

 x −´ x -4"266 -2"266 -0"2668 1" "

 #.M,R.#: @+acia la izDuierda

 n  n 3 4 . ( x −´  x ) ( x −´ x ) -88"615 1650030 -128"1013 230"644 -0"60 0"0361 103"618 183"5604 208"15 "0466

<

∑ n ( x −´ x )

3

 )  σ ³

$R,.:

-133"244 2314"065

−199,3244

i

 A s 1=

0"524A0B #lo asimCtrica

=

60 2,1124³

=−0,3524

@-0"5608A0B 7ieramente a)lanada @;7#,.$R,.$#B

∑ n ( x −´ x)

4

i

 * =

 )  4

σ 

−3 =

2914.0765 60 2.1124

4

−3=−0,5608

EJERCICIO N<4 l analista de in/estiaci'n )ara la em)resa de corretae de acciones idde *inancial" desea com)arar la dis)ersi'n de las razones @o cocientesB )recio - rendimiento en un ru)o de acciones comunes" con la dis)ersi'n de sus rendimientos so&re in/ersi'n ;ara

las razones )recio - rendimiento la media es 10"3 y la des/iaci'n estándar 1"8 l rendimiento medio so&re in/ersi'n es 25F y la des/iaci'n estándar 5"2F aB ;or Due de&e utilizarse el coe(iciente de /ariaci'n )ara com)arar la dis)ersi'n

&B $om)are la dis)ersi'n relati/a de las razones )recio - rendimiento" y el rendimiento so&re in/ersi'n xiste menor dis)ersi'n en el )recio-rendimiento cuyo /alor es 16"51F en relaci'n al rendimiento-in/ersi'n con su /alor de 20"8F

EJERCICIO   # )artir de los siuientes datos:

=:

 X i

xi

2  3 2 16

-2 -1 5 -2 0

Media:

´ =4  X 

Varianza:

% x = 8,5

2

xi 4 1 25 4 4

2

% x =2,92

-

$alcule el índice de asimetría y curtosis:

 #simetria:

3

 x i -8 -1 125 -8 108

4

 x i 16 1 625 16 658

∑  x =  As = 3

i

3

n % x

108

( 4 ) ( ( 2,923 )

=1,08

$urtosis:

∑  x &r =

4 i

n%

4  x

=

658

( 4 ) ( ( 2,924 )

−3 =−0,74

encuesta a 30 familias de una cierta población sobre la duración de las ampolletas; la información que se obtuvo fue la siguiente: 7 familias dijeron que les duraban entre 20 y 26 días  dijeron entre 27 y 33 días ! dijeron entre 3" y "0 días 2 dijeron entre " y !" días 3 dijeron entre !! y 6# días y una familia dijo entre 62 días y 6 días a$ %rdene esta información en una tabla de distribución b$&'u(nto duran +,-.//.-.*

en

promedio

las

ampolletas)**

c$ &'u(l es la duración de las ampolletas que mas mencionan las familias)1moda$

a$ -abla de distribución

I,-./4%5

/' . '45.

8/.'9.,'+  5%49-

8/.'9.,'+  /.4-+

 X i−1− X 1

X i

20-26 2!- $-$0 $&-$! $#-%$ %%-6& 62-6#

f i

2 0 ! $$ %& %# 6%

f  ri

! # % $ 2  &

0"2 0.266 0"&66 0"& 0"066 0"&0 0.0

'(0

b$romedio de días de duración

´=  X 

23∗7 + 30∗8 +37∗5 + 44∗4 + 51∗2 + 58∗3 + 65∗1 30

´ =36,76 dias  X 

+nterpretación: )* +',/,*+1' 3 4 /35 5* 4 3 )

',) 5 *)+5*5 5 )*4 *7/)),*4" ' 58 /7+,+ 3 )*4 *7/)),*4 53' 7'4 5 ! 59*4. P** 4 */,*5*4 58' 53* 74 5 ! 59*4.

c$ 4a oda l* 7*; <3'+* *84)3,* 4 # )3= )* 75*

4,* ' ) +',>*) 2!- ; )* 75* 4:  Mo =27 +

|8−7| ∗6 |8 −7|+|5 −8| 6

3

4

2

 Mo =27 + =27 + =28,5

/%4. 2 'alculo de la media aritmtica< la mediana y la moda* 5e anali=ó el + que se aplica< en diversos países europeos< a la compra de obras de arte* 4os resultados obtenidos fueron los siguientes:

+5 .spa>a +talia lgica ?olanda lemania ortugal 4u@emburg o 8inlandia

0<#6 0<20 0<06 0<06 0<07 0<#7 0<06 0<22

 SOLUCI?N:  A@* *)+*74 )*4 3*, 5+4,+83+'4 5 <3'+*4:  X i

0"06 0"0! 0"&6

ni

 & &

f i

0"!% 0"&2% 0"&2%

) i

 $ %

F i

0"!% 0"%00 0"62%

0"&! 0"20 0"22  T,*)

& & & #

0"&2% 0"&2% 0"&2% &

6 ! #

0"!%0 0"#!% &

C*)3)*74 )* 75+* *+,7,+*: a=

∑ x n = 1 =0,125 i

i

n

8

A@* *)3)*74 )* 75+*'*:  Me =

 x + −1+ x  + 2

=

0,07 + 0,16 2

=0,115

P ),+7" ) >*) 74 <3'," 4/'5+', * )* 75*" 4 ) >*):  x += 0,06

P ,*',:  M d= 0,06

/%4. 3 .n un grupo de peque>as empresas< se sabe que ninguno tiene m(s de 7 obreros o menos de ! tambin que la mayoría tiene ! obreros< pero que el 2!A tiene 6 obreros y que una de cada die= empresas tiene 7obreros* &'u(l es el promedio aritmtico de obreros por empresa)

S)': L4 /4+8)4 '74 5 84 4'

 X i=5,6,7

E) 2% ,+' 6 84 4 5+

,2= 0.25

& 5 *5* &0 7/4*4 ,+' ! 84"  4* ) &0 L3= / 5<+'++1' 4*874 3:

,3= 0.10

i =n

, =1.00 ∑ = i

i 1

,1 + ,2 + ,3 =1.00 ,1=1.00 −0.25− 0.10 ,1= 0.65

L3= )* ,*8)* 4:  X i

,i

% 6 !

0.6% 0.2% 0.&

L* 75+* 4:

X i∗ ,i

.2% &.2% 0.!

∑ ¿ 5.45

i= n

 X ∗n ∑ = i

 X =

i 1

n

i

i =n

=∑  X i∗,i =5.45 i =1

/%4. " 5uponga que Ba gastado usted< un sol por 3 docenas de naranjas en una tienda< otro sol por " docenas de naranjas en una segunda tienda y otro sol m(s por ! docenas en una tercera tienda* eterminar el precio promedio por una docena de naranjas*

S)3+1' O8,'574 /+7 ) /+ /*=*5 / 5'* 5 '**'*4. E' )* /+7* 35. @* =*4,*5 & 4) /  5'*4 5 '**'*4  4* & 5 4) / 5'*. E' )* 4=3'5* =*4,1 & 4) / $ 5'*4" 4 5+  5 4) / *5* 5'*. E' )* ,* ,+'5* =*4,1 & 4) / % 5'*4"  4* &% 5 4) / *5* 5'*. E' ,*4 /*)*8*4 374 *)3)* )* 75+*

5 )4 9/4 5 )4 '74 " $" ; %. E','4 )* 75+* *71'+* 4 ) /75+ ,. L3=:  x´ =

'( " &( &" 2( &$" ( &%" 4 5+

n n

= 1

∑ =  x i 1

i

3 1 1 /3

+

1 1/ 4

+

1

=

3 3 + 4+5

=

3 12

=0.25

1/ 5

P ,*', ) /75+ / 5'* 4 0.2% Comprobación

S 7/1 &2 5'*4 5 '**'*4 /  4)4. V*74 4+ /*=*'5 ' /75+ 0.2% / 5'*" ' 5 5'*4 4 =*4,*  4)4 0.2%  &2 (  4)4 V*74 3 3 4+ 34*74 )* 75+* *+,7,+*: 1 1 1 20 + 15 + 12 + + 3 4 5 60 47  x´ = = = =0.261 3 3 180

E' 4, *4 ) /+ /75+ / 5'* 4 0.26& 4)4 Verificación

P*=*'5 0.26&  &2 ( .&2 4)4 E4 5+ 4 8,+' 0.&2 4)4 74 5 ) 3 ' *)+5*5 4 =*4,1 / )*4 &2 5'*4. P ,*', )* 75+* *+,7,+* ' 4, *4 4 +',*.

/%4. ! 4os datos que se dan a continuación corresponden a los pesos en Cg* de ocBenta personas: 1a$ %btngase una distribución de datos en intervalos de amplitud !< siendo el primer

intervalo D!0; !!E* 1b$ 'alcFlese el porcentaje de personas de peso menor que 6! Cg*

1c$ &'u(ntas personas tienen peso mayor o igual que 70 Cg* pero menor que !)

SOLUCI?N: * C7 4 ,*,* 5 <,3* 3'* 5+4,+83+1' 5 5*,4 *=3/*54" 5874 8,' /+7 )4 +',>*)4 4/'5+',4" 4+,3*'5 )4 5*,4 ' 434 )3=*4 4/,+>4:

8 O84>*'5 )* )37'* 5 <3'+*4 *373)*5*4 4 553 3 +4,' N ( 26 +'5+>+534 3; /4 4 7' 3 6% K=." 3 ' ,7+'4 5 /',* 4/'5' *:

 E) '7 5 +'5+>+534 ' /4 7/'5+5 ', !0 ; #% K=. 4: '%  '6  '! ( &$  !   ( 2$ ) 3 4 3+>*)', *: N!  N$ ( #0  %6 ( 2$

/%4. 6 4os datos que se muestran en los siguientes diagramas presentan el nFmero de días para la muerte de ratones e@puestos a radiación: #* /-%,.5 ., +.,-. 4+/. -44 ?%G % # !
66<0 "3
3 "

eterminar la media muestral y la mediana muestral de cada conjunto de datos*

SOLUCION: n

 x ∑ =

i

 x´ =

i 1

n

P** &.  x´ =

9978.03 29

 x´ =344.07 dias

P** 2.  x´ =

5554.08 19

 x´ =292.32 dias

PARA LA MEDIANA P** &. n +1 2

=

29 + 1 2

=15

~=259 dias  x

P** 2. n +1 2

=

19 + 1 2

~=265 dias  x

=10

/%4. 7 .l valor promedio del di(metro de cierto eje es 22<" mm< y los datos e@perimentales para su c(lculo son: n        1mm 22<" 22
  "0
&'u(l ser( el valor de  )

S)3+1': P+7 84>*'5 3 @*; 54 5*,4 <3* 5 ) 7' ; 54@'5)4 4 ,'59*: D' 7 7

D D D D D D 22"$ 22"% 22" 22"2 22"  ₁

₂

₃

₅

₆

₇

D 22"6 ₉

D*,4: '(! ( D

₇

 ( 22"$77 (

∑ Dn ( n

22,4 + 22,5 + 22,3 + 22,2 + 22,3 + X + 22,6 7

 ( 22"$

D4/*'5: (22"% 77 77

RESPUESTA:

(22"%

9;9
o' 'iguiente' 'on lo' untaDe' de un gruo de adole'cente' en un te't de gude&a -i'ual: 25# 12# 15# 23# 24# 39# 13# 31# 19# 16 Calcule la media# la mediana# el rimer cuar,l# el rimer intercuar,l * la' ?recuencia' de lo' intercuar,le'


n lo' ro$lema' como e'te en /ue lo' dato' 'on oco' en e'te ca'o 'on die&" el c)lculo uede =acer'e EmanualmenteF u'ando una calculadora" 'ando calculadora o Acel Para calcular la media

 x´ =

( x´ )

 'e u'a la eAre'i(n:  x =

∑  x n

25 + 12+ 15 + 23 + 24 + 39 + 13 + 31 + 19 + 16 10

=

217 10

=21.7

´ =21.7 ntonce':  x Para calcular la mediana @dn" 'e de$en ordenar lo' untaDe' de ?orma a'cendente: 12# 13# 15# 16# 19# 23# 24# 25# 31# 39

 Mdn =

19 + 23 = 21 Pue' 19 * 23 ocuan la' o'icione' centrale'  'ea: @dn; 21 2

Con'id+ren'e nue%amente lo' dato' ordenado': 12# 13# 15# 16# 19# 23# 24# 25# 31# 39 n e'te ca'o de oco' dato' or 'imle o$'er%aci(n 'e o$,ene el rimer cuar,l / 1 ; 15 * el rimer intercuar,l e' Q 1 ; G12#13H a' ?recuencia' de lo' intercuar,le' e' igual a 2 en lo' cuatro ca'o'

Dercicio 2 $tenga lo' cuar,le' * el ercen,l 93 ara lo' dato' de la altura de nanoilare' a' altura' ordenada' de lo' nanoilare' 'on: 221 234 245 253 265 266 271 272 274 276 276 276 278 284 289 290 290 292 292 296 297 298 300 303 304 305 305 308 308 309 310 311 312 314 315 315 323 330 333 336 337 338 343 346 355 364 366 373 390 391

!e acuerdo con la regla de c)lculo#

1

np = ∗50 =12,5  /ue 'e redondea a 13 el rimer cuar,l e' la 13I 4

o$'er%aci(n ordenada

-1=278  Como

 p=

1 2

 ara el 'egundo cuar,l# o mediana 1

np = ∗50 =25 2

Que e' un entero Por lo tanto# 'e romedian lo' %alore' ordenado' 25 * 26

- 2=

304 + 305 2

=304,5

l tercer cuar,l e' la o$'er%aci(n 38# =acia a$aDo =a'ta la o'ici(n 13

- 3=330  Tam$i+n 'e odr>a comen&ar en el ma*or %alor * contar

Para o$tener el ercen,l 93# 'e determina /ue o'ici(n 47# 'e o$,ene

 P0,93=366

np =50∗0,93= 46,5  /ue 'e redondea a 47 l contar a la

Dercicio 3 EJE!"!"#.-$eterminar el primer cuar%l, el sép%mo decil & el '( percen%l, de la si)uiente tabla:

SL
49

Solución.

Como 'on dato' agruado'# 'e u,li&a la ?(rmula:

 P − f a− 1 -=l i + ∗  c f 1 Siendo# la o'ici(n del rimer cuar,l

 P=

n 4

a o'ici(n del 7 decil:

 P=

7n 4

a o'ici(n del ercen,l 30:

 P=

30 n 4

9ntonces$ el ri(er cuar)l: 463 4

=115.5

 /i =300, c =100, fi= 90 -1=300 +

115.5−85 90

∗100 =334

No. 812

49

95=L94OS

85 90 120 70 62 36

>a

85 175 295 365 427 463

9l ? decil: 7∗ 463 10

=

3241 10

=324.1

Po'ici(n:

 /i =500, fi= 70

 D7=500 +

324.1 −295 70

∗100=541.57

9l =ercen)l 3#:

30∗463 13890 = =138.9 100 100 Po'ici(n:

 /i =300, fi =90

 P30=300 +

138.9 −85 90

∗100=359.88

'to' re'ultado' no' indican /ue el 25J de lo' emleado' ganan 'alario' or de$aDo de K334L /ue $aDo 54157 gana 57J de lo' emleado' * 'o$re K35988# gana el 70J de lo' emleado' 9jercicio , Obtenga el rango * el rango intercuar)lico ara las alturas de los da*tos de nanoilares si se )ene un rango in 8erior * suerior 7 son //1 * 31 resec)va(ente * 1AB /?@ * /A B 33#

Soluci(n ango; m)Aimo M m>nimo ; 391221 ; 170nm ango intercuar,lico ; 2Q M 1Q ;  330278 ; 52nm

9;9
o' 'ic(logo' /ue tra$aDan en un Centro de !>a ara adulto' de la tercera edad de la Ciudad de Nueno' ire'# o$'er%aron el e'tado ci%il de un gruo de 120 %arone' /ue 'e tratan or ro$lema' dere'i%o' Su' regi'tro' 'e re'entan en la 'iguiente ta$la: 9stado civil

>recuencia

Soltero Ca'ado -iudo !i%orciado total

24 18 42 36 120

OQu+ 'tado Ci%il 'e le a'ignar>a a ntonio  'i 'olo 'a$e /ue 'e trata or ro$lema' dere'i%o' * concurre a dic=o Centro de !>a Ru',f/ue 'u re'ue'ta
a moda de la di'tri$uci(n de la %aria$le 'tado Ci%il de lo' adulto' mencionado' e' la categor>a -!# ue' a ella le corre'onde la ma*or ?recuencia 'ta categor>a e' la m)' ro$a$le ara una o$'er%aci(n reali&ada al a&ar Por tanto# en la' condicione' dada'# a ntonio  'e le a'ignar>a el e'tado ci%il -! (te'e /ue la categor>a !-C! tam$i+n concentra una alta roorci(n de la' ?recuencia' 9jercicio % Constru*a un diagra(a de caja (odicado ara los datos de )e(o entre neutrinos #$#/1

#$1#?

#$1#

#$1%

#$/@3

#$0@#

#$@0,

1$1@

/$##

?$3#

Solución

Pue'to /ue

n 4

=

11 4

=2,75

l rimer cuar,l e' el tercer ,emo ordenando 0#179 * Q 3 ; 1#18 de modo /ue el rango intercuar,lico e' 1#18 M 0#0179; 1#001

@)' aun# 15A1001;1502# * la menor o$'er%aci(n e't) m)' cerca /ue e'te a Q 1;0#179 ero @)Aimo M Q 3 ;730 M 118 ; 612 Suera 1502; 15 . ango intercuar,lico" Como 'e indica en la fgura la l>nea a la derec=a 'e eA,ende =a'ta 200# la o$'er%aci(n m)' eAtrema de 1502 unidade'# ero no =a'ta la o$'er%aci(n m)' grande /ue arece /ue arece ai'lada de la l>nea

o' diagrama' de caDa 'on mu* ,le' ara comaracione' /ue 'e mue'tren gr)fcamente entre conDunto' de o$'er%acione' 'on ?)cile' de entender * ,enen un alto imacto %i'ual

9jercicio ?

n 20 rue$a' de e%aoraci(n# de la 'u'tancia @008# 'e regi'tran la' 'iguiente' %ariacione' de temeratura' a re'i(n atmo'?+rica: 41I# 50I# 29I# 33I# 40I# 42I# 53I# 35I# 28I# 39I# 37I# 43I# 34I# 31I# 44I# 57I# 32I# 45I# 46I# 48I Calcular cuar,l 1#2#3#4 !alculando el valor del cuar%l *:

=aso 1: rdenar lo' dato' de menor a ma*or

28I# 29I# 31I# 32I# 33I# 34I# 35I# 37I# 39I# 40I# 41I# 42I# 43I# 44I# 45I# 46I# 48I# 50I# 53I# 57I =aso /: $icar la o'ici(n del %alor /ue le corre'onde al Q 1:

( ) = ∗( )=

- 1 =1∗

-1 1

 )  4

20 4

5

l re%i'ar la 'erie de dato' la o'ici(n 5 le corre'onde a 33I Pa'o 3: l %alor ara el A1 es 33D o' dice: /ue lo' %alore' entre 28I * 33I rere'entan el 25 J de la 'erie de dato'

!alculando el valor del cuar%l 2:

=aso 1: rdenar lo' dato' de menor a ma*or

28I# 29I# 31I# 32I# 33I# 34I# 35I# 37I# 39I# 40I# 41I# 42I# 43I# 44I# 45I# 46I# 48I# 50I# 53I# 57I =aso /: $icar la o'ici(n del %alor /ue le corre'onde al Q 2:

( ) = ( )=

-2 =2

-2 2

 )  4

20 4

10

!alculando el valor del cuar%l ':

=aso 1: rdenar lo' dato' de menor a ma*or.

28I# 29I# 31I# 32I# 33I# 34I# 35I# 37I# 39I# 40I# 41I# 42I# 43I# 44I# 45I# 46I# 48I# 50I# 53I# 57I =aso /: $icar la o'ici(n del %alor /ue le corre'onde al Q 3:

( ) = ( )=

- 3 =3

-3 3

 )  4

20 4

15

l re%i'ar la 'erie de dato' la o'ici(n 15 le corre'onde a 45I

=aso 3: l %alor ara el A 3 es ,0D Nos dice: /ue lo' %alore' entre 28I * 45 rere'entan el 75 J de la 'erie de dato' !alculando el valor del cuar%l +:

=aso 1: rdenar lo' dato' de menor a ma*or.

28I# 29I# 31I# 32I# 33I# 34I# 35I# 37I# 39I# 40I# 41I# 42I# 43I# 44I# 45I# 46I# 48I# 50I# 53I# 57I =aso /: $icar la o'ici(n del %alor /ue le corre'onde al Q 4:

( ) = ( )=

- 4 =4

-4 4

 )  4

20 4

20

=aso 3: l %alor ara el A , es 0?D