MEDIDAS DE DISPERSIÓN
1. Calcule la la varianza varianza y desviació desviación n estándar estándar de las las observacion observaciones es que se muestran a continuación: 63 45 39 55 69 21 5 25 33 25 !olución: x´ =
"edia
63 + 45 + 39 + 55 + 69 + 21 + 50 + 25 + 33 + 25 10
x´ =42.5
#arianza
( 63− 42.5 )2 + ( 45 −42.5 )2 + ( 39 −42.5 )2 +( 55 −42.5 )2 + ( 69 −42.5 )2 + ¿
10
2
σ =¿
( 21 −42.5 )2 +( 50 −42.5 )2 + ( 25 −42.5 )2 + ( 33 −42.5 )2 + ( 25− 42.5 )2 10 2
σ = 251,85
$esviación %stándar σ =15,87
2. Calcular Calcular todas las las medidas medidas de dis&ersión dis&ersión de de la si'uiente si'uiente distribuc distribución ión )i ( i de (recuencias.
!olución:
5 3
1 *
15 5
2 3
25 2
"edia x´ =
(5∗3 ) + ( 10∗7 ) +( 15∗5 ) + ( 20∗3 ) +(25∗2 ) 3 +7 +5 +3 + 2
x´ =13,5
$esviación "edia D x
(|5−13,5|∗3 ) + (|10−13,5|∗7 )+ (|15− 13,5|∗5 )+ (|20 −13,5|∗3 ) +(|25 −13,5|∗2 ) 20
D x =
100 20
→ D x =5
#arianza 2
σ
( ( 5−13,5 ) ∗3 ) + ( (10 −13,5 ) ∗7 ) + (( 15 −13,5 ) ∗5 ) + ( ( 20 −13,5 ) ∗3 ) + ( ( 25−13,5 ) ∗2 ) 2
2
2
20 2
σ =
705 20
2
→ σ =35,25
$esviación %stándar
2
2
σ =√ 35.25 → σ = 5,937
3. Calcular todas las medidas de dis&ersión &ara los datos de la si'uiente distribución. )i ( i
+1 9
1+2 14
2+3 15
3+4 12
!olución:
"edia x´ =
(50∗90 )+ (150∗140 ) + ( 250∗150 ) +(350∗120 ) 500
x´ =210
$esviación "edia D x
(|50−210|∗90 ) + (|150 −210|∗140 ) +(|250 −210|∗150 ) + (|350 −210|∗120 ) 500
D x =
45600 500
→ D x =91,20
#arianza 2
σ
$esviación %stándar
4. ,na em&resa de (abricación de &roductos cerámicos dis&one de tres centros de &roducción. %n el centro - el más 'rande y moderno se /ace un estudio de los metros cuadrados de azule0o &roducidos un mes durante el ao &asado obtenindose una media de &roducción mensual - 25. m2 con una desviación t&ica !-15.m2. !e sabe que el centro &or tener maquinaria más anticuada que &roduce cada mes un tercio de la &roducción de - y que el centro C &or tener un /orno menos que &roduce cada mes 25. m2 menos que 7Cuál es la media y la varianza de la &roducción mensual de C8 !olución: x´ A=250 ∧ x´B=
x´C =
1
x´C =
175
3
1 3
( x´ A ) ∧ x´C =( x´B −25 )
( x´ A ) −25
3
=58.33
5. !umando 5 a cada nmero de con0unto 3621*5 obtenemos 11*6121. ;robar que ambos con0untos de nmeros tienen la misma desviación t&ica &ero di(erentes medias 7cómo están relacionadas las medias8 !olución: ;rimero calculamos las medidas de dis&ersión de los nmeros inicialmente sin sumarle 5 a cada uno as: "edia x´ =
3 + 6 +2 + 1 + 7 + 5 6
→ x´ = 4
#arianza 2
σ =
( 3 −4 )2+ ( 6− 4 )2 + ( 2− 4 )2+ ( 1 −4 )2+ (7 − 4 )2 + ( 5 −4 )2 6
$esviación <&ica σ =
√
14 3
→ σ =2.16
2
→σ =
14 3
=4.67
-/ora calculamos las medidas de dis&ersión sumando 5 a cada uno de los nmeros: "edia x´ =
8 + 11+ 7 + 6 + 12 + 10 6
x´ = 9
#arianza 2
σ =
( 8 −9 )2 + ( 11−9 )2 + ( 7 −9 )2 + ( 6 −9 )2 + ( 12−9 )2 + ( 10 −9 )2 6 2
σ =
14 3
=4.67
$esviación <&ica σ =
√
14 3
→ σ =2.16
6. "ulti&licando cada nmero 36 21* y 5 &or 2 y sumando entonces 5 obtenemos el con0unto 111*9*19 15. 7Cuál es la relación entre la desviación t&ica de ambos con0untos8 7y entre las medias8 !olución: ;rimero calculamos las medidas de dis&ersión de los nmeros inicialmente. "edia x´ =
3 + 6 +2 + 1 +7 + 5 6
→ x´ = 4
#arianza 2
σ =
( 3 −4 )2+ ( 6− 4 )2 + ( 2− 4 )2+ ( 1 −4 )2+ (7 − 4 )2 + ( 5 −4 )2 6
$esviación <&ica σ =
√
14 3
→ σ =2.16
2
→σ =
14 3
=4.67
-/ora calculamos las medidas de dis&ersión de los nmeros que /an sido multi&licado 2 y sumado 5 a la vez. "edia x´ =
11+ 17 + 9 + 7 + 19 + 15 6
→ x´ =13
#arianza 2
σ =
( 11−13 )2 + ( 17−13 )2+( 9−13 )2 + ( 7 −13 )2 +( 19−13 )2 + ( 15 −13 )2 6 2
σ =
56 3
=18.67
$esviación <&ica σ =
√
56 3
→ σ =4.32
=as desviaciones t&icas están en la relación de 1:2 >,na es el doble de la otra? =as medias están relacionadas de la misma manera que el con0unto de nmeros con los nuevos nmeros obtenidos al multi&licar &or 2 y aadirle 5 =a se'unda media obtenida es 13 esto es >4@2? A513 ;or tanto cuando se tiene un con0unto de nmeros y se le multi&lica &or una cantidad cualquiera y al mismo tiem&o se le suma una cierta cantidad a cada uno. =a media queda multi&licada y sumada &or dic/as cantidades. *.
S x x´
-l des&e0ar =- "%$B- x´ tenemos: x´ =
S x CV
eem&lazando valores el valor de la media será: x´ =
3 0.5
→ x´ = 6
. %l coeDciente de variación de la variable sabemos que es 1 7Eu &odemos decir sobre su media y varianza8 !olución: -l tener un coeDciente de variación i'ual a la unidad se &uede decir que la media y la desviación t&ica son idnticas y que la varianza como es el cuadrado de la desviación t&ica sera el cuadrado de la media. CV =
S x x´
=1
S x = x´ → S x = x´ 2
2
9.
2
S x = 4 ∧ S y =9 x´ X = x´ Y =´ x
=os CoeDcientes de variación de e F es 2
3
CV X = CV Y = x´ x´
Como los &romedios son i'uales se tiene que: 2
CV X CV Y CV X
=
3
CV Y 3
= →CV Y > CV X 2
1.!ea una variable con media y desviación t&ica . 7Eu se &uede aDrmar sobre el com&ortamiento de esta variable8 !olución: %s una constante no es una variable no se &resenta una variabilidad 11.=a distribución de edades del Censo %lectoral de residentes del ao 21 &ara los distritos de "orales y
"orales 3.54 21.56 31.63 2.14 15.12
a? Calcula la edad mediana &ara las dos comunidades. Com&áralas. 7Eu indican estos resultados8 b? 7Eu comunidad tiene mayor variabilidad en la distribución de su edad8 !olución: a? Grdenamos los datos en orden creciente as: "G-=%!
<--;G
3.54
4.35
15.12
.4
21.56
21.97
2.14
29.99
31.63
35.21
=a mediana sera el valor que ocu&a el lu'ar central en el arre'lo realizado &or tanto: =a mediana de "orales es 2156 y la mediana de
b? ealizamos el cálculo de cada una de las mediadas de dis&ersión: "edidas de dis&ersión de "orales "edia x´ =
∑ x f =→ x´ = 4740,82 → x´ =47,41 i
i
n
99,99
$esviación "edia D x =
∑|( x f ) −´ x|∗f → D = 112447,53 → D =1124,59 i
i
i
x
n
x
99,99
#arianza
( x i−´ x ) ∗f i 2
2
σ =
n
2
→ σ =
147870588,16 99,99
2
→ σ =1478853,77
$esviación <&ica σ =
√
2
( x i−´ x ) ∗f i n
→ σ =
√
147870588,16 99,99
→ σ =1216,08
"edidas de dis&ersión de
∑ x f =→ x´ = 4198,41 → x´ =41,99 i
i
n
100
$esviación "edia D x =
∑|( x f ) −´ x|∗f → D = 102011,74 → D =1020,12 i
i
i
x
n
x
100
#arianza 2
2
σ =
( x i−´ x ) ∗f i n
2
→ σ =
118738122,69 100
2
→σ =1187381,23
$esviación <&ica σ =
√
2
( x i−´ x ) ∗f i n
→ σ =
√
118738122,69 100
→ σ =1089,67
12.-l lanzar 2 veces un dado se obtuvo la si'uiente distribución de (recuencias. i 1 2 3 4 5 6 Hi a 32 35 33 b 35 Iallar la varianza de la distribución sabiendo que la media aritmtica es 36. !olución: ;rimero determinamos los valores de JaK y JbK con la in(ormación de la distribución de (recuencias: )i 1 2 3 4 5 6
( i )i@( i a a 32 64 35 15 33 132 b 5b 35 21 135AaA 511AaA b 5b $el &roblema la (recuencia acumulada es 2 entonces: 135 + a + b=200 → a= 65−b … . ( i )
=a media aritmtica es 36: 511+ a + 5 b 200
=3,6 → a =209−5 b … . ( ii )
B'ualando >i? y >ii?:
65− b=209 −5 b → 4 b =144 → b=36
=ue'o a =29
#arianza
∑ ( x − x´ ) ∗f σ = 2
i
2
i
n
2
σ =
568 200
2
→ σ =2,84
13.=as alturas de los 0u'adores de un equi&o de baloncesto vienen dadas &or la tabla: -ltura LM de 0u'adore s
1*1*5 1
a? b? c? variación d? Bnter&rete !olución:
1*51 3
115 4
1519
19195 5
1952 2
Calcula la varianza. =a desviación estándar. CoeDciente de los datos
"edia x´ =
∑ x f → x´ = 42,925 → x´ =1,866 i
i
n
23
#arianza 2
σ =
∑
[
( x
∗f i )
2
i
n
]
− x´ 2 → σ 2=
80,205 23
−1,8662 → σ 2=0,0052
$esviación t&ica σ =
√ [ ∑
( x
2
i
∗f i )
n
]
−´ x 2 → σ =
√
80,205 23
−1,8662 → σ =0,072
CoeDciente de variación 0,072 σ CV = → CV = →CV = 0,0386 1,866 x´
14.=a distribución de (recuencias que se &resenta a continuación muestra el tiem&o que se necesita &ara envolver 13 &aquetes que (ueron enviados &or correo en !an "i'uel. Calcule el ran'o la varianza y la desviación estándar de la si'uiente distribución de (recuencias de los datos
LM de &aquetes envueltos 6 12 3 42 2 12 13
!olución:
"edia x´ =
∑ x f → x´ = 285,500 → x´ =2,173 i
i
n
130
#arianza 2
σ =
∑
[
( x
∗f i )
2
i
n
]
− x´ 2 → σ 2=
665,125 130
−2,1732 → σ 2=0,394
$esviación t&ica
σ =
√ [ ∑
( x
2
i
∗f i )
n
]
−´ x 2 → σ =
√
665,125 130
−2,1732 →σ =0,628
15.=a tabla a continuación indica los salarios básicos &or /ora >en unidades monetarias? en abril del 215 &ara ciertas cate'oras ocu&acionales de obreros sindicalizados en cierto sector de la construcción. $etermine cuál es la ocu&ación en el que e)iste la mayor variación de los salarios básicos y cuál es la que muestra menor variación. !alarios básicos &or /ora se'n ti&o de traba0ador y lu'ares encuestados. GC,;-CBNL -lbailes Car&interos %lectricistas ;intores %nyesadores ;lomeros -yudantes
629 59 *5 *1* 592 42
*3*5 *2 *6 6*35 *45 445 4*
C 5*5 53* 6* 4*5 594 625 31
!olución: Calculamos las medidas de dis&ersión &or cada ocu&ación: -=-OB=%! x´ =
6290 + 7375 + 5750 + 7500 4
2
σ =
→ x´ = 6728,75
( 6290 −6728,75 )2+ ( 7375−6728,75 )2 + ( 5750− 6728,75 )2+ (7500 −6728,75 )2 4
2
σ =540729,69 σ =735,34
CV =
735,34 6728,75
→CV = 0,109
C-;BL<%G! x´ =
2
5900+ 7020 + 5370 + 6660
σ =
4
→ x´ = 6237,50
( 5900 −6237,50 )2+ (7020 −6237,50 )2 + ( 5370− 6237,50 )2+ ( 6660 −6237,50 )2
2
σ = 414318,75 σ =643,68
4
$ *5 666 *335 611 625 * 4*
CV =
643,68 6237,50
→CV = 0,103
%=%C<BCB!<-! x´ =
7500+ 7600 + 6700 + 7335 4
2
σ =
→ x´ = 7283,75
( 7500 −7283,75 )2+ (7600 −7283,75 )2 + ( 6700−7283,75 )2 + ( 7335 −7283,75 )2 4
2
σ =122542,19 σ =350,06
CV =
350,06 7283,75
→CV = 0,048
;BL
7170+ 6735 + 4750 + 6110 4
2
σ =
→ x´ = 6191,25
( 7170 −6191,25 )2+ ( 6735−6191,25 )2 + ( 4750−6191,25 )2 + ( 6110 −6191,25 )2 4
2
σ = 834354,69 σ =913,43 CV =
913,43 6191,25
→CV = 0.148
%LF%!-$G%! x´ =
2
5920+ 7045 + 5940 + 6825
σ =
4
→ x´ = 6432,50
( 5920 −6432,50 )2+ (7045 −6432,50 )2 + ( 5940− 6432,50 )2+ ( 6825 −6432,50 )2
2
σ = 358794,75 σ =598,99
4
CV =
598,99 6432,50
→CV = 0.093
;=G"%G! x´ =
8000 + 4450 + 6250 + 7080 4
2
σ =
→ x´ =6445
( 8000 −6445 )2 + ( 4450 −6445 )2 + ( 6250−6445 )2+ ( 7080 −6445 )2 4
2
σ =1709825 σ =1307,60
CV =
1307,60 6445
→CV = 0.203
-F,$-L<%! x´ =
2
4020 + 4780 + 3180 + 4700
σ =
4
→ x´ = 4170
( 4020− 4170 )2+ ( 4780− 4170 )2 + ( 3180− 4170 )2+ ( 4700 −4170 )2 4
2
σ = 413900 σ =643,35 CV =
643,35 4170
→CV = 0.154
=os salarios de los &lomeros &resentan mayor variabilidad >C#23 PQ23R? y los salarios de los electricistas es que tiene menor variabilidad>C#4PQ4R? 16.%n seis sábados consecutivos un o&erador de ta)is recibió 9 * 11 113 y * llamadas a su sitio &ara su servicio. Calcule: a? -m&litud. b? "edia c? $esviación media d? #arianza e? CoeDciente de variación !olución:
#alor má)imo:13 #alor mnimo:* -m&litud: -13+*6 "edia x´ =
9 + 7 + 11+ 10+ 13 + 7 6
→ x´ =9,5
$esviación "edia D x =
|9−9,5|+|7 −9,5|+|11−9,5|+|10− 9,5|+|13 −9,5|+|7− 9,5| 6
D x =1,83
#arianza 2
σ =
( 9− 9,5)2 +( 7− 9,5)2 +( 11− 9,5)2 +( 10− 9,5)2 +( 13−9,5 )2 +(7 −9,5 )2 6 2
σ = 4,58
$esviación %stándar σ =√ 4,58 →σ =2,14
CoeDciente de variación CV =
2,14 9,5
→ CV =0,225 … … ..22,5
1*.=os resultados al lanzar unos dados 2 veces binen dados &or la si'uiente tabla: i 1 2 3 4 5 6 Hi 32 35 33 b 35 $eterminar a y b sabiendo que la &untuación media es 3.6. F calcular la desviación estándar. !olución: ;rimero determinamos los valores de JaK y JbK con la in(ormación de la distribución de (recuencias: )i 1 2 3
( i a 32 35
)i@( i a 64 15
4 5 6
33 132 b 5b 35 21 135AaA 511AaA b 5b $el &roblema la (recuencia acumulada es 2 entonces: 135 + a + b=200 → a= 65−b … . ( i )
=a media aritmtica es 36: 511+ a + 5 b 200
=3,6 → a =209−5 b … . ( ii )
B'ualando >i? y >ii?:
65− b=209 −5 b → 4 b =144 → b=36
=ue'o a =29
#arianza
∑ ( x − x´ ) ∗f σ = 2
i
2
i
n
2
σ =
568 200
2
→ σ =2,84
$esviación %stándar σ =√ 2,84 →σ =1,69
1.$e esta distribución de (recuencias absolutas acumuladas calcular: %dad
Hi
>2? 24
4 11
46
24
6
34
1
4
a? "edia aritmtica y desviación t&ica. b? 7%ntre que valores se encuentra las diez edades centrales8 c? e&resentar el &ol'ono de (recuencia absoluta acumulada. !olución: - continuación el 'ráDco de distribución de (recuencias "edia y desviación t&ica x´ =
σ =
√
214 40
1368 40
→ x´ = 5,35
−5,352 →σ =2,36
#alores en que se encuentra las diez edades centrales 40 10
=
100
x
→ x =25
=os 1 estudiantes re&resentan el 25R central de la distribución >o sea está en un intervalo de 25 de am&litud? %l
5R re&resenta el trmino central %l 25R central estara com&rendido entre:
[ ( 50 −12,5 ) ; ( 50 +12,5 ) ] =[ 37,5 ; 62,5 ] =ue'o debemos encontrar P37,5 y P62,5 Calculamos el 3*5R y 625R de 4 37,5 100
∗40 =15
62,5 100
∗40 =25
=ue'o los &ercentiles P37,5 y P62,5
(
2∗15−11
(
2∗25 −24
P37.5= 4 +
P62.5=6 +
13
10
)=
4,62
)=
6,20
;or lo tanto los valores entre los que se encuentra las 1 edades centrales es S462 T 62U ;ol'ono de (recuencias
;G=VWGLG $% H%C,%LCB-! 45 4 35 3 25 Hrecuencia absoluta acumulada 2 15 1 5
1 2 3 4 5 6 * 9 1
"arca de clase
19.,na &ersona - mide 1.*5 m y reside en una ciudad donde la estatura media es 1.6 m y la desviación t&ica es de 2 cm. Gtra &ersona mide 1. m y vive en una ciudad donde la estatura media es de 1.* m y la desviación t&ica es de 15 cm. 7Cuál de las dos será más alto res&ecto a sus conciudadanos8 !olución: xi− x´ = z %m&leamos la (órmula: σ
;ara -
z =
1,75−1,60 0,20
=0,75
;ara z =
1,80−1,70 0,15
=0,67
;or tanto - es más alto res&ecto a sus conciudadanos 2.,n &ro(esor /a realizado dos test a un 'ru&o de 4 alumnos obteniendo los si'uientes resultados: ;ara el &rimer test la media es 6 y la desviación t&ica es 1.5. ;ara el se'undo test la media es 4 y la desviación t&ica es .5. ,n alumno obtiene 6 en el &rimero y 5 en el se'undo. %n relación con el 'ru&o. 7%n cuál de los test obtuvo me0or &untuación8 !olución: ;rimer
6−6 1.5
=0
!e'undo
5− 4 0.5
=2
=e me0or &untuación se obtuvo en el se'undo test.
21.=a asistencia de es&ectadores a las cuatro salas de un cine un determinado da (ue de 2 3 5 y 1 &ersonas. a? Calcular la dis&ersión del nmero de asistentes. b? Calcular el coeDciente de variación. c? ! el da del es&ectador acuden 5 &ersonas más a cada sala. 7Eu e(ecto tendra sobre la dis&ersión8 !olución: Calculamos la desviación t&ica x´ =
200 + 500 + 300 + 1000 4
=500
$esviación t&ica σ =
√
2
200
+5002 + 3002 + 1002 4
CoeDciente de variación:
−5002 → σ =308,22
CV =
308,22 500
= 0,616
!i todas las salas tienen un incremento de 5 &ersonas la media aritmtica tambin se ve incrementada en 5 &ersonas. =a media sera 5A555 =a desviación t&ica no vara ya que sumamos la misma cantidad a cada dato de la serie. -l Dnal del cálculo queda lo mismo. =ue'o el coeDciente de variación: CV =
308,22 550
= 0,560
22.,n traba0o estadstico asi'nado a un 'ru&o de estudio consiste en obtener un modelo de re'resión lineal a nivel descri&tivo &ara &redecir las ventas semanales de un &roducto es&ecDco en (unción de la &ublicidad del &roducto &or la radio. ;ara esto /an reco&ilado al azar los tiem&os de duración en minutos de la &ublicidad de 1 semanas y el res&ectivo nmero de unidades vendidas del &roducto. =os datos se dan en la tabla que si'ue. !emana 1 ;ublicidad 2 #entas F 5
2 3 *3
3 3 69
a? b? c? d?
4 4 *
5 5 1
6 6 12
* 6 135
6 132
9 * 14
1 14
WraDque los datos y calcule su tendencia. Gbten'a la recta de re'resión lineal sim&le de mnimos cuadrados. Calcule el coeDciente de correlación entre e F. -&lique la re'resión &ara &redecir la venta de una semana donde se /aran 1 minutos de &ro&a'anda. 7%s conDable su &redicción8 e? !e'n la re'resión obtenida si la &ublicidad de una semana cualquiera se incrementa en 5 minutos 7Cuánto sera el incremento &romedio8 !olución: %cuaciones de la re'resión =ineal '
Y =a + bx a =´ x −b ´ y
b=
n(
∑ xy )−( ∑ x )( ∑ y ) n ( ∑ x ) −(∑ x ) 2
2
CoeDciente de correlación: r=
r=
∑ ( x −´ x ) ( y − y´ ) ( n −1 ) S x S y
∑ xy )−(∑ x )(∑ y ) √ [n (∑ x )−(∑ x ) ]∗√[ n ( ∑ y )−(∑ y ) ] n(
2
2
2
2
2 CoeDciente de determinación > r ?
!%"-L1 2 3 4 5 6 * 9 1
;G"%$B G!
2 3 3 4 5 6 6 6 * 5
F 5 *3 69 * 1 12 135 132 14 14 9*2
5
9*.2
$eterminemos b 10
¿
54500
¿(¿)− (500 )∗( 972) ¿ =¿ b b=
59 34
=1,735
a = 50−
(
59 34
∗97,2
)
@F 1 219 2* 34 5 *6 1 *92 136 112 545
2 4 9 9 16 25 36 36 36 49 64 24
y2 25 5329 4*61 *569 1 1634 1225 1*424 2194 196 113*96
a=
−10087 85
=−118,671
=ue'o la ecuación quedará as: '
Y =−118,671 + 1,735 x
CoeDciente de correlación: r=
∑ xy )−(∑ x )(∑ y ) √ [n (∑ x )−(∑ x ) ]∗√[ n ( ∑ y )−(∑ y ) ] n(
2
r=
r=
2
2
2
[( 10 )∗( 54500 ) ] −( 500 )( 972) √ [ ( ( 10 )∗( 28400 ) )−( 500 ) ]∗√ [ ( ( 10 )∗(113976 ) ) −(972 ) ] 2
59 6629184
2
= 8,9∗10−6
,na 'ráDca a&ro)imada de la ecuación de re'resión lineal
;ara 1 minutos de &ro&a'anda '
Y =−118,671 + 1,735 x x =100 '
Y =−118,671 + 1,735 ( 100 ) '
Y =54,829
,n a&ro)imado de 55 ventas
23.
=os
in'resos y los 'astos F mensuales en dólares de una muestra de 1 (amilias /a dado los si'uientes resultados. 21
F2
2
S x 5.*6
2
S y 2.56
r.96
a? $eterminar la recta de la re'resión de mnimos cuadrados de F en y &ronostique el 'asto de una (amilia si en un mes cualquiera tiene 25 X de in'reso. b? !i &ara el si'uiente mes se &redice el 'asto de una (amilia de X 25*.6 7- cuánto /aciende su in'reso al mes8