Medidas de Dispersión Ejercicios Resueltos

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

1. Calcule la la varianza varianza y desviació desviación n estándar estándar de las las observacion observaciones es que se muestran a continuación: 63 45 39 55 69 21 5 25 33 25 !olución:  x´ =

"edia

63 + 45 + 39 + 55 + 69 + 21 + 50 + 25 + 33 + 25 10

 x´ =42.5

#arianza

( 63− 42.5 )2 + ( 45 −42.5 )2 + ( 39 −42.5 )2 +( 55 −42.5 )2 + ( 69 −42.5 )2 + ¿

10

2

σ  =¿

( 21 −42.5 )2 +( 50 −42.5 )2 + ( 25 −42.5 )2 + ( 33 −42.5 )2 + ( 25− 42.5 )2 10 2

σ  = 251,85

$esviación %stándar σ =15,87

2. Calcular Calcular todas las las medidas medidas de dis&ersión dis&ersión de de la si'uiente si'uiente distribuc distribución ión )i ( i de (recuencias.

!olución:

5 3

1 *

15 5

2 3

25 2

"edia  x´ =

(5∗3 ) + ( 10∗7 ) +( 15∗5 ) + ( 20∗3 ) +(25∗2 ) 3 +7 +5 +3 + 2

 x´ =13,5

$esviación "edia  D x

(|5−13,5|∗3 ) + (|10−13,5|∗7 )+ (|15− 13,5|∗5 )+ (|20 −13,5|∗3 ) +(|25 −13,5|∗2 ) 20

 D x =

100 20

→ D x =5

#arianza 2

σ 

( ( 5−13,5 ) ∗3 ) + ( (10 −13,5 ) ∗7 ) + (( 15 −13,5 ) ∗5 ) + ( ( 20 −13,5 ) ∗3 ) + ( ( 25−13,5 ) ∗2 ) 2

2

2

20 2

σ  =

705 20

2

→ σ  =35,25

$esviación %stándar

2

2

σ =√ 35.25 → σ = 5,937

3. Calcular todas las medidas de dis&ersión &ara los datos de la si'uiente distribución. )i ( i

+1 9

1+2 14

2+3 15

3+4 12

!olución:

"edia  x´ =

(50∗90 )+ (150∗140 ) + ( 250∗150 ) +(350∗120 ) 500

 x´ =210

$esviación "edia  D x

(|50−210|∗90 ) + (|150 −210|∗140 ) +(|250 −210|∗150 ) + (|350 −210|∗120 ) 500

 D x =

 45600 500

→ D x =91,20

#arianza 2

σ 

$esviación %stándar

4. ,na em&resa de (abricación de &roductos cerámicos dis&one de tres centros de &roducción. %n el centro - el más 'rande y moderno se /ace un estudio de los metros cuadrados de azule0o &roducidos un mes durante el ao &asado obtenindose una media de &roducción mensual - 25. m2 con una desviación t&ica !-15.m2. !e sabe que el centro  &or tener maquinaria más anticuada que &roduce cada mes un tercio de la &roducción de - y que el centro C &or tener un /orno menos que  &roduce cada mes 25. m2 menos que  7Cuál es la media y la varianza de la &roducción mensual de C8 !olución:  x´ A=250 ∧ x´B=

 x´C =

1

 x´C =

175

3

1 3

( x´ A ) ∧ x´C =( x´B −25 )

( x´ A ) −25

3

=58.33

5. !umando 5 a cada nmero de con0unto 3621*5 obtenemos 11*6121. ;robar que ambos con0untos de nmeros tienen la misma desviación t&ica &ero di(erentes medias 7cómo están relacionadas las medias8 !olución: ;rimero calculamos las medidas de dis&ersión de los nmeros inicialmente sin sumarle 5 a cada uno as: "edia  x´ =

3 + 6 +2 + 1 + 7 + 5 6

→ x´ = 4

#arianza 2

σ  =

( 3 −4 )2+ ( 6− 4 )2 + ( 2− 4 )2+ ( 1 −4 )2+ (7 − 4 )2 + ( 5 −4 )2 6

$esviación <&ica σ =

√

14 3

→ σ =2.16

2

→σ  =

14 3

=4.67

-/ora calculamos las medidas de dis&ersión sumando 5 a cada uno de los nmeros: "edia  x´ =

8 + 11+ 7 + 6 + 12 + 10 6

 x´ = 9

#arianza 2

σ  =

( 8 −9 )2 + ( 11−9 )2 + ( 7 −9 )2 + ( 6 −9 )2 + ( 12−9 )2 + ( 10 −9 )2 6 2

σ  =

14 3

=4.67

$esviación <&ica σ =

√

14 3

→ σ =2.16

6. "ulti&licando cada nmero 36 21* y 5 &or 2 y sumando entonces 5 obtenemos el con0unto 111*9*19 15. 7Cuál es la relación entre la desviación t&ica de ambos con0untos8 7y entre las medias8 !olución: ;rimero calculamos las medidas de dis&ersión de los nmeros inicialmente. "edia  x´ =

3 + 6 +2 + 1 +7 + 5 6

→ x´ = 4

#arianza 2

σ  =

( 3 −4 )2+ ( 6− 4 )2 + ( 2− 4 )2+ ( 1 −4 )2+ (7 − 4 )2 + ( 5 −4 )2 6

$esviación <&ica σ =

√

14 3

→ σ =2.16

2

→σ  =

14 3

=4.67

-/ora calculamos las medidas de dis&ersión de los nmeros que /an sido multi&licado 2 y sumado 5 a la vez. "edia  x´ =

11+ 17 + 9 + 7 + 19 + 15 6

→ x´ =13

#arianza 2

σ  =

( 11−13 )2 + ( 17−13 )2+( 9−13 )2 + ( 7 −13 )2 +( 19−13 )2 + ( 15 −13 )2 6 2

σ  =

56 3

=18.67

$esviación <&ica σ =

√

56 3

→ σ =4.32

=as desviaciones t&icas están en la relación de 1:2 >,na es el doble de la otra? =as medias están relacionadas de la misma manera que el con0unto de nmeros con los nuevos nmeros obtenidos al multi&licar &or 2 y aadirle 5 =a se'unda media obtenida es 13 esto es >4@2? A513 ;or tanto cuando se tiene un con0unto de nmeros y se le multi&lica &or una cantidad cualquiera y al mismo tiem&o se le suma una cierta cantidad a cada uno. =a media queda multi&licada y sumada &or dic/as cantidades. *.
S x  x´

-l des&e0ar =- "%$B-  x´  tenemos:  x´ =

S x CV 

eem&lazando valores el valor de la media será:  x´ =

3 0.5

→ x´ = 6

. %l coeDciente de variación de la variable  sabemos que es 1 7Eu &odemos decir sobre su media y varianza8 !olución: -l tener un coeDciente de variación i'ual a la unidad se &uede decir que la media y la desviación t&ica son idnticas y que la varianza como es el cuadrado de la desviación t&ica sera el cuadrado de la media. CV =

S x  x´

=1

S x = x´ → S x = x´ 2

2

9.
2

S x = 4 ∧ S y =9  x´ X = x´ Y =´  x

=os CoeDcientes de variación de  e F es 2

3

CV  X =  CV Y =  x´  x´

Como los &romedios son i'uales se tiene que: 2

CV  X  CV Y  CV  X 

=

3

CV Y  3

= →CV Y > CV  X  2

1.!ea una variable con media  y desviación t&ica . 7Eu se &uede aDrmar sobre el com&ortamiento de esta variable8 !olución: %s una constante no es una variable no se &resenta una variabilidad 11.=a distribución de edades del Censo %lectoral de residentes del ao 21 &ara los distritos de "orales y
"orales 3.54 21.56 31.63 2.14 15.12


a? Calcula la edad mediana &ara las dos comunidades. Com&áralas. 7Eu indican estos resultados8 b? 7Eu comunidad tiene mayor variabilidad en la distribución de su edad8 !olución: a? Grdenamos los datos en orden creciente as: "G-=%!

<--;G
3.54

4.35

15.12

.4

21.56

21.97

2.14

29.99

31.63

35.21

=a mediana sera el valor que ocu&a el lu'ar central en el arre'lo realizado &or tanto: =a mediana de "orales es 2156 y la mediana de
b? ealizamos el cálculo de cada una de las mediadas de dis&ersión: "edidas de dis&ersión de "orales "edia  x´ =

∑  x f  =→ x´ = 4740,82 → x´ =47,41 i

i

n

99,99

$esviación "edia  D x =

∑|( x f  ) −´ x|∗f  → D = 112447,53 → D =1124,59 i

i

i

 x

n

 x

99,99

#arianza

( x i−´ x ) ∗f i 2

2

σ  =

n

2

→ σ  =

147870588,16 99,99

2

→ σ  =1478853,77

$esviación <&ica σ =

√

2

( x i−´ x ) ∗f i n

→ σ =

√

147870588,16 99,99

→ σ =1216,08

"edidas de dis&ersión de
∑ x f  =→ x´ = 4198,41 → x´ =41,99 i

i

n

100

$esviación "edia  D x =

∑|( x f  ) −´ x|∗f  → D = 102011,74 → D =1020,12 i

i

i

 x

n

 x

100

#arianza 2

2

σ  =

( x i−´ x ) ∗f i n

2

→ σ  =

118738122,69 100

2

→σ  =1187381,23

$esviación <&ica σ =

√

2

( x i−´ x ) ∗f i n

→ σ =

√

118738122,69 100

→ σ =1089,67

12.-l lanzar 2 veces un dado se obtuvo la si'uiente distribución de (recuencias. i 1 2 3 4 5 6 Hi a 32 35 33 b 35 Iallar la varianza de la distribución sabiendo que la media aritmtica es 36. !olución: ;rimero determinamos los valores de JaK y JbK con la in(ormación de la distribución de (recuencias: )i 1 2 3 4 5 6

( i )i@( i a a 32 64 35 15 33 132 b 5b 35 21 135AaA 511AaA b 5b $el &roblema la (recuencia acumulada es 2 entonces: 135 + a + b=200 → a= 65−b … . ( i )

=a media aritmtica es 36: 511+ a + 5 b 200

=3,6 → a =209−5 b … . ( ii )

B'ualando >i? y >ii?:

65− b=209 −5 b → 4 b =144 → b=36

=ue'o a =29

#arianza

∑ ( x − x´ ) ∗f  σ  = 2

i

2

i

n

2

σ  =

568 200

2

→ σ  =2,84

13.=as alturas de los 0u'adores de un equi&o de baloncesto vienen dadas &or la tabla: -ltura LM de  0u'adore s

1*1*5 1

a? b? c? variación d? Bnter&rete !olución:

1*51 3

115 4

1519 

19195 5

1952 2

Calcula la varianza. =a desviación estándar. CoeDciente de los datos

"edia  x´ =

∑  x f  → x´ = 42,925 → x´ =1,866 i

i

n

23

#arianza 2

σ  =

∑

[

( x

∗f i )

2

i

n

]

− x´ 2 → σ 2=

80,205 23

−1,8662 → σ 2=0,0052

$esviación t&ica σ =

√ [ ∑

( x

2

i

∗f i )

n

]

−´ x 2 → σ =

√

80,205 23

−1,8662 → σ =0,072

CoeDciente de variación 0,072 σ  CV =  → CV = →CV = 0,0386 1,866  x´

14.=a distribución de (recuencias que se &resenta a continuación muestra el tiem&o que se necesita &ara envolver 13 &aquetes que (ueron enviados &or correo en !an "i'uel. Calcule el ran'o la varianza y la desviación estándar de la si'uiente distribución de (recuencias de los datos  
LM de &aquetes envueltos 6 12 3 42 2 12 13

!olución:

"edia  x´ =

∑  x f  → x´ = 285,500 → x´ =2,173 i

i

n

130

#arianza 2

σ  =

∑

[

( x

∗f i )

2

i

n

]

− x´ 2 → σ 2=

665,125 130

−2,1732 → σ 2=0,394

$esviación t&ica

σ =

√ [ ∑

( x

2

i

∗f i )

n

]

−´ x 2 → σ =

√

665,125 130

−2,1732 →σ =0,628

15.=a tabla a continuación indica los salarios básicos &or /ora >en unidades monetarias? en abril del 215 &ara ciertas cate'oras ocu&acionales de obreros sindicalizados en cierto sector de la construcción. $etermine cuál es la ocu&ación en el que e)iste la mayor variación de los salarios básicos y cuál es la que muestra menor variación. !alarios básicos &or /ora se'n ti&o de traba0ador y lu'ares encuestados. GC,;-CBNL -lbailes Car&interos %lectricistas ;intores %nyesadores ;lomeros -yudantes

629 59 *5 *1* 592  42

 *3*5 *2 *6 6*35 *45 445 4*

C 5*5 53* 6* 4*5 594 625 31

!olución: Calculamos las medidas de dis&ersión &or cada ocu&ación: -=-OB=%!  x´ =

6290 + 7375 + 5750 + 7500 4

2

σ  =

→ x´ = 6728,75

( 6290 −6728,75 )2+ ( 7375−6728,75 )2 + ( 5750− 6728,75 )2+ (7500 −6728,75 )2 4

2

σ  =540729,69 σ =735,34

CV =

  735,34 6728,75

→CV  = 0,109

C-;BL<%G!  x´ =

2

5900+ 7020 + 5370 + 6660

σ  =

4

→ x´ = 6237,50

( 5900 −6237,50 )2+ (7020 −6237,50 )2 + ( 5370− 6237,50 )2+ ( 6660 −6237,50 )2

2

σ  = 414318,75 σ =643,68

4

$ *5 666 *335 611 625 * 4*

CV =

  643,68 6237,50

→CV  = 0,103

%=%C<BCB!<-!  x´ =

7500+ 7600 + 6700 + 7335 4

2

σ  =

→ x´ = 7283,75

( 7500 −7283,75 )2+ (7600 −7283,75 )2 + ( 6700−7283,75 )2 + ( 7335 −7283,75 )2 4

2

σ  =122542,19 σ =350,06

CV =

  350,06 7283,75

→CV = 0,048

;BL
7170+ 6735 + 4750 + 6110 4

2

σ  =

→ x´ = 6191,25

( 7170 −6191,25 )2+ ( 6735−6191,25 )2 + ( 4750−6191,25 )2 + ( 6110 −6191,25 )2 4

2

σ  = 834354,69 σ =913,43 CV =

  913,43 6191,25

→CV = 0.148

%LF%!-$G%!  x´ =

2

5920+ 7045 + 5940 + 6825

σ  =

4

→ x´ = 6432,50

( 5920 −6432,50 )2+ (7045 −6432,50 )2 + ( 5940− 6432,50 )2+ ( 6825 −6432,50 )2

2

σ  = 358794,75 σ =598,99

4

CV =

  598,99 6432,50

→CV  = 0.093

;=G"%G!  x´ =

8000 + 4450 + 6250 + 7080 4

2

σ  =

→ x´ =6445

( 8000 −6445 )2 + ( 4450 −6445 )2 + ( 6250−6445 )2+ ( 7080 −6445 )2 4

2

σ  =1709825 σ =1307,60

CV =

1307,60 6445

→CV  = 0.203

-F,$-L<%!  x´ =

2

4020 + 4780 + 3180 + 4700

σ  =

4

→ x´ = 4170

( 4020− 4170 )2+ ( 4780− 4170 )2 + ( 3180− 4170 )2+ ( 4700 −4170 )2 4

2

σ  = 413900 σ =643,35 CV =

643,35 4170

→CV = 0.154

=os salarios de los &lomeros &resentan mayor variabilidad >C#23 PQ23R? y los salarios de los electricistas es que tiene menor variabilidad>C#4PQ4R? 16.%n seis sábados consecutivos un o&erador de ta)is recibió 9 * 11 113 y * llamadas a su sitio &ara su servicio. Calcule: a? -m&litud. b? "edia c? $esviación media d? #arianza e? CoeDciente de variación !olución:

#alor má)imo:13 #alor mnimo:* -m&litud: -13+*6 "edia  x´ =

9 + 7 + 11+ 10+ 13 + 7 6

→ x´ =9,5

$esviación "edia  D x =

|9−9,5|+|7 −9,5|+|11−9,5|+|10− 9,5|+|13 −9,5|+|7− 9,5| 6

 D x =1,83

#arianza 2

σ  =

( 9− 9,5)2 +( 7− 9,5)2 +( 11− 9,5)2 +( 10− 9,5)2 +( 13−9,5 )2 +(7 −9,5 )2 6 2

σ  = 4,58

$esviación %stándar σ =√ 4,58 →σ =2,14

CoeDciente de variación CV =

2,14 9,5

→ CV =0,225 … … ..22,5

1*.=os resultados al lanzar unos dados 2 veces binen dados &or la si'uiente tabla: i 1 2 3 4 5 6 Hi 32 35 33 b 35 $eterminar a y b sabiendo que la &untuación media es 3.6. F calcular la desviación estándar. !olución: ;rimero determinamos los valores de JaK y JbK con la in(ormación de la distribución de (recuencias: )i 1 2 3

( i a 32 35

)i@( i a 64 15

4 5 6

33 132 b 5b 35 21 135AaA 511AaA b 5b $el &roblema la (recuencia acumulada es 2 entonces: 135 + a + b=200 → a= 65−b … . ( i )

=a media aritmtica es 36: 511+ a + 5 b 200

=3,6 → a =209−5 b … . ( ii )

B'ualando >i? y >ii?:

65− b=209 −5 b → 4 b =144 → b=36

=ue'o a =29

#arianza

∑ ( x − x´ ) ∗f  σ  = 2

i

2

i

n

2

σ  =

568 200

2

→ σ  =2,84

$esviación %stándar σ =√ 2,84 →σ =1,69

1.$e esta distribución de (recuencias absolutas acumuladas calcular: %dad

Hi

>2? 24

4 11

46

24

6

34

1

4

a? "edia aritmtica y desviación t&ica. b? 7%ntre que valores se encuentra las diez edades centrales8 c? e&resentar el &ol'ono de (recuencia absoluta acumulada. !olución: - continuación el 'ráDco de distribución de (recuencias "edia y desviación t&ica  x´ =

σ =

√

214 40

1368 40

→ x´ = 5,35

−5,352 →σ =2,36

#alores en que se encuentra las diez edades centrales 40 10

=

100

 x

→ x =25

=os 1 estudiantes re&resentan el 25R central de la distribución >o sea está en un intervalo de 25 de am&litud? %l

5R re&resenta el trmino central %l 25R central estara com&rendido entre:

[ ( 50 −12,5 ) ; ( 50 +12,5 ) ] =[ 37,5  ; 62,5 ] =ue'o debemos encontrar  P37,5  y  P62,5 Calculamos el 3*5R y 625R de 4 37,5 100

∗40 =15

62,5 100

∗40 =25

=ue'o los &ercentiles P37,5  y  P62,5

(

2∗15−11

(

2∗25 −24

 P37.5= 4 +

 P62.5=6 +

13

10

)=

4,62

)=

6,20

;or lo tanto los valores entre los que se encuentra las 1 edades centrales es S462 T 62U ;ol'ono de (recuencias

;G=VWGLG $% H%C,%LCB-! 45 4 35 3 25 Hrecuencia absoluta acumulada 2 15 1 5 

 1 2 3 4 5 6 *  9 1

"arca de clase

19.,na &ersona - mide 1.*5 m y reside en una ciudad donde la estatura media es 1.6 m y la desviación t&ica es de 2 cm. Gtra &ersona  mide 1. m y vive en una ciudad donde la estatura media es de 1.* m y la desviación t&ica es de 15 cm. 7Cuál de las dos será más alto res&ecto a sus conciudadanos8 !olución:  xi− x´ =  z %m&leamos la (órmula: σ 

;ara -

 z =

1,75−1,60 0,20

=0,75

;ara   z =

1,80−1,70 0,15

=0,67

;or tanto - es más alto res&ecto a sus conciudadanos 2.,n &ro(esor /a realizado dos test a un 'ru&o de 4 alumnos obteniendo los si'uientes resultados: ;ara el &rimer test la media es 6 y la desviación t&ica es 1.5. ;ara el se'undo test la media es 4 y la desviación t&ica es .5. ,n alumno obtiene 6 en el &rimero y 5 en el se'undo. %n relación con el 'ru&o. 7%n cuál de los test obtuvo me0or &untuación8 !olución: ;rimer
6−6 1.5

=0

!e'undo
5− 4 0.5

=2

=e me0or &untuación se obtuvo en el se'undo test.

21.=a asistencia de es&ectadores a las cuatro salas de un cine un determinado da (ue de 2 3 5 y 1 &ersonas. a? Calcular la dis&ersión del nmero de asistentes. b? Calcular el coeDciente de variación. c? ! el da del es&ectador acuden 5 &ersonas más a cada sala. 7Eu e(ecto tendra sobre la dis&ersión8 !olución: Calculamos la desviación t&ica  x´ =

200 + 500 + 300 + 1000 4

=500

$esviación t&ica σ =

√

2

200

+5002 + 3002 + 1002 4

CoeDciente de variación:

−5002 → σ =308,22

CV =

308,22 500

= 0,616

!i todas las salas tienen un incremento de 5 &ersonas la media aritmtica tambin se ve incrementada en 5 &ersonas.  =a media sera 5A555 =a desviación t&ica no vara ya que sumamos la misma cantidad a cada dato de la serie. -l Dnal del cálculo queda lo mismo. =ue'o el coeDciente de variación: CV =

308,22 550

= 0,560

22.,n traba0o estadstico asi'nado a un 'ru&o de estudio consiste en obtener un modelo de re'resión lineal a nivel descri&tivo &ara &redecir las ventas semanales de un &roducto es&ecDco en (unción de la &ublicidad del &roducto &or la radio. ;ara esto /an reco&ilado al azar los tiem&os de duración en minutos de la &ublicidad de 1 semanas y el res&ectivo nmero de unidades vendidas del &roducto. =os datos se dan en la tabla que si'ue. !emana 1 ;ublicidad  2 #entas F 5

2 3 *3

3 3 69

a? b? c? d?

4 4 *

5 5 1

6 6 12

* 6 135

 6 132

9 * 14

1  14

WraDque los datos y calcule su tendencia. Gbten'a la recta de re'resión lineal sim&le de mnimos cuadrados. Calcule el coeDciente de correlación entre  e F. -&lique la re'resión &ara &redecir la venta de una semana donde se /aran 1 minutos de &ro&a'anda. 7%s conDable su &redicción8 e? !e'n la re'resión obtenida si la &ublicidad de una semana cualquiera se incrementa en 5 minutos 7Cuánto sera el incremento &romedio8 !olución: %cuaciones de la re'resión =ineal ' 

Y  =a + bx a =´  x −b ´  y

b=

n(

∑  xy )−( ∑ x )( ∑ y ) n ( ∑  x ) −(∑  x ) 2

2

CoeDciente de correlación: r=

r=

∑ ( x −´ x ) ( y − y´ ) ( n −1 ) S x S y

∑ xy )−(∑ x )(∑ y ) √ [n (∑ x )−(∑ x ) ]∗√[ n ( ∑ y )−(∑ y ) ] n(

2

2

2

2

2 CoeDciente de determinación > r ?

!%"-L1 2 3 4 5 6 *  9 1

;G"%$B G!

 2 3 3 4 5 6 6 6 *  5

F 5 *3 69 * 1 12 135 132 14 14 9*2

5

9*.2

$eterminemos b 10

¿

54500

¿(¿)− (500 )∗( 972) ¿ =¿ b b=

59 34

=1,735

a = 50−

(

59 34

∗97,2

)

@F 1 219 2* 34 5 *6 1 *92 136 112 545

2 4 9 9 16 25 36 36 36 49 64 24

y2 25 5329 4*61 *569 1 1634 1225 1*424 2194 196 113*96

a=

−10087 85

=−118,671

=ue'o la ecuación quedará as: ' 

Y  =−118,671 + 1,735 x

CoeDciente de correlación: r=

∑ xy )−(∑ x )(∑ y ) √ [n (∑ x )−(∑ x ) ]∗√[ n ( ∑ y )−(∑ y ) ] n(

2

r=

r=

2

2

2

[( 10 )∗( 54500 ) ] −( 500 )( 972) √ [ ( ( 10 )∗( 28400 ) )−( 500 ) ]∗√ [ ( ( 10 )∗(113976 ) ) −(972 ) ] 2

59 6629184

2

= 8,9∗10−6

,na 'ráDca a&ro)imada de la ecuación de re'resión lineal

;ara 1 minutos de &ro&a'anda ' 

Y  =−118,671 + 1,735 x  x =100 ' 

Y  =−118,671 + 1,735 ( 100 ) ' 

Y  =54,829

,n a&ro)imado de 55 ventas

23.

=os

in'resos  y los 'astos F mensuales en dólares de una muestra de 1 (amilias /a dado los si'uientes resultados. 21

F2

2

S x  5.*6

2

S y  2.56

r.96

a? $eterminar la recta de la re'resión de mnimos cuadrados de F en  y &ronostique el 'asto de una (amilia si en un mes cualquiera tiene 25 X de in'reso. b? !i &ara el si'uiente mes se &redice el 'asto de una (amilia de X 25*.6 7- cuánto /aciende su in'reso al mes8