Guía de Ejercicios 4 - Física III Problema - Dos antenas de radio separadas 300m, como se muestra en la …gura, transmiten simultáneamente señales idénticas de la misma longitud de onda.
La radio de una automóvil que se desplaza hacia el norte recibe estas señales. (a) Si el vehículo se encuentra en la posición del segundo máximo a los 400m del punto O, ¿Cuál es la longitud de onda de las señales? (b) ¿Cuánto más lejos lejos debe viajar el automóvil automóvil para encontrar encontrar el siguient siguientee máximo máximo de recepción? recepción? ; y ; Respuesta: (a) = 55 7 , (b) (b) = 270 7m Solución: (a) El problema puede ser estudiado mediante la teoría de la interferencia, cuya expresión para determinar los máximos es m = d sin donde d es la separa separació ción n de las fuentes fuentes.. En este caso m = 2, y las otras cantidades las podemos obtener de la geometría del dibujo:
d = 300m 300m
,
Así =
= tan
1
400 1000
d sin = 55 ; 7m m
(b) El siguiente máximo ( m = 3) se encontrará a una distancia y sobre el origen O. Entonces: m = d sin 3
)
3 = sin
1
m = 33; 85 d
y tan 3
= )
y3
1000 y3 = 1000 1000 tan 3 = 670; 7m
Entonces, Entonces, el vehícul vehículo o debe viajar una distancia distancia adicional adicional de y = y 3 y2 = 670; 7 400 = 270; 7m para llegar al siguiente máximo. 1
Problema - Sobre una red de difracción incide luz blanca, y el espectro se observa sobre una pantalla ubicada a 8,0m de la red. Si la separación espacial entre los máximos de segundo orden para las longitudes de onda de 520nm y 590nm es de 8,4cm: (a) Determine el número de líneas por centímetro de la red. (b) ¿Cuál es la separación entre los máximos de estas longtudes de onda en los espectros de primer y tercer orden? Nota: Puede usar la aproximación para ángulo pequeño. Respuesta: (a) N = 750 , (b) y(520nm ) = 0; 625m y y(590nm ) = 0; 709m Solución: (a) Aquí se comparan dos longitudes de onda distintas, para los máximos en el mismo orden ( m = 2).
= 1 = 2 = y = L
8m 520 10 9 m 590 10 9 m y2 y1 = 8; 4 10
2
m
La fórmula para los máximos es m = d sin
donde, por aproximación de ángulo pequeño, se tiene sin 1
sin 2
y1 L y2 2 = L 1 =
Entonces, si queremos comparar los máximos de segundo orden ( m = 2), tenemos y1 L y2 d L
21
= d
22
=
)
1 y1 = 2 y2
Del enunciado deducimos que: y2
y1
= )
8; 4 10 2 m = y y2 = y + y1
entonces )
y1 2 = y 2 1
)
y1 2 = (y + y1 ) 1
)
y1 2 = y 1 + y1 1 y 1 y1 = (2 1 )
)
2
)
y1 = 62; 4 102 m y1 = 70; 8 102 m
Así 21
y1
=
d
)
d =
L
2L1 y1
5
= 1 ; 33 10
m
Finalmente hay que entender que nos preguntan por "el número de líneas por centímetro". Si en una longitud de l = 1cm hay N rejillas de difracción separadas una distancia d una de otra, entonces se cumple: l
=
N d
)
N =
l 1 102 m = = 750 líneas d 1; 33 105 m
(b) Aquí se compara, para cada longitud de onda por separado, la distancias entre sus máximos de los modos m = 1 y m = 3. Para la primera longitud de onda ( 1 = 520nm): m = 1:
m1
ym=1 L
=
d
)
ym=1 =
=
d
)
ym=3 =
Lm1 = 0 ; 3128m d
m = 3: m1
ym=3 L Lm3 = 0 ; 9383m d
Entonces: y = y m=3 ym=1 = 0; 625m Para la segunda longitud de onda ( 2 = 590nm): m = 1: m2
ym=1 L
=
d
)
ym=1 =
Lm1 = 0 ; 3549m d
m = 3: m2
ym=3 L
=
d
)
ym=3 =
3
Lm3 = 1 ; 064m d
Entonces: y = y m=3 ym=1 = 0; 709m
Problema - El Potencial de frenado de fotoelectrones emitidos de una super…cie iluminada con luz de 491 nm de longitud de onda es de 710mV. Cuando la longitud de la onda oncidente cambia a un nuevo valor, se encuentra que el potencial de frenado es de 1,43V. (a) ¿Cuál es la nueva longitud de onda? (b) ¿Cuál es la función de trabajo de la super…cie? (c) ¿Cuál es la frecuencia umbral para dicha super…cie? Respuesta: (a) 2 = 383nm , (b) (= w ) = 2; 9 10 19 J, (c) 0 = 4; 37 1014 Hz
Problema - Un fotón en el vacío tiene una energía de 1,5eV y un electrón, también en el vacío, tiene una energía cinética de esa misma cantidad. ¿Cuáles serán sus longitudes de onda? Respuesta: f = 8 ; 29 10 7 m y e = 1 10 9 m
Problema - Dos fuentes luminosas se usan en un experimento fotoeléctrico para determinar la función de trabajo para una super…cie metálica particular. Cuando es utilizada una luz verde de una lámpara de mercurio (=546,1nm), un potencial de frenado de 0,376V reduce la fotocorriente a cero. (a) Según esta medición, ¿Cuál es la función de trabajo para este metal? (b) ¿Qué potencial de frenado se observa cuando se utiliza luz amarilla de un tubo de descarga de helio (=587,5nm)? Solución: (a) w = 3 10 19 J, (b) V 0 = 0; 24V
Problema - Un fotón de rayos X, de longitud de onda 0,00160nm, incide sobre una lámina metálica delgada y sufre una dispersión de Compton por un electrón libre. Si el electrón adquiere una energía cinética de igual valor que la energía del fotón de rayos X dispersado, ¿Cuál es el ángulo del fotón dispersado? Respuesta: = 70; 1
Solución:
f = 1 ; 6 1012 m
La energía del fotón es E = h =
hc
La energía del fotón dispersado ( E ) será igual a su energía inicial ( E ) menos la energía cinética entregada al electrón. Esto es E = E K e lec 0
0
y como en este caso (del enunciado) K e lec = E , entonces 0
E 0 = E E 0
)
E 0 =
E
.
2
siendo la energía del fotón dispersado expresada como E 0 = h 0 =
hc 0
,
0
entonces ) =
hc E
0
=
2hc E
Por otro lado, en el efecto Compton, el ángulo de dispersión de los fotones se puede expresar en términos de las longitudes de onda como: 0 =
h (1 cos ) mc
entonces )
)
cos = 1 = cos
1
h
mc 0 h mc 0 1 h
4
i
Problema - Una instalación de doble rendija produce franjas de interferencia de luz de sodio de
= 589nm
que están separadas por 0,23 . ¿Para qué longitud de onda la separación angular seria un 10% mayor? Suponga que el ángulo sea pequeño. Respuesta: 2 = 647; 9nm
Problema - Se hace incidir una luz de un color dado sobre dos metales diferentes. Se registra la siguiente información: (i) El potencial de frenado para los fotoelectrones liberados del metal A es 1,48V mayor que para el metal B. (ii) La frecuencia unbral para el metal A es 40% más pequeña que para el metal B. Determine la función de trabajo para cada metal Respuesta: wA = 3; 55 10 19 J y wB = 5; 92 10 19 J
Problema - Encontrar la separación entre dos líneas espectrales del mercurio de longitudes de onda Azul = 403; 2nm y violeta = 546nm para el espectro de difracción producido por una red de difracción de 600 líneas por milímetro. Obtener la separación antedicha para el segundo orden, considerando que la pantalla se encuentra a 50cm de la red de difracción. Respuesta: y = 0; 0856cm
Problema - Si la longitud de onda de de Broglie de un protón es de 0,113pm (a) ¿Cuál es la velocidad del protón? (b) ¿A través de qué potencial eléctrico tendría que ser acelerado el protón desde el reposo paa adquirir dicha velocidad? Respuesta: (a) v = 3; 51 106 m/s, (b) V = 6 ; 42 104 V
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