Distribución Weibull
Tecsup 2018
TEMAS Introducción.
Definiciones previas. Distribución weibull. Parámetro Parámetro de forma. Vida característica. Probabilidad de falla. Confiabilidad.
Definicion: f(t) Definicion: f(t) Densidad de Probabilidad de Falla Si X es variable aleatoria continua, entonces la función de densidad de probabilidad, pdf d pdf de X, es una función f(x) tal que, para dos números, a y b con a
–
La probabilidad de que X tenga un valor en el intervalo [a,b] es el área de la función densidad entre a y b.
La probabilidades de X tener un valor menos que a es el área de 0 hasta a.
De inici n: F t Probabilidad Acumulada de Falla •
•
•
Para obtener la probabilidad a partir de la f(t), es necesario calcular el área bajo la curva. La función de distribución acumulada, F(t) entrega este valor directamente. La F(t) es una función F(X) de la variable aleatoria X, definida por: a
F (a) P ( X a)
f ( X )dX 0,
–
donde, para una variable aleatoria X, F(a) es la probabilidad de que el valor observado X será será a lo mas a.
Relación Matemática entre la f(t) y la F(t)
P(X≤a)
Relación Matemática entre la f(t) y la F(t) •
•
La rela relació ción n mate matemát mátic ica a entr entre e la la pdf pdf y la la cdf cdf esta dada por:
Invirtiendo:
Relación Matemática entre la f(t) y la F(t) •
Simplificando, la F(t) es el área formada formada por la función densidad de probabilidad, hasta un valor escogido de x. –
Esto Esto significa significa que el área área total total bajo la pdf es siempre igual a 1, o matemáticamente: matemáticamente:
La f(t) es dada por una ecuación •
Un ejemplo de función densidad de probabilidad es la distribución Norm Normal al,, cuy cuya f (t)e (t)essta dada por:
–
Donde Donde µ es la media media y σ es la desviación estándar.
–
La distribución normal es una distribución con dos parámetros.
La función de Confiabilidad R(t)
R(t)
La función de Confiabilidad R(t) •
•
La función de Confiabilidad es obtenida a través través de la probabilidad de éxitos, o de la probabilidad de que no se observe la falla, en el tiempo t. Definiendo Definiendo Desconfia Desconfiabilida bilidad d como Q(t) entonces:
La función de Confiabilidad R(t) •
Tenemos:
•
Derivando:
Terminología erminología de la la Confiabilidad •
La Confiabilidad no puede ser especificada sin la asociación con el tiempo, en otras palabras, no puede decir que un ítem posee una Confiabilidad de 90% sin decir para que intervalo de tiempo. –
Para Para ser mas preciso deberíamos deberí amos siempre especificar la Confiabilidad, el tiempo y los limites de confianza.
DISTRIBUCION WEIBULL Función Confiabilidad Funcion de Sup ervivencia ervivencia 1.200 1.000 0.800
) t ( 0.600 R 0.400 0.200 0.000 1
3
5
7
9
11
13 13
15
17 17
Tiempo
19
21 21
23 23
25
27 27
29
31 31
La función Tasa de falla •
Permite determinar el número de fallas ocurridas por unidad de tiempo. Esta es dado matemáticamente por:
(t )
•
f (t )
R(t )
La tasa de falla se expresa en fallas por unidad de tiempo. –
–
El tiempo puede ser cualquier medida que pueda ser cuantificada. Ejm.: minutos, horas, ciclos, actuaciones. El termino “Hazard Rate” es sinónimo de tasa de falla
Vida Media (MTTF) •
La Función vida media entrega la medida del tiempo de operación hasta la falla. La vida media representa el equilibrio de toda la población. Se le denomina también “Expectativa de Vida” o “Esperanza Matemática”. Est Esta dada por:
–
–
–
Este valor se refiere al valor medio esperado del tiempo hasta la falla y gene ge nera ralm lmen ente te se deno denota ta como como MTTF MTTF (Mea (Mean n Time Time-t -too-F Failu ailure re). ). Este valor también es denominado, como MTBF (Mean Time Between Failures). Esto es incorrecto en la mayoría de los casos. El único caso donde eso podría ser verdadero (y correcto) es cuando la tasa de falla fuese cons onstant ante, y esta supo suposi sici ción ón en la mayoría oría de las las veces, ces, es cues cuesti tio onabl nable. e. MTTF = MTBF (solo cuando λ = cte )
MTBF & MTTF
Failure Failure time
Ejemplo para Distribución Simé Simétr tric ica a - Norm Normal al Media
pdf
Ejemplo para Distribución Asimétrica-Weibull DISTRIBUCION DISTRIBUCION WEIBULL Funcion Densidad 0.120 0.100
Media = 12 hrs . 0.080 ) t ( f
0.060 0.040 0.020 0.000 1
3
5
7
9
11
13 13
15
17 17
Tiempo
19
21 21
23 23
25
27 27
29
31 31
Vida Mediana •
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La Vida mediana, T, T, es el valor de la variable aleatoria que divide la f(t) por la mitad, dejando tanto para le lado izquierdo como para el derecho la mitad del área. La mediana es obtenida por:
Ejemplo de una muestra de datos: 11, 12, 13, 20, 21, 24, 145
•
–
La mediana es el punto central de estos valores, que en este caso es 20.
Ejemplo par para Distribución Simétrica – Normal La media, mediana y moda tienen el mismo valor
Ejemplo para para Distribución Asimé Asimétri trica ca - Weibull eibull DISTRIBUCION DISTRIBUCION WEIBULL Funcion Densidad 0.120
Mediana = 11 Media = 12
0.100 0.080 ) t ( f
0.060 0.040 0.020 0.000 1
3
5
7
9
11
13
15
17 17
Tiempo
19
21
23
25
27
29
31
Vida Media y Vida Mediana •
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Observe que la vida media es igual a la mediana (o el 50º percentil) en el caso de la distribución normal y otras distribuciones simétricas. Para las distribuciones asimétricas, la media puede variar, pudiendo ser mayor o menor que la mediana. –
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Para la distribución exponencial, la vida media siempre corresponderá al percentil 63,2, o el tiempo en que 63,2% de las unidades fallarán. Para la distribución Weibull, no hay un valor fijo. Este porcentaje es Función de los parámetros del modelo.
Media vs. Mediana •
•
•
•
A veces se usa las media y mediana como si fuesen lo mismo. Esto no es correcto!. Solo en los casos donde tenemos distribuciones simétricas, simétricas, la media y la mediana poseen el mismo valor. En el resto de los casos, la diferencia entre los valores de la media y la mediana puede ser muy grande. Ejemplo: considere un conjunto de cinco datos: (1, 2, 3, 4, 100)
•
La media es: (1 2 3 4 10 0) 5
•
11 0 5
22
Sin embargo. La mediana de este conjunto de Datos es el valor 3, o sea el valor central de los datos.
Moda •
La vida modal o moda, es el valor máximo de t que satisfaga: d [ f (t )] 0 d t
–
Para Para distribuciones continuas, la moda corresponde al máximo valor de la densidad de probabili probabilidad, dad, o sea el valor valor donde donde la pdf tiene su su máximo (pico).
Ejemplo para distribución Simétrica Normal
Ejemplo para distribución Asimétrica Weibull
DISTRIBUCION WEIBULL Funcion Densidad 0.120
Moda = 9
0.100
Mediana = 11 Media = 12
0.080 ) t ( f
0.060 0.040 0.020 0.000 1
3
5
7
9
11
13
15
17
Tiempo
19
21
23 23
25
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29
31
