DINAMICA Y CONTROL DE PROCESOS EJERCICIOS SISTEMAS EN EN LAZO ABIERTO 1 .- El proceso de avance de una solidificación es un problema de gran interés industrial. Suponga que un liquido esta a su temperatura de fusión (Ts) en un recipiente de área ! altura ". partir de un tiempo cero# la superficie inferior se mantiene a una temperatura T$ comen%ando el proceso de solidificación. &onforme el plano de solido avan%a# el calor e'trado necesario para el proceso se debe transferir por conducción en la capa de sólido de espesor (t). &onsideracio &onsideraciones* nes*
propiedades propiedades constantes# constantes# Transfere Transferencia ncia de calor por conducción conducción en
sentido ' . +o ,a! T. de . en los otros sentidos ! Ts es constante. +o ,a! acumulación de calor en la fase sólida.
i)
Se pid pidee desa desarr rrol olla larr un mod model elo o mate matemá máti tico co que que rel relac acio ione ne el ava avanc ncee del del fren frente te de de sólidos (t) como función de T$ ! del tiempo.
ii) ii)
"ine "ineal alic icee est estee mod model elo o si si resu result ltaa ser ser no line lineal al..
iii)
Si toma tomamo moss en cuent cuentaa que que
SÍ ,a! ,a! acum acumula ulació ción n de calo calorr en la fase fase sóli sólido do##
proponga un modelo o alternativa alterna tiva de solución para este caso. c aso.
.- Suponga un proceso de calentamiento calentamiento de un lquido de propiedades propiedades constantes constantes en un tanque agitado sometido a variaciones en el flu/o de alimentación 0# la temperatura de entrada entrada Ti ! el calor calor agrega agregado do . "a altur alturaa se mantiene mantiene constan constante te ! el volumen volumen de lquido en todo instante es 1 "itros. "itros. &uando Ti234& ! 021 lt5min# se registra una salida de T234&. i)
Se pid pidee obte obtene nerr un mod model elo o de 0un 0unci ción ón de de Tran Transf sfer eren enci ciaa para para la la temp temper erat atur uraa de salida T como función de 0#Ti ! .
ii)
6ete 6eterm rmin inar ar las las con consstant tantes es de ti tiempo empo ! las las gana gananc nciias de de las fun funci cion ones es si si
el
modelo se lineali%a en torno al estado estacionario especificado. iii) iii)
Si se se aumen aumenta ta el flu/ flu/o o desde desde 1l 1lt5 t5mi min n a 13 lt5 lt5mi min n ! se mant mantien ienen en cons consta tante ntess los los valores valores de Ti ! . &alcular el valor valor de la temperatura de salida salida T en el nuevo estado estacionario con el modelo de función de transferencia ! determinar el error con respecto al valor real.
7.- 6e acuerdo al diagrama de bloques que se ad/unta# determinar*
i)
8rden# 9o 9olos ! &eros de ca cada la la%o
ii) ii)
:til :tili% i%an ando do el teor teorem emaa de valo valorr final final dete determ rmin inee la sali salida da de estad estado o estac estacio iona nari rio o cuando u1 es una rampa unitaria u1(t) 2t ! u es un escalón unitario u(t)21.
-s
s-1
s+1
3s+1
U1 G11
1
0.4
1
s+1
s2 +2s+3
G21
;.- "a reducc reducción ión de la la
( 0e78; = & ---> 70e8 = &8 ) se reali%a
,abitualmente ,abitualmente en un ,orno eléctrico eléctrico donde un electrodo electrodo de carbono provee simultáneamente simultáneamente el agente reductor reductor ! el calor necesario para mantener a la magnetita magnetita fundida. 9roducto de la reacción el electrodo electrodo se va consumie consumiendo ndo en forma radial ,asta un tama?o tama?o crtico crtico donde es necesario necesario reempla%arlo !a que no es capa% de generar el calor necesario. necesario.
Suponga un ,orno ideal compuesto por un electrodo cilndrico de radio @ ! longitud " donde se lleva a cabo la reacción de reducción. "a reacción se lleva a cabo en la la superficie del carbono donde la velocidad de reacción está control controlada ada por la la difusión difusión molecular molecular de la magneti magnetita ta lquida lquida ,acia la superficie superficie a través de una capa estancada constante de espesor A AB . "a concentración en el seno de la fase fase fundida fundida también puede considerarse considerarse constante constante e igual a &aC. &aC. 6e esta esta forma forma la e'presión cinética superficial superficial puede describirse segDn* segDn*
-Ra= Def * Ca* Ca* / (grs &5 m-s)
El coeficiente de difusión efectivo Def vara
con la temperatura de acuerdo a una
relación tipo r,enius * Def = Do*exp(-E/T ) con T la temperatura en la superficie del electrodo.
9or el electrodo circula una corriente eléctrica que es capa% de generar c Filo$ats 5 por < de sección transversal originando en el electrodo una temperatura Tc que intercambia calor con la magnetita fundida que se encuentra a una temperatura constante Tf mediante un mecanismo de transferencia convectiva con un coeficiente de transferencia de calor :. 9or otra parte la reacción no consume ni genera calor en una magnitud que es despreciable para ser considerada en los balances.
i)
&on esta descripción plantear el modelo matematico que relaciona la variación del radio ! la temperatura del electrodo (@#Tc) con el tiempo.
ii) &onsiderando los siguientes valores determinar el tiempo necesario para que el radio del electrodo se consuma ,asta la mitad de su valor inicial. " 2 7 m G @ inicial 2 1 &ms G 6ensidad2 #H (gr5cc) G &p 2 .; (&al5gr 4&) : 2 1 (I5m 4&) G c2 (F$5 m) G Tf 2 13 4& G &aC 2 3E-7 (gr5cc) G 2 1E-J (m) G Tc inicial 2 1K 4& Def = 5E-7*EXP(-10000/(Tc+273))
( m /s)
9la%o de entrega *
3.- :n estanque de sección plana de 3 m de área tiene una válvula de descarga tipo Aigual MB donde el flu/o de descarga se relaciona con la altura de lquido segDn*
# 2", !! *
h
(m75min)
0, 82 1 0,82 ) * h
2
9ara un flu/o de alimentación (0o) dado# la altura de equilibrio se establece en #3 m
i)
6eterminar el modelo de función de transferencia para la altura como función del flu/o de entrada tomando como referencia al estado estacionario especificado anteriormente.
ii)
Si el flu/o de entrada se aumenta en =7M del valor original# determinar la nueva altura de estadio estacionario
con el modelo de función de transferencia !
encuentre el error con respecto a la altura real alcan%ada.
H.- :n sistema de multiples entradas ! salidas compuesto por dos sub-procesos puede ser e'presado vectorialmente por medio de funciones de transferencia lineales segDn*
1
1
0
2 ' (
$1 2 * $2 0 $'
Y ,
1 2
+ *
"as funciones de transferencia son *
1 =
2 =
10S .1
1 ( =
S .'
2 -'
S-2
1
=
' =
S .(
S .'
2
1
S2 . 0%8 S.2
+ =
S2 .1
i)
6eterminar diagrama de bloques del proceso.
ii)
:sando el teorema del valor final encontrar el valor de N de estado estacionario cuando $1 cambia en un escalón unitario.
iii)
8rden ! forma de la respuesta del la%o Y-$1%
iv)
9olos Oeros ! estabilidad del la%o Y & $'
J .- 6e acuerdo al diagrama de bloques que se ad/unta# determinar*
iii)
8rden# 9olos ! &eros de cada la%o
iv)
:tili%ando el teorema de valor final determine la salida de estado estacionario cuando u1 es una rampa unitaria u1(t) 2t ! u es un escalón unitario u(t)21.
-s
G1
s+ U G1 Su 1
G2
Scop
G2
U
1 * Sistema de 4 orden Fp21 G 2 .
2 1
1 * Sistema de primer orden Fp2 # 2 3 * Sistema de primer orden Fp21 # 2 1
K .- &onsidere un tanque de acumulación de lquido de #1 (m) de diámetro con una entrada ! una salida no lineales. El flu/o de entrada esta regulado por la apertura de la válvula () con la siguiente relación de flu/o * segDn la altura del lquido (,) segDn *
#a*'*A-) .
El flu/o de salida varia
*h3 .
&uando la apertura de la válvula es ; # la altura de lquido se estabili%a en 1 (m) si se considera que 0ma' tiene un valor de 7C1-; m75s.
i)
8btener el modelo de función de transferencia que relaciona , ! considerando el estado estacionario antes indicado ( 2; ,21)
ii)
6eterminar el error en la predicción de la altura de estado estacionario del modelo de función de transferencia con respecto al modelo no lineal cuando se cambia la apertura de la válvula de ; a 7.
P .-
"a pervaporació es un proceso de separación no convencional donde un
componente de una me%cla lquida es recuperado mediante difusión en fase vapor a través de una membrana selectiva. &onsidere un proceso de pervaporación compuesto por dos cámaras perfectamente agitadas de volumen Q separadas por una membrana selectiva de área efectiva m ! espesor . En una de las cámaras se encuentra un lquido con un componente valioso que se desea recuperar# con concentración &a # el que se mantiene a la temperatura de saturación Ts. 9or el lado del vapor# entra continuamente
un flu/o de gas portador# libre de
componente valioso ! a temperatura Tgo. El componente valioso que ,a difundido por la membrana se incorpora a la corriente gaseosa que esta a una temperatura Tg ! tiene una composición en el seno de la fase !a siendo retirado continuamente. "a transferencia de materia tiene dos resistencias * una difusional locali%ada en la membrana con un coeficiente de difusión efectivo 6am ! una convectiva locali%ada en la interfase membrana-gas con un coeficiente local de T. de masa F!. +o e'iste resistencia en la interfase membrana-lquido ! la relación de equilibrio esta dada por una relación del tipo !ai 2 LC&a . El calor necesario para la vapori%ación del componente pervaporado es aportado por la transferencia de calor entra las cámaras a través de la membrana e'istiendo solo una resistencia por conducción en la membrana que tiene una conductividad térmica Fem. &on esta descripción# formular un modelo dinámico para la variación de la composición del componente en la fase vapor !a ! la temperatura de fase vapor Tg. &onsidere que las dinámicas en la fase lquida ! en la membrana son despreciables. +ota* E'plicitar claramente las suposiciones reali%adas.
1.-
El proceso de fusión 0las, es una tecnologa desarrollada para la conversión de
concentrado de cobre con una alta eficiencia energética. En este proceso# el concentrado seco se me%cla con o'geno en un quemador para reali%ar la reacción que es e'otérmica ! prácticamente instantánea formando una verdadera llama a 13 4&. "os productos de la reacción son una fase rica en cobre llamado e/e ! otra rica en ,ierro llamada escoria que
a la temperatura de reacción se mantienen fundidas. Estos productos se recogen en una %ona de sedimentación ! los gases se envan a tratamiento. "a reacción de conversión esta dada segDn*
H &u0eS = 17 8 ---> 7 &uS = 0e78; = P S8 (&oncentrado)
(E/e)
(Escoria)
En la %ona de sedimentación que se mantiene a 174&# la fase e/e tiene una densidad ma!or que la escoria por lo que se asenta en el fondo# mientras que la escoria permanece en la superficie. "as fases son e'tradas en forma discontinua para conversión final a través de toberas que se ubican a una altura adecuada. Este proceso llamado AsangradoB se reali%a cada un tiempo dado para mantener niveles adecuados ! no contaminar las fases. El determinar la altura de las fases ! el tiempo de sangrado es vital para una correcta operación del convertidor. &on esta descripción ! la figura que se ad/unta# desarrollar un modelo matemático para predecir la evolución de los niveles de ambas fases con el tiempo cuando las fases se están acumulando ! cuando se esta sangrando como función del flu/o de concentrado. Suponga que la reacción es instantánea# con 1M de conversión ! el o'geno se alimenta en proporción estequiométrica. El sedimentador se puede considerar como perfectamente me%clado# propiedades constantes en ambas con flu/os de salida proporcional a la carga estática
11 .- "a relación entre el flu/o que circula por una válvula de control con la cada de presión en la válvula ! la posición del vástago esta dad a por las siguientes e'presiones*
Q Cv C ( P 5 SG ) Cv Co C
X
(1 ) C X 2
.
6onde S es la gravedad especfica# R 9 es la cada de presión en la válvula# el caudal ! &v el coeficiente de resistencia de la válvula# que depende de la fracción de posición del vástago (-1) ! una constante de descarga &o. Suponga que se tiene un sistema de flu/o de agua ( S21) compuesto por una válvula de control neumática de cerrado rápido ( 2 . ) ! un posicionador 59 lineal de ; a m . &uando la presión de entrada es de 3 9sia ! se aplica 1m# el flu/o es de 3 "ts5min cuando descarga a la presión atmosférica. i)
Se pide determinar un modelo de función de transferencia alrededor de este punto de operación# que tome en cuenta la variación del flu/o
frente a
cambios en la presión de entrada ! la corriente a la válvula. suma que el cambio en el flu/o con la presión de entrada ! la posición del vástago es instantáneo# mientras que el posicionador# tiene una dinámica de primer orden con respecto a la corriente de entrada# con una constante de tiempo de 3 seg. ii)
Si la presión de entrada aumenta en 39sig# determinar el error en la predicción del flu/o de salida del modelo de función de transferencia con respecto al valor real# si se mantiene constante la corriente a la válvula. .
1- :n sistema de mDltiples entradas ! salidas compuesto por dos sub-procesos puede ser e'presado vectorialmente por medio de funciones de transferencia lineales segDn*
u1 X 1 G1 1 G . X . G7 G ; C u . u7
Y G3
X 1 G H C X .
"as funciones de transferencia son *
1 =
10S .1
2 -'
S-2
1 2 =
S .2
' =
S .'
1 ( =
S .'
2 =
1
S2 . 0%8 S.2
+ =
S2 .1
v)
6eterminar diagrama de bloques del proceso.
vi)
:sando el teorema del valor final encontrar el valor de N de estado estacionario cuando $1 cambia en un escalón unitario.
vii)
8rden ! forma de la respuesta del la%o Y-$2%
viii)
9olos ceros ! estabilidad del la%o Y & $'
17 .- En un proceso especfico# la cada de presión en los tubos de un condensador depende del flu/o de fluido fro I ! el flu/o de vapor Q. &on la finalidad de determinar las funciones de transferencia# se reali%a un e'perimento dinámico en donde se altera secuencialmente ambas variables. partir de un estado estacionario dado por I2 1 m75, # Q 27 Fg5min # 92 7 psi # a tiempo cero# el flu/o de vapor se incrementó en forma escalón ,asta Q2 ; Fg5min.
manteniéndose constante ,asta el fin de la
e'periencia. Transcurridos H segundos el flu/o de fluido fro I se disminu!e en forma escalón ,asta K m75, manteniéndose constante ,asta el fin de la e'periencia# mientras que el flu/o de vapor se mantiene en ; Fg5min. El resultado de la e'periencia de los dos cambios secuenciales se ilustra en la figura ad/unta.
S4 5a 6$7497 97 : ;<4< 9<:7, :<47a< $ ;a<><9%
1; .- "a figura esquemati%a un estanque separador de dos fluidos inmiscibles ! que se alimenta con flu/o másico 0o ! fracción en masa a del liquido más pesado. El estanque tiene un área constante ! las densidades de los lquidos pueden considerarse constantes. "os flu/os de salida son proporcionales a la carga ,idrostática en el tubo de salida (CCgC, ) con la constante de resistencia de la válvulas (iguales) .
i)
ii)
6educir el modelo matemático que describa las alturas de los niveles de los dos fluidos (,a ! ,b) considerando que ,b ,o Encontrar las funciones de transferencia de ,a ! ,b considerando a 0o como variable manipulada.
13 .- "os biosensores son peque?os microreactores biológicos en donde la reacción se lleva a cabo en un soporte sólido que contiene a los elementos biológicamente activos inmovili%ados. :no de los más usados son los detectores de alco,ol o Aalco-testB # en donde una en%ima desarrolla una reacción e'otérmica de o'idación del etanol. El aumento de la temperatura en la matri% sólida permite detectar la e'istencia de alco,ol.
Se pide desarrollar un modelo apro'imado de un aparato de alco-test compuesto por dos volDmenes o fases# una gaseosa por la que circula el vapor ! otra sólida donde esta la en%ima inmovili%ada para reali%ar la reacción. 9or simplificación se asume que las dos fases se comportan como totalmente me%cladas. "a porosidad del lec,o es ! la superficie especfica s. Suponga que se sopla con una velocidad lineal v ! una concentración de alco,ol &o ! una temperatura Tg que se mantiene constante en la fase gas. El alco,ol se transfiere por un mecanismo convectivo ,acia la fase sólida con un coeficiente de T. de masa Fc.
En la interfase gas sólido la
concentración de equilibrio (solubilidad del alco,ol) &i es función de la temperatura del sólido Ts con una funcionalidad tipo r,enius. En el sólido se asume que la concentración de alco,ol es &i la que se puede considerar constante en toda la fase sólida# ! la velocidad de reacción se puede asumir como ,omogénea de primer orden con constante cinética U ! una dependencia tipo ar,enius con la temperatura del sólido Ts. "a reacción es e'otérmica con calor de reacción Lr. 9uede considerarse que el sistema no transfiere calor al e'terior# pero si algo de calor se transfiere a la fase gas por convección.
&on esta descripción desarrolle las ecuaciones para un modelo
dinámico que informe de la variación de la concentración de alco,ol & en la fase gas ! de la temperatura de la matri% sólida Ts.
1H .- En base al diagrama que se ad/unta# determinar los polos# ceros# ! estabilidad del sistema.
1J.-
:n @eactor
de membrana cataltica es una innovación tecnológica para me/orar el
rendimiento de reacciones ,eterogéneas. En este tipo de reactores una membrana cataltica cubierta por soportes adecuados separa la fase lquida ! gaseosa. "os soportes entregan la selectividad necesaria para que solo los componentes que reaccionan entren a la membrana cataltica que proporciona las condiciones necesarias para llevar a cabo la reacción. Suponga que la reacción de ,idrogenación de nitrobenceno para dar anilina &HL3 +8=7L
&HL3 +L=L8
se llevara a cabo en uno de estos reactores segDn se esquemati%a en la figura. "a cámara de lquido esta totalmente agitada ! las concentraciones cambian con el tiempo a medida que ocurre la reacción en el interior de la membrana. 9or el lado del lquido el soporte permite el paso de agua# anilina ! nitrobenceno mediante difusión molecular ! es impermeable al paso del gas. 9or el lado del gas# flu!e ,idrogeno puro que atraviesa el soporte de
la membrana con resistencia a la
transferencia de masa despreciable. El soporte por el lado del gas no permite el paso de otros componentes. Se puede considerar que la reacción ocurre en fase liquida con cinética dada por (-@a)2 FC&LC& +
con &L la concentración de ,idrógeno disuelto ! & + la concentración de
nitrobenceno en la membrana. "a solubilidad del ,idrógeno en la me%cla sigue una relación tipo Lenr!# ! el sistema se puede considerar isotérmico. &on esta descripción deducir un modelo matemático para determinar la evolución de las especies con el tiempo en la fase lquida ! en la fase de membrana cataltica. Enumere claramente las suposiciones reali%adas para deducir el modelo
1K .- :n estanque cónico de 1 m de altura ! m de radio superior se utili%a para alimentar agua a un proceso. "a válvula de descarga entrega un flu/o que es proporcional a la ra% cuadrada de la altura del estanque. 9ara un flu/o de alimentación (3 Fg5s) la altura de equilibrio se establece en H m. iii)
6eterminar el modelo de función de transferencia para la altura como función del flu/o de entrada tomando como referencia al estado estacionario especificado anteriormente. Si el flu/o de entrada se aumenta en =M del valor original# determinar la nueva altura de estadio estacionario con el modelo de función de transferencia ! encuentre el error con respecto a la altura real alcan%ada.
iv)
7.- :n sistema de mDltiples entradas ! salidas compuesto por dos sub-procesos puede ser e'presado vectorialmente por medio de funciones de transferencia lineales segDn*
u1 X 1 G1 G . G 7 X . G ; G 3 C u . u 7
Y GH
X 1 GJ C X .
"as funciones de transferencia son *
1 =
2 =
10S .1 1 ( =
S .'
2 -'
S-2
1
=
' =
S .(
S .'
2
1
S2 . 0%8 S.2
+ =
S2 .1
1 ! =
S .1
i')
6eterminar diagrama de bloques del proceso.
')
:sando el teorema del valor final encontrar el valor de N de estado estacionario cuando $1 cambia en un escalón unitario.
'i)
8rden ! forma de la respuesta del la%o Y-$1%
'ii)
9olos Oeros ! estabilidad del la%o Y & $'
1P .- En un reactor @T& de sección constante se lleva a cabo una reacción irreversible ,omogénea de orden #
A P<9:$9 ba/o condiciones isotérmicas. El flu/o
volumétrico de entrada es 0o ! el de salida es proporcional a la ra% cuadrada de la altura de lquido en el estanque (,) . "a concentración de en la entrada es &ao ! las propiedades pueden considerarse como constantes. i) 6educir el modelo matemático que describe , ! & con el tiempo. ii) "iberali%ar el modelo# pasarlo a función de transferencia ! ,acer el correspondiente
diagrama de bloques.
.- &onsidere el caso de un condensador vertical a presión constante en donde vapor saturado a una temperatura Tv condensa por el e'terior de un ,a% de tubos de longitud L# dispuesto en posición ,ori%ontal. 9or el interior de los tubos circula un fluido de enfriamiento que se mantiene a una temperatura constante Tf . "a salida de condensado está locali%ada en el fondo del condensador con un flu/o volumétrico que es proporcional a la altura del condensado (,). El ,a% de tubos# de área e'terna t # presenta dos %onas* una e'puesta al vapor donde se reali%a la condensación ! otra sumergida en el condensado# donde este se enfra. "a resistencia a la transferencia de calor puede ser resumida en términos de coeficientes globales de T. de &alor para la condensación (:v) ! enfriamiento (:").
"a %ona lquida puede ser considerada como perfectamente
me%clada a una temperatura T. El condensador tiene una sección transversal neta c constante. i ) 6educir un modelo matemático para la evolución de dinámica de la altura de condensado (,) ! la temperatura de salida del condensado T ii) Encontrar , ! T de equilibrio para los siguientes datos*
Tv213 4& G Tf2;4& G t2 m G L 2 3 m G c2 1 m G :v2 1 (cal5s m 4&) G ²
²
²
:"2 (cal5s m 4&) G 2 3 (Fcal5Fg) G 2 .PH (gr5cc) G ²
2 7.7E-; (m 5min)G ²
&p"2.PK(Fcal5Fg 4&)
1 .- 9ara modelar los efectos de me%clado no ideal en reactores &ST@ es comDn asumir un modelo de reactor con un volumen muerto Qm# tal como lo muestra la figura. Si los flu/os 0 ! 0m son constantes# determinar la función de transferencia que relaciona
C4 con C asumiendo que en el reactor se lleva a cabo una reacción irreversible de primer orden.
C4# # C# # C # ? #m
.- En referencia al problema de la descarga de un estanque anali%ado en clases # la velocidad en el ducto (v) ! la altura en el estanque (!) están dados por * "v/"# = 0$0107! -0$00205 v² "!/"#= %o/113 - 0$0&2' v
:n estado estacionario está dado por
( %o273# v2;.PH;# !2 ;.J1 )#
en unidades
consistentes . Se pide*
i)
"ineali%ar el sistema en torno a ese estado estacionario
ii)
6eterminar la función de transferencia de
, con 0o ( en variables de
desviación con respecto a ese estado estacionario) iii)
Estimar# usando el teorema del valor final # la altura de equilibrio cuando 0o cambia en forma escalón desde 73 a ;.
iv)
@epresentar en forma cualitativa la forma de la respuesta con la debida fundamentación basada en los conceptos teóricos vistos en clases.
7*- El proceso de ,emodiálisis consiste en retirar de la corriente sangunea una serie de residuos metabólicos que son per/udiciales al organismo cuando se presentan en altas concentraciones. En forma artificial el proceso de reali%a fundamentalmente poniendo en contacto el flu/o sanguneo con una membrana selectiva que de/a difundir entre sus poros sólo a los contaminantes. 9or la otra cara de la membrana una solución retira ! elimina estos residuos. 9ara efectos de modelación ! simulación de estos sistemas se ,ace uso de consideraciones fenomenológicas ! diversos supuestos. Se solicita la sntesis de un modelo matemático para este proceso ba/o las siguientes consideraciones* - &onsidere solo una porción del sistema compuesta por un tubo de sección circular cu!as paredes están compuestas por la membrana selectiva. - Tome en cuenta dos componentes en la fase sangunea ( soluto 2 contaminante # solvente2 liquido portador) - "a fase sangunea flu!e en régimen laminar ! el flu/o no se ve afectado por la transferencia de masa. - "a concentración de contaminante en la entrada es constante# ! no e'iste perfil en sentido radial. - El contaminante se transfiere por las paredes de la membrana ! además desaparece por reacción ,omogénea de primer orden en la fase sangunea. - "a transferencia de contaminante a través de la membrana es por difusión molecular# e'istiendo un coeficiente de difusión efectivo. Se considera que no ,a! acumulación de contaminante en la membrana# ! que la resistencia a la transferencia de masa por el lado de la sangre es despreciable. - 9or el
lado de la solución
desorbente e'iste una resistencia convectiva a la
transferencia de materia. En el seno de esta fase se reali%a una reacción qumica mu! rápida que reduce totalmente a los contaminantes. - 9ropiedades constantes. ii) En el caso que e'ista acumulación de contaminantes en la membrana# V como sera el nuevo modelo ( e'plique ) W .
; .- "a figura ilustra un proceso de destilación binaria en que las composiciones de destilado : ! de fondo @ son las variables de salida# mientras que las condiciones de alimentación al proceso ( T9 !
6 #
el
#9)# el flu/o de agua de refrigeración en el condensador
calor suministrado en el calefactor de alimentación
alimentado en el fondo
# ! el vapor vivo
?9# son las variables e'ternas al proceso. "as relaciones
dinámicas entre cada una de estas están dadas por funciones de transferencia de ;<4<
9<:7 # inclu!endo a la temperatura de entrada a la columna T4 . "a tabla siguiente entrega los parámetros de estas funciones.
0. T.
Qariables
1 2 ' ( + ! 8 "
T4- T4-#9 T4-T9 :-T4 :-6 :-?9 @-T4 @-6 @-?9
anancia# Fp
0%0! -10 0%8 0%00( -0%2 0%2 0%002 0%1 0%'
&te de tiempo# traso # td
10 2 1 1 22 '0 20 2 28
0 0 0 ' 10 1 10 (
6eterminar *
6iagrama de bloques del sistema. 8rden# los polos ! los ceros del la%o @-T9. 0rente a un cambio escalón unitario simultáneo en ! en #9# e'plicar cual afecta más rápido a la temperatura de entrada T4# ! dibu/ar en forma apro'imada la respuesta global para T4. Si consideramos el siguiente estado estacionario* =1000# #92# T9273# 6 2 1# ?92.;# :2 .P;# @2 .3# T42K. 6eterminar las composiciones de equilibrio cuando se reali%a un escalón simultáneo en 2113# ?92.3 ! 6 21..
3 .- "a figura ilustra un sistema de dos tanques interconectados. "a resistencia al flu/o entre los dos estanques es lineal# mientras que la del flu/o de salida es proporcional a la ra% cuadrada de la altura en el estanque que recibe la alimentación. "as áreas
transversales de ambos estanques son iguales. :n estado estacionario a considerar es el punto #923 (m75s)G
h22; (m) . sumir 12 1
6educir la función de transferencia h2-#9.
Sobre el resultado anterior # indicar el orden ! forma de la respuesta. 6eterminar el M de error en la predicción de h2 de estado estacionario del modelo de función de transferencia con respecto al valor real# si se introduce un cambio escalón en el flu/o de entrada #9 desde 3 a K (m75s).
H .- El clorobenceno se produce en un reactor batc, burbu/eando cloro puro sobre benceno lquido# segDn la siguiente reacción e'otérmica.
C52 . C++ C+C5 . C5 6entro del reactor el &l forma burbu/as esféricas de diámetro D;# ocupando un ;M del volumen del reactor ?# mientras que el HM restante está ocupado por la fase lquida# manteniéndose esta proporción constante durante toda la reacción. "a dinámica de la fase gaseosa es despreciable.
El paso de cloro gaseoso a la fase de reacción esta controlado por la transferencia de masa en la fase lquida. El coeficiente de T. de masa puede considerarse constante# ! la solubilidad del gas sigue una dependencia tipo rr,enius con la temperatura de la solución T.
"a reacción es e'otérmica# ,omogénea ! de primer orden con respecto a los reactivos. El calor de reacción puede considerarse constante# ! la constante cinética con una dependencia tipo rr,enius con la temperatura.
&on el fin de me/ora la capacidad de e'tracción de calor# el lquido reaccionante es bombeado ,acia un intercambiador de placas con un flu/o #<. El intercambiador de calor de flu/o cru%ado tiene un área de transferencia de calor A; ! un coeficiente global . El
flu/o del fluido refrigerante es tan grande que se puede considerar que la temperatura de este fluido permanece constante e igual a T<. También se puede despreciar la dinámica de enfriamiento de la me%cla reaccionante en este intecambiador. 6educir un modelo matemático para este proceso# indicando todas las suposiciones reali%adas.
J .-
En la 0igura +4 1 se ilustra un proceso de calentamiento de un fluido de
propiedades constantes para ingresarlo a un proceso. El calentamiento de reali%a en un estanque de mX de sección transversal ! el calor es suministrado por un serpentn de vapor cu!a temperatura
se mantiene constante a 1 4&.
El fluido entra a una
temperatura de 34& . "a salida de la corriente caliente esta regulada por una válvula que presenta un flu/o másico proporcional a la carga ,idrostática. demás# el coeficiente global de transferencia de calor entre el fluido ! el serpentn (:) vara linealmente con la altura de lquido en el estanque. &uando al proceso ingresa un flu/o de 7 Fg5seg.# se registra una altura estacionaria de 7m ! una temperatura de 34&. Se pide determinar*
Encontrar las funciones de transferencia que relacionan la altura ! la temperatura en el interior de estanque como función del flu/o másico de entrada 4 (Dnica variable e'terna que puede variar).
6eterminar el orden ! forma de la respuesta del la%o T-4 .(fundamente)
M de variación en la predicción de la temperatura de estado estacionario del modelo de función de transferencia con respecto al proceso real cuando el flu/o cambia desde 7 a 3 Fg5seg.
9@89E66ES * 6ensidad 2 #K(gr5cc) G &p 2 1(Fcal5Fg 4&)
K.- En referencia a la 0igura +4 # los tres estanques tienen el mismo volumen e'iste reacción qumica. Tanto # ! R son flu/os volumétricos constantes.
6eterminar la función de transferencia que relaciona
C9 con C' .
? ! no
:sando el Teorema del valor final desarrollar una e'presión para
C' de estado
estacionario. @
�
F
F
&1
&
F
&7
P.- En base al diagrama que se ad/unta# determinar los polos# ceros# ! estabilidad del sistema.
1 s+1 1
Y Sum
1 s(s-1) G2
7 .- El proceso de secado en un lec,o fluidi%ado continuo se puede modelar suponiendo un sistema con me%clado perfecto. "as principales variables que afectan la ,umedad de salida son la ,umedad de entrada o ! la temperatura del lec,o Ts . Suponiendo que el flu/o de sólido seco "s (Ug5s) ! la masa de solido seco en el lec,o
M0 *
: :=
L0 * 9 ) M0 * N
N 9 * /; * T01 %, * ) &on el tiempo de retención ("s5
iv)
Se pide obtener un modelo de 0unción de Transferencia para la ,umedad de salida como función de Ts ! o. Suponga un estado estacionario dado por * oC 2 1G TsC 2 1 o& ! C2# . El tiempo de retención es constante e igual a 1 minuto.
v)
Si la ,umedad de entrada ! la T del lec,o cambian a .K ! 11 o& simultáneamente# determinar el M de error del modelo de 0T con respecto al del modelo sin lineali%ar.
N9a T 7 GH 71.- En referencia a la 0igura +4 1# los dos estanques tienen el mismo volumen e'iste reacción qumica irreversible de 14 orden . Tanto # !
? !
R son flu/os volumétricos
constantes.
C9 con C6 .
6eterminar la función de transferencia que relaciona
:sando el Teorema del valor final desarrollar una e'presión para
C6 de estado
estacionario.
F
@
F
�
&f
7.- :n sistema multivariable compuesto por dos procesos puede ser e'presado por medio de funciones de transferencia lineales segDn* $1 1 1 2 0 1 * $ 2 Y , + * 2 0 ' ( 2 $' "as funciones de transferencia son *
1 -' 1 =
2S .1
2 -'
S-' 2 =
S .(
' =
S .'
1 ( =
2 =
1
S .'
+ =
S2 .1
S .2
'iii)
6eterminar diagrama de bloques del proceso.
'iv)
:sando el teorema del valor final encontrar el valor de N de estado estacionario cuando u cambia en un escalón unitario.
'v)
8rden ! forma de la respuesta del la%o Y-$1%
'vi)
9olos Oeros ! estabilidad del la%o Y & $'
77 .- En un proceso de evaporación simple efecto# la temperatura de la cámara es función de la presion en el compresor de gases ! del flu/o de alimentación de salmuera. . &on la finalidad de determinar las funciones de transferencia# se reali%a un e'perimento dinámico en donde se alteran ambas variables con cambios escalón . El estado estacionario nominal está dado por I2 1 m75, # 92 7 psi ! KY&. tiempo cero# la presión del compresor se eleva en un 1M#
manteniéndose constante el flu/o de
salmuera. "a respuesta en la T de la cámara resulta ser de 4 orden sub-amortiguada estabili%andose la temperatura en KJ 4&. "a má'ima temperatura alcan%ada fue de P 4& ! el tiempo entre los picUs de temperatura fue de 1 minuto. 0inali%ado el e'perimento se vuelve al estado estacionario original para ,acer un cambio escalón de -M en el flu/o de salmuera# aumentando la temperatura ,asta K34& en una respuesta tipo primer orden sin atraso. En el transiente# el 3M de la respuesta final de la temperatura se alcan%a en 3 minutos.
&on estos antecedentes se pide determinar las funciones de transferencia de la temperatura de la cámara con la presión del compresor ! el flu/o de salmuera . Encontrar los polos de cada una de las funciones de transferencia.
7; .- "a figura esquemati%a un estanque separador de dos fluidos inmiscibles# un lquido ! un gas. El estanque tiene una altura total L ! área transversal . "os fluidos tienen propiedades constantes ! el gas obedece a la le! de los gases ideales. El flu/o másico de salida del lquido vara linealmente con la diferencia de presión en la válvula que tiene un coeficiente de resistencia. El flu/o de salida del gas es proporcional a la ra% cuadrada de la cada de presión en la válvula de gas con un coeficiente de resistencia. mbos fluidos descargan a presión atmosférica 9o
iii) iv)
6educir el modelo matemático que describa las altura del lquido ! ! la presión del casquete de gas en el estanque P . Encontrar las funciones de transferencia de ! ! P considerando a 0 ! como variables manipuladas.
73 .- El proceso de e'tracción de un soluto valioso presente en un sólido mediante transferencia con un solvente adecuado es una de las operaciones más tradicionales en la industria de procesos.
Suponga la e'tracción de una esencia desde un lec,o de
volumen Q de semillas con porosidad ! superficie especfica a p mediante un solvente lquido que percola en circuito cerrado con un flu/o volumétrico "
"a concentración de la esencia en el seno del lquido es &l ! en el seno de la fase sólida es &s. Se asume que ,a! resistencia a la transferencia de masa en las dos fases con coeficientes Fl en la fase lquida ! Fs2(65 ) en la fase sólida (unidades consistentes). El equilibrio entre las fases puede ser representada por un coeficiente lineal segDn *
C4)= *C54) 6onde el (i) denota condiciones de equilibrio.
9ara efectos de modelación se puede suponer que la e'tracción es a temperatura constante# ! el lec,o se puede dividir en AnB volDmenes iguales totalmente me%clados en ambas fases. demás# se pueden despreciar los efectos difusionales ! de dispersión en todos los sentidos.
9ara contabili%ar
la desnaturali%ación térmica de la escencia# se puede asumir que esta se
descompone con una cinética ,omogénea de primer orden con respecto a la concentración de esencia en la fase lquida.
&on esta descripción formule un modelo matemático para este proceso capa% de describir la evolución de la concentración de escencia e'trada &l n con el tiempo. suposiciones reali%adas.
ndique todas las
