DINÁMICA ESTRUCTURAL 2ª práctica calificada PROBLEMA 1.- (7 Puntos) Un sistem sistema a de un grado de libertad libertad es sometido etido a un desplazamiento ini inicial cial de 50mm. La frecuencia natural del sistema (wn) es de 10 Hertzios. Se desea calcular el amortiguamiento del sistema para lo que se ha medido que en el siguiente ciclo la amplitud del desplazamiento baja a 30mm. a) Calcule cual es el porcentaje de amortiguamiento ξ que presente este sistema. b) La frecuencia circular (wD) del sistema amortiguado. c) El coeficiente de amortiguamiento crítico del sistema “c cr ” expresado en (kN*seg/m), sabiendo que el peso de la estructura es de 100kN. d) El coeficiente de amortiguamiento del sistema “c” expresado en (kN*seg/m). Considere la siguiente formulación para la solución del problema.
δ=
u1
ln
u2
=
2 π ξ 1
−ξ
ωD
2
= ωn
1
−ξ
2
c
= 2 m ωn cr
SOLUCIÓN Parte (a) Ya que conocemos dos desplazamientos consecutivos, hallamos el decremento logaritmico u1
50
mm
u2
30
mm
ζ= ζ=
Ln (u1/u2) 0,5108256
……………….(1)
Hallando el porcentaje de amortiguamiento : ζ=
2*π*ξ/RAIZ(1-ξ²)
……………….(2)
Resolviendo la ecuacion cuadrática
ξ ₁ =
0,0810
ξ₂ =
0
ξ =
0,0810
Por lo tanto :
Parte (b) fn=
10
ωn =
fn*2π
ωn =
Hz
62,83 62,83 rad/seg rad/seg
(No puede ser ce cero)
ξ
=
c c
cr
Hallando la frecuencia circular: ωD = ωD =
ωn*RAIZ((1-ξ²)
62,63 rad/seg
Parte (c) Hallamos la masa de la estructura: W=
100,00
m=
W/ g
m=
KN
10,19 KN.s²/m
El coeficiente de amortiguamiento crítico del sistema “Ccr” Ccr = 2*m*ωn
Ccr =
1.280,98 KN*s/m
Parte (d) Hallamos el coeficiente de amortiguamiento del sistema “c” : c=
c=
Ccr* ξ
103,80 KN*s/m
PROBLEMA 2.- (6 Puntos ) El sistema mostrado en la figura esta compuesto por dos vigas de longitud L=6m y de sección rectangular b=250mm x h=500mm iguales entre sí, tal y como se muestra en la figura. En el cruce de ambas vigas coloca un equipo que pesa P(t)=1500kN. Se puede considerar un amortiguamiento crítico de 4.5%. El módulo de elasticidad del concreto como Ec=20.6GPa Para la solución del problema puede se proporcionan las rigideces de vigas en voladizo empotradas y articuladas en la base, use Ud. la que considere conveniente. P(t) M
L
K =1
K =
=1
K =
12 E I 3
L
K 3 E I 3
L
a) Determine la frecuencia circular, la frecuencia (Hz) y el período de este sistema. b) Considerando que el sistema tiene un desplazamiento correspondiente al de haber colocado la masa sobre las vigas y que la velocidad inicial es nula, se pide calcular el desplazamiento vertical del equipo para un tiempo de 1.4seg y 2.66seg. (3 puntos).
SOLUCIÓN Parte (a) b=
0,25
m
b=
0,50
m
L=
6,00
m
E=
20,60
GPa
Con los datos anteriores hallamos la inercia de la sección: b*h³/12 I= I=
0,00260417 m4
Hallando la rigidez de las vigas: 12EI/Lᶾ k1= k1= k2= k2=
2.980.324,07 N/m 12EI/Lᶾ 2.980.324,07 N/m
Hallamos una rigidez equivalente del sistema: ke= ke=
k1+ k2 5.960.648,15 N/m
Hallamos la masa de la estructura: W=
1.500,00
KN
m= m=
W/ g 152,91 KN.s²/m
Hallamos la frecuencia natural: ωn =
RAIZ(K/m)
ωn =
6,2436
rad/s
Calculamos la frecuencia circular: ξ₁ = 0,045 ωD =
ωn*RAIZ((1-ξ²)
ωD =
6,2373
rad/seg
Parte (b) Hallamos el desplazamiento inicial, según la ley de Hooke: k* uₒ F= u =
F/ k
u =
0,2517
m
v =
0,0000
m/s
ₒ
ₒ
ₒ
Reemplazando en ecuacion para t=1,4 y t=2,66 seg.
