EJERCICIO DE PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIO #1 1.Inversionistas S.A. es una empresa de corretaje que administra carteras de valores para clientes. Un cliente nuevo ha solicitado que la empresa maneje una cartera de inversiones de $80.000. Como estrategia inicial de inversión, el cliente desea restringir la cartera a una combinación de las acciones siguientes: Precio por Acción $25 $50
Acción La Favorita Banco Pichincha
Rendimiento anual estimado por acción $3 $5
Índice de riego 0.50 0.25
El índice de riesgo por acción es una clasificación del riesgo relativo de dos alternativas de inversión. Para los datos dados, se piensa que La Favorita es la inversión sujeta a más riesgo. Al restringir el riesgo total de la cartera, la firma de inversiones evita colocar cantidades excesivas de la cartera en inversiones potencialmente de rendimiento alto y riesgo elevado. Para la cartera actual se ha establecido un límite superior a 700 para el índice de riesgo total de todas las inversiones, también la empresa ha establecido un límite superior de 1.000 acciones para los valores La Favorita más riesgosos. ¿Cuántas acciones de cada uno de estos valores deben ser adquiridos a fin de maximizar el rendimiento anual total? RESOLUCIÓN:
Definición de variables: o
X1: La Favorita
o
X2: Banco Pichincha
Función Objetivo o
ZMax: 3X1 + 5X2
Restricciones o
0.50X1 +0.25X2 <= 700 por riesgo
o
25X1 + 50X2 <= 80000 inversión por acciones
o
X1
<= 1000 riesgo de inversión La Favorita
EJERCICIO #2 Hart Venture Capital (HVC) se especializa en el suministro de capital de riesgo para el desarrollo de software y aplicaciones de Internet. Actualmente HVC tiene dos oportunidades de inversión: (1) Security Systems, una empresa que necesita capital adicional para desarrollar y el paquete de software de seguridad de Internet; y (2) Market Analysis, una empresa de investigación de mercado que necesita capital adicional para desarrollar un paquete de software para la realización de encuestas de satisfacción del cliente. A cambio Security Systems pide valores, la firma pidió HVC para proporcionar $600.000 en el año 1, $600.000 en el año 2, y $250.000 en el año 3 en el próximo período de tres años, a cambio de sus acciones, Market Analysis pidió a HVC para proporcionar $500.000 en el año 1, $350.000 en el año 2, y $400.000 en el año 3 con respecto al mismo período de tres años. HVC cree que tanto las oportunidades de inversión que vale la pena perseguir. Sin embargo, a causa de otras inversiones, que están dispuestos a comprometerse a más $800.000 para ambos proyectos en el primer año, como máximo $700.000 en el segundo año, y $500.000 en el tercer año. Equipo de análisis financiero de HVC revisó ambos proyectos y recomendó que el objetivo de la empresa deba ser maximizar el valor presente y recomendó que el objetivo de la empresa deba ser maximizar el valor presente neto de la inversión total entre Market Analysis y Security Systems. El valor presente neto tiene en cuenta el valor estimado de las acciones al final del período de tres años como las salidas de capital que son necesarios durante cada uno de los tres años como las salidas de capital que son necesarios durante cada uno de los tres años. Utilizando una tasa de 8% de rentabilidad, el equipo de análisis financiero de HVC estima que el 100% de la financiación del proyecto de Security Systems tiene un valor presente neto de $1,8 millones y 100% de la financiación del proyecto Market Analysis tiene un valor presente neto de $1,6 millones. HVC tiene la opción de financiar cualquier porcentaje de los proyectos Market Anaylisis y Security Systems. Por ejemplo, si HVC decidan financiar el 40% del proyecto Security Systems, las inversiones de 0,40 ($600.000) = $240.000 sería requerido en el año 1, 0,40 ($600.000)= $240.000 sería requerido en el año 2 y 0,40 ($250.000) = $100.000 serían necesarios en el año 3. En este caso, el valor presente neto del proyecto de Security Systems sería 0,40 ($1.800.000) = $720.000. Los montos de inversión y el valor actual neto de la financiación partían del proyecto Market Analysis se calculan de la misma manera. INFORME GERENCIAL Realizar un análisis del problema de la inversión de HVC y preparar un informe en el que se presenta sus conclusiones y recomendaciones. Asegúrese de incluir información sobre lo siguiente: 1. El porcentaje recomendado de cada proyecto que HVC debe financiar y el valor presente neto de la inversión total. 2. Un plan de asignación de capital para los Security Systems y Market Analysis para el próximo período de tres años y la inversión total HVC cada año.
3. El efecto, si lo hay, en el porcentaje recomendado de cada proyecto que HVC debe financiar si HVC está dispuesto a cometer un adicional $100.000 durante el primer año. 4. Un plan de asignación de capital en caso de un adicional de $100.000 se pone a disposición. 5. Su recomendación sobre si HVC debe cometer el adicional de $100.000 en el primer año. RESOLUCIÓN:
Definición de variables: o
X1: Security Systems
o
X2: Market Analysis
Función Objetivo o
a)
b)
c)
ZMax: 1.800.000X1 + 1.600.000X2
Restricciones o
600.000X1 + 500.000X2 <= 800.000 Año 1
o
600.000X1 + 350.000X2 <= 700.000 Año 2
o
250.000X1 + 400.000X2 <= 500.000 Año 3
VARIABLES SEGURITY SYSTEM MARKET ANALISIS VARIABLES SEGURITY SYSTEM MARKET ANALISIS VARIABLES SEGURITY SYSTEM MARKET ANALISIS
AÑO 1 INVERSION INV. EFECTUADA TASA RENT. 75% $ 600.000,00 $ 450.000,00 70% $ 500.000,00 $ 350.000,00 MAXIMO A INVERTIR $ 800.000,00 AÑO 2 PORCENTAJE INVERSION INV. EFECTUADA TASA RENT. 75% $ 600.000,00 $ 450.000,00 71% $ 350.000,00 $ 250.000,00 $ 700.000,00 AÑO 3 PORCENTAJE INVERSION INV. EFECTUADA TASA RENT. 100% $ 250.000,00 $ 250.000,00 63% $ 400.000,00 $ 250.000,00 $ 500.000,00 PORCENTAJE
RENTABILIDAD 8% $ 36.000,00 8% $ 28.000,00 $ 64.000,00
PAGO $ 486.000,00 $ 378.000,00 $ 864.000,00
RENTABILIDAD 8% $ 36.000,00 8% $ 20.000,00 $ 56.000,00
PAGO $ 486.000,00 $ 270.000,00 $ 756.000,00
RENTABILIDAD 8% $ 20.000,00 8% $ 20.000,00 $ 40.000,00
PAGO $ 270.000,00 $ 270.000,00 $ 540.000,00
ANÁLISIS El porcentaje recomendado para cada proyecto es variado, puesto que el porcentaje de financiación fue entregado según el presupuesto que estaba designado para cada año. En cuanto al valor presente neto de la inversión total con un porcentaje del 8% es de $ 1.737.794,04; aunque este valor es menor puesto que destinamos unmayor presupuesto hacia Security System, porque al final del periodo de tres años esta empresa nos da a cambio sus acciones, por el riesgo de la inversión realizada. Respecto al punto dos el plan de asignación del capital, fue dado con la ganancia de los tres años anteriores por tanto, la decisión fue destinar todos los recursos hacia una nueva inversión para los próximos tres años. En cuanto al punto tres el porcentaje recomendado varía por las razones dadas, en cuanto a Security System y la obtención de sus acciones por tanto la decisión fue con los 100000 USD adicionales financiar el 100% del proyecto Security y el restante hacia Market Analysis, creando un porcentaje de 60%. En el cuarto punto se considera que de los 100000 USD; 40000 USD se financiaron en el primer año, esta decisión se llevó a cabo debido a la necesidad de recuperar un porcentaje más alto en el corto plazo de la inversión disponible. Es recomendable cometer la adicional de 100000 USD en el primer año, debido a que nos permite incrementar el porcentaje de financiamiento al 100% en el proyecto que más le interesa al HVC, y de igual manera obtenemos una recuperación inmediata.
EJERCICIO # 3 La compañía Darby fabrica y distribuye medidores, se utiliza para medir el consumo de energía eléctrica. La empresa comenzó con una pequeña planta de producción en El Paso y poco a poco construyó una base de clientes en todo Texas. Un centro de distribución se estableció en el pie. Worth Texas más tarde, cuando los negocios se expandieron por el norte; un segundo centro de distribución se estableció en Santa Fe, Nuevo México. La planta de El Paso se amplió cuando la compañía comenzó a comercializar sus medidores en Arizona, California, Nevada y Utah. Con el crecimiento de la empresa Costa Oeste, la compañía abrió una tercera Darby centro de distribución en las Vegas y hace dos años abrió una segunda planta de producción en San Bernardino, California. Los costes de fabricación difieren entre las plantas de producción de la empresa. El costo de cada medidor producido en la planta de El Paso es $10.50. La planta de San Bernardino utiliza más nuevo y más eficiente; como resultado, los costes de fabricación son $0.50 por medidor menos que en la planta de El Paso. El costo de envío por unidad de las instalaciones de producción a los centros de distribución. CENTRO DE DISTRIBUCIÓN PLANTA El Paso San Bernardino
FORT WORTH
SANTA FE
LAS VEGAS
3.20
2.20
4.20
-
3.90
1.20
Debido al rápido crecimiento de la empresa, no se ha prestado mucha atención a la eficiencia del sistema de distribución, pero la gestión de Darby decidido que es el momento de abordar esta cuestión. El coste de envío de un medidor de cada una de las dos plantas de cada uno de los tres centros de distribución se muestra en el cuadro anterior. La capacidad de producción trimestral es 30.000 medidores en la antigua planta de El Paso y 20.000 medidores en la planta de San Bernardino. En cuenta que no se permiten los envíos de la planta de San Bernardino hasta el centro de distribución de Fort Worth. La compañía presta servicios a nueve zonas de los clientes a partir de los tres centrso de distribución. La previsión del número de medidores necesarios en cada zona de clientes para el próximo trimestre se muestra en la siguiente tabla.
PROVISIÓN DE LA DEMANDA ANUAL ZONA DE CLIENTES
DEMANDA EN MEDIDORES
Dallas
6.300
FORT WORTH
San Antonio
4.880
14.520
Wichita
2.130
Kansas City
1.210
Denver
6.120
SANTA FE
Salt Lake City
4.830
13.700
Phoenix
2.750
Los Ángeles
8.580
LAS VEGAS
San Diego
4.460
13.040
El costo por unidad de envío de cada centro de distribución a cada zona del cliente figura en la siguiente tabla, tenga en cuenta que algunos centros de distribución no pueden servir de ciertas zonas de los clientes. Los gastos de envío de los centros de distribución a las zonas de los clientes CENTRO DE DISTRIBUCIÓN DALLAS
Fort Worth Santa Fe Las Vegas
0,3 5,2 -
ZONA DE LOS CLIENTES SAN WICHITA KANSAS DENVER SALT PHOENIX LOS SAN ANTONIO CITY LAKE ÁNGELES DIEGO CITY 2,1 3,1 4,4 6 5,4 4,5 6 2,7 4,7 3,4 3,3 2,7 5,4 3,3 2,4 2,1 2,5
En la demanda de la estrategia de distribución de corriente en el área de Dallas, San Antonio, Wichita y Kansas City zonas cliente está satisfecho por los envíos de los pies Worth DC. De una manera similar a los Denver, zonas de clientes de Salt Lake City y Phoenix son servidas por Santa Fe DC. Y las zonas de Los Ángeles y San Diego de los clientes están satisfechas por las Vegas DC. Para determinar el número de unidades para que en cada planta, las previsiones dela demanda del cliente se agregan a los centros de distribución y un modelo de transporte se utiliza para reducir al mínimo los costos de envío de las plantas de producción a los centros de distribución.
INFORME DE GESTIÓN Se le pide que formule recomendaciones para mejorar el sistema de distribución. Su informe debe abordar pero no se limitará a las cuestiones siguientes:
Si la empresa no cambia su estrategia de distribución cuáles serán sus costes de fabricación y de distribución será el siguiente trimestre.
Supongamos que la empresa está dispuesta a considerar abandonar las limitaciones de centro de distribución que son los clientes puede ser servido por cualquiera de los centros de distribución para los cuales los costos están disponibles, pueden reducir costos y por cuánto.
La empresa quiere explotar la posibilidad de satisfacer parte de la demanda cliente directamente de las plantas de producción. En particular, el coste de envío $0.30 por unidad desde San Bernardino a Los Ángeles y $0.70 desde San Bernardino a San Diego, el costo de los envíos directos desde El Paso a San Antonio es de $3.50 por unidad. ¿Pueden los costos de distribución reducir aún más al considerar estas plantas directo a los envíos de los clientes?
Durante los próximos cinco años, Darby se anticipa un crecimiento moderado (5.000 medidores) al norte y al oeste. ¿Recomendaría que consideraran la ampliación de la planta en este tiempo? RESOLUCIÓN: a)
b)
c)
ANÁLISIS El sistema de distribución de la Compañía Darby, tiene dos plantas: El Paso el cual se fue expandiendo sus envíos en Fort Worth Santa Fe y Las Vegas; y una segunda planta de producción de San Bernardino, que distribuía a los centros de Santa Fe y Las Vegas. Lo que requiere la empresa es minimizar sus costos de envío de las plantas de producción a los centros de distribución; tomando en cuenta su capacidad de producción de los medidores de cada planta y la demanda trimestral por los clientes en las diferentes zonas. Si la empresa no cambia su estrategia de la distribución actual tenemos que para realizar el envío desde las plantas a cada centro cuesta $92252.00; y los costos de envío por los centros de distribución a la zona de los clientes es de $96382.00; por lo tanto los costos totales que obtendría la empresa es de $188634.00 para el siguiente trimestre. Si la empresa estuviera dispuesta a disminuir los costos de cada centro de distribución para enviarles a sus clientes, en este caso la planta San Bernardino entrega a todos los centros de distribución, por lo que si el costo de envío para Fort Worth fuera de $2.00, los costos serían de $83900.00 el cual lograría la empresa ahorrar $8352.00, siempre y cuando logre satisfacer a los clientes. En cuanto a la satisfacción de la demanda de los clientes, en particular en el costo de envío desde San Bernardino a Los Ángeles, y del mismo a San Diego y el costo de envío directo desde El Paso a San Antonio, se considera que es más beneficioso enviar directamente a los clientes porque tenemos menos costos ya que se lograría $83764.00 a diferencia del anterior, lo cual estaríamos ahorrando $8488.00 y la empresa procuraría que el cliente siempre esté satisfecho con los envíos realizados justo a tiempo o en el menor tiempo posible. Además se dice si la empresa durante los próximos cinco años se anticiparía a un crecimiento de 5000 medidores al norte y al este, se considera que al efectuar una ampliación en este momento los costos de distribución serían demasiado altos y sobre todo tendría que gastar para la construcción de la planta por lo que no se puede invertir por solo enviar 5000 medidores, se necesitaría que tener una fuerte demanda o considerando que el envío sea desde 10000 medidores para que la empresa tome decisión de la ampliación pero por el momento no es beneficioso.
EJERCICIO #4 Como parte del acuerdo de una demanda colectiva, Hosworh Corporación debe proveer suficiente dinero en efectivo para hacer los siguientes pagos Anuales (en miles de dólares). Año 1 2 3 4 5 6 Pago 190 215 240 285 315 460 Los pagos anuales deben realizarse al comienzo de cada año. El juez aprobará una cantidad que, junto con las ganancias de su inversión, cubrirá los pagos anuales. Inversión de los fondos se limitará al ahorro (4% anual) y títulos públicos, a precios y tarifas, actualmente cotizados en el Wall Street Journal. Hoxworth quiere desarrollar un plan para hacer los pagos anuales mediante la inversión en los siguientes títulos (valor nominal=$1000). Los fondos no invertidos en estos títulos serán colocados en el ahorro. Título 1 2
Precio Anual $ 1055 $ 1000
Rentabilidad (%) 6.750 5.125
Años Vencimiento 3 4
Supongamos que el interés se paga anualmente. El plan será presentado ante el juez y, si se aprueba, Hoxworth tendrá que pagar un fideicomisario la cantidad que será necesaria para financiar el plan. a) Utilizar la programación lineal para encontrar el establecimiento de efectivo mínimo necesario para financiar los pagos anuales. b) Utilizar el precio dual para determinar cuánto más Hoxworth debe estar dispuesto a pagar ahora para reducir el pago a principios del sexto año a $400.000 c) Utilizar el precio dual para determinar cuánto más Hoxworth debe estar dispuesto a pagar para reducir el pago el primer año a $150.000 RESOLUCIÓN:
Definición de variables: o
X1: Título 1
o
X2: Título 2
o
S: Ahorro
Función Objetivo o
ZMin: Total de los 6 años
Restricciones o
1705 – 1.055X1 + 1000X2 – S1 = 190 Año 1
o
0.0675X1 + 0.05125X2 + 1.04S1 – S2 = 215 Año 2
o
0.0675X1 + 0.05125X2 + 1.04S2 – S3<= 240 Año 3
o
1.0675X1 + 0.05125X2 + 1.04S3 – S4<= 285 Año 4
o o
0.05125X2 + 1.04S4 – S5<= 315 Año 5 1.04S5 – S6<= 460 Año 6
Aplicando la programación lineal se logró establecer que el efectivo mínimo necesario para financiar los seis pagos anuales es de $784110 más los 190000 necesarios para realizar el primer pago es decir que lo mínimo necesario es 784300.
Hoxworth necesita utilizar un precio dual para determinar cuánto está dispuesto a pagar al principio del sexto año si se genera un cambio de $460000 a $400000; luego de haber planteado el modelo nos permitió saber que el precio dual de este cambio es de $190000 el mismo que representa el ahorro de este cambio.
Para reducir el pago al principio del año seis a $400000 Hoxworth necesita 11400 incluidos a los 76000, este valor representa los $60000 llevados al valor actual es decir antes de iniciar los pagos. Hoxworth necesita utilizar un precio dual para determinar cuánto más está dispuesto a pagar para reducir la cuota del primer año, si se genera un cambio de $190000 a $150000; luego de haber planteado el modelo nos permitió saber que el precio dual de este cambio es de $190000 el mismo que representa el ahorro de este cambio.
El valor que debe estar dispuesto pagar Hoxworth para reducir la cuota en el primer año es de $40000, este valor desea disminuir la empresa por la condiciones de los pagos establecidos a principios de cada año, por lo tanto debemos pagar el mismo valor más los $11600 aceptados para disminuir el sexto pago. Por lo tanto la empresa Hoxworth necesita incrementar la rentabilidad y ésta decide la manera de pagar sus intereses en los seis años, tomando en cuenta si los pagos se realizan con una mayor cantidad para cubrir los intereses, pero además depende de la disponibilidad con que la empresa cuenta para destinar cierta parte del dinero en generar ahorro y rentabilidad.
EJERCICIO DE TRASPORTE EJERCICIO#1 Scott y Associates, Inc., es una empresa de contabilidad que tiene tres nuevos clientes. Los líderes del proyecto serán asignados a los 3 clientes. Sobre la base de los diferentes antecedentes y experiencia, las diferentes asignaciones de líder-cliente difieren en cuanto a plazos de ejecución previstos. Las posibles asignaciones y los tiempos estimados de finalización son las siguientes:
Proyecto – Líder Jackson Ellis Smith
Clientes 2 16 22 24
1 10 14 22
3 32 40 34
a. Desarrollar una representación de la red de este problema. REPRESENTACIÓN DE RED
Jackson
Cliente 1
10 16 32
14
Ellis
Cliente 2
22 40
22 24 34
Smith
Cliente 3
b. Formule el problema como un programa lineal y resuelva. ¿Qué se requiere el tiempo total? X1 X2 X3 X1 10X₁₁ 16X₁₂ 32₁₃ X2 14X₂₁ 22X₂₂ 40₂₃ X3 24X₃₁ 24₃₂ 34₃₃
FUNCION OBJETIVA: MIN: 10X₁₁+16X₁₂+32X₁₃+14X₂₁+22X₂₂+40X₂₃+24X₃₁+24X₃₂+34X₃₃ RESTRICCIONES:
x11 + x12 + x13 x21 + x22 + x23 x31 + x32 + x33 x11 + x21 + x31 x12 + x22 + x32 x13 + x23 + x33
≤ ≤ ≤ = = =
1 1 1 1 1 1
ANÁLISIS: El tiempo total óptimo requerido es de 64, es decir las asignaciones de tiempo líder – cliente se desglosan en las siguientes: 1. Del Proyecto – Líder Jackson se requiere de una asignación de tiempo 16 del cliente 2. 2. Del Proyecto – Líder Ellis se requiere de una asignación de tiempo 14 del cliente 1. 3. Del Proyecto – Líder Smith se requiere de una asignación de tiempo 34 del cliente Programación Lineal
EJERCICIO #2 Un producto es producido en tres plantas y enviado a tres almacenes (el coste de transporte por unidad se muestra en la tabla siguiente).
PLANTA PLANTA 1 PLANTA 2 PLANTA 3 DEMANDA DEL ALMACEN
ALMACEN 1 20 10 12
ALMACEN 2 16 10 18
ALMACEN 3 24 8 10
200
400
300
CAPACIDAD DE LA PLANTA 300 500 100
a) Mostrar una representación de red del problema. b) Desarrollar un modelo de programación lineal para minimizar los costos de transporte; resolver este modelo para determinar la solución de costo mínimo. c) Suponga que las entradas de la tabla representan la ganancia por unidad producida en la planta y se vende al almacén. ¿Cómo funciona el modelo de cambio de formulación que está en el literal b?
SOLUCION: 20 X11 PLANTA 1
ALM. 1
16 X12 24 X13 10 X21 10 X22
PLANTA 2
ALM. 2
8 X23
12 X31
18 X32 16 X12
X12 16 X33
PLANTA 3
ALM. 3
Modelo Matemático 20x11 +16x12 +24x13 10x21 + 10x22 + 8x23 12x31 + 18x32 + 10x33
El Precio
Restricciones X11 + x12 + x13 ≤ 300 Producto planta 1 X21 + x22 + x23 ≤ 500 Producto planta 2 X31 + x32 + x33 ≤ 100 Producto planta 3
Oferta
X11 + x12 + x13 ≤ 200 Producto planta 1 X21 + x22 + x23 ≤ 400 Producto planta 2 X31 + x32 + x33 ≤ 300 Producto planta 3 PLANTA P1 P2 P3 DEMANDA DE ALMACENES
Demanda
W1 200 X X
W2 20 10 12
200
100 300 X
W3 16 10 18
400
X 200 100
24 18 10 300
CAPACIDAD PLANTA (OFERTA) 300 500 100
La planta 1
designa
300 productos al almacén 2
Ahorra $4800
La planta 2
designa
200 productos al almacen1 ; 100 productos al almacen2; 200 productos al almacen3.
Ahorra $2000 Ahorra $1000 Ahorra $1600
La planta 3
designa
100 productos al almacen3.
Ahorra $1000 TOTAL $10400
ANALISIS: En el literal A podemos observar la distribución realizada de productos desde las plantas hacia los almacenes respectivamente, esta es la representación de red del problema. La distribución que nos permite optimizar dichos costos es la siguiente: La planta 1
designa
300 productos al almacén 2
$4800
La planta 2
designa
200 productos al almacen1 ; 100 productos al almacen2; 200 productos al almacen3.
$2000 $1000 $1600
La planta 3
designa
100 productos al almacen3.
$1000
TOTAL $10400
La distribución que nos permite maximizar nuestra ganancia se presenta en la siguiente tabla: La planta 1
designa
200 productos al almacén1 $4000 100 productos al almacen2 $1600
La planta 2
designa
300 productos al almacen2 200 productos al almacen3;
La planta 3
designa
100 productos al almacen3.
$3000 $1600 $1000
TOTAL $11200
EJERCICIO#3 Modelo de transporte para reducir los costos de producción (Programación Lineal) Demanda PROCUCT ORDERS (UNITS) A 2000 B 500 C 1200 Oferta PRODUCT CAPACITY (UNITS) 1 1500 2 1500 3 1000 Costos MACHINE PRODUCT A B C 1 1,00 1,20 0,90 2 1,30 1,40 1,20 3 1,10 1,00 1,20
Modelo de Red
X1 1500
A 2000
1
15001 500 X2 1500
B 500
X3 1000 C 1200
Función Objetiva 1X1A + 1.20X1B + 0.90X1C + 1.30X2A + 1.40X2B + 1.20X2C + 1.10X3A + 1X3B + 1.20X3C Minimizar
Restricciones X1A + X1B + X1C ≤ 1500 X2A + X2B + X2C ≤ 1500 X3A + X3B + X3C ≤ 1000 X1A + X2A + X3A = 2000 X1B + X2B + X3B = 500 X1C + X2C + X3C = 1200 X1A; X1B; X1C; X2A; X2B; X2C; X3A; X3B; X3C ≥ 0 Solución De x1 se envía 300 a A, De X1 no se envía nada a B, DE x1 se envía 1200 a C, De X2 se envía 1200 a A, De X2 no se envía nada a B y C, De x3 se envía 500 a A, De x3 se envía 500 a B y De x3 no se envía nada a C Resultados en el programa
EJERCICIO #4 CARD, área de cleveland entrega rápida opera un servicio de entrega en el área metropolitana cliveland . La mayoría de los negocios de tarjetas implica la entrega rápida de documentos y paquetes entre las oficinas durante el día laboral. CARD promueve su capacidad de hacer rápido y en entregas del tiempo en cualquier lugar en el área metropolitana. Cuando un cliente llama con una solicitud de entrega, CARD cita a una hora de entrega garantizada. la siguiente red muestra las rutas de la calle de siete lugares de recogida y entrega. Los números sobre cada arco indican el tiempo de viaje en minutos entre los dos lugares.
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12
6
15 9 5
a) Desarrollar un modelo de programación lineal de un problema de transbordo que se puede utilizar para encontrar el tiempo mínimo requerido para hacer la entrega de la posición 1 a la posición 7 .
b ) ¿Cuánto tiempo se tarda en hacer la entrega de la posición 1 a la posición 7 . Existen 5 rutas posibles para llegar de la posición 1 a la 7, las cuales son: 1. 2. 3. 4. 5.
X12+X27 = 35+39 = 74 minutos X12+X24+X47 = 35+18+16 = 69 minutos X13+X35+X56+X67 =30+15+9+18 =72 minutos X12+X24+X45+X56+X67 = 35+18+12+9+18 = 92 minutos X12+X23+X35+X56+X67 = 35+12+15+9+18 = 89 minutos
c ) Suponga que ahora es 13:00 TARJETA acaba de recibir una solicitud de una camioneta en el lugar 1 y el mensajero tarjeta más cercana está a 8 minutos de la ubicación 1 . Si CARD proporciona un margen de seguridad del 20% en guaranteening un plazo de entrega , lo que es el tiempo de entrega garantizada si el paquete recogió en la posición 1 es para ser entregado a la localización 7 . Ruta 2 (Tiempo Mínimo) 20% de Margen de Seguridad: 13,8 min. Tiempo: 69 min. Total: 82,8 min. Por tanto se puede realizer la entrega en un tiempo máximo de 82,8 minutos. Las rutas que cumplen el margen de seguridad son: Ruta 1 1. X12+X27 = 35+39 = 74 + 8 = 82 min. Ruta 2
2. X12+X24+X47 = 35+18+16 = 69 + 8 = 77 min. Ruta 3 3. X13+X35+X56+X67 =30+15+9+18 =72 +8 = 80 min.
EJERCICIO #5 Arnoff Enterprises fabrica la unidad de procesamiento central (CPU) de una línea de computadoras personales. Las CPUs se fabrican en Seattle, Columbus, New York y se envían al almacén en Pittsburgh, Mobile, Denver, Los Angeles y Washington DC. Para su posterior distribución. La siguiente tabla muestra el número de CPU disponibles en cada planta, el número de CPU requeridos por cada almacén, y gastos de envío (dólares por unidad)
a- Desarrollar una presentación de la red de este problema b- Determinar la cantidad que debe ser enviado desde cada planta a cada almacén para minimizar el costo total del envío c- El almacén de Pittsburgh aumentará su orden por 1000 unidades y Arnoff autorizo a la planta de Columbus para aumentar su producción en 1000 unidades. Será esta producción y aumento la ventaja hacia un aumento o disminución de los costos totales del envío? Resolver para le nueva solución óptima.
SEATLE: 4000 DENVER 5000 LOS ANGELES COLUMBUS: 4000 MOBILE NEW YORK: 3000 PITTSBURGH 1000 MOBILE 1000 LOS ANGELES 3000 WASHINGTON SEATLE: 4000 DENVER 5000 LOS ANGELES COLUMBUS: 5000 MOBILE NEW YORK: 4000 PITTSBURGH 1000 LOS ANGELES 3000 WASHINGTON
EJERCICIO #5 Tom’s produce varios productos alimenticios mexicanos y los vende a Western Foods, cadena de tiendas de abarrotes localizada en Texas y Nuevo México. Tom’s fabrica dos salsas: Western Foods Salsa y México City Salsa. Esencialmente, ambos productos son mezclas de tomates enteros, 30% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. La México City Salsa, que tiene una consistencia más espesa y troceada, está elaborada con 70% de tomates enteros, 10% de salsa de tomate y 20% de pasta de tomate. Cada tarro de salsa producida pesa 10 onzas. Para el período de producción actual, Tom’s puede adquirir hasta 280 libras de tomates enteros, 130 libras de salsa de tomate y 100 libras de pasta de tomate, el precio por libra de estos ingredientes es $0.96, $0.64 y $0.56 respectivamente. El costo de las especias y de los demás ingredientes es de aproximadamente $0.10 por recipiente. Tom’s compra tarros de vidrio vacíos a $0.02 cada uno, y los costos de etiquetado y llenado se estiman en $0.03 por cada tarro de salsa producido. El contrato de Tom’s con Western Foods resulta en ingresos por ventas de $1.64 por cada tarro de Western Foods Salsa y de $1.93 por cada tarro de México City Salsa. a. Desarrolle un modelo de programación lineal que le permita a Tom’s determinar la mezcla de salsa que maximice la contribución total a la utilidad. b. Haga una gráfica de la región factible. c. Resuelva las ecuaciones lineales simultáneas apropiadas a fin de determinar las coordenadas de cada punto extremo. d. Encuentre la solución óptima Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de tarros de salsa Western Foods X2 = Cantidad de tarros de salsa México City Función Objetivo Z max = (1.64 – (0.10+0.02+0.03+50%(10)(0.96)/16+30%(10)(0.64)/16+20%(10)(0.56)/16))X1 + (1.93 – (0.10+0.02+0.03+70%(10)(0.96)/16+10%(10)(0.64)/16+20%(10)(0.56)/16))X2
Z max = (1.64 – (0.15 + 0.3 + 0.12 + 0.07))X1 + (1.93 – (0.15 + 0.42 + 0.04 + 0.07))X2 Z max = 1X1 + 1.25X2 Restricciones 5X1 + 7X2 ≤ 4480 libras de tomates enteros 3X1 + 1X2 ≤ 2080 libras de salsa de tomate 2X1 + 2X2 ≤ 1600 libras de pasta de tomate No negatividad Xi ≥0; i=1,2 Solución con GLP 8
Optimal Decisions (X1,X2): (560.00, 240.00) : 5.00X1 + 7.00X2 <= 4480.00 : 3.00X1 + 1.00X2 <= 2080.00 : 2.00X1 + 2.00X2 <= 1600.00
Datos Planificación para Tom’s
EJERCICIO #6 El propietario de Sea Warf Restaurant desearía determinar cuál es la mejor forma de asignar un presupuesto mensual de publicidad de 1.000 dólares entre periódicos y la radio. La administración ha decidido que por lo menos 25% del presupuesto debe utilizarse en cada uno de estos dos tipos de medios y que el monto del dinero gastado en publicidad en periódicos locales debe tener por lo menos el doble de los que se gaste en radio. Un asesor de mercadotecnia ha desarrollado un índice que mide la exposición del auditorio por dólar de publicidad en una escala de 0 al 100, donde valores más elevados del índice indican mayores exposiciones al auditorio. Si el valor del índice para publicidad B en los periódicos locales es de 50, y para el anuncio de radio es de 80, ¿Cómo debería asignar la administración el presupuesto de publicidad, a fin de maximizar el valor de exposición total en el auditorio? Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para determinar la manera en que la administración debe asignar el presupuesto de publicidad a fin de maximizar el valor de la exposición total del auditorio.
Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de dólares asignados a periódicos X2 = Cantidad de dólares asignados a radio Función Objetivo Zmax= 50X1 + 80X2 Restricciones X1 ≥ 0.25(X1 + X2) mínimo para periódicos X2 ≥ 0.25(X1 + X2) mínimo para radio X1 ≥ 2X2 relación periódicos y radio X1 + X2 ≤ 1000 presupuesto No negatividad Xi ≥0; i=1,2
EJERCICIO #7 Los administradores de Healthtech Foods están considerando desarrollar un nuevo bocadillo bajo en grasas. Se trata de una mescla de dos tipos de cereales, cada una de ellos con distintas características en fibras, grasas y proteínas. La tabla siguiente muestra estas características por onza de cada tipo de cereal.
Note que cada onza de cereal A proporciona dos gramos de fibra dietética y que cada onza de cereal B da 1.5 gramos de fibra dietética, por lo que si Healthtech fuera a desarrollar el nuevo producto utilizando una mezcla formada de 50% de cereal A y 50% de cereal B, una onza de éste contendría 1.75 gramos de fibra dietética. Los requisitos nutricionales de Healthtech exigen que cada onza del nuevo alimento tenga por lo menos 1.7 gramos de fibra dietética, no más de 2.8 gramos de grasa y no más de 3.6 gramos de proteínas. El costo del cereal A es de $0.02 por onza y el del B es de $0.025 por onza. Healthtech desea determinar cuánto de cada cereal es necesario para producir una onza del nuevo producto al menor costo posible. a. Formule el modelo de programación lineal para esta situación b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de solución gráfica c. ¿Cuáles son las variables de holgura y de excedente d. Si Healthtech pone en el mercado el nuevo cereal en un paquete de 8 onzas. ¿Cuál sería el costo del paquete? Solución: Formulación del modelo: Definición de variables X1 = Cantidad de onzas de cereal A X2 = Cantidad de onzas de cereal B Función Objetivo Zmin = 0.02X1 + 0.025X2 Restricciones 2X1 + 1.5X2 ≥ 1.7 por fibra dietética 2X1 + 3X2 ≤ 2.8 por grasas 4X1 + 3X2 ≤ 3.6 por proteínas X1 + X2 = 1 onzas
