Universidad Autónoma de Santo Domingo (UASD) Sustentantes: Massiel Sánchez Cortorreal
100295791
Elizabeth Nazaria Echavarría
100301615
Anyi De Oleo Ogando
100292572
Josué Martínez
FB0678
Giannell Tejeda
100255423
Tema: Practica 7
Materia: Control de Calidad
Profesor: Olga Basora
Sección: 06
Grupo: Team Quality
Ejercicios libro de Pulido pág. 258 a 261
6. Señale para que tipos de procesos se usan las cartas
-R.
Se utilizan para procesos masivos y si además las variables de salida de interés son de tipo continuo (datos para variables), entonces estamos ante el campo ideal de la aplicación de las cartas de control. 7. Según la información proporcionada por una carta
-R sobre un proceso de producción
de piezas metálicas, la media de la longitud de tales piezas es de 5 cm y el rango medio en tamaño de muestra n = 5 es 0.1 resuelva lo siguiente. a) Estime la desviación estándar del proceso con
= R/d2.
Para n= 5; d2= 2.326 = 0.1/2.326 = 0.04299 cm B) Obtenga los límites de control para una carta
-R con n= 4, recordando que:
= ⁄ √ Cuando n= 4, d2 = 2.059 = R/d2 = 0.1/2.059 = 0.048
= 0.048⁄4 = 0.012 = + )(0.012)) = 5.036 = 5 + (3)(0.012 .036 = = 5 (3)(0.012) = 4.9 4.964
C) Si las especificaciones inferior y superior para esta pieza son 4.8 y 5.2, respectivamente, calcule los límites reales o naturales y vea si las piezas cumplen con las especificaciones.
LRI = μ -3σ LRI = 5- (3)(0.048) = 4.8
LRS = μ +3σ LRS= 5+ (3) (0.048) = 5.144 Las piezas cumplen con las especificaciones.
D) Para cuantificar la capacidad del proceso, calcule los índices C(p), C(k) y C(pm).
C(PK) = [ (μ-EL/3 σ) (ES- μ/3 σ) ] = { 1.55 , 1.55 } el proceso es adecuado C(P) = ES-EL/6 σ = 1.55
E) ¿Por qué son diferentes los limites obtenidos con b y c?.
Porque los límites reales y los de especificación no se supone que sean iguales. i guales.
8) el peso ideal de un producto es de 250 g, con una tolerancia de más menos 10, ya para controlar tal peso se usa una cata de control
-R, a partir de la cual se obtiene μ = 253 y σ
= 5 con estos datos conteste lo siguiente.
a) Que se le controla al peso con la carta
Con la carta
y que con la carta R.
se la variación en la medida de los subgrupos, para así detectar cambios en la
media del proceso. Con la carta R se controla la amplitud y o magnitud de la variable del proceso
b) Considerando un tamaño de subconjunto de 4 y 9, obtenga la línea central y los límites de control para las correspondientes cartas
.
Los límites de especificaciones son 250 ± 10 Para 4
LCS = μ +3 σ/ LCI = μ -3 σ/
N = 253 + (3) (5/2) = 260 N = 253 – (3) (3) (5/2) = 245
Para 9
LCS = μ +3 σ/
N = 253 + (3) (5/9)= 254.6 4.67
LCS = μ -3 σ/
N = 253 – (3) (3) (5/9) = 251.33
La línea central central μ =253 c) Si usando un tamaño de subconjunto subcon junto de n= 4, se obtienen las siguientes medidas muéstrales de manera sucesiva 245, 248, 244, 243. El proceso está en control estadístico. Argumente.
No puesto que se sale de los límites de control.
9) En relación con el problema anterior. a) Obtenga los límites naturales del proceso y de acuerdo con estos. Cumplen los artículos con las especificaciones.
LRI = μ -3 σ = 253 – 3(5) 3(5) = 238 LRS = μ +3 σ = 253 + 3*5 = 268 b) Calcule los índices Cp , Cpk y Cpm e interprételos.
Cpk = [ (μ-EL/3 σ) (ES- μ/3 σ) ] = { 0.867 , 0.467 } El proceso no es adecuado para el trabajo.
Cp = ES-EL/6 σ = 0.66 c) Si todas las medidas están dentro de las especificaciones, quiere decir que el proceso cumple con las especificaciones. Explique su respuesta.
No necesariamente porque podría cumplir con los límites de especificaciones pero no control de control y tarde o temprano el proceso comenzara a variar desproporcionadamente. d) Si todos los promed promedios ios caen caen dentro dentro de los límit límites es de control control en la carta carta
. Eso quiere decir
que se cumple con las especificaciones.
Si cumple con las especificaciones establecidas. 10) En la fabricación de artículos de plástico se debe asegurar una resistencia mínima de 65. Para ello cada 5 lotes se hacen pruebas destructivas a tres artículos seleccionados aleatoriamente de uno de los lotes. Los datos se registran en una carta de control límites de control en la carta
-R. los
son los sigtes.
LCS = 86 Línea central =77 LCI = 68 a) Si al medir la resistencia de tres artículos se obtiene los datos 70, 75, y 60. Quiere decir que el proceso estuvo fuera de control en la producción de dicho lote.
Si esta fuera de control, específicamente para el límite de control inferior. b) Alguien sugiere que el límite de control inferior en la carta
debe
ser igual a la
especificación inferior de 65. Es correcta esa sugerencia. Explique su respuesta.
No es correcta porque los límites de control utilizados en una carta de control son para la estabilidad y detectar cambios en la medida del proceso de manera oportuna. c) ¿El proceso cumple con la especificación inferior?, recuerde que el LCI no es para las medias.
No me dan los límites de especificaciones y el límite inferior que tengo es el real y este no es útil para responder esta interrogante d) Calcule el Cpi e interprételo
Cpi = X – EL EL / 3S = 77 – 65 65 / 3S =
11. Una fábrica de autopartes ha tenido problemas con la dimensión de cierta barra de acero en el momento de ensamblarla, por lo que se decide colectar datos para analizar el proceso correspondiente. La longitud ideal de la barra es 100 mm, con una tolerancia de ± 2 mm. Cada dos horas se toman cinco barras consecutivas y se miden. Los datos obtenidos en una semana se muestran en la tabla siguiente:
Muestra
Longitud de piezas
Media
Rango
1
101.0
99.4
99.9
100.5
100.2
100.20
1.6
2
100.0
98.8
101.0
100.3
100.1
100.04
2.2
3
99.1
99.4
101.3
99.0
99.1
99.60
2.3
4
100.3
100.1
98.7
101.3
99.8
100.04
2.6
5
97.2
99.7
98.9
100.5
99.3
99.12
3.3
6
102.2
103.6
100.2
104.7
104.9
103.12
4.7
7
98.2
97.6
99.0
100.6
99.0
98.88
3.0
8
100.7
99.8
100.4
99.7
98.3
99.78
2.4
9
100.4
103.0
98.7
101.6
100.5
100.84
4.3
10
97.9
99.8
100.6
99.3
100.7
99.66
2.8
11
101.5
100.2
102.1
99.7
102.3
101.16
2.6
12
100.4
100.0
100.2
97.7
102.1
100.08
4.4
13
101.4
102.4
103.2
103.2
102.6
102.56
1.8
14
97.8
100.1
99.3
98.6
100.7
99.30
2.9
15
100.7
101.3
98.9
99.9
101.2
100.40
2.4
16
101.7
98.4
97.9
102.2
100.3
100.10
4.3
17
101.0
100.3
101.3
101.1
99.5
100.64
1.8
18
99.6
102.0
100.5
97.6
100.0
99.94
4.4
19
101.5
100.2
99.4
99.2
99.6
99.98
2.3
20
100.2
102.1
101.0
100.6
101.6
101.10
1.9
21
100.5
100.4
100.2
100.7
98.9
100.14
1.8
22
99.0
99.0
101.4
101.1
97.9
99.68
3.5
Media
100.29
2.88
a) Obtenga una carta
e interprétela.
= + = 100.2 00.299 + (0.577)(2.88) = 101. 101.95 95
= = 100.29 (0.577)(2.88) = 98.6 98.633
Carta X
104.00 103.00
LCS
102.00 101.00
Media de Media Medias
100.00 99.00
LCI
98.00 97.00 96.00 1
La carta
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22
nos muestra que la la mayoría de las observaciones están dentro de los límites de control,
dos puntos están por encima del límite superior por lo que aparentemente alguna causa especial ocasionó variación en la tendencia central del proceso, por lo tanto el proceso no está bajo control estadístico.
b) Interprete los límites de control y establezca la diferencia conceptual de estos con las especificaciones.
Los límites de control reflejan la variación esperada de la media de las muestras de los subgrupos mientras el proceso no tenga cambios importantes, se utilizan para detectar cambios en la media y su estabilidad; mientras que los límites de especificaciones establecen las variaciones aceptables para cumplir con los requerimientos establecidos de calidad. c) Mediante una carta R investigue si el proceso estuvo en control estadístico en cuanto a la variabilidad.
= = (2.115)(2.88) = 6.09
= )(2.88)) = 0 = (0)(2.88
Carta R
7.0
LCS
6.0
5.0
4.0
3.0
Media de Medias
2.0
1.0
LCI
0.0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22
Mediante la carta R se puede decir que el proceso estuvo bajo control estadístico en cuento a la variabilidad, esto así porque no existen puntos fuera de los límites de control, las observaciones quedaron a menos de dos desviaciones estándar de la media y no se observada tendencia que puede hacer sospechar la existe de problemas. d) Explique con sus palabras cuál es la diferencia entre lo investigado en a y en c.
En el punto (a) se investiga los cambios en el proceso y su estabilidad de manera oportuna a través del análisis de la media mientras que en el punto (c) se investiga la variabilidad del proceso. En ambos casos los valores deben quedar qued ar entre los límites de control siempre y cuando el proceso no tenga cambios importantes. e) Para continuar con el uso de la carta de control, ¿qué límites de control propondría?
Debido a que en la carta
X
se observan valores fuera fuera de los límites límites de control, no se recomienda
utilizar a futuro estos límites para esta carta, en su lugar se propone investigar las causas que los originaron y excluir estos datos. Los límites nuevos propuestos son 101.69 y 98.37. f) Analice la capacidad del proceso. Para ello: f1. Obtenga un histograma e inserte tolerancias,
Histograma Histograma - Longitud de piezas 30 Tolerancias
25
20 a i c n e 15 u c e r F
10
5
0 97 .2 .20
97.94
98.68
99.42
100.16
100.90
101.64
102.38
103.12
103.86
El histograma muestra que el proceso no es capaz de cumplir con las especificaciones.
f2) calcule índices Cp, Cpk, Cpm e interprételos y,
=
=
. = 1.24 .
y mayor...
=
6
=
10298 = . 6(1.24)
=
3
=
102 102 100. 100.29 29 = 0.46 3(1.24)
=
3
=
100. 100.229 98 = 0.6 0.62 3(1.24)
CPk = Min (CPs, CPi) = 0.46
=
6 + ()
=
10298 6 (1.24) (1.24) + (100. (100.29 29 100) 100)
= .
Los índices muestran que el proceso no es capaz de cumplir con las especificaciones en ninguno de los lados, su centrado es malo esto se evidencia en la diferencia entre la media de las especificaciones y la media del proceso. f3 Obtenga los limites naturales del proceso y compárelos c ompárelos con las especificaciones.
Límite real superior (LRS) = µ + 3σ;
Límite real inferior (LRI) = µ - 3σ.
LRS = 100.29 + 3(1.24) = 104.01;
LRI = 100.29 – 3(1.24) 3(1.24) = 96.57
Los límites de especificación son 98-102 y los rea les 96.57-104.01. g) ¿Cuáles son sus conclusiones generales tanto en lo referente a la estabilidad del proceso como a su capacidad?
Se puede concluir que el proceso no estuvo bajo control estadístico en cuento a la tendencia central, esto considerando que en el cálculo c álculo inicial dos valores quedaron fuera de los límites de control de la carta
X , lo que debería resolverse con la investigación sugerida en el punto (e), la variabilidad
mostrada en la carta R es aceptable. En cuanto a su capa cidad queda demostrado que el proceso es incapaz de cumplir con las especificaciones, por lo cual es necesario analizarlo en busca de mejoras sustanciales. 12. En una empresa fabricante de corcholatas o tapas metálicas para bebidas gaseosas, un aspecto importante es la cantidad de PVC que lleva cada corcholata, la cual determina el espesor de la película que hace que la bebida quede bien cerrada. El peso de los gránulos de PVC debe estar entre 212 y 218 mg. Si el peso es menor a 212, entonces, entre otras cosas, la película es muy delgada y eso puede causar fugas. Si el peso es mayor a 218 g, entonces aumenta los costos. Para asegurar que se cumple con las especificaciones, se usa una carta de control: cada 30 minutos se toma una muestra de cuatro gránulos consecutivos de PVC y se pesan. En la tabla se muestran las últimas 25 medidas y rangos obtenidos.
Subgrupo
Media
Rango
Subgrupo
Media
Rango
1
214.18
2.5
14
213.74
3.2
2
213.48
2.7
15
214.26
1.2
3
213.98
2.2
16
214.18
2.2
4
214.12
1.8
17
214.0
1.0
5
214.46
2.5
18
213.6
2.0
6
213.38
2.7
19
214.2
2.7
7
213.56
2.3
20
214.38
0.8
8
214.08
1.8
21
213.78
2.0
9
213.72
2.9
22
213.74
1.6
10
214.64
2.2
23
213.32
2.4
11
213.92
2.4
24
214.02
3.2
12
213.96
3.6
25
214.24
1.1
13
214.2
0.4 Media
213.966
2.136
a) Calcule los límites de una carta
Límites de la carta
– R R y obtenga las cartas.
X :
= +
=
= 213. 213.96 9666 + (0.729)(2.136) = 215.523 = 213.96 .966 (0.729)(2.136) = 212.409
Límites de la carta R :
=
=
= (2.282)(2.136) = 4.874 = (0)(2.136) = 0
Carta X - Cantidad de PVC PVC
216
LCS
215.5 215
214.5 214 213.5 213
LCI
212.5 212 211.5 211 210.5 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25
Carta Carta R - Cantidad Cantidad de PVC PVC
6
LCS
5
4
3
2
1
LCI
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25
b) Interprete las cartas (punto fuera, tendencias, ciclos, etc). e tc).
Las cartas no muestran puntos fuera de los límites de control, tampoco se aprecia alguna tendencia ya sea ascendente o descendente. El proceso muestra una variabilidad adecuada y no se puede apreciar alguna tendencia que señales causas especiales en el proceso. c) ¿El proceso muestra una estabilidad o estado de control estadístico razonable?
Si, este proceso muestra que está bajo control con trol estadístico.
13. En relación al ejercicio 12, analice la capacidad de proceso, para ello: a) Estime la desviación estándar del proceso.
=
=
. = 1.037 .
b) Calcule los límites reales del proceso e interprételos. LRS = µ + 3σ
LRI = µ - 3σ.
LRS = 213.966 + 3(1.037) = 217.077 LRI = 213.966 – 3(1.037) 3(1.037) = 210.855 Los límites reales muestran que el proceso varía entre 217.077 y 210.855 por lo cual no es posible cumplir con los límites de especificaciones establecidos.
c) Calcule los índices Cp, Cpk y K e interprételos.
Cp =
LESLEI 6σ
Cp =
− (.)
= 0.964
CPs =
LSEμ 3σ
=
218 218 213. 213.96 9666 = 1.29 1.2977 3(1.037)
CPi =
μLIE 3σ
=
213. 213.96 9666 212 212 = 0.6 0.632 3(1.037)
CPk = Min (CPs, CPi) = 0.632
=
6 + ()
=
218212 6 (1.037) (1.037) + (213 (213.9 .966 66 215) 215)
= 0.68 0.6833
El índice de capacidad potencial muestra que el proceso no es capaz de cumplir con los requerimientos establecidos a través de las especificaciones. El CPk indica que el p roblema es más grave con la especificación inferior.
=
∗ ½( ½( ) )
K=
213. 213.96 9666 215 215 ∗ 100 ½(21 ½(2188 212) 212)
K = -34.47%
El índice que muestra que el proceso se ha desviado 34.47% hacia la izquierda lo cual impide cumplir con la especificación inferior.
d) ¿Qué acciones recomendaría para mejorar el proceso?
Para mejorar el proceso es necesario disminuir la variabilidad del mismo, se debe analizar a profundidad las 6M para determinar cuál o cuáles ocasionan problemas al proceso.
14) Se desea que la resistencia de un artículo sea de por lo menos 300 psi. Para verificar que se cumpla con tal característica de calidad, se hacen pequeñas inspecciones periódicas y los datos se registran en una carta
– R. R. El tamaño de subgrupo que se ha usado es de tres
artículos, que son tomados de manera consecutiva cada dos horas. Los datos de los últimos 30 subgrupos se muestran en la siguiente tabla. Conteste:
Subgrupo
Datos
Media
Rango
1
315.6
319.2
303.8
312.87
15.4
2
318.8
309.2
321.4
316.47
12.2
3
311.2
312.1
342.9
322.07
31.7
4
322
321.1
329.1
324.07
8
5
315.2
327.4
300.6
314.40
26.8
6
310.3
319.8
338.5
322.87
28.2
7
320.6
315.9
318.3
318.27
4.7
8
322.2
303.6
323.4
316.40
19.8
9
329.1
306.7
312.4
316.07
22.4
10
322.4
318.8
299.7
313.63
22.7
11
326.2
310.1
338.5
324.93
28.4
12
328.8
325
322
325.27
6.8
13
328.8
306.3
305.6
313.57
23.2
14
318.7
320.8
310.3
316.60
10.5
15
326.7
316.7
327.3
323.57
10.6
16
313.4
307.4
329.5
316.77
22.1
17
337.3
312.9
324.4
324.87
24.4
18
316.3
314.1
323
317.80
8.9
19
327.2
338.2
340.9
335.43
13.7
20
337.8
343
337.4
339.40
5.6
21
309.2
321.7
310.5
313.80
12.5
22
314.3
321.6
318
317.97
7.3
23
318.9
322.2
333.5
324.87
14.6
24
303.7
326.3
337.1
322.37
33.4
25
319.3
338.8
320.9
326.33
19.5
26
317
327.4
312.5
318.97
14.9
27
310.6
318.5
336.7
321.93
26.1
28
319.5
326
333.2
326.23
13.7
29
308.6
321.7
306
312.10
15.7
30
316.2
321.6
328.5
322.10
12.3
Media
320.73
17.20
a) Dado que la media de medias es 320.73, ¿el proceso cumple con la especificación inferior (El = 300)? Explique.
=
=
. = 10.16 .
LRI = 320.73 – 3(10.16) 3(10.16) = 290.25
Mediante el cálculo del límite inferior real del proceso se puede constatar qu e el mismo no cumple con la especificación inferior (300). b) Calcule los límites de la carta
Límites de la carta
– R R e interprételos.
X :
= +
=
= 320.7 20.733 + (1.023)( 1.023)(17.2 17.2)) = 338.33 = 320.73 (1.023)( 1.023)(17.2 17.2)) = 303.13 Los límites de la carta
X
indican que si el proceso proceso no sufre cambios importantes importantes las medias
muéstrales de tamaño 3 estarán entre 303.13 y 338.33. Límites de la carta R :
=
=
= (2.574)( 2.574)(17.2 17.2)) = 44.28 = (0)(17.2) = 0 Los límites de la carta R indican que si el proceso no sufre cambios importantes en su variabilidad las medias muéstrales de tamaño 3 estarán entre 0 y 44.28.
c) Obtenga las cartas e interprételas (puntos fuera, tendencias, ciclos, alta variabilidad, etc).
Carta X - Resistencia Resistencia (psi)
350.00
340.00
LCS
330.00 Media de Medias
320.00
310.00
LCI 300.00
290.00
280.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Carta R - Resistencia Resistencia (psi) (psi)
50.00 45.00
LCS
40.00 35.00 30.00
25.00 20.00 15.00 10.00 5.00
LCI 0.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 14 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 26 27 28 29 30
La carta
X
muestra que uno de los puntos está está fuera de los límites de control por lo que en ese
punto hubo un cambio en el nivel promedio del proceso que puede atribuirse a causas especiales.
La carta R muestra una variabilidad aceptable para los rangos muéstrales ya que los puntos están dentro de los límites de control y no muestran algún patrón que sugiera que existe algún problema. d) ¿El proceso muestra una estabilidad o estado de control estadístico razonable?
El proceso no muestra una estabilidad o estado de control razonable, es necesario investigar la causa por la que el subgrupo 20 quedó fuera del límite de control superior, además se aprecia que el subgrupo anterior (19) también quedó próximo al LCS. e) Haga un análisis de la capacidad del proceso, para ello: i. Estime la desviación estándar del proceso.
=
=
. = 10.16 .
ii. Calcule los límites límites reales del proceso e interprételos. LRS = µ + 3σ
LRI = µ - 3σ.
LRS = 320.73 + 3(10.16) = 351.21 LRI = 320.73 – 3(10.16) 3(10.16) = 290.25 Los límites reales muestran que el proceso varía entre 290 .25 y 351.21.
iii. Obtenga un histograma para los datos individuales.
Histograma Datos Individuales (resistencia)
30
25 25
20 a i c n e 15 u c e r F
13 11
10
11
8 6
7
7
5 2 0 0 299299-30 303 3
304304-30 308 8
309309-31 313 3
314314-31 318 8
319319-32 323 3
324324-32 328 8
329329-33 333 3
334334-33 338 8
339339-34 343 3
y mayo mayor. r... ..
iv. Calcule el índice Cpi e e interprételo.
=
3
=
320. 320.73 73 300 300 = 0.68 .68 3(10.16)
El CPi indica que el proceso no es capaz de cumplir con el requerimiento mínimo de resistencia establecido mediante el límite inferior de especificación. f) Si ha procedido de manera adecuada, ha encontrado en el inciso anterior que la capacidad del proceso es mala, pero ¿cómo ¿có mo se explica esto si ningún dato de la tabla es menor que 310.0? Argumente.
Esto se debe a que la desviación estándar en muy grande, existe mucha variabilidad en el proceso y esto se demuestra con el coeficiente de variación que para este caso es de 3.2%.
g) A qué aspecto recomendaría centrar los esfuerzos de mejora. ¿a capacidad o a estabilidad? Argumente.
Recomendaríamos centrar esfuerzos en mejorar la estabilidad del proceso, ya siempre que se tenga problemas de estabilidad y de capacidad es necesario primero tener en proceso bajo control para trabajar luego con la capacidad.
15) En una empresa que se dedica a procesar y envasar arena, ha habido reclamaciones de los clientes porque el peso de los costales en muy variable. En particular para cierto tipo de arena, los costales deben pesar 20 kg. Para atender esta queja, se decide estudiar la variabilidad del proceso de envasado mediante la puesta en práctica de una carta de control
– R. R. La especificación inferior es 19 y la superior 21. En el proceso de envasado cada tres horas se toman tres bultos consecutivos y se pesan. Los datos de una semana son:
Muestra
Peso de los costales (kg)
Media
Rango
1
19.8
20
20.7
20.17
0.9
2
19.3
19.2
18.5
19.00
0.8
3
17.9
19.7
19
18.87
1.8
4
18.1
19.9
20.4
19.47
2.3
5
20
19.6
17
18.87
3
6
19
17.7
20.4
19.03
2.7
7
20.2
20.2
20.3
20.23
0.1
8
20.9
20.5
20
20.47
0.9
9
19.5
19.4
19.7
19.53
0.3
10
19.8
19.9
18.7
19.47
1.2
11
19.9
19.4
18.4
19.23
1.5
12
18.5
19.8
19.9
19.40
1.4
13
20.4
20
19.3
19.90
1.1
14
19.6
19.6
19.7
19.63
0.1
15
17
19.3
21.6
19.30
4.6
16
19.4
19.5
20.4
19.77
1
17
19.2
18.4
17.9
18.50
1.3
18
20.3
19.3
19.3
19.63
1
19
20
19.5
19
19.50
1
20
19.5
19.8
19.8
19.70
0.3
21
18
19.4
19.7
19.03
1.7
22
18.7
21.6
18.8
19.70
2.9
23
18.7
20.1
19.5
19.43
1.4
Media
19.47
1.45
a) Mediante una carta R, investigue la estabilidad estabilidad del proceso.
Límites de la carta R :
=
=
= (2.574)(1.45) = 3.73 = (0)(17.2) = 0
Carta R - Peso de los los costales (kg)
5.500
4.500
LCS 3.500
2.500
1.500
0.500
LCI -0.500
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23
La gráfica R muestra que el proceso es inestable en cuanto a la variabilidad ya que uno de los puntos es mayor que el LCS, otros puntos están próximos al LCI. b) Si en la carta anterior obtuvo puntos fuera de control, explique gráficamente y con sus propias palabras que significa eso.
Se obtuvo un punto fuera de control, esto significa que ese punto el nivel medio de variabilidad aumentó. c) Mediante una carta
analice
si el proceso de encostalado esta en control estadístico.
Argumente su respuesta.
Límites de la carta
= +
X : =
= 19.4 9.47 + (1.023)( 1.023)(0.86 0.86)) = 20.95 = 19.47 (1.023)( 1.023)(0.86 0.86)) = 17.99
Carta X - Peso de los costales (kg)
21.500
LCS
21.000 20.500 20.000 19.500 19.000 18.500
LCI
18.000 17.500 17.000 16.500 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23
El proceso de encostalado parece estar bajo c ontrol en cuanto a la estabilidad de las medias de los subgrupos. No se evidencia tendencias importantes.
d) ¿Cuál es la diferencia de lo investigado en a y en c?
En (a) se investiga la estabilidad esperada de la media muestral de tamaño 3, mientras que en (c) se investiga la amplitud de la variación del de l proceso para las muestras del tamaño especificado. e) ¿El proceso está en control estadístico?. Argumente.
El proceso no está bajo control estadístico debido a que la variabilidad del proceso sobrepasa los límites de especificación, lo que muestra que causas especiales han influido sobre el proceso.
f) Mediante un histograma analice la capacidad del proceso.
Histograma
30
Tolerancias
25
20 a i c n e 15 u c e r F
10
5
0 17
17.7
18.4
19.1
g) Calcule índices Cp, Cpk, Cpm e interprételos.
=
=
. = 0.86 .
=
6
=
2119 = . 6(0.86)
=
3
=
21 19.4 9.47 = 0.5 0.59 3(0.86)
19.8
20.5
21.2
y mayor...
=
3
=
19.4 9.47 19 = 0.18 .18 3(0.86)
CPk = Min (CPs, CPi) = 0.18
=
6 + ()
=
2119 6 (0.86) (0.86) + (19. (19.47 47 20) 20)
= .
h) ¿El proceso es capaz? ¿El proceso es estable, (está en control)?
El proceso es incapaz e inestable, según los índices de capacidad este no cumplen con los límites de especificaciones. i) ¿Los límites de control de la carta
son equivalentes a las especificaciones? Explique la
respuesta.
Estos límites de control no son equivalentes a los de las especificaciones ya que los mismos solo indican la estabilidad de la media muestral de un tamaño específico mientras que los límites de especificación establecen los requerimientos de calidad del proceso. j) Explique de manera sencilla el significado de los límites de control de ambas cartas
Los límites de control de la carta R indican la variación esperada para los rangos muéstrales siempre y cuando el proceso no sufra cambios importantes. Los límites de control de la carta X indican la variación esperada para las medias muéstrales, es decir, la estabilidad de la media a través del tiempo.
k) ¿Qué recomendaciones daría para lograr que el peso de los costales este más próximo a 20 kg?
Es necesario reducir la variabilidad del proceso haciendo cambios o ajustes a algunas de las maquinarias del proceso, revisando el material utilizado y el entrenamiento de los distintos operadores. 16. En la prestación de servicios en una empresa, se registra diariamente la evaluación de los clientes. La forma operativa en la que se hace esto es la siguiente: todos los días, en forma aleatoria, se pide a cinco clientes atendidos que contesten una encuesta de satisfacción en el servicio, la cual va de cero a 100. Los datos obtenidos durante el último mes se muestran en la tabla 14.13. Dia
Clasificacion servicios
Media
1
83
84
63
68
93
78.2
2
84
88
71
87
93
85.2
3
87
76
92
75
79
78.6
4
71
69
79
79
62
73
5
76
81
100
85
100
87
6
69
86
98
84
89
89
7
88
89
75
72
86
83.6
8
96
76
71
97
73
75.6
9
61
71
57
90
79
75.8
10
82
93
87
87
76
84.6
11
80
82
66
83
83
76.6
12
69
84
89
88
65
75.2
30 22 17 17 24 29 17 26 33 17 17 24
13
50
92
76
62
71
76.2
14
74
94
73
79
67
77.4
15
66
74
86
78
72
75.2
16
80
82
84
60
83
77.8
17
57
87
74
94
72
76.8
18
99
88
83
90
80
88.2
19
87
80
89
89
77
84.4
20
79
85
65
71
70
74
21
93
70
77
80
74
78.8
22
73
76
81
80
65
75 79.3727273
Numero de muestras= n= 5 Numero de sub-grupos= 22
̿ = 79.37 = 23.3 23.322 = 0.577 .577 =2.114 = ̅ + = 79.3 79.377 + 0.57 0.577( 7(23 23.3 .32) 2)
42 27 20 24 37 19 12 20 23 16 23.3181818
= 92.8 92.822 = ̅ = 79.3 79.377 0.57 0.577( 7(23 23.3 .32) 2) = 65.9 5.91 Grafica X 95
90 85
s a i d 80 e M
75 70 65 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22
Subgrupos
a) Mediante una carta de medias analice la estabilidad de la calidad en el servicio.
El proceso está fuera de control, tiene 7 puntos consecutivos de un lado de la media. b) Interprete los límites de control.
Los límites de control son en este caso 65.91 y 92.82, ninguno de los puntos llega a los límites, estos datos se utilizan utilizan para ver la variabilidad y estabilidad de la media media del proceso. c) ¿El proceso es estable?
≈
23.32 = = 11.3 11.322 2.059
Entonces los limites reales son 79.37± 3(11.32), 1 13.33 a 45.41, los límites reales están muy lejos de los límites de control, por tanto podremos deci r que el proceso no es estable.
d) Haga un estudio de los datos individuales (no de los promedios), calcule estadísticos básicos y realice un histograma.
Columna1
Media
79.4
Error típico
0.98107191
Mediana
80
Moda
87
Desviación estándar
10.289569
Varianza
de
la
muestra
105.875229
Curtosis
-0.2357243
Coeficiente
de -
asimetría
0.25258038
Rango
50
Mínimo
50
Máximo
100
Suma
8734
Cuenta
110
Clase
Frecuencia
50
1
55
0
60
3
65
7
70
9
75
18
80
21
85
17
90
20
95
8
y mayor...
6
Histograma
25
20
a i 15 c n e u c e r 10 F
5
0 50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
y mayor...
e) ¿Cuál es su opinión sobre el nivel de calidad en el servicio?
Pareciera ser estable el proceso., tiene una distribución más o menos normal. f) Cuál es la diferencia de lo investigado en los incisos a y d?
En el inciso a) se ve con más detalles loas variaciones ocurridas en el proceso en d) los resultados son muy superficiales.
17. ¿A qué tipo de variables y procesos se recomienda aplicar una carta de individuales?
A procesos lentos, en los cuales para obtener un a medición de la variable bajo b ajo análisis se requieren periodos relativamente largos; por ejemplo:
Procesos químicos que trabajan por lotes
Industrias de bebidas alcohólicas (por el proceso de fermentación y destilación)
Algunas variables administrativas, cuyas mediciones se obtienen por día, p or semanas.
18. En un proceso químico se mide su rendimiento logrado en cada lote. Procesar un lote incluyendo todas sus etapas lleva actualmente, en promedio, 13 horas. Se decide d ecide implementar una carta de control para el tiempo de proceso y otra para el rendimiento. a) ¿Para qué sería útil una carta de control en estos casos?
Para que cada medición en particular de la variable que se requiere analizar se registre en una hoja, en este caso una para el tiempo del proceso y la otra para el rendimiento. Asi se pueden observar las variaciones del proceso, además de predecir si existen causas especiales, que causan estas variaciones. b) ¿Específicamente que carta de control es la apropiada para estas variables?
Carta de individuales c) Si el tiempo de proceso de un lote es mayor que 13 horas, ¿eso quiere decir que alguien hizo las cosas muy lentamente?
Es posible, pero no determinante por que el proceso tiene una tolerancia de error, establecida, habría que ver cuál es ese valor, además de que tanto se excedió alguien, si salió de los límites establecidos, porque recordemos que 13 es la media pero existen otros valores por encima y por debajo. d) ¿Cómo detectaría si el tiempo de proceso ha bajado o subido?
Con un gráfico de control, podre ver si ha bajado y cuanto o si ha subido, y si el proceso aún sigue aumentado o disminuyendo. e) ¿Explique de manera general lo que se tendría que hacer para establecer los límites de control para el tiempo y para el rendimiento?
Los limites serán conseguir a
=
± 3 , donde y es la media y la desviación del proceso,
entoces para
, en este caso los límites límites de control coinciden con los limites reales.
19. La pureza de un proceso químico se mide para cada lote, y los datos obtenidos que registran en una carta de individuales. Actualmente se tiene que los límites de control para dicha carta son los siguientes: LCS = 0.92 Línea central = 0.86 LCI = 0.80
a) Bajo el supuesto de que el proceso están en control estadístico, explique de manera sencilla el significado práctico de estos límites.
Con estos límites se tiene una alta probabilidad de qu e los valores de este estadístico que queremos graficar están dentro de ellos. O sea nos da cierto grado de confiabilidad.
b) Si la pureza de los últimos 10 lotes es la siguiente: 0.90, 0.85, 0.83, 0.82, 0.84, 0.84, 0.85, 0.81, 0.83 y 0.82, grafíquelos en la carta y explique lo que ha pasado en el proceso. 0.94 0.92 0.9 0.88
a z e r 0.86 u P
0.84 0.82 0.8 0.78 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Lote
c) Se sugiere que el límite de control inferior sea igual a 0.84, ya que se tiene la exigencia por parte de la administración de que ésa sea la pureza mínima tolerada del proceso. ¿Es correcta esta sugerencia?
No es correcta la sugerencia ya que generaría una gráfica con muchos puntos pu ntos por debajo de esta especificación que claramente dirá que el proceso está fuera de control.
20. En una empresa, los gastos por consumo de agua son considerablemente altos, por lo que se decide establecer una carta de individuales con el propósito de detectar anormalidades y
buscar reducir el consumo. Se tomará la lectura al medidor de agua todos los lunes para cuantificar el consumo de la semana anterior. Los datos (en m³) obtenidos en 20 semanas se muestran en la tabla 14.14
Tabla 14.12 Datos para el ejercicio 20.
Semana
Consumo
1
562
2
577
3
536
4
536
5
650
6
525
7
533
8
569
9
563
10
553
11
549
12
480
13
557
14
555
15
518
16
557
17
553
18
540
19
517
20
571
-R? a) ¿Por qué no es apropiado analizar estos datos mediante una carta
Por la gran cantidad que se debe analizar (consumo), ya que el comportamiento por muestra nos daría una gráfica controlada.
b) Mediante una carta para individuales y una carta de rangos móviles, investigue si el consumo de agua estuvo en control estadístico.
̅ = 550.05, = 33.85, d₂: 1.128 LCS: 640.07, LC: 550.05, LCI: 460.02
650 630 610 590 o 570 m u s 550 n o C 530
510 490 470 450 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Semanas
LCI = D₃ = 0 x 33.85 = 0 LC = = 33.85 LCS = D₄ = 3.2686 x 33.85 = 110.642
130 110 90 s o 70 g n a R 50
30 10 -10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20
Semanas
c) Explique de manera clara los límites de control que obtenga.
Los consumos no deberían pasar de aproximadamente 640 kwatts y es de normalidad que tenga más que 460 kwatts. d) Obtenga los límites naturales del proceso.
LCS = µ + 3σ = 550.05 + 3(33.29) = 649.92 LCI = µ - 3 σ = 550.05 – 3(33.29) 3(33.29) = 450.18 e) ¿Qué límites de control usaría para analizar datos futuros mediante ambas cartas?
LCS: 640.07, LC: 550.05, LCI: 460.02, ya que el límite de control inferior natural provocaría que los consumos estén aún más descontrolados. f) Con base a este estudio inicial, la administración decide impulsar un programa de ahorro de agua, para lo cual forma un equipo responsable. Este equipo, siguiendo el ciclo PHVA, realiza una serie de modificaciones. El consumo de agua en las siguientes cuatro semanas a las modificaciones es el siguiente: 510, 460, 420, 505. ¿Existe evidencia de que las
modificaciones dieron resultado? Argumente con base en la carta de control que obtuvo antes.
Si hay una variación, el consumo de la tercera semana está debajo del límite de control inferior. Una anomalía se ha producido. 24. En el departamento de sistemas se lleva un registro del tiempo de respuesta a solicitudes de servicio de clientes internos. Los últimos datos en horas y en el orden de ocurrencia se muestran a continuación (el orden es por renglón).
39
35
49
92
41
57
38
37
33
33
44
34
119 37
34
32
34
23
96
43
36
32
35
42
42
34
86
27
42
117 11 7 33
39
43
37
78
42
37
37
33
96
26
37
29
32
38
98
39
43
126 87
46
31
109 37
40
37
28
52
122 40
29
33
35
62
71
a) ¿Es apropiado analizar estos datos mediante una carta de individuales?
Si ya que si los subdividimos por muestras al final quedaran muestras con diferentes cantidades, específicamente las ultimas. b) Organice los datos en columna y obtenga la columna de rangos móviles de orden dos.
Rango
Rango
Rango
Rango
Tiempo Móvil
Tiempo Móvil
Tiempo Móvil
Tiempo Móvil
39
0
41
1
33
38
40
14
34
5
96
55
35
2
37
3
42
8
43
53
37
2
27
10
29
13
39
4
46
9
37
10
28
1
29
10
62
16
37
0
35
7
57
28
33
29
32
3
43
14
42
9
117
85
37
6
37
5
32
85
43
6
31
6
52
17
33
10
44
13
49
3
38
5
42
2
34
15
36
2
33
9
33
1
78
42
109
76
38
5
126
48
34
75
122
84
35
91
34
0
92
30
37
2
96
62
23
69
32
5
37
59
39
16
42
10
119
82
98
59
87
45
86
33
40
58
71
16
26
60
c) Obtenga los límites de control para una carta de control de individuales e interprételos.
̅ = 49.92, = 25.25, d₂: 1.128 LCS: 117.15, LC: 49.92, LCI: 17.23
d) Obtenga la carta de control e interprételo.
130 110 90
s o p m e i 70 T
50 30 10 1
11
21
31
41
Solicitudes
e) ¿El tiempo de respuesta es estable?
No. Hay siete puntos consecutivos debajo de la media. Está fuera de control.
f) Grafique los datos en un histograma.
51
61
30
Tiempos Solicitudes
25 20
a i c n e 15 u c e r F
10 5 0 23-36
37-50
51-64
65-78
79-92
93-106
107-120
121-134
Tiempos
g) Observe cómo se aprecia en el histograma lo especial percibido en la carta, comente.
Tal y como la carta de control nos garantizó, no está estable. El histograma nos da una muestra clara de sesgo, indicando lo mismo que la carta.
Ejercicios de james Evans página 772. 1) Defina que es el co control ntrol estadifico de procesos y analice sus ventajas. v entajas.
Es una metodología para el seguimiento de un proceso para identificar las causas de las variaciones y señalar la necesidad de emprender una acción correctiva en el momento apropiado. Una ventaja es que se aplica en diferentes tipos de organizaciones tanto de manufactura como de servicio, una desventaja es que no es apropiado para los niveles de calidad que se aproximan a six sigma. 2) Que significa el término control estadístico. Explique la diferencia entre capacidad y control.
Si la variación de un proceso se debe solo a causas comunes, se dice que está en control estadístico.
Bien la diferencia radica en que en un proceso se debe buscar el control co ntrol estadístico puesto que sin ello el cálculo de si el proceso proceso fuese capaz o no podría ser realizado ya que los datos no serían relevantes. 3) Cuáles son las desventajas de solo usar histogramas para estudiar la capacidad de un proceso.
En un histograma no se considera la dimensión del tiempo, por lo tanto los histogramas no permiten distinguir entre las causas comunes y especiales de la variación. 4. Analice las tres aplicaciones principales de las gráficas de control.
Las tres aplicaciones de las gráficas de control son: 1) establecer un estado de control estadístico, 2) hacer el seguimiento de un proceso e indicar cuando este sale e control y (3) determinar la capacidad del proceso. 5. Describa la diferencia entre datos de variable y de atributo. ¿Qué tipo de graficas de control se utilizan para cada uno?
Los datos de atributos son unas características del desempeño que está presente o ausente del producto o servicio por considerar. Los datos de variable son continuos, se ocupan del grado de conformidad con las especificaciones. Para datos de variable se utilizan las gráficas X-S, X-R, y para datos de atributo es posible utilizar graficas p, np, c, u. 6. Describa en forma breve la metodología para elaborar y utilizar las gráficas y cuadros de control.
1. Preparación 1. Recopilación de los datos. 3) Establecimiento de los límites de control de prueb a. 4) Análisis e interpretación. 7. Que buscamos al interpretar las gráficas de control? Explique las posibles causas de los distintos indicadores de que el proceso está fuera de control.
Analizar las causas especiales, las variaciones que ocurren esporádicamente, reducirlas al máx imo. Identificamos si el proceso está saliendo de control, las posibles causas:
Un punto fuera de los límites de control: a) Podría ser un error en el cálculo de ̅
para la muestra
b) Interruption de energía repentina c) Una herramienta descompuesta d) Un error en la medición e) Una operación incompleta u omitida del proceso.
Cambio repentino en el promedio del proceso: a) Operador nuevo b) Un inspector nuevo c) Un nuevo valor en la maquina d) Un cambio en la instalación o método
Ciclos: a) En la grafica ̅ : Por rotación de operarios, fatiga al final del turno, distintos medidores usados por inspectores diferentes, efectos de la temporada, o diferencias entre los turnos, diurno y nocturno. b) En la gráfica R: Por los horarios de mantenimiento, de la rotación de los arreglos, o medidores, de las diferencias entre turnos o de la fatiga de los operadores.
Tendencias: a) En la grafica ̅ : Mejorar las habilidades de los operadores, acumulación de basuras, desgaste de las herramientas, combios en la temperatura o humedad, o el envejecimiento del equipo. b) En la gráfica R: Reducción gradual de la calidad de los materiales, fatiga del operador, una pieza o herramienta se afloje poco a poco o la deficiencia de una herramienta. c) Una tendencia baja es resultado de mejores habilidades del operador, mejores métodos de trabajo, mejores materiales o un mantenimiento frecuente frecuente o mejor.
Abrazando la línea central: a) La muestra incluya un elemento tomado sistemáticamente de cada una de varias máquinas, agujas, operadores, etc.
Abrazando los límites de control: a) Cuando se usan dos lotes de material diferentes b) Cuando las partes se producen en distintas maquinas, pero las vigila el mismo grupo de inspección.
Inestabilidad: a) Ajuste excesivo de una maquina b) Las mismas razones que provocan el roce de los límites de control
8. Como debe utilizar el personal de planta las gráficas de control?
Revisar todos los días los cuadros para el seguimiento del desempeño, para saber si el proceso está bajo control, así identificar cualquier causa especial que surja y hacer correcciones cuando es necesario. 9. Que son los límites de control modificados? En qué condiciones se deben usar?
Son límites que se obtienen a partir de las l as especificaciones y la capacidad del d el proceso. Se utilizan con frecuencia cuando la capacidad del proceso es adecuada;
> 6 .
10. ¿Cómo se usan las gráficas de control de variable para determinar la capacidad de un proceso?
La grafica X se usan dándole seguimiento al centrado del proceso y la gráfica R se utiliza dándole seguimiento a la variación del proceso. 11. Describa la diferencia entre límites de control y límites de especificación.
Los límites de control representan el rango en que se espera que se ubiquen todos los puntos. Los límites de especificaciones representan el rango en que el cliente espera que sus puntos se ubiquen. 12. ¿Por qué en ocasiones se utiliza la gráfica s en lugar de la gráfica R?
El rango se usa con frecuencia porque comprende menos esfuerzo de cálculo y es más fácil de entender para los obreros de la planta. Pero la desviación estándar de la muestra es el indicador más sensible y mejor de la variabilidad del proceso que el rango, sobre todo para tamaños de muestras grandes. Por tanto, cuando es necesario un control estrecho de variabilidad es preciso utilizar la gráfica S.
Ejercicios de james Evans página 773. 1. Se tomaron 40 muestras de 3 elementos de un proceso de maquinado de wilmer machine shop durante un periodo de 20 horas.
Wilmer Machine Shop
Sample
Observations
1
3.55
3.64
4.37
2
3.61
3.42
4.07
3
3.61
3.36
4.34
4
4.13
3.50
3.61
5
4.06
3.28
3.07
6
4.48
4.32
3.71
7
3.25
3.58
3.51
8
4.25
3.38
3.00
9
4.35
3.64
3.20
10
3.62
3.61
3.43
11
3.09
3.28
3.12
12
3.38
3.15
3.09
13
2.85
3.44
4.06
14
3.59
3.61
3.34
15
3.60
2.83
2.84
16
2.69
3.57
3.28
17
3.07
3.18
3.11
18
2.86
3.69
3.05
19
3.68
3.59
3.93
20
2.90
3.41
3.37
21
3.57
3.63
2.72
22
2.82
3.55
3.56
23
3.82
2.91
3.80
24
3.14
3.83
3.80
25
3.97
3.34
3.65
26
3.77
3.60
3.81
27
4.12
3.38
3.37
28
3.92
3.60
3.54
29
3.50
4.08
4.09
30
4.23
3.62
3.00
31
4.37
3.62
4.37
32
4.07
3.09
4.07
33
4.34
3.38
4.34
34
3.61
2.85
3.61
35
3.07
3.59
3.07
36
3.71
3.60
3.71
37
3.51
2.69
3.51
38
3.00
3.07
3.00
39
3.20
2.86
3.20
40
3.43
3.68
3.43
a) Calcule la media y la desviación estándar de los datos.
media
3.52
= R/d2 = 0.64/1.693 = 0.378
B Calcule la media y el rango de cada muestra y trácelos en graficas de control. El proceso parece estar en control estadístico? Porque si o porque no?
2
grafica de los rangos
1.8 1.6 1.4 s 1.2 o g n 1 a r
0.8
0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 13 1 3 14 1 5 16 1 6 1 7 18 1 8 19 2 0 21 2 1 22 2 3 24 2 4 25 2 6 27 2 7 2 8 29 29
subgrupos
4.5
grafica de las medias
4.3 4.1 3.9 s 3.7 a i d 3.5 e m3.3
3.1 2.9 2.7
2.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 13 13 1 4 1 5 16 16 1 7 1 8 19 19 2 0 2 1 22 22 2 3 2 4 25 25 2 6 2 7 28 28 2 9 3 0
subgrupos
El proceso está fuera de control.
2) Mount blanc hospital trabaja en mejorar el tiempo de espera a fin d e dar a sus clientes un mejor servicio en la sala de espera. Se tomaron 50 muestras de 5 elementos en instantes aleatorios en la sala de espera principal.
Problem 14-2 Mt. Blanc Hospital Waiting Room Data
Sample No. 1
23.97
22.41
22.80
23.48
20.98
2
22.11
21.45
21.63
24.34
23.37
3
23.32
23.21
22.76
21.04
22.82
4
21.88
21.19
23.09
21.55
21.06
5
23.06
22.13
23.63
21.22
23.36
6
23.53
23.58
24.29
23.67
23.40
7
22.27
21.47
20.51
22.19
21.66
8
20.80
23.52
21.89
23.36
21.85
9
23.00
21.29
23.59
22.02
21.78
10
22.15
22.80
21.91
21.32
22.94
11
23.65
24.60
23.17
22.18
23.00
12
22.33
23.85
23.50
23.16
22.72
13
21.99
22.97
21.90
21.02
23.00
14
23.72
24.13
22.02
22.87
22.45
15
22.17
21.45
22.46
23.60
23.20
16
22.75
22.55
22.03
22.86
21.94
17
23.13
20.97
24.19
22.00
21.91
18
22.48
22.68
24.61
23.75
22.58
19
22.63
21.96
21.59
22.94
22.88
20
22.36
22.66
22.75
21.60
22.34
21
22.22
23.13
23.69
22.82
23.35
22
22.51
22.00
23.83
20.57
21.74
23
23.32
22.61
22.19
22.44
24.31
24
21.44
23.57
22.28
23.64
23.67
25
21.82
22.34
23.80
23.59
21.79
26
22.99
22.00
21.63
22.66
22.79
27
23.05
22.95
21.98
22.50
21.62
28
22.87
21.85
21.94
23.61
23.09
29
22.42
22.52
21.68
21.33
22.01
30
22.54
23.60
23.38
23.05
22.47
31
22.47
23.07
22.70
22.51
22.96
32
23.63
21.45
23.84
21.90
23.07
33
21.67
22.68
23.48
22.70
21.61
34
22.72
23.07
23.27
22.50
22.63
35
23.71
22.42
22.34
21.61
22.65
36
22.07
22.72
21.74
22.10
22.66
37
22.58
22.13
22.96
23.12
21.83
38
22.04
22.59
23.18
22.35
23.37
39
19.90
23.66
24.57
21.85
21.91
40
22.60
23.39
22.22
22.43
21.49
41
23.60
23.20
22.15
22.80
21.91
42
22.86
21.94
23.65
24.60
23.17
43
22.00
21.91
22.33
23.85
23.50
44
23.75
22.58
21.99
22.97
21.90
45
22.94
22.88
23.72
24.13
22.02
46
21.60
22.34
22.17
21.45
22.46
47
22.82
23.35
22.75
22.55
22.03
48
20.57
21.74
23.13
20.97
24.19
49
22.44
24.31
22.48
22.68
24.61
50
23.64
23.67
22.63
21.96
21.59
a) Calcule la media y el rango de cada muestra y llévelos a gráficos de control. Carta R -
5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 1
3
5
7
9 11 13 13 15 15 17 17 19 19 21 21 23 23 25 25 27 27 29 29 31 31 33 33 35 35 37 37 39 39 41 41 43 43 45 45 47 47 49 49
Carta Carta X - Mont Blanc Blanc
24 23.5 23 22.5
22 21.5 21 20.5 20 1
3
5
7
9 11 13 13 15 15 17 17 19 19 21 21 23 23 25 25 27 27 29 29 31 31 33 33 35 35 37 37 39 39 41 41 43 43 45 45 47 47 49 49
b) El proceso parece está bajo control estadístico? Por qué si o porque no?
El proceso no parece estar bajo control debido a que la variabilidad está por encima de los límites de control superior. 3) Cuarenta muestras de cinco elementos dieron como resultado X = 300 y R = 30. Calcule los límites de control para las gráficas X y R y estime la desviación estándar del proceso.
Límites de la carta
X :
= +
=
= 300 + (0.577)( 0.577)(30 30)) = 317.31 = 300 (0.577)( 0.577)(30 30)) = 282.69 Límites de la carta R :
= = (2.114)(30) = 63.42 = (0)(2.136) = 0
=
Estimación de la desviación estándar.
=
=
= 12.89 .
4) Los datos en la hoja de trabajo indican los valores de la media de la resistencia eléctrica para 5º muestras de 5 elementos que se tomaron del proceso de fabricación de chips para computadoras de babbage Inc durante un periodo de 25 horas.
Sample Number DATA 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
7.95
6.34
8.15
10.12
8.42
9.79
8.47
8.68
10.64
8.99
2
11.20
7.97
10.60
7.46
7.04
11.62
9.38
8.56
9.38
9.97
3
8.16
10.68
8.66
10.07
9.83
7.73
6.91
8.28
9.92
10.04
4
10.04
8.88
9.99
8.07
11.00
11.45
9.00
8.72
9.08
9.77
5
9.10
11.18
8.86
7.31
8.70
11.56
7.84
7.42
8.88
8.11
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1
9.22
8.07
10.69
10.80
9.94
9.52
10.09
8.23
8.86
9.00
2
9.41
9.34
9.75
7.99
10.63
8.53
7.80
8.42
8.67
9.21
3
9.19
10.03
10.55
9.06
9.34
9.68
9.28
8.47
10.76
9.04
4
7.58
8.63
8.36
11.27
9.74
8.13
9.01
9.61
9.33
7.33
5
7.73
10.27 1 0.27
10.94
8.37
10.27
9.47
11.23
8.76
8.58
9.67
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1
9.73
6.91
9.05
8.41
8.71
10.17
9.91
9.82
9.18
7.08
2
8.05
8.92
8.89
9.93
8.39
8.72
7.64
8.63
9.11
8.17
3
10.72
9.44
7.06
10.64
7.72
9.76
10.20
10.97
9.42
8.05
4
9.76
8.22
9.44
9.89
10.35
10.12
9.30
9.59
8.96
8.28
5
7.91
9.80
7.13
9.61
9.50
9.35
10.70
7.55
12.06
8.73
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
1
8.76
8.75
9.24
9.55
9.28
8.24
7.69
8.07
8.90
10.40
2
7.47
8.18
8.96
6.81
11.10
8.41
10.07
8.15
7.45
7.54
3
8.13
7.50
7.43
7.50
8.79
7.96
8.74
6.49
8.57
8.29
4
9.02
9.54
9.33
9.70
10.93
9.39
9.80
9.73
9.67
9.29
5
8.36
6.47
9.36
7.74
7.08
8.66
9.54
8.48
8.38
9.40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
1
9.74
9.80
8.85
9.21
10.14
7.32
8.46
7.96
8.60
7.71
2
8.04
10.35
8.76
9.19
9.19
8.60
10.08
10.00
8.71
8.27
3
9.52
8.10
8.80
8.59
10.00
10.81
10.32
9.75
8.73
11.11
4
8.80
9.73
7.72
8.58
9.69
7.77
6.97
8.70
9.09
7.97
5
9.55
9.22
8.66
9.54
10.84
10.08
7.49
9.41
8.76
10.54
A) calcular la media y la desviación estándar de los datos.
Media = 9.045
=
=
. = 1.05 .
B) calcule los límites de control y elabore graficas X y R, utilizando las primeras 30 muestras. El proceso se encuentra bajo control en este punto?
11
Carta X -
10.5 10 9.5
9 8.5 8 7.5 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 13 1 3 14 1 5 16 1 6 1 7 1 8 19 19 2 0 2 1 22 22 2 3 2 4 25 25 2 6 27 2 7 28 2 9 30 30
Carta R .
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 1 2 1 3 14 1 4 1 5 16 16 1 7 18 1 8 1 9 20 2 0 2 1 22 2 2 2 3 24 2 4 2 5 26 2 6 2 7 28 2 8 2 9 30 30
C) después de calcular los límites de control se recopilan las últimas 20 muestras. Al representarlas en una gráfica utilizándolos límites de control calculados antes. El proceso parece estar bajo control estadístico. Porque si porque no. Que se debe hacer en caso de que no esté bajo control.
11
Carta X -
10.5 10 9.5 9 8.5 8 7.5 7 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Carta R .
6
5
4
3
2
1
0 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
El proceso pareciera estar saliéndose de control ya que en la gráfica X la mayoría de puntos están por debajo del límite de control inferior. En la carta R se observa cierta tendencia descendiente. 5. Utilizando los datos que se presentan en la hoja de trabajo del Prob. 14-5, para los índices de limpieza en el servicio de la cadena de restaurantes Aim2Please, elabore gráficas X y R. El tamaño de la muestra que usa es n = 4.
Aim2Please Restaurants
Sample
x-bar
R
Sample
x-bar
R
Sample
x-bar
R
1
95.72
1.0
11
95.80
0.6
21
95.60
0.8
2
95.24
0.9
12
95.22
0.2
22
95.42
0.2
3
95.18
0.8
13
95.56
1.3
23
94.86
0.6
4
95.44
0.4
14
95.22
0.5
24
95.52
0.2
5
95.46
0.5
15
95.04
0.8
25
95.04
0.8
6
95.32
1.1
16
95.72
1.1
26
95.62
1.7
7
95.40
0.9
17
94.82
0.6
27
94.72
0.7
8
95.44
0.3
18
95.46
0.5
28
95.55
0.4
9
95.08
0.2
19
95.60
0.4
29
95.40
0.6
10
95.50
0.6
20
95.74
0.6
30
95.64
0.7
Media
x-bar
R
95.38
0.67
Límites de la carta
X :
= +
=
= 95.3 5.38 + (0.729)(0.67) = 95.8 95.866 = 95.38 (0.729)(0.67) = 94.8 94.899 Carta X - Indices de limpieza
96.00
LCS 95.80 95.60 95.40 95.20 95.00
LCI
94.80 94.60 94.40 94.20 94.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 14 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 26 27 28 29 30
Límites de la carta R :
=
=
= (2.282)(0.67) = 1.52
)(0.67)) = 0 = (0)(0.67 Carta R - Indices de limpieza
1.80 1.60
LCS
1.40
1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20
LCI 0.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 14 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 26 27 28 29 30
6. Veinticinco muestras de 6 elementos dieron como resultado media= 8 y R= 2 para el tiempo promedio en el surtido de un pedido de la Quality Service Company. Calcule los límites de control para las gráficas X y R y la desviación estándar estándar del proceso.
Límites de control para la gráfica
= +
X :
=
= 8 + (0.483)( 0.483)(22) = 8.966 = 8 (0.483)(2) = 7.034 Límites de la carta R :
= = (2.004)( 2.004)(22) = 4.008 )(2) = 0 = (0)(2
=
=
=
= 0.789 .
7. Utilice los datos de la muestra de Inky-U, que se presentan en la hoja de trabajo del problema 14-7 para un tamaño de muestra, n =4. Sample
x-bar
1
46.3
2
R
Sample
x-bar
R
Sample
x-bar
R
1.3
11
46.17
0.2
21
46.51
1.0
45.92
0.9
12
45.94
3.1
22
47.04
1.9
3
46.24
2.5
13
46.79
1.5
23
45.59
1.8
4
45.44
1.3
14
45.81
1.6
24
45.81
1.6
5
47.55
2.7
15
47.38
1.0
25
47.38
1.0
6
46.83
1.4
16
45.95
1.9
26
47.20
2.3
7
46.18
3.0
17
46.86
0.9
27
45.96
0.4
8
46.97
2.9
18
46.42
2.1
28
46.82
2.4
9
45.49
1.8
19
47.03
1.5
29
46.32
1.8
10
46.91
0.3
20
46.68
1.7
30
47.38
1.8
a) Elabore graficas X y R.
Límites de control para la gráfica
= +
X :
=
= 46.5 6.50 + (0.729)(1.65) = 47.7 = 46.50 (0.729)(1.65) = 45.29
Carta X - Inky-U Printing Printing Co.
48.00
LCS 47.50 47.00 46.50 46.00 45.50
LCI
45.00 44.50 44.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 14 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 26 27 28 29 30
Límites de la carta R :
=
=
= (2.282)(1.65) = 3.77 = (0)(1.65) = 0
Carta R - Inky-U Printing Printing Co.
4.00
LCS 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50
LCI 0.00 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28 28 29 29 30 30
b) Una vez que se determinó que el proceso estaba bajo control, empezó su seguimiento utilizando los límites de control que se establecieron en el inciso (a). Los resultados de 20 muestras más se presentan en la hoja de trabajo. ¿Surgió algún problema con el proceso? De ser así, ¿en qué momento se debía detener el proceso y que pasos tendrían haberse realizado para corregirlo?
Carta R - Inky-U 20 muestras
4.50 4.00
LCS 3.50 3.00 2.50 2.00 1.50 1.00 0.50
LCI
0.00 31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Carta X - Inky-U 20 muestras
48.00
LCS
47.50 47.00 46.50 46.00 45.50
LCI 45.00 44.50 44.00 31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
En las ultimas 20 muestras se observa que el proceso tiene problemas ya que el mismo se salió de control de acuerdo a lo obtenido en las gráficas de X y R.
8. Al probar el voltaje de un componente de un componente usado en una microcomputadora para Hertz Company, se obtuvieron los datos d atos que se presentan en la hoja de trabajo del Prob 14-8 . Elabore graficas X y R para estos datos. Determine si el proceso
está bajo control. De lo contrario, elimine cualquier causa asignable y calcule los límites revisados. Sample
________
Observations
________
1
414
388
402
2
408
382
406
3
396
402
392
4
390
398
362
5
398
442
436
6
400
400
414
7
444
390
410
8
430
372
362
9
376
398
382
10
342
400
402
11
400
402
384
12
408
414
388
13
382
430
400
14
402
409
400
15
399
424
413
16
460
375
445
17
404
420
437
18
375
380
410
19
391
392
414
20
394
399
380
21
396
416
400
22
370
411
403
23
418
450
451
24
398
398
415
25
428
406
390
Carta Carta R - Hertz Hertz Co.
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25
Carta Carta X - Hertz Co.
460
440
420
400
380
360
340
320 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 25
El proceso está fuera de control por lo que se procede a eliminar las muestras con causas especiales para calcular nuevamente los límites de control.
Carta Carta X - Hertz Co.
460
440
420
400
380
360
340
320 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 22 22 23 23 24 24
Ejercicio 9.
General Hydraulics, Inc.
a) Original data Diameter
Measurement
(cm) Observations Sample
1
2
3
4
1
10.94
10.64
10.88
10.70
̅
10.79
R
0.30
2
10.66
10.66
10.68
10.68
10.67
3
10.68
10.68
10.62
10.68
10.67
4
10.03
10.42
10.48
11.06
10.50
5
10.70
10.46
10.76
10.80
10.68
6
10.38
10.74
10.62
10.54
10.57
7
10.46
10.90
10.52
10.74
10.66
8
10.66
10.04
10.58
11.04
10.58
9
10.50
10.44
10.74
10.66
10.59
10
10.58
10.64
10.60
10.26
10.52
11
10.80
10.36
10.60
10.22
10.50
12
10.42
10.36
10.72
10.68
10.55
13
10.52
10.70
10.62
10.58
10.61
14
11.04
10.58
10.78
10.17
10.6425
15
10.52
10.40
10.60
10.40
10.48
16
10.38
10.02
10.60
10.60
10.40
17
10.56
10.68
10.78
10.34
10.59
18
10.58
10.50
10.48
10.60
10.54
19
10.42
10.74
10.64
10.50
10.58
20
10.48
10.44
10.32
10.70
10.49
21
10.56
10.78
10.46
10.42
10.56
22
10.82
10.64
11.00
10.01
10.62
0.02 0.06 1.03 0.34 0.36 0.44 1.00 0.30 0.38 0.58 0.36 0.18 0.87 0.20 0.58 0.44 0.12 0.32 0.38 0.36 0.99
23
10.28
10.46
10.82
10.84
10.60
24
10.64
10.56
10.92
10.54
10.67
25
10.84
10.68
10.44
10.68
10.66 10.59
Numero de muestras= 4 Numero de sub-grupos= 25
̿ = 10.59 = 0.44 .44 = 0.72 0.7299 =2.282 =0
= ̅ + = 10.5 10.599 + 0.72 0.729( 9(0. 0.44 44)) = 10.9 10.911 = ̅ = 10.5 10.599 0.72 0.729( 9(0. 0.44 44)) = 10.2 0.27 = = 2.282( 2.282(0.4 0.44) 4) = 1.0 1.004 = = 0
0.56 0.38 0.4000 0.44
Grafico X
10.97 10.87 10.77 s10.67 a i d e 10.57 M
10.47 10.37 10.27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Subgrupos
Grafico R 1 0.8 s o 0.6 g n a R
0.4 0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Subgrupos
Este proceso está totalmente fuera de control, existen 5 puntos muy cerca e inclusos algunos en 3 sigma. b) Numero de muestras= 4 Numero de sub-grupos= 21
̿ = 10.59
= 0.34 .34 = 0.72 0.7299 =2.282 =0
= ̅ + = 10.5 10.599 + 0.72 0.729( 9(0. 0.34 34)) = 10.8 10.844 = ̅ = 10.5 10.599 0.72 0.729( 9(0. 0.34 34)) = 10.3 0.34 = = 2.282( 2.282(0.3 0.34) 4) = 0.77 .77 = =0 10.94
Grafica X
10.84 10.74
s a i d 10.64 e M
10.54
10.44 10.34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Subgrupos
Grafica R
0.90 0.80
0.70 0.60 o 0.50 g n a 0.40 R
0.30 0.20 0.10 0.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Subgrupos
Mostrando así un poco de más de control, eliminado las bruscas subidas. Aunque no está en control total pero si dentro de las especificaciones. c)
Observations Sample
1
2
3
4
1
10.40
10.76
10.54
10.64
2
10.60
10.28
10.74
10.86
3
10.56
10.58
10.64
10.70
4
10.70
10.60
10.74
10.52
5
11.02
10.36
10.90
11.02
6
10.68
10.38
10.22
10.32
7
10.64
10.56
10.82
10.80
8
10.28
10.62
10.40
10.70
R
10.59
0.36
10.62
0.58
10.62
0.14
10.64
0.22
10.83
0.66
10.40
0.46
10.71
0.26
10.50
0.42
9
10.50
10.88
10.58
10.54
10
10.36
10.44
10.40
10.66
Numero de muestras= 4 Numero de sub-grupos= 10
̿ = 10.60 = 0.38 .38 = 0.72 0.7299 =2.282 =0
= ̅ + = 10.6 10.600 + 0.72 0.729( 9(0. 0.38 38)) = 10.8 10.888 = ̅ = 10.6 10.600 0.72 0.729( 9(0. 0.38 38)) = 10.3 0.32 = = 2.282( 2.282(0.3 0.38) 8) = 0.87 .87 = = 0
10.63
0.38
10.47
0.30
10.60
0.38
Grafica X
10.92 10.82 10.72
s a i d 10.62 e M
10.52 10.42 10.32 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Subgrupos
Grafica R
1.00 0.90 0.80 0.70 s 0.60 o g n 0.50 a R0.40
0.30
0.20 0.10 0.00 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Subgrupos
En esta muestra el proceso está controlado con referencia a la muestra anterior. En la gráfica x como se encuentran dos puntos por fuera de 2 sigmas es un patrón que indica que esta fuera de control 10. Gamma Sales Corp. Trata de mejorar la capacidad para proyectar las ventas de sus 5 regiones de ventas. Los datos en la hoja de trabajo del Prob. 14-10 representan la diferencia
y R para entre las ventas reales y las proyectadas en millones millones de dólares. Elabore graficas los datos en la hoja de trabajo. ¿A que conclusiones llega, si las varianzas positivas se consideran buenas y las varianzas negativas se consideran como oportunidades de mejorar?
Sample
Observations
x 1
0.23
-0.04
0.44
-0.79
-0.07
-0.05
2
-0.14
-0.83
0.81
0.21
-1.31
-0.25
3
0.16
-1.29
0.77
-0.28
-0.11
-0.15
4
0.28
0.44
0.44
0.50
-0.31
0.27
5
-0.44
-1.03
-0.11
-0.47
0.06
-0.398
6
-0.58
-0.66
0.24
-0.54
0.17
-0.274
7
0.36
-0.58
0.09
0.11
1.29
0.254
8
0.84
0.23
0.82
0.21
0.31
0.482
9
0.28
0.03
-0.19
0.81
0.17
0.22
10
0.74
0.49
0.53
-0.34
0.69
0.422
11
0.74
0.85
-0.72
-0.17
-0.36
0.068
12
0.84
0.06
-0.06
-0.74
-0.55
-0.09
13
0.32
0.95
0.11
-0.32
0.24
0.26
14
-0.52
-0.22
0.39
0.70
0.00
0.07
15
-0.02
-0.45
-0.89
-0.84
0.35
-0.37
16
-0.35
-0.74
-0.02
1.06
-1.21
-0.252
17
1.04
0.61
0.03
0.34
-0.65
0.274
18
-0.14
-0.07
0.75
-0.14
-0.95
-0.11
19
-0.27
0.27
0.14
0.57
-0.57
0.028
R 1.23 2.12 2.06 0.81 1.09 0.9 1.87 0.63 1 1.08 1.57 1.58 1.27 1.22 1.24 2.27 1.69 1.7 1.14
20
-0.09
-0.26
-0.90
-0.18
-0.08
-0.302
21
0.49
-0.22
0.38
-0.35
-0.63
-0.066
22
-0.42
0.04
0.79
-0.29
-0.10
0.004
23
0.76
-0.15
0.27
-0.34
-0.37
0.034
24
-0.38
0.01
-0.15
0.25
1.14
0.174
25
-0.25
0.82
-0.12
-0.63
-1.18
-0.272
26
0.30
0.62
-0.30
0.40
0.58
0.32
27
-0.15
-0.33
0.33
0.13
1.05
0.206
28
-0.74
-0.19
0.23
1.01
0.33
0.128
29
-0.67
1.22
0.32
-0.64
0.03
0.052
30
0.01
-0.82
0.22
0.42
-0.19
-0.072
31
-0.98
0.66
0.19
0.07
-0.25
-0.062
32
0.58
-0.51
0.33
0.03
-0.44
-0.002
33
1.12
-0.36
-0.65
0.65
-0.60
0.032
34
0.49
-0.84
-0.40
-0.36
-0.82
-0.386
35
0.06
0.27
0.03
0.47
0.81
0.328
36
-0.74
-0.56
-0.13
0.06
-0.54
-0.382
37
0.99
-0.48
0.96
0.82
-0.08
0.442
38
-0.56
0.38
0.13
-0.68
0.22
-0.102
39
-0.53
0.49
-0.56
-1.29
1.02
-0.174
40
0.81
0.33
0.41
-0.77
0.52
0.26
0.82 1.12 1.21 1.13 1.52 2 0.92 1.38 1.75 1.89 1.24 1.64 1.09 1.77 1.33 0.78 0.8 1.47 1.06 2.31 1.58
41
0.18
-0.49
0.81
0.16
0.17
0.166
42
0.17
-1.03
-0.31
0.28
0.21
-0.136
43
0.17
0.07
0.33
-0.40
-0.54
-0.074
44
0.53
0.26
0.12
0.48
0.05
0.288
45
0.1
-0.97
0.23
0.09
0.43
-0.024
46
-0.73
-0.40
-1.00
-0.03
0.37
-0.358
47
0.48
-1.00
0.88
0.40
0.09
0.17
48
0.3
0.19
0.83
0.26
-1.04
0.108
49
-0.18
-0.34
0.67
-0.08
-0.92
-0.17
50
0.31
-0.42
-0.18
-0.46
0.78
0.006 0.01
Numero de muestras= 5 Numero de sub-grupos= 50
̿ = 0.01 = 1.37 .37 = 0.57 0.5777 =2.114 =0
= ̅ + = 0.01 0.01 + 0.57 0.577( 7(1. 1.37 37)) = 0.80
1.3 1.31 0.87 0.48 1.4 1.37 1.88 1.87 1.59 1.24 1.37
= ̅ = 0.01 0.01 0.57 0.577( 7(1. 1.37 37)) = 0.7 0.788 = = 2.114( 2.114(1.3 1.37) 7) = 2.90 .90 = = 0 1
Grafica X
0.8 0.6 0.4 s 0.2 a i d 0 e M
-0.2
1
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
-0.4 -0.6 -0.8 -1
Subgrupos
3.5
Grafica R
3 2.5 s o 2 g n a R1.5
1 0.5 0 1
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 23 25 25 27 27 29 29 31 31 33 33 35 35 37 37 39 39 41 41 43 43 45 45 47 47 49 49
Subgrupos
El proceso se encuentra bajo control, dentro de los límites establecidos. Están los puntos cerca de la media por tanto todos los valores están por debajo de 2 sigma, lo que indica que existe poca variación. Si las varianzas positivas se refieren a buenas y las negativas como oportunidades para mejorar, en el caso del grafico x, existen prácticamente la misma cantidad de varianzas positivas como de negativas indicando que el proceso tiene muchas cosas que mejorar. 11. Para cada una de las gráficas de control siguientes, suponga que el proceso se ha manejado bajo control estadístico durante un tiempo. ¿A qué conclusiones llegaran los operadores en este punto?
a) Existen siete puntos consecutivos por debajo del promedio del proceso, una
tendencia a disminuir, por tanto el proceso está fuera de control.
b) El proceso está fuera de control pues existen más de 7 valores a un lado de la media,
además de tener varios puntos fuera de los límites de 2 sigma.
c) Tiene una adhesión a la media, todos sus puntos se encuentran en la banda de uno sigma, por tanto el proceso está fuera de control. d) Tiene algunos de sus puntos alejados a 2 sigma, el proceso está fuera de control.
e) Tiene un punto fuera de los límites de control, además de que casi todos los demás puntos están en 2 sigma, el proceso está fuera de control.
f) Tiene varios puntos por encima de dos sigma, está fuera de control. g) Proceso fuera de control, prácticamente todos los puntos están por 2 sigma.
12. Analice la interpretación de cada una de las siguientes graficas de control.
a) Tiene un punto por encima de 3 sigma, fuera de las especificaciones y otro en 3 sigma, lo que indica que el proceso esta fuera de control.
b) Está bajo control el proceso. c) En la segunda mitad del grafico sus puntos se encuentran en 2 sigma. d) Los puntos están casi todos por encima de 2 sigma, llegando a 3 sigma, está fuera de control.
13. Considere los datos para el tiempo necesario a fin de empezar a cargar la página principal del sitio Web de Slowbay en un visualizador por Internet. Quince muestras de cinco elementos se presentan en la hoja de trabajo del P r ob. 14-13. Las especificaciones son 0.076 ±0.009 Muestras
Observaciones
1
0.078
0.076
0.077
0.079
0.078
2
0.077
0.075
0.077
0.079
0.076
3
0.076
0.079
0.074
0.072
0.078
4
0.075
0.076
0.076
0.079
0.073
5
0.075
0.075
0.077
0.076
0.076
6
0.078
0.080
0.074
0.078
0.077
7
0.074
0.075
0.077
0.075
0.075
8
0.078
0.073
0.071
0.075
0.073
9
0.075
0.075
0.077
0.079
0.077
10
0.076
0.073
0.076
0.078
0.074
11
0.077
0.074
0.076
0.079
0.077
12
0.078
0.075
0.073
0.075
0.078
13
0.077
0.077
0.079
0.077
0.075
14
0.073
0.077
0.073
0.078
0.081
15
0.079
0.075
0.076
0.077
0.078
a) Calcule los límites de control para una gráfica x (grafica para elementos individuales)
utilizando el valor estadístico Ř/d como estimado de la desviación estándar y la desviación estándar real de los datos. ¿Por qué son diferentes?
̿ : 0.076 : 0.0048 n = 5, A₂ = 0.577 LCS = 0.076 + (0.577 x 0.005) = 0.0788 LC = 0.076 LCI = 0.076 – (0.577 (0.577 x 0.005) = 0.0731
b) Elabore las gráficas X y R, así como la gráfica x para elementos individuales utilizando los datos. Interprete sus resultados.
Grafica R 0.015
0.01 s o p m e i T
0.005
-1E-17 1
2
3
4
5
6
7
-0.005
8
9
10
11
12
13
12
13
14
15
Muestras
0.08 0.079 0.078 s 0.077 o p m0.076 e i 0.075 T 0.074 0.073 0.072
Grafica X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
14
15
Muestras
Los tiempos están estables. La grafica muestra que no está fuera de control. 14. Fujiyama Electronics, Inc., ha tenido problemas pro blemas con las tarjetas de circuito compradas a un proveedor externo. Ocurre una variabilidad inaceptable entre dos orificios que se supone deben estar a 5 cm de distancia entre si en las tarjetas de circuito. Se tomaron 30 muestras de cuatro tarjetas de los envíos del proveedor, como se muestra en los datos que se incluyen en la hoja de dato del P r ob. 14-14. Observations Sample
1
2
3
4
1
4.92
4.26
4.94
4.29
2
4.65
5.54
5.00
5.42
3
5.77
5.26
4.76
4.79
4
6.25
4.88
5.66
4.44
5
5.27
5.41
6.02
4.91
6
5.22
5.38
5.08
4.65
7
5.47
4.68
4.56
4.70
8
5.71
4.54
4.17
4.87
9
5.24
5.58
4.72
5.41
10
4.42
5.18
4.79
4.73
11
5.14
4.26
4.71
5.48
12
4.92
5.78
5.50
5.05
13
5.79
3.83
4.30
4.78
14
4.92
4.80
4.75
5.59
15
5.68
5.74
4.65
5.20
16
5.43
4.81
5.27
4.96
17
4.79
6.04
4.47
5.18
18
4.43
5.08
3.69
6.43
19
6.35
5.95
6.29
5.89
20
5.03
4.66
5.25
4.46
21
6.32
6.09
5.57
5.91
22
4.30
5.47
4.27
4.34
23
6.07
4.97
5.51
5.02
24
5.11
4.90
5.91
4.66
25
4.50
5.24
4.86
4.35
26
4.91
4.79
5.74
5.03
27
4.65
4.71
4.81
5.32
28
4.70
5.50
6.04
4.30
29
5.87
5.30
5.78
5.07
30
4.41
4.75
4.95
5.11
a) Elabore graficas X y R para estos datos.
Grafico X
7.00 6.50 6.00
m c 5.50 s a m5.00 e l b 4.50 o r P
4.00 3.50 3.00 1
3
5
7
9
11
13 13 15 1 5 17 17 19 19 Muestras
21 21
23 23
25 25
27 27
29 29
Grafico R 2.25 m 1.75 c s a m 1.25 e l b o r 0.75 P
0.25 -0.25
1
3
5
7
9
11 13 13 15 15 17 17 19 19 21 21 23 23 25 25 27 27 29 29
Muestras
b) Se realizaron 10 observaciones más, como se muestra en la segunda tabla de la hoja de trabajo. Utilizando las gráficas X y R del inciso (b), comente sobre lo que indican las gráficas después de ampliarlas con los datos nuevos.
Aun estaría bajo control, las observaciones aun estarían estables.
15. Squawk Boxes, Inc., fabricante de bocinas, tiene un proceso con u na distribución normal y las siguientes medias de las muestras y rangos para 15 muestras de 5 elementos que se
encuentran en la hoja de trabajo para Prob. 14-15. Determine los límites de la capacidad del proceso. Si se determina que las especificaciones sean 50 ± 25, ¿qué porcentaje estará fuera de las especificaciones?
Problem 14-15 Squawk
Boxes,
Inc.
Sample
x-bar
1
51.6
13.1
2
45.1
24.5
3
49.3
19.4
4
55.9
12.4
5
46.5
15.3
6
58.1
19.9
7
54.3
13.8
8
49.6
26.9
9
56.8
14.4
10
57.0
13.6
11
43.9
13.8
12
52.3
17.9
13
49.6
27.0
14
48.9
8.8
15
48.2
24.2
Media = 51.1
=
R
=
. = 7.61 .
=
6
=
− (.)
= 1.095
=
3
=
−. (.)
=
3
=
.− (.)
= 1.047
= 1.143
CPk = Min (CPs, CPi) = 1.047
Se muestra que el proceso es capaz de cumplir con las especificaciones.
C álculo del del porcenta porcentajj e de de par parte tess que o cumplen cumplen con las espe especif ci fi cacione caciones: s: Media = 51.1 Desv. estándar = 7.61
51.1
=
Cálculo de Z para los límites de especificaciones
( = 7 5) 5) = −. = 3.14 .14 .
( = 2 5) = −. = -3.42 . Para Z = 3.14 la probabilidad de no cumplir con las especificaciones viene dada por, 0.5 – 0.49916= 0.0844%, el valor para Z = -3.42 es 0.031 3%; por lo tanto el porcentaje de partes que no cumple con las especificaciones es de 0.1157%.
