Aplicaciones de la programación programación lineal Anteriormente se aprendió a formular y clasificar clasificar problemas determinísticos determinísticos de acuerdo acuerdo con las propiedades matemáticas de las variables, la función objetivo y las restricciones. Una de estas clasificaciones es el problema de programación lineal, esto es, un problema en el que la función objetivo y todas las restricciones son lineales y todas las variables son continuas (pueden asumir valores fraccionales). fraccionales). Se le pone especial atención a los problemas de programación lineal porque tienen amplias aplicaciones prácticas en áreas tan diversas como la asignación de recursos escasos, la compra y fabricación, la planeación de dietas, la administración de agencias, la combinación y la planeación de producción, como se ilustra con los ejemplos de este capítulo.
Modelos de programación lineal para decisiones de mezcla de productos Los administradores a menudo necesitan determinar cómo asignar diversos recursos escasos, como la mano de obra, la materia prima y el capital, a varias alternativas que compiten por estos recursos. La decisión final se basa en la disponibilidad de estos recursos y en el logro de un objetivo global para la organización. Por ejemplo, en un marco de producción, la mezcla de productos por fabricar se basa finalmente en un objetivo corporativo global como la maximización de ganancias o la minimización de costos de producción totales. Los modelos de programación lineal a menudo se utilizan para ayudar a los administradores a tomar tales decisiones. Considere el problema enfrentado por la gerencia de BlubberMaid, Inc. EL PROBLEMA DE MEZCLA DE PRODUCTOS DE BLUBBERMAID, INC.
BlubberMaid, Inc. fabrica tres productos de caucho: Airtex (material esponjoso), Extendex (material elástico) y Resistex (material rígido). Los tres productos requieren los mismos tres polímeros químicos y una base. La cantidad de cada ingrediente usada por libra del producto final se muestra en la siguiente tabla: Ingrediente (oz/lb de producto) Producto Polímero A Polímero B Polímero C Base Airtex 4 2 4 6 Extendex 3 2 2 9 Resistex 6 3 5 2 BlubberMaid, Inc. tiene el compromiso de producir al menos 1000 libras de Airtex, 500 libras de Extendex y 400 libras de Resistex para la próxima semana, pero la gerencia de la compañía sabe que puede vender más de cada uno de los tres productos. Los inventarios actuales de los ingredientes son 500 libras del polímero A, 425 libras del polímero B, 650 libras del polímero C y 1100 libras de la base. Cada libra de Airtex produce a la compañía una ganancia ganancia de $7, cada libra de Extendex una ganancia de $7 y cada libra de Resistex una ganancia de $6. Como gerente del departamento de producción, usted necesita necesita determinar un plan de producción producción óptimo para esta semana.
Modelos de programación lineal para decisiones de fabricación o compra En muchos marcos de producción, puede ser que una compañía no tenga suficientes recursos para satisfacer una demanda inesperadamente grande por uno o más productos. En tales casos, la compañía puede complementar su capacidad de producción comprando algunos de los productos a proveedores externos. El punto central en esas situaciones es la decisión por parte de los administradores de la cantidad de cada producto por producir contra la cantidad que hay que comprar del exterior. A menudo es útil un modelo de programación lineal en la toma de tales decisiones, como lo ilustra el siguiente ejemplo. EL PROBLEMA DE HACER O COMPRAR DE MTV STEEL COMPANY
MTV Steel Company produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada pie del tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la producción, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 onza de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por pie de los tubos A, B y C, respectivamente. Para la siguiente semana, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que totalizan 2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. Como sólo se dispone de 40 horas de tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5500 onzas de material de soldar, el departamento de producción no podrá satisfacer esta demanda, que requiere un total de 97 horas de tiempo de máquina y 11000 onzas de material de soldar. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia dé MTV Steel está considerando la compra de algunos de estos tubos a pro-veedores de Japón a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por pie del tubo B y $7 por pie del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla 3.2. Como gerente del departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la compañía.
Tipo
Precio de Venta ($/ft)
A 10 B 12 C 9 Cantidad disponible
Demanda (ft)
2000 4000 5000
Tiempo de máquina (min/ft)
Material para soldar (oz/ft)
Costo de producción ($/ft)
Costo de compra ($/ft)
0.50 0.45 0.60 40hr
1 1 1 5500 oz
3 4 4
6 6 7
Modelos de programación lineal para problemas de dietas Los modelos de programación lineal también pueden aplicarse en la planeación de dietas. En particular, dado un número de alternativas de comida, cada una de las cuales produce una cantidad conocida de un nutriente necesario, usted desea determinar qué cantidad de cada tipo de comida incluir en una dieta para asegurar un mínimo de requerimientos de nutrientes, a la vez que logra un objetivo global. En el siguiente ejemplo se ilustra un problema de este tipo. EL PROBLEMA DE DIETAS DEL HOSPITAL GENERAL MOUNTAIN VIEW
El Departamento de Nutrición del Hospital General Mountain View prepara 30 menús de cena, uno para cada día del mes. Una comida consiste en espagueti, pavo, papas en escalope, espinacas y pastel de manzana. Como director del Departamento de Nutrición, usted ha determinado que esta comida debe proporcionar al menos 63 000 miligramos (mg) de proteínas, 10 mg de hierro, 15 mg de tiacina, 1 mg de tiamina y 50 mg de vitamina C. Cada 100 gramos de esta comida proporciona la cantidad de cada nutriente y grasas indicadas en la tabla. Nutrientes proporcionados por las distintas comidas
NUTRIENTE (mg/100 g) Proteínas Hierro Espagueti Pavo Papas Espinacas Pastel de manzana
5000 29300 5300 3000 4000
1.1 1.8 0.5 2.2 1.2
Tiacina Tiamina Vitamina C
1.4 5.4 0.9 0.5 0.6
0.18 0.06 0.06 0.07 0.15
0.0 0.0 10.0 28.0 3.0
Grasa
5000 5000 7900 300 14300
Para evitar demasiada cantidad de un tipo de comida, no debe incluirse en ella más de 300 gramos de espagueti, 300 gramos de pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y 100 gramos de pastel de manzana. Como director del departamento de nutrición, usted desea determinar la composición de una comida que satisface los requerimientos nutricionales y proporciona la mínima cantidad de grasas.
Modelos de programación lineal para administración de cartera de valores Como verá ahora, una decisión de inversión también puede requerir determinar cuánto invertir en cada alternativa disponible. A menudo puede formularse un modelo de programación lineal para un problema de esta naturaleza. El objetivo global de un inversionista es obtener el más alto rendimiento posible. Pero un alto rendimiento tiene un precio: el riesgo. Un inversionista debe equilibrar el rendimiento frente al riesgo. A menudo puede formularse un modelo de programación lineal para diseñar una estrategia de inversión que logre el rendimiento máximo, al mismo tiempo que satisfaga ciertos requerimientos de riesgo. Considere el problema enfrentado por los socios generales de Pensión Planners, Inc. EL PROBLEMA DE INVERSIÓN DE PENSIÓN PLANNERS, INC.
Al gerente de cartera de Pensión Planners, Inc. se le ha pedido invertir $1 000 000 de un gran fondo de pensiones. El departamento de investigación de Inversiones ha identificado seis fondos mutuos con estrategias de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en la tabla siguiente. Tabla de R ies g o y tas a es perada de rendimiento de s eis fondos de inversi ón FONDO 1
2
3
4
5
6
Precio ($/acción)
45
76
110
17
23
22
Devolución esperada (%)
30
20
15
12
10
7
Alto
Alto
Alto
Mediano
Mediano
Bajo
Categoría de riesgo
Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diversos fondos. Para ese fin, la administración de Pensión Planners, Inc. ha especificado las siguientes pautas: 1. La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50 y 75% de la cartera. 2. La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de la cartera. 3. 3. La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 5% de í la cartera. Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo en muchas alternativas diferentes. La gerencia de Pensión Planners, Inc., ha especificado que la cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1,2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3, respectivamente. La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2. Con estas pautas, ¿qué cartera debería usted, gerente de cartera, recomendar para maximizar la tasa esperada de retorno?
Modelos de programación lineal para problemas de mezclas Otro ejemplo del uso de un modelo de programación lineal está en la mezcla de diversos componentes para producir un producto final. Por ejemplo, ¿cómo mezcla y procesa una refinería el petróleo crudo para producir gasolina? ¿Cómo mezcla las aleaciones una empresa fabricadora de metales para producir una nueva aleación con ciertas propiedades? En los problemas de mezclado, cada componente contiene ciertos ingredientes, como azufre el petróleo crudo o hierro una aleación. La mezcla final puede exigir que estos ingredientes estén presentes en ciertas cantidades. El objetivo en un problema de mezclado es determinar la cantidad de cada componente en la mezcla que lleve al producto deseado a un costo mínimo. Considere el problema de mezclado de gasolina que enfrentan los gerentes de Hexxon Oil Company. EL PROBLEMA DE MEZCLADO DE GASOLINA DE HEXXON OIL COMPANY
Hexxon Oil Company obtiene tres tipos de petróleo crudo de sus pozos de Mississippi, Nuevo México y Texas. La gasolina obtenida de estos petróleos crudos se mezcla junto con dos aditivos para obtener el producto final. Estos petróleos crudos y aditivos contienen azufre, plomo y fósforo, como se muestra en la tabla 3.5. El costo de cada componente también se presenta. Debido a los residuos e impurezas, cada galón de petróleo crudo de Mississippi resulta sólo en 0.35 de galón del producto final, que contiene 0.07% de azufre. De manera similar, cada galón de crudo de Nuevo México produce 0.40 de galón del producto final que contiene 0.08% de sulfuro y cada galón de crudo de Texas resulta en 0.30 de galón del producto final que contiene 0.10% de azufre. La gerencia ha establecido las siguientes especificaciones para controlar las cantidades de azufre, plomo y fósforo: 1. Cada galón debe tener a lo más 0.07% de azufre. 2. Cada galón debe tener entre 1.25 y 2.5 gramos de plomo. 3. Cada galón debe tener entre 0.0025 y 0.0045 gramos de fósforo. 4. La cantidad total de los aditivos no puede exceder de 19% de la mezcla. Tabla de Composición y costo de los componentes de mezcla Petróleos Crudos Aditivos Mississippi Nuevo México Texas 1 2 0.07 0.08 0.10 Azufre (%) 7 6 Plomo (g/gal) 0.025 0.02 Fósforo (g/gal) 0.55 0.47 0.33 0.08 0.12 Costo ($/gal)
Como gerente de producción, determine un plan de mezclado que produzca una gasolina aceptable al mínimo costo.
Modelos de programación lineal para planeación de producción agregada Otra aplicación de la programación lineal está en el área de planeación de producción. Los administradores de la planeación de producción deben determinar cuántos elementos producir y cuántos extraer de inventarios existentes para satisfacer demandas anticipadas para un periodo específico. Cualesquier elementos sobrantes se almacenan en inventario. El objetivo global es minimizar costos totales, compuestos por producción, inventario y otros cargos. Considere el problema que enfrenta la administración de National Steel Corporation.
EL PROBLEMA DE PLANEACIÓN DE PRODUCCIÓN DE NATIONAL STEEL CORPORATION
National Steel Corporation (NSC) produce un acero especial usado en las industrias de aviación y aeroespaciales. El departamento de ventas de NSC ha recibido pedidos de 2400,2200,2700 y 2500 toneladas de acero para cada uno de los siguientes 4 meses. NSC puede satisfacer estas demandas produciendo el acero, extrayéndolo de su inventario, o usando cualquier combinación de las dos alternativas. Se proyecta que los costos de producción por tonelada de acero durante cada uno de los siguientes cuatro meses sean de $7400, $7500, $7600 y $7650. Como los costos suben cada mes, debido a las presiones inflacionarias, tal vez sea mejor que NSC produzca más acero del que necesita en un mes determinado y que almacene el exceso. La capacidad de producción, sin embargo, no puede exceder las 4000 toneladas en ningún mes. La producción mensual se termina al final del mes, cuando la demanda se satisface. Cualquier acero remanente se almacena en inventario a un costo de $ 120 por tonelada por cada mes que permanece allí. Estos datos se resumen en la tabla siguiente. Tabla de datos para el problema de producción-planeación de NCS MES 1 2 3 4 Demanda (tons) 2400 2200 2700 2500 Costo de producción ($/ton) 7400 7500 7600 7650 Costo de inventario ($/ton/mes) 120 120 120 120
Si el nivel de producción se incrementa de un mes al siguiente, entonces la compañía incurre en un costo de $50 por tonelada de producción incrementada para cubrir la mano de obra adicional y/o el tiempo extra. Cada tonelada de producción disminuida incurre en un costo de $30 para cubrir los beneficios de empleados no utilizados. El nivel de producción durante el mes anterior fue de 1800 toneladas, y el inventario que comienza es de 1000 toneladas. El inventario al final del cuarto mes debe ser de al menos 1500 toneladas para cubrirla demanda anticipada. Formule un plan de producción para NSC que minimice los costos totales en los siguientes 4 meses.
Referencias:
SOLOW, DANIEL; “INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES: EL ARTE DE LA TOMA DE DECISIONES”; 1ª EDICIÓN; PEARSON PRENTICE HALL; MÉXICO 1996.
