UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTOBAL DE HUAMANGA FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y CIVIL Escuela de Formaci´ on Profesional de Ingenier´ıa de Sistemas
“Ejercicios Resueltos de Investigaci´ on de Operaciones” Curso:Investigaci´on de Operaciones Sigla: IS-262 Alumno: - HUAMAN PINEDA, Isac
Ayacucho - Per´ u 2015
1.
Ejercicios Resueltos
Ejemplo 3.1: Una firma industrial elabora dos productos, en los cuales entran cuatro componentes en cada uno. Hay una determinada disponibilidad de cada componente y un beneficio por cada producto. Se desea hallar la cantidad de cada articulo que debe fabricarse, con el fin de maximizar los beneficios. El siguiente cuadro resume los coeficientes de transformaci´on o sea la cantidad de cada componente que entra en cada producto.
Cuadro (3.1) Soluci´ on: X1 =Nro. de Unidad de Producto P1 X2 =Nro. de Unidad de Producto P2 Dado que X1 y X2 pueden tomar distintos valores reciben el nombre de ((variables)). Analizando ahora el componente A del cuadro de coeficientes de transformacion se tiene: Si en 1 Unidad del Producto P1 entra 1kg. del componente Aj en X1 unidades de P1 entrar´an. i h componente A X1 (Unidades de P1 ) [1] kg.1deU nidad de P1 Y para el producto P2 : h i kg. de componente A [3] 1 U nidad de P2 X2
(Unidades de P2 )
Dado que la restricci´on impuesta dice que la disponibilidad del componente A es de 15000kg. es evidente que la suma de las expresiones anteriores deber´a ser menor a la suma igual a 15000. Es decir, 15000kg constituye el m´aximo disponible del componente A. Entonces eliminando las unidades de medida, se expresan en forma matem´atica de la siguiente forma: 1X1 + 3X2 ≤ 15000 Aplicando el mismo an´alisis a los componente B, C y D, se tendr´an las siguientes inecuaciones:
1
2X1 + 1X2 ≤ 10000 2X1 + 2X2 ≤ 12000 1X1 + 1X2 ≤ 10000 Ahora bien, si el producto P1 genera un beneficio de S/.4 por unidad, X1 unidades producira un beneficio de S/.4X1 y para el producto P2 , ser´an 3X2 soles del beneficio. El beneficio total puede expresarse entonces como suma de los beneficios que deja cada producto. Entonces: Z = 4X1 + 3X2 Pero lo que nosotros queremos es que este beneficio no s´olo sea grande, sino que sea el mayor de todos; en una palabra, que sea m´aximo. Sujeto a: 1X1 + 3X2 ≤ 15000 2X1 + 1X2 ≤ 10000 2X1 + 2X2 ≤ 12000 1X1 + 2X2 ≤ 10000 X1 , X2 ≥ 0
Ejemplo 3.2: La C´ıa XY Z produce tornillos y clavos. La materia prima para los tornillos cuesta S/.2 por unidad, mientras que la materia prima para cada clavo cuesta S/.2.50. Un clavo requiere dos horas de mano de obra en el departamento #1 y tres horas en el departamento #2, mientras que un tornillo requiere cuatro horas en el departamento #1 y dos horas en el departamento #2. El jornal por hora en ambos departamentos es de S/.2. Si ambos productos se venden a S/.18 y el n´ umero de horas de mano de obra disponibles por semana en los departamentos es de 160 y 180 respectivamente, expresar el problema propuesto como un programa lineal, tal que se maximicen las utilidades. Soluci´ on: X1 = tornillo/semana X2 = clavos/semana U tilidad = venta − costo Costo de los tornillos =S/.12/U nid.+S/.2/U nid. =S/.14/U nid. U tilidad = 18 − 14 =S/.4/U nid. Costo de los clavos = 5 × 2 + 2.5 =S/.12.5/U nid.
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U tilidad = 18 − 12.5 =S/.5.50/U nid. Por lo tanto el programa lineal es: (M ax) = 4X1 = 5.50X2 Sujeto a: 4X1 + 2X2 ≤ 160 2X1 + 3X2 ≤ 180 X1 , X2 ≥ 0
Ejemplo 3.3: A un joven matem´atico se le pidi´o que entretuviese a un visitante de su empresa durante ´ pens´o que ser´ıa una excelente idea que el hu´esped se emborrache. Se le dio 90 minutos. El al matem´atico S/.50. El joven sabia que al visitante le gustaba meezclar sus tragos, pero que siempre beb´ıa mas de 8 vasos de cerveza, 10 ginebras, 12 wiskys y 24 martinis. El tiempo que empleaba para beber era 15’ por cada vaso de cerveza, 6’ por vasode Ginebra, 7’ y 4’ por cada vaso de whisky y martini. Los precios de las bebidas eran: Cerveza S/.1, el vaso; Ginebra S/.2, el vaso; Whisky S/.2, el vaso; Martini S/.4, el vaso El matem´atico pensaba que el objetivo era maximizar el consumo alcoholico durante los 90’ que tenia para entretener al huesped. Logr´o que un amigo qu´ımico le diese el contenido alcoh´olico de las bebidas en forma cuantitativa, siendo las unidades alcoh´olicas por un vaso de 17, 15, 16 y 7 por vaso. El visitante siempre beb´ıa un m´ınimo de 2 Whiskys. ¿C´omo resolvio el matem´atico el problema?. Soluci´ on: Xj : Nro de vasos de tipo (1:Cerveza; 2:Ginebra; 3:Whisky; 4:Martini) (M ax)Z = 17X1 + 15X2 + 16X3 + 7X4 Sujeto a: 1X1 + 2X2 + 2X3 + 4X4 ≤ 50 X1 ≤ 8 X2 ≤ 10 2 ≤ X3 ≤ 12 15X1 + 6X2 + 7X3 + 4X4 ≤ 90 Xj ≥ 0; j = 1, 2, 3, 4
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Ejemplo 3.4: Un barco tiene 3 bodegas: En la proa, en la popa y en el centro, las capacidades limites son:
Se han recibido las siguientes ofertas de carga, las que se pueden aceptar total o parcialmente.
Como se debe distribuir la carga para maximizar la ganancia, si la preservaci´on del equilibrio obliga a que el peso de cada bodega sea proporcional a la capacidad de toneladas. Soluci´ on: El problema consiste en distribuir los art´ıculos en las 3 bodegas; es decir, se trata de determinar que fracci´on de cada art´ıculo ir´a en cada bodega. Xj =(# de ton. de cada art´ıculo que ir´a en cada bodega, j = 1, 2, 3, . . . , 9) Redisponemos los datos en la siguiente tabla:
Por lo tanto el programa lineal es: (M ax)Z = 6(X1 + X2 + X3 ) + 8(X4 + X5 + X6 ) + 9(X7 + X8 + X9 )
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a) Restricciones debidas al tonelaje de la bodega. X1 + X4 + X7 ≤ 2000 X2 + X5 + X8 ≤ 3000 X3 + X6 + X9 ≤ 15000 b) Restricciones debidas al vol´ umen de la bodega. 60X1 + 50X4 + 25X7 ≤ 100000 60X2 + 50X5 + 25X8 ≤ 135000 60X3 + 50X6 + 25X9 ≤ 30000 c) Restricciones debidas a la oferta de los art´ıculos. X1 + X2 + X3 ≤ 6000 X4 + X5 + X6 ≤ 4000 X7 + X3 + X9 ≤ 2000 c) Por la preservaci´on del equilibrio. X1 +X4 +X7 2000
=
X2 +X5 +X8 3000
=
X3 +X6 +X9 1500
N´otese que de las igualdades solo se obtienen 2 ecuaciones independientes. Xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , 9
Ejemplo 3.5: Se hace un pedido a una papeler´ıa de 800 rollos de papel corrugado de 30 pulgadas de ancho, 500 rollos de 45 pulgadas de ancho y 1000 de 50 pulgadas. Si la papeler´ıa tiene solamente rollo de 108 pulgadas de ancho. C´omo deben cortarse los rollos para surtir el pedido con el m´ınimo desperdicio de papel, sabiendo que el m´aximo desperdicio aceptable de papel por rollo es de 22 pulgadas. Soluci´ on: Xj =(# de rollos cortados de diferentes maneras, j = 1, 2, . . . , 5) Las posibilidades l´ogicas de corte son:
5
Por lo tanto el programa lineal es: (M in)Z = 18X1 + 3X2 + 8X3 + 18X4 + 13X5 Sujeto a: 3X1 + 2X2 = 800 X3 + 2X4 + X5 = 600 2X3 + X5 = 1000 Xj ≥ 0; j = 1, . . . , 5
Ejemplo 3.6: Una planta fabrica los productos A y B que tienen que pasar por algunos o todos los entros de proceso, 1, 2, 3 y 4 como se indica en la Fig. (3.1).
Figura (3.1) En los casos en que hay capacidad disponible en el centro 3, es posible enviar el producto a trav´ez de 3 en lugar de hacerlo pasar dos veces por el centro 2. A continuaci´on se da la informaci´on posible:
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Los centros 1 y 4 trabajan hasta 16 horas al d´ıa y los centros 2 y 3 hasta 12 horas al d´ıa. Esta C´ıa, efect´ ua la distribuci´on de sus productos con sus propios recursos, los que permiten en transporte de un m´aximo de 2500 galones. Los dos tipos de materias primas, que se evaporan con facilidad, pueden conseguirse en cualesquiera cantidades en el mercado; pero no hay forma de almacenarlos; es decir, la totalidad de las materias primas compradas debe usarse el d´ıa que se reciben. Los pedidos son satisfechos el mismo d´ıa que se piden y a tiempo para su uso. Expresar el problema propuesto como un programa lineal, que permita decidir cuantos galones de materia prima deben dedicarse diariamente a cada curso posible, dado que cada centro puede manejar solamente el paso de un producto en proceso a la vez y se desea maximizar las utilidades. Ign´orese el tiempo que podr´ıa requerir para cambiar de un producto a otra en cualquiera de los centros. % de merma = 100 − % de recuperacion Soluci´ on: XAN =# de galones de materia prima A para el curso normal. XAA =# de galones de materia prima A para el curso alternativo. XB =# de galones de materia prima B. Utilidad=Ingreso Total-Costp mp-Costo Operaci´on Ingreso Total=200(0.90)(0.75)(0.85)XAN +(0.90)(0.95)(0.85)(0.75)XAA +180(0.90)(0.85)(0.80)XB Costo mp=50(XAN + XAA ) + 60XB Costo Operaci´on=1500
XAN 300
1500
X
3000
XB
AA
500
500
+2000
0,90XAN
+ 2000
0,90XAA
+ 2500
450
450
0,90XB 480
+1800
0,90×0,95XAN
+ 1800
0,90×0,95XAA
+ 2400
250
250
+2200
0,90×0,95×0,85XAN
+ 2200
0,90×0,95×0,85XAA
0,90×0,95XB 400
Por lo tanto el programa lineal y simplificando la funci´on objetiva es:
7
400
350
(M ax)Z = 47XAN + 38,6XAA + 34,7XB Sujeta a:
a) Restricciones debido al transporte. (0,90)(0,95)(0,85)(0,80)XAN +(0,90)(0,95)(0,85)(0,75)XAA +(0,90)(0,85)(0,80)XB ≤ 2500 b) Restricciones debido a las horas disponibles en cada centro. Centro 1: XAN +XAA 300
+
XB 500
≤ 16
Centro 2: 0,90(XAN +XAA ) 450
+
(0,90)(0,95)(0,85)XAN 400
≤ 12
Centro 3: (0,90)(0,95)(0,85)XAA 400
+
0,90XB 480
≤ 12
Centro 4: (0,90)(0,95)XAN +(0,90)(0,95)XAA 250
+
(0,90)(0,85)XB 400
≤ 16
c) Restricciones debido a ventas. (0,90)(0,95)(0,85)(0,80)XAN + (0,90)(0,95)(0,85)(0,75)XAA ≤ 1700 (0,90)(0,85)(0,80)XB ≤ 1500 XAN , XAA , XB ≥ 0 Luego de realizar algunas simplificaciones algebr´aicas, el programa lineal es el siguiente: (M ax)Z = 47XAN + 38,6XAA + 34,7XB Sujeta a: 0,58XAN + 0,54XAA + 0,61XB ≤ 2500 0,003(XAN + XAA ) + 0,002XB ≤ 16 0,002(XAN + XAA ) + 0,001XAN ≤ 12 0,002XAA + 0,001XB ≤ 12 0,003(XAN + XAA ) + 0,001XB ≤ 16 0,58XAN + 0,54XAA ≤ 1700 0,612XB ≤ 1500 XAN , XAA , XB ≥ 0
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Ejemplo 3.10: La C´ıa. de Aerolineas Faucett tiene que decidir cu´antas azafatas nuevas tiene que emplear, entrenar, despedir en los 6 meses que vienen. Los requisitos en hora de vuelo de azafata son los siguientes:
Una chica necesita un mes de entrenamiento antes de que puedan usarla en un vuelo regular, por lo tanto, hay que emplearla una mes antes de que sus servicios sean necesarios. Tambi´en el entrenamiento de una nueva chica requiere el tiempo de una azafata regular entrenada. Dicho entrenamiendto toma aproximadamente 100 horas de la azafata con experiencia durante el mes de entrenamiento. Entonces por cada chica en entrenamiento hay 100 horas menos disponibles para servicio de las azafatas regulares. Cada azafata regular puede trabajar un m´aximo de 150 horas cada mes, hay 60 azafatas disponibles el primer d´ıa de Enero. Si el tiempo m´aximo disponible de la azafata requerido es mayor que la demanda, las regulares pueden trabajar menos de 150 horas o la C´ıa. puede despedirlas a un costo de $1000 por cada azafata despedida. Cada mes el 10 % de las azafatas regulares al trabajo para casarse o por otras razones. una azafata regular cuesta $800 al mes y una chica en entrenamiento recibe $400. Formule el problema en Programaci´on Lineal para minimizar el costo de servicio de azafatas. Soluci´ on: Xij =# de azafatas que durante el mes i se encuentran en situaci´on j. i =Enero(1), Febrero(2), Marzo(3), Abril(4), Mayo(5), Junio(6) j =Empleadas(1), en entrenamiento(2), a despedir(3)
A comienzo de enro hay: (69 Azafatas)(150hrs. azafatas)=9000 hrs.
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Azafata regula=150 horas Azafata en entren.=-100 horas Azafata despedida=-150 horas Costo: $3000 azafata regular; $400 en entrenamiento; $1000 azafata despedida.
Sujeto a: En cu´anto a la demanda: Enero: 900 + 150X11 − 100X12 − 150X13 ≥ 8000 Febrero:0,90(9000 + 150X11 − 100X12 − 150X13 ) + 150X21 − 100X22 − 150X23 ≥ 9000 Marzo:0,9(F eb.) + 150X31 − 100X32 − 150X33 ≥ 8000 Abril:0,9(M ar.) + 150X41 − 100X42 − 150X43 ≥ 10000 Mayo:0,9(Abr.) + 150X51 − 100X52 − 150X53 ≥ 9000 Junio:0,9(M ay.) + 150X61 − 100X62 − 150X63 ≥ 12000 X21 ≤ X12 Xij ≥ 0
Ejemplo 3.11: (Destilaci´on de crudos). Una compa˜ n´ıa de petr´oleos produce en sus refinerias gas´oleo (G), gasolina sin plomo (P) y gasolina s´ upero (S) a partir de dos tipos de crudos, C1 y C2 . Las refiner´ıas est´an dotadas de dos tipos de tecnolog´ıas. La tecnolog´ıa nueva Tn utiliza en cada sesi´on de destilaci´on 7 unidades de C1 y 12 C2 para producir 8 unidades de G, 6 de P y 5 de S. Con la tecnolog´ıa antigua Ta , se obtienen en cada destilaci´on 10 unidades de G, 7 de P y 4 de S, con un gasto de 10 unidades de C1 y 8 de C2 . Estudios de demanda permiten estimar que para el pr´oximo mes se deben producir al menos 900 unidades de G, 300 de P y entre 800 y 1700 de S. La disponibilidad de crudo C1 es de 1400 unidades y de C2 de 2000 unidades. Los beneficios por unidad producida son: Gasolina G Beneficio/u 4
P 6
S 7
La compa˜ nia desea conocer c´omo utilizar ambos procesos de destilaci´on, que se pueden realizar total o parcialmente, y los crudos disponibles para que el beneficio sea m´aximo. Soluci´ on: Observemos que las actividades en que est´a interesada la compa˜ nia son el n´ umero de destilaciones con cada tecnolog´ıa. Por tanto, definimos las variables de desici´on. X1 =N´ umero de destilaciones con Tn X2 =N´ umero de destilaciones con Ta 10
El objetivo es maximizar el beneficio del producto destilado. Esto es: Z =(Beneficio por unidad de Gx unidades producidas de G)+(beneficio de Px producci´on de P )+(beneficio de Sx producci´on de S) Z = 4(3X1 + 10X2 ) + 6(6X1 + 7X2 ) + 7(5X1 + 4X2 ) Z = 103X1 + 110X2 Tenemos restricciones a las limitaciones en la disponibilidad de ambos tipos de crudos. Para C1 : (7 unids. de C1 × X1 destilaciones)+(10 unids. de C1 × X2 )≤disponibilidad de C1 Es decir: 7X1 + 10X2 ≤ 14000 An´alogamente, para C2 : 12X1 + 8X2 ≤ 2000 Adem´as, sabemos que si se producen X1 destilaciones con Tn y X2 destilaciones con Ta los productos obtenidos son: 8X1 + 10X2 unidades de G 6X1 + 7X2 unidades de P 5X1 + 4X2 unidades de S De los estudios de demanda, podemos establecer las restricciones: 8X1 + 10X2 ≥ 900 (Demanda de G) 6X1 + 7X2 ≥ 300 (Demanda de P) {5X1 + 4X2 ≤ 1700 5X1 + 4X2 ≥ 800} (Demanda de S) Por tanto, el programa lineal es: (M ax)Z = 103X1 + 110X2 Sujeto a: 7X1 + 10X2 ≤ 14000 12X1 + 8X2 ≤ 2000 8X1 + 10X2 ≥ 900 6X1 + 7X2 ≥ 300 5X1 + 4X2 ≤ 1700 5X1 + 4X2 ≥ 800 X1 , X2 ≥ 0
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Ejemplo 3.19: Un granjero puede criar ovejas, cerdos y ganado vacuno. Tiene espacio para 30 ovejas, ´o 50 cerdos, ´o 20 cabezas de ganado vacuno, o cualquier combinaci´on de estas (con la siguiente relaci´on), 3 ovejas, 5 cerdos o 2 vacas usan el mismo espacio. Los beneficios (utilidades) dadas por animal son 500, 500 y 100 soles por ovejas, cerdos y vacas respectivamente. El granjero debe criar por ley, al menos tantos cerdos como ovejas y vacas juntas. Soluci´ on: Definici´on de variables: X1 =n´ umero de ovejas a criar. X2 =n´ umero de cerdos a criar. X3 =n´ umero de vacas a criar. (M in)Z = 500X1 + 500X2 + 100X3 Sujeto a: X1 ≤ 30 X2 ≤ 50 X3 ≤ 20 X2 ≥ X1 + X3 X1 + 53 X2 + 23 X3 ≤ 30 Xj ≥ 0; j = 1, 2, 3
Ejemplo 3.20: Una refiner´ıa de petr´oleo quiere encontrar el programa o´ptimo de combinar cautro comoponentes para producir gasolina. Los cuatro componentes son butano, SR gasolina cruda, CC gasolina cruda y reformado. El programa de producci´on tiene que tomar en cuenta las variaciones de temperatura en la demanda, para gasolina y tiene que ser o´ptimo para todo el a˜ no. La demanda estacional y las especificaciones para gasolina tipo super y tipo corriente son las siguientes: Las cantidades disponibles y propiedades de los componentes que se combinan en las gaslinas son los siguientes:
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Las cantidades disponibles y propiedades de los componentes que se combinan en las gasolinasson los siguientes:
Los costos para cada componente son los siguientes:
Adem´as se sabe que:
a) Hay que cumplir exactamente con la demanda para gasolina tipo super. b) Se puede guardar las gasolinas producidas sin l´ımite y sin costo. c) Se puede comprar gasolina corriente o, si se produce en exceso, venderia a $4.50/barril. d) Se puede combinar octano y presi´on de vapor linealmente. e) Asuma que el n´ umero de d´ıa en cada estaci´on es igual.
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Soluci´ on:
Sea: S1 =Cantidad de gasolina regular almacenada en verano en m barriles/d´ıa S2 =Cantidad de gasolina regular almacenada en invierno en m barriles/d´ıa Z1 =Cantidad de gasolina regular comprada en verano en m barriles/d´ıa Z2 =Cantidad de gasolina regular comprada en invierno en m barriles/d´ıa (M in)Z = 1,50(X11 + X12 + Y11 + Y12 ) + 2,00(X21 + X22 + Y21 + Y22 ) + 2,50(X31 + X32 + Y3 + Y32 ) + 3,00(X41 + X42 + Y41 + Y42 ) + 4,50(Z1 + +Z2 − S2 ) Sujeto a: Por requisitos de octanaje: 105X11 + 80X21 + 95X31 + 102X41 ≥ 99(X11 + X21 + X31 + X41 ) 105X12 + 80X22 + 95X32 + 102X42 ≥ 95(X12 + X22 + X32 + X42 ) 105X11 + 80X21 + 95X31 + 102X41 ≥ 99(Y11 + Y21 + Y31 + Y41 ) 105X12 + 80X22 + 95X32 + 102X42 ≥ 95(Y12 + Y22 + Y32 + Y42 ) Por requisitos de presi´ on de vapor: 65X11 + 8X21 + 5X31 + 4X41 ≤ 8(X11 + X21 + X31 + X41 ) 65X12 + 8X22 + 5X32 + 4X42 ≤ 8(X11 + X21 + X31 + X41 ) 65Y11 + 8Y21 + 5Y31 + 4Y41 ≤ 13(Y11 + Y21 + Y31 + Y41 ) 65Y12 + 8Y22 + 5Y32 + 4Y42 ≤ 13(Y12 + Y22 + Y32 + Y42 ) Por demanda de gasolina s´ uper: X11 + X21 + X31 + X41 = 10 Y11 + Y21 + Y31 + Y41 = 8 Por balance de gasolina regular:
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X12 + X22 + X32 + X42 + Z1 − S1 = 12 Y12 + Y22 + Y32 + Y42 + S1 − S2 − Z2 = 9 Por su disponibilidad de componentes: X11 + X12 ≤ 3 X21 + X22 ≤ 7 X31 + X32 ≤ 5 X41 + X42 ≤ 4 X11 + X12 ≤ 4 X21 + X22 ≤ 8 X31 + X32 ≤ 65 X41 + X42 ≤ 5 Xij , Yij , S1 , S2 , Z1 , Z2 ≥ 0
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