Calculo de Areas y Volumenes 1o ingeniería

Curvas en el plano

475

La curva de ecuaciones paramétricas x .t / D r .t  sen t /, y .t / D r .1  cos t / para 0 6 t 6 2 es la cicloide. Es la curva que describe un punto de una circunferencia de radio r que avanza girando sin deslizar.



La curva curva de ecuacione ecuacioness paramétricas paramétricas x .t / D a .1 C cos t / cos t , y .t / D a .1 C cos t / sen t para 0 6 t 6 2 se llama cardioide. Es la curva que describe un punto fijo del borde de un círculo de radio a =2 que rueda sin deslizar sobre el exterior de otro círculo del mismo radio.



P

2r P

t

O

2 r

Figura 8.12. Cicloide Figura 8.13. Cardioide

P

Figura 8.14. Astroide

Figura 8.15. Espiral de Arquímedes

La curva curva de ecuacione ecuacioness paramétricas paramétricas x .t / D a cos3 t , y .t / D a sen3 t donde a > 0 y 0 6 t 6 2 , se llama hipocicloide de cuatro picos o astroide. Es la curva que describe un punto fijo de una circunferencia de radio r D a=4 que rueda sin deslizar sobre el interior de otra circunferencia circunferencia de radio a .



La curva curva de ecuacione ecuacioness paramétricas paramétricas x .t / D t cos cos t , y .t / D t sen sen t donde donde 0 6 t 6 2 , se llama espiral de Arquímedes. Es la curva que describe un punto que se mueve alejándose del origen con velocidad uniforme sobre una semirrecta que gira alrededor del origen con velocidad angular constante. constante.



Otro ejemplo final, para para que aprecies aprecies las curvas tan complicadas complicadas que pueden representarrepresentarse fácilmente por ecuaciones paramétricas. Se trata de una curva de las llamadas curvas de 2 Œ0; 2 . Lissajoux. Sus ecuaciones son x .t / D sen.3t /, y .t / D cos.5t /, t 2



Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

Prof. Javier Pérez Cálculo diferencial e integral

Curvas en el plano

476

Figura 8.16. Una curva de Lissajoux

8.7.4.1. 8.7.4.1. Área Área encerr encerrada ada por una curva curva Sea  la región rodeada por una curva cerrada simple  .t / D . x .t /; y .t //, a 6 t 6 b, y supongamos supongamos que las funciones funciones x .t /; y .t / tienen primera derivada derivada continua. Se supone también que si, a medida que el parámetro t avanza desde a hasta b , andamos sobre la curva siguiendo al punto  .t / D .x .t /; y .t // entonces la región  queda a nuestra izquierda (ver figura 8.17 8.17). ). En estas condiciones se verifica que el área de  viene dada por: ./

D

 b

x .t /y 0 .t / dt

D

a

 b

y 0 .t /x .t / dt

a

1

D2

 b a



x .t /y 0 .t /



 y 0.t /x .t /

dt (8.40)



Figura 8.17. Una curva cerrada

8.7.4.2. Áreas planas en coordenadas polares Un tipo particular de ecuaciones paramétricas son las de la forma:

(

D f.#/ cos # y .# / D f.#/ sen # x .#/ .# /

.˛ 6 #

6

ˇ/

(8.41)

W Œ˛;ˇ ! R es una función continua. Dichas ecuaciones se representan simbólicadonde f W mente en la forma  D f . # /. La curva definida por estas ecuaciones se dice que está dada en forma polar y que  D f . # / es la ecuación polar de la curva. La razón de esta terminología se explica seguidamente. Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático


Curvas en el plano

477

Dado un punto .x ; y / ¤ . 0; 0/, hay un único par de números .; #/, tales que  > 0 y  < # 6  , que verifican las igualdades x D  cos # , y D  sen # . Dichos números se llaman coordenadas polares del punto . x ; y /. Si consideras el número complejo x C iy, entonces  es su módulo y # es su argumento principal. Por tanto, dada una curva por una ecuación polar  D f.#/, el punto del plano que corresponde a cada valor del ángulo polar # es:



f.#/.cos #; sen #/; f . # / cos.# /; sen.#

j

j

si f .# / > 0: Coordenadas polares .f .#/;#/ C / ; si f .#/ < 0: Coordenadas polares . jf.#/j; # C /

C



Debes tener claro que esta forma de representar una curva no es más que un tipo particular de representación paramétrica. Consideremos una curva dada por la ecuación polar  D f .#/ donde f W Œ˛;ˇ ! R . Queremos calcular el área de la región del plano (ver figura 8.18): 

D f. cos #;  cos #/ W 0 <  6 f.#/; ˛ 6 # 6 ˇg : 

D f.#/

 #k #k 1

ˇ

˛

O

Figura 8.18. Aproximación por sectores circulares

Para ello lo que hacemos es aproximar  por medio de sectores circulares. Recuerda que 1

el área de un sector circular de radio  y amplitud ' (medida en radianes) es igual a 2' . 2 Consideramos para ello una partición f˛ D #0; #1 ; #2 ; : : : ; #n1 ; #n D ˇg de Œ˛; ˇ y forman

mos la suma

1

X

k

D1 2

 #k 1/. Como el número 21 f .#k /2.#k  #k1/ es el área del

f .#k /2 .#k

sector circular, representado en amarillo en la figura 8.18, de radio f .#k / y amplitud igual a #k  # k 1, es claro que la suma anterior representa una aproximación del área de  . Como n

X

k

1

D1 2

 #k 1/ es una suma de Riemann de la función # 7! 21 f . # /2, se sigue que

f .#k /2 .#k

el área de  viene dada por la integral: ./


1

D2

 ˇ

f.#/2 d#

(8.42)

˛


Ejercicios propuestos

478

Con frecuencia, las ecuaciones en coordenadas polares se usan para representar distintos tipos de curvas simétricas llamadas “rosas”. Por ejemplo, en la figura 8.19 se ha representado una rosa de 8 hojas o lazos, cuya ecuación en coordenadas polares es  D cos.4# /, 0 6 # 6 2 .

Figura 8.19. Rosa de 8 pétalos

8.7.5. Ejercicios propuestos 408. Calcula el área encerrada por la elipse x .t / D a C r cos t , y .t / D b C R sen t donde 0 6 t 6 2 . 408. Calcula el área encerrada por la cardioide x .t / D cos t .1 C cos t /, y .t / D sen t .1 C cos t / para 0 6 t 6 2 . 409. Calcula el área de la región del plano rodeada por un lazo de la lemniscata de ecuación polar 2 D cos.2#/, . =4 6 # 6 =4/.

410. Calcula el área limitada por el arco de la espiral de Arquímedes  D a # , a > 0, comprendido entre # D 0 y # D  . 411. Calcula el área encerrada por el lazo interior de la curva  D

1

C cos # .

2

412. Hallar el área encerrada por una de las hojas de la rosa  D 2 cos.2#/. 413. Calcular el área del lóbulo del folium de Descartes de ecuación x 3 C y 3  3axy D 0, a > 0 . Sugerencia. Expresa la ecuación en forma polar. 414. Calcula el área de la región común a las dos elipses x2 a2

y2

C b2 D 1;

x2 b2

y2

C a2 D 1:

Sugerencia. Representa gráficamente las elipses. Usa la simetría polar para simplificar los cálculos y pasar a coordenadas polares.

8.7.6. Longitud de un arco de curva Se trata de calcular la longitud de la curva plana  dada por las ecuaciones paramétricas  .t / D . x .t /; y .t //, a 6 t 6 b, donde suponemos que x .t /, y .t / tienen derivada primera continua. Para ello aproximamos la curva por poligonales inscritas en ella. Cada partición Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático



479

fa D t 0; t 1; t 2 ; : : : ; t n1; t n D bg induce una poligonal cuyos vértices son los puntos .x .t k /; y .t k //, .0 6 k

6

n/.

 .t k /

D

 .t k /  .t k 1/

Figura 8.20. Aproximación por poligonales

La longitud de dicha poligonal viene dada por la suma: n

X q

.x .t k /

k

D1

n

 x .t k 1//2 C .y .t k /  y .t k 1//2

Ð

X q 0

x .sk /2

k

D1

C y 0.sk /2 .t k  t k 1/

Donde hemos usado el teorema del valor medio y la continuidad de las derivadas. Pero esta suma es una suma de Riemann de la función t 7! x 0 .t /2 C y 0 .t /2 . Deducimos que la longitud de la curva  viene dada por `./

D

 b a

p

q 0

x .t /2

C y 0.t /2 dt

(8.43)

Para el caso particular de que la curva sea la gráfica de una función y D f .x /, esto es  .x / D .x ; f .x //, entonces su longitud viene dada por `./

D

 b a

q C 0 1

f .x /2 dx

Para el caso particular de que la curva venga dada por una parametrización polar de la forma (8.41), su longitud viene dada por `./

D

 ˇ ˛

q

f . # /2

C f 0 .#/2 d#

Si interpretamos que la curva  .t / D . x .t /; y .t // es la función de trayectoria seguida por un móvil, entonces la velocidad de dicho móvil en cada instante t viene dada por el vector derivada  0 .t / D . x 0 .t /; y 0 .t //, y la rapidez es la norma euclídea de dicho vector, es decir x 0 .t /2 C y 0 .t /2 . La igualdad (8.43) tiene ahora una interpretación clara: la distancia recorrida por un móvil se obtiene integrando la rapidez. Volveremos sobre esto más adelante.

p

8.7.7. Ejercicios propuestos 415. Calcula la longitud del arco de catenaria y D cosh x entre x D 0 y x D 1. Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático


Volúmenes de sólidos

480

416. Calcula la longitud de un arco de la cicloide x .t / D t  sen t , y .t / D 1  cos t , .0 6 t 6 2/. 417. Calcular la longitud del arco de curva y D x 2 C 4, entre x D 0 y x D 3. 418. Calcula la longitud de la astroide

x

2=3

y

2=3

  C  a

a

D 1, a > 0 .

Sugerencia. Obtener las ecuaciones paramétricas de la astroide y tener en cuenta la simetría.

419. Calcula la longitud de la cardioide  D 3.1 C cos # /, .0 6 # 6 2/. 420. Calcula la longitud de la curva y D

x4

C 48 donde 2 6 x 6 4.

24x

421. Calcula la longitud de la curva y D log.1  x 2/, donde 1 =3 6 x 6 2 =3.

8.7.8. Volúmenes de sólidos Al igual que podemos calcular áreas de regiones planas integrando las longitudes de sus secciones por rectas paralelas a una dada, podemos también calcular volúmenes de regiones en 3 R integrando las áreas de sus secciones por planos paralelos a uno dado. Este resultado es un caso particular del teorema de Fubini que veremos al estudiar integrales múltiples.

8.69 Teorema ( Cálculo de volúmenes por secciones planas ). El volumen de una región en 3 R

es igual a la integral del área de sus secciones por planos paralelos a uno dado.

Para justificar esta afirmación, sea  una región en R3 como la de la figura 8.21.

Z

 .x /

O

a

x

b

X

Y

Figura 8.21. Cálculo del volumen por secciones

Representemos por .x / la sección de  por el plano perpendicular al eje OX en el punto .x ; 0; 0/. Sea V .x / el volumen de la parte de  que queda a la izquierda de dicho plano y sea ..x // el área de la sección .x /. Observa que la situación es totalmente análoga a la considerada en el Teorema Fundamental del Cálculo: allí teníamos la función área cuya Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático



481

derivada era la longitud de la sección. No debe sorprenderte por ello que ahora resulte que la derivada de la función volumen, V .x /, sea el área de la sección. En efecto, sea h > 0. Suponiendo, naturalmente, que la función x 7! ..x // es continua, tenemos que: mKın f..t // W x 6 t 6 x C hg h 6 V .x C h/  V .x / 6 maK x f..t // W x 6 t 6 x C hg h de donde se deduce que lKım

h

!0

V .x

C h/  V .x/ D ..x //: h

Hemos obtenido así que V 0 .x / D ..x //. Deducimos que el volumen de  , que es V .b/  V .a/, viene dado por la integral: Vol ./

D

 b

..x // dx

(8.44)

a

El razonamiento anterior se ha hecho para secciones por planos verticales al eje OX , es decir planos paralelos al plano Y Z ; pero el resultado obtenido también es válido para secciones por planos paralelos a un plano dado. Podemos llegar también a este resultado considerando sumas de Riemann. Para ello aproximamos la región  por cilindros de la siguiente forma. Consideremos una partición

fa D x0; x1 ; x2 ; : : : ; xn1; xn D bg de Œa; b. La parte de  comprendida entre los planos perpendiculares al eje OX por los puntos .xk 1 ; 0; 0/ y . xk ; 0; 0/ puede aproximarse por un cilindro de altura x k  xk 1 y base .xk / cuyo volumen es igual ..xk //.xk  xk 1 /. La suma de los volúmenes de todos estos cilinn

dros,

X

 xk 1/, es por tanto una aproximación del volumen de . Pero dicha k D1 suma es una suma de Riemann de la función x 7! ..x //, por lo que el volumen de  viene  b ..xk //.xk

dado por

..x // dx .

a

Vamos a estudiar algunos casos en los que es fácil calcular el área de las secciones de .

8.7.8.1. Volumen de un cuerpo de revolución Los cuerpos de revolución o sólidos de revolución son regiones de girando una región plana alrededor de una recta llamada eje de giro.

3 R

que se obtienen

Método de los discos Es fácil calcular el volumen de un cuerpo de revolución obtenido girando una región de tipo I alrededor del eje OX , o una región de tipo II alrededor del eje O Y . Sea f W Œa; b ! R una función continua. Girando la región del plano comprendida entre la curva y D f .x /, el eje de abscisas y las rectas x D a y x D b , alrededor del eje OX obtenemos un sólido de revolución  (ver figura 8.22). Es evidente que la sección, .x /, de  por el plano perpendicular al eje OX en el punto . x ; 0; 0/, es un disco contenido en dicho plano de centro Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático



482

y

D f .x/

.x/

a

x

b

Figura 8.22. Método de los discos .x ; 0; 0/ y radio f .x / . Por tanto el área de .x / es ..x // volumen de  es igual a

j

j

Vol ./

D

 b

D f .x /2; en consecuencia el

f .x /2 dx

a

El volumen del sólido de revolución,  , obtenido girando alrededor del eje OX una región de tipo I definida por dos funciones continuas f; g W Œa; b ! R tales que 0 6 f .x / 6 g.x / para todo x 2 Œa; b , se obtiene integrando las áreas de las coronas circulares o arandelas, .x /, de radio interior f .x / y radio exterior g.x /, obtenidas al cortar  por un plano perpendicular al eje OX en el punto .x ; 0; 0/. Vol ./

D

 b

.g .x /2

a

 f .x /2/ dx

Consideremos ahora un sólido de revolución obtenido girando alrededor del eje O Y una región R de tipo II, definida por dos funciones continuas ';  W Œc ; d  ! R tales que 0 6 '. y / 6 .y / para todo y 2 Œc ; d , es decir, R es la región R D f.x ; y / W y 2 Œ c ; d ;'.y / 6 x 6 .y /g. El volumen del sólido de revolución resultante,  , viene dado por: Vol ./

D

 d

..y /2

c

 '.y /2/ dy

Este procedimiento se conoce como método de los discos o de las arandelas . Dicho método puede aplicarse con facilidad para calcular el volumen de cuerpos de revolución obtenidos girando regiones de tipo I alrededor de rectas horizontales, o regiones de tipo II alrededor de rectas verticales.




483

8.7.9. Ejercicios propuestos 422. Calcula el volumen de la esfera obtenida girando la circunferencia x 2 C y 2 D R2 alrededor del eje OX . 423. Calcula el volumen del cono circular recto de altura h y radio de la base R obtenido girando la recta y D Rx = h entre x D 0 y x D h. 424. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje OX la parte de la curva y D sen2 x comprendida entre 0 y  . 425. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar alrededor del eje OX la gráfica de la 18x función f W Œ0; C Œ! R dada por f .x / D 2 . ∞

C9

x

426. Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje OX la región del plano comprendida bajo la curva

D p x .x 2 2 2x C 2/

.1 6 x <

y

C1/

427. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por la parábola y 2 D 4x y la recta x D 4 alrededor de dicha recta. 428. Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por las parábolas y 2 D x ,x 2 D y alrededor del eje OX . 429. Calcula el volumen del elipsoide

x2 a2

y2

z2

C b2 C c 2 D 1.

430. Calcula el volumen limitado por el paraboloide

x2 9

y2

C 16 D z y el plano z D 7.

Método de las láminas o de los tubos Consideremos una función positiva f W Œa; b  ! R y la región G.f; a; b / limitada por la gráfica de dicha función y las rectas verticales x Da, x Db. Observa que G.f; a; b / es una región de tipo I pero, en general, no es una región de tipo II. Girando dicha región alrededor del eje OY obtenemos un sólido de revolución, , cuyo volumen podemos aproximar considerando pequeños rectángulos verticales inscritos en la gráfica de f y girándolos alrededor del eje O Y (ver figura 8.23). Cada uno de esos rectángulos engendra, al girarlo, un tubo cilíndrico de paredes delgadas. La suma de los volúmenes de dichos tubos es una aproximación del volumen de  . Naturalmente, la aproximación va mejorando a medida que hacemos que los tubos tengan paredes cada vez más delgadas. Consideremos una partición fa D x0 ; x1 ; x2 ; : : : ; xn1 ; xn D b g de Œ a; b. Al girar alrededor del eje OY un rectángulo vertical cuya base es el intervalo Œxk 1; xk  y altura f .xk /, Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático



484

Y y

a

D f .x/

x

X

b

Z

Figura 8.23. Método de las láminas o tubos

obtenemos una lámina de un cilindro circular recto, esto es, un tubo cuya base tiene área . xk2  xk21 / y altura f .xk /, cuyo volumen es, por tanto, igual a: . xk2

 xk21/f .xk / D .xk  xk 1/.xk C xk 1/f .xk /D D xk f .xk /.xk  xk 1/ C xk 1f .xk /.xk  xk 1/:

La suma de todos ellos es igual a: n

X

k

n

 xk1/

 xk f .xk /.xk

D1

X C k

D1

 xk 1/:

 xk 1 f .xk /.xk

Pero estas dos sumas son sumas de Riemann de la función x 7!  xf .x /. Deducimos que el volumen de  viene dado por: Vol ./

D 2

 b

xf .x / dx :

a

Esto es lo que se conoce como método de las láminas o de las capas o de los tubos . Puedes adaptar fácilmente esta expresión para el caso de que el eje de giro sea la recta vertical x D c . En general, si notamos por R .x / el “radio de giro” de la lámina, entonces: Vol ./

D 2

 b

R.x /f .x / dx

a

8.7.10. Ejercicios propuestos 431. Calcula el volumen del toro engendrado al girar el círculo de centro .a; 0/ y radio R < a alrededor del eje O Y .



Área de una superficie de revolución

485 Y

432. La región plana limitada por el segmento de parábola y D 4  x 2, donde 1 6 x 6 2, y las rectas x D 0 e y D 3, gira alrededor del eje O Y engendrando un sólido en forma de flan (un tronco de paraboloide de revolución). Calcula su volumen X 1 2 y el volumen de la porción obtenida al cortarlo verticalmente desde un punto del borde supe 4 C rior. Z 433. Calcular el volumen del sólido  engendrado al girar la región limitada por las parábolas y D x 2 , x D y 2 alrededor del eje O Y . x

2

2 z D

434. Calcular el volumen del toro engendrado al girar el círculo de centro 0 y radio 3 alrededor de la recta x D 6. 435. Calcular el volumen del sólido  engendrado al girar la región limitada por las parábolas y D x 2 , x D y 2 alrededor la recta x D 4.

8.7.11. Área de una superficie de revolución Una superficie de revolución se obtiene girando una curva dada alrededor de una recta. Sea f W Œa; b  ! R una función con derivada primera continua. Girando la gráfica de dicha función alrededor del eje OX obtenemos una superficie de revolución,  . Fíjate en la siguiente representación gráfica. L.x/ L.x

C h/ y

a

x

x

D f .x/

Ch

b

Figura 8.24. Superficie de revolución

Sea S .x / el área de la parte de la superficie comprendida entre los planos X D a, y X D x . Representemos por L .x / la longitud de la gráfica de f entre a y x . Recuerda que L.x /


D

 x a

q C 0 1

f .t /2 dt :



486

Sea h > 0. Teniendo en cuenta que el área lateral de un cilindro circular recto es igual a la longitud de la base por la altura, se deduce que: 2 mın f .t / t Œx ; x

Kf

W 2

C hg.L.x C h/  L.x // 6 S .x C h/  S .x /6 K x ff .t / W t 2 Œx ; x C hg .L.x C h/  L.x//: 6 2 ma

Por tanto: 2 mın f .t / t Œx ; x

Kf

W 2

C hg L.x C hh/  L.x / 6 S .x C hh/  S .x / 6 K x ff .t / W Wt 2 Œx; x C hg L.x C hh/  L.x/ : 6 2 ma

Y tomando límite para h ! 0 se sigue que:

q C 0

S 0 .x / D 2f .x /L 0 .x / D 2f .x /

Luego el área de la superficie  viene dada por: ./

D 2

 b

f .x /2 :

q C 0

f .x / 1

a

1

f .x /2 dx

(8.45)

8.7.12. Ejercicios propuestos 436. Calcula el área de una superficie esférica de radio R . 437. Calcula el área de la superficie de revolución obtenida al girar la curva y D x 3, 0 6 x 6 1, alrededor del eje OX . 2

2

2

438. Calcula el área de la superficie de revolución obtenida al girar la curva x 3 C y 3 D a 3 , a > 0 , alrededor del eje OX . x2

y 2

439. Calcular el área de la superficie de revolución engendrada al girar la elipse 2 C 2 D 1 a b alrededor del eje O Y . 440. Calcular el área de la superficie de revolución engendrada al girar la catenaria y D cosh x , 0 6 x 6 1, alrededor del eje OX .

p

441. Al girar alrededor del eje OX el segmento de parábola y D x , 0 6 x 6 a, engendra un tronco de paraboloide de revolución cuya superficie tiene área igual a la de una esfera de radio 13=12. Se pide calcular el valor de a .

p



Ejercicios resueltos

487

442. Se perfora, siguiendo un diámetro, una esfera de radio r con un agujero cilíndrico (ver figura) de modo que el anillo esférico resultante tiene altura h (la altura del cilindro). Calcula el volumen del anillo y el área de la superficie total del anillo.

443. Comprueba que el área de la superficie de revolución (llamada horno de Gabriel) engendrada al girar la curva y D 1 =x , 1 6 x 6 C , alrededor del eje OX es infinita (por tanto sería necesaria una cantidad infinita de pintura si quisiéramos pintarla) pero el volumen del sólido de revolución engendrado es finito(por tanto podemos llenarlo con una cantidad finita de pintura). Comenta a tu gusto esta aparente paradoja. ∞

444. Calcula el área de un espejo parabólico de 3 metros de diámetro y 1 metro de fondo. 445. Calcula el volumen de una esfera de radio 3 en la que, siguiendo un diámetro, se ha perforado un agujero cilíndrico de radio r < 3. Calcula el área de la superficie total del solido obtenido. Calcula los valores de r para los que dicha área alcanza sus valores extremos.

8.7.13. Ejercicios resueltos ¡Antes de ver la solución de un ejercicio debes intentar resolverlo!

Ejercicio resuelto 213 Calcular el área del lóbulo del folium de Descartes de ecuación cartesiana x 3 C y 3  3axy D 0, a > 0 . Sugerencia. Expresa la ecuación en forma polar. Solución. Sustituyendo x D  cos # , y D  sen # en la ecuación dada, después de simplificar por  2, se obtiene: .cos3 #

C sen3# /  3a cos # sen # D 0:

Observamos que esta ecuación implica que en los puntos de dicha curva debe verificarse que cos3 # C sen3 # ¤ 0. Pues si fuera cos 3 # C sen3 # D 0, la ecuación anterior implica que también cos # sen # D 0 , de donde se sigue fácilmente que cos # D sen # D 0 , lo que es imposible. En consecuencia, la ecuación polar de la curva puede escribirse en la forma: 3a cos # sen #  D .#/ D : cos3 # C sen3 #




488

Se verifica que .#/ D .# C  /. Además, lKım .#/ D lKım .#/ D 1. Por tan# #>

!=4 =4

# 3=4 # < 3=4

!

to, la recta y D x es una asíntota de la curva. Para # 2  =4 ; 0Œ tenemos que .#/ < 0 y, por tanto, las coordenadas polares del punto correspondiente son . j.#/j ; # C  /; como # C  2 3=4 ; Œ estos puntos están en el segundo cuadrante. Para # 20; = 2Œ tenemos que .#/ > 0 y los puntos correspondientes a estos valores de # están en el primer cuadrante. Para # 2= 2 ; 3=4Œ tenemos que .#/ < 0 y los puntos correspondientes a estos valores de # tienen ángulo polar #   2   = 2 ; =4Œ, por lo que están en el cuarto cuadrante. El lóbulo de la curva debe corresponder a los valores de # comprendidos entre dos ceros consecutivos de  que solamente pueden ser # D 0 y # D =2. El área pedida está dada por la integral: 1 

1 

 2

D 2

I

 2

2

.#/ d#

0

D 2

9a2 cos2 # sen2 #

C sen3#/2 d# :

.cos3 #

0

Parece una integral bastante impresionante, pero es todo apariencia. Se trata de una función racional par en seno y en coseno. Como ya debes saber, estas integrales se racionalizan con el cambio de variable tg # D t . I

2 6 D 64

#

tg # D t ; d# D 1Cdt t 2 cos # D p 11Ct 2 sen # D p t 2

3 77 D 5

1 t  t 2;

C

D 0; t D 0I # D D C1

3 4

C1 

a2

0

t !C1 1 3 2  2 D D a a : 4 1 C t 3 t D0 .1 C t 3 /2 4

6t 2 dt

ˇˇ

3

©

Ejercicio resuelto 214 Calcula el área de la región común a las dos elipses .E1 /

x2 a2

y2

C b2 D 1;

.E 2 /

x2 b2

y2

C a2 D 1:

Sugerencia. Representa gráficamente las elipses. Usa la simetría polar para simplificar los cálculos y pasar a coordenadas polares. Solución. Este ejercicio puede hacerse en coordenadas cartesianas y también pasando a coordenadas polares. Vamos a hacerlo de las dos formas. Puedes ver las elipses en la figura 8.25. Por simetría, para calcular el área pedida es suficiente calcular el área de la parte común de las elipses que queda en el primer cuadrante. En coordenadas cartesianas dicha región, que se ha representado ampliada a la derecha de las elipses, es unión de dos regiones de tipo I, 1 y 2 , cuyas áreas ya sabes calcular. La gráficas de las partes superiores de las elipses E 1 y E2 vienen dadas respectivamente por: y1 .x /


b

Da

p  a2

x 2;

y2 .x /

a

Db

p  b2

x 2:



489

Los puntos de intersección de las elipses se obtienen resolviendo la ecuación b

p  D ˙ p C a2

a

cuyas soluciones son x

ab

a2

b2

D ba

x2

p  b2

x2

. Pongamos ˛ D

ab

p C a2

b2

. Puedes comprobar

que y 1 .˛/ D y2 .˛/ D ˛ . Por tanto, los cuatro puntos de intersección son . ˙˛; ˙˛/ . El área pedida es igual a:

C 4.2 / D 4

4.1 /

 ˛ b 0

a

p  a2

x 2 dx

C 4

 b a ˛

b

p 

x 2 dx :

b2

a b

y1 .x/

b

.˛; ˛/

D

b a

p

a2

x

2

.˛; ˛/

b a

2

1

y2 .x/

D

a b

p

b2

x

2

b

˛

Figura 8.25. Área de una región limitada por dos elipses

Una primitiva de estas integrales se calcula fácilmente. Suponiendo que jx j 6 c , tenemos que:



p  c2

x 2 dx

2 t

D c 2 C c D

x

2 sen.2t /

4

c2

x

2

c

arcsen

y1 .x / dx

D

ab 2

x

C 2

Por tanto:



c sen t

D D  D 2 t

D c 2 C c

p 

arcsen


c2

x

c

2



2

cos t dt D c

2 sen t cos t

2

D

c

2

 1 C cos.2t / 2

2

2

arcsen

x c

2

C

c x 2 c

dt D

s 1

x2

 c2 D

x 2:

1

C 2 xy1.x /; a



y2 .x / dx

D ab2 arcsen xb C 21 xy2.x /:



490

Teniendo en cuenta que y1 .˛/ D y2 .˛/ y que y2 .b / D 0, obtenemos que: 4.1 /

C 4.2 / D

˛ 2ab arcsen a

D 2ab

 

 2

 2

C 

C arcsen

D 4ab arcsen

b

˛ arcsen b b

p C a2

p C a2

b2

D

a

 arcsen

b2

p C a2

:

b2

!

D

Donde en la últimap igualdad hemos usado que para todo x 2 Œ1; 1 se verifica que arcsen x C arcsen 1  x 2 D 2 , como fácilmente puedes comprobar. Otra forma de proceder es como sigue. Recordando (ver ejercicio resuelto 212) que el área de una elipse de semiejes a y b es igual a  ab , para calcular el área pedida es suficiente calcular el área de la región  interior a la elipse E2 y que queda por encima de la elipse E 1 . El área pedida será igual a 2. ab =2.//D ab 2./. Tenemos que: ./

D

 ˛

.y2 .x /

˛



 y1.x // dx D ab

y

arcsen

 ab

 2./ D 2ab

 2

C arcsen

Valor que coincide con el antes obtenido.

a2

b

p C a2

b

D

D

ab

p

b 2 cos2 #

C a2 sen2#

y1 .x/

b

 arc sen 2

 arcsen 2 

D

b

p C ! a2

a

p C a2

b2

b2

!

:

:

1 .#/

Podemos hacer este ejercicio usando las ecuaciones polares de las elipses. Para ello, ponemos x D  cos # , y D  sen # y sustituimos en las respectivas ecuaciones obteniendo: .E1 / 1 1 .#/

2 .x/

˛

a

p C

Dy

D

˛

El área pedida es igual a:



y



1 2

.E2 / 2 2 .# /

D

D



D

2 .#/

ab

p

a2 cos2 #

C b2 sen2#

Por los cálculos hechos antes, sabemos que las elipses se cortan para valores de # igual a ˙=4 y ˙3=4. Si no lo supiéramos deberíamos calcular dichos valores resolviendo la ecuación  1 .# / D 2 .#/. Podemos calcular fácilmente en coordenadas polares el área de la región común a las dos elipses que queda en el primer cuadrante. Su valor viene dado por: 1   2

.1 /


C .2/ D 2

 4

1   4

1 .#/2 d#

C2

2 .#/2 d# :

0



491

Para evaluar estas integrales, calcularemos una primitiva apropiada.



dt

D Œtg t D x  D u2 cos2 t C v 2 sen2 t



Por tanto:

.1 /

C .2/ D

ab 2

D ab2

    arctg

 2

a b

a

1

D uv arctg v 2 C u2 x 2 t

 2

t

 4

ˇˇˇ ! D

tg t

arctg

dx

C arctg

b C arctg b a

D



b a

v tg t : u

   4

ˇˇ D ! D ˇD t

tg t

t 0

ab arctg

b

a

Donde en la última igualdad hemos usado que arc tg x C arctg.1=x / D 2 para todo x > 0 , como fácilmente puedes comprobar. Concluimos que el área de la región común de las dos elipses es: 4.1 /

C 4.2/ D 4ab arctg ba :

Comparando con un resultado anterior, deducimos que debe ser: arctg

b

D arcsen a

b

p C a2

b2

:

Equivalentemente, poniendo x D ba que es un número positivo cualquiera, debe verificarse que: x : arctg x D arcsen

p C 1

x2

Igualdad que puedes comprobar muy fácilmente calculando la derivada de la función h.x / D arctg x  arcsen p x 2 para x 2 R. © 1Cx

Ejercicio resuelto 215 Calcula la longitud de la astroide

x

2=3

y

2=3

  C  a

a

D 1, a > 0.

Sugerencia. Obtener las ecuaciones paramétricas de la astroide y usar la simetría. Solución. Como debes saber bien, dos números u , v tales que u2 C v 2 D 1, pueden escribirse en la forma u D cos t , v D sen t para algún valor de t 2 R; y dicho valor es único si se eligen valores para t en un determinado intervalo semiabierto de longitud 2 . La ecuación cartesiana de la astroide es de la forma u2 C v 2 D 1 donde u D 3 xa

q D

q

3 y y v a . Por tanto, podemos representar los puntos .x ; y / de la astroide en la forma x .t / D a cos3 t , y .t / D a sen3 t donde t 2 Œ;. Estas son las ecuaciones paramétricas de dicha curva. Observa que las coordenadas




492

de los puntos de la astroide de parámetro a se obtienen elevando al cubo las coordenadas p 3 de los puntos de una circunferencia centrada en el origen de radio a. Esto pone de manifiesto las simetrías de la astroide con respecto a los ejes coordenados y con respecto al origen. Los puntos de la astroide que están en el primer cuadrante corresponden a valores de t 2 Œ0; =2. Teniendo en cuenta la simetría de la curva, la longitud de la misma viene dada por:

  2

4

0

x .t /2

  2

D 12a

0

  2

q 0

C y 0.t /2 dt D 12a

0

p

cos4 t sen2 t C sen4 t cos2 t dt D





0

0

 2

q

 2

cos2 t sen2 t .cos2 t C sen2 t / dt D 12a cos t sen t dt D 6a sen.2t / dt D 6a: ©

Ejercicio resuelto 216

x 4 C 48 D Calcula la longitud de la curva y donde 2 6 x 6 4. 24x

Solución. Lo único que hay que hacer es calcular la integral:

 q C 4

1

p   !  D C 4

y 0 .x /2 dx

2

1

2

x4

16

8x 2

2

dx D

 4 x 4 C 16 2

8x 2

dx D

17 6

:

Ejercicio resuelto 217 Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por la parábola y 2 D 4x y la recta x D 4 alrededor de dicha recta. Solución. Podemos emplear el método de los discos y también el de las láminas o tubos. Por el método de los discos debemos integrar las áreas de secciones perpendiculares al eje de giro. Observa que debemos tomar como varia4 ble de integración la variable y . Los puntos de x D y =4 corte de la parábola con la recta son .4 ; 4/ y .4 ; 4/. Por tanto, en la región indicada, tenemos que y 2 Œ4 ; 4. La sección por una recta horizontal es un disco cuyo radio en cada punto x 4 de la curva x D y 2 =4 es la distancia de dicho punto a la recta x D 4, que es igual a 4  y 2 =4. El volumen pedido viene dado por la integral: p y D 2 x 2



 4

4

.4

 y2 =4/2 dy D  1024 15


4



493

Para calcular el volumen por el método de las láminas o tubos debemos tomar como variable x . Hay que tener en cuenta que cada segmento vertical de abscisa x que gira p tiene de longitud 4 x y su radio de giro respecto al eje es 4  x . Por tanto el volumen pedido viene dado por la integral: 2

 4

.4

0

 x /4p x dx D  1024 15 4

Observa que haciendo un giro y una traslación, este ejercicio equivale a calcular el volumen del cuerpo de revolución obtenido al girar la parábola y D 4  x 2=4 alrededor del eje OX . ©

y

x

4

D 4 x

2

=4

4

Ejercicio resuelto 218 Calcula el volumen del sólido engendrado al girar la región limitada por las parábolas y 2 D x , x 2 D y alrededor del eje OX . Solución. Observa que para que para que las dos igualdades y 2 D x , x 2 D y tengan sentido p debe ser x > 0 e y > 0. Por tanto, la igualdad, y 2 D x equivale, por ser y > 0, a y D x . Es inmediato que los puntos de corte de las parábolas son .0; 0/ y .1; 1/. Podemos emplear el método de los discos y también el de las láminas o tubos. Por el método de los discos (arandelas en este caso) debemos integrar las áreas de secciones perpendiculares al eje de giro. Observa que debemos tomar como variable de integración la p variable x y que en la región indicada, tenemos yD x que x 2 Œ 0; 1. La sección por una recta vertical de abscisa x es una corona circular o arandela cuyo radio interior es r 1 .x / D x 2 y radio extey Dx p rior r 2 .x / D x . Por tanto el volumen pedido viene dado por la integral: x 1 2

 1

2

 .r2 .x / 0

2

r1.x / / dx D

 1

.x x 4 / dx

0



D 310 :

Para calcular el volumen por el método de los tubos, debemos considerar los segmentos horizontales que giran alrededor del eje OX . Deberemos tomar como variable a y . La p longitud del segmento horizontal de altura y es y  y 2 y su radio de giro respecto del eje OX es y . Por tanto el volumen pedido viene dado por la integral:

 1 p 2 3 2 y . y  y / dy D : 10 0

©

Ejercicio resuelto 219 Calcula el volumen del elipsoide Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

x2

2

2

y z C C D 1. a2 b2 c2



494

Solución. La intersección del elipsoide con un plano de altura fija z paralelo al plano X Y se proyecta sobre el plano X Y en una elipse, E .z /, de ecuación: x2

2

2

x2

y z C D  ” 1 a2 b2 c2

y2

 q    q   D q  q  z2 c2

Es una elipse de semiejes a 1 2

a

1

yb 1

C 2

z2 c2

z2 . c2

b

2

z2 c2

1

1

Sabemos que el área de dicha elipse

es igual a  ab 1 zc 2 . Por tanto, el volumen del elipsoide podemos obtenerlo integrando el área de las secciones E .z / para z 2 Œ c ; c . Z Dicho volumen es igual a:

 

 ab

 c

c

 ! 1

z2

 c2

4

d z D  abc : 3

Observa que para el caso en que a D b D c D r , es decir, el elipsoide es una esfera de radio r , obtenemos la conocida fórmula para el volumen de una esfera. ©

X

Y

x2

Ejercicio resuelto 220 Calcula el volumen limitado por el paraboloide 9 plano z D 7. La intersección del paraboloide con un plano de altura fija z paralelo al plano X Y se proyecta sobre el plano X Y en una elipse, E .z /, de ecuación: x2

2

2

Z

2

y x y C D C D 1 z ” p p 2 2 9 16 3 z 4 z p p Es una elipse de semiejes 3 z y 4 z . Sabe-

   

mos que el área de dicha elipse es igual a 12 z . Por tanto, el volumen del paraboloide podemos obtenerlo integrando el área de dichas secciones E .z / para z 2 Œ0; 7. Dicho volumen es igual a: 12

 7

z dz

0

2

C y16 D z y el

X

Y

D 496 :

Ejercicio resuelto 221 Calcula el volumen del sólido de revolución obtenido al girar alrededor del eje OX la región del plano comprendida bajo la curva

D p x .x2 2 2x C 2/

y


.1 6 x <

C1/: Prof. Javier Pérez Cálculo diferencial e integral


495

Solución. Se trata de calcular la integral 

C1  1

2

4

x .x 2

2

 2x C 2/2 d x . Es claro que el

trinomio x  2x C 2 D 1 C .x  1/ no tiene raíces reales. El denominador tiene raíces imaginarias múltiples y podemos usar el método de Hermite. Para ello escribimos:





C C C d M x C N D D C dx x  2x C 2 x .x  2x C 2/ x  2x C 2 C C C 2M C 2N  2N x  M x D D Ax C x Bx 2x C 2 .x  2x C 2/ 2B  2C  2N /x C .4A  2B C C  M /x C .A C B/x D 4AC .8AC 2C C 2M C 2N /x C .8ACx.x  2x C 2/ 4

2

A x

2

Bx

2

2

2

2

2

2

2

2

3

4

2

Fácilmente se obtiene que A D 1, B D 1, C C M C N D 4, C C N D 3, C  M D 2, de donde, M D 1, C D 3, N D 0. Por tanto

 t

t  t x C 3 x dx C 2 D d x D log t C x .x 2  2x C 2/2 x 2  2x C 2 x  2x C 2 1 1 1 D log t C 2 arctg.x  1/ t 1  21 log.x 2  2x C 2/ t 1 C t 2  2t t C 2  1D

D log

ˇˇ

4



t

p  t 2

2t

C 2

ˇ !

ˇ

C 2 arctg.t  1/ C t 2  2t t C 2  1

Deducimos que 

C1  1

4 x .x 2

d x D  lKım 2

 2x C 2/

t

!C1

 t 1

4

x .x 2

 2x C 2/2 d x D .  1/ ©

Y

Ejercicio resuelto 222 La región plana limitada por el segmento de parábola y D 4  x 2, donde 1 6 x 6 2, y las rectas x D 0 e y D 3, gira alrededor del eje O Y engendrando un sólido en forma de flan (un tronco de paraboloide de revolución). Calcula su volumen y el volumen de la porción obtenida al cortarlo verticalmente desde un punto del borde superior. Solución.


1 x

2

C

2

X

4 2 z D

Z



496

Podemos calcular el volumen por el método de los discos. Para ello debemos integrar las áreas de secciones perpendiculares al eje de giro. Observa que debemos tomar como variable de integración la variable y y que en la región indicada, tenemos que y 2 Œ0; 3. La sección por una recta horizontal de ordenada y es un disco cuyo radio es r .y / D 4  y . Por tanto el volumen pedido viene dado por la integral:

 3

 r .y /2 dy 0

D 

Y

3

y

p

 3

.4

0

D4 x

1

 y / dy D 152 :

2

X

2

También podemos calcular el volumen por el método de los tubos, en cuyo caso viene dado por: 2

 1

3x dx

0

C 2

 2

x .4

1

 x 2/ dx D 152 :

Calcularemos ahora el volumen de la porción obtenida al cortar verticalmente el tronco de paraboloide desde un punto del borde superior. Observa que para cada valor fijado de x 2 Œ1; 2 la sección por el plano de abscisa x paralelo a Z Y es un segmento parabólico, .x /, cuyo vértice es 4  x 2 y p cuyo 2pie es de extremos  4  x y p el segmento 4  x 2 (la cuerda que se obtiene al cortar la circunferencia de centro el origen y radio 2 por una recta de abscisa x ). La proyección de

Y 4 x2



y

2

D 4 x  z

2

.x/

p  4x

p

2

Z

4 x2



dicha parábola sobre el plano Z Y debe tener una ecuación dep la forma y D 4  x 2  z 2 donde  se calcula por la condición de que y D 0 para z D˙ 4  x 2, con lo que resulta  D 1. En consecuencia, la ecuación de dicha parábola en el plano Z Y es y D 4  x 2  z 2 . El área del segmento parabólico .x / viene dada por la integral:

 

p

4 x2

..x //

D

.4

p  4x2

2

x z

2

/ dz

D

16 3

p  4

x2

4

 3x

2

p  4

x2

Integrando las áreas de dichas secciones se obtiene el volumen pedido, que viene dado por:

 2

..x // dx

1

Cálculo que ya debes saber hacer.

p D 3 3 C 83 : ©

Ejercicio resuelto 223 Calcular el volumen del sólido  engendrado al girar la región limitada por las parábolas y D x 2 , x D y 2 alrededor la recta x D 4. Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático



497

Solución. Observa que para que para que las dos igualdades y 2 D x , x 2 D y tengan sentido debe ser p xD y xDy x > 0 e y > 0. Por tanto, la igualdad, y 2 D x p equivale, por ser y > 0, a y D x . Es inmediato que los puntos de corte de las parábolas son .0; 0/ y . 1; 1/. Podemos emplear el método de los discos y también el de las láminas o tubos. 4 Por el método de los discos (arandelas en este caso) debemos integrar las áreas de secciones perpendiculares al eje de giro. Observa que debemos tomar como variable de integración la variable y y que en la región indicada, tenemos que y 2 Œ 0; 1. La sección por una recta horizontal de ordenada y es una corona circular o arandela cuyo radio interior p p es la distancia del eje de giro a la parábola x D y , dicha distancias es r1 .y / D 4  y y cuyo radio exterior es la distancia del eje de giro a la parábola x D y 2 , dicha distancia es r 2 .y / D 4  y 2 . Por tanto el volumen pedido viene dado por la integral: 2

 1

2

 .r2 .y / 0

2

 r1 .y/ / dy D 

 1 0



.4

 y 2/2  .4  p y /2 dy D 7130 :



Para calcular el volumen por el método de las láminas o tubos debemos tomar como variable x . Hay que tener p en cuenta que cada segmento vertical que gira de abscisa x 2 Œ 0; 1 tiene de longitud x  x 2 y el radio de giro es 4  x . Por tanto el volumen es: 2

 1

.4

0

 x /.p x  x2/ dx D 7130 : ©

Ejercicio resuelto 224 Calcular el volumen del toro engendrado al girar el círculo de centro .0; 0/ y radio 3 alrededor de la recta x D 6. Solución. Aplicaremos el método de las láminas o de los tubos. Para ello debemos considerar los segmentos paralelos al eje de giro; en nuestro caso serán los segmentos verticales comprendidos en el círculo de centro .0; 0/ y radio 3. La longitud del segmento verticalp de abscisa x 2 Œ3; 3 es igual a 2 9  x 2 y su radio de giro es 6  x . El volumen del toro engendrado es: 2

 1

.6

1

p

9 x2



x

p  9 x

p 

 x/2

9

x 2 dx

O

3

6

2

D 108 2 :

También se puede calcular el volumen por el método de las arandelas. Ya debes saber hacerlo, te lo dejo para que lo hagas tú. © Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático



498

Ejercicio resuelto 225 Calcula el área de una superficie esférica de radio R . Solución.p Una superficie esférica de radio R se obtiene girando la gráfica de la función f .x / D R2  x 2 alrededor del eje OX . El área viene dada por: 2

 R

q C 0

f .x /2 dx

f .x / 1

R

D 2

 R

R dx

R

D 4R2 : ©

Ejercicio resuelto 226 Calcular el área de la superficie de revolución engendrada al girar la x2

2

y C D 1 alrededor del eje O Y . a2 b2

elipse

Solución. Expresando x como función de y , tenemos que x D ba b 2  y 2 , donde solamente consideramos la mitad de la elipse que está en el semiplano de la derecha x > 0. Queremos calcular el área de la superficie de revolución obtenida al girar la curva h.y / D ab b 2  y 2 alrededor del eje O Y . Dicha área viene dada por la integral:

p

p

D 2

I

 b

q C 0

h.y /

b

1

h

.y /2

dy D 2

a b2

 b

b

q C b4

.a2

 b2 /y 2 dy :

Para calcularla debemos considerar dos posibilidades según que a > b o que b > a (el caso a D b es trivial y se vuelve a obtener el mismo resultado del ejercicio anterior). Pongamos c D ja2  b 2 j. Entonces, si a > b es c 2 D a2  b 2 , y si b > a es c 2 D b 2  a2 . Por lo que:

D

I 2

a b2

p  q ˙ b

b4

dy D2

c 2y 2

b

b ac 

b2

b

s   ˙ b2

2

c

y2

dy D 2

 b

a

˛

b

q ˙ ˛2

y 2 dy :

2

Donde hemos puesto ˛ D bc . Podemos evaluar directamente estas integrales porque tienen primitivas inmediatas que deberías saber de memoria (repasa la tabla de primitivas inmediatas). Pero también podemos calcularlas muy fácilmente.

 b

ˇ ˇ   et C et 2 D senh t ˛ 2 2 2 2 y dy dt D D argsenh ˛b D ˛ ˇ cosh t dt D ˛ ˇ 2 ˇ e2t C e2t ˛ 2  ˛ 2 ˇ 2 2 C cosh .2t / dt D ˛ ˇ C senh.2t / ˇ D 1 dt D ˛ ˇ C 2 2 4

 D

q C    ˛2

b

D

˛2 2

ˇ

ˇ



y ˇ

!



ˇ

2

D ˛2ˇ C ˛2 senh.2ˇ/ D ˛2ˇ C ˛2 senh.ˇ/ cosh.ˇ/ D ˛2 ˇ C ˛b D ˛2 argsenh ˛b C ˛b

s 1



s 1

2

C ˛b 2 D

ˇˇ

2

C ˛b 2 :

Simplificando, obtenemos que para el caso en que a > b , el área pedida es igual a: 2 a




b2

p 2 a

 b2

argsenh

 p  ! ! a2

b

b2

Ca

:


Evolución de la idea de integral

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Es un buen ejercicio de cálculo que compruebes estos resultados paso a paso. Te garantizo que el resultado final obtenido es correcto. Un resultado parecido se obtiene para el caso en que b > a . Lo dejo para que lo hagas tú. ©

8.8. Evolución de la idea de integral 8.8.1. Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas 5

Los problemas de cuadraturas son problemas geométricos que consisten en lo siguiente: dada una figura, construir un cuadrado con área igual a la de la figura dada. Esta construcción debía hacerse con regla no graduada y compás, siguiendo unas normas precisas. Según lo establecido en los Elementos de Euclides ( c. 300 a.C.) la construcción debe constar de un número finito de pasos, cada uno de ellos consistente en:

  

Trazar una recta que una dos puntos. Trazar una circunferencia de centro y radio arbitrarios. Intersecar dos de las figuras anteriores.

Son famosos los problemas de la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo y la inscripción de polígonos regulares en una circunferencia. En la antigua Grecia se sabía cuadrar cualquier polígono.

F

A

O

D

G

B

E

H

C

Figura 8.26. Cuadratura de un rectángulo

Para cuadrar el rectángulo ABCD de la figura 8.26 se procede de la forma siguiente: 1) Se prolonga el lado AB y se determina sobre él un punto E tal que BE D BC . 5 Para escribir estas notas históricas he seguido de cerca los trabajos de Kirsti Andersen [1], Israel Kleiner [10],

González Urbaneja [7] y H.J.M. Bos [2].



Calculo de Areas y Volumenes 1o ingeniería

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