INSTITUTO TECNOLÓGICO DE QUERÉTARO
INGENIERÍA ELÉCTRICA
GRUPO 2C
EJERCICIOS 7.4 Y 7.5 DEL HADI SAADAT
DULCE MARÍA DE GUADALUPE VENTURA OVALLE
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA III (M.C. Y M.A DANIEL HERNÁNDEZ ARRIAGA)
Instituto Tecnológico de Querétaro Sistemas Eléctricos de Potencia III
Ejercicios 7.4 y 7.5 del Hadi Saadat Despacho económico despreciando pérdidas y sin límites de generación Dulce María de Guadalupe Ventura Ovalle
Hablar del óptimo despacho de generación, conlleva recordar que la solución al problema de flujo de potencia provee el ángulo de fase de voltaje y la generación de potencia reactiva. En un sistema de potencia practico, las plantas de generación no se localizan a la misma distancia de las cargas y los costos de combustible son diferentes. Bajo operaciones normales de operación, la capacidad de generación es más más que la demanda demanda total de de carga y pérdidas. Hay muchas opciones para la programación de generación. En un sistema de potencia interconectado, el objetivo es de encontrar la potencia programada real y reactiva para cada planta de generación de tal forma minimizar los costos de operación. Esto significa que en la programación de generación de potencia del generador se le permite la variación de esta en límites establecidos. A este se le llama problema de flujo óptimo de potencia (OPF OPF). ). El OPF se utiliza para la solución al flujo de potencia para sistemas de gran escala. Esto se realiza minimizando funciones objetivo mientras se mantiene un comportamiento comportamiento aceptable del sistema en términos de las capacidades limites del generador y salida de los dispositivos de compensación. Las funciones objetivos, de igual forma conocidos como funciones de costo, presentan costos económicos, seguridad en el sistema y otros tipos de objetivos. La eficiencia en la planeación de potencia reactiva mejora la operación económica tanto como un sistema de seguridad. Existen tres casos que analizan el óptimo despacho de generación, para el siguiente artículo se analizará el despacho económico despreciando pérdidas y límites.
El presente artículo presenta el problema más simple del despacho económico en el cual se desprecian las pérdidas generadas en las líneas de transmisión, en su mayoría por Efecto Joule (I2R) que produce el calentamiento de las mismas. Al ser el caso más sencillo de despacho, se parte de funciones combustible-costo para obtener el punto óptimo de generación lo que permitirá calcular el despacho óptimo en MV y el costo total en $/h. Se debe considerar que para los cálculos realizados se realizan cálculos analíticos, gráficos e iterativos.
Costo total de producción Costo de producción de i planta Generación de i planta Demanda de carga total Número total de plantas Punto óptimo de generación Restricciones utilizando Multiplicadores de Lagrange Coeficientes del polinomio de segundo grado de
Costo de operación de una planta termoeléctrica
Los factores que influyen en la generación de energía a un mínimo costo son la operación eficaz de los generadores, 2
Instituto Tecnológico de Querétaro Sistemas Eléctricos de Potencia III el costo del combustible y las perdidas en las líneas de transmisión. Los generadores más eficientes en el sistema no garantizan el mínimo costo, si se localizan en un área de costos altos. Si la planta se localiza lejos de la carga, las perdidas en las líneas de transmisión pueden ser considerablemente altas y por lo tanto la planta se clasifica como sobre economizada. De ahí, el problema es de determinar la generación de diferentes plantas sea en suma mínimos los costos de operación. Los costos de operación juegan un importante rol en la programación económica de la misma. La entrada de las plantas termoeléctricas se mide generalmente en Btu/h (BTU=British Termal Units), y la salida se mide en MW. Una curva simplificada que representa esta relación de entrada/salida, se lo conoce como heat-rate y se muestra en la Fig. 1.
Fig. 2 Curva Fuel- Cost
Una importante característica se obtiene graficando la derivada de la curva fuel - cost versus potencia real . Se le cost y se muestra en la conoce como incremental fuel – cost siguiente ecuación:
(2)
Fig. 1. Curva Heat-Rate
Convirtiendo de Btu/h a $/h resulta en la curva de la Fig. 2, llamada fuel – cost (combustible-costo) . En todo caso práctico, el costo de combustible del generador i se puede representar como una función cuadrática de la potencia real de generación:
Fig. 3. Curva típica de incremento de fuel – cost (1)
cost (Fig. 3) es medida en – cost La curva de incremento fuel – cómo el costo producirá el próximo incremento de potencia.
3
Instituto Tecnológico de Querétaro Sistemas Eléctricos de Potencia III El costo total de operación incluye el costo del combustible y el costo de mano de obra, además del mantenimiento. Estos costos se asumen que serán ajustados al porcentaje del costo del combustible. Despacho económico despreciando pérdidas y sin límites de generación
El problema más simple del despacho económico es cuando las pérdidas en las líneas de transmisión se desprecian. Esto es, el modelo del problema no considera la configuración del sistema y la impedancia en las líneas. En esencia, el modelo asume que el sistema es un solo bus con todos los generadores y cargas conectadas como se muestra a continuación:
Es mínima, sujetándose a la restricción, queda:
(4)
Donde es el costo total total de producción, es el costo de producción de planta, es la generación en la planta, es la demanda de carga total, y ng es el número total de las plantas. Una aproximación típica es de argumentar las restricciones dentro del la función, usando multiplicadores de Lagrange:
(5)
El mínimo de esta función es encontrar el punto donde las variables parciales de la función son cero.
Fig. 4. Plantas y cargas conectadas a un bus
Como las pérdidas en las líneas de transmisión se desprecian, la demanda total es la suma de toda la generación. Una función de costo se asume para cada una de las plantas. El problema es encontrar la generación de la potencia real de cada planta de tal forma que para la función objetivo (costo de producción total), se define por medio de la siguiente ecuación:
(3)
(6)
(7)
De la primera condición dada por (6), resulta:
Como: Entonces
Considerando la condición para el óptimo despacho económico
(8)
4
Instituto Tecnológico de Querétaro Sistemas Eléctricos de Potencia III o
(9)
1
La segunda condición resulta:
(10)
En esta ecuación, cuando las pérdidas se desprecian sin límites de generación, para la mayoría de operaciones económicas, todas las plantas deben operar de forma equitativa el incremento de los costos de producción. En orden para encontrar la solución, la ecuación se resuelve para , se tiene:
(11)
Esta ecuación se le conoce como coordination equiations (ecuaciones coordinadas) . Estas están en función de . Una solución analítica se puede obtener para sustituyendo para en (10):
o
Las funciones combustible – costo para tres plantas térmicas en $/h están dadas por:
Donde están en MW. La carga total, , es 800 MW. Despreciando pérdidas en las líneas y límites de generación, encuentre el despacho óptimo y el costo total en $/h a) Por el método analítico utilizando (13) b) Por demostración gráfica c) Por técnica iterativa utilizando el método de gradiente d) Utilice el programa de MATLAB dispatch para obtener el óptimo despacho de generación para las tres plantas térmicas del ejercicio.
(12)
De (13), (13)
El valor de encontrado en la ecuación anterior se sustituye en (11) y se obtiene la programación óptima de generación.
La solución para el despacho económico despreciando perdidas se encontró analíticamente , sin embargo, cuando las pérdidas son consideradas las ecuaciones resultantes son no lineales y se deben resolver por medio de iteraciones.
a) Método analítico se obtiene de la siguiente manera:
Sustituyendo en la ecuación coordinada , dada por (11), el despacho óptimo es
1
Saadat , 2004, pp. 257- 276
5
Comprobación (10)
b) Por demostración gráfica De (8), las condiciones necesarias para el óptimo despacho son
Sujeto a que
Para demostrar el concepto de costo incremental equitativo para óptimo despacho, se utiliza el comando plot de MATLAB para graficar el incremento de costo por cada planta en la misma gráfica como se muestra en la Fig. 5.
Instituto Tecnológico de Querétaro Sistemas Eléctricos de Potencia III
La línea horizontal mostrada en la gráfica de la Fig. 5 se mueve hacia arriba o abajo hasta el punto óptimo , de manera que se cumpla
(14)
Para este ejemplo con óptimo es , .
MW, el despacho y a
c) Por técnica iterativa utilizando el método de gradiente
Se asume un valor inicial de coordinadas dadas por (11),
Como
, se obtiene el error
. De las ecuaciones son
dada por
(15)
Para el ejemplo
Para obtener el error
(16)
Fig. 5. Incremento de costo equitativo del costo de producción 6
Instituto Tecnológico de Querétaro Sistemas Eléctricos de Potencia III Para el ejemplo
Por lo tanto, tanto, el nuevo valor de
es
Continuando el proceso, para la segunda iteración se tiene
y
Dado que , la coacción de igualdad se obtiene en dos iteraciones. Por lo tanto, el despacho óptimo es
.
El costo total de combustible es
Para demostrar el método anterior, el siguiente programa fue diseñado
Programa clc; alpha =[500; 400; 200];
beta = [5.3; 5.5; 5.8]; gama=[.004; .006; .009]; PD=800; DelP = 10; %Error in DelP is set to a high value lambda = input( input('Introduzca 'Introduzca el valor estimado de Lambda = '); '); fprintf('\n fprintf('\n ') ') disp([' disp([' Lambda P1 P2 P3 DP'... DP' ... ' grad Delambda']) Delambda' ]) iter = 0; % Iteration counter while abs(DelP) >= 0.001 % Test for convergence iter = iter + 1; % No. of iterations P = (lambda - beta)./(2*gama); beta)./(2*gama); DelP =PD - sum(P); % Residual J = sum( ones(length(gama), 1)./(2*gama)); 1)./(2*gama)); % Gradient sum Delambda = DelP/J; % Change in variable disp([lambda, P(1), P(2), P(3), DelP, J, Delambda]) lambda = lambda + Delambda; % Successive solution end costototal = sum(alpha + beta.*P + gama.*P.^2)
Resultado Introduzca el valor estimado de Lambda = 6 Lambda 6.0 8.50
P1
P2
P3
DP
grad
Delambda
87. 87. 50 400
41.66 67 250
11.11 11 150
659.72 22 0
263. 8889 263. 8889
2.5
costototal =
0
6.6825e+003
d) Programa dispatch Datos cost = [500 400 200 limits=[200 150 100 Pdt = 800; dispatch gencost
5.3 5.5 5.8 450 350 225];
0.004 0.006 0.009];
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Resultados Costo incremental de potencia entregada (lambda del sistema) = 8.500000 $/MWh Óptimo Despacho de Generación: 400.0000 250.0000 150.0000 Pérdida total del sistema = 0 MW Costo total de generación =
6682.50 $/h
Para este ejemplo no se varía los parámetros debido a que al hacerlo se cambiarían las especificaciones establecidas por el sistema que se está analizando, esto es, no tendría comparación con lo realizado porque serían características diferentes. El único parámetro que se puede variar es la exactitud de , ya que se puede incrementar o disminuir el número de iteraciones. En este ejemplo como sólo fue necesario dos iteraciones, por lo tanto no hubo modificación de la exactitud para disminuir el número de iteraciones. Del inciso b) se tiene que:
Se ha analizado el despacho óptimo de generación en el cual no se consideran límites de generación y las pérdidas en las líneas, lo cual hizo posible que se calculara de manera manera analítica el punto óptimo de generación que fue comprobado después de manera gráfica y con el método de la gradiente como el punto donde se obtendría el óptimo despacho. Se vio que no se hace modificaciones más que en la exactitud del sistema para aumentar o disminuir las iteraciones necesarias en el método de la gradiente, en esta caso no se realizaron ya que de manera analítica que obtuvo la desde el inicio y al utilizar el método de la gradiente, en la segunda iteración se tuvo el mismo resultado que el procedimiento anterior.
[1]. Saadat,
H.
(2004).
Power
System
Analysis
(2a. ed.). E.U.A: McGraw Hill.
Para obtener la solución, varios valores de pueden ser utilizados hasta que se encuentra uno que produce que
Para cada Si Si
se tienen dos opciones
se incrementa se reduce
En la gráfica se tiene una línea horizontal que se mueve hacia arriba o abajo hasta el punto óptimo que cumpla la condición dada por (14).
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