TRABAJO: solución de los ejercicio de la prueba de hipótesis
TAREA DE HIPOTESIS
1. Se requiere que la resistencia a la ruptura de una fibra sea de por lo menos 150 psi. La experiencia pasada indica que la desviación estándar de la resistencia a la ruptura es σ=3psi. Se prueba una muestra aleatoria de cuatro ejemplares de prueba, y los resultados son Y 1 = 145, Y2 = 153, Y3 = 150 y Y4 = 147.
X´ =148.75 μ=15 0 n=4 σ =3 a) Enunciar las hipótesis que el lector considere que deberían probarse en este experimento. Establecer la hipótesis Ho: >= 150 Ha: <150 Establecer la estadística de prueba
z=
´ X−μ σ √n
b) Probar estas hipótesis utilizando α=0.05. ¿A qué conclusiones se llega?
z=
148.75−150 =−0.833 3 √4 Gráfica de distribución
Normal; Media=150; Desv.Est.=3 0,14 0,12
Densidad
0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00
148,75150
152,46
X
Se puede llegar a la conclusión que las resistencias que se fabriquen c) Encontrar el valor P para la prueba del inciso b.
P (-0.83 Z 1.96)= 1-0.20611-0.05=0.74389
d) Construir un intervalo de confianza de 95% para la resistencia a la ruptura promedio. Gráfica de distribución Normal; Media=150; Desv.Est.=3 0,14 0,12
Densidad
0,10 0,08 0,06 0,04 0,02
0,025 0,00
0,025 147,06
150
152,94
X
2. Supuestamente, la viscosidad de un detergente líquido debe promediar 800centistokes a 25ºC. se colecta una muestra aleatoria de 16 lotes de detergente, y la viscosidad promedio es 812. Suponga que se sabe que la desviación estándar de la viscosidad es σ=25 centistokes.
X´ =812 μ=800 n=16 σ=25 a) Enunciar las hipótesis que deberían probarse. Establecer la hipótesis Ho: >= 800 Ha: < 800 Establecer la estadística de prueba
z=
´ X−μ σ √n
b) Probar esta hipótesis utilizando α=0.05. ¿A qué conclusiones se llega?
z=
812−800 =1.92 25 √16 Gráfica de distribución Normal; Media=800; Desv.Est.=25 0,018 0,016 0,014
Densidad
0,012 0,010 0,008 0,006 0,004 0,002 0,000
800
810,25
X
Se puede llegar a la conclusión que es factible fabricar un detergente con una viscosidad de 812 debido que se encuentra en la zona de rechazo, pudiendo ser este muy costoso. c) ¿Cuál es el valor P para la prueba? P = 1-0.97257=0.02743 d) Encontrar un intervalo de confianza de 95% para la media Gráfica de distribución Normal; Media=800; Desv.Est.=25 0,018 0,016 0,014 0,012 0,010 0,008 0,006 0,004 0,002 0,000
0,025
0,025 787,75
800
X
812,25
3. Los diámetros de flecha de acero producidas en cierto proceso de manufactura deberán tener un promedio de 0.255 pulgadas. Se sabe que el diámetro tiene una desviación estándar de σ=0.001 pulgadas. Una muestra aleatoria de 10 flechas tiene un diámetro promedio de 0.2545 pulgadas.
X´ =0.2545 μ=0.255 n=10 σ=0.0001 a) Establecer las hipótesis apropiadas para la media µ Establecer la hipótesis Ho: >= 0.255 Ha: <0.255 b) Probar esta hipótesis utilizando α=0.05. ¿A qué conclusiones se llega?
z=
0.2545−0.255 =−1.58 0.001 √10
Como -1.58 es mayor que -1.96 entonces la hipótesis nula no se rechaza Gráfica de distribución Normal; Media=0,255; Desv.Est.=0,001 400
300
200
100
0,05 0
0,25448
0,255
X
Se concluye que se manufacturan las flechas de diámetro promedio de 0.255 con las muestras realizadas c) Encontrar el valor P para esta prueba P=1-0.05705=0.94295 d) Construir un intervalo de confianza de 95% para el diámetro promedio de las flechas.
Gráfica de distribución Normal; Media=0,255; Desv.Est.=0,001 400
300
200
100
0,025 0
0,025 0,2544
0,255
0,2556
X
4. Una variable aleatoria con una distribución normal tiene una media desconocida µ y varianza σ 2=9. Encontrar el tamaño de la muestra que se necesita para construir un intervalo de confianza de 95% para la media, cuya anchura total sea de 1.0.
Gráfica de distribución 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06
0,04 0,02
0,025 0,00
0,025 -1,96
0
X
1,96
z=
2 2 ´ X−μ Z σ →n= 2 σ ´ ( X−μ ) √n
2
n=
1.65 ×9 =24.5025≅ 24 1
5. La vida de anaquel de una bebida carbonatada es motiva de interés. Se seleccionan 10 botellas al azar y se prueban, obteniéndose los siguientes resultados. Días 138 163 159 134 139
108 124 124 106 115
X´ =131 μ=120 n=10 σ =18.80
a) Quiere demostrarse que la vida media de anaquel excede los 120 días. Establecer las hipótesis apropiadas para investigar esta afirmación. Establecer la hipótesis Ho: > 120 Ha: =<120 b) Probar estas hipótesis utilizando α=0.01. ¿A qué conclusiones se llega? Establecer la estadística de prueba
z=
z=
´ X−μ σ √n
131−120 =1.75 18.08 √10
Gráfica de distribución Normal; Media=120; Desv.Est.=18,08 0,025
0,020
0,015
0,010
0,005
0,01 0,000
106,74
120
X
La hipótesis nula no se rechaza debido a que 1.75 es mayor a -2.32 Se puede concluir que la vida de la gaseosa carbonata de 120 días si va ocurrir sin importar las muestras que se saque para comprobar la probabilidad. c) Encontrar el valor P para la prueba del inciso b. P = 0.95994 - 0.01 = 0.94994 d) Construir un intervalo de confianza de 99% para la vida media de anaquel.
Gráfica de distribución Normal; Media=120; Desv.Est.=18,08 0,025
0,020
0,015
0,010
0,005
0,000
0,005
0,005 105,3
120
134,69
6.-Se instala un nuevo dispositivo de filtrado en una unidad quimica .antes de instalarlo ,de una muestra aleatoria se obtuvo la siguiente informacion sobre el porcentaje de impurezas X1=12.5 y X2=10.2 y una desviacion estandar(1) de =101.17 ,desviacion estandar (2)=94,73, ,n1=8,n2=9 a b
Los datos de varianza son iguales y con un nivel de confianza es 0.05 El dispositivo defiltradoa reducido de manera significativos el porcentaje de impurezas ¿ nivel de confianza 0.05 Solucion : a)
b)
7.-se hacen 20 observaciones dela uniformidad del grabado en obleas de silicio durante un experimento de evaluación de un grabador de plasma. a)
b)
8.-los diámetros de las flechas de acero producidas en ciertas procesos de manufactura deberán tener un promedio de 0.255 pulgadas .se sabe que el diámetro tiene una desviación estándar de 0.0001 un amuestra aleatoria de 10 flechas tiene un diámetro promedio de 0.2545 pulgadas
9.- supuestamente la viscusidad de un detergente liquido debe promediar 800 centistokis a 25°c se colecta una ,muestra aleatoria de 16 lotes de detrgente y la
viscosidad promedio es 812 y una desviacion estandar
10.- en la fabricacione de semi conductures es comun el uso de grabado quimico humedo para eliminar el selicio de la parte posterior de las obleas antesd ela metalizacion .la rapidez del grabado es una caracteristica importanted e eeste proceso .se esta evaluando dos soluciones de grabado diferentes se grabaron 8 obleas selecionadas al azar en cada solucion , y lñas cifras del arapidez del grabado observado .
11. A continuación se presenta el tiempo de combustión de dos cohetes químicos con formulaciones diferentes. Los ingenieros de diseño se interesan tanto en la media como en la varianza del tiempo de combustión.
a) Probar la hipótesis de que las dos varianzas son iguales. Utilizar α=0.05.
b) Utilizando los resultados del inciso a, probar la hipótesis de que los tiempos de combustión promedio son iguales. Utilizar α=0.05. ¿Cuál es el valor de P para esta prueba? c) Comentar el papel del supuesto de normalidad en este problema. Verificar el supuesto de normalidad para ambos tipos de cohetes. Solución a) Método Hipótesis nula Varianza(C1) / Varianza(C2) = 1 Hipótesis alterna Varianza(C1) / Varianza(C2) ≠ 1 Nivel de significancia α = 0,0005 Se utilizó el método F. Este método es exacto sólo para datos normales. Estadísticas IC de 99,95% Variable N Desv.Est. Varianza para varianzas C1 10 9,264 85,822 (24,577; 939,820) C2 10 9,367 87,733 (25,125; 960,748) Relación de desviaciones estándar = 0,989 Relación de varianzas = 0,978 Intervalos de confianza de 99,95% IC para IC para relación de relación de Método Desv.Est. varianza F (0,261; 3,749) (0,068; 14,058) Pruebas Estadística Método GL1 GL2 de prueba Valor p F 9 9 0,98 0,974 b) T de dos muestras para C1 vs. C2 Error estándar de la N Media Desv.Est. media C1 10 70,40 9,26 2,9
C2 10 70,20
9,37
3,0
Diferencia = μ (C1) - μ (C2) Estimación de la diferencia: 0,20 IC de 99,95% para la diferencia: (-17,44; 17,84) Prueba T de diferencia = 0 (vs. ≠): Valor T = 0,05 Valor p = 0,962 GL = 18 Ambos utilizan Desv.Est. agrupada = 9,3155
Gráfica de caja de C1; C2 85
80
Datos
75
70
65
60
55 C1
C2
c)
12. En un articulo de solid state technology, “diseño ortogonal para optimización de procesos y su aplicación en el grabado química con plasma “ de G.Z. Yin y D.W. Jillie, se describe un experimento para determinar el efecto de la velocidad del flujo de C2F6 sobre la uniformidad del grabado en una oblea de silicio usada en la
fabricación de circuitos integrados. Los datos de la velocidad del flujo son los siguientes:
Flujo de C2F6 125 200
1 2.7 4.6
2 4.6 3.4
Observación de la uniformidad 3 4 5 2.6 3.0 3.2 2.9 3.5 4.1
6 3.8 5.1
a) ¿la velocidad del flujo de C2F6 afecta la uniformidad del grabado promedio? Utilizar α=0.05. T pareada para v1 125 - v2 200 Error estándar de la N Media Desv.Est. media v1 125 6 3,300 0,777 0,317 v2 200 6 3,933 0,821 0,335 Diferencia 6 -0,633 1,084 0,442 IC de 99,95% para la diferencia media: (-4,162; 2,896) Prueba t de diferencia media = 0 (vs. ≠ 0): Valor T = -1,43 Valor p = 0,21
b) ¿Cuál es el valor de P para el inciso a? Valor p = 0,21 c) ¿la velocidad del flujo de C2F6 afecta la variabilidad de una oblea a otra en la uniformidad del grabado? Utilizar α=0.05 Método Hipótesis nula σ(v1 150) / σ(v2 200) = 1 Hipótesis alterna σ(v1 150) / σ(v2 200) ≠ 1 Nivel de significancia α = 0,0005 Se utilizó el método F. Este método es exacto sólo para datos normales. Estadísticas IC de 99,95% para
Variable N Desv.Est. Varianza Desv.Est. v1 150 6 0,777 0,604 (0,357; 5,034) v2 200 6 0,821 0,675 (0,377; 5,320) Relación de desviaciones estándar = 0,946 Relación de varianzas = 0,895
Prueba e IC para dos varianzas: v1 125; v2 200 Relación = 1 vs. Relación ≠ 1
Intervalos de confianza de 99,95%
de 99,95% para 125) / σ(v2 200) ICICpara IC σ(v1 para relación de relación de Método Desv.Est. varianza F (0,130; 6,880) (0,017; 47,332) Pruebas Estadística MétodoICsGL1 GL2 de Valor p de chi-cuadrado deprueba 99,95% para Desv.Est. F 5 5 0,90 0,906
d) Trazar diagramas de cajas que ayuden a interpretar los datos de este experimento.
Gráfica de caja de v1 125; v2 200 v1 125
v2 200 2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
13. Se instala un nuevo dispositivo de filtrado en una unidad química. Antes de instalarlo , de una muestra aleatorio se obtuvo la siguiente información sobre el porcentaje de impurezas:
y´ 1=12.5,
de una muestra aleatoria se obtuvo
2
S 1=101.17 y´ 2=10.2,
Y
n1=8. Después de instalarlo,
S 22=94.73
Y
n1=9.
a) ¿puede concluirse que las dos varianzas son iguales? Utilizar α=0.05 Método
Hipótesis nula Varianza(Primero) / Varianza(Segundo) = 1 Hipótesis alterna Varianza(Primero) / Varianza(Segundo) ≠ 1 Nivel de significancia α = 0,0005 Se utilizó el método F. Este método es exacto sólo para datos normales.
Estadísticas IC de 99,95% Muestra N Desv.Est. Varianza para varianzas Primero 8 10,058 101,170 (25,574; 1798,391) Segundo 9 9,733 94,730 (25,614; 1283,812) Relación de desviaciones estándar = 1,033 Relación de varianzas = 1,068 Intervalos de confianza de 99,95% IC para IC para relación de relación de Método Desv.Est. varianza F (0,242; 4,899) (0,058; 24,002) Pruebas Estadística Método GL1 GL2 de prueba Valor p F 7 8 1,07 0,918
b).-¿el dispositivo de filtrado ha reducido de manera significativa el porcentaje de impurezas? Utilizar α=0.05 Prueba T de dos muestras e IC Error estándar de la Muestra N Media Desv.Est. media 1 8 13 101 36 2 9 10,2 94,7 32
Diferencia = μ (1) - μ (2) Estimación de la diferencia: 2,3 IC de 99,95% para la diferencia: (-212,4; 217,0) Prueba T de diferencia = 0 (vs. ≠): Valor T = 0,05 Valor p = 0,962 GL = 14
14. Se hacen 20 observaciones de la uniformidad del grabado en obleas de silicio durante un experimento de evaluación de un grabador de plasma. Los datos son los siguientes: 5. 34 6. 00 5. 97 5. 25
6. 65 7. 55 7. 35 6. 35
4. 76 5. 54 5. 44 4. 61
5. 98 5. 62 4. 39 6. 00
7. 25 6. 21 4. 98 5. 32
a) Construir una estimación con un intervalo de confianza de 95% de σ2. Prueba e IC para una varianza: C1 Método El método de chi-cuadrada sólo se utiliza para la distribución normal. El método de Bonett se utiliza para cualquier distribución continua. Estadísticas Variable N Desv.Est. Varianza C1 20 0,850 0,722 b) Probar la hipótesis de que σ2=10. Utilizar α=0.05 ¿a que conclusiones se llega? Método Hipótesis nula σ = 10 Hipótesis alterna σ ≠ 10 El método de chi-cuadrada sólo se utiliza para la distribución normal. El método de Bonett se utiliza para cualquier distribución continua.
Estadísticas Variable N Desv.Est. Varianza C1 20 0,850 0,722 Intervalos de confianza de 99,95% IC para IC para Variable Método Desv.Est. varianza C1 Chi-cuadrada (0,534; 1,751) (0,285; 3,064) Bonett (0,497; 1,757) (0,247; 3,088) Pruebas Estadística Variable Método de prueba GL Valor p C1 Chi-cuadrada 0,14 19 0,000 Bonett — — 0,000 c) d) Comentar el supuesto de normalidad y su papel en este problema.
e) Verificar la normalidad construyendo una grafica de probabilidad normal. ¿a que conclusiones se llega?
15. Doce inspectores midieron el diámetro de un cojinete de bolas , utilizando cada uno dos tipos diferentes de calibradores. Los resultados fueron.
Inspect or 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Calibrador 1 0.265 0.265 0.266 0.267 0.267 0.265 0.267 0.267 0.265 0.268
Calibrador 2 0.264 0.265 0.264 0.266 0.267 0.268 0.264 0.265 0.265 0.267
11 12
0.268 0.265
0.268 0.269
a) ¿existe alguna evidencia que opoye la afirmación de que hay una diferencia en el desempeño promedio entre los dos métodos? Utilizar α=0.05 Prueba T e IC de dos muestras: Calibrador 1; Calibrador 2 T de dos muestras para Calibrador 1 vs. Calibrador 2 Error estándar de la N Media Desv.Est. media Calibrador 1 12 266,25 1,22 0,35 Calibrador 2 12 266,00 1,76 0,51 Diferencia = μ (Calibrador 1) - μ (Calibrador 2) Estimación de la diferencia: 0,250 IC de 99,95% para la diferencia: (-2,333; 2,833) Prueba T de diferencia = 0 (vs. ≠): Valor T = 0,41 Valor p = 0,690 GL = 19
b) ¿Cuál es el valor de P para la prueba del inciso a? Valor p = 0,690 c) Construir un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las mediciones de lo sdiametros promedio para los dos tipod e calibradores
T pareada para Calibrador 1 - Calibrador 2 Error estándar de la N Media Desv.Est. media Calibrador 1 12 266,250 1,215 0,351 Calibrador 2 12 266,000 1,758 0,508 Diferencia 12 0,250 2,006 0,579 IC de 95% para la diferencia media: (-1,024; 1,524) Prueba t de diferencia media = 0 (vs. ≠ 0): Valor T = 0,43 Valor p = 0,674
