Ecuaciones simultaneas Para la mayoría de nosotros, nuestro primer encuentro con los modelos económicos viene a través de estudio de los modelos de oferta y demanda, en el que el precio de mercado y la cantidad de las mercancías vendidas se determinan conjuntamente por el equilibrio de la oferta y la demanda. En este capítulo consideramos los modelos econométricos para datos que están determinadas conjuntamente por dos o más relaciones económicas. Estos modelos de ecuaciones simultáneas son diferentes de las que hemos considerado en los capítulos anteriores, ya que en cada modelo hay dos o más variables dependientes en lugar de sólo uno. Los Modelos de ecuaciones simultáneas también se diferencian de la mayoría de los modelos econométricos que hemos considerado hasta ahora, porque consisten en un conjunto de ecuaciones. Por ejemplo, el precio y la cantidad son determinadas por la interacción de dos ecuaciones, una para la oferta y el otro para la demanda. Los Modelos de ecuaciones simultáneas, que contienen más de una variable dependiente y más de una ecuación, requieren tratamiento estadístico especial. El procedimiento de estimación de mínimos cuadrados no es apropiado en estos modelos, y tenemos que desarrollar nuevas formas de obtener estimaciones fiables de los parámetros económicos. Algunos de los conceptos de este capítulo se introdujeron en el capítulo 10. Sin embargo, leer el Capítulo 10 no es un requisito previo para leer el Capítulo 11, que es auto-contenido. Si usted ha leído el capítulo 10, se dará cuenta de que gran parte de lo que aprendió allí se trasladará t rasladará a este capítulo, incluyendo cómo los modelos de ecuaciones simultáneas encajan en el panorama general. Si usted no ha leído el capítulo 10, en referencia de nuevo a las partes de que proporcionará una comprensión más profunda del material presentado en este capítulo. Este capítulo sobre ecuaciones simultáneas se presenta por separado debido a que su tratamiento fue la primera contribución importante de la econometría para el campo más amplio de las estadísticas, y por su importancia en el análisis económico. 11.1 Un modelo de Oferta y Demanda La oferta y la demanda determinan conjuntamente el precio de mercado de un bien y la cantidad de la misma que se vende. Gráficamente, se recordará que el equilibrio del mercado se produce en la intersección de las curvas de oferta y demanda, como se muestra en la Figura 11.1. Un modelo econométrico que explica el precio de mercado y la cantidad debe constar de dos ecuaciones, una para la oferta y el otro para la demanda. Será un modelo de ecuaciones simultáneas, ya que ambas ecuaciones trabajando juntos determinan el precio y la cantidad. Un modelo muy sencillo podría ser como la siguiente:
Basado en la teoría económica se espera que la curva de oferta de pendiente positiva sea, b1> 0, y la curva de demanda de pendiente negativa, a1 <0. En este modelo se supone que la cantidad demandada (Q) es una función del precio (P) y los ingresos (X). La cantidad suministrada se toma para ser una sola función de precio. (Hemos omitido las intersecciones para que el álgebra sea más fácil. En la práctica, tendríamos incluir términos de intercepción en estos modelos.) El punto que queremos dejar muy claro es que se necesitan dos ecuaciones para describir el equilibrio de la oferta y la demanda. Los dos valores de equilibrio, por precio y cantidad, P* y Q*, respectivamente, se determinan al mismo tiempo. En este modelo las variables P y Q se llaman variables endógenas porque sus valores se determinan en el sistema que hemos creado. Las variables endógenas P y Q son variables dependientes y ambos son variables aleatorias. La variable de ingreso X tiene un valor que se determina fuera de este sistema. Tales variables se dice que son exógenos, y estas variables son tratados como habituales'' x'' variables explicativas. Los errores aleatorios se añaden a la oferta y la demanda de las ecuaciones de las razones habituales, y asumir que tienen las propiedades usuales
Hagamos hincapié en la diferencia entre los modelos de ecuaciones simultáneas y modelos de regresión utilizando diagramas de influencia. Un diagrama de influencia es una representación gráfica de las relaciones entre los componentes del modelo. En los capítulos anteriores nos hemos modelado las relaciones de oferta y demanda como regresiones separadas, lo que implica los diagramas de influencia en la figura 11.2. En este diagrama los círculos representan variables dependientes endógenas y los términos de error. Los cuadrados representan las variables explicativas exógenas. En el análisis de regresión de la dirección de la influencia es de un solo sentido: de la variable explicativa y el término de error err or de la variable dependiente. En este caso no hay ningún mecanismo de equilibrio que lleve la cantidad demandada a la igualdad de la cantidad ofrecida a un precio de equilibrio del mercado. Por el precio que ajustar al equilibrio de equilibrio del mercado, debe haber una influencia que va de P a Q y de Q a P.
Reconociendo que el precio P y la cantidad Q se determinan conjuntamente, y que no hay retroalimentación entre ellos, sugiere el diagrama de influencia en la figura 11.3. En el modelo de ecuaciones simultáneas que vemos la influencia de dos vías, o retroalimentación, entre P y Q, ya que están determinadas conjuntamente. El error aleatorio términos ed y es afectan tanto a P y Q, lo que sugiere una correlación entre cada una de las variables endógenas y cada uno de los términos de error aleatorios. Como veremos, esto conduce al fracaso del estimador de mínimos cuadrados en los modelos de ecuaciones simultáneas. Los ingresos X es una variable exógena que afecta a las variables endógenas, pero no hay ninguna retroalimentación de P y Q a X.
El hecho de que P es una variable endógena en el lado derecho de las ecuaciones de la oferta y la demanda significa que tenemos una variable explicativa que es al azar. Esto es contrario a la suposición usual de variables explicativas'' fijas'', pero como hemos explicado en el capítulo 10, esto por sí mismo no significa que el análisis de regresión estándar es inapropiado. El verdadero problema es que el regresor endógeno P se correlaciona con los errores aleatorios , ed y es, lo que tiene un impacto devastador en nuestro habitual procedimiento de estimación de mínimos cuadrados, por lo que el estimador de mínimos cuadrados es sesgado e inconsistente. 11.2 Las ecuaciones de forma reducida Las dos ecuaciones estructurales (11.1) y (11.2) se pueden resolver para expresar las variables endógenas P y Q como funciones de la variable exógena X. Esta reformulación del modelo se llama la forma reducida del sistema de ecuaciones estructurales. La forma reducida es muy importante en su propio derecho, y también nos ayuda a entender el sistema de ecuaciones estructurales. Para encontrar la forma reducida, se resuelve (11.1) y (11.2) simultáneamente para P y Q. Para resolver para P, serie Q en las ecuaciones de oferta y demanda a ser igual,
Luego resuelve para P
(11,4) Para resolver para Q, sustituir el valor de P en (11.4) ya sea en la demanda o ecuación de la oferta. La ecuación de oferta es más simple, por lo que va a sustituir en P (11.2) y simplificar:
(11.5) Los parámetros p1 y p2 en (11.4) y (11.5) se llaman parámetros de forma reducida. Los términos de error v1 y v2 se llaman errores de forma fo rma reducida. Las ecuaciones de forma reducida se pueden estimar consistentemente por mínimos cuadrados. La variable explicativa X se determina fuera de este sistema. No se correlaciona con la perturbaciones v1 y v2, que a su vez t ienen las propiedades usuales de media cero, las variaciones constantes, y cero covarianza. Así, el estimador de mínimos cuadrados es de color azul a los efectos de calcular p1 y p2. Las ecuaciones de forma reducida son importantes para el análisis económico. Estas ecuaciones se relacionan los valores de equilibrio de las variables endógenas a las variables exógenas. Por lo tanto, si hay un aumento en los ingresos X, p1 es el aumento previsto en el precio, después de los ajustes del mercado conducen a un nuevo equilibrio de P y Q. Asimismo, p2 pregunta es el aumento esperado en el valor de equilibrio de P (cómo no podemos determinar las direcciones de estos cambios) En segundo lugar, y con la misma lógica, las ecuaciones de forma reducida estimados pueden ser utilizados para predecir los valores de precio y cantidad de equilibrio para los diferentes niveles de ingresos. Es evidente que los mínimos cuadrados ordinarios y otros analistas del mercado están interesados en la capacidad de predecir los precios y cantidades vendidas de sus productos. Es la estimación de ecuaciones de forma reducida que hacen posible estas predicciones. predicciones. 11.3 El incumplimiento incumplimiento de Mínimos Cuadrados Ordinarios En esta sección se explica por qué el estimador de mínimos cuadrados no debe ser utilizado para estimar una ecuación en un modelo de ecuaciones simultáneas. Por razones que se aclararán en la siguiente sección, nos centramos en la ecuación de la oferta. En la ecuación de oferta (11.2), la variable P endógena en el lado derecho de la ecuación se correlaciona con el término de error es.
Daremos una explicación intuitiva para la existencia de esta correlación aquí. Una explicación algebraica es en el apéndice 11A. Supongamos que hay un pequeño cambio, o bache, en el término de error es, digamos Des. Trace el efecto de este cambio a través del sistema. El bache Des en el término de error de (11.2) se transmite directamente al valor de equilibrio de P. Esto se sigue de la forma reducida (11,4) que tiene P en el lado izquierdo y es a la derecha. Cada cambio en la ecuacion de la oferta término de error es tiene un efecto lineal directa sobre P. Desde b1> 0 y a1 <0, si Des> 0, entonces DP <0. Por lo tanto, cada vez que hay un cambio en es, hay un cambio asociado en P en la dirección opuesta. Por lo tanto, P y es están correlacionados negativamente. El fracaso de la estimación de mínimos cuadrados para la ecuación de la oferta se puede explicar de la siguiente manera: la estimación por mínimos cuadrados de la relación entre Q y P'' da crédito'' a precio (P) para el efecto de los cambios en el término de error (es). Esto se debe a que no se observa el cambio en el término de error, sino sólo el cambio en P como resultado de su relación con el es error. El estimador de mínimos cuadrados de b1 se subestima el valor del parámetro real en este modelo, debido a la correlación negativa entre la variable endógena P y el término es error. En muestras grandes, el estimador de mínimos cuadrados tenderá a estar sesgado negativamente en este modelo. Este sesgo persiste incluso si el tamaño de la muestra tiende a infinito, y por lo tanto el estimador de mínimos cuadrados es inconsistente. Esto significa que la distribución de probabilidad del estimador de mínimos cuadrados en última instancia "colapsa'' alrededor de un punto que no es el valor verdadero del parámetro como el tamaño de la muestra N Tiende un infinito. Véase el Apéndice 5B para una discusión general de'' grandes muestras'' las propiedades de los estimadores, y ver Apéndice 11A para una derivación algebraica. A continuación, resumimos diciendo: El estimador de mínimos cuadrados de los parámetros en una ecuación simultánea estructural está sesgado e inconsistente debido a la correlación entre el error aleatorio y las variables endógenas en el lado derecho de la ecuación. 11.4 El problema de la identificación En el modelo de la oferta y la demanda dada por (11.1) y (11.2), Los parámetros de la ecuación de la demanda, a1 y a2, no se pueden estimar consistentemente por cualquier método de estimación La pendiente de la ecuación de la oferta, b1, se puede estimar consistentemente. consistentemente. ¿Cómo somos capaces de hacer tales afirmaciones? La respuesta es bastante intuitiva, y se puede ilustrar gráficamente. ¿Qué sucede cuando cambia los ingresos X? Los cambios de la curva de demanda y un nuevo precio de equilibrio y la cantidad se crean. En la Figura 11.4 se muestran las curvas de demanda d1, d2 y d3 y equilibrios, en los puntos a, b, y c, para tres niveles de ingreso. Como los cambios de ingresos, los datos sobre precios y cantidades se observaron alrededor de las intersecciones de la oferta y la demanda. Los errores aleatorios ed y es causan pequeños cambios
en las curvas de la oferta y la demanda, la creación de las observaciones de equilibrio de precios y cantidades que se encuentran dispersos por las intersecciones en los puntos a, b, y c.
Los valores de los datos se traza la curva de oferta, lo que sugiere que podemos ajustar una línea a través de ellos para estimar la pendiente b1. Los valores de datos se encuentran a lo largo de la curva de oferta porque el ingreso está presente en la curva de demanda y ausente de la curva de oferta. Como los cambios de ingreso, los cambios de la curva de la demanda, pero la curva de la oferta se mantiene fija, lo que resulta en las observaciones a lo largo de la curva de oferta. No hay valores de datos que caen a lo largo de cualquiera de las curvas de demanda, y no hay manera de estimar su pendiente. Cualquiera de un número infinito de curvas de demanda que pasan a través de los puntos de equilibrio podría ser correcta. Teniendo en cuenta los datos, no hay manera de distinguir la verdadera curva de demanda de todo el resto. A través del punto de equilibrio que hemos elaborado unas curvas de demanda, cada uno de los cuales podrían haber generado los datos que observamos. El problema radica en el modelo que estamos utilizando. No existe una variable en la ecuación de la oferta que cambiarlo con respecto a la curva de demanda. Si tuviéramos que añadir una variable a la curva de la oferta, por ejemplo W, entonces cada vez que cambia W, la curva de oferta se desplazaría, y la curva de la demanda se mantendría fijo. El desplazamiento de la oferta con respecto a una curva de demanda fija (desde W está ausente de la ecuación de la demanda) crearía observaciones de equilibrio a lo largo de la curva de demanda, por lo que es posible estimar la pendiente de la curva de demanda y el efecto de ingreso en la demanda. Es la ausencia de variables en una ecuación que están presentes en otra ecuación que hace que la estimación de parámetros posibles .Una regla general, que se llama una condición necesaria para la identificación de una ecuación, es la siguiente: una condición necesaria para la IDENTIFICACIÓN: En un sistema de M ecuaciones simultáneas, que determinan conjuntamente los valores de M variables endógenas, al menos M- 1 variables deben estar ausente de una ecuación para la estimación de sus parámetros a ser posible. Cuando la estimación de parámetros de una ecuación es posible, entonces se dice que la ecuación para ser identificados, y sus parámetros se puede estimar consistentemente. Si menos de M-1 se han omitido las variables de una ecuación, entonces se dice que es no identificado, y sus parámetros no se puede estimar consistentemente.
En nuestro modelo de oferta y demanda no son M = 2 ecuaciones, por lo que se requiere, al menos, M - 1 = 1 variable a ser omitido de la ecuación para identificarlo. Hay un total de tres variables: P, Q y X. En la ecuación de demanda de ninguna de las variables se omiten, por lo que no ha sido identificada y sus parámetros no se puede estimar de forma coherente. En la ecuación de la oferta, una variable, se omite ingreso (X),; se identifica la curva de oferta, y su parámetro puede ser estimado. La condición de identificación debe ser comprobado antes de tratar de estimar una ecuación. Si no se identifica una ecuación, a continuación, cambiar el modelo debe ser considerado antes de que se estima. Sin embargo, cambiar el modelo no se debe hacer de una manera casual; ninguna variable importante debe ser omitida de una ecuación sólo para identificarlo. La estructura de un modelo de ecuaciones simultáneas debe reflejar su comprensión de cómo se logra el equilibrio y debe ser consistente con la teoría económica. La creación de un modelo falso no es una buena solución para el problema de identificación. Este apartado es para aquellos que han leído el capítulo 10. La condición necesaria para la identificación puede expresarse de una manera alternativa pero equivalente. El procedimiento de estimación de mínimos cuadrados de dos etapas fue desarrollado en el capítulo 10 y demostró ser un estimador de variables de instrumental. Este procedimiento se desarrolla con más detalle en la siguiente sección. El número de variables instrumentales requeridas para la estimación de una ecuación dentro de un modelo de ecuaciones simultáneas es igual al número de variables endógenas de la derecha-secundarios. En una ecuación típica dentro de un modelo de ecuaciones simultáneas, varias variables exógenas aparecen en el lado derecho. Así, los instrumentos deben provenir de las variables exógenas omitido de la ecuación en cuestión. Por consiguiente, la identificación requiere que el número de variables exógenas excluidas en una ecuación sea al menos tan grande como el número de variables endógenas de la derecha del lado incluidos. Esto asegura un número suficiente de variables instrumentales. 11.5 Mínimos Cuadrados Ordinarios en Dos Etapas El método más utilizado para la estimación de los parámetros de una ecuación estructural identificado se llama mínimos cuadrados en dos etapas, que es a menudo abreviado como MC2E. El nombre proviene del hecho de que se puede calcular utilizando dos regresiones de mínimos cuadrados. Vamos a explicar cómo funciona, considerando la ecuación de oferta en (11.2). Recordemos que no podemos aplicar el habitual procedimiento de mínimos cuadrados para estimar b1 en esta ecuación, ya que la variable endógena P en el lado derecho de la ecuación está correlacionada con el término es error. La variable P se compone de una parte sistemática, que es su valor esperado E (P), y una parte aleatoria, que es la forma reducida al azar v1 de error. Es decir,
(11,6) En la ecuación de la oferta (11,2) la parte de P que causa problemas para el estimador de mínimos cuadrados es v1, la parte aleatoria. Es v1 que causa P que se correlaciona con el término de error es. Supongamos que conocía el valor de p1. Entonces podríamos sustituir P en (11.2) con (11.6) para obtener
(11.7) En (11.7) la variable explicativa en el lado derecho es E (P). No es una variable aleatoria y no está correlacionada con el término de error. Podríamos aplicar los mínimos cuadrados a (11.7) para estimar consistentemente b1. Por supuesto, no se puede utilizar la variable EP=pi X en lugar de P, ya que no conocemos el valor de p1. Sin embargo, se puede estimar utilizando p1 de la ecuación de forma reducida para P. Entonces, un estimador consistente de E (P) se
Uso de P ^ como un reemplazo para E (P) en (11.7) se obtiene
En muestras grandes, P y el error aleatorio e no están correlacionadas, y en consecuencia el parámetro b1 se puede estimar consistentemente mediante la aplicación de mínimos cuadrados a (11.8). Estimación (11.8) por mínimos cuadrados genera el llamado estimador de mínimos cuadrados en dos etapas de b1, lo cual es consistente y distribuida normalmente en muestras grandes. En resumen, las dos fases del procedimiento de estimación son: 1. Estimación por Mínimos cuadrados de la ecuación de forma reducida de P y el cálculo de su valor predictivo P. 2. Estimación de Mínimos cuadrados de la ecuación estructural en el que la mano derecha del lado endógena P variable se reemplaza por su valor predicho P ^ 1 11.5.1 Procedimiento GENERAL de Mínimos Cuadrados Ordinarios en dos etapas. El procedimiento de estimación de mínimos cuadrados de dos etapas puede ser utilizado para estimar los parámetros de cualquier ecuación identificada dentro de un sistema de ecuaciones
simultáneas. En un sistema de ecuaciones simultáneas M, que las variables endógenas sean y1, y2,. . . , YM. Que haya K variables exógenas, x1, x2,. . . , XK. Supongamos que la primera ecuación estructural dentro de este sistema es (11,9) Si se identifica esta ecuación, a continuación, sus parámetros pueden ser estimados en los dos pasos: 1. Estimación de los parámetros de las ecuaciones de forma reducida
por mínimos cuadrados y obtener los valores previstos
(11.10) 2. Sustituya las variables endógenas, y2 y y3, en el lado derecho de la estructura (11.9) por sus valores pronosticados de (11,10)
Estimar los parámetros de esta ecuación por mínimos cuadrados. 11.5.2 Las propiedades de los MÍNIMOS CUADRADOS en dos etapas Hemos descrito cómo obtener estimaciones de parámetros de la ecuación estructural de ecuaciones identificados. Las propiedades de la de dos etapas estimador de mínimos cuadrados son los siguientes: / El estimador MC2E es un estimador sesgado, pero es consistente. / En las grandes muestras del estimador MC2E es una distribución aproximadamente normal. / Las varianzas y covarianzas del estimador MC2E son desconocidos en muestras pequeñas, pero para las grandes muestras tenemos expresiones para ellos que podemos utilizar como aproximaciones. Estas fórmulas están integradas en paquetes de software econométrico, que reportan los errores estándar y t-valores, al igual que un programa de regresión de mínimos cuadrados ordinarios.
/ Si obtiene estimaciones MC2E mediante la aplicación de dos plazas menos regresiones utilizando software de regresión de mínimos cuadrados ordinarios, los errores estándar y t-valores reportados en la segunda regresión no son correctas para el estimador MC2E. Utilice siempre MC2E especializados o software de variables instrumentales en la obtención de estimaciones de ecuaciones estructurales. 11.6 Ejemplo de dos etapas Mínimos Cuadrados Ordinarios Las trufas son una delicia gourmet. Son hongos comestibles que crecen debajo de la tierra. En Francia se encuentran con frecuencia por los coleccionistas que utilizan cerdos para olfatear las trufas y el'' punto'' para ellos. En realidad, los cerdos cavan frenéticamente las trufas porque los cerdos tienen un gusto insaciable por ellos, al igual que los franceses, y ellos deben ser restringido de'' pigging'' en ellos. Considere la posibilidad de un modelo de oferta y demanda de trufas:
(11.11) En la ecuación de demanda Q es la cantidad de trufas que cotizan en un mercado francés en particular, indexados por i, P es el precio de mercado de la trufa, PS es el precio de mercado de un sucedáneo de las trufas reales (otro hongo muy apreciado mucho menos), y DI es el ingreso disponible per cápita mensual de los residentes locales. La ecuación de la oferta incluye el precio de mercado y la cantidad ofrecida. También incluye PF, el precio de un factor de producción, que en este caso es el precio del alquiler por hora de trufa de indias utilizados en el proceso de búsqueda En este modelo se supone que P y Q son variables endógenas. Las variables exógenas son PS, DI, PF, y la intersección. 11.6.1 IDENTIFICACIÓN Antes de pensar en la estimación, verifique la identificación de cada ecuación. La regla para la identificación de una ecuación es que en un sistema de ecuaciones M, al menos, M - 1 variables deben ser omitido de cada ecuación a fin de que pueda ser identificado. En la ecuación de demanda de la PF variable no está incluido, por lo que es necesario M- 1 =1 variable se omite. En la ecuación de la oferta tanto en PS y DI están ausentes, más que suficiente para satisfacer la condición de identificación. Tenga en cuenta también que las variables que se omiten son diferentes para cada ecuación, asegurándose de que cada uno contiene al menos una variable no está presente en el otro cambio. Llegamos a la conclusión de que cada ecuación en este sistema se identifica y por lo tanto se puede estimar mediante de mínimos cuadrados en dos etapas. ¿Por qué son las variables omitidas en sus respectivas ecuaciones/ Puesto que la teoría económica dice que el precio de un factor de producción debe afectar la oferta pero no la demanda, y que el
precio de los bienes sustitutos y los ingresos deberían afectar a la demanda y no la oferta. Las especificaciones que utilizamos se basan en la teoría microeconómica de la oferta y la demanda. 11.6.2 Las ecuaciones de forma reducida Las ecuaciones de forma reducida expresan cada variable endógena, P y Q, en términos de las variables exógenas PS, DI, PF, y la intersección, más un término de error. Ellos son
Podemos estimar estas ecuaciones por mínimos cuadrados ya que las variables de la derecha del lado son exógenas y correlacionadas con los errores aleatorios vi1 y vi2. El archivo de datos truffles.dat contiene 30 observaciones sobre cada una de las variables endógenas y exógenas. Las unidades de medida son de $ por onza para el precio P, onzas para Q, $ por onza de PS, y miles de dólares para la DI, PF es la tasa de alquiler por hora ($) para un cerdo de trufa de investigación. Algunas de las observaciones se muestran en la Tabla 11.1. Los resultados de los mínimos cuadrados estimaciones de las ecuaciones de forma reducida para Q y P se muestran en la Tabla 11.2.
En la Tabla 11.2a vemos que los coeficientes estimados son estadísticamente significativas, y por lo tanto se concluye que las variables exógenas afectan a la cantidad de trufas negociados, Q, en esta ecuación de forma reducida. El R2 = 0:697, y el F-estadística general es 19.973, que tiene un valor de p de menos de 0,0001. En la Tabla 11.2b los coeficientes estimados son estadísticamente significativas, lo que indica que las variables exógenas tienen un efecto sobre el precio de mercado P. El R2 =0:889 implica un buen ajuste de la ecuación de forma reducida a los datos. El valor total de F-estadística es 69.189 que tiene un valor de p inferior a 0,0001, lo que indica que el modelo tiene poder explicativo estadísticamente significativo.
11.6.3 las ecuaciones estructurales Las ecuaciones de forma reducida se utilizan para obtener ^ P que se utiliza en lugar de P en el lado derecho de las ecuaciones de la oferta y la demanda en la segunda etapa de dos etapas mínimos cuadrados. Desde 11.2b mesa tenemos
Los resultados MC2E se dan en las Tablas 11.3A y 11,3b. Los resultados de la curva de demanda estimadas son en la Tabla 11.3a. Tenga en cuenta que el coeficiente del precio es negativo, lo que indica que a medida que las subidas de los precios de mercado, la cantidad demandada de trufas descensos, según lo predicho por la ley de la demanda.
Los errores típicos que se reportan se obtienen de software MC2E. Ellos y los t-valores son válidos en muestras grandes. El valor p indica que la pendiente estimada de la curva de demanda es significativamente diferente de cero. Los aumentos en el precio del sustituto de trufas aumentar la demanda de trufas, que es una característica de los bienes sustitutos. Por último, el efecto de la renta es positiva, lo que indica que las trufas son un bien normal. Todas estas variables tienen coeficientes estadísticamente significativos y por lo tanto tener un efecto sobre la cantidad demandada. Los resultados de la ecuación de suministro aparecen en la Tabla 11,3b. Como era de esperar, los aumentos en el precio de trufas aumentan la cantidad suministrada, y el aumento de la tasa de alquiler para trufa de búsqueda de cerdos, que es un aumento en el costo de un factor de
producción, reduce el suministro. Ambas variables tienen estimaciones estadísticamente significativas coeficientes. 11.7 La oferta y demanda en el mercado de pescado de Fulton El mercado de pescado de Fulton ha operado en la ciudad de Nueva York por más de 150 años. Los precios del pescado se determinan diariamente por las fuerzas de la oferta y la demanda. Kathryn Graddy2 recogio datos diarios sobre el precio de la bacaladilla (un tipo común de pescado), las cantidades vendidas, y las condiciones climáticas durante el período de 2 de diciembre de 1991 al 8 de mayo de 1992. Estos datos están en el archivo fultonfish.dat. El pescado fresco llega al mercado cerca de la medianoche. Los mayoristas enteros, o comerciantes, venden a los compradores de tiendas y restaurantes. La primera característica interesante de este ejemplo es considerar si los precios y las cantidades se determinan al mismo tiempo por la oferta y la demanda en todo.3 Podríamos considerar esto como un mercado con una oferta fija, perfectamente inelástica. Al inicio de la jornada, cuando se abra el mercado, el suministro de pescado disponible para el día es fijo. Si la oferta es fija, con una curva de oferta vertical, entonces el precio es determinado por la demanda, con el aumento de la demanda conduce a precios más altos, pero sin aumento de la cantidad ofrecida. Si esto es cierto, entonces se elimina la retroalimentación entre precios y cantidades. Tales modelos se dice que son recursivos y la ecuación de demanda pueden ser estimados por mínimos cuadrados ordinarios en lugar de dos etapas por ser un procedimiento de cuadrados más complicado. Sin embargo el pescado puede conservarse durante varios días antes de ir mal, y los concesionarios pueden decidir vender menos, y añadir a su inventario, o la reserva de estabilización, si el precio se considera demasiado bajo, con la esperanza de obtener mejores precios al día siguiente. O bien, si el precio es excepcionalmente alta en un día determinado, entonces los vendedores pueden aumentar la pesca del día con otros peces de su reserva de estabilización. Así, a pesar del carácter perecedero del producto, y el nuevo abastecimiento de pescado fresco, el precio diario se determina al mismo tiempo por las fuerzas de la oferta y la demanda. El punto clave aquí es que la'''' simultaneidad no requiere que los eventos ocurren en un momento simultáneo en el tiempo. Vamos a especificar la ecuación de la demanda de este mercado,
(11.13) donde Quant se vende la cantidad en libras y price t es el precio diario promedio por libra. Tenga en cuenta que estamos usando el subíndice'' t'' a las observaciones de índices de esta relación debido a la naturaleza de series de tiempo de los datos. El resto de variables son variables
indicadoras para los días de la semana, con el viernes se omite. El coeficiente a2 es la elasticidad precio de la demanda, que se espera sea negativo. Las variables indicadoras diarios capturan los cambios del día a día de la demanda. La ecuación de la oferta es
(11.14) El coeficiente b2 es la elasticidad precio de la oferta. La variable STORMY es un indicador variable que indica el tiempo tempestuoso durante los tres días anteriores. Esta variable es importante en la ecuación de la oferta debido a mal tiempo hace que la pesca más difícil, lo que reduce el suministro de pescado llevado al mercado. 11.7.1 IDENTIFICACIÓN Antes de la estimación, hay que determinar si se identifican los parámetros de la ecuación de oferta y demanda. La condición necesaria para una ecuación para ser identificado es que en este sistema de ecuaciones M = 2, que debe ser cierto que al menos M- 1 = 1 variable debe ser omitido en cada ecuación. En la ecuación de la demanda la variable de tiempo STORMY es omitida, y aparece en la ecuación de la oferta. En la ecuación de la oferta, las cuatro variables indicadoras diarias que se incluyen en la ecuación de demanda se omiten. Por lo tanto la ecuación de demanda se desplaza a diario, mientras que el suministro permanece fijo (ya que la ecuación de la oferta no contiene las variables indicadoras diarios), el rastreo por lo tanto fuera de la curva de alimentación, por lo que es identificado, como se muestra en la figura 11.4. Del mismo modo, las condiciones tormentosas desplazan la curva de oferta relativa a una demanda fija, trazando la curva de demanda y por lo que es identificado. 11.7.2 Las ecuaciones de forma reducida Las ecuaciones de forma reducida especifican cada variable endógena como una función de todas las variables exógenas
(11.15) Estas ecuaciones de forma reducida se pueden estimar por mínimos cuadrados debido a que las variables de la mano del lado derecho son exógenas y correlacionadas con los errores de forma reducida VT1 y VT2. Utilizando los datos de los Graddys '(fultonfish.dat) estimamos estas ecuaciones de forma reducida y presenta en la Tabla 11.4. Estimación de las ecuaciones de forma reducida es el primer paso de dos etapas de estimación de mínimos cuadrados de la oferta y la demanda de ecuaciones. Es un requisito para el éxito de de estimación de mínimos cuadrados de dos etapas que los coeficientes estimados en la forma reducida para la variable endógena de la
derecha del lado del ser estadísticamente significativa. Hemos especificado las ecuaciones estructurales (11.13) y (11.14) con ln (quan) como la variable de la izquierda-lado y ln (PRECIO) como variable endógena derecho-lado. Así, la ecuación de forma reducida clave es (11.16) para ln (PRECIO).
En esta ecuación / Para identificar la curva de oferta, las variables indicadoras diarias deben ser conjuntamente significativos. Esto implica que al menos uno de sus coeficientes es estadísticamente diferente de cero, lo que significa que hay por lo menos una variable de cambio significativo en la ecuación de la demanda, que nos permite estimar de manera fiable la ecuación de oferta. / Para identificar la curva de demanda, la variable STORMY debe ser estadísticamente significativa, lo que significa que la oferta tiene una variable de cambio significativo, por lo que se puede estimar con fiabilidad la ecuación de demanda. ¿Por qué es esto así/ La discusión de identificación en la Sección 11.4 requiere sólo la presencia de variables de desplazamiento, no su significado. La respuesta viene de una gran cantidad de investigación econométrica en la última década, lo que demuestra que las dos etapas estimador de mínimos cuadrados realiza muy mal si las variables de cambio no son muy significante. Recordemos que para aplicar mínimos cuadrados en dos etapa que tomamos el valor predicho de la regresión de forma reducida y la incluimos en las ecuaciones estructurales en el lugar de la variable endógena lado derecho. Es decir, se calcula
donde ^ PK2 son los estimaciones mínimos cuadrados de los coeficientes de forma reducida, y luego vuelva a ln (PRECIO) con blnðPRICE+. Para ilustrar el punto, vamos a centrarnos en el problema de la estimación de la ecuación de la oferta (11,14) y tomamos el caso extremo de que p32 =p22 =P52 =p42= 0, lo que significa que los coeficientes de las variables indicadoras diarias son idénticamente cero. Entonces
Si reemplazamos ln (PRECIO) en la ecuación de la oferta (11,14) con este valor predicho, habrá colinealidad exacta entre blnðPRICE+ y la variable de tormenta, que ya se encuentra en la ecuación de la oferta y por lo menos dos etapas plazas fallarán. Si el coeficiente estima en las variables indicadoras diarias no son exactamente cero, pero son conjuntamente insignificante, que significa que habrá colinealidad severa en la segunda etapa, y aunque el estimaciones de mínimos cuadrados de dos etapas de la ecuación de oferta puede ser calculado, lo harán ser poco fiables. En la tabla 11.4b, que muestran las estimaciones de forma reducida para (11.16), ninguna de las variables indicadoras diarias son estadísticamente significativas. Además, la articulación de la Ftest de significación de las variables indicadoras tiene valor p de 0,65, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula de que todos los coeficientes son cero.5 En este caso, la ecuación de la oferta no se identifica en la práctica, y no reportan las estimaciones para ello. Sin embargo, stormy es estadísticamente significativa en la Tabla 11.4b, lo que significa que la ecuación de la demanda puede ser estimado de forma fiable por mínimos cuadrados en dos etapas. Una ventaja de estimación de mínimos cuadrados de dos etapas es que cada ecuación puede ser tratada y estima por separado, por lo que el hecho de que la ecuación de suministro no es fiable y estimable no significa que no podemos proceder con la estimación de la ecuación de la demanda. La comprobación de la significación estadística de los conjuntos de variables de cambio para las ecuaciones estructurales debe llevarse a cabo cada vez que un modelo de ecuaciones simultáneas se formula. 11.7.3 Estimación mínimos cuadrado DOS ETAPAS s de la demanda de pescado La aplicación de dos etapas estimación por mínimos cuadrados para la ecuación de demanda se obtienen los resultados que figuran en el cuadro 11.5. La elasticidad precio de la demanda se estima en 1,12, lo que significa que un aumento del 1% en el precio del pescado conduce a una disminución 1,12% de la cantidad demandada/ Esta estimación es estadísticamente significativa al nivel del 5%. Los coeficientes de las variables indicadoras son negativos y estadísticamente significativos para el martes y el miércoles, lo que significa que la demanda es más baja en estos días con respecto al viernes.
DATOS PANEL Un panel de datos se compone de un grupo de unidades de sección cruzada (personas, hogares, empresas, estados, países) que se observó con el tiempo. A menudo nos referimos a unidades tales como individuos, con el término'' persona'' que se utiliza de forma genérica, aunque la unidad de intereses no es una persona. Vamos a denotar el número de unidades de cortes transversales (individuos) por N, y el número de períodos de tiempo en los que los observamos como datos Panel T. viene en varios sabores diferentes'','' cada uno de los cuales presenta nuevos retos y oportunidades. Peter Kennedy1 describe los diferentes tipos de conjuntos de datos de panel como '' Largo y estrecho, con'''''' de largo que describe la dimensión de tiempo y estrecho'''' lo que implica un número relativamente pequeño de unidades de corte transversal/ '' Corto y ancho,'' lo que indica que hay muchos individuos observados durante un período relativamente corto de tiempo/ '' De largo y de ancho,'' lo que indica que ambos N y T son relativamente grandes Un largo y estrecho del panel'''' puede consistir en datos sobre varias firmas de más de un período de tiempo. El ejemplo clásico es un conjunto de datos analizados por Grunfeld y utilizados posteriormente por muchos autores2 Estos datos de inversión de pista en planta y equipo por N = 11 grandes empresas para t = 20 años. Este panel es estrecho porque consiste solo n = 11 empresas. Es relativamente'' largo'' porque T> N. Utilizamos estos datos que figuran más adelante en el capítulo. Muchos análisis microeconómicos se realizan en conjuntos de datos de panel con miles de personas que se siguen en el tiempo. Por ejemplo, el Panel de Estudio de Dinámica de Ingresos (PSID) ha seguido de cerca de 8.000 familias desde 1968.3 El Departamento de Trabajo de EE.UU. lleva a cabo encuestas longitudinales nacionales (NLS) como NLSY79'', una muestra nacionalmente representativa de 12,686 hombres y mujeres quienes fueron 14 jóvenes - 22 años cuando fueron encuestados por primera vez en 1979.4 Estas personas fueron entrevistadas anualmente hasta 1994 y actualmente son entrevistados en forma bienal.'' Estos conjuntos de datos son'' gran'' y'' corto'', debido a Nis mucho, mucho más grande de T. Utilizando datos de panel juegos de este tipo se puede dar cuenta de las diferencias individuales no observados, o heterogeneidad. Además, estos paneles de datos son cada vez el tiempo suficiente para que los factores dinámicos, como
períodos de empleo y desempleo, se pueden estudiar. Estos grandes conjuntos de datos ricos en información, y requieren el uso de gran potencia de cálculo. Los macroeconomistas que estudian el crecimiento económico entre las naciones emplean datos que'' siempre'' y'' de ancho.'' The Penn World Table 5 proporciona la compra de las cuentas de ingresos nacionales convertidos en los precios internacionales de 189 países de todos o parte de los años de la paridad del poder y 1950-2007, que podemos caracterizar como más o menos con las dos grandes N y grandes T. Por último, es posible disponer de datos que combina los datos de series de tiempo de corte transversal y que no constituyen un grupo especial. Podemos recoger una muestra de los datos sobre los individuos de una población en varios puntos en el tiempo, pero las personas no son los mismos en cada período de tiempo. Estos datos pueden ser utilizados para analizar un experimento natural'''', por ejemplo, cuando una ley que afecta a algunas personas los cambios, como un cambio en el seguro de desempleo en un estado particular. Utilizando los datos antes y después del cambio de política, y en los grupos de personas afectados y no afectados, los efectos del cambio de política se pueden medir. Los métodos para estimar los efectos de este tipo se introdujeron en el capítulo 7.5. Nuestro interés en este capítulo es cómo utilizar todos los datos disponibles para estimar los modelos econométricos que describen el comportamiento de las unidades individuales de la sección transversal a través del tiempo. Estos datos nos permiten controlar por las diferencias individuales y el ajuste dinámico de estudio, y para medir los efectos de los cambios de política. Para cada tipo de datos que hay que tener cuidado no sólo con los supuestos de error, pero también con nuestras suposiciones acerca de si, cómo y cuando los parámetros pueden variar entre los individuos y / o tiempo. 15.1 Un Panel microeconómico Nuestro primer ejemplo es el de un conjunto de datos que es corto y ancho. Es típico de muchos análisis microeconométricos que utilizan grandes conjuntos de datos con muchos individuos, procedentes de las encuestas longitudinales nacionales (NLS) llevadas a cabo por el D epartamento de Trabajo de EE.UU., que tiene una base de datos sobre las mujeres que tenían entre 14 y 24 en 1968. Como ejemplo, se utiliza una submuestra de N = 716 mujeres quienes fueron entrevistadas en 1982, 1983, 1985, 1987 y 1988. La muestra se compone de las mujeres que trabajaban, y cuya escolarización se completó, al ser entrevistado. El archivo de datos se denomina nls_ panel.dat6 y contiene 3.580 líneas de datos. Observaciones de datos de panel son generalmente apilados, con todas las observaciones de series de tiempo para una sola persona en la parte superior de la siguiente. Las observaciones en unas pocas variables para las tres primeras mujeres en el panel de NLS se muestran en la Tabla 15.1. La primera columna de ID identifica al individuo y AÑO representa el año en que se obtuvo la información. Estas variables de identificación deben estar presentes para que el software identificará correctamente la sección transversal y las unidades de series de tiempo.
Luego hay observaciones sobre cada una de las variables. En un panel típico hay algunas observaciones con valores perdidos, por lo general indican como.'''' O'''' NA. Hemos eliminado todos los valores que faltan en el nls_panel.dat archivo de datos. En los paneles microeconómicos los individuos no siempre se entrevistaron con el mismo número de veces, dando lugar a un panel incompleto en el que el número de observaciones de series de tiempo es diferente entre los individuos. El archivo de datos nls_ panel.dat es, sin embargo, un panel balanceado; para cada individuo, observamos cinco observaciones de series de tiempo. Un panel no balanceado más grande, está en el archivo nls.dat. Paquetes de software más modernos pueden manejar ambos paneles equilibrados y desequilibrados. En las secciones que siguen consideramos varios modelos y estimadores para estimar una ecuación de salarios, con la variable dependiente ln (SALARIO) y las variables explicativas años de educación (EDUC), la experiencia de la fuerza laboral total (EXPER) y su plaza (EXPER2), la tenencia de trabajo actual (TENENCIA) y su plaza (TENURE2), y el indicador o variables ficticias Black, sur y UNION. 15.2 Modelo agrupado Un modelo combinado es aquel en el que los datos sobre los diferentes individuos se agruparon simplemente junto con ninguna disposición para las diferencias individuales que puedan conducir a diferentes coeficientes. Para una ecuación con dos variables explicativas x2 y x3, un modelo agrupado se puede escribir como
La primera cosa a notar acerca de (15.1) son los dos subíndices: i para designar al individuo i-ésimo y t para indicar el período de tiempo tth. Por lo tanto, YIT, por ejemplo, representa la t-ésima observación en la variable dependiente para el individuo i-ésimo. Asumiendo que tenemos T observaciones de N individuos, los índices i y t son tales que i = 1, 2,. . . , N y T = 1, 2,. . . , T, lo que supone un total de observaciones NT. Para el conjunto de datos ilustrados en la Tabla 15.1, i = ID, t = 1 para el año 1982, t = 2 para el año 1983, y así sucesivamente hasta t = 5 para 1988, con el N= 716 y T = 5. Si se desequilibra un panel, Tis diferentes para cada persona, y escribimos t = 1, 2,. . . ; Ti; el número total de observaciones es de Ni= La segunda cosa a notar en (15.1) es que los coeficientes (b1, b2, b3) no tienen i t o subíndices. Se asumen constantes para todos los individuos en todos los períodos de tiempo, y no permiten la posible heterogeneidad individual. Es esta característica la que conduce a (15.1) ser llamado un modelo agrupado. Si, además, asumimos que el errores eit tienen media cero y varianza constante, no están correlacionadas con el tiempo (t) e individuos (i), y no están correlacionados con x2 y x3, entonces no hay nada de especial en (15.1) que la distingue a partir del modelo de regresión múltiple estudiado en los capítulos 5-7. El estimador de mínimos cuadrados de (b1, b2, b3) tiene todas sus propiedades deseables. Es consistente, y las habituales estadísticos t y F son
válidas en grandes muestras para la prueba de hipótesis y la estimación del intervalo. Si también asumimos x2 y x3 son no aleatoria, el estimador de mínimos cuadrados es la varianza mínima del estimador insesgado lineal finito en muestras. Nos centraremos en grandes propiedades de la muestra, sin embargo, debido a que es típicamente poco realista asumir x2 y x3 son no aleatorias, y nuestra tamaño de las muestras suelen ser grandes. En el panel de datos introducida en la Sección 15.1 cada mujer es seleccionado al azar, lo que implica que ln (SALARIO), EDUC, EXPER, UNION, etc, son los resultados al azar, y el tamaño total de la muestra NT= 3580 es grande. El estimador de mínimos cuadrados, cuando se aplica a un modelo combinado, se refiere como mínimos cuadrados agrupados. Los datos para diferentes individuos se agruparon, y la ecuación se estima usando mínimos cuadrados. Para referencia en el futuro, es útil para escribir explícitamente los supuestos de error necesarios para agrupados por mínimos cuadrados para ser coherente y para la estadística F t y ser válida cuando calcula utilizando los habituales mínimos cuadrados estimaciones de la varianza y los errores estándar. Ellos son
(15,5) 15.2.1 Los errores estándar robustos a RACIMO La aplicación de mínimos cuadrados agrupados de una manera que ignora la naturaleza del panel de los datos es restrictiva en un número de maneras. La primera suposición poco realista de que tenemos en cuenta es la falta de correlación entre los errores correspondientes a la misma persona. Si, para un nivel dado de educación, la experiencia, la educación, etc, salario de la mujer es superior a la media en un año, también es probable que sea mayor que el promedio en los demás años. Visto de otro modo, si hay características individuales no observables que por necesidad están excluidos del conjunto de variables explicativas, y por lo tanto se incluyen en el término de error, a continuación, esas características se conducen a efectos similares en diferentes años para el mismo individuo. Para relajar el supuesto de correlación del error sea cero en el tiempo para la misma persona, se escribe
(15,6) Tenga en cuenta que este supuesto alternativo también relaja el supuesto de homocedasticidad porque cuando t = s, tenemos
La varianza del error puede ser diferente en diferentes períodos de tiempo, pero es constante en los individuos. Para evitar confusiones con diferente del s2 que se utilizará más adelante, hemos introducido otra letra griega psi'''' (c) para denotar las varianzas y covarianzas. Tenga en cuenta que la hipótesis (15.6) no dice nada sobre la naturaleza de la correlación intraindividual, sólo que es diferente de cero. No asume que la correlación es constante en el tiempouna suposición del modelo efectos fijos que consideramos más adelante en este capítulo. Tampoco asume los descensos de correlación como los errores se convierten en más separados en el tiempo, la hipótesis de los modelos de series de tiempo estacionarias considerados en el capítulo 9. Seguimos asumiendo que los errores para los diferentes individuos no están correlacionadas. Esta es una suposición razonable si los individuos constituyen una muestra aleatoria de alguna población. Por lo tanto, tenemos cobertura eit; ejs
¿Cuáles son las consecuencias de la utilización de los mínimos cuadrados agrupados en presencia de heterocedasticidad y correlación descrito por (15.6)? El estimador de mínimos cuadrados sigue siendo constante, pero sus errores estándar son incorrectas, lo que implica que las pruebas de hipótesis y estimaciones de intervalo basado en los errores estándar no serán válidas. Típicamente, los errores estándar será demasiado pequeña, exagerar la fiabilidad del estimador de mínimos cuadrados. Afortunadamente, hay una manera de corregir los errores estándar para reflejar la suposición más realista en (15.6). Tuvimos una situación similar en los capítulos 8 y 9. En el capítulo 8 vimos cómo se podrían utilizar los errores estándar consistentes con heteroscedasticidad de White para evaluar la fiabilidad de los mínimos cuadrados calcula en un modelo de regresión con heterocedasticidad de forma desconocida. Los Mínimos cuadrados no son eficientes en estas circunstancias, el estimador de mínimos cuadrados generalizado tiene menor varianza, pero mediante mínimos cuadrados evita la necesidad de especificar la naturaleza de la heteroscedasticidad, y el uso de mínimos cuadrados con errores estándar de White constituye una base válida para la estimación de intervalos y la hipótesis pruebas. Los errores estándar de Newey-West introducidas en el Capítulo 9 cumplían una función similar en un modelo de error por autocorrelación. Nos dieron una base válida para la inferencia por mínimos cuadrados calcula sin la necesidad de especificar la naturaleza del proceso de error autocorrelación. En semejantes errores típicos manera que son válidos para el estimador
de mínimos cuadrados agrupados bajo el supuesto de (15.6) se puede calcular. Estos errores estándar tienen varios nombres, siendo conocidos como los errores estándar robustos en panel o los errores estándar robustos clúster. Las observaciones de series temporales sobre los individuos son los clusters. La Derivación de los errores estándar robustos a racimo requiere un poco de álgebra avanzada, que se puede evitar mediante el uso de las opciones estándar en software de computadora. Sin embargo, es útil para obtener una cierta comprensión y apreciación de la forma en que se calculan. Algunos detalles se proporcionan para este propósito en el apéndice 15A. 15.2.2 ESTIMACIONES MÍNIMOS CUADRADOS agrupados DE LA ECUACIÓN DE SALARIO Las estimaciones por mínimos cuadrados agrupados de la ecuación de salarios se muestran en la Tabla 15.2 al lado de mínimos cuadrados estándar errores, t-valores y los valores de p, y los errores estándar robustos clúster correspondientes valores t y p-values.7 Mirando primero a estimaciones, nos encontramos con que hay un retorno de 7% a un año adicional de educación. Experiencia general de mercado y permanencia en el empleo tienen efectos positivos, pero decreciente en ln (SALARIO). Los salarios son 12% más bajos para los trabajadores negros, y 11% menor para los trabajadores que viven en el sur. Los miembros del sindicato gozan salarios que son 13% más altos. Estas estimaciones tienen sus usuales parciales derivados interpretación-los demás factores se mantienen constantes en cada caso.
Una comparación de los errores estándar de los mínimos cuadrados con los errores estándar robustos clúster correspondientes revela algunas diferencias dramáticas. Casi todos los errores estándar de clúster-robustos son al menos 50% más alta que sus contrapartes de mínimos cuadrados y por consiguiente tienen valores t que son al menos 50% inferior. Haciendo caso omiso de la correlación dentro de individuos significa que la fiabilidad de las estimaciones de mínimos cuadrados agrupados se ha exagerado. En este ejemplo en particular, hay poco efecto sobre las conclusiones acerca de la significación de los coeficientes estimados, debido a que los valores de p para las pruebas de hipótesis de significado son en su mayoría 0,000 (correcta con tres decimales) para ambos conjuntos de los errores estándar. Sin embargo, para los coeficientes con valores de p
superior a 0.000, hay grandes cambios en los valores de p. Que para TENURE2 cambia de 0,059 a 0,236, poniendo en duda sobre si esta variable se debe incluir en la ecuación. Permitir que para la correlación entre los errores para cada individuo es claramente importante, hay características individuales que no están completamente capturados por las variables explicativas incluidas. 15.3 El modelo de efectos fijos En la sección anterior vimos que una manera de reconocer la existencia de características individuales en un modelo de datos de panel es permitir que los errores individuales en diferentes períodos de tiempo para estar correlacionadas. Una segunda manera es relajar el supuesto de que todos los individuos tienen los mismos coeficientes. Ampliar el modelo en (15.1) en este sentido, podemos escribir
(15,7) Un subíndice i se ha agregado a cada uno de los subíndices, lo que implica que (b1, b2, b3) puede ser diferente para cada individuo. Este modelo es un modelo de datos de panel legítimo, pero no es adecuado para los paneles que son cortas y anchas. En el ejemplo de la ecuación salarial, tenemos 716 personas, y sólo cinco observaciones de series de tiempo de cada individuo. Por lo tanto, para estimar (15.7) con este conjunto de datos, estaríamos usando sólo cinco observaciones para estimar tres coeficientes para cada individuo. Las estimaciones resultantes no serían precisos, y no tienen grandes propiedades deseables de la muestra. Si (15.7) se amplía para incluir todas las variables explicativas en la ecuación de salarios, tenemos más coeficientes que las observaciones de series de tiempo, por lo que la estimación es imposible. Una simplificación popular de (15.7) de la cual estimaciones significativas se pueden obtener en paneles cortos y anchos es uno donde los interceptos B1i son diferentes para diferentes personas, pero los coeficientes de las pendiente b2 y b3 se supone que es constante para todos los individuos. En este caso, el modelo se convierte
(15,8 Se supone que todas las diferencias de comportamiento entre los individuos, conocidos como la heterogeneidad individual, para ser capturado por la intersección. Interceptos individuales se incluyen para el control para el individuo específico, características de tiempo invariantes . un modelo con estas características se llama un modelo de efectos fijos. Las intersecciones se llaman efectos fijos. Como veremos, el término a menudo '' efectos fijos'' se relaciona más con el procedimiento de estimación y para otros supuestos que hacemos de lo que hace a si las intercepciones son fijos o aleatorios. En el ejemplo de ecuación de salarios se selecciona la muestra de mujeres al azar, lo que implica que sus intersecciones son aleatorios. Sin embargo, cuando se estima en el marco de
un modelo de efectos fijos, que se tratan como no aleatoria. En algunos casos, como en modelos en los que los individuos son regiones geográficas tales como estados, y todos los estados se incluyen, las intersecciones son más claramente'' fijas''. Consideramos dos métodos para la estimación de (15.8). Estos métodos son idénticos en el sentido de que se dan las mismas estimaciones, pero difieren computacionalmente. Uno es el de estimador mínimos cuadrados por variable dummy y el otro es el estimador de efectos fijos. 15.3.1 El estimador de mínimos cuadrados por variable DUMMY PARA n PEQUEÑA Una forma de estimar el modelo (15.8) es incluir una variable de intercepción dummy (variable indicador) para cada individuo. Si el número de individuos es pequeño, esto se puede hacer por la fuerza bruta. En nuestro ejemplo, N= 716 no es pequeña. Incluyendo 716 variables indicadoras, aunque es posible, es tedioso. Por lo tanto, para ilustrar el estimador de mínimos cuadrados por variable ficticia usamos los primeros 10 individuos en el panel.dat nls_ archivo. Las observaciones de estos 10 individuos han sido almacenados en un nuevo archivo llamado nls_ panel10.dat. Empezamos definiendo 10 variables ficticias (indicador) como
Entonces (15.8) se puede escribir
(15,9) La ecuación de salarios de las mujeres con más de dos variables explicativas, pero limita esta discusión a dos x para evitar la sobrecarga de notación. Para que (15.9), en consonancia con nuestro tratamiento temprano de las variables indicadoras en el capítulo 7, nos especifique una constante y nueve variables ficticias. Cada coeficiente de variable ficticia sería igual a la diferencia entre la intersección de la persona y la intersección de la persona base para que no especificamos una variable dicotómica. La especificación de (15.9) es más conveniente para nuestra discusión actual. Sin embargo, se debe reconocer que las dos alternativas son sólo diferentes formas de ver el mismo modelo. Si los términos de error eit no están correlacionados con s2e, media cero y varianza constante para todas las observaciones-que cumplan los supuestos en (15.2) a (15.5)-el mejor estimador lineal insesgado de (15.9) es el estimador de mínimos cuadrados. En un contexto de datos de panel, se llama los estimador mínimos cuadrados por dummy. Sus grandes propiedades de la muestra necesitan una mención especial.
Puesto que N es grande y T es pequeña las grandes propiedades de la muestra pertinentes para la aproximación de las propiedades de la muestra finitas del estimador son los obtenidos para N tienden al infinito. En este sentido, el estimador de mínimos cuadrados de los coeficientes de la pendiente b2 y b3 es consistente, pero el estimador de las intersecciones no lo es. Las intercepciones no se calculan constantemente porque como N se hace más grande tenemos más intercepta, no más información sobre las intersecciones existentes, por lo que la distribución de los estimadores no colapsan a sus valores verdaderos como se requiere para mantener la coherencia. Las implicaciones de estos resultados es que las inferencias sobre b2 y b3 puede proceder con una gran justificación de la muestra, pero las inferencias sobre el b1i están condicionados a las personas seleccionadas y sus equis, y necesitan normalmente errores distribuidos con el fin de ser válidos. Los resultados de la aplicación de la estimación de los mínimos cuadrados de variable dummy en la ecuación de salarios durante los primeros 10 individuos (un total de 50 observaciones) aparecen en la Tabla 15.3. Las variables EDUC, black y del Sur han sido omitidos. ¿Por qué? En primer lugar considerar black.
Esta variable es una característica individual que no cambia con el tiempo; para cada individuo es uno o cero en todos los cinco períodos de tiempo. Dado que las variables indicadoras individuales se han incluido para capturar todas las características específicas invariantes en el tiempo, individuales, el efecto del NEGRO formará parte de cada coeficiente variable indicador y el NEGRO se vuelve redundante. Si intenta incluir el NEGRO en la regresión por mínimos cuadrados, el software o le dará un mensaje de error o desechar la variable debido a la colinealidad exacta. Colinealidad exacta se debe a la suma de todas las variables de indicadores individuales de las mujeres negras será igual a la variable NEGRO. La situación es similar para EDUC. Dado que todas las mujeres que habían completado su educación en el comienzo de la muestra, su número de años de escolaridad no va a cambiar con el
tiempo. Para cada mujer EDUC es la misma en todos los cinco años. Por lo tanto, el efecto de la EDUC también ser recogido por los coeficientes de las variables indicadoras para cada una de las mujeres. El origen de la colinealidad en este caso es EDUC =10 i 1EDUCi/ Di que EDUCi es el número de años de escolaridad de la mujer ith y Di es su correspondiente indicador variable individual. La causa de no SUR es un poco diferente. Resulta que ninguna de las primeras 10 personas en los datos nls_ panel.dat jamás había vivido en el sur, y así todos los valores de esta variable es cero. Es imposible medir los efectos de vivir en el sur cuando nadie vive en el Sur. Más tarde, cuando se incluyen todas las personas, descubrimos algunos lo hicieron en vivo en el sur, y que algunos cambiaron su lugar durante el tiempo definido por las cinco observaciones de series de tiempo. Si nadie ha cambiado su ubicación, el SUR sería similar a la EDUC y NEGRO. Su efecto individual sería recogido por los coeficientes de las variables ficticias. La variable union puede ser incluido porque los individuos 2, 3, 8 y 9 cambiaron su situación gremial durante el periodo de muestreo.
En cuanto a las estimaciones de la Tabla 15.3, encontramos que ninguno de ellos es significativamente diferente de cero en hasta un 20% de nivel de significación. Con tan sólo 10 individuos no nos ha dado suficiente información para obtener estimaciones fiables. Los interceptos individuales varían considerablemente, lo que sugiere que la asunción de diferentes interceptos para diferentes individuos podría ser apropiado. Dado que estas intercepciones tienen errores estándar relativamente grandes, es aconsejable probar formalmente si puede ser que sean todos iguales, en cuyo caso no hay heterogeneidad individual. Para ello, establecemos las siguientes hipótesis:
(15.10)
Estos N-1 = 9 hipótesis nulas conjuntas se analizarán con el estadístico de prueba F habitual. En el modelo restringido todos los parámetros de intercepción son iguales. Si llamamos a su b1 valor común, entonces el modelo restringido es el modelo combinado
Las estimaciones por mínimos cuadrados agrupados de este modelo restringido se muestran en la Tabla 15.4. Una vez más, los errores estándar son relativamente grandes, lo que indica que las estimaciones no son precisas. Para comprobar si hay efectos fijos individuales, estamos interesados en la suma de errores al cuadrado SSER = 5.502466, donde el subíndice'' R'' se utiliza para indicar este es el modelo restringido que asume H0 es cierta. La suma ilimitada de residuos al cuadrado SSEU = 2.667190 viene del modelo de variable dummy. Con estos dos valores podemos construir el estadístico F como
Si la hipótesis nula es verdadera, entonces F/(9; 35). El valor del estadístico de prueba F = 4.134 se obtiene un p-valor de 0.0011, se rechaza la hipótesis nula de que los parámetros de intercepción para todos los individuos son iguales. Llegamos a la conclusión de que existen diferencias en intersecciones individuales, y que los datos no se mezclarán en un solo modelo con un parámetro común de intercepción. 15.3.2 Los efectos fijos
La técnica de la inclusión de una variable ficticia para cada individuo es factible cuando el número de individuos es pequeño. Sin embargo, si tenemos un número muy grande de personas, este enfoque no funcionará. La Computadora típica de hoy simplemente no puede manejar esa tarea informática de forma rápida y precisa. Por suerte hay un fantástico truco que hace que la estimación del modelo de efectos fijos con un gran número de personas relativamente fáciles. Tome los datos sobre el individuo i: yit = b1i+ b2x2it + b3x3it+ eit t = 1,. . . , T (15,11) La media de los datos a través del tiempo, sumando ambos lados de la ecuación y dividiendo por T
Usando el hecho de que los parámetros no cambian con el tiempo, podemos simplificar esto como
La notación yi barra indica que hemos promediado los valores de yit con el tiempo. A continuación, restar (15.12) a partir de (15.11), término a término, para obtener
(15.13) En la última línea de (15,13): el parámetro de intercepción b1i se ha caído. Estos datos se dice que está en forma de'' desviación respecto a la media de la persona'', y si repetimos este proceso para cada individuo, entonces tenemos un modelo transformado
La notación de tilde yit = yit- yi barra indica que las variables son en la desviación de la forma media. En la Tabla 15.5 se muestran las observaciones de los tres primeros individuos para las variables y = LWAGE y x2 = exper. El promedio de la T = de 5 años de datos sobre cada individuo se calcula. Por ejemplo, el valor medio de LWAGE por primera individual (i = 1) durante el período de
cinco años fue de 1,8328. Este valor se resta de cada valor de LWAGE para un individuo. Este proceso se repite para cada variable para cada individuo. Note lo que pasaría si una de las variables era invariante en el tiempo-para cada individuo es constante en el tiempo, como EDUC y NEGRO. La desviación correspondiente de variables medio consistiría completo de ceros, y, como en el modelo de variable dummy, no puede ser incluido.
La ventaja de la transformación en (15.14) es que las estimaciones de mínimos cuadrados de los parámetros b2 y b3 de (15,14) son idénticas a las estimaciones de mínimos cuadrados del modelo de variable dummy completo que se muestra en (15.9), y que se puede obtener sin tener que incluir todas las variables ficticias. Además, los residuos de mínimos cuadrados (15,14) son los mismos que los mínimos cuadrados de los residuos (15,9) 8 Escribir el modelo de efectos fijos en términos de desviaciones de los distintos medios, como en (15.14), destaca otra característica importante del estimador de efectos fijos: las estimaciones de los coeficientes dependen sólo de la variación de las variables dependientes y explicativas dentro de los individuos. Por lo tanto, cuando se estima el efecto de la experiencia en los salarios, por ejemplo, es sólo la variación de los salarios y la experiencia en el tiempo para cada persona que contribuye a los coeficientes estimados. La variación de los salarios de diferentes personas con diferentes niveles de experiencia no juega un papel importante. 15.3.2a Efectos Fijos Las estimaciones de la ecuación salarial para N = 10 En esta sección se estima la ecuación de salarios durante los primeros 10 individuos que usan los datos en forma de desviaciones de los distintos medios y demostrar la equivalencia de los
resultados con los de los estimadores por mínimos cuadrados por variable dummy. El archivo de datos nls_ panel_devn.dat contiene observaciones sobre la LWAGE variables EXPER, EXPER2, TENENCIA, TENURE2 y UNION para los primeros 10 individuos, expresados en términos de desviaciones de medios individuales. Los estimaciones por mínimos cuadrados y errores estándar de estimación (15,14) son los que aparecen en la parte izquierda de la tabla 15.6. Observe que las estimaciones de los coeficientes b2 y b3 y la suma de errores cuadráticos son idénticos a los de la Tabla 15.3, obtenido usando el estimador de mínimos cuadrados de variables dummy. Los errores estándar son ligeramente diferentes.
Sin embargo, la diferencia se debe a que la estimación de la varianza del error utilizado por el software de mínimos cuadrados al estimar (15,14) es ~ S2E= SSE / (NT- 5) cuando lo que se requiere es S2e= SSE /(NT-N-5) . El cálculo del s2e ignora la pérdida de N = 10 grados de libertad que se produce cuando las variables son corregidos por sus medios de la muestra. El divisor correcto es NT- N- 5 = 35, que es el grado de libertad en el modelo de variable dummy, teniendo en cuenta tanto las variables ficticias y las variables explicativas. Si multiplicamos los errores estándar de estimación (15.4) por el factor de corrección
los errores estándar resultantes son idénticos a los de la Tabla 15.3. Al usar un software diseñado para llevar a cabo la estimación de efectos fijos de forma automática, ya se habrán hecho estas correcciones. En la parte derecha de la tabla 15.6 se presentan los resultados en el formato utilizado por dos paquetes de software econométrico EViews 7.0 o (Stata 11.0). Tenga en cuenta que las estimaciones de los coeficientes y los errores estándar son idénticos a los del modelo de lay variable ficticia en la Tabla 15.3. El término constante C reportado es la media de los coeficientes estimados en la sección de variables ficticias
cruzadas. Eso es donde el b1i son las estimaciones por mínimos cuadrados de los parámetros b1i en (15.9), y son los coeficientes de las variables ficticias de la Tabla 15.3. Otro software puede reportar los resultados en un formato diferente. Por lo general, se trata de que la estimación de modelos de datos de panel, estamos más interesados en los coeficientes de las variables explicativas y no los parámetros de intercepción individuales. Recordemos que los parámetros de intercepción son los coeficientes de las variables ficticias y también se llaman los efectos fijos. Aunque por lo general son de menor prioridad, estos coeficientes pueden ser recuperados con el hecho de que la regresión de mínimos cuadrados ajustada pasa a través del punto de los medios, tal como lo hizo en el modelo de regresión simple. Es decir, yi =b1i + b2x2i+ b3x3i medias donde b2 y b3 son las estimaciones obtenidas a partir de (15.14) y b1i marca las estimaciones de las constantes específicas individuales, o los efectos fijos. Dada b2 y b3, podemos calcular los efectos fijos b1i = yi- b2x2i- b3x3i medias i = 1,. . . , N (15,15) Paquetes de programas econométricos usualmente hacen posible recuperar estas estimaciones. 15.3.3 EFECTOS FIJOS ESTIMACIONES DE LA ECUACIÓN DE SALARIOS DE PANEL COMPLETO Las estimaciones de los cuadros 15.3, 15.4 y 15.6 se incluyen únicamente con fines ilustrativos. Muestras de datos de panel son mucho más grandes que el N = 10 y T = 5. La necesidad de un número mayor de muestras se hizo evidente a partir de los grandes errores estándar y la imposibilidad de encontrar los coeficientes estimados que fueron significativamente diferentes de cero. En esta sección podemos mejorar la precisión de la estimación utilizando la muestra completa de N = 716 personas. También se considera en esta sección es una relajación de la suposición de que los errores eit no están correlacionados con el tiempo para cada individuo. Al considerar el modelo de agrupación en la Sección 15.2, argumentamos que las características individuales no observables captados por el término de error es probable que conduzcan a efectos similares en los diferentes años de la misma persona. Esto implica que los errores de cada individuo están correlacionados, un supuesto que escribimos como cov (eit; eis) ð + = psi. Bajo este supuesto, los errores estándar por mínimos cuadrados no son válidos y los errores de clúster robustos estándar deben ser utilizados. En el modelo de efectos fijos, invariables en el tiempo, las características individuales se incluyen en los efectos fijos, y los valores distintos de cero para así psi ts (t diferente de s) son menos probables. Sin embargo, las correlaciones de error dentro de-individuales todavía pueden permanecer, en cuyo caso los errores estándar robustos deben ser utilizados en conjunción con el estimador de efectos fijos. En el ejemplo ilustrativo con n = 10 individuos que supone que todas las economías en transición se correlacionado-los supuestos en (15.2) a (15.5). Para el N = 716 individuos considerados en esta sección dos tipos de errores estándar se calculan, aquellos que asumen eit completamente correlacionados y racimo errores estándar robustos para permitir la posibilidad de que eit y eis están correlacionados.
Las estimaciones y los dos conjuntos de errores, valores t estándar y valores de p se muestran en la Tabla 15.7. Debido a que algunos individuos de la muestra de N = 716 se trasladaron hacia o desde el Sur durante el período de la muestra, lo que es ahora posible incluir SOUTH como una variable. Las variables EDUC y NEGRO siguen omitido porque son exactamente alineados con las variables ficticias implícitas. Una pregunta relevante que debemos hacernos es: ¿Qué impacto tiene como efectos fijos para permitir heterogeneidad individual tengan en las estimaciones de los coeficientes? ¿Cómo funcionan los efectos estimados sobre los salarios de más experiencia, mayor antigüedad, que viven en el sur, y la pertenencia a un cambio de la unión? La respuesta a esta pregunta viene dada por la comparación de los mínimos cuadrados agrupados estimados en la Tabla 15.2 con los de la Tabla 15.7. Lo que descubrimos es que ignorar la heterogeneidad individual conduce a estimaciones de los coeficientes que son mucho más grandes en valor absoluto. Para el Sur y UNION, esto significa que su efecto sobre los salarios se ha exagerado groseramente cuando se omiten los efectos fijos. Es menos claro cómo porque los términos lineales y cuadráticas se incluyen los efectos estimados de la experiencia y el cambio de la tenencia para estas variables. Tabla 15.8 contiene una comparación de los dos conjuntos de estimaciones de la variación porcentual de los salarios atribuibles a los cambios en cada una de las variables. Por experiencia y la tenencia de las variaciones porcentuales son evaluados en la muestra aproximada significa EXPER = y 12 = TENENCIA 7. Hay algunas diferencias grandes. La ventaja salarial de ser miembro de un sindicato se ha reducido a la mitad, del 13% al 6,4%. El efecto negativo de estar en el Sur se ha reducido del 10,6% al 1,6%. El efecto marginal de la experiencia es algo mayor si se incluyen los efectos fijos, pero que por la disminución de tenencia de 0.82% a 0.14%.
Volviendo ahora a los errores, los valores t estándar y valores de p, encontramos que las inferencias acerca de qué variables son relevantes también pueden ser sensibles a si se incluyen los efectos fijos. A partir de los resultados en la Tabla 15.2, había dudas acerca de que si TENURE2 debe ser incluido. Los resultados de la Tabla 15.7 indican que EXPER2 y del Sur son posibles exclusiones. Una comparación de los mínimos cuadrados de los errores estándar con los errores estándar de clúster-robustos en la Tabla 15.7 sugiere que algún tipo de correlación de error dentro de individuos todavía permanece después de incluir los efectos fijos. Las diferencias no son tan grandes como lo fueron en la Tabla 15.2, pero haciendo caso omiso de la correlación da lugar a errores estándar más pequeños, lo que sugiere que estos errores estándar exageran la precisión de la estimación. 15.4 El modelo de efectos aleatorios En el modelo de efectos fijos (15.8) se asumió que todas las diferencias individuales fueron capturados por las diferencias en el parámetro de intercepción. El intercepto b1i fue considerado parámetro '' fijos'' que podríamos estimar directamente utilizando el estimador de mínimos cuadrados. En el modelo de efectos aleatorios volvemos a suponer que todas las diferencias individuales son capturados por los parámetros de intercepción, pero también reconocemos que fueron seleccionados al azar de los individuos de la muestra, por lo que tratamos las diferencias individuales como aleatorio en lugar de fijo, como lo hicimos en los modelo de variable dummy efectos fijos. Las diferencias individuales al azar pueden ser incluidos en nuestro m odelo mediante la especificación de los parametros de intersección b1i a consistir en una parte fija que representa el promedio de la población, b1, y las diferencias individuales al azar a partir de la media de la población, la interfaz de usuario. En forma de ecuación de este desglose es b1i = b1media + ui (15.16) La diferencia aleatoria ui individual, que se llaman efectos aleatorios, son análogos a los términos de error al azar, y hacer que los supuestos habituales acerca de ellos, es decir, que tienen media cero, no están correlacionados entre los individuos, y tienen un S2U varianza constante, por lo que
Si sustituimos (15.16) en (15.8) obtenemos
1 5.18 En esta expresión b1 es un parámetro de la población fija y ui es un efecto aleatorio. Podemos reorganizar (15.18) para que se parezca a una ecuación de regresión familiar
(15.19) donde ahora b1 es el parámetro de intercepto y el término de error vit se compone de un componente de interfaz de usuario que representa un efecto individuo al azar y el componente eit que es el habitual error aleatorio de regresión. El error es combinado vit = ui+ eit (15.20) Porque el error de la regresión de efectos aleatorios en (15.20) tiene dos componentes, uno para el individuo y otro para la regresión, el modelo de efectos aleatorios es a menudo llamado un modelo de componentes de error. 15.4.1 SUPUESTOS del término del error Las suposiciones que hacemos para eit son los que figuran en (15.2) a (15.6), es decir, que el eit tiene media cero y varianza constante s2e y no están correlacionados con el tiempo y los individuos para que cov (eit; ejs)= 0 para = i diferente de j o t diferente de s. También se supone que son correlacionados con las variables explicativas para que cov( eit, x2it) = 0 y cov( eit; x3it) = 0. Además, suponemos que los efectos individuales ui no están correlacionados con el error de regresión eit, por lo que cov(ui; eit) = 0, y no correlacionados con las variables explicativas, para que cov (ui; x2it ) = 0 y cov (ui; x3it)= 0. Usando de estas suposiciones sobre ui y eit, podemos derivar las propiedades del término de error combinado vit= ui+ eit. Cuenta con media cero E(vit) = E (ui + eit) = E (ui)+E( eit) = 0+ 0 =0 y una constante, homocedástico, variación:
(15.21) Hasta ahora, estas propiedades de error son los de siempre. Las diferencias aparecen cuando tenemos en cuenta las correlaciones entre los términos de error vit. Hay varias correlaciones que se pueden considerar.
1. La correlación entre dos individuos, i y j, en el mismo punto en el tiempo, t. La covarianza para este caso está dada por
= 0+0 +0 + 0= 2. La correlación entre los errores en el mismo individuo (i) en diferentes puntos en el tiempo, t y s. La covarianza para este caso está dada por
= S2U+0 + 0+ 0 = S2U (15.22) 3. La correlación entre los errores para diferentes personas en diferentes períodos de tiempo. La covarianza para este caso es
= 0+0 +0 + 0+ 0=0 Lo que hemos demostrado es que los errores vit = ui + eit están correlacionados con el tiempo para un individuo dado, pero no están correlacionados ,al contrario. Este es el tipo de relación que permite al utilizar los errores estándar robustos clúster. La correlación es causada por el componente de interfaz de usuario que es común a todos los períodos de tiempo. Es constante en el tiempo y, en contraste con el (1) modelo de error AR [Capítulo 9.5.2a], que no decline como las observaciones quedan más separados en el tiempo. Lo administra
La correlación es igual a la proporción de la variación en el error total término vit que es atribuible a la varianza de la interfaz de usuario de componente individual. En términos de la notación introducida para explicar los supuestos que motivan el uso de errores estándar robustos clustervar (vit) = psi tt = s2u+ s2e y cov( vit; vis) = psi ts S2U t 6 = s La estructura de la varianza y la correlación del modelo de efectos aleatorios es un caso especial de los supuestos utilizados en los errores de clúster robustos, donde tanto el varianza fi y la covarianza psi son constantes en el tiempo.
Es conveniente hacer un resumen de los supuestos errores plazo del modelo de efectos aleatorios de la siguiente manera:
15.4.2 PRUEBAS PARA EFECTOS ALEATORIOS La magnitud de la correlación r en (15,23) es una característica importante del modelo de efectos aleatorios. Si ui = 0 para todas las personas, entonces no hay diferencias individuales y no para dar cuenta de la heterogeneidad. En tal caso, el modelo de regresión lineal agrupado (15.1) es apropiado, y no hay necesidad de ya sea un modelo de efectos fijo o un modelo de efectos aleatorios. Estamos suponiendo que el componente de error ui tiene cero expectativas, E (ui ) = 0. Si, además, la interfaz de usuario tiene una varianza igual a cero, entonces se dice que es una variable aleatoria degenerada, que es una constante con un valor igual a cero. En este caso, si S2U = 0, entonces la correlación r = 0, y no hay heterogeneidad individual presente al azar en los datos. Podemos detectar la presencia de heterogeneidad mediante pruebas de la hipótesis nula H0: S2U = 0 contra la hipótesis alternativa H1: S2U> 0. Si se rechaza la hipótesis nula, entonces se concluye que existen diferencias individuales entre los miembros de la muestra, y que el modelo de efectos aleatorios es adecuado. Por otro lado, si no somos capaces de rechazar la hipótesis nula, entonces no tenemos ninguna evidencia para concluir que los efectos aleatorios estén presentes. El principio del multiplicador de Lagrange (LM) para la construcción de prueba es muy conveniente en este caso, porque las pruebas LM requieren estimación de sólo el modelo restringido que asume que la hipótesis nula es verdadera. Si la hipótesis nula es verdadera, entonces ui = 0 y el modelo de efectos aleatorios en (15.19) se reduce a yit = b1 media + b2x2it + + b3x3it+ eit El mejor estimador de este modelo es el estimador de mínimos cuadrados. La prueba estadística está basada en los mínimos cuadrados residuales Eit = yit- b1- b2x2it- b3x3it
El estadístico de prueba para paneles balanceados es
(15.30) El numerador del primer término entre llaves se diferencia del denominador, ya que contiene términos como 2ei1 ei2 + 2 ei1 ei3 + 2ei2 ei3 +... cuya suma no será significativamente diferente de cero si no existe una correlación en el tiempo para cada individuo, y se refleja una correlación positiva si es que existe. Si la suma de los términos de productos cruzados no es significativa, el primer término entre llaves no es significativamente diferente de uno, y el término entre llaves no es significativamente diferente de cero. Si la suma de los términos de productos cruzados es significativo, a continuación, el primer término en las llaves será significativamente mayor que uno, y LM será positivo. Si la hipótesis nula H0: S2U= de 0 es verdadera, es decir, no hay efectos aleatorios, entonces LM tiende a N(0; 1) en muestras grandes. Por lo tanto, rechazamos H0 a un nivel de significación y aceptar la alternativa H1: S2U> 0 si LM> z(1- alpha), donde z es el 100 (1-a) percentil de la distribución normal estándar [N (0, 1)]. Este valor crítico es 1.645 si a = de 0,05 y 2,326, si un a = de 0,01. Al rechazar la hipótesis nula nos lleva a concluir que los efectos aleatorios están presentes. 15.4.3 Estimación del modelo de efectos aleatorios El modelo de efectos aleatorios (15.19) tiene errores con expectativa cero y una varianza constante s2v= S2U+ s2e. El factor de complicación es un tipo especial de serie de correlación-los errores de cada unidad de corte transversal son inter correlacionadas con una correlación p = S2U/(s2U+ s2e). Bajo estos supuestos, el estimador de mínimos cuadrados es insesgado y consistente, pero no de mínima varianza. También, los habituales errores estándar son correctos, pero pueden ser corregidos'''' utilizando errores estándar clúster-robustos. El estimador de mínima varianza para el modelo de efectos aleatorios es de unos mínimos cuadrados generalizados (GLS) estimador desarrollado expresamente para los supuestos de (15,24) (15,29). Como fue el caso cuando tuvimos heterocedasticidad o autocorrelación, se puede obtener el estimador de mínimos cuadrados generalizados en el modelo de efectos aleatorios, aplicando mínimos cuadrados a un modelo transformado. El modelo es tr ansformado a
que (15.31) donde las variables son transformadas
Las variables yi, X2i y x3i son los medias individuales definidos en (15.12). El término de error transformada es vit= vit/ avi. El parámetro clave una transformación se define como
Se puede demostrar que la vit tiene varianza constante s2e y no están correlacionados. La prueba es larga y tediosa, por lo que no va a causar sobre usted.11 Debido a que el parámetro de transformación una depende de la varianzas desconocidas S2E y S2U, estas variaciones deben ser estimadas antes de los mínimos cuadrados y se pueden aplicar a (15.31). Algunos detalles de cómo las estimaciones s2e y S2U se obtienen se pueden encontrar en el Apéndice 15B. Entonces, los mínimos cuadrados se aplica a (15.31) con s2e y S2U reemplazados por s2e y s2u pronosticados. A partir de (15.32), podemos ver que cuando a= 1, el estimador de efectos aleatorios es idéntica a la del estimador de efectos fijos. Para a<1, se puede demostrar que el estimador de efectos aleatorios es una'''' media matriz ponderada del estimador de efectos fijos que utiliza sólo dentro de la variación individual y un'' entre estimador'' que utiliza la variación entre los individuos. Supongamos que estamos interesados en los coeficientes que muestran el efecto de la experiencia sobre los salarios. En contraste con el estimador de efectos fijos, el estimador de efectos aleatorios utiliza tanto la variación en la experiencia y los salarios en el tiempo para cada individuo, y la variación de los salarios para las personas con diferentes niveles de experiencia. 15.4.4 Efectos aleatorios ESTIMACIÓN DE LA ECUACIÓN DE SALARIO Debido a que las mujeres de nuestro panel de datos microeconómicos fueron seleccionados al azar de una población más grande, parece sensato tratar las diferencias individuales entre las 716 mujeres como efectos aleatorios. Recordemos que la ecuación de salarios tiene ln variable dependiente (SALARIO) y las variables explicativas años de educación (EDUC), la experiencia total de la fuerza laboral (EXPER) y su plaza, la tenencia en el empleo actual (TENENCIA) y su plaza, y las variables ficticias negro, República de y UNION. Antes de llevar a cabo la estimación de efectos aleatorios, ponemos a prueba para detectar la presencia de efectos aleatorios usando la estadística de prueba LM de (15,30). El valor de la estadística de prueba es LM = 62.1, que por supuesto es muy superior a un valor crítico de la (0,1) distribución N para cualquier nivel de significación razonable. Llegamos a la conclusión de que existe una fuerte evidencia de la heterogeneidad individual. Las estimaciones de efectos aleatorios se dan en la Tabla 15.9. Debido a que el estimador de efectos aleatorios utiliza tanto entre como dentro de la variación individual, estamos en
condiciones de estimar los efectos de años de educación y carrera en ln (SALARIO). El problema de colinealidad exacta entre estas variables y las variables ficticias individuales ya no existe. estimamos que el retorno a la educación es de aproximadamente 7,3%, y que los negros tienen salarios un 12% inferiores a los blancos, todo lo demás mantiene constante. Estos efectos no son estimables usando el enfoque de efectos fijos que sólo se utiliza dentro de la variación individual. Vivir en el sur conduce a salarios de aproximadamente 8% más baja, y la afiliación sindical conduce a salarios de aproximadamente 8% más, todo lo demás se mantiene constante.
Dos conjuntos de errores, valores estándar t y valores de p se presentan en la Tabla 15.9-los que utilizan errores estándar GLS calculados con arreglo a los supuestos efectos aleatorios en (15.24) (15.29), y los que utilizan los errores de clúster estándar robustos que relajan los supuestos acerca de var vit y cov (vit; vis). Cuando usamos errores estándar robustos a racimo, en relación con los mínimos cuadrados agrupados o de estimación de efectos fijos, estamos sustituyendo los supuestos var (eit) =s2e y el cov (eit; eis) = 0 para t diferente de s con los supuestos más generales var (vit) = psi tt y cov( eit; eis) = psi ts de t diferente de s. Estamos permitiendo que la posible existencia de heterocedasticidad y correlación estructura menos restrictiva. El estimador de efectos aleatorios ya no será de mínima varianza bajo esta estructura menos restrictiva, pero los errores estándar robustos de clúster será válida. Una comparación de los dos conjuntos de los errores estándar de la Tabla 15.9 no revela ningún gran diferencia. Con la excepción de que para NEGRO, los errores estándar de clúster-robustos son ligeramente más grandes. Inferencias similares se pueden hacer sobre los coeficientes con la posible excepción de que por TENURE2, que ya no sería significativamente distinto de cero utilizando una prueba de dos colas y un nivel de significación del 5%. Como nota final, las estimaciones de los componentes de error (sus desviaciones estándar) son sigma u = 0:3290 y sigma e=0:1951. La correlación estimada en (15.23) es p = 0:74. Por lo tanto
una gran fracción de la varianza del error total es atribuible a la heterogeneidad individual. La estimación del parámetro de transformación alpha es
El uso de este valor para transformar los datos como en (15.32), a continuación, la aplicación de mínimos cuadrados para el modelo de regresión transformado en (15,31), produce las estimaciones de efectos aleatorios. 15.5 Comparando estimadores de efectos fijos y aleatorios Tenemos dos conjuntos de estimaciones para la ecuación de salarios sobre la base de los datos de NLS. Naturalmente, nos gustaría saber cuál usar y reportar en el informe de investigación. Si los efectos aleatorios están presentes, por lo que S2U> 0, y los supuestos en (15,24) - (15,29) se sostienen, entonces se prefiere el estimador de efectos aleatorios por varias razones. En primer lugar, el estimador de efectos aleatorios tiene en cuenta el proceso de muestreo aleatorio por el cual se obtuvieron los datos. En segundo lugar, el estimador de efectos aleatorios nos permite estimar los efectos de las variables que son individualmente invariante en el tiempo, como la raza o el género, y en los datos de NLS, los años de educación. En tercer lugar, el estimador de efectos aleatorios es un procedimiento de estimación de mínimos cuadrados generalizados, y el estimador de efectos fijos es un estimador de mínimos cuadrados. En muestras grandes, el estimador GLS tiene una varianza menor que el estimador de mínimos cuadrados. La mayor precisión del estimador de efectos aleatorios y su capacidad de estimar los efectos de las variables invariante en el tiempo están relacionados. Como se señaló anteriormente, para estimar los efectos de las variables explicativas sobre y, el estimador de efectos fijos sólo utiliza la información de la variación en las x e y en el tiempo, para cada individuo. No utiliza información sobre como los cambios en y entre diferentes individuos podría ser atribuible a los valores de x diferentes para las personas. Estas diferencias no son recogidos por el estimador de efectos fijos. En contraste, el estimador de efectos aleatorios utiliza ambas fuentes de información. 15.5.1 ENDOGENEIDAD EN EL modelo de efectos aleatorios Sin embargo, hay un problema potencial cuando se utiliza efectos aleatorios estimación, que tiene una suposición crítica que a menudo se violó. Si el error aleatorio vit = ui +eit se correlaciona con ninguna de las variables explicativas de la derecha del lado de un modelo de efectos aleatorios, entonces los estimadores por mínimos cuadrados y GLS de los parámetros son sesgados e inconsistentes. El problema de regresores endógenos se consideró primero en un contexto general en el capítulo 10, donde se consideró el problema general de la utilización de análisis de regresión cuando las variables explicativas son aleatorios. El problema surgió de nuevo en el capítulo 11, cuando consideramos los modelos de ecuaciones simultáneas. El problema es común en los modelos de efectos aleatorios, debido a que el componente de error específico individual bien puede ser correlacionada con algunas de las variables explicativas. En el ejemplo de ecuación de
salarios NLS hemos considerado en el apartado anterior, piense en las características individuales que son capturados por el componente de error ui. Una persona de la capacidad, laboriosidad y perseverancia son las variables no incluidas explícitamente en la ecuación de salarios, por lo que estos factores se incluyen en ui. Estas características pueden también ser correlacionados con años de una mujer de educación completados y su anterior experiencia en el mercado de trabajo y la permanencia en el empleo. Si este es el caso, entonces el estimador de efectos aleatorios es inconsistente, sino que va a atribuir los efectos de la componente de error de los factores explicativos incluidos. El supuesto cov (ui; x2it9) = 0, cov(ui; x3it) = 0 dada en (15.29) se violó. Otro ejemplo puede ayudar a reforzar la idea. Vamos a considerar el problema de la estimación de una función de coste para la producción de una salida determinada. Supongamos que tenemos un grupo de datos que consta de las observaciones de series temporales en los resultados, los costos, y las aportaciones de diversos centros de producción repartidos por todo el país. Cada planta cuenta con un gerente o equipo de gestión, cuya calidad no siempre es directamente medible. Si se estima una función de costos, con un costo por unidad de la variable dependiente, y los insumos (mano de obra, materiales, energía, etc) como variables explicativas, entonces es muy posible que las cualidades gerenciales no medidas, contenidas en el interfaz de usuario, se correlacionan con las variables explicativas. Más eficiente, mejores administradores pueden usar menos insumos para producir el mismo nivel de producción. Esta correlación hará que el estimador de efectos aleatorios es incompatible. 15.5.2 El estimador de efectos fijos EN UN MODELO DE EFECTOS aleatorios En el contexto de datos de panel existe una alternativa simple a los efectos aleatorios que es consistente en la presencia de una correlación entre la interfaz de usuario de componente de error aleatorio y cualquiera de las variables explicativas x kit. El estimador de efectos fijos es constante, incluso en la presencia de dicha correlación. Para ver por qué, volvamos a la derivación del estimador de efectos fijos en la Sección 15.3.2. La regresión de datos de panel (15,19), incluyendo la interfaz de usuario de componente de error, es yit = b1 media + b2x2it+ b3x3it + (ui +eit) (15.34) El primer paso en la estimación de efectos fijos es promediar las observaciones del panel para cada individuo con el tiempo,
(15.35) Restando (15.35) a partir de (15.34), término a término, tenemos
(15.36) que es exactamente el mismo resultado que en (15,13). La transformación de efectos fijos, poniendo los datos en la desviación de la forma de media, elimina el efecto aleatorio, así como cualesquiera otros factores invariantes en el tiempo. El estimador de mínimos cuadrados (15,14) es coherente, convergente con los valores auténticos como N/ 1, si los efectos aleatorios ui se correlaciona con las variables explicativas o no. En este sentido, siempre es seguro de usar el estimador de efectos fijos para estimar los modelos de datos de panel. 15.5.3 Un test de Hausman Para comprobar si hay alguna correlación entre el componente de error ui y los regresores en un modelo de efectos aleatorios, se puede utilizar una prueba de Hausman. Esta prueba compara las estimaciones de los coeficientes del modelo de efectos aleatorios a los del modelo de efectos fijos. La idea que subyace en la prueba de Hausman es que tanto los efectos aleatorios y efectos fijos estimadores son consistentes si no hay correlación entre la ui y las variables explicativas x kit. Si ambos estimadores son consistentes, entonces deben converger al parámetro verdadero valor bk en muestras grandes. Es decir, en muestras grandes, los efectos aleatorios y estimaciones de efectos fijos deben ser similares. Por otra parte, si ui está correlacionado con cualquier xkit, el estimador de efectos aleatorios es inconsistente, mientras que el estimador de efectos fijos se mantiene constante. Por lo tanto, en muestras grandes los efectos fijos estimador converge a los valores de los parámetros reales, pero los efectos aleatorios converge estimador a otro valor que no es el valor de los verdaderos parámetros. En este caso, esperamos que las diferencias entre las estimaciones de efectos fijos y aleatorios. Examinar los efectos fijos y de las estimaciones de efectos aleatorios en los cuadros 15.7 y el cuadro 15.9. Recordemos que el estimador de efectos fijos no puede estimar los coeficientes de las variables invariantes en el tiempo como NEGRO y, en el NLS datos, EDUC. A excepción de los coeficientes de SUR, las estimaciones no parecen muy diferentes, pero como hemos aprendido muchas veces, la inspección ocasional de los valores no es una referencia estadística. La prueba de Hausman, en este contexto se puede llevar a cabo para los coeficientes específicos, usando un ttest, o conjuntamente, utilizando un F-test o prueba de chi-cuadrado. Consideremos el t-test primero. Deje que el parámetro de interés sea bk; denotan los efectos fijos estiman como BFE, k y los efectos aleatorios estiman como BRE, k. A continuación, el estadístico t para la prueba de que no hay diferencia entre los estimadores es
(15.37) En este estadístico t es importante que el denominador es la varianza estimada del estimador de efectos fijos menos la varianza estimada del estimador de efectos aleatorios. La razón es que bajo la hipótesis nula de que ui no está correlacionado con cualquiera de las variables explicativas, el estimador de efectos aleatorios tendrá una varianza menor que el estimador de efectos fijos, al menos en grandes muestras. En consecuencia, esperamos encontrar bvar (BFE); Bvar (BRE); k> 0, la cual es necesario para una prueba válida. Una segunda característica interesante de esta estadística de prueba es que
El resultado inesperado en la última línea se debe a Hausman demostró que en este caso particular
Vamos a aplicar la prueba t de los coeficientes de SUR en los cuadros 15.7 y 15.9. Uso de los errores (que no sólida) estándar convencionales, el valor estadístico del ensayo es
Con el 5% de gran valor crítico muestra estándar de 1,96, rechazamos la hipótesis de que los estimadores producen resultados idénticos. Nuestra conclusión es que el estimador de efectos aleatorios es inconsistente, y que debemos utilizar el estimador de efectos fijos, o debería tratar de mejorar la especificación del modelo. La hipótesis nula se rechazó por cualquier razón que hace que los dos conjuntos de estimaciones difieren, incluyendo un modelo mal especificado. Puede haber no linealidades en la relación no hemos capturadas con nuestro modelo, y otras variables explicativas pueden ser relevantes. El valor de p de la prueba es de 0.021. Por lo tanto, si hubiéramos elegido el nivel de 1% de significación, no habríamos rechazado la hipótesis nula. Más comúnmente, la prueba de Hausman está automatizado por paquetes de software para contrastar el conjunto completo de estimaciones comunes. Es decir, llevamos a cabo una prueba de una hipótesis conjunta comparar todos los coeficientes en la Tabla 15.7, excepto el intercepto, a las estimaciones en la tabla 15.9. Si no existe una correlación entre componente de error ui y los valores de x kit, a continuación, las seis variables comunes a las dos tablas (EXPER, EXPER2, TENENCIA, TENURE2, sur y UNION) tendrán coeficientes estimados con magnitudes similares.
La prueba de Hausman comprueba conjuntamente lo cerca que las diferencias entre los pares de coeficientes son a cero. El valor calculado del estadístico chi-cuadrado es de 20,73. Estamos comparando los valores de los seis coeficientes, y el estadístico de prueba tiene una distribución asintótica chi-cuadrado con seis grados de libertad. El valor crítico del 5% para esta distribución es 12.592, y el 1% valor crítico es 16.812. Sobre la base de la prueba de conjunto, se rechaza la hipótesis nula de que la diferencia entre los estimadores es cero, incluso al nivel del 1% de significancia. De nuevo, esto implica que debemos utilizar el estimador de efectos fijos, en este caso, o volver a la especificación de nuestro modelo. La forma de la prueba de Hausman en (15.37) y su equivalente ji 2 no son válidas para los errores estándar clúster robustos, ya que bajo estos supuestos de carácter más general, ya no es cierto
15.7 Conjuntos de ecuaciones de regresión Hasta ahora, en este capítulo, hemos considerado los métodos de estimación de mo delos de datos de panel cuando el panel es corta y ancha: N es grande y T es pequeño. ahora tomaremos a un modelo de estimación y procedimientos para un panel que es largo y estrecho: T es grande en relación con N. Si el número de observaciones de series de tiempo es suficientemente grande, y N es pequeño, se puede estimar ecuaciones separadas para cada individuo. Estas ecuaciones separadas se pueden especificar como yit = + b1i+ b2ix2it + + b3ix3it+ eit (15.40) El subíndice i en medio de la b que pueden ser diferentes para cada individuo. Por lo tanto, este modelo se puede utilizar para representar a N diferentes ecuaciones, una para cada individuo. Hay T observaciones sobre cada una de las N ecuaciones. Para el panel de corto y ancho considerado en las secciones anteriores, T no era suficientemente grande para estimar ecuaciones separadas para cada individuo. Asumimos b2i = b2 y b3 b3i =; los coeficientes de pendiente fueron los mismos para todas las personas, pero la intercepción b1i se dejó variar. 15.7.1 DATOS DE LA INVERSIÓN Grunfeld El ejemplo que utilizamos para esta sección es un viejo pero muy famoso. Los factores que afectan el comportamiento de la inversión de las empresas se estudió por Grunfeld 15 utilizando un panel de datos. Su ejemplo y datos, que se refieren sólo a la literatura como'' los datos Grunfeld,'' se han utilizado muchas veces para ilustrar los temas relacionados con datos de panel de modelado. La demanda de inversión es la compra de bienes duraderos de los hogares y las empresas. En términos de gasto total, el gasto de inversión es el componente volátil. Por lo tanto, entender lo que determina la inversión es crucial para entender el origen de las fluctuaciones de la demanda agregada. Además, la inversión fija neta de una empresa, que es el flujo de adiciones al capital
social o los reemplazos para el capital gastado, es importante porque determina el valor futuro del capital y por lo tanto afecta a la productividad del trabajo futuro y la oferta agregada. Hay varias teorías interesantes y elaborados que tratan de describir los factores determinantes del proceso de inversión para la empresa. La mayoría de estas teorías se desarrollan a la conclusión de que las oportunidades de beneficios percibidos (beneficios esperados o valor presente descontado de los futuros ingresos) y stock de capital deseado son dos importantes factores determinantes de la inversión empresarial fija de la empresa. Desafortunadamente, ninguna de estas variables son directamente observables. Por lo tanto, en la formulación de nuestro modelo económico, usamos proxis observables para estas variables en su lugar. En cuanto a los beneficios esperados, una alternativa consiste en identificar el valor presente descontado de los ingresos futuros como el valor de mercado de los valores de la empresa. El precio de las acciones de una empresa representa y contiene información sobre estos beneficios esperados. En consecuencia, el valor bursátil de la empresa a principios de año, que se denota por la empresa i en el período t como Vit, puede utilizarse como un indicador de los beneficios esperados. En términos de capital social se desea que las expectativas jueguen un papel definitivo. Para detectar estos efectos de expectativas, una posibilidad es utilizar un modelo que reconoce que el capital real en cualquier período es la suma de un gran número de los últimos stocks de capital deseados. Por lo tanto, se utiliza el principio del capital social actual por año, indicado para la empresa Iit como Kit, como sustituto de stock de capital deseado permanente. Centrándose en estas variables explicativas, un modelo económico para la descripción de la inversión bruta en firme para la empresa i en el período t-ésimo, denotado invit, puede expresarse como Invit = f (ViT; Kit) (15.41) Nuestra preocupación es cómo podemos tener este modelo económico general y especificar un modelo econométrico que represente adecuadamente a un panel de datos del mundo real. Los datos (ver grunfeld11.dat) consisten en T = 20 años de datos (1935-1954) para el N = 11 grandes firmas. Para efectos expositivos consideraremos sólo dos empresas en este punto, General Electric y Westinghouse, y vamos a especificar el indicador transversal i como GE o WE. Estas dos empresas son similares en la gama de productos que ofrecen, que incluye todo, desde electrodomésticos a las bombillas. Sus observaciones se almacenan en el archivo de grunfeld2.dat. De acuerdo con (15.40) y (15.41), especificamos las siguientes dos ecuaciones para General Electric y Westinghouse.
(15.42) Tendremos en cuenta diversas formas de estimar estas dos ecuaciones de inversión. La elección del estimador depende de lo que hacemos suposiciones acerca de los coeficientes y los términos de error. Específicamente, 1. Son los coeficientes de GE iguales a los coeficientes WE? 2. ¿Es la ecuación errores EGE; ty WE E; t tienen la misma varianza? 3. Son los errores EGE ecuación: t y EWE, t correlacionado?
15.7.2 Estimación: coeficientes iguales, varianzas error iguales La suposición de que ambas empresas tienen los mismos coeficientes y las mismas varianzas de error se puede escribir como b1; GE = b1, b2 WE; b2ge, b3 WEGE = b3WE s2GE= s2WE (15.43) donde var EGE; t= s2GE y var ge; t= s2 Nos indican las dos varianzas de error. Si, además, asumimos los errores no están correlacionados, tanto en el tiempo para cada empresa y entre empresas, los mínimos cuadrados agrupados como se discute en la Sección 15.2 es una técnica de estimación adecuada. No se hace distinción entre las observaciones de las dos empresas. Las estimaciones por mínimos cuadrados agrupados, errores típicos, y t-y p-valores se dan en la Tabla 15.11. Los coeficientes de V y K tienen los signos esperados y, en el supuesto de igualdad de las diferencias y los errores no correlacionados, son significativamente diferentes de cero a un nivel de 5% de significancia. Los errores estándar son las mismas. Diremos más acerca de las varianzas de error de racimo poco, haciendo notar en este punto que los errores estándar de clúster-sólidas descritos en la Sección 15.2 no son adecuados en este caso en el que N es pequeño.
15.7.3 Estimación: COEFICIENTES DE DIFERENTES, varianzas error iguales Si relajamos el supuesto de que ambas empresas tienen los mismos coeficientes, pero retienen el supuesto de que las varianzas de error son el mismo, a continuación, las dos ecuaciones en (15,42) se pueden combinar con el indicador (ficticio) formato de la variable se describe en las Secciones 7.1.2 y 7.2.3. Deje Di ser un indicador variable igual a uno para las observaciones Westinghouse y cero para las observaciones de General Electric. Especifique un modelo con pendiente y variables indicadoras de intercepción, (15.44) La ecuación (15.44) representa un conjunto agrupado de 40 observaciones, y como hemos visto en la Sección 7.2.3, es sólo otra manera de escribir (15.42) donde b1; we = b1; GE + d1, B2, we = b2; GE + d2, y b3, we = b3; GE + d3. Las estimaciones de mínimos cuadrados a partir de (15.44) será el mismo que el de mínimos cuadrados estimaciones obtenidas mediante la estimación de las dos ecuaciones (15.42) por separado, aunque, como veremos, los errores estándar serán diferentes. En la Tabla 15.12 se reporta las estimaciones del modelo de variables ficticias. Los valores pequeños t y grandes valores de p de los coeficientes de D, D V D y K indican que la hipótesis nula H0: d1, d2 0 = = 0; d3 = 0 no puede ser rechazada, en cuyo caso no tienen evidencia para sugerir que los coeficientes de General Electric difieren de las de Westinghouse. Sin embargo, como descubrimos en el capítulo 6, esta hipótesis debe ser probada mediante un conjunto F-test en lugar de separada pruebas t. Para ello contamos con SSER = 16563:00 de la Tabla 15.11, SSEU = 14989:82 de la Tabla 15.12, y, mediante la prueba de Chow se describe en el capítulo 7,
donde NT- N-K es el número total de grados de libertad en el modelo sin restricciones. El valor de p para una distribución f critica de 3, 48 es 0.328, lo que implica que la hipótesis nula de coeficientes iguales no puede ser rechazada. PALABRA de advertencia está en orden en este punto. Cualquier pruebas F y t realizaron con los resultados en la Tabla 15.12 sólo son válidos si las varianzas de error de las dos ecuaciones son las mismas y los errores no están correlacionados con el tiempo y en las dos empresas. Este resultado es similar a las consecuencias de la utilización de mínimos cuadrados cuando los errores son heteroscedasticos o autocorrelación. Si no se utilizan los errores estándar robustos, las pruebas de hipótesis y estimaciones de intervalo no serán válidas.
En las siguientes dos subsecciones, nos relajamos, a su vez, el supuesto de igualdad de las diferencias y la asunción de errores no correlacionados, después de lo cual se reconsidere la prueba de la igualdad de los coeficientes de General Electric y Westinghouse.17 15.7.4 Estimación: COEFICIENTES DE DIFERENTES, varianzas de error diferente Cuando tanto los coeficientes y las varianzas de error de las dos ecuaciones diferentes, y en ausencia de correlación contemporánea que se introduce en la siguiente sección, no hay conexión entre las dos ecuaciones, y lo mejor que podemos hacer es aplicar los mínimos cuadrados a cada ecuación por separado. Estos resultados se muestran en la Tabla 15.13. Tenga en cuenta que las estimaciones de bk, GE, k = 1, 2, 3 en la Tabla 15.13 son idénticos a los de la Tabla 15.12, y las estimaciones de bk, NOSOTROS, k = 1, 2, 3 en la Tabla 15.13 se nos da por las estimaciones de BK; GE + dk, k = 1, 2, 3 en la Tabla 15.12. Sin embargo, sus errores estándar son diferentes, una consecuencia del hecho de que las dos regresiones separadas en la Tabla 15.13 permiten que las varianzas de los términos de error difieran de las dos empresas, mientras que la regresión variable ficticia en la Tabla 15.12 asume que la varianza del error plazo es constante a través de los 40 observaciones. La gran diferencia en las estimaciones de las varianzas de error en la Tabla 15.13 sugiere que el supuesto de diferentes varianzas de error es más realista. Podemos utilizar la Prueba GoldfeldQuandt (capítulo 8.2.3) para probar la hipótesis nula H0: s2 s2 GE = WE, que rechazamos en el nivel de significación del 0.05; F =7.45 contra F critico de(0. 975, 37, 37) = 1:92 +, lo que nos lleva a preferir los resultados de la Tabla 15.13. 15.7.5 regresiones aparentemente RELACIONADAS En el apartado anterior las dos ecuaciones de inversión parecían sin relación. Tenían diferentes coeficientes y diferentes variaciones de error, y les estima por separado. Si, además, los errores en una ecuación no son correlacionadas con los errores en la otra ecuación, tenemos realmente nada para enlazar las dos ecuaciones juntos. La combinación de los datos de las dos empresas no trae beneficios. En esta sección presentamos una suposición acerca de la correlación entre los errores de General Electric y los errores Westinghouse. Este enlace hace posible utilizar un procedimiento
normalizado de estimación que es mejor que por separado estimación por mínimos cuadrados. El supuesto es (15.46) Los términos de error en las dos ecuaciones, en el mismo punto en el tiempo, están correlacionados. Este tipo de relación se denomina correlación contemporánea. Para entender por qué EGE; t y EWE, t puede ser correlacionado, recuerdan que estos errores contienen la influencia de la inversión de los factores que se han omitido en las ecuaciones. Estos factores pueden incluir la utilización de la capacidad, las tasas de interés actuales y anteriores, la liquidez y el estado general de la economía. Dado que las dos empresas son similares en muchos aspectos, es probable que los efectos de los factores omitidos en las inversiones de General Electric será similar a su efecto sobre la inversión por Westinghouse. Si es así, entonces EGE; ty EWE; t se capturan efectos similares y se correlaciona. Agregar el supuesto de correlación contemporánea (15.46) tiene el efecto de la introducción de la información adicional que no se incluye cuando llevamos a cabo por separado por mínimos cuadrados estimación de las dos ecuaciones. LA variable modelo simulado (15.44) representa una forma de pila'''' las 40 observaciones para la ecuación GE y WE en una regresión. Teniendo en la varianza de los términos de error para las dos firmas a diferir, s2GE6 = s2WE, significa que el término de error eit en el modelo de variable dummy en (15.44) será heteroscedasticos, sino que tendrá la varianza s2GE cuando i = GE y varianza s2 Nosotros cuando i = WE. ¿Qué sucede si añadimos también el supuesto de correlación contemporánea en (15.46)? Esto significa que no se correlacionan los 40 errores. Seguimos asumir que los errores no se serialmente correlacionados con el tiempo. En otras palabras, los errores 20 General Electric no están correlacionadas entre sí, y los errores de Westinghouse 20 no están correlacionadas entre sí. Sin embargo, el primer error Westinghouse se correlaciona con el primer error de General Electric, el segundo error de Westinghouse se correlaciona con el segundo error de General Electric, y así sucesivamente. Esta información no puede ser utilizada cuando las ecuaciones se estiman por separado, pero puede ser utilizada para producir mejores estimaciones cuando las ecuaciones se estiman conjuntamente como lo son en el modelo variable ficticia. Para mejorar la precisión de las estimaciones del modelo de variables ficticias, utilizamos regresiones aparentemente no relacionadas (SUR) de estimación, que es un procedimiento de estimación de mínimos cuadrados generalizados. Se estima que las dos ecuaciones de inversión conjunta, lo que representa el hecho de que las variaciones de los términos de error son diferentes para las dos ecuaciones y contables para la correlación contemporánea entre los errores de la GE y WE ecuaciones. Hay tres etapas en el procedimiento de estimación SUR. 1. Estimar las ecuaciones usando separado mínimos cuadrados.
2. Utilice los mínimos cuadrados de los residuales de la etapa (1) para estimar s2 GE, s2 WE y SGE, WE. Las estimaciones ^ s2 GE = 777:446 y ^ s2 WE = 104:308 están dadas por las estimaciones de la varianza habituales de cada ecuación. La covarianza estimada viene dada por
donde KGE y KWE es el número de parámetros de la GE y WE ecuaciones, respectivamente. La razón para el divisor de aspecto extraño es que en las regresiones aparentemente no relacionadas, el número de variables en cada ecuación puede ser diferente, y esta es una manera de corregir por el número de parámetros estimados. En este caso KGE =KWE = 3. 3. Usa las estimaciones de la etapa (2) para estimar las dos ecuaciones conjuntamente dentro de un mínimos cuadrados generalizados.18 Software Econometric incluye comandos para SUR (o SURE) que realizan automáticamente los tres pasos. Más ideas sobre la suposición de correlación contemporánea y el procedimiento de estimación puede obtenerse a través recordando el supuesto de que usamos anteriormente al calcular los errores estándar robustos clúster. En las partes anteriores de este capítulo, cada individuo fue tratado como un conjunto de observaciones de series de tiempo que se correlacionaron dentro de los grupos. En el supuesto de correlación contemporánea, cada período de tiempo representa un conjunto de observaciones sobre los individuos (empresas). Una vez más, las observaciones están correlacionadas dentro de las agrupaciones. Otra diferencia es que antes se utilizó la correlación dentro de la agrupación para corregir errores estándar para los procedimientos de estimación que eran óptimo bajo supuestos de error más restrictivos que los utilizados para obtener los errores estándar. El procedimiento de estimación SUR es óptima bajo el supuesto de correlación contemporánea, así que no hay error estándar de ajuste es necesario. Las estimaciones de los coeficientes de las dos funciones de inversión se presentan en la Tabla 15.14. Dado que la técnica SUR utiliza la información sobre la correlación entre los términos de error, que es más preciso que el procedimiento de estimación de mínimos cuadrados. Este hecho se apoya en los errores estándar de las estimaciones SUR de la Tabla 15.14, que son inferiores a los de los mínimos cuadrados estimaciones del cuadro 15.13. Usted debe tener cuidado, sin embargo, al hacer juicios acerca de la precisión sobre la base de los errores estándar. Los errores estándar son en sí mismas estimaciones, es posible que un error estándar para SUR para ser mayor que un error de mínimos cuadrados correspondiente estándar incluso cuando SUR es un mejor estimador de mínimos cuadrados. Desde el punto de vista económico los coeficientes estimados para el capital social y las variables de valor han de lo esperado signos positivos. Además, todos son significativamente diferentes de cero, excepto para el coeficiente de capital social en la ecuación de Westinghouse. Este coeficiente tiene un valor bajo y por lo tanto t se calcula con una precisión limitada.
Las ecuaciones que muestran correlación contemporánea se llamaban'''' aparentemente sin relación de la Universidad de Chicago cuando el económetra Arnold Zellner desarrolló el procedimiento de estimación SUR. Las ecuaciones que parecen no tener relación, pero la información adicional proporcionada por la correlación entre los errores de la ecuación significa que menos generalizada estimación conjunta cuadrados es mejor que una sola ecuación de estimación por mínimos cuadrados. 15.7.5a estimación separada o conjunta? ¿Es siempre mejor para estimar dos o más ecuaciones en forma conjunta, o existen circunstancias en las que es tan bueno para estimar cada ecuación por separado? Hay dos situaciones en las que separan estimación por mínimos cuadrados es sólo tan buena como la técnica de SUR. El primero de estos casos es cuando los errores de ecuaciones no están correlacionados contemporáneamente. Si los errores no están correlacionados simultáneamente, no hay nada que une las dos ecuaciones, y la estimación separada no puede ser mejorado. La segunda situación es menos evidente. De hecho, se necesita un poco de álgebra avanzada para probar que los mínimos cuadrados y SUR dan estimaciones idénticas cuando las mismas variables explicativas que aparecen en cada ecuación. Por las mismas variables explicativas'','' queremos decir más de las variables con definiciones similares, como el valor de las variables de capital social para la General Electric y Westinghouse Decimos las mismas variables con las mismas observaciones sobre esas variables. Por ejemplo, supongamos que estamos interesados en la estimación de ecuaciones de demanda de carne de res, pollo y cerdo. Puesto que estos productos son todos los sustitutos, es razonable para especificar la cantidad demandada para cada uno como una función del precio de la carne, el precio del pollo, y el precio de la carne de cerdo, así como los rendimientos. Las mismas variables con las mismas observaciones aparecen en los tres ecuaciones. Todavía si los errores de estas ecuaciones están correlacionados, como es muy probable, el uso de SUR no producirá una mejora con respecto a la estimación separada. Si las variables explicativas en cada ecuación son diferentes, entonces una prueba para ver si la correlación entre los errores es significativamente diferente de cero es de interés. Si una hipótesis nula de correlación de cero no se rechaza, entonces no hay evidencia para sugerir que SUR mejorará por separado en la estimación de mínimos cuadrados. Para llevar a cabo esta prueba se calcula la correlación al cuadrado
la correlación R GE ; WE = 0:854 (la raíz cuadrada de 0.729) indica una fuerte correlación contemporánea entre los errores de las ecuaciones de inversión de General Electric y Westinghouse. Para comprobar la significación estadística de r2 GE, WE, podemos probar la hipótesis nula H0: SGE, WE = 0. Si Sigma GE;/ WE = 0, entonces LM = T x r2GE; WE es una prueba
estadística Multiplicador Lagrange que se distribuye como una variable aleatoria ji2 a un grado de libertad en muestras grandes. El valor crítico 5% de un x2-de distribución con un grado de libertad es 3,841. El valor de la prueba estadística de nuestros datos es LM = 10.628. Por lo tanto se rechaza la hipótesis nula de no correlación entre EGE; t y EWE, t, y concluimos que es posible aumentar la eficiencia de la estimación de las dos ecuaciones de inversión utilizando conjuntamente SUR. Si estamos probando la existencia de errores correlacionados por más de dos ecuaciones, la estadística del ensayo correspondiente es igual a T veces la suma de los cuadrados de todas las correlaciones, la distribución de probabilidad bajo H0 es x2-distribución con grados de libertad igual a el número de correlaciones. Por ejemplo, con tres ecuaciones, denotado por subíndices 1, 2 y 3, la hipótesis nula es H0: s12 s13 = = = s23 0 y la x2d Estadística de prueba 3 es
En el caso general de un sistema de ecuaciones con SUR M, la estadística se convierte
Bajo la hipótesis nula de que no hay correlaciones contemporáneas, esta estadística LM tiene una distribución x2 con M(M-1)/ 2 grados de libertad, en muestras grandes. Hay muchos problemas económicos en los que tienen motivos para considerar un sistema de ecuaciones. En el ejemplo de la función de la inversión fue uno; estimación de funciones de demanda, al igual que las funciones de demanda de carne que se alude en esta sección, es otra. Otros ejemplos se dan en los ejercicios. 15.7.5b probar hipótesis Cross-Ecuación En la sección 15.7.4 se utilizó el modelo de variable dummy y Chow test discutido inicialmente en el Capítulo 7 para probar si las dos ecuaciones tenían coeficientes idénticos. Es decir,
(15.47) Lo hicimos no rechazar H0, pero emitimos una advertencia sobre esta conclusión ya que el modelo variable dummy ignoró la presencia de heteroscasticidad y correlación contemporánea. También es posible para probar las hipótesis tales como (15,47) cuando los supuestos de error más generales del modelo SUR son relevantes. Debido a la naturaleza complicada del modelo, la estadística de prueba ya no puede ser calculado simplemente como un estadístico de prueba F
