EJERCICIOS CAPITULO 11
c) U Ln x 2 y 2 2
U y
2
2 x x y 2 2 2 2 x y 2 x2 x U xx x 2 y 2 2 2 x 2 2 y 2 4 x 2 U xx x 2 y 2 2 2 2 2( y x ) U xx 2 x y 2 2
EJERCICIOS 11.1
2. Comprobar que las funciones (6) son soluciones de (3). a) U x 2 y 2
U x 2 x U xx 2 U y 2 y U yy 2
1
2 y x y 2 2 2 2 x y 2 y 2 y U yy x 2 y 2 2 2 2 2 2 x 2 y 4 y U yy x 2 y 2 2 2( x 2 y 2 ) U yy 2 x y 2 2
2 y 2 y 0 x 2 y 2 22 0 b) U e x cos y
U x e x cos y U xx e x cos y U y e x seny U yy e x cos y
2 y 2 y 0 x 2 y 2 e x cos y e x cos y 0 00
1
U x
x 2 ) 2( x 2 y 2 ) 2 y 2 2 x 2 2 y 2 2 x 2 0 x 2 y 2 2 x 2 y 2 2 x 2 y 2 2
2( y 2
Comprobar que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación de laplace.
5. u x 4 6 x 2 y 2 y 4
u x 4 x 3 12 xy 2 u xx 12 x 2 12 y 2 u y 4 y 3 12 x 2 y
3. u 2 xy
u x 2 y u xx 0 u y 2 x u yy 0
2u 2u 0 x 2 y 2 00 0 4. u x 3 3 xy 2
u x 3 x 2 3 y 2 u xx 6 x u y 6 xy u yy 6 x
2u 2u 0 x 2 y 2 6 x 6 x 0
u yy 12 x 2 12 y 2
2 y 2 y 0 x 2 x 2 12 x 2 12 y 2 12 x 2 12 y 2 0 00 6. u e x seny
u x e x seny u xx e x seny u y e x cos y u yy e x seny
2u 2u 0 x 2 y 2 e x seny e x seny 0
7. u senxsenhy
u y
u xx senxsenhy u y senx cosh y u yy senxsenhy
u y
y x
8. u arctan
y x x 2 1 2 y y 1 u x 2 2 . 2 x y x x 2 x 2 y u x 2 2 . 2 x y x y u x 2 2 x y 0( x 2 y 2 ) ( y )(2 x) u xx x 2 y 2 2 2 xy u xx 2 2 2 x y 1
2
.
1
y 2 x 1 2 x 1
.
1
x y x x 2 x 2 1 u y 2 2 . x y x x u y 2 2 x y 0( x 2 y 2 ) x(2 y ) u yy x 2 y 2 2 2 xy u yy 2 2 2 x y 2 u 2 u 0 x 2 2 xy 2 xy 2 2 2 0 2 2 2 x y x y
2 y 2 y 0 x 2 x 2 senxsenhy senxsenhy 0
u x
1
.
2
2
Comprobar que las funciones siguientes son soluciones de la ecuación de onda (1) con un valor aproximado de c. 9. u x 2 4t 2
ut 8t utt 8 u x 2 x u xx 2 2u 2 2 u c 2 t 2 x 2 8 2c c 4 c2 10.
u x 3 3 xt 2
ut 6 xt utt 6 x u x 3 x 2 3t 2 u xx 6 x 2 u 2 2u c 2 t 2 x 2 6 x 6 xc c 1 11. u sen2ctsen2 x
utt 4c 2 sen 2ctsen 2 x u xx 4 sen2ctsen 2 x 2u 2 2 u c 2 t 2 x 2 4c sen2ctsen 2 x c 2 4 sen2ctsen 2 x 4c 2 sen2ctsen 2 x 4c 2 sen2ctsen2 x c 1 12. u cos 4tsenx
utt 16 cos 4tsenx u xx cos 4tsenx 2u 2 2 u c 2 t 2 x 16 cos 4tsenx c 2 cos 4tsenx 16 c 2 c 2 16 c 4 13. u cos ctsenx
utt c 2 cos ctsenx u xx cos ctsenx 2u 2 2u c 2 t 2 x 2 c cos ctsenx c 2 cos ctsenx c2 1 c 1
ut e t cos x u xx e t cos x u 2u c 2 t x e t cos x cu xx e t cos x c 1 16. u e 2t cos x
ut 2e 2t cos x u x e 2t senx u xx e 2t cos x u 2u c 2 t x 2e 2t cos x c e 2t cos x c2
14. u senwctsenw x
ut cos wct ( wc) senwx utt w 2c 2 senwctsenw x u x wsenwct cos wx u xx w2 senwctsenw x 2u 2 2u c 2 t 2 x w2c 2 senwctsenw x c 2 w2 senwctsenw x cc Comprobar que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación de calor (2) para un valor adecuado de c. 15. u e t cos x
17.
u e t sen3 x ut e t sen3 x u x 3e t cos 3 x u xx 9e t sen3 x u 2u c 2 t x e t sen3 x c 9e t sen3 x c
1 9
18.
u e4t cos wx
2 2
ut w 2c 2e w c t senwx 2 2
ut 4e 4t cos wx u x e 4t wsenwx u xx e 4t w 2 senwx
u 2u c 2 t x 4e 4t cos wx c e 4t w 2 senwx 4 cw c
4
u x we w c t cos wx u xx w2e w c t senwx u 2u c 2 t x w2c 2 e w c t senwx c w 2e w c t senwx c 1 2 2
2 2
21. Demostrar que u
w
2 2
1
x y 2 z 2 2
es una solución de la
ecuación de Laplace (5).
19. u e
16 t
cos 2 x
ut 16e 16t cos 2 x u x 2e 16t sen2 x u xx 4e 16t cos 2 x u 2u c 2 t x 16e 16t cos 2 x c 4e 16t cos 2 x c4 2 2
20. u e w c t senwx
u
1
v u v x x u x 2 2 2 3 / 2 x x y z 2 x 2 y 2 z 2 2u x x 2 x x 2 y 2 z 2 3 / 2 x 2 y 2 z 2 5 / 2
u v y y y x2 y 2 z 2 3 / 2 2 y 2 x 2 z 2 2 u y 2 2 2 3 / 2 2 2 2 5 / 2 2 y y x y z x y z u v z 2 z z x y 2 z 2 3 / 2 2 z 2 x 2 y 2 2 u z z 2 z x 2 y 2 z 2 3 / 2 x 2 y 2 z 2 5 / 2 2 x 2 y 2 z 2 2 y 2 x 2 z 2 2 z 2 x 2 y 2 2u 2u 2u 2 2 2 2 2 5 / 2 2 2 2 5 / 2 2 2 2 5 / 2 2 x y z x y z x y z x y z 2 2 2 2 2 2 u u u 2 x 2 y 2 z 2 y 2 2 z 2 2 x 2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 5 / 2
2u 2u 2u 0 x 2 y 2 z 2 22. Comprobar que u ( x, y ) a ln( x 2 y 2 ) b satisface la ecuación de Laplace (3) y determinar a y b para que u satisfaga las condiciones en la frontera u=0 sobre la circunferencia x 2 y 2 1 y u=5 sobre la circunferencia x 2 y 2 9
a 2 x x 2 y 2 2a ( x 2 y 2 ) 2ax (2 x ) 2ax 2 2ay 2 4ax 2 u xx x 2 y 2 2 x 2 y 2 2 2a( x 2 y 2 ) u xx x 2 y 2 2 a 2 y u y 2 2 x y 2 a ( x 2 y 2 ) 2 ay (2 y ) 2 ax 2 2ay 2 4 ay 2 u yy x 2 y 2 2 x 2 y 2 2 u x
y 2 ) x 2 y 2 2 2a( x 2 y 2 ) 2a( x 2 y 2 ) 2 2 2 0 x 2 y 2 2 x y 2 2 2a( x y ) 2a( x 2 y 2 ) 0 x 2 y 2 2 00 u ( x, y ) aIn( x 2 y 2 ) b u yy
2a( x
2
cuando u 0 sobre x 2 y 2 0 aIn (1 y
cv(a) cw(b) 2u v a w b cv(a) cw(b) c c 2 t t a t b t c 2 v(a) c 2 w(b) c 2 v(a) w(b) u a v b w x x a x b v(a ) w(b)
1
y ) b (1)0 aIn(1) b 2
2
cuando u 5 sobre x 2 y 2 5 aIn (
1 2
5 aIn
1 2
y y ) b 2
1 2
2
b
v w v(a) w(b) x a b v ( a ) w ( b)
resolviend o 1 y 2 a 5 / ln(2) b0 tenemos : 5 u ( x, y ) ln( x 2 y 2 )
2u
en la ecuación de onda reemplazamos
c 2 v(a) w(b) c 2 v(a) w(b)
ln(2)
23. Demostrar que u ( x, t ) v( x ct ) w( x ct ) es una solución de la ecuación de onda (1) aquí v y w son funciones cualesquiera derivables dos veces.
u ( x, t ) v(a) w(b) a x ct b x ct 2u 2 2u c 2 t 2 x u a v b w t t a t b
y vemos que si se cumple la igualdad.
Si una ecuación incluye derivadas con respecto a una sola variable, esta puede resolverse como una ecuaci ón diferencial ordinaria, tratando la otra variable (o variables) como par ámetros Encontrar las soluciones u(x,y) de 24.
u x 0
u 0 x
u 0 x u g ( y )
25.
u y 0
28.
u y 2 yu 0
u 0 y
u 2 yu 0 y u 2 yu y u u 2 y y ln u y 2 C
u 0 y u f ( x) 26.
u xx 4u 0
2u 4u 0 x 2 2 4 0 2i u C 1e 2ix C 2 e 2 ix u e 0 C 1 cos 2 x C 2 sen 2 x
e ln u e y u Ce y 29.
27.
u xx 0
u 0 x
(ux) 0 x u x f ( y ) u f ( y ) x
u f ( y) x u xf ( y ) g ( y )
2
C
2
u x 2 xyu
u 2 xyu x u u 2 xy y ln u x 2 y C 2
e ln u e x y C 2
u Ce x y
Haciendo 30.
u x P resolver:
31.
u xy 0
si p es función de x P ( x) cons tan te
u xy u x
2u 0 y x u 0 y x P 0 y
u u y x x u u y x x P P x P P y ln P y c( x) e ln P e y c ( x ) 2
P e y ec ( x ) P A( x)e y u A( x)e y x u A( x)e y x u A( x) xe y C
P 0 y P v( x) u v( x) x u v( x) x u a ( x) w( y ) 32.
u xy u x 0 2u u 0 y x x u u y y x P P y P P y ln P y A( x )
u v( x) y u w( x) x
e ln P e y c ( x) P e y e A( x) P v( x)e y u v ( x)e y x u v( x)e y x
u v ( y ) y p u xw( x ) d u y p u xw d w v ( p d ) u x y 2
u v ( x)e w( y) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales parciales. 33.
u x 0
uy 0 u 0 x
u 0 y
u 0 x u 0 y u v ( y ) u v ( y ) y
u w( x) u w( x) x
2
2
u ax bx c
y
34.
u xx 0
u yy 0
u u 0 x x w 0 x w 0 x
u u 0 y y t 0 y t 0 y
w v( y)
t w( x)
u u v( y) w( x) x y u v( y) x u w( x) y u xv( y) ( y)
u yw( x) p( x)
xv( y) y u yw( x) p( x) x u xyv yd z
u xyw xp l
u xyv yd z 2u xy (v w) xp yd ( z l ) u xyw xp l u xya xb yc k 35.
u xx 0
u xy 0 u u 0 x x p 0 x
p 0 x
u u 0 y x w 0 y w 0 y
p v( y) w s ( x) u y v( y ) s( x) x x u v( y) x u s( x) x u xv( y) ( y) u xc h( y)
u xs( x) g ( x)
EJERCICIOS 11.3
Encontrar la deflexión u(x,t) de la cuerda vibrante Correspondiente a la velocidad inicial cero y deflexión inicial dada por: 1.
0.02 sen x longitud l , extremos fijos y c 2
T
1
u ( x , 0 ) f ( x ) l G ( t ) 0 B n * 0 c2
T
n
1
n 1 B n
l
2
f ( x ) sen l 0
B n B n
2
n x dx l
0 .02 senxsenxdx 0
0 . 04
sen xdx 2
0
1 x 1 sen 2 x 2 4 0 B n 0 . 02 0 0 u ( x , t ) 0 .02 cos tsenx B n
0 . 04
cn cn c 1 l
2. K sen3x
3.
k ( senx sen2 x)
2u 2u t 2 x 2 u ( x, t ) u (0, t ) 0
u ( , t ) 0
u ( x,0) f ( x ) k ( senx sen2 x) g ( x ) 0 velocid ad inicial u ( x, t ) F ( x)G (t )
2u y F G t 2 c 2 F ' ' G F G G F ' ' k 2 c G
2u F ' ' x 2
F
F ' 'kF 0
c kG 0 G 2
si k p 2 entoncesobtengola ecu cióndiferencial F ' ' p 2 F 0 La soluciónes F ( x) A cos px Bsenpx
F (0) A 0
F(l) Bsenpl 0
senpl 0
o sea
pl n
p
n
n
2
n k n 2
como k p 2
La ecuación de G(t) es
G 2G
0
si
cn
n
Gn (t ) Bn cos nt Bn* sennt Bn* 0 porque velocidad inicial nula
u ( x, t ) Bn cos nt sennx n 1
u ( x,0) Bn sennx ksenx ksen2 x n 1
u ( x,0) B1 senx B2 sen2 x ksenx ksen2 x B1 k B2 k u ( x, t ) k cos tsenx k cos 2tsen2 x 4.
n 1
n 1
u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen n
1n
n
n x L
B*n 0 velocidad inicial 0
n 1
n 1
n 1
n 1
u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen
n x
u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen(nx)
k x 0 x a a u ( x,0) Bn sen(nx ) f ( x) n 1 k x a x a a 2 k k x sen(nx)dx Bn xsen( nx)dx 0 a a a
Coeficientes Bn:
5.
n 1
n 1
u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen n
1n
n
n x L
B* n 0 velocidad inicial 0
n 1
n 1
n 1
n 1
u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen
n x
u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen( nx)
1 x 0 x 10 4 3 1 x u( x,0) Bn sen(nx) f ( x) x 4 4 n1 10 2 1 3 x x 4 10 / 4 3 / 4 2 1 1 1 Bn xsen(nx)dx x sen(nx)dx x sen(nx)dx 10 2 10 0 10 / 4 3 / 4
solución u(x,t)=
0 si . .0 x 4 4 k x 1. si. 4 x 2 f ( x) 4 k x 3 4 3 x si . . 2 . . 3 x 0 si 4 6.
Sacamos f(x) en los rangos establecidos, con la ecuación de la pendiente. obtenemos:
para n=1,2,3,… en n=4m donde m=1,2,3,…
dados los siguientes datos: n
u(x,t)=? u(x,0)=f(x)
Aplicamos las ecuacion:
u ( x, t ) Bn cos n t sen n 1
2
l
f ( x) sen l 0
n x l
n 1
u ( x, t )
Resolviendo la función con sus límites para obtener Bn: Bn
/ 2 4 4 n x dx 3 / 4 k 3 4 x sen n x dx 0 0 k x 1 sen / 2 3 4 0 / 4
2
Bn
8k
2
2 sen n sen n 2 4 n 2
7.
n x l
8 k
n 1
u ( x, t )
n x dx, l
cn 1n n l
u ( x, t ) B n cos n t sen
donde, n 1,2,... cn n l Bn
obtenemos Bn=0
2
2 sen n sen n cos nt sen nx 2 4 n 2
8 k 5
2
1 7 12 cos t senx 4 (cos 2t ) sen 2 x 72 (cos 3t ) sen 3 x ...
k ( x x 2 ) u ( x,0) 0.01 x ( x ) 2 u 2u t 2 x 2 u ( x, t ) u (0, t ) 0 u ( , t ) 0 u ( x,0) f ( x ) 0.01 x ( x ) g ( x ) 0 velocidad inicial
u ( x, t ) F ( x)G (t ) 2u 2u F G F ' ' G y 2 t x 2 F G c 2 F ' ' G G F ' ' k c 2 G F F ' ' kF 0 G c 2 kG 0 si k p 2 entonces obtengo la ecuación diferencia l F ' ' p 2 F 0 La solución es F ( x) A cos px Bsenpx F (0) A 0 F(l) Bsenpl 0 senpl 0
o sea
pl n
n
p
G 2 G 0
n
si
cn
n 1
u ( x, 0) B n sennx 0.01 x ( x )
0
Bn
0.08 n 3
para n impar
8.
f ( x) k ( 2 x x 3 )
n
n 1
0 .01 x ( x ) sennxdx
Bn 0 para n par
n 1
n 1
u( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen
u ( x, t ) B n cos nt sennx
2
n
G n (t ) B n cos nt B n * sennt B n * 0 porque velocida d inicial nula
B n
0.04 3 (1 cos n ) 3 1 cos n n n
cos tsenx 1 cos 3tsen3 x 0.08 0.08 27 u ( x, t ) 3 cos( nt ) sen(nx) 1 n 1 n cos 5tsen5 x .............. 125
n 2 k n
La ecuación de G(t) es
0.02 2
2
como k p 2
Bn
0 .02
( x x 2 ) sennxdx
0
1n
n
n x L
B*n 0 velocidad inicial 0
n 1
n 1
n 1
n 1
u( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen
n x
u( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen(nx)
1 1 9. k x 2 2 4
u ( x,0) Bn sen(nx ) f ( x) k ( 2 x x 3 ) n1
k ( 2 x x 3 ) sen(nx)dx 0 2 k Bn ( 2 x x 3 ) sen(nx)dx 0 Bn
2
12k cos n cos nt * sennx u ( x, t ) n3 n 1
4
u ( x,0) 0.01 x( 2 x 2 ) 2u 2u t 2 x 2 u ( x, t ) u (0, t ) 0 u ( , t ) 0 u ( x,0) f ( x) 0.01 x( 2 x 2 ) g ( x) 0 velocidad inicial u ( x, t ) F ( x)G (t ) 2u 2u F ' ' G F G y t 2 x 2 F G c 2 F ' ' G G F ' ' k c 2 G F F ' 'kF 0 G c 2 kG 0 si k p 2 entonces obtengo la ecuación diferencia l F ' ' p 2 F 0 La solución es F ( x) A cos px Bsenpx F (0) A 0 F(l) Bsenpl 0
senpl 0
o sea
pl n
p
n
2
como k p 2
n k n 2
La ecuación de G(t) es
G 2 G 0
si
cn
n
Gn (t ) Bn cos nt Bn * sennt Bn * 0 porque velocidad inicial nula
0.02 6 cos n
0.12
0.12
( 1)1 (1) n 3 (1) n 1 n n n 3 cos tsenx 1 cos 2tsen2 x 0.12 8 u ( x, t ) 3 ( 1) n 1 cos(nt ) sen(nx) 0.12 1 n 1 n cos 3tsen3 x ........ 27
Bn
n
10.
3
F(x)=0
g(x)= 0.1sen2x
u ( x, t ) Bn cos nt sennx
Como f(x) 0 implica que Bn
n 1
u ( x,0) Bn sennx 0.01 x( x ) 2
2
Bn
2
0.01 x( 2
0
x 2 ) sennxdx
0.02
n
n 1
x(
2
x 2 ) sennxdx
0
cn 1n n l
( x, t )
0
( x, t )
n x l
( Bn sen n t ) sen
( Bn sennt ) sennx
n 1
*
*
n 1
u n( Bn* cos nt ) sennx t n 1
u * ( x,0) n( Bn cos 0) sennx 0.1 sen2 x t n 1
n B
n
*
sennx 0.1 sen2 x
n 1
sen2 x 0.1 sen2 x B2 0.05 ( x, t ) 0.05 sen2 sen2 x 2 B2 *
*
11. f ( x) 0.1 senx, g ( x) 0.2 senx 0.08
a1
a3
12.
0.08 27
a1 0.08 27 27 0.08 a3
a
2
n
n 1
1
( f ( x)) dx 2
1
( ) ( x) sen(nx)dx xsen nx dx n 0 / 2 n u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos n t ) sen x L n 1 n 1 1n B * n 0 velocidad inicial 0 n n
(0.01 x( x))
a1 a3 a5 ..........
0.0001
2
0.02
/ 2
Bn *
a1 2 a3 2 a5 2 .......... 2
0.01 x 0 x 2 f 0 g ( x) 0.01( x) x 2 / 2 2 Bn * 0.01 xsen(nx)dx 0.01( x) sen(nx)dx n 0 / 2
2
2
dx
( x x ) dx 2
2
n 1
n 1
n 1
n 1
u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen
n x
u ( x, t ) un ( x, t ) ( Bn cos nt ) sen(nx) Como f(x) 0 implica que Bn
0.0001 30 30 2 0.08 0.0064 30 1920 4 6 6
a1 2 a 2 2 a 3 2 .......... 2
a1 a1 a 2 a 3 2 .......... 2
2
0.0001
5
4
0.0001 30
0.0001
n
0
cn 1n n l
( x, t ) ( x, t )
n x l
( Bn sen n t ) sen
( Bn sennt ) sennx
n 1 n 1
*
*
14. ¿De que manera la frecuencia del modo fundamental de la cuerda vibratoria depende de longitud de la misma, de la tensión y de la masa por unidad de longitud?
n
cn 2 L
2 modo fundamental 1 2 1
c 1
n sen 2 u ( x, t ) 3 sen(nt ) sen(nx) 25 n n 1
2 c 2 L
T
c
L
n 1
c 2 L
L longitud
T tension masa por unidad de longitud
T L
Se concluye que la frecuencia del modo fundamental es directamente proporcional a la tensi ón e inversamente proporcional a la masa por unidad de longitud y la longitud de la cuerda. Encontrar las soluciones u(x,y), de las ecuaciones siguientes, separando variables. 16. u x u y 0 El método del producto conduce a la solución de la forma.
u ( x, y) F ( x)G (t )
Obteniendo la solución:
u x F ' G u y FG ' F ' G FG ' 0
u ( x, ) F ( x )G ( ) u ( x, y ) Ke cx Ke cy u ( x, y ) Ke c x y
La ecuación de la cuerda vibrante es igual a una constante
17.
F ' G FG' c F ' c F G' c G Al integrar las variables, resolviendo con respecto a x, tenemos.
dF
F cdx ln F cx K
F Ke cx Al integrar las variables, resolviendo con respecto a y, tenemos: G'
c G dG G cdy ln G cy K G Ke cy
u ( x, y ) F ( x) G ( y) u F G u x F `G u y F G`
F `G F G` 2 xu 2 yu F `G 2 xu 2 yu F G ` Como u F G, reemplazo ese valor en la ecuación anterior : F `G 2 x( F G ) 2 y ( F G ) F G ` F `G 2 xFG 2 yFG F G` G ( F `2 xF ) F (2 yG G`) G F 2 yG G ` F `2 xF Ahora igualando a una cons tan te " c": G F c c F `2 xF 2 yG G `
G c (2 yG G `) G c ( 2 yG G`) 0 G 2cyG cG` 0 cG` 2cyG G cG` G (2cy 1) G` 2cy 1 G c Ahora int egramos : 2cydy dy ln G c c ln G y
2
y k c
y y 2 k ln G c y 2 y k c
e
e k e
G
y 2 y c
G
F c ( F `2 xF ) F c ( F `2 xF ) 0 F cF `2cxF 0 F 2cxF cF ` F (1 2cx) cF ` 1 2cx F ` c F
G k e
x u k e
x 2 x k ln F c x x 2 k ln F c x 2 x k c
e
e k e
F
x 2 x c
F
F k e
x 2 x c
2
x c
y k e
2
y c
2 2 x y x y c c
u k e u k e
2cxdx dx c c ln F
Como e k es una cons tan te, entonces se le asigna el valor de " k ": y 2 y c
Tenemos que u F G , luego :
2 2 1 x y c x y
u k e x 18.
2
y 2 c x y
xu x yu y 0 u ( x, y) F ( x) G ( y) u x F 'G u y F G ' xF ' G yFG' xF ' yG' c F G
dF c Fdx x dF c F x dx
F c ln x K 1 F e c ln x k F K 3 x c dG c Gdy y dG c G y dy ln G c ln y K 2 G e c ln y k G K 4 y c u x , y K 3 x c K 4 y u ( x , y ) Kx c y c
reemplazando :
ln
y F x G y xF x G y F x G y c xF x yG y F x xcF x dF xcdx F x x 2 LnF c
1
2
2
19.
yu x xu y 0 u u y x 0 x y
x 2
c
F x A1e 2
para G(y) entonces :
G y ycG y dG ycdy G y y 2 LnG c 2
y 2
G y A2 e 2
u ( x, y ) F x G y u F x G y x u F x G y y
c
c
u ( x, y ) F x G y x 2
y 2
c
u ( x, y ) A1e A2e 2 2
c
u ( x, y ) B1e 2
x y 2
c
2
Respuesta.
20.
u xx u yy 0 u ( x, y ) F ( x)G ( y ) u xx F ´´G u yy FG´´ F ´´G FG´´ 0 F ´´G FG´´ c F G c2 F G 2 F c F 0 G c 2G 0 F ( x) Ae cx Be cx G ( y ) C cos(cy ) Dsen(cy ) u ( Ae cx Be cx )(C cos(cy ) Dsen(cy )) u ( x, y ) e cx (C 1 cos cy C 2 sency ) e cx (C 3 cos cy C 4 sency ) 21. u x
yu y 0 u x, y F x .G y
u x F 1.G u y F .G1 F 1.G y F . .G1 0
. .G1 F 1.G y F
F 1 yG1 c F G F 1 c F dF c.dx F ln F c. x F A.e c. x F A.e c. x u x, y k .e c. x . y c
G1 c G y dG c dy G y ln G c. ln y G B.ec. ln y G B. y c
22. ux + uy = 2 (x + y) u
u ( x, y ) F ( x ) G ( y ) u F G u x F `G u y F G ` F `G F G ` 2 xu 2 yu F `G 2 xu 2 yu F G`
u ( x, y ) F ( x) G( y ) u F G u x F `G u y F G` F `G F G` 2 xu 2 yu F `G 2 xu 2 yu F G` Como u F G, reemplazo ese valor en la ecuación anterior : F `G 2 x ( F G) 2 y ( F G) F G` F `G 2 xFG 2 yFG F G` G ( F `2 xF ) F (2 yG G`) G F 2 yG G ` F `2 xF G c 2 yG G ` u ( x, ) F ( x) G( ) u F G
u x F `G u y F G` F `G F G` 2 xu 2 yu F `G 2 xu 2 yu F G` Como u F G, reemplazo ese valor en la ecuación anterior : F `G 2 x( F G ) 2 y( F G) F G` F `G 2 xFG 2 yFG F G` G ( F `2 xF ) F (2 yG G`) G F 2 yG G` F `2 xF
ln G y 2
y k c
x 2 x k ln F c x x 2 k ln F c
y y 2 k ln G c y 2 y k c
e
x 2 x k c
G
y 2 y c
e k e
e
x 2 x c
e k e
G
y 2 y c
G k e x u k e
2
x c
F
F k e
k e
y 2 y c
F
x 2 x c
x 2 y 2 x y c c
u k e u k e
x 2 y 2 1 x y c
u k e x
2
y 2 c x y
23. Uxy - U = 0 Decimos que U es un producto de dos funciones, cada una de las cuales sólo depende de una variable, en éste caso F es función de x y G será función de y, por lo que tendremos lo siguiente: U (x,y) = F (x) * G (y) Uxy - U = 0
F (x) ‘ * G (y)’ = F (x) * G (y) = C U = K e (Cx + y/C) Separando las variables tendremos dos ecuaciones diferenciales. F’/ F = C G’/G = C
y
F’ - CF = 0 dF / F = C dx ln F = Cx F = A eCx
y 2
y 2
y k ln G c
y 2 y k c
Resolviendo estas dos ecuaciones tendremos....
y k c
ln G
e
e k e
x x 2 k ln F c x x 2 k ln F c x 2 x k c
G
y 2 y c
e
e k e
G
y 2 y c
G k e x u k e
y
G / G’ = C G’ / G = 1/C dG /G = dy / C ln G = y /C G = B e y/C Recordando lo anteriormente expuesto.... U (x,y) = F (x) * G (y) U (x,y) = A eCx * B e y/C Donde podemos decir que la multiplicaci ón de las constantes A y B, dan como resultado una nueva constante que la denominaremos K.
2 x c
F k e
k e
y 2 y c
x 2 y 2 x y c c
u k e
x 2 y 2 1 x y c
u k e
u k e x
2
y 2 c x y
24.
x 2 u xy 3 y 2 u 0 u ( x , y ) F ( x ) G ( x ) u x F ' G u xy F ' G ' x 2 F ' G ' 3 y 2 FG 0 3 y 2 G x 2 F ' c F G'
F
x 2 x c
F
x 2 x c
dF c Fdx x 2 dF cdx F x 2 ln F c
1
x
dF c Fdx x 2 dF cdx F x2
K 1
ln F c c x
1
c K 1 x
F e K 3 e 3 y 2 dG Gdy c dG 3 y 2 G c dy y 3 ln G K 2 c y
3
Ge c
K 2
y
c x
u ( x, y ) K e
K 1
1
c K 1
c x
25. Demostrar que las vibraciones forzadas de una cuerda elástica se rigen 3
por u tt u xx
fuerza externa por unidad perpendicular a la cuerda .
y 3
P
de
, donde P(x,y) es la longitud
K 4 e c
y 3 c c x
K e
y 3 x c 2 cx
x u xy 3 y u 0 u ( x, y ) F ( x) G ( x) u x F ' G u xy F ' G ' 2
x
F e x K 3e 2 dG 3 y Gdy c
K 4 e c
u ( x, y ) K 3 e
1
x
T 2 sen T 1 sen P
2 y t 2
2
x 2 F ' G '3 y 2 FG 0 2 x 2 F ' 3 y G c F G'
T 2 sen T 1 sen P 2u x T 2 cos T 1 cos T T t 2 P 2u tg tg x 2 T T t 2 u P P 2u 2 2 x T T t
que
actua
T 2 u x 2
P
2u t 2
2 2u P 2 u c 2 2 t x
u tt u xx
P
26. Suponer que la fuerza externa es senoidal, por e je jemplo, P = Añ sen wt. Demostrar que
P / p Asenwt
k (t )sen n
n 1
n x L
27. Demostrar que al sustituir u P/p del problema 26 en (18) se obtiene.
G G n n n 2
n
2 A
n
1
cos n senwt
cn L
Demostrar que si n w 2 la sol ción es: 2
Gn (t ) Bn cos nt Bn * sen nt
2 A1 cos n
n n w 2
2
senwt
P n x Asenwt k n (t ) sen p L n 1 2 A 1 cos n senwt k n n n x u ( x, t ) Gn (t ) sen L n 1 n x utt Gn (t ) sen L n 1 n n x u x Gn (t ) cos L L n 1 n 2 2 n x u xx Gn (t ) 2 cos L n 1 L P 2 A n x 1 cos n sen sewt p L n 1 n
sustitiyendo en :
utt c 2u xx
P p
n 2 2 n x 2 A n x 2 n x Gn (t ) sen c Gn (t ) 2 cos 1 cos n sen sewt L L L n L 1 n 1 n 1 n
c 2 n 2 2 n x 2 A n x 1 cos n sen sewt Gn (t ) 2 cos L L n 1 n 1 n 1 n L 2 n x cn n x 2 A Gn (t ) 1 cos n sen sewt Gn (t ) sen L L L 1 n n 1 n
n x
G (t ) sen L n
2
cn 2 A Gn (t ) Gn (t ) 1 cos n sewt n L A cn 2 2 G ( 2) G 1 cos n sewt n n n n n L
Gn n 2Gn 0 r 2 n 2 0 r i n Gh Bn cos n t Bn * sen n t G p Csenwt G p Cw cos wt G p Cw2 senwt sustituyendo en (2) :
Cw2 senwt n 2Csenwt
n
2
w2 Csenwt
2 A
n
2 A
n
1 cos n sewt
1 cos n sewt
n
2
C
w2 C
2 A
n 2 A1 cos n
n
n n w 2 A1 cos n G p senwt n n 2 w2 Gn (t ) Gh (t ) G p (t ) 2
n x 2 Aw(1 cos n ) u t ( x, t ) n B n sen n t n B n * cos n t cos wt sen L n ( n 2 w 2 ) n 1 2 Aw(1 cos n ) sen n x 0 u t ( x,0) n B n * 2 L n ( n w 2 ) n 1
1 cos n
2
Gn (t ) n cos nt Bn* sen nt
2
w2
2 A1 cos n
n n 2 w2
senwt
28. Determinar B n y Bn* del problema 27 de tal modo que u satisfaga las condiciones iniciales u (x,0) = f(x), u t (x, o) = 0
u ( x, t ) Gn ( x, t ) sen n 1
n x L
Gn Bn cos n t Bn* sen nt n
*
2 Aw(1 cos n )
0 n ( n 2 w 2 ) 2 Aw(1 cos n ) B n * 2 n n ( n w 2 ) n x u ( x,0) B n sen f ( x) L n 1 L n x 2 B n f ( x ) sen dx L 0 L n Bn
29. Demostrar que en el caso de resonancia n w2 2
G n (t ) Bn cos wt Bn * senwt 2 A(1 cos n )
n ( n 2 w2 )
senwt
cn L
n x 2 A(1 cos n ) u ( x, t ) Bn cos n t Bn* sen nt senwt sen 2 2 L n ( n w ) n 1
(1)
utt c 2u xx
A 1 cos n t cos wt n w
P p
P n x Asenwt k n sen p l n 1 n x u ( x, t ) Gn (t ) sen l n 1 n x utt Gn (t ) sen l n 1
G p t C 1 senwt C 2 cos wt
2
n n x u xx Gn sen l l n 1
G p C 1 senwt C 2 cos wt t C 1 w cos wt C 2 wsenwt
sustituyendo en (1)
G p C 1w cos wt C 2 wsenwt C 1w cos wt C 2 wsenwt
n x
n
2
n x
n x
G (t ) sen l c G l sen l k sen l 2
n
n
n 1
n 1
n 2
n 1
2
n
n
n x n x k n sen l n 1 l
G (t ) c G l sen n 1
n
2 cn n x n x sen k n sen Gn (t ) Gn l l n1 l n 1
se igualan los coeficient es de seno
G
n
cn n l
n Gn k n 2
Gn n 2Gn
2 A 1 cos n senwt n
si n w Gn w2Gn
t C 1w 2 senwt C 2 w2 cos wt G p 2C 1w cos wt 2C 2 wsenwt w 2t C 1 senwt C 2 cos wt G p w2G p
2 A
n
1 cos n senwt
2C 1w cos wt 2C 2 wsenwt
2 A
n
1 cos n senwt
C 1 0 2 A 1 cos n n A 1 cos n C 2 n w
2C 2 w
A 1 cos n cos wt n w Gn (t ) Gh G p G p t
2 A
n
1 cos n senwt
Gn w2Gn 0 r 2 w2 0 r iw Gh Bn cos wt Bn* senwt
Gn (t ) Bn cos wt Bn* senwt
A 1 cos n t cos wt n w
EJERCICIOS 11.4
Aplicando 14 trazar una figura de la deflexi ón de la deflexión u(x,t) de una cuerda vibrante (longitud L=1, extremos fijos, c=1) empezando con velocidad inicial cero y la deflexión inicial f(x) que se da a continuación, donde k es pequeña. Ej. k = 0.01 1. (14)
1
u ( x, t ) f ( x ct ) f ( x ct ) 2
u(x,t)
f ( x) kx(1 x ) k ( x x 2 ) ct=0
1
u ( x, t ) k x ct x ct 2 x ct x ct 2 2 1
.
u ( x, t ) 0.01 x ct x ct 2 x ct x ct 2 2
u ( x, t ) 0.005 x ct x ct 2 x ct x ct 2
-1
1
t
u(x,t)
u(x,t)
ct=1/5
ct=3/5
t -1
1
-1
2. f ( x ) = k s x f ( k sen 2
u(x,t)
t
0 .0 1 sen 2 x
( 6 x ,, t ) f ( ( x +c ) t x -c ) t 6 ) U ( U ( x t ) = 1 / 2 ( 2 ( f t + f ( f ( t ))
ct=2/5
( x, t ) -1
1
1
t
( x, t )
1 2
0.01 sen2 x 2 ct 0.01 sen( 2 x 2 ct )
x cos 2 ct cos 2 xsen2 ct ) 1 0.01( sen 2
sen x ct xsen ct 2 cos 2 cos 2 2 ) 2 0.01(
1
0.02 sen2 x cos 2 ct 2 ( x, t ) 0.01 sen2 x cos 2 ct ( x, t )
3.
f ( x) k ( x x 3 ) 1
u ( x, t ) k x ct x ct 3 x ct x ct 3
u(x,t) 0,01 t=0
u ( x, t ) 0.005 x ct x ct 3 x ct x ct 3
u(x,t) t=1 / 8c 1 u(x,t)
0
t= 1 / 4c 1 u(x,t)
t = 3 / 8c -0,007
1
u(x,t) t = 1 / 2c 1
-0,01
u ( x, t ) 0.01 x ct x ct 3 x ct x ct 3 2
1
0,007
2 1
u(x,t) 0,01 t=1/c 1
u(x,t)
u(x,t)
ct=2/5
ct=0
t -1
-1
1
u(x,t)
u(x,t)
ct=1/5
-1
t
1
ct=3/5
1
-1
t
4.
F ( x) k x 2 x 4
1
t
(6) u ( x, t ) 1
k x ct 2
u ( x, t )
2
1 2
f x ct f x ct
x ct 4 k x ct 2 x ct 4
u ( x, t )
1
2k x ct 2 2
u ( x, t ) k ( x 2 2 xct c 2t 2 ) 2 2 1 2 1 2 1 u ( x, ) k x 2 xc c k x 2 x 3c 3c 3 9 3c
1
2 2 1 1 2 1 u ( x, ) k x 2 xc c k x 2 x 2c 2c 4 2c
1
2 3c
) k x 2
2 xc
2 c 2 3c 3c 2
2
2 4 4 k x x 3 9
2 2 1 2 1 u( x, ) k x 2 xc c k x 2 2x 1 c 3c 3c
1
L=1 G(x) = 0 K = 0,01
f ( x) u. sen2 x f( x) 0, 01 sen2 x aplicando 1
u ( x, t ) f * ( x ct ) f * ( x ct) 2
u ( x,0) kx 2
u ( x,
5. f(x) = k sen2 x
donde : f* estenciòn.. periodica.. impar.. de.. f .. con.. periodo..2 1
u ( x, t ) f ( x ct) f ( x ct)
2 se.. va.. avar iar.. valores.. ct
ct 0 1/ 2.(0, 01). sen2 ( x 0) 0,005 sen2 x f( x) (0, 01). sen2 x f'( x) 0, 02. sen2 x
t=0 u(x,0)
7. Demostrar que c es la rapidez de las dos ondas dadas por (4) ct 1/ 2 (f )x
1
(f )x
2 1
(0, 01). sen2 ( x 1/ 2)
2 1
(0, 01). sen2 ( x 1/ 2)
u ( x, t ) (0, 01).sen 2 (x 1/ 2) (0, 01).sen 2 (x 1/ 2) 2 1 1 u ( x, t ) 0, 005 sen 2 ( x ) .sen 2 ( x ) 2 2
t=1/2
Si t 0 es un parámetro digamos el tiempo, entonces las funciones h ( x ct ) representan una familia de funciones con la misma forma que h ( x ) pero recorridas más i más hacia la izquierda cuando t . Por lo tanto la funci ón h( x ct ) es una onda viajera que se mueve hacia la izquierda con velocidad c porque la variable ct representa espacio recorrido en dirección horizontal. De manera similar h ( x ct ) es una onda viajera que se mueve hacia la derecha con velocidad c. 8. 9. ¿Cuáles son las frecuencias de las eigenfunciones del problema 8?
L 2 m 6,562 pies P 0,16 lb
0,16 6,562
F n 2 F 0
0,02438
T
cn 2l
Una solución general es.
T 45 lb
c
En donde:
45 0,02438
Gn (t ) Bn cos nt Bn*sen n
42,958
En donde las funciones quedan expresadas como:
cn 42,958n n 20,56n 6,562 L
U ( x, t ) ( Bn cos nt Bn* sen nt ) sen
11. Demostrar que en virtud de la condici ón en la frontera (2) de la sección 11.3 la función f de (14) de esta sección debe ser impar y de periodo 2l Frontera (2): U(o, t)=0 U (l, t)=0 Condición: x = 0 y x = 2l.
F kF 0 F p 2 F 0 F x A cos px Bsenpx F 0 A 0 F l Bsenpx
para t.
p
n l
De la misma manera B = 1 se puede hallar las soluciones de la condición de f (6) que me pide. Ahora restringe k a los valores la ecuación toma la forma:
k p2 n / 2l 2 , entonces
n x 2l
Con
(n
1,3,5.....
Aplicando la transformación indicada resolver la siguiente ecuación: 12.
Uxy Uyy 0 ( v x, z x y ) V V x y Vx 1 Vy 0 V Z x y Zx 1 Zy 1 Ux Uv Vx Uz Zx Ux Uv Uz Uxy Uvv Vy Uvz Zy Uzv Vy Uzz Zy Uxy Uzv Uzz Uy Uv Vy Uz Zy Uy Uz Uyy Uzv Vy Uzz Zy Uyy Uzz Uvz Uzz 0 Uvz 0
Uvz
d 2u 0 dvdz
du h(u ) dv u ln( v) dv C( z) u ( x, t ) 0( x, ct) 0( x ct ) u ( x, t ) f1 ( x) f2 ( x y ) 13. x xy
y yy y
v x, z xy
xU xy yU yy U y V x 1 V y 0 Z x y Z y x U x U vV x U z Z x U v yU z U xy (U v yU z ) y (U v yU z ) z Z y 1
U xy (U vz U z yU zz ) x x U xy xU vz U z xyU zz U y U z Z y xU z 1
U yy ( xU z ) y ( xU z ) z Z y ( U z xU zz ) x y x U yy U z x 2U zz y
x x( xU vz U z xyU zz ) y ( U z x 2U zz ) xU z y 2 x U vz 0 u 0 z v u f 1 (v) v u f 1 (v) f 2 ( z ) u ( x, y) f 1 ( x) f 2 ( xy) 14.
u xx 2u xy u yy 0 v x, z x y v x 1 z x 1 Z y 1 u x uv v x u z z x u x uv u z u xx uv u z x uv u z v v x uv u z z z x
u xx uvv u zv uvz u zz u xx uvv 2u zv u zz u xy uv u z y uv u z z z y u xy uvz u zz u y uv v y u z z y u z u yy u z y u z z z y u zz en (1) :
uvv 2u zv u zz 2u zv 2u zz u zz 0 uvv 0 u 0 v v uv f 1 z
u f v 1
u vf 1 f 2 ( z ) u vf x y 1 f 2 ( x y) 15. Aplicando las transformadas indicadas resolver las ecuaciones siguientes: Uxx+2Uxy+Uyy=0
(v = x ; z = x - y )
U xx 2U xy U yy 0 V x 1 V y 0 Z x 1 Z y 1 U x U vV x U z Z x U v U z U xx (U x U z ) x (U v U z )v V x (U v U z ) z Z x U xx U vv 2U vz U zz U xy (U v U z ) y (U v U z ) z Z y U xy U vz U zz U y U z Z y U z U yy (U z ) y (U z ) z Z y U yy U zz
U vv 2U vz U zz 2(U vz U zz ) U zz 0 U vv 2U vz U zz 2U vz 2U zz U zz 0 2u U vv 0 2 0 v du f ( z ) dv 1 u f 1 ( z)v f 2 ( z ) u ( x, y ) xf 1 ( x y) f 2 ( x y) 16.
v x y, z 2 x y u xx u xy 2u yy 0 v x 1 v y 1 z x 2 Z y 1 u x uv v x u z z x u x uv 2u z u xx uv 2u z v v x uv 2u z z z x u xx uvv 2u zv 2uvz 4u zz u xx uvv 4u zv 4u zz u xy uv 2u z v v y uv 2u z z z y u xy uvv 2uvz 2uvz 2u zz u xy uvv 2u zz u y uv v y u z z y u y uv u z u yy uv u z v v y uv u z z z y u yy uvv u zv uvz u zz u yy uvv 2u zv u zz uvv 4u zv 4u zz uvv 2u zz 2uvv 4uvz 2u zz 0 8uvz 0
u 0 z v u v 0 z u f v 1 u f 1 v u vf 1 f 2 ( z ) u vf x y 1 f 2 (2 x y ) 17. Aplicando las transformadas indicadas resolver las ecuaciones siguientes:
u xx 4u xy 3u yy 0
v x y
z 3 x y
V x 1 V y 1 Z x 3 Z y 1 U x U vV x U z Z x U v 3U z U xx (U v 3U z ) x (U v 3U z ) v V x (U v 3U z ) z Z x U xx U vv 3U zv 3U vz 9U zz U vv 6U vz 9U zz U xy (U v 3U z ) y (U v 3U z ) v V y (U v 3U z ) z Z y U xy U vv 4U vz 3U zz U y U vV y U z Z y U v U z U yy (U v U z ) y (U v U z ) v V y (U v U z ) z Z y U yy U vv 2U vz U zz U vv 6U vz 9U zz 4(U vv 4U vz 3U zz ) 3(U vv 2U vz U zz ) 0 4U vz 0 2u 0 zv u f (v) v 1 u f 1 (v) f 2 ( z) u ( x, y) f 1 ( x y) f 2 (3 x y) 18. Se dice que una ecuaci ón de la forma Auxx + 2Buxy + Cuyy = F(x,y,u,ux,uy) Es elíptica si hiperbólica si
AC-B2
0, parabólica si AC – B2 = 0 e
AC – B2 0. (Aquí A,B,C pueden ser funciones de x y y, y el tipo de (15) puede ser diferente en partes diferentes del plano xy.) Demostrar que : La ecuación de Laplace uxx + uyy = 0 es el íptica. La ecuación de calor ut = c2 uxx es parabólica ut La ecuación de onda utt = c2 uxx es hiperbólica La ecuación de Tricomi yuxx + uyy = 0 es de tipo mixto (elíptica en el semiplano superior , parabólica sobre el eje x e hiperbólica en el semiplano inferior.)
* utt = c2 uxx c2 uxx - utt = 0 A = C2
B=0 AC
–
C =1 B2
=
C2
0
Hiperbólica
Solución
* yuxx + uyy = 0 Auxx + 2Buxy + Cuyy = F(x,y,u,ux,uy) A=y * uxx + uyy = 0 Si
A =1 B =0 C =1 AC - B2 = 1-0
1 0
y 0 y=0 y 0
B=0 Elíptica Parabólica Hiperbólica
19. Si la ecuaci ón A xx
Elíptica
C= Semi-plano Sup Eje x Semi- plano Inf.
2 B xy C yy F x, y, , x , y es
hiperbólica si AC B 0 , puede transformarse llev ándola a la forma normal vz F v, z , u , u v .u z , si se hace 2
2
* ut = c uxx A=C2
c2 uxx = ut B=0 2
AC – B = 0
C=0 Parabólica
v x, y , z x, y donde ctte y ctte son soluciones y y x deAy !2 2 By ! C 0 . Demostrar que en el caso de la ecuaci ón de onda:
x ct x ct
2 2u 2 u c t 2 x 2
A C 2 B 0 C 1
u tt C 2 u xx V x, t Z x, t A y ! 2 By ! C C 2 2 1 0 2
Y y x
C 2 2 1
2
1
C 2
tt h!! t xx h!! t C 2 * C ht t V x ct C x t C C x ct C 1C x ct 0 x ct
g !! t 0 g t t x ct x t C 2 C
x t C 2 C x ct E x ct
1
C 1 x C C ht Y x x x, t ht C
21. Sustituyendo u = F (x) G (y) en (16) y separando variables, demostrar que:
X g t C
x, t
x g t C
F 4 C 2 T 4 cons tan te F c C T F ( x) A cos x Bsen x C cosh x Dsenh x C T a cos c 2t bsenc 2t F 4 4 F F ( 4) F 4 F 4 F 4 4 4 0 2 2 2 2 ( )( ) 0 1, 2 3, 4 i sen x, cos x F ( x) Ae x Be x C cos x Dsen x e x cosh x senh x e x cosh x senh x F ( x) A cosh x Asenh x B cosh x C cos x Dsen x F ( x) ( A B) cosh x ( A B ) senh x C cos x Dsen x F ( x) E cosh x Fsenh x C cos x Dsen x F ( x) A cos x Bsen x C cosh x Dsenh x L.q.q.d . G kc 2G 0 k 4 G 4 c 2G 0 2 4 2 c 0 2 4 c 2 1, 2 i 2 c G (t ) e 0t a cos 2 ct bsen 2 ct
22. Encontrar las soluciones u n = Fn(x) Gn(t) de (16) correspondientes a la velocidad inicial cero y que satisfaga las condiciones en la frontera: u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (extremos simplemente apoyados para todos los instantes t), uxx(0, t) = 0, uxx(l, t) = 0 (momentos cero, por consiguiente, curvatura cero en los extremos).
Condiciones: u(x, 0) = f(x) = x (l – x) uxx(0, t) = 0, uxx(l, t) = 0
2u 2 4u c 0 t 2 x 4
c2
EI A
E = modulo de elasticidad de Young. I = momento de Inercia de la secci ón transversal con respecto al eje Y. densidad A = área
u = F(x) G(t) IV
Demostrar :
F G 2 IV cte F cG u F ( x)G (t ) t 2u F ( x)G (t ) 2 dt u G(t ) F ( x) x 2u G(t ) F ( x) x 2 3u G(t ) F ( x) x 3 4u G(t ) F IV ( x) 4 x
(8)
2u 2 4u c 4 0 t 2 x
EI A
u F ( x) * G(t ) 4 2u 2 u c t 2 x 4
F ( 4) G 2 4 F cG
u = F(x) G(t)
c 2 G (t ) F IV ( x) F ( x)G(t ) dividido para: c 2 G (t ) F ( x) IV
c2
F G 2 4 cte F c G 23. Encontrar la solución de (16 ) que satisfaga las condiciones del problema 22 y la condici ón inicial u ( x, 0 ) = f ( x ) = x ( l – x ).
Encontrar las soluciones
un F n ( x) * Gn (t ) de ( 8 ) con las
siguientes condiciones de frontera
u (0, t ) 0 u (l , t ) 0 u xx (0, t ) 0 u xx (l , t ) 0
entonces la solución general es :
F ( 4) 4 F 0 F 1 ( x) A cos x B sen x F 2 ( x) C cosh x D senh x F ( x) F 1 ( x) F 2 ( x) F ( x) A cos x B sen x C cosh x D senh x
u xx ( 0, t ) F II (0 ) * G (t ) 0 u xx (l , t ) F II (l ) * G (t ) 0 0 F (0) A C II
0 F (0) A C Por consiguiente A = 0 y C = 0 . Al reemplazar estos valores e igualando las ecuaciones obtenemos: D=0
0 F (l ) B sen l
B sen l 0 B 0 sen l 0
n l
n 1,2,3... F n ( x) B sen(
n x) l
Para G (t) la solución general es :
G c 2 4G 0 G ( x) a cos c 2 x b sin c 2 x u 0 t t 0
ut F * G 0 0 G (0) ac 2 sin c 2t bc 2 cos c 2t b0 2 n Gn (t ) an cos c t l 2
n n un ( x, t ) an cos c t * sin x l l n 1
Para la condición inicial u ( x, 0 ) = f ( x ) = x (
l – x )
11.4 23 :
n u ( x,0) an * sin x x(l x) l n 1
u
Para 0 < x < l . Pero esto será la serie de senos de Fourier de f ( x ). l
n an x(l x) sin x dx l 0 l 2
an
2l u sin u 1 u 2 sin u du n 2 2 n 0 2l
n
an
2
2
11.3 7 :
u
8k 1 cos tsenx cos 3tsen3 x ....... 27
sin u u cos u n 1 u 2 cos u 2 cos u 2u sin u n 0 0 n a1
n par
0 8l 2
n 3
3
2 2 x 1 3 x 3 ..... cos c tsen cos c tsen L 27 L L L
25. ¿Cuáles son las condiciones en la frontera si la viga está empotrada en ambos extremos?
n
2
2
an
n x n dx , du u l l
8 L2
3
n impar
N 1,2,3
a2 a3
8l 2 3
8l 2
27 3 8l 2 125 3
24. Comparar los resultados del problema 23 y del problema 7, sección 11.3 ¿Cuál es la diferencia básica entre las frecuencias de los modos normales de la cuerda vibratoria y la viga vibratoria?
Como la viga esta empotrado en los extremos se mantiene fija, o sea sin movimiento entonces sus condiciones serian: Condiciones de frontera:
u (0, t ) 0
u x (0, t ) 0
u ( L, t ) 0
u x ( L, t ) 0
26. Demostrar que F x A cos x Bsen x C cosh x Dsenh x satisface las siguientes condiciones: 0, t 0 l , t 0 si l es una raíz de la ecuación cosh l * cos l 1 Solución:
2 2 4 c t 2 x 4 PRIMERA _ CONDICIÓN F 0 A cos 0 Bsen0 C cosh 0 Dsenh0 F 0 A 0 C 0 F 0 A C A C
SEGUNDA _ CONDICIÓN F l A cos l Bsen l C cosh l Dsenh l 1 Dsenh l F l A cos l Bsen l C cos l C Dsenh l F l A cos l Bsen l cos l A cos 2 l C F l Bsen l Dsenh l 0 cos l A cos 2 l C 0 cos l A cos 2 l C 0 C A cos 2 l A C cosh l * cos l 1 cosh l
1 cos l
l 0 cos l 1 las condiciones en los extremos son iguales F 0 F l entonces si CUMPLE
27. Determinar soluciones aproximadas de :
Cosh( l ) * Cos( l ) 1 Yp Cosh( l ) Cosh( l ) * Cos ( l ) 1 Cosh( l ) 0 Cosh( l ) 1 l 0 Cos ( l ) 0 l Cos 1 0 l
l
2
Yg Cos ( l )
Con n=3
l
2
28. Si una viga esta empotrada en el extremo izquierdo y suelta en el otro figura, las condiciones en la frontera son: U (0 , t); Ux (0 , t) = 0
Uxx (l , t) = 0
condiciones si l es una raíz de la ecuación. Coshl cosl = - 1
2
n x=1
2n 2
Con n=1
l
3
Con n=2
l
5
2
2
Uxxx (l , t) = 0
Demostrar que la F(x) del problema 8 satisface estas
x=0
l
7
F ( x ) A cos x Bsen x C cosh x Dsenh x 0 A C C A F ´( x ) A sen x B cos x C senh x D cosh x 0 B D D B
29. Hallar las soluciones aproximadas cosh( L) * cos( L) 1 Utilizando el programa WinPlot se obtiene :
F ´´( x ) A 2 sen x B 2 cos x C 2 senh x D 2 cosh x F ´´´( x ) A 3 sen x B 3 cos x C 3 senh x D 3 cosh x
L
1.875
L
4.694
3
F ´´(l ) 0 A sen l B cos l C senh l D cosh l A 2 (cos l cosh l ) B 2 ( sen l senh l ) 0 2
2
2
de
2 5 2
2
5.0
cosh(bL)*cos(bL)=-1
F ´´´( x ) 0 A 3 sen l B 3 cos l C 3 senh l D 3 cosh l A 3 ( sen l senh l ) B 3 (bos l cosh l ) 0 A(cos l cosh l ) B ( sen l senh l ) 0 A( sen l senh l ) B (cos l cosh l ) 0 B (cos l cosh l ) 2 B ( sen l senh l ) 0 A sen l senh l B (cos l 2 cos l cosh l cosh 2 l sen 2 l senh 2 l ) 0 b(cos 2 l 2 cos l cosh l cosh 2 l sen 2 l senh 2 l ) 0 1 1 2 cos l cosh l 0 2 2 cos l cosh l 0 1 cos l cosh l 0 cos l cosh l 1 L.q.q.d
y bL=x
4.0 3.0
Y= cos h(bL)*cos(bL)+1
Y= cosh(x)*cos(x)+1
2.0 1.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 -5.0 -6.0 -7.0 -8.0 -9.0 -10.0 -11.0 -12.0 -13.0 -14.0 -15.0 -16.0 -17.0 -18.0
A( 1.875,0) 1.0
2.0
3.0
B( 4.694,0) 4.0
5.0
x
6.0
31. Demostrar que por separaci ón de variables a partir de la ll ecuación ecuaci ón de Tricomi puede obtenerse la ecuación de Airy G – yG = 0.
yu xx u yy 0 u ( x, y) F ( x)G ( y) u xx F G u yy F G y F G F G 0 y F G F G c 2 F G c2 F yG F c 2 F 0 F ( x) A cos cx Bsencx G c 2 yG 0 haciendo c 2 1 G yG 0
EJERCICIOS 11.5
1. Trazar la gráfica de u1, u2, u3, consultar con B n=1, C=1, l = ð, como funciones de x, para los valores de t = 0,1,2,3. Comparar el comportamiento de estas funciones.
u n Bn sen
n x n t e l 2
t érmica. K conductividad térmica. calor específico. específico. densidad del material.
Bn 1 C 1 l
Debido al factor exponencial, todos los t érminos de ( 9 ) tienden a cero cuando cuando t tiende al infinito. La rapidez del del decremento varía var ía con n. En este caso varía con t.
u n sennxe n t u1 senxe t u2 senxe 4 t u3 sen3 xe 9t 2
Además Además cabe cabe señalar señalar que la dirección del flujo de calor siempre va de puntos de temperaturas m ás a puntos de temperaturas temperaturas más baja.
Así Así tenemos :
3.
u0 senx u1 0.37 senx
n x n t cn e n L L está determinad o por : Amplitud de u n está
u2 0.14 senx u3 0.05 senx
2
B n e n t B1 e
1
2 ¿ De qué manera depende la rapidez del decremento de ( 9 )
e
para n fijo, del calor específico, espec ífico, la densidad, y la conductividad
1
t ?.
1
(9)
un ( x, t ) F n ( x) * Gn (t ) Bn sin n
cn l
2
u n B n sen
c2
K
n x t *e l 2
2
1
2
10
2
2
10
B1 2
1 2
Ln 1 Ln 2 Ln 2
10
10
c 2 12 2 1 L2 Ln 2 c 2 2 2 L 10 Ln 2 2 c2 L 0 .007023 L2 2 10 2
Encontrar la temperatura u(x,t) en una barra de plata (10 cm longitud, sección transversal constante con un área de o 1cm2, 10.6g / cm3 de densidad, 1.04 ca / l / cm s C o conductividad térmica, calor específico 0.056 ca / l / g C) que está perfectamente aislado en toda su superficie lateral, sus extremos se mantienen a la temperatura de 0 ºC y su temperatura inicial (en ºC) es f(x), donde:
u ( x,0) Bn Sen n1
n x 10
e 0 Sen0.4 x
u ( x,0) Bn Sen0.1n x Sen0.4 x n1
B 4 Sen0.1 4 x Sen0.4 x 1.75 4 2 2 2.764 B 4 1 4 2 100
4. f(x)=Sen0.4ðx
u ( x, t ) Sen0.4 xe
c c
k Cp
5. f(x) = ksen 0,1 x Datos: Material: plata Longitud: 2 Sección: Sección: 1cm 3 =10,6 g/cm K=1,04 cal/cm. grado s n=0,056 cal/g grado Extremos: 0C
1.04 0.056 10.6
c 1.323 Cn 1.323n n 10 L 2 2 1.75n 2 n 100
n x nt u ( x, t ) Bn Sen e L n 1 n x 0 u ( x,0) Bn Sen e n 1
2.764t
2
10
f( x) sen0,1. x k c2 k c c
1, 04cal / cm sg sg 0, 056cal / g * 10, 6 g / c m
c 1,323
3
f ( x) sen0 ,1 . x k c2
6.
x si 0 x 5 f ( x) 0 si 5 x 10
k
c
1, 0 4 c a l / c m s g
c
0 , 0 5 6 ca l /
3 g * 1 0 , 6 g / cm
c 1,323 n u ( x , t ) B n .sen . c a l c u l a m o s.. B n B n B n
2
10
2 10
f( x). sen.
0
10
x * e
n
2
Bn
nt
n . sen 0 ,1 . x. sen 10
xd x
l 0
n x
dx
1
5
n x
xsen dx 5 10 0
n mpar
n par
f ( x) sen
5
r e s o lv i e n d o..t e n e m o s.. q u e : 0 ,1 x B n 1 / 8 sen calculamos ... n : cn n 1 , 3 2 3 n
0 , 4 1 5 6n 10 S o lu ci òn .. p a ra .. n p a r
n
1
n x 10 x cos n x 100 sen 1 10 10 Bn 5 n 2 2 n 0 20 n x 10 cos n x Bn 2 2 sen n 2 n 2
xd x
0
2
Bn
B n 0 S o lu ci òn .. p a r a.. n i m pa r 0 ,1 x B n 1 / 8 sen soluciòn : nt n u ( x , t ) B n .sen . x * e u ( x , t ) 1 / 8 sen 0 ,1 x .sen ( 0 , 3 1 x ) . * e ( 0 , 4 1 n )
c2
2
u ( x , t ) sen 0 ,1 xe 1, 7 5
2
t / 1 0 0
2
t
k
10
n
n 20 n sen Bn n 2 2
cos
k = k = cond uct i iv i d da d t d t é ér r m i ca . = cal or e f i r e s pe peci ic o
= 1 .0 / cm° C .04 c 4 cal C =0 .0 / g ° .056 c 6 cal g ° C C
= d en si po si d da d d d d el m l mat er i ia l d l d el c l cuer po
=10 .6 g / cm3 .6 g
n
c2
cn
u ( x, t ) Bn sen
n 1
C
1.04
0.056 10.6 c 1.323639
n
1.3236 n
n
n
0.4158 n
10
( x, t )
n 1
( x, t )
n x
e n
n x
e ( 0.4158 n)
n
B sen 10 n
2
2
1.04
(0.56 )(10.6)
1.323
nc (1.323)( ) n 0.41n 10 l
n x dx l 10 10 2 5 n x n x n x Bn 0 xsen dx 5 10 sen dx 5 xsen dx 10 l l l 10 10 1 5 n x n x n x Bn 0 xsen dx 5 10 sen dx 5 xsen dx Bn
B sen 10
k
nx ( n t ) e l
t
2
2
l
f ( x ) sen l 0
5
t
10
1 200
10
n
40 2 2 sen n 2 2 sen 2 2 Bn 2 2 sen 5 n 2 2 n n n
n 1
20 sen x e 0.1715t 10 sen x e 0.689t 20 sen 3 x e1.55t 2 10 2 5 9 2 10 ( x, t ) 10 4 x 2.76 t e ......... sen 10 4
U ( x , t )
7.
x f ( x ) 5 x 5 10 x
10
n
x 5 5 x 10 0
1 9
100
40
2
40
( sen 0 . 1 xe
sen 0 . 3 xe
0 . 017
.3 2
t
0 . 017
..)
.1 2
t
8. f(x)= 0.1x(100-x2)
c
k Cp 1.04
c
0.056 10.6 c 1.323 Cn 1.323n n 10 L 2 2 1 . 75 n 2 0.0175n 2 2 n 100
n x nt e L n 1 n x 0 u ( x,0) Bn Sen e 0.1 x(100 x 2 ) u ( x, t ) Bn Sen n 1
2
10
u ( x,0) Bn Sen0.1n x 10 x 0.1 x 3 n 1
Bn Bn
9. f(x) = 0.01x (10 - x) Datos:
(10 x 0.1 x )Sen0.1n xdx 3
10 5
2
10
2 1
1200 cos n sen 0.1n x e 0.0175 n u ( x, t ) 3 n 3 n 1
0
10
(10 x 0.1 x )Sen0.1n xdx 3
0
k = Conductividad térmica = 1.04 cal/cm = 10.6 g/cm3 = 0.056 cal/g Varilla de plata de longitud = 10 cm 2 Sección transversal constante = 1 cm Temperatura en los extremos T = 0ºC Temperatura inicial = x (10 - x)
2
Determino “c” y “n”.
”, en este último caso para cualquier valor de
“
cal cm 1.7520215 cm 2 c cal g 10.6 3 0.056 g cm 1.04
k
2
2
cn 2 c 2 n 2 2 (1.7520215 cm 2 ) 2 n 2 2 n (10 cm) 2 l 2 l 2n 0.0175202156 (n ) 2 l 2 n x Bn f ( x) Sen dx l 0 l n 2
Bn Bn
2 10
10
0.01 x(10 x) Sen
1 500
n x
0
10
x(10 x) Sen 0
10
n x 10
dx
dx
n x nt e l 8 n x 0.0175 n t Sen e 3 3
u ( x, t ) Bn Sen n 1
u ( x, t ) n 1
2
2
n
10
2
n impar
x si 0 x 2.5 10. f ( x) 2.5 si 2.5 x 7.5 10 x si 7.5 x 10
n
( x, t ) ( x, t )
L
1
n x
7 .5
n
n x
c2
cn 1.04
0.056 10.6 c 1.323639 1.3236n n 10
n x
n 2 t
n
10
n x
20
n n 1
Bn xsen dx 2.5 sen dx (10 x) sen dx 50 10 10 10 2.5 7.5 2 .5
B sen 10 e n 1
10 n x n x 2 Bn f ( x) sen dx f ( x) sen dx l 0 L 10 0 10
2
0.4158n
2
sen 3 n sen n sen n x e ( 0.4158n) t 4 4 10 2
2
11. Suponer que la barra satisface los supuestos del texto y que sus extremos se mantienen a diferentes temperaturas constantes u (0, t ) U 1 y u ( L.t ) U 2 encontrar la temperatura u(x) de la barra despu és de un tiempo prolongado.
u 2 2 u c t x 2 u (0, t ) U 1 u (l , t ) U 2 u ( x, t ) v( x, t ) ( x) v(0, t ) (0) U 1 v(l , t ) (l ) U 2 ( x) no depende del tiempo v 2 2 u 2 c c ´´( x) t x 2 ´´( x ) 0 (0) U 1 (l ) U 2 ´( x) C 1 ( x) C 1 x C 2 U U 1 U 1 C 2 U 2 C 1l C 2 C 2 2 l U U 1 ( x) U 1 2 x l
12. Del problema 11, sea la temperatura inicial u(x,0)=f(x). Demostrar que la temperatura para cualquier tiempo t>0 es u(x, t)=u I(x)+ uII(x, t) con u I como antes y
n x ( c Ln ) t e L n 1 L 2 n x Bn f ( x ) u I ( x ) Sen dx L 0 L
2
u II Bn Sen
2
L
n x
f ( x ) Sen L L
dx
0
2
n
1n U 2 U 1
U U u I ( x) U 1 2 1 x l
u 2 2u c 2 t x u (0, t ) U 1 u (l , t ) U 2 u ( x,0) f ( x) Asumiendo que :
u ( x, t ) u I ( x) v( x, t ) el problema se transforma en :
U U v 2 2 v 2 d 2 c 2 c 2 U 1 2 1 x t x dx l v 2 2 v c 2 t x v(0, t ) 0 v(l , t ) 0 v( x,0) f ( x) u I ( x)
Aplicando (10) :
n x n t e L n 1 n x 0 v( x,0) Bn Sen e L n 1 n x f ( x) u I ( x) Bn Sen L n 1 l 2 n x Bn f ( x) u I ( x ) Sen dx l 0 L
v( x, t ) Bn Sen
l
2
l
U 2 U 1 x Sen n x dx l L 0 0 l l l 2 n x 2 n x 2 U 2 U 1 n x Bn f ( x ) Sen dx U 1Sen dx dx xSen l 0 L l 0 L l l 0 L l l n x U 2 U 1 xSen n x dx U Sen dx 0 1 L L l 0 U 1l (U U 1 )l (1 cos n ) 2 cos n n n l U U 2 cos n n 1 l U U 2 (1)n n 1 l 2 n x 2 l U U 2 (1) n Bn f ( x ) Sen dx l 0 L l n 1 Bn
2
Bn
2
n x
f ( x ) Sen l L
l
dx
2
U l 1
n x 2 U 2 ( 1)n U 1 f ( x ) Sen dx l L n 0
14. Encontrar la temperatura de la barra del problema 13 si el extremo izquierdo se mantiene a la temperatura cero, el derecho está aislado perfectamente y la temperatura inicial es U=const.
dG G c 2 2dt
G e c t 2 2
u (0, t ) 0 u x ( L, t ) 0 u ( x,0) U 0 u F ( x ) G (t ) u F ( x)G (t ) ut t u F ' ( x)G (t ) u x x 2u F ( x )G (t ) u xx x 2 F G c F ' ' G 2
G F ' ' 2 2 c G F
F ' ' 2 F F ' ' F 2 0 F ( x) A cos x Bsen x F ( x) A sen x B cos x
u (0, t ) 0 u x ( L, t ) 0 F (0) 0 F ( L) 0 F (0) A cos 0 Bsen0 0 A 0 F ( L) B cos L 0 cos L 0 n n impar 2 L
F n ( x) C n sen
Gn (t ) Dn e
Encontrar la temperatura en la varilla del problema 13, si l , c = 1 y
2 cn t 2 L
2
un Bn e
n x 2 L
15.
u x, t A0 An cos
cn t 2 L
n x sen 2 L
n 1
A0
u ( x, t ) u n n 1
u ( x, t ) Bn e
f x 1 si 0 x
2
cn t 2 L
n 1
u ( x,0) Bn sen n 1
sen
n x 2 L
n x U 0 2 L
1
n. . x c.n. / l e l 1
l
0
An
2
0
l
f x cos l
An
0
2
n. . x dx l
cosn. x dx 0
n x U 0 2 L n 1 n x U 0 Bn sen 2 L n 1 L 2 n x Bn U 0 sen dx L 0 2 L
f x dx 1dx 1 l
u ( x,0) Bn sen
u A0 1
2
t
16. f(x)=x
A0
1
L
L
0 f ( x)dx
A0
An
x Cos L L
2 2
L
0
1
n x
0 xdx
dx
2
x 2 2 0 1
x Cosnxdx 0
u x (0, t ) 0 u x (l , t ) 0 u ( x,0) f ( x) l c 1 u ( x,0) f ( x ) 0.5 cos 2 x u 2u 0 x 3 t x 2 u (0, t ) u ( , t ) u ( x,0) f ( x ) 0.5 cos 2 x
n. . x c.n. / l t e l n 1 n. . x 1.n. / t u x, t A0 An cos e u x, t A0 An cos
2
2
2
1n t
n x 2(cos n 1) u ( x , t ) e cos 2 n n 1 2(cos n 1) cosnx e n t u ( x , t ) n 2 n 1 2
17. f(x)=0.5Cos 2x
n 1
u x, t A0 An cos nxen t n 1
2
u x,0 A0 An cos nx 0.5 cos 2 x n 1
A0 A2 cos 2 x 0.5 cos 2 x A0 0 A2 0.5 u x, t 0.5 cos 2 xe 4t
18. f (x)=x2.
1
u ( x, t ) A0 An e
f ( x)dx L
Ao
1
Ao Ao
0
u ( x, t )
2
1
4
3
2
n 1
cos n e
An An
L 2
L
19. f x x si 0 x
An
2
n 1
x Cosnxdx
n2
2
x
n. . x c.n. / l e l
2
t
2
0
2 2 xCosnx
4
1
f x x si
u x, t A0 An cos
2
x 2 3 Sennx 0 2 n n n 2 2 Cosn An n2 An
n x
3
0 x Cosnxdx
cos
2
2
2 1n t
2
0
2
2
n x l
n 4 u ( x, t ) 2 cos n e n t cos nx 3 n 1 n
x dx
x3 0 3
cos
n 1
L
Ao
2 cn t l
A0
2
A0
1
/ 2
0
xdx
1
1
/ 2
Cosn
l
f x dx l 0
( x).dx
A0 An
2
l
4
f x cos l 0
mediante derive
n. . x dx l
An
2
/ 2
x cosn. x dx
0
2
/ 2
x cos n. xdx mediante derive
n. 2 2.cosn 2 .n 2 .n 2 .n 2
4. cos
An
2
9.
u cos 2t .e 4t cos 6t .e 36t ............ 4 4 36
8 1
1
20. f(x)=1 si 0
A cos n x e
1
f ( x)dx A l
n
0
2
l
f ( x) cos l 0
1 si 0 x / 2 f ( x) 0 si / 2 x Ao
1
/ 2
1
dx x 0
/ 2 0
,
n
n
( x, t ) A0
( x, t )
2
n impar n 1,3,5,7.....
An cos nxe n t 2
n 1
2 3 3 cos xe t cos 3 xe 9t cos 5 xe 25t ....... 2 3 5
1
21.
n 1
A0
An
2
( cn / l ) 2 t
n
l
/ 2
2 sen
2
A1 0, A2 , A3 0, A4 0, A5 0, A6
n / 2 sen 2 sennx 2 An cos nxdx 0 n 0 n 2
1 1 2 2
n x dx n 1,2,3.... l
f ( x) x si 0 x
2
,
f ( x ) 0 si
u 2 2 k c u c2 t 2 u 2 u c 2 t x u (0, t ) 0 , u (l , t ) 0 u ( x,0) 0 f ( x ) condición inicial
2
x
Aplicando el método de sepaación de variables.
u ( x, t ) F ( x)G (t ) F G c 2 F ' ' G
G F ' ' k si k es p 2 c 2G F
F' ' p F 0 2
c 2 p 2G G
0 Solución F ( x) A cos px Bsenpx CalculoBn l 2 n x n x l l Bn f ( x) sen dx dm x m si m dx l 0 l l n n
22. Considerar la barra del problema 4-10. Suponer que los extremos se mantienen a 100 C durante un tiempo prolongado, Después de un instante, por ejemplo, en t=0 la temperatura en x=L cambia repentinamente a 0C y se mantiene en este valor en tanto la temperatura en x=0 se mantiene a 100 C ¿Cuáles son las temperaturas a la mitad de la barra en t=1,2,3,10,50 segundos?
Bn
/ 2
22
xsen
l 0
n x 2 l l n x n x n x dx cos sen l l n n l l l 0
n 2 n 2 n 2 2 n n n 2 sen Bn 2 2 sen cos cos n 2l 2l 2l n 2 2 2 n x t u ( x, t ) Bnsen e l n 1 e t e n t porque c 1 2 n n n sennx(e n t ) u ( x, t ) 2 sen cos n 2 2 2 2l
2
2
u (0, t ) 100 u (10, t ) 0
2
2
u ( x , t )
u 2u c2 2 t x
2
e t senx 1 e t sen 2 x 4
2
2 9
e 9t sen3 x ......... con n 1,2,3,4....
u ( x, t ) V ( x, t ) ( x) V 2 2V c 2 " ( x) t t
V (0, t ) 0 V (10, t ) 0 V ( x,0) sin 0.1 x (0) 100 (10) 0
n V ( x,0) C n sin x sin 0.1 x l n1 1 C 1 sin x sin 0.1 x C 1 1 10
F ´´ G 2 F c 2 G
2
1.752 t 10
F " 2 F 0 F ( x) A cos x B sen x
V ( x,t ) sin0.1 x e "( x) 0
0 F (0) A 0 F (l ) B sin l B 0 n
G
c
Gn (t ) D *
2
G
e
2
100 (10) 10 A1 100 0 A1 10
´( x) A1 ( x) A1 x A2
( x) 10x 100
l
F n ( x ) B sen (
(0) A2
n x) l
2
1.752 t 10
u( x, t ) sin0.1 x e
0
1.752 t 10
u(5, t ) sin0.1 5 e
c 2 n 2 2 t l 2
V n ( x, t ) n 1
n C n * sin x * e l
100 10 5
2
1.752 t 10
u( x, t ) sin0.5 e
2
100 10 x
2
c2 n2 2 t l 2
1.752 t 10
u( x, t ) 50 e
50
T iem po po ( se se g . ) ) t 1 t 2 t 3 t 10 t 50
T em pe per at ur a ( °C ) 50.738 50.545 50.403 50.303 50
23. (Radiación en el extremo de la varilla) Considérese una varilla lateralmente aislada de longitud ð y tal que c = 1 en (1), cuyo extremo izquierdo se mantiene a 0 °C en tanto que el derecho irradia con libertad hacia el aire con temperatura constante de 0 °C . La condición en la frontera de radiación es:
Condiciones de frontera
U (0, t ) U ( , t ) 0 F // Fp 2 0 .
U x , t K U , t U 0 donde U0 es la temperatura del aire de los alrededores y K es una constante, digamos que para simplificar k=1. Demostrar que una soluci ón que satisface estas p2
condiciones en la frontera es u x , t sin pxe t donde p es una solución de tan p p . Mostrar gráficamente que esta ecuación tiene una infinidad de soluciones positivas p1, p2, p3,.... 1 1 donde p n n y lim p n n 0 n 2 2 La grafica de la varilla se muestra en la siguiente grafica
G 2 n G 0 2 n pc
u (0, t ) F (0) * G (t ) u ( , t ) F ( ) * G (t ) U x , t K U , t U 0 F ( ) * G (t ) K U , t U 0
U x , t K U , t U 0 Ecuación unidimensional de calor
u 2 2 u c t x 2 u ( x, t ) F ( x) * G (t ) 2 u 2 // c F G x 2 . u GF t
F (0) 0 F ( ) Bsenp Por lo tanto la soluci ón es:
F ( x) Bsenpx Al resolver la segunda ecuaci ón diferencial nos queda
.
c 2 F // G GF p 2
p 1,2,3,4,......
( x, t ) A0
n x
A cos n
e ( cn / l )
2
t
n 1
.
1
l
2
l
G F p 2 Gc 2 F Igualo las dos a la constante p 2 para poder integrar y las
A0
dos ecuaciones me quedan de la siguiente manera
1 si 0 x / 2 f ( x) 0 si / 2 x
//
Al resolver la primera ecuación diferencial nos da como solución: F ( x) A cos px Bsenpx
Ao
f ( x)dx An
l 0
1
/ 2
0
Aplicando las condiciones frontera a esta última ecuación se tiene que:
An
1
dx x
2
/ 2 0
f ( x) cos l 0
n x dx n 1,2,3.... l
1 1 2 2
sen n / 2 2 sennx 0 cos nxdx n 0 n 2
/ 2
2
2 sen
An
n
n
( x, t ) A0
2
n impar n 1,3,5,7.....
An cos nxe n t 2
n 1
( x, t )
2 3 3 cos xe t cos 3 xe 9t cos 5 xe 25t ....... 2 3 5
1
.
G 2 n G 0 2 n pc c2 1 2
Gn (t ) Bne n t Gn (t ) Bne p t 2
Por lo tanto la soluci ón de la ecuación de calor es:
u ( x,0) F ( x) * G (t ) u ( x,0) senpx * e p t 2
24. Ecuación no homogénea de calor. Considérese el problema que consta: Ut - C2Uxx= Ne -ax
Y las condiciones (2), (3) aqu í el término segundo miembro puede representar p érdida de calor debida a desintegración radiactiva en la barra. Demostrar que este problema puede reducirse a un problema de la ecuaci ón homogénea al hacer: u(x,t)=v(x,t)+w(x) y determ inar w(x) de tal modo que v satisfaga la ecuaci ón homogénea y las condiciones v(0,t)=v(L,t);v(x,0)=f(x)-w(x)
u (0, t ) 0 u (l , t ) 0 u ( x,0) f ( x) U Um( x, t ) Up( x) U ( x, t ) V ( x, t ) W ( x) Vt c 2Vxx 0 Vt c 2Vxx U ( x,0) V ( x,0) W ( x ) U ( x,0) f ( x) V ( x,0) f ( x) W ( x) dw 0 dt d 2 w Wxx dx 2
d 2 w Ne x dx 2 dw Ne x dx c 2 N 1 W 2 e x a c N dw c 2 e x a dx N W ( x) 2 2 e x ax b c
w c 2 w xx Bw t conw xx 0 tenemos w Bw 0 t w Bw t w w Bdt w e Bt
c2
25. Si la varilla mencionada es el texto puede irradiar temperatura libremente hacia el medio que lo rodea, el cual se mantiene a la temperatura constante cero , la ecuaci ón vt = c2vxx- v. Demostrar que esta ecuaci ón puede reducirse a la forma ( x , t) w(t) vt = c2vxx- v v ( x,y) = (x,z) w(t) vt = ut w(t) +u w’(t)
u 2u c 2 2 si se hace v( x ,t) =u t x
vx = uxxw 2 ut w + u w’= c uxx w – B uw 2 [ut w-(c -Bu)] + u w’ = 0 2 ut w = c uxx w – (u w’ + Buw) ut w = c2 uxx – ( w’ + Bw) u de lo cual con Bw = 0 tenemos 2
ut = c uxx
27. ¿Cuál es el flujo de calor a través de x=0 para la solución (10).
u ( x, t ) Bn sen n 1
nx ( n t ) e L 2
n
u 2 2u c 2 t x u (0, t ) 0 u ( , t ) 0 n x e u ( x, t ) Bn sin
cn L
n
n
n nx ( n t ) Bn cos e L n 1 L n n 0 ( n t ) u x (0, t ) Bn cos e L n 1 L n u x (0, t ) Bn e ( n t ) n 1 L n (t ) K Bn e ( n t ) n 1 L K (t ) nBn e ( n t ) L n 1 u x ( x, t )
2
28. resolver (1), (2), (3) con L=ð y f(x)=U0=const si 0
cn
u ( x, t ) Bn sin nx e c n t 2 2
n 1
U 0 f ( x) 0 Bn
2
2
cn
2
2
t
n 1
(t ) Ku x (0, t )
2
Bn
2
0 x
L
f ( x) sen
L 0 2
/ 2
0
2
2
x
/ 2 n x 2 n x dx U 0 sen dx L 0
U sennxdx 0
n 2U u ( x, t ) 0 (1 cos ) sin nx e c n t 2 n n 1 1 n u ( x, t ) 2U 0 (1 cos ) sin nx e c n t 2 n 1 n 2
2
2 2
29. Si la barra del problema 28 se compone de dos partes de hierro de temperaturas iniciales 20 C y 0 C que se ponen en contacto perfecto en t=0 ¿Cuál es la tempertura aproximada en la superficie de contacto en t= 10,20,30 segundos? Del problema 28 : n 2U u ( x, t ) 0 (1 cos ) sin nx e c n t 2 n 1 n n 1 u ( x, t ) 2U 0 (1 cos ) sin nx e c n t 2 n 1 n c 2 0.16 L U 0 20 n 1 u ( x, t ) 2 20 (1 cos ) sin nx e 0.16 n t 2 n 1 n n 1 u ( x, t ) 40 (1 cos ) sin nx e 0.16 n t 2 n 1 n 2 2
2 2
2
31. y
4
3
1 u sen x 2 2
u= 0
u= 0
1
x -4
-3
-2
-1
1
u= 0 -1
-2
2
-3
-4
2
3
4
5
y
n x n y u ( x, y ) An sen senh a b n 1 n x n y u ( x, y ) An* sen senh *
2
n 1
u ( x,2) An* sen n 1
u ( x,2) A sen * 1
n x 2
30
u=0
10
senhn sen
x
x
2
2
x
A senh 1
x 10
senh
n x n y senh a b n 1 n x n y u ( x, y ) An* sen senh 20
n 1
sen
senh
x 2
senh
30
u ( x,40) An* sen
1
20
u ( x, y ) An* sen n 1
1
u ( x, y )
u=0
2
* 1
A1*
u=0
20
2
senh sen
u= 220V
40
y
An*
2
32. Encontrar el potencial en el rect ángulo 0≤x≤20, 0≤y≤40.cuyo lado superior se mantiene en el potencial 220 V y cuyos lados restantes están conectados a tierra.
An*
2 22
n x senhn 220 20
20
20 senhn 20
40
n x
220 sen 20 dx 0
n x
22
20
sen dx (1 cos n ) 20 senhn senhn n 0
An
440
(1 cos n ) n senhn n y 440 n x (1 cos n ) sen u ( x, y ) senh 20 40 senhn n 1 n 1 cos n n x n y u ( x, y ) 440 sen senh 20 40 senhn n 1 n *
33. y
n x n y u ( x, y ) An sen senh a b n 1 n x n y u ( x, y ) An* sen senh *
24
n 1
u ( x,24) An* sen n 1
4
3
2
u= 0
24
n x 24
u= 0
u= 0
1
x -4
senhn 20
-3
-2
-1
1
2
3
4
u= f(x) -1
-2
An*
2
24
20
24
n x
20 sen dx 24 senhn 24
-3
-4
0
An*
n x
20
24
sen dx (1 cos n ) 12 senhn 24 12 senhn n 0
An*
40
(1 cos n ) n senhn 40 n x senh n y (1 cos n ) sen u ( x, y ) senhn 24 24 n 1 n 1 cos n n x n y u ( x, y ) 40 senh sen senhn 24 24 n 1 n
35.
De la página 114 la solución de F(x) no cambia :
F ( x ) sen
n x a
5
Para la solución en G :
G ( y) Gn ( y ) An e Gn (b) An e An e
n b a
n b a
Bne
n y a
n b a
Bne
n b a
Bn e
n y a
0
0
2 n b
Bn An e
a
Gn ( y ) Ane
n y a
Gn ( y ) An (e
2 n b
An e
n y a
e
a
2 n b
e
a
e
n y a
n y a )
n y n y 2 na b n y n y senh e (cosh senh ) Gn ( y ) An cosh a a a a 2 n b 2 n b n y n y a ( ) ( 1 ) cosh ( 1 e a ) senh Gn y An e a a La solución final será:
2 n b 2 n b n y n y n x u( x, y ) An (1 e a ) cosh sen (1 e a ) senh a a a n 1 2 n b 2 n b n 0 n 0 n x u( x,0) An (1 e a ) cosh sen (1 e a ) senh a a a n 1 2 n b 2 n b n x f ( x ) An (1 e a ) cosh 0 (1 e a ) senh0 sen a n 1 2 n b n x f ( x ) An (1 e a ) sen a n 1
2 n b 2 a n x An 1 e a f ( x) sen dx a a 0 a 2 n x An f ( x) sen dx 2 n b a 0 a a(1 e ) 36. Encontrar la temperatura del estado estacionario de la placa o o 33 si el lado inferior se mantiene a U 0 C, el superior U 1 C y los o otros lados a 0 C Sugerencia partir el problema en dos problemas en los que la temperatura en la frontera es cero en tres lados para cada problema.
y
An*
u U 1
2
24
U sen 24 senhn 1
0
20
An*
u=0 u=0 10
u U 0
x
20
3
-10
El problema se divide en dos: 1) el lado superior a temperatura U 1 y los lados restantes con temperatura 0, la solución se obtiene usando las fórmulas (19) y (20)
n x n y senh a b n 1 n x n y u ( x, y ) An* sen senh u ( x, y ) An* sen n 1
u ( x,24) An* sen n 1
24
24
n x senhn U 1 24
24
dx
24 U 1 U 1 24 n x (1 cos n ) sen dx 12 senhn 0 24 12 senhn n
2
An* 10
n x
(1 cos n ) n senhn 2 n x senh n y (1 cos n ) sen u ( x , y ) 24 24 senhn n 1 n 1 cos n n x n y u ( x , y ) 2 senh sen 24 24 n senhn n 1
2) el lado inferior a temperatura U 0 y los lados restantes con temperatura 0, la solución se obtiene usando las fórmulas resultantes del problema 35 : 2 n b 2n b n y n y n x (1 e a ) senh u( x, y) An (1 e a ) cosh sen 24 a a n 1 2 24 2 24 n n n y n y n x (1 e 24 ) senh u( x, y) An (1 e 24 ) cosh sen 24 24 24 n 1 n y n y n x (1 e2n ) senh sen u( x, y) An (1 e2n ) cosh 24 24 24 n 1 n x U 0 u( x,0) An (1 e2n ) cosh 0 (1 e2n ) senh0 sen
n 1
24
U 0 An (1 e 2 n ) sen n 1
An 1 e 2 n
2
n x 24
n x
24
39. Encontrar la temperatura de estado estacionario u(x,y) en la franja 0
0 con lados verticales perfectamente aislados y el lado inferior mantenido a la temperatura f(x).
U sen dx 24 24 0
y
0
An
24
U 0 12(1 e 2 n )
10
n x
sen 24 dx
9
0
24 U 0 (1 cos n ) 2 n 12(1 e ) n 2U (1 cos n ) An 0 n (1 e2 n )
8
An
La segunda solución es :
7 6
u x ( , y ) 0
5
u x (0, y) 0
4
(1 e2 n ) cosh n y n x 2U (1 cos n ) 24 u ( x, y) 0 sen 2 n n y ( 1 ) 24 e n 1 n 2 n (1 e ) senh 24
3
La solución total es la suma de las dos soluciones obtenidas anteriormente.
2 1
-p/2
u ( x,0) f ( x) p/2
p
3p/2
x
-1 -2
n y 1 cos n n x u( x, y ) 2 senh sen 24 24 senhn n 1 n n y 2 n ) cosh 2U (1 cos n ) (1 e n x 24 0 sen 2 n n y 24 n (1 e ) n 1 2 n (1 e ) senh 24
2u 0 u x (0, y ) u x ( , y ) 0 F (0) F ( ) 0 u ( x,0) f ( x)
d 2 F kF 0 dx 2 F ( x) A cos k x Bsen k x F ( x) k Asen k x k B cos k x F (0) 0 F ( ) 0 F (0) k B 0 B 0 F ( ) k Asen k 0 sen k 0 k n F n ( x) cos nx
k n 2
d 2G 2 n G 0 dy 2 Gn ( y ) Bn e ny An e ny Aplicandola condición y :
An e ny ) 0 Por lo tanto es necesario que Bn 0 Gn ( y ) An e ny lim y Gn ( y ) lim y ( Bn e ny
La solución es :
u ( x, y ) An e ny cos nx n0
u ( x,0) An e 0 cos nx f ( x)
40. (Problema de Neumann). Resolver u 0 en el rectángulo de la Fig. 263 sujeto a las condiciones de Neumann u y(x,0)=f(x) y un=0 en todos los lados 2
2u 0 u x (0, y ) u x (a, y ) 0 F (0) F (a) 0 u y ( x, b) 0 G (b) 0 u y ( x,0) f ( x) Procediendo de forma similar como se indica en la p ágina 114:
d 2 F kF 0 dx 2 F ( x) A cos k x Bsen k x F ( x ) k Asen k x k B cos k x F (0) 0 F (a ) 0 F (0) k B 0 B 0 F (a) k Asen k a 0
n0
f ( x) An cos nx n 0
A0 An
1
f ( x)dx
0 2
sen k a 0
k a n
f ( x) cos nxdx 0
n x F n ( x ) cos a
n k a
2
2
d 2G n G 0 dy 2 a Gn ( y ) Ane
n y a
Bne
n y a
n y n n na y a G( y ) An e Bn e a a G (b ) 0
G(b) G( y) Gn ( y ) An e
n n ab n na b 0 A e Bn e a n a
n b a
Bne
n b a
0
2 n b
Bn An e
a
Gn ( y ) An e
n y a
2 n b
An e
n y
2 n b 2 n b n n x n u y ( x,0) An (1 e a ) senh0 (1 e a ) cosh 0 cos a a n 1 a n b 2 n n x f ( x) An (1 e a ) cos a n 1 a 2 n b n 2 a n x An (1 e a ) f ( x) cos dx a a a 0
n y
n y a
Bn e a n b n b n b n b Gn (b) An e a Bn e a 0 a a An e
2 n b 2 n b n y n y n x (1 e a ) senh u ( x, y) An (1 e a ) cosh cos a a a n 1 2 n b 2 n b n n y n n y n x (1 e a ) cosh u y ( x, y) An (1 e a ) senh cos a a a a n 1 a
a
2 n b
e
n y a
n y
Gn ( y ) An (e a e a e a ) n y n y 2 na b n y n y senh e (cosh senh ) Gn ( y ) An cosh a a a a 2 n b 2 n b n y n y (1 e a ) senh Gn ( y) An (1 e a ) cosh a a
An
a
2
f ( x) cos
2 n b
n (1 e
a
)
0
n x dx a
EJERCICIOS 11.8
1. ¿Cómo cambia la frecuencia de la solución (13) si la tensión de la membrana se inc rementa?
22
c
8
23
c c
13
20
42
c c
33
c
18
34
c
25
43
c
25
44
c
32
32 24
C, aumenta as í como la frecuencia. 2. Determinar y trazar las l íneas nodales, de las soluciones (13) con m = 1,2,3,4 y n =1,2,3,4 en el caso en que a = b =1. m x n y * sen (13) u mn ( x, y , t ) ( Bmn cos mn t Bmn sen mn t ) sen
a
mn mn
c
m2 n2 a2 b2
c m n 2
Como :
m 1,2,3,4 n 1,2,3,4
2
b
13
20
Aplicando (13):
xsen y u11 B11 cos c 2t B* senc 2t sen 11
xsen2 y u12 B12 cos c 5t B* senc 5t sen 12
2 xsen y u21 B21 cos c 5t B* senc 5t sen 21
xsen3 y u13 B13 cos c 10t B* senc 10t sen 13
u31 B31 cos c 10t B31* senc 10t sen 3 xsen y
c 12 c 21 c
2
xsen y u12 B11 cos c 2t B* senc 2t sen
5
xsen4 y u14 B14 cos c 17t B* senc 17t sen
5
c 31 c
4 xsen y u41 B41 cos c 17t B* senc 17t sen
10
2 xsen2 y u22 B22 cos c 8t B senc 8t sen
c 41 c
17
11
13
14
11
14
41
10
*
22
u23 B23 cos c 13t B* senc 13t sen 2 xsen3 y 23
3 xsen2 y u32 B32 cos c 13t B senc 13t sen *
17
32
u 24 B 24 cos c
20
t B * senc
20
t sen 2 xsen 4 y
u 42 B 42 cos c
20
t B * senc
20
t sen 4 xsen 2 y
24
42
u 33 B 33 cos c 18 t B * senc 18 t sen 3 xsen 3 y 33
u 34 B 34 cos c
25
t B * senc
2 5 t sen 3 xsen 4 y
u 43 B 43 cos c
25
t B * senc
3 y
25
t B senc
u 43 B 43 cos c
34
43
*
43
u 44 B 44 cos c 32 t B 44* senc
25 t sen 4 xsen 25 t sen 4 xsen 32 t sen 4 xsen
3 y
5.Encontrar eigenvalores de la membrana rectangular de lados a = 2, b = 1 tales que dos o mas eigenfunciones diferentes correspondan a cada uno de esos eigenvalores. Datos. a=2 b=1
4 y
Los valores correspondientes de los eigenvalores son. mn
c
m2 n 2 a2 b2
Teniendo en cuenta que los valores de:
m 1,2,3,4........ n 1,2,3,4..........
8. Usando integración por partes, comprobar los cálculos de Bmn del ejemplo 2. m x n y 1 2 4 2 2 (4 x x )(2 y y ) sen Bmn sen dxdy 20 0 0 4 2 4 n y m x 1 2 2 2 (2 y y ) sen (4 x x ) sen Bmn dy dx 0 20 0 2 4 2 2 2 n y n y n y 2 dy 2 0 ysen dy 0 y 2 sen dy (2 y y ) sen 0 2 2 2
Tenemos: 12
c
17
21
c
2
4
2
Nuestra eigenfunción va a ser:
m x n y u mn ( x, y, t ) ( Bmn cos mn t B mn sen mn t ) sen sen a b *
u12 cos c
17 4
tsen xsen2 y
u 21 B21 cos c 2tsen 2 xsen y Al sumar ambas nos queda.
17 u12 u 21 cos c tsen xsen2 y B21 cos c 2tsen 2 xsen y 4
2
n y
0
2
2
n y
ysen
2
ysen
2
ysen
0
2
0
2 n y 2
2
n y 2 y n y 4 cos dy 2 2 2 sen n 2 2 0 n dy dy
8 n 8 n
(1)(1) n (1) n 1 2
2 y 2 ny 4 2 y ny 4 ny dy cos sen cos 2 2 0 n n n 2 2 2 2 0 n 2 n y 8 16 16 16 0 y 2 sen 2 dy 3n3 n cos n 2 n2 sen n 3n3 2 n y 16 8 0 y 2 sen 2 dy 3n3 cos n 1 n cos n 2 n y 16 8 0 y 2 sen 2 dy 3n3 cos n 1 n (1)n1 2
y 2 sen
n y
2
(2 y y ) sen 2
0
2
(2 y y ) sen 2
n y 2 n y 2
0
dy
8 n
dy
(1) n 1 16
3
n
3
16 3
n
3
cos n 1
8 n
4
(4 x x ) sen
(1) n 1
4
(4 x x ) sen
cos n 1
4
(2 y y ) sen
n y
0
4
(4 x x 0
2
2
) sen
4 x sen
m x
dy
m x 4
(4 x x ) sen
32 3
n
2
0
dx
4 m x
64
m
dx
4
1m 1
128
128
3
m
3
cos m 1
64 m
1m1
cos m 1
3 m 3
m x
dx
4
256 3 m 3
3
4
dx 0 4 x sen
m x 4
4
dx 0 x 2 sen
m x 4
m, n mpar : 1 256 32 Bmn 3 3 3 3 20 m n
dx
4
64 m x 16 x m x dx 2 2 sen cos 0 4 4 4 0 m m 4 m x 64 64 senm 0 4 x sen 4 dx m cos m 2 m 2 4 m x 64 m 1 0 4 x sen 4 dx m 1
Bmn
409.6 6 m 3 n 3
9. Bmn del ejemplo 2 es un producto de dos integrales. Determinar a que funciones corresponden estas integrales y comprobar sus valores. 4
4 x 2 16 m x m x 8 4 x m x m x 0 x 2 sen 4 dx m cos 4 m m sen 4 2 m 2 cos 4 0 4 128 64 128 sen m 128 m x 0 x 2 sen 4 dx 3 m 3 cos m m cos m 2 m 2 3 m 3 4 128 64 m x m 0 x 2 sen 4 dx 3 m 3 cos m 1 m 1 1 4
m x
m impar : 2
4
2
0
n mpar : 2
2
0
Bmn
1
4
4 x x sen 20 2
4
2
0
256
m1
256
m 3
4
dx
m 3 3
m impar
m3 3
f m
m x
3
sen
m x 4
2
dx 0 2 y y 2 sen
4 128
0
4 x x sen C m
m x
1 cos m
n y 2
dy
2
n y
0
2
C n 2 y y 2 sen C n
32
16
n 3 3
1 cos n
n impar
n3 3
f n
dy
32
sen
n y
2 n 2 f n ( x ) 2(4 x x ) f n ( y) (2 y y 2 ) n 1
3
3
Representar f(x,y) por una serie doble de Fourier de la forma (18) donde 0 x 0 y 10. ( x, ) 1
Bmn Bmn Bmn
b a
m x n y f ( x, y) sen sen dxdy ab 0 a b 0 4
4
2
4 2
sen 0 0
m x
sen
n y
dxdy
sen(mx) sen(ny)dxdy 0 0
8 f ( x, y ) (1 cos m ) sen( mx) sen( ny ) 2 mn m 1 n 1 n impar
11. f ( x, y) x
12.
m x n y f ( x, y ) Bmn sen sen a b m 1 n 1
f ( x, y ) Bmn senmxsenny m 1 n 1
4
n 0
Bmn Bmn Bmn
Bmn
4
2
0
2
Bmn
2
4 1
m
4
Bmn
mn
0
1 senmxsennydxdy
1
m 1 cos m sennydy 0
1
1 cos m 1 cos n n
1 cos m 1 cos n n impar
8
2
mn
1m 1
f ( x, y ) m 1 n 1
8
2
mn
n impar
1m1 senmxsenny
1 f ( x, y ) 0
0 x
2
x 2 b a 4 m x n y Bmn f ( x, y ) sen sen dxdy ab 0 0 a b Bmn Bmn
4
2
4 2
/ 2
sen 0
0
/ 2
m x n y sen dxdy
sen(mx) sen(ny)dxdy 0
0
Representar las siguientes funciones f(x,y) 0 x a 0 y b por una serie doble de fourier de la forma (18) 14.
f ( x, y) k Bmn
4
b a
f ( x, y) sen ab 0 0
8 (1 cos m ) sen(mx) sen(ny) f ( x, y) 2 2 m 1 n 1 mn n impar 1 si x, y 2 0 en caso contrario
13. f ( x, y )
Bmn
Bmn Bmn Bmn
/ 2
0
0
n
1 senmxsennydxdy
m sennydy 2 4 m 1 1 cos 1 cos n m 2 2 n 4 m 2 1 cos 1 cos n mn 2 n impar 0 0 n par
Bmn Bmn
4
4
2
1
m 1 cos 0
Bmn
4k
b a
sen ab 0 0
m x n y sen dxdy a b
m x n y sen dxdy a b
8k (1 cos m ) sen( m x ) sen( n y ) f ( x, y ) 2 2 a b m 1 n 1 mn n impar
15. f 0.25 xy
m x n y sen dxdy ab a b 4 b a m x n y B mn 0.25 xysen sen dxdy 0 0 ab a b b a n y m x B mn 10 ysen dy 0 xsen dx b a b a b2 n y by n y a 2 m x ax m x cos B mn 2 2 sen sen cos b n b 0 2m 2 a m a 0 n B mn
4
b a
0 0 f ( x, y) sen
b 2 a 2 b2 a2 cos m B mn 2 2 senn cos n 2 2 senm n m n m 2 2 ab cos n cos m B mn n m a 2b 2 cos n cos m B mn nm 2 a 2b 2 ( 1) m (1) n B mn 2 nm a 2b 2 B mn (1) m n nm 2 a 2b 2 m x n y f ( x, y) sen (1) m n sen 2 nm a b m 1 n 1 16. f ( x, y )
0.125( x y )
m x n y f ( x, y ) Sen a b m 1 n 1 b a m x n y Bmn f ( x, y ) Sen Sen dxdy a b 0 0 ( x, y,0)
B
mn
Sen
Bmn
4
b a
f ( x, y) Sen ab 0 0
m x n y Sen dxdy a b
b a
m x Sen n y dxdy a b b a 1 m x Sen n y dxdy ( x y ) Sen Bmn 2ab 0 0 a b Bmn
4
ab 0 0
0.125( x y ) Sen
17. f=(x+1)(y+1) Forma 18:
x y y 1 Bmn sen m 1 n 1
m x n y sen a b
Donde tenemos:
Bmn
22
b a
x 1 y 1 sen b a 0
0
m x n y sen dxdy a b
Resolviendo la integral obtenemos:
Bmn
a2 b2 sen sen a cos ab cos b cos a cos b ab m m 2
La serie doble de fourier nos queda.
a2 b2 sen sen a cos a * b cos b m x n y 1 sen sen x y y m m ab a b m 1 n 1 cos a cos b
18.
2
f ( x, y ) xy (a x(b y ) Bmn Bmn
b a
m x n y f ( x, y ) Sen Sen dxdy ab a b 0 0 4 4
b a
xy(a x)(b y) Sen ab 0 0
m x n y Sen dxdy a b
u x, y,0 Bmn sen m 1 n 1
m x n y f x, y sen a b
Encontrar la deflexión u(x,y,t) de la membrana cuadrada con a = b = 1 y c = 1, si la velocidad inicial es cero y la deflexión inicial es f(x,y), donde: 20. f ( x, y )
0.1 sen xsen y
m x n y f ( x, y ) Sen a b m 1 n 1 m x n y ( x, y ,0) Bmn Sen 0.1 sen xsen y Sen ( x, y ,0)
( x, y ,0)
B
mn
Sen
1
m 1 n 1
B
mn
1
Senm xSenn y 0.1 sen xsen y
m 1 n 1
B11Sen xSen y 0.1 sen xsen y B11 0.1 Resolviendo, k y p obtengo:
c
2
2
2 2
2 u11 B11 Cos 11t ( sen x sen y ) Unificando : u11 0.1 Cos( 2 t )( sen x sen y) 11
21. f = k sen x sen 2 y
m a k m k
n b p n
p
Como m 1, n 2, a b 1; obtengo : k
m n k p a b k m p n Como m 1, n 1, a b 1; obtengo : k p 11
Resolviendo, k y p obtengo :
p 2
c 2 4 2
c 5 2 c 5
Como c 1 el valor de " " queda :
5
u1,2 B1,2 Cos u1,2 B1,2 Cos 5 Unificando : u k Cos 5t sen x sen 2 y
a b 1 c 1 u ( x, y ,0) u ( x, y,0) f ( x, y ) ksen3 xsen4 y t m2 n2 mn
22.
f ( x, y) 0.01 xy1 x 1 y Bmn
4
b a
f x, y sen ab o
0
m x n y sen dxdy a b
1 1
. ydxdy Bmn 0.04 xy1 x 1 y senm x senn
1
2 n 2 2 2 cos n de donde y y 2 senn ydy 3 3 3 3 0 n n 1 2 2 xdx 32 3 m 3 3 2 cos m 0 x x2 senm m m 1
2 Bmn 0.04 3 3 n
2 n 2 3 3 cos n 3 3 n m 2
2
m 2 3 3 cos m m 2
2
m 1 n 1
2 n 2 3 3 cos n 3 3 u n n m m 1 n 1 . y (cos mn t ) senm x senn mn
u ( x, y, t ) Bmn cos mn t Bmn* sen mn t sen como u t t 0
m 1 n 1
m x n y sen 1
1
Bmn* 0
u ( x, y, t ) Bmn cos m 2 n 2 tsenm x senn y m 1 n 1
u ( x, y,0) Bmn senm x senn y Ksen3 xsen4 y u ( x, y,0) senn y B34 sen3 xsen4 y Ksen3 xsen4 y
u ( Bmn cos mnt ) senm x senn . y
m 1 n 1
entonces :
1
0 0
0.04
2
2
3
2
3
m 2 n 2
23. f ( x, y) ksen3 xsen4 y
m 2 cos m 3 3 m 2
2
B34 k m3 n4
m 3 para n 4 u ( x, y, t ) B34 cos 32 4 2 tsen3 xsen4 y u ( x, y, t ) k cos 5 tsen3 xsen4 y
Bmn 0
24.
b 1 a 1
0
f ksen 2 x * sen2 y u ( x, y , t ) F ( x, y )G (t ) mn
u ( x, y, t )
B
cos mn t Bmn sen mn t sen
n 1
4
b
a
0
0
f ( x, y ) sen ab
1
1
0
0
mx ny sen a b
mx ny sen dx.dy a b mx
ny
( ksen x * sen y ) sen sen dxdy 1 a b 4k ( sen x * sen y ) sen(mx ) sen(ny )dxdy
Bmn Bmn
4
m2 n2 2 m 2 n 2 2 a b *
mn
m1
Bmn
c
1
1
0
0
2
2
2
2
Como Vo=0 entonces B mn*=0
u ( x, y, t )
m 1
B
mn
n 1
cos(
EJERCICIOS 11.9
m 2 n 2 )t sen(mx ) sen(ny )
1. Efectuar los detalles de los c álculos que llevan de (2) a (3)
x 2 2 xy y 2 y 2 2 xy u xx 2 urr 3 u r 4 u 3 ur 4 u r r r r r 2 2 2 x 2 xy y y 2 xy u yy 2 u rr 3 ur 4 u 3 u r 4 u r r r r r r x 2 y 2 r x
x x 2 r x y
r y
y y 2 r x y
2
2
tan
1
y x
y 2 y x 1 x 1 y y x 2 x y 2 x 2 r 2 x 1 1 y 2 2 y x 1 x 1 1 x y 2 x y 2 x 2 r x 2 x
1
2
x 2 2 2 r xr x r r x y r xx r 2 r 2 r 3 r 3 y r yr y r y r r 2 y 2 x 2 r yy 3 r 2 r 2 r 3 r 2 2 y x xy xx y ( 2r 3 ) r x 3 4 r r r 2 x y 2 xy yy x( 2r 3 )r y 3 4 r r r r x
ur x urr r x ur x
u x u r r x u x
x y u r r 2 r ur y urr r y ur y
x y u r r 2 u y u r r y u y
y x ur y urr 2 ur r r
y x u y u r 2 u r r
ur x urr
u x u r
1.u xx ur x r x ur r xx u xx u x x u xx 2.u u r u r u u u y y yy r y y r yy yy yy sustituimos lo anterior en 1. y 2.
x y x y 2 y y 2 xy x urr 2 ur 3 ur ur 2 u 2 4 u r r r r r r r r 2 2 2 2 xy x xy y xy y u xx 2 urr 3 ur 3 ur 3 u r 4 u 4 u r r r r r r ur u r 2 xy 2 xy x 2 y 2 y 2 u xx 2 urr 3 ur 4 u 3 ur 4 u lqqd r r r r r y x y x 2 y x x 2 xy 1.u yy urr 2 ur 3 ur ur 2 u 2 4 u r r r r r r r r 2 2 2 2 xy y xy x xy x u yy 2 urr 3 ur 3 ur 3 u r 4 u 4 u r r r r r r 2 2 2 2 xy 2 xy x y y u yy 2 urr 3 u r 4 u 3 ur 4 u lqqd r r r r r 1.u xx
2. Transformar (4) de nuevo a coordenadas cartesianas.
2u (1)
2u 1 u 1 2u r 2 r r r 2 2 1
1
2u urr u r 2 u r r
u xy u yx y rsen y r sen yrr 0 y r cos y rsen yr sen
u ( x, y ) x r cos x r cos x rr 0 x rsen x r cos x r cos
u x r u xx xr u xy yr cos u xx sen u xy
u y r u yx xr u yy yr cos u yx sen u yy u x u xx x u xy y rsen u xx r cos u xy
u y u yx x u yy y rsen u yx r cos u yy
sustituimo s en (1)
2u cos 2 u xx 2 sen cos u xy sen2 u yy
1
r 2
r sen u xx 2r sen cos u xy r cos 2
2
2
2
2
sen u xx 2 sen cos u xy cos u yy 2
r
cos u x sen u y
u yy r cos u x rsen u y
2u cos 2 u xx 2 sen cos u xy sen2 u yy 2
1
cos
cos
r 2 2 2 2 2 u cos sen u xx cos sen u yy
r u x
u x
sen u r y
sen u r y
2u u xx u yy 3. Demostrar que (4) puede escribirse
ur u x xr u y yr ur cos u x sen u y urr u x r xr u x xrr u y r yr u y yrr urr cos u xx sen u xy cos cos u xx sen u xy sen urr cos2 u xx 2 sen cos u xy sen 2 u yy u u x x u y y u u x x u x x u y y u y y u rsen u xx r cos u xy rsen r cos u x rsen u yx r cos u yy r cos rsen u y
2u
u 1 2 u r r r r r 2 2
1
Demostración:
2 u 1 u 1 2 u r 2 r r r 2 2 1 r 2 u u 1 2 u 2 u 2 2 2 r r r r 1 r u u 1 2 u A. 2 u r r r r r 2 2 2u
También por la regla del producto puede escribirse
u xx ur x r x ur r xx u y ur r y (3) u yy u r y r y u r r yy
r u r u u r r r r r r r r u u u r r r r r r
( 2)
u r x urr r x ur x urr r x ( 4) u r x urr r x urr r x u r y urr r y ur y urr r y
Sustituyendo en A
2u
u 1 2 u r r r r r 2 2
1
ur y urr r y urr r y
(5)
4. Si u es independiente de , entonces (4) se reduce a
u u urr r deducir r 2
el
resultado
directamente
del
laplaciano en coordenadas cartesianas suponiendo que u es independiente de
u independie nte de u 2u u rr r r 2 (1) u u xx u yy u independie nte de u 0 u x ur r x u x u x ur r x
r x 2 y 2 x x 2 2 r x y 1 / 2 y y 1 r y x 2 y 2 2 y 2 2 r 2 x y 1
1 / 2
r x x 2 y 2
r xx
2 x
2
2 2 r xr x 1 x y 2 1 x x r x r r 2 r r 2 x r r 2 r r 3 r 3
2 2 r yr y 1 y 1 y y r y x 2 r y r 2 r r 2 r r 2 r r 3 r 3 x y 2 r xx 3 r x r r x 2 r y r yy y r r 3
r yy
en (4) y (5)
x u r x r urr u r y urr y r
Demostración: Demostraci ón:
U solo depende de r
2u 0 entonces 2
2u 1 u 0 r 2 r r 1 u 2u r 0 r r r 1 u r 0 r r r 2u
en (2) y (3)
x x y 2 x 2 y 2 u xx urr ur 3 2 urr 3 ur r r r r r y y x 2 y 2 x 2 u yy urr ur 3 2 u rr 3 u r r r r r r 2 2 x y u xx r 2 urr r 3 ur 2 2 u y u x u yy r 2 rr r 3 r
u
r r r 0 r
u a r ar
u r
en (1)
x 2 y 2 y 2 x 2 urr 3 ur 2 urr 3 ur 2 r r r r 2 2 2 2 x y x y r 2 r 2 2u 2 urr 3 ur 2 urr 3 ur r r r r u 2u urr r r
r
u a ln r b lqqd
2u
5. Demostrar que la única solución de 2u 0 que solo depende de r x 2 y 2 es u a ln r b
r n cos n , un r n senn , n 0,1,..., son soluciones de 2u 0 con 2u dado por (4). 6. Demostrar que un
(1)
2u 1 u 1 2u u 2 r r r r 2 2 2
2u n n 2 r n senn 2
a) n
un r cos n un nr n1 cos n r 2u n n(n 1)r n 2 cos n r 2 un nr n senn
sustituimos en (1) 1
2u n n 2 r n cos n 2 sustituimos en (1) 1
1
2u n(n 1) r n 2 cos n nr n1 cos n 2 n 2 r n cos n r r 2 2 n 2 n2 n 11 2 n2 u n r nr nr n r cos n 2u 0 cos n 2u 0 b)
un r n senn un nr n 1 senn r 2u n n(n 1)r n 2 senn 2 r un nr n cos n
1
2u n(n 1)r n 2 senn nr n1 senn 2 n 2 r n senn r r 2u n 2 r n 2 nr n 2 nr n 2 n 2 r n 2 senn 2u 0 senn 2u 0 7. Suponiendo que es posible la derivaci ón término a término, demostrar que una solución de la ecuación de Laplace en el disco R < 1 que satisface las condiciones de frontera u(R,è)=f(è)(f dada) es: n r n r ur , a0 an cos n bn sen R n1 R
Demostración Disco R < 1 u(R,è)=f(è) 1.
1
1
u urr ur 2 u 0 r r ur , W r G ur W r G urr W r G 2
u r W G u W r G
Sustituyendo en 1. 1
1
W G W G 2 W G 0 r r 2 r W G r W G W G 0 r 2W r W G 0 W W G
un C n r n ( An cos n Bn senn ) un An C n r n cos n Bn C n r n senn un a n r n cos n bn r n senn
u(1, ) an r n cos n bn r n senn f ( ) n 0
evaluamos en cero para obtener los coeficientes de fourier
r W r W G W W G 2 r W r W G K 2 W W G 2
primera ecuación
r 2W r W K 2W 0 w C 1r K segunda ecuación
G K 2 G G A cos K BsenK como f ( )tiene n ter min os k=n
u ( r , ) a 0 a n r n cos n bn r n senn f ( ) n 1
pero como las condiciones son otra entonces u(R, è)=f(è) por lo tanto
u( r , )
r a0 an R n 1
n
n
r senn f ( ) R
cos n bn
Potencial electrostático. Problemas de calor de estado estacionario: El potencial electrostático u satisface la ecuación de Laplace 2u 0 en cualquier región libre de cargas. Además, la ecuación de calor ut c 2 2u (ver la sección 11.5) se reduce a la ecuación de Laplace si la temperatura u es independiente del tiempo t (caso de estado estacionario). Encontrar el potencial electrost ático (equivalente: la distribución de temperatura de estado estacionario) en el disco r < 1 que corresponde a los siguientes valores en la frontera.
9. u 40 sen 3
8.
Disco r 1
Disco r 1
u ( ) 40 sen3 f ( )
u ( ) 10 cos 2 f ( )
sen3 sen sen3
2 cos
1 2
1 2
3
1
4
4 3 1 u ( ) 40 sen sen3 4 4
cos 2
1 1 u ( ) 10 cos 2 2 2 u ( ) 5 5 cos 2
u ( ) 30 sen 10 sen3
u (r , ) a0 (an r n cos n bn r n senn ) n 1
u (1, ) a0 ( an cos n bn senn ) 30 sen 10 sen3
u (r , ) a0 (an r n cos n bn r n senn )
n 1
n 1
a0 ( an cos n ) b1 sen b3 sen3 30 sen 10 sen3
u (1, ) a0 (an cos n bn senn ) 5 5 cos 2
n 1
0 a0 0 b1 30 b3 10 u (r , ) 30rsen 10r 3 sen3 a0
n 1
a0 a2 cos 2 (bn senn ) 5 5 cos 2 n 1
a2 5 5 bn 0 u (r , ) 5 5r 2 cos 2 a0
10.
Disco r 1
110 u ( ) f ( ) 0
x 2 2 3 x 2 2
u (r , ) a0 (a n r n cos n bn r n senn ) n 1
u (1, ) a0 (a n cos n bn senn ) f ( ) n 1
bn
0
a0 an
1
porque
110d
2 - /2 1
110 2
/2
1. 2 u
1
1
u rr u r 2 u 0 r r
d 55
- /2
/2
110 cos n d
- /2
100 si 0 u 100 si 0
Primero procedemos a graficar la funci ón y ha hallar sus condiciones iniciales y de frontera
f ( ) es par
/2
11.
110
/2
cos n d
- /2
u (1, ) 100u u (1, ) 100u u (1, ) f
0 0
Nos damos cuenta que la grafica que se muestra es impar por lo que procedemos a hallar solo el valor de nuestra serie de potencial solo es
u ( r , ) (bn r n senn ) n 1
u (1, ) (bn r n senn ) f ( ) n 1
bn bn
1
2
f ( ) senn d
u ( ) f ( )
2 2 3 x 2 2
x
0
200
12. Disco r 1
100 senn d 0
u (r , ) a0 (an r n cos n bn r n senn ) n 1
u (1, ) a0 (an cos n bn senn ) f ( ) n 1
para n par bn 0 para n impar bn
an 400
bn
n
u (bn r n senn ) n impar n 1
u b1 rsen b3 r 3 sen3 b5 r 5 sen5 ............... u
400
u (1, )
rsen
400
400
r 5 sen5 ...............
5 1 rsen r 3 sen3 r 5 sen5 ............... 3 5
400
3
r 3 sen3 1
0
porque
f ( ) es impar
3 /2 /2 sen(n )d ( ) sen(n )d - /2 /2
1
13.
Disco r 1
u ( ) f ( ) 0
2 2
x x
2
2 3
u (r , ) a0 (an r n cos n bn r n senn ) n 1
u (1, ) a0 (an cos n bn senn ) f ( ) n 1
an
0
bn
1
porque
f ( ) es impar
/2
sin n d - /2
14.
Disco r 1
u ( ) f ( ) 2
u (r , ) a0 (a n r n cos n bn r n senn ) n1
u (1, ) a0 (an cos n bn senn ) f ( ) n 1
bn
0
a0 an
porque
1
2 - 1
f ( ) es par
2
d
2 3
-
2
cos n d
15.
Disco r 1
u( ) f ( )
0 0
u(r , ) a0 (an r n cos n bn r n senn ) n 1
4 1 1 r cos r 3 cos 3 r 5 cos 5 2 9 25 En el eje x positivo : 0 1 1 4 u ( r ,0) r cos 0 r 3 cos 0 r 5 cos 0 2 9 25 4 1 3 1 5 u ( r ,0) r r r 2 9 25 En el eje x negativo : 1 1 4 u ( r , ) r cos r 3 cos 3 r 5 cos 5 2 9 25 4 1 3 1 5 u ( r , ) r r r 2 9 25
u(1, ) a 0 (a n cos n bn senn ) f ( )
u ( r , )
n 1
bn 0 porque f ( ) es par a0
1
2
d
0
an
1 2
2
2
cos n d
0
Eje x:
16. Encontrar una f órmula para el potencial u sobre el eje x en el problema 15. Usar los cuatro primeros t érminos de esta serie para calcular u en x=-0.75, -0.5, -0.25, 0, 0.5, 0.75 (dos decimales). Usando la solución del ejercicio 15:
constante uo y el segmento de frontera –a
17. encontrar una formula para el potencial u sobre el eje y en el problema 15 : 1 1 4 u ( r , ) r cos r 3 cos 3 r 5 cos 5 ......... 2 9 25 En el eje y
2
2
2
2
2
2
u ( r , ) u ( r , ) u ( r , ) u
2
2
4
1 1 r cos r 3 cos 3 r 5 cos 5 ......... 2 9 2 25 2 4
0 0 0 0 .......... .
en el eje y
19. Encontrar la temperatura de estado estacionario u de una placa semicircular de delgada r
Al graficar podemos darnos cuenta que es equidistante con respecto al origen por lo tanto los valores de a 0 y an no existen 1
1
2 u u rr u r 2 u 0 r r ur , W r G u r W r G u rr W r G 1
u r W G u W r G 1
W G W G 2 W G 0 r r 2 r W G r W G W G 0 r 2W r W G 0 W W G
r 2W r W G W W G 2 r W r W G K 2 W W G primera ecuación
r 2W r W K 2W 0 w C 1r K
u (r , ) (bn r n senn ) n 1
u (a, ) (bn a n senn ) u 0 n 1
segunda ecuación
G K G G A cos K BsenK como f ( )tiene n ter min os 2
k=n
u n C n r n ( A n cos n B n senn ) u n A n C n r n cos n B n C n r n senn u n a n r n cos n b n r n senn
u ( a , 2 ) a n a n cos n b n a n senn n 0
evaluamos en cero para obtener los coeficientes de fourier
bn
2
u 0 senn d an 0
senn d 0 2u 1 bn 0 cos n 0 n bn
2u 0
2u 0
1 n 1 cos 0 cos n n 2u 0 1 1 bn cos n n n para n par bn 0 4u 1 para n impar bn 0 n na n 4u 1 u ( 0 n r n senn ) n impar . n 1 n na 4u r 1 1 u (1, ) 0 sen r 3 sen3 r 5 sen5 ............... a 3a 5a bn
u x* y u x* x* x * y u x* y* y * x cu x* y* u y* y u y* x* x * y u y* y* y * y cu x* y* u yy u x* y x * y u x* x * yy u y* y y * y u y* y * yy
Expresar 2 u u xx u yy en términos de las coordenadas x*, y* dadas por
21.
u yy cu y y c c 2 u y y * *
x* ax b desarrollo 2 u u xx u yy x * x a x * xx 0 x * y 0 x * yy 0 u ( x*, y*) u x* x u x* x* x * x u y* x u y* x* x * x u xx u x* x x * x
y* cy d
y * y y y * yy 0 y * x 0 y * xx 0
u x* y* y * x au x* x* u y* y* y * x au x* y* u x* x * xx u x* y y * x u y* y * xx
u xx au x x a a 2 u x x * *
* *
* *
u xx au x x a a 2 u x x 2 u yy cu y y c c u y y 2 u u xx u yy * *
* *
* *
* *
2 u a 2 u x x c 2 u y y respuesta * *
* *
22.
x * x y y * x y x x* 1 y x* 1 x y* 1 y y* 1 u ( x * , y * ) (u x ) x u x x x x* u x y y x* u x x u x y *
* *
* *
* *
* *
(u y* ) x
u y x x x* u y y y x* u y x u y y
(u x* ) y
u x x x y* u x y y y* u x x u x y
(u y* ) y
u y x x y* u y y y y* u y x u y y
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
u xx (u x ) x x x* (u y ) x y x* u x x u x y u y x u y y
u x* y u x* x* x * y u x* y* y * y 2 yu x* y*
u xx u x x 2u x y u y y
u y y u y x x * y u y y y * y 2 yu y y u yy u x y x * y u x x * yy u y y y * y u y y * yy
*
*
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
*
u yy (u x ) y x y (u y ) y y y u x x u x y (u y x u y y )(1) *
*
*
*
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
* *
*
*
u xx 4 x 2 u x* x* 2u x* u yy 4 y 2 u y* y* 2u y* 2 u u xx u yy
* *
23.
x* x 2 y* y 2 desarrollo 2 u u xx u yy x * x 2 x y * y 2 y x * xx 2 y * yy 2 x * y 0 y * x 0 x * yy 0 y * xx 0 u ( x*, y*) u x* x u x* x* x * x u x* y* y * x 2 xu x* x* u y* x u y* x* x * x u y* y* y * x 2 xu y* x* u xx u x* x x * x u x* x * xx u y* x y * x u y* y * xx u xx 2 xu x* x* 2 x 2u x*
*
* *
u xx u yy 2u x x 2u y y * *
* *
u yy 2 yu y* y* 2 y u y* 2
* *
u xx u yy u x x 2u x y u y y u x x 2u x y u y y * *
* *
*
u yy u x x 2u x y u y y * *
**
2 u 4 x 2 u x* x* 2u x* 4 y 2 u y* y* 2u y* respuesta 24.
x*
1
y *
x
x x*
1
1
y y x* 0
x 2
x y* 0
y y*
1
y 2
x xx*
2
(u x* ) x
u x x x x* u x y y x*
* y yy
x * u ( x , y * ) 3
* *
2
y 3
* *
1
x 2
u x x
* *
1
(u y * ) x
u y x x x* u y y y x*
x
(u x* ) y
u x x x y u x y y y
y 2
(u y * ) y
u y x x y* u y y y y*
* *
* *
*
* *
* *
* *
*
*
u xx (u x ) x x x* u x x xx* *
*
1
x
u yy (u y ) y y y* u y y yy* *
u xx u yy
*
1
1
*
u x x u x * *
u x y
u yy u x* y x * y u x* x * yy u y* y y * y u y* y * yy
* *
u yy sen u x* x* cos u x* y* sen sen u y* x* cos u y* y* cos
1
u y y
u yy sen 2 u x* x* 2 sen cos u x* y* cos 2 u y* y*
* *
y 2 * *
1 2
*
u x* y u x* x* x * y u x* y* y * x sen u x* x* cos u x* y* u y* y u y* x* x * y u y* y* y * y sen u y* x* cos u y* y*
u x x u x
4
y
u y x
* *
2
4
x
u y y u y
* *
1
3
2 *
y 3
u y y u y *
*
x x y 25. x* x cos ysen y* xsen y cos desarrollo 2 u u xx u yy x * x cos y * y cos x * xx 0 y * yy 0 x * y sen y * x sen x * yy 0 y * xx 0 4
3
4
u xx cos 2 u x* x* 2 sen cos u x* y* sen 2 u y* y* u yy sen 2 u x* x* 2 sen cos u x* y* cos 2 u y* y* 2 u u xx u yy
2 *
2 *
y
3
u ( x*, y*) u x* x u x* x* x * x u x* y* y * x cos u x* x* sen u x* y* u y* x u y* x* x * x u y* y* y * x cos u y* x* sen u y* y* u xx u x* x x * x u x* x * xx u x* y y * x u y* y * xx u xx cos u x* x* sen u x* y* cos cos u y* x* sen u y* y* sen u xx cos 2 u x* x* 2 sen cos u x* y* sen 2 u y* y*
2 u cos 2 u x* x* 2 sen cos u x* y* sen 2 u y* y* sen 2 u x* x* 2 sen cos u x* y* cos 2 u y* y* 2 u u x* x* u y* y* 26. Demostrar que la soluci ón del problema de Neumann 2 u 0 si r R, u n ( R, ) f ( ) (n la normal exterior) es:
u (r , ) A0 r n An cos n Bn senn n1
con A0 arbitraria y
An Bn
2
f ( ) cos n d
nR 2
n 1
nR
n 1
f ( ) senn d
Disco r R
27. Demostrar que (9), sección 9.4, impone sobre f ( ) del problema 26 la condici ón
un ( R, ) f ( )
f ( )d 0
La soluci ón obtenida del problema 7 :
w
u (r , ) A0 ( An r n cos n Bn r n senn )
wdA n ds
la dirección normal es la radial, por lo tanto :
w derivada de w en dirección normal n C frontera de la región plana R u 2udA ds R C n ds rd diferencial de longitud de arco u u n n 2udA unrd
n 1
u n 1 n 1 ( r , ) ( nAn r cos n nBn r senn ) r n 1
aplicando la condicion frontera : u n 1 n 1 ( R, ) ( nAn R cos n nBn R senn ) f ( ) r n 1
f ( ) (nAn R n 1 cos n nBn R n 1 senn ) n 1
Los coeficientes de Fourier son :
nAn R n1 nBn R n 1
2
f ( ) cos n d
2
f ( ) sen d
An Bn
nR n 1 2 nR n 1
R
teorema de Green en el plano
C
R
C
C circunferencia de radio R u n ( R, ) f ( )
udA f ( )rd 2
R
C
u cumple con la ecuación de Laplace : 2u 0
C
2
2
f ( ) cos n d f ( ) senn d
f ( )rd 0 f ( )d 0
28. (Problema de Neumann) Resolver
2 u 0 en la corona 1 r 3 si u r (1, ) sen , u r (3, ) 0 Aplicando los resultados del problema 26 : Disco
1 r 3
ur (1, ) sen ur (3, ) 0
u (r , ) A0 ( An r n cos n Bn r n senn )
EJERCICIOS 11.11
1. Comprobar que u = c/r satisface la ecuaci ón de Laplace en coordenadas esféricas:
x r cos sen y rsen sen z r cos
n 1
u 1 1 (r , ) (nAn r n cos n nBn r n senn ) r n 1
2u
2 u 2 u 1 2 u cot u 1 2u r 2 r r r 2 2 r 2 r 2 sen 2 2
aplicando las condiciones frontera : u (1, ) (nAn cos n nBn senn ) sen r n 1
sen (nAn cos n nBn senn ) n 1
sen A1 cos B1 sen A1 0 B1 1 u 1 1 (3, ) (nAn 3n cos n nBn 3n senn ) 0 r n 1 0
(nAn 3n cos n nBn 3n senn ) 1
n 1
An 0 Bn 0 u (r , ) rsen
Como : u
c r
u c 2 r r 2 u 2c r 2 r 3 Reemplazamos :
1
2u
2c
2 c 2 0 0 0 r r r
2u 0
3
2 u
2. Demostraci ón que la única de la ecuación de laplace que sólo depende de r x 2 y 2 z 2 es u
c k aquí c y k son r
constantes. En coordenadas esféricas:
2u 2 u 1 2u cot u 2u 1 2 2 2 2 2 0 2 r r sen 2 r r r r 2u 2 u 2u 2 0 r r r 2 u 2 u 0 r 2 r r 1 2 u r 0 r 2 r r 2 u r 0 r r 2u
r r 0r u c r 1 c u r 12 r c u 1 k r c u k r r 2
3. Determinar c y K en el problema 2 de modo que u represente el potencial electrostático entre dos esferas concéntricas de radio r=2cm y r=4cm mantenidas en los potenciales U=110 voltios y U=70 voltios, respectivamente.
c u (r ) k r u (2) 110 u (4) 70 c u (2) k 100 2
c u (4) k 70 4
c c 100 70
2
c 4
4
30 c 120
120 c k 70 70 40 4
u (r )
4
120
r
40
4. Demostrar que la única solución de la ecuación bidimensional de Laplace que s ólo depende de
r x 2 y 2 es u c ln r k
2u 2u 2u 1 u 0 x 2 y 2 r 2 r r 2u 1 u 2 r r r u 1 u r r r r 1 u u r r u r u r ln u ln r ln c c ln u ln r u c r r c u r r u c ln r k 2u
5. Encontrar el potencial electrost ático entre dos cilindros coaxiales de radios r 1 = 2cm y r 2 = 4cm que se mantienen a los potenciales U1 = 110V y U2 = 70V, respectivamente.
Datos:
Multiplicando e integrando nos queda:
V ) A V A ln B
R1 = 2cm = 0.02m R2 = 4cm = 0.04m V1 = 110V V2 = 70V
(
Decimos que es constante entonces podemos decir que son cilindros:
Solución: 120ecuación de Laplace en coordenadas Cil índricas:
2V
V 1 2V 2V ( ) 2( ) 2 z 1
La 120ecuación120 del potencial con respecto a z es cero ya que no var ía, existe potencial solo con respecto a . Entonces la 120ecuaci ón de Laplace se transforma en:
V ( )= 0
Dando un V = V 0 cuando = a y tenemos que:
V V 0
V = 0 para = b
ln(b / ) ln(b / a)
En donde b es mayor que a. Tomando las soluciones de las ecuaciones tenemos que:
1
70 = A ln(0.04) + B 110 = A ln(0.02) +B
Como tenemos una sola variable nos queda:
d V ( )= 0 d 1
En donde resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que:
B
110 ln(0.04) 70 ln(0.02) ln 2
70 110 ln(0.04) 70 ln(0.02) ln 2
A Como V es igual a:
V = Aln + B Tenemos que: V=
40 ln ln 2 150
6. Al sustituir u(r), r como en el problema 2, en 2u 0 en concordancia u xx u yy u zz 0 , comprar que u
r
con (7).
r , , en coordenadas esf éricas x rcos sen y rsen sen z rcos
u ( x, y, z ) r x 2 y 2 z 2 U 0 U r 0 U 0 U 0 U r 0 U 0 1 / 2 x 1 r x x 2 y 2 z 2 2 r 1 / 2 1 y r y x 2 y 2 z 2 r 2 z 1 2 2 2 1 / 2 r z x y z 2 r 2u U xx U yy U zz r xr x 1 x x r 2 x 2 y 2 z 2 2 r 2 r r r r 3 r 3 2 2 2 r yr x 1 y y r y x z 2 r yy 2 r 2 r r r r 3 r 3 r zr 1 z z r 2 z 2 x 2 y 2 r zz 2 x 2 r r r r r 3 r 3 r xx
x r y U r y U rr r y U r y U r y U rr r z U r z U rr r z U r z U r z U rr r
U r x U rr r x U r x U r x U rr
x x y 2 z 2 U r x r x U r r xx U rr U r r r r 3 x 2 y 2 z 2 U r U xx 2 U rr r r 3 x x y 2 z 2 2)U yy U r y r y U r r yy U rr U r r r r 3 y 2 x 2 z 2 U yy 2 U rr U r r r 3 z y y 2 z 2 3)U zz U r z r U r U r U z r zz r rr r r 3 z 2 x 2 y 2 U r U zz 2 U rr r r 3
r x 2 y 2 y arctan x
1)U xx
Luego hallo las derivadas parciales:
r x
x x 2 r x y
r xx
r xr x 1 x 2 y 2 3 3 r r r r
2
2u U xx U yy U zz x 2 y 2 z 2 y 2 x 2 z 2 z 2 x 2 y 2 U U U U U U r r r r 2 rr r 3 r 2 rr r 3 r 2 rr r 3 x 2 y 2 z 2 y 2 z 2 x 2 z 2 x 2 y 2 U 2u 2 2 2 U rr 3 3 r r 3 r r r r r
2u
2u
r 2 2r 2 U rr 3 U r 2 r r 2
2u U rr U r r 8. Comprobar (5) transformando coordenadas cartesianas. Para realizar asumimos lo siguiente:
2u de nuevo a
y y 2 2 y x x 1 x 2 2 xy xx y 3 r x 4 r r 2 x xy y 2 y 2 xy u xx 2 u r 2 3 ur 4 u 3 ur 2 4 u r r r r r y 2 xy x 2 x 2 xy u yy 2 ur 2 3 ur 4 u 3 ur 2 4 u r r r r r x
1
2
Al sumar Uxx + Uyy se logra demostrar que s í se puede regresar a coordenadas cartesianas y obtener el mismo resultado.
U xx U yy u 2
2u
d 2u 1 du 1 d 2u d 2u dr 2 r dr r 2 d 2 dz 2
Demostrar que las siguientes funciones u f ( x, t ) satisfacen la ecuación de Laplace y trazar algunas de las lineas equipotenciales U=cte. 9. xy
u xy u x y u y x u xx 0 u yy 0 u xx u yy 0 10. x 2 y 2 Ecuación de Laplace:
u ( x, y ) x y 2
2
2u 2 u 0 dx 2 dy 2
u 2 x dx 2u 2 dx 2 u 2 y dy 2u 2 dy 2 2u 2 u 0 dx 2 dy 2 2 2 0 00 Trazo de equipotenciales:
u( x, y ) x 2 y 2 cte 0,1,2,3,4,5,......... y x 0 0 Rectas que pasan por el origen, hip érbolas confocales.
2 x x 2 3 y 2
u xx
x y 2 x 3 y x u yy x y 2 3
2
2
2
2 3
2
u xx u yy
2 x3 y x x y
2 x x 2 3 y 2
x
2
y 2
2
3
2 3
2
0
11. x3 3 xy 2
u x3 3 xy 2 u xy u x 3 x 2 3 y 2 u xx 6 x u xx u yy 0
x x 2 y 2 u cte. u x 2 x y 2 x x 2 y 2 u
u y 6 xy u yy 6 x
12.
x 2 x y 2 x u 2 2 x y 2u 0 2u 2 u 0 x 2 y 2
x 2 y 2
y
1 2
4 2
1 2 4
1 1 x 2 y 2 2 1 c 0, 2
r
1 2
2
2
d 2u d 2u d 2u dx 2 dy 2 dz 2 u ( x) y 1 u ( x) 0 u ( y ) x 1 u ( y ) 0 u ( z ) 0 u ( z ) 0 d 2u d 2u d 2u 2u 2 2 2 0 dx dy dz 2 u 0
2u
y x y 2 y u 2 2 x y 2 xy x 2 y 2 u x 2 2 2 u y 2 2 2 x y x y 2 2 2 y (3 x y ) 2 y ( y 2 3 x 2 ) u xx u yy x 2 y 2 3 x 2 y 2 3 2 2 2 2 2 y (3 x y ) 2 y ( y 3 x ) 0 x 2 y 2 3 x 2 y 2 3
13.
2
14.
x 1 y 1 u x 1 y 1 xy x y 1 u xy x y 1 u cte
Encontrar la distribución de temperatura de estado estacionario (independiente del tiempo). 15.
x 2 y 2 x 2 y 2 2
x 2 y 2 x 2 y 2 2 2 2 2 2 2 x(3 y x ) 2 y ( y 3 x ) u x u y 3 3 x 2 y 2 x 2 y 2 6( x 4 6 x 2 y 2 y 4 ) 6( x 4 6 x 2 y 2 y 4 ) u xx u yy 4 x 2 y 2 x 2 y 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 6( x 6 x y y ) 6( x 6 x y y ) 0 x 2 y 2 4 x 2 y 2 4 u
16. Entre dos placas paralelas x x0 y x x1 mantenidas a las temperaturas U 0 y U 1 respectivamente.
du d 2u 2 dt dt u ( x0 , t ) U 0 u ( x, t ) U 1
x0 x x1
Suponemos u ( x, t ) v( x) w( x, t )
u1 w1 u xx v( x) w xx Por lo tanto:
w1 v x wxx u ( x0 , t ) v( x0 ) w( x0 , t ) U 0 u ( x1 , t ) v( x1 ) w( x1 , t ) U 1 Si hacemos que t suponiendo w( x, t ) es una soluci ón transitoria, se obtiene para el estado estacionario.
v ( x) 0 v( x0 ) U 0 d 2v 0 dx 2 dv A dx dv Adx v( x) Ax B v ( x0 ) Ax0 B U 0 U U U x U x A 1 0 B 0 1 1 0 ( ) v x Ax B U x1 x0 x1 x0 1 1 1
U U U x U x v( x) 1 0 x 0 1 1 0 x1 x0 x1 x0 17. Entre dos cilindros circulares coaxiales de radio r 0 y r 1 mantenidos a las temperaturas u 0 y u1 respectivamente
u (r 0 ) u0 u (r 1 ) u1 2u 2 u 0 x 2 y 2 u depende solo de r del problema (4) :
u (r ) c ln r k u (r 0 ) c ln r o k u0
u (r 1 ) c ln r 1 k u1 (1) c ln r 0 k u0 (2) c ln r 1 k u1 (2) (1) : cln r 1 ln r 0 u1 u0 r c ln 1 u1 u0 r 0 u1 u0 c r ln 1 r 0 k u0 c ln r 0 u u ln r 1 k u0 1 0 r ln 1 r 0
u u u u ln r 1 u (r ) 1 0 ln r u0 1 0 r 1 r ln 1 ln r r 0 0 r u0 ln 1 u1 u0 ln r 1 r 0 u u u(r ) 1 0 ln r r 1 r ln 1 ln r 0 r 0 u u u(r ) 1 0 ln r 2u0 ln r 1 u0 ln r 0 u1 ln r 1 r ln 1 r 0
18. Entre dos esferas concéntricas de radios r 0 r 1 mantenidas a las temperaturas U 0 U 1 , respectivamente.
qr qr dr qr KA
dT dr
donde A 4 r 2 es el área nominal a la dirección de transferencia de calor, entonces se obtiene:
qr K (4 r 2 )
dT dr
Aceptando que qr es una constante de r, la ecuaci ón anterior se expresa en la forma integral:
qr 4
1
0
Ts ,1 dr Ts ,0 K (T )dT 2 r
Se supone que K es una constante, entonces:
qr
4 K T s , 0 T s ,1
1 / r 0 1 / r 1
y como tambi én la resistencia térmica define como la diferencia de temperaturas divididas entre la transferencia de calor se obtiene:
Rt ,cond
1 1 4 K r 0 r 1 1
u (r 1 ) c ln r 1 k u1 r x 2 y 2 z 2 u (r , t ) depende solo de r y t r 2 x 2 y 2 z 2 r 2 R 2 r R en la sup erficie u 0 cuando r R condicion en la frontera
t 0 u f (r ) temperatur a inicial solo depende de r se obtienen soluciones que no dependen de ni ya que las condicione s iniciales solo dependen de r
19. Si las superficies de la bola r 2 x 2 y 2 z 2 R 2 se mantiene a temperatura cero y la temperatura inicial de la bola es f(r), demostrar que la temperatura u(r,t) de la bola 2 es la solución de u t c 2 u rr u r la cual satisface las
r
condiciones u(R,t)=0, u(r,0)=f(r)
u (r 0 ) u0 u (r 1 ) u1 2u 2u 0 x 2 y 2 u depende solo de r del problema (4) :
u (r ) c ln r k u (r 0 ) c ln r o k u0
Además hay simetria no dependen de ni
u depende de (r, t) Ecuación de flujo de calor en cuerpo homogeneo :
u 2 2 c u t 2
1
cot
1
2u urr ur 2 u 2 u 2 2 u r r r r sen 2
2u urr ur r u ut t 2 ut c 2 urr ur r
20. Demostrar que haciendo v = ru, las f órmulas del problema 19 asumen la forma 2 v1 c vrr , v( R, t ) 0, v(r ,0) rf (r ) . Incluir la condición v(0,t)=0 (la cual se cumple porque u debe estar acotada en r = 0) y resolver el problema resultante por separaci ón de variables.
v ru 2 c 2 urr ur r vr u ru r vrr ur ur ru rr vrr 2ur rurr En 1 : v ut c 2 rr r 2 rut c vrr vt rut vt c 2 vrr (1)u1
Condicione s de Frontera : u R, t 0 u 0, t 0
Condicione s iniciales : u r ,0 f (r ) ru r ,0 rf (r ) v(r ,0) rf ( r )
Separación de Variables : v(r , t ) F (r ) G (t ) vr F (r ) G (t ) vrr F (r ) G (t ) vt F (r ) G(t ) F (r ) G(t ) c 2 F (r ) G (t ) G (t ) F (r ) p 2 c 2 G(t ) F (r ) F (r ) p 2 F 0 F ( r ) A cos pr Bsenpr r (0, t ) A 0 v( R, t ) Bsenpr 0 n p R n F n (r ) sen r R
G n 2G dG G n 2dt ln G n 2t C
21.
Demostrar u U ( x, y, z)e iwt i
2
2
2U k 2U 0
v(r , t ) vn (r , t ) n 0
w c
U tt iw2 Ueiwt U tt i 2 w2Ue iwt U tt w2Ue iwt 2 u 2Ue iwt w2Ue iwt c 2 2Ue iwt c 2 2U w2U 0
n r e n t R 2
Condicione s Iniciales : n v(r ,0) Bn sen r e n 0 R n 0 n v(r , t ) Bn sen r f (r ) de Periodo 2 R R 2
Desarrollo de medio rango mpar : 2 R n Bn 0 rf (r ) sen rdr R R n v(r , t ) Bn e n t sen r R n 1 2
k
utt c 2 2u u U ( x, y, z )e iwt ut iwUe iwt
2
v(r , t ) Bn sen
onda un c u da como resultado la llamada ecuaci ón tridimensional de Helmholtz 2
Gn (t ) Bn e n t V n (r , t ) F n (r ) Gn (t ) n V n (r , t ) Bn sen r e n t R n 0
que la sustitución de 1 en la ecuación tridimensional de
w2 U 2 U 0 c 2
2U k 2U 0
k
w c
23. Si u (r , ) satisface u=0, demostrar que v( r , ) u (r 1 , ) satisface
2v 0 (r y son coordenadas polares)
u (r , ) 2u 0 v(r , ) u (r 1 , ) 2u 1 u 1 2u 2u 2 r r r r 2 2 1
1
u urr ur 2 u r r 2 vr r ur ur r 2 vr vrr 2r 3ur r 2urr v u v u r 2urr 2r 3ur vrr r 2urr 2r 3r 2 vr vrr r 2urr 2r 1v r vrr urr 2rvr r 2 vrr en (1) : 2
(1)
2rvr r 2 vrr
1
r
r vr
2rvr r vrr rvr 2
2
1
r
2
1
r
2
v 0
v 0
1
rvr r 2 vrr
1
r 2
v 0
1
1
v v v 0 r 2 rr r 1 r r 2 2v 0 25. Es posible demostrar que la soluci ón del problema 24 senx 2 . puede escribirse en la forma u arctan senhy
del problema (24) :
u ( x, y) Dn e ny sennx n 1
u ( x,0) Dn sennx 1 n 1
1
D sennx n
n 1
1
Dn
sennxdx
Dn
1 1
Dn
0
n 0
Dn
2
n
1 cos n n par n impar
u ( x, t ) n 1
2
n
n 1 u
2
u
2
2
1. Comprobar por sustituci ón que u n r , y u n * r , , 1, 2, en (8*) son soluciones de (2).
e y senx
e y cosh y senhy u
EJERCICIOS 11.12
e ny sennx
cosh y senhy senx
senx cosh y xenxsenhy
senx 2 u tan 1 senhy
r 1 , n 0,1,2 n r 1 , An r P n cos B n r 1 , nn1 P n cos r 0 A0 P 0 cos A 0 h0 n r 1 ,
n n
0 0 r En 2
0 0 2 r 0 1 sen 0 r sen
n=0,
h
1
En 2
1 A1 r P cos A1 r 1 cos 1 1 1 A1 cos A1 r sen r
1
A r 2 sen cos 0 sen 1 2r A1 cos 2 A1 r cos 0 2
2 r Bo r 2 1 sen 0 sen r Bo 0 0 r 00 0
2 r A1 cos 1 sen A1 r sen 0 r sen 2r A1 cos
A2 r 2 P 2 cos 1 3 2 A2 r 2 cos 2 2 2 2 3 1 2 2 A2 cos A2 3 cos 2 1 r 2 2 2 A2 r 2 3 cos sen 3 A2 r 2 cos sen 2 r A2 r 3 cos 2 1 1 3 A2 r 2 sen 2 cos En 2 r sen 3 A1 r 2 2 2 3r A2 3 cos 1 2 sen cos 2 sen3 sen 3r 2 A2 3 cos 2 1 2 cos 2 sen 2 3r 2 A2 3 cos 2 1 2 cos 2 1 cos 2 0 h
En (2):
2
Bo P o cos Bo r 1 r u o * u o 0 Bo r 2 r
n0
uo*
n 1 u1* B1r 2 P 1 cos B1 r 2 cos u1* u1* 3 2 B1 r cos B1 r 2 sen r 1 r 2 2 B1r 3 cos B1 r 2 sen 2 r sen 2
2 B1 r cos
1
B1 r 2 2 sen cos 0
sen 2 2 B1 r cos 2 B1r cos 0 2
n2
u 2 * B2 r 3 P 2 cos u 2 * B2 r 3
1 2
3 cos
2
1
u 2 * 3 B2 r 4 3 cos 2 1 r 2 * u 2 1 B r 3 6 cos sen 3 B2 r 3 sen cos 2 2
u2 0
En (2) 1 3 B2 r 2 3 cos 2 1 3 B2 r 3 sen 2 cos r 2 sen 3
3 B2 r 3 cos 1 2
1
3
sen
3 B 2 r
2 sen cos
2
3 B2 r 3 cos 1 2 cos sen 3 2 2 2 3 B2 r 3 cos 2 cos 1 cos 3 B2 r 3 0 0 3
2
2
2
2. Encontrar las superficies en las que las funciones u1 , u2 , u3 son cero. n
un (r , ) An r P n cos u1 (r , ) A1rP 1 cos u2 (r , ) A2 r 2 P 2 cos u3 (r , ) A3 r 3 P 3 cos u1 0 A1rP 1 cos 0 A1 0 rP 1 cos 0 P 1 x x r cos 0 planoxy z 0
sen 3
A2 r 2 P 2 cos 0 1
r 2
2
3 cos
2
P 2 x
1 2
3 x
2
1
1 0
3r 2 cos 2 r 2
0
r 0 r 2 z 2 3 z
2
2
3
r
z
3
r
z
planos inclinados
3
u3 0 A3 r 3 P 3 cos 0 r 3
1 2
5 cos
3
P 3 x
1 2
3 cos 0
5r 3 cos3 3r 3 cos 0 3 3 3 5r cos 3r cos 3 2 3 5r cos 3r
5 z 2
3
z
3 5
planos horizontal es
5 x
3
3 x
Bn P cos n 1 n n 0 r
3. Trazar las funciones Pn (cos ) para n=0, 1, 2,4
u r , 1
u r , P o cos r 6. f ( ) cos
x cos P 1 x f ( ) P 1 cos
Sean r , , las coordenadas esf éricas usadas en el texto. Encontrar el potencial en el interior de la esfera R = 1, suponiendo que no hay cargas en el interior y que el potencial en la superficie es f , donde
P 4 cos 5. f 1
f P o cos
1 2 1 8
5 cos
3
f 2 cos 2 1 x cos f 2 x 2 1
3 cos
35 cos
4
30 cos 2 3
n 0
u (r , ) rP 1 cos 7. f cos 2
4. Trazar las funciones P 3 cos y P 4 cos
P 3 cos
u (r , ) An r n P n cos
P 2 2 P 2
1 2
3x
2
1
3x 2 1
2
1
3
3
x 2 P 2 2 x 2
9. f cos 3
4
2
3
3
x cos f x 3
1 P 2 1 4
1 P 2 1
2 x 2
P 3
3
4
f P 2 cos 3
4
1
1 2
5 x
3
3 x
1 2
5 x
3
3 P 1
5 x 3 3 P 1 5 x 3 2 P 3 3 P 1 2 P 3
3
ur , r P 2 cos 2
3
1 3
3
2
5
5
x 3 P 1 P 3 3
8. f ( )) 1 cos 2
2
f P 1 cos P 3 cos 5
x cos P 2
1 2
3 x
f 1 x 2
2
2
5
5
ur , rP 1 cos r 3 P 3 cos
1
10. f ( ) cos 3 3 cos
2 P 2 3 x 2 1
2 P 2 1 3 x 2 2 P 2 2 3 3 x 2 2 2 P 2 3(1 x 2 ) 2
2
3
3
f 1 x P 2 cos 2
5
3
u (r , ) An r n P n cos n 0
2
2
2
3
3
3
u (r , ) r 2 P 2 cos
u (r , ) An r n P n cos n 0
f ( ) 4 cos3 3 cos 3 cos f ( ) 4 cos3 x cos 5
3
2
2
P 3 x 3 x
P 1 x
3 x 2
5
3
5 x
3 x
P 3
P 3 P 1 x3
5 x 3 3 x 3 5 x 2 P 3 3 x 3 5 x 2 P 3 3 P 1 3 10 x 4 P 3 6 P 1
x 3
2 5
2 2
2 2 3 P 3 . P 1 5 5 2 2 3 5
5
8
12
5
5
12 5
P 1 cos 8
rP 1 cos r 3 P 3 cos 5
11. f 10 cos 3 3 cos 2 5 cos 1 x cos
f 10 x 3 3 x 2 5 x 1
P 1 x
P o 1 1
3x 2 2 P 3 x
P 2
2
1
1 3 x 2 P 2 1 2
2
2
3
Sustituyendo:
2 3 8 12 4 P 3 P 1 P 3 P 1 5 5 5 5
f ( ) P 3 cos
2
2 P 3
x 3 P 3 P 1
u (r , )
1
P 3 x 3 P 1 2 3
4 x 3
2 P 2 P o
f 4 P 3 6 P 1 2 P 2 P o 5 P 1 P o f 4 P 3 6 P 1 2 P 2 P o 5 P 1 P o f 4 P 3 2 P 2 P 1 2 P o
f 4 P 3 cos 2 P 2 cos P 1 cos 2
u r , An r n1 P n cos n 0
u r , 4r 3 P 3 cos 2r 2 P 2 cos rP 1 cos 2 12. Demostrar que en el problema 5 el potencial exterior de la esfera es el mismo que el de una carga puntual en el origen.
f ( ) 1 P 0 cos B u (r , ) n n1 P n cos n 0 r
B n P cos n 1 n n 0 r (5) f ( ) 1 f ( ) P 0 cos 1 u (r , )
1
ue (r , ) P 0 cos r ue (r , )
1
r
1
potencial carga puntual
13. Trazar las intersecciones de las superficies equipotenciales del problema 6 con el plano xz.
u (r , )
Del problema (5) u r , rP 1 cos Sus equipotenciales: rP 1 cos
r cos z
1
u P 0 cos r r (6) f ( ) cos x cos x f ( ) P 1 cos
(7 )
1
r 2
P 1 cos
f ( ) cos 2 2 cos 2 1
x cos 0,1,2,3,....
Intersecciones con el plano xz son rectas horizontales. 14. Encontrar el potencial exterior de la esfera de los problemas 5-11.
f 2 x 2 1 2
1
3
3
x 2 P 2
1
P 2
2
3 x
2
1
1 2 f 2 P 2 1 3 3 4
f P 2 3
1 3
4
1
f ( ) P 2 cos P 0 cos u
3 4 1
3 11
r 3
3 r
3
P 2 cos
P 0 cos
(8)
f ( ) 1 cos 2
P 2
1 2 2
3 x
1
2
x 2 P 2 3
f ( ) cos 3 3 cos f ( ) 4 cos3 x cos f 4 x 3 (10)
1 3 2
1
2
2
3
3
3
2
3 2
3
3
f ( ) P 0 cos P 2 cos 21
2 1
P 0 cos 3 P 2 cos 3 r 3 r
f ( ) cos3 f x 3 1 2 3
5 x
3
3 x
u (r , )
2 5
5
r
2
12
2
5 2
5 1
3
3
x P 1
f ( ) P 1 cos P 3 cos 3 1
3
x P 2
5
5
8 P 1 cos P 3 cos 5 5 12 1 8 1 u (r , ) P 1 cos 4 P 3 cos 5 r 2 5 r 3 2 (11) f ( ) 10 cos 3 cos 5 cos 1
f ( )
2
2
3
5 3
x 3 P 1 P 3
x 3 P 1 P 3 5
5
f 10 x 3 3 x 2 5 x 1
(9)
P 3
2
2 f ( ) 4 P 1 cos P 3 cos 5 5
f 1 x 2 1 P 2 P 2
u (r , )
3
x 3 P 1 P 3
x cos
P 1 cos
2 1 5
r 4
P 3 cos
3 2 2 1 f ( ) 10 P 1 P 3 3 P 2 5 P 1 1 5 3 3 5 f ( ) 6 P 1 4 P 3 2 P 2 1 5 P 1 1 f ( ) 4 P 3 2 P 2 P 1 2 P 0 f ( ) 4 P 3 cos 2 P 2 cos P 1 cos 2 P 0 cos
u ( r , )
4
r 4
2
1
2
P 3 cos 3 P 2 cos 2 P 1 cos P 0 cos r r r
15. Deducir los valores de Ao , A1 , A2 , A3 del ejemplo 1 a partir de (13).
An
ss2n 1 2
n
M
1 m0
A0 ss
1 2
0
ss 2 1 2
A2
22
M
11 2
0!1 0 ! 1 0 1!
M
2 2
P 3 cos
165
1
A3
31 2
165 2
2
rP 1 cos
5 cos 165
u (1, ) 55
2
A2 0 M
1
u (r , ) 55
4 0! 4 2! 0!2 0!2 1! 1!2 1!2 2 1!
A3 n 3
u (r , ) 55
385 8
r 3 P 3 cos
P 1 cos cos
0
2!
A1 n 2
ss4 1
2n 2m! m!n m!n 2m 1!
12 0 2 0 ! ss 0!0 0 !1!
A1 n 1 A1
m
16. En el ejemplo 1, trazar la suma de los tres t érminos dados explícitamente para r=1 y ver que tan buena aproximación de la función frontera dada es esta suma.
1
4! 385 ss6 1 6 0! 0 ! 3! 4! 1 ! 2! 2! 8 23
u (1, ) 55
2
3
3 cos
r cos
165
cos
2 1815 8
385 8
1925
cos
r 3
2
cos
cos
16 1925 16
1 3
3
3 cos
1155 8
cos
3 cos
17. Encontrar la temperatura de una esfera homog énea de radio 1 si su semiesfera frontera inferior se mantiene a 0 ºC y la superior a 20 ºC. 0 /2 20º C f - /2 0
2n 1 / 2 20 P cos sen d An n 2 1n 0 / 2 2n 1 * 20 P n cos sen d An n 0 2 1 / 2
An 2n 1 * 10 0 P n cos sen d
w cos P n cos sen d P 1 w dw / 2 0
1 2n 2m ! An 102n 1 1m n w n 2 m dw 0 2 ! ! 2 ! m n m n m m0
An
n = par
2
n 1
M
n
m
P n1 ( x)
m!n1 m!2nn 22mm ! 1! M
P n1 ( x)
m 0
P n1 ( x)
u r , An r n P n cos
n
D n x x 2 1
n!
1
n
n 1
n
n
2
n
1 2
D n x 2 1 nx x 2 1 2 x
n
n 1
D n 1 x x 2 1
2 n! 1 ( x ) D x 2 n!
P n1 ( x)
n = impar
2
ss2n 1 2
P n1
n
2 n n! 1
P n1 ( x )
n
2
P n1 ( x )
1 w 0
M
1
P n 1 ( x )
n 1
n
1 2nx 2 x 2 1
D n1 x 2 1
n 1
n 1! 1
1
1
n
n 1
D n x 2 1
2 n! n 1 1 n 2 n n!
n 1
D n x 2 1
2n 21 n 1!
D x 1 2nD x x 1 n
2
n
2
n1
2
n 0
18. Demostrar que P n1 ( x) P n1 ( x) 2n 1 P n ( x)
P n1 ( x)
P n1 ( x) P n1 ( x) 2n 1 P n ( x) P n ( x)
1
P n1 ( x)
D x 1 n
n
2
2 n n!
P n1 ( x) P n1 ( x)
1
D
2 n1 n 1! 1 n
n 1
x
2
1
n
n
n 1
n 1
D n x 2 1 2n x 2 D n x 2 1 n 1 D n1 x 2 1
n
D n x 2 1
2 n! 1
n
2 n!
P n1 ( x) P n
n 1
D n n 1 x 2 1 2 x
2 2n 1n!
1 n
2nn 1 n
2 n!
n 1
D n 1 x 2 1
2 n
n 1
x 2 D n x 2 1
2 n!
n 1 n 1 nn 1 nx 2 D n 1 x 2 1 n1 D n x 2 1 2 nn 1! 2 nn 1! n 1
n 1 x 2 D n x 2 1 n 1 2 n 1! n 1 x 2 P n1 ( x) P n1 ( x) P n n 1 P n1 n1 D n x 2 1 2 n 1!
1
P n1 ( x) P n n 1 P n1
1
1
n
n 1
D x 1 n
2
1
n1
n
0 P n1 0 / 2n 1 .
calcular A5 . 1
0
n
n 1
0 P n 1 0
1
2n 1
Del problema (18).
P n1 x P n1 x 2n 1 P n x P n x P n x 1
1 2n 1 1 2n 1
P n1 x P n1 x 1
P x P n1 x x n1 1
P x dx 2n 1 P n
0
x P n1 x 10
0
1 2n 1
1
P x dx P n
n 1
1 P n1 1 P n1 0 P n 1 0
0
P xdx P 0
Usar
el problema (18) y el problema (12), secci ón 5.3. Usando esta igualdad, comprobar que A1 , A2 , A3 del ejemplo (1) y
P x dx P
n 1
1
P xdx P 0
n
2 n! n 1 P n1 ( x) P n1 ( x) P n n 1 P n1 2nP n n 1 P n1 P n1 ( x) P n1 ( x) 1 2n P n
19. Demostrar que
P x dx P
0
n 1
x P n1 x
n
n 1
0 P n1 0
1 2n 1
1 2n 1
20. Considérese un cable largo o un alambre de teléfono (figura) cuyo aislamiento no es perfecto, de tal modo que ocurren fugas a lo largo de todo el cable. La fuente S de la corriente i(x,t) del cable est á en x=0, el extremo receptor T estáen x=l. La corriente fluye de S a T, a través de la carga, y regresa a tierra. Sean las constantes R, L, C, G que denotan la resistencia, la inductancia, la capacitancia, a tierra y la conductancia a tierra, respectivamente, del cable por unidad de longitud. Demostrar que:
u i Ri L x t
primera ecuación de la línea de transmisión
donde u(x,t) es el potencial del cable. Sugerencia. Aplicar las leyes de las tensiones de Kirchhoff a una porci ón pequeña de cable entre x y x x (diferencia de los potenciales en x y x x = caída resistiva + caída inductiva).
21. Demostrar que para el cable del problema (20), i u G u C x t (Segunda ecuación de la línea de transmisión) Sugerencia. Usar la ley de las c rrientes de Kirchhoff (diferencial de la corrientes en x y x x perdida debida a las fugas a tierra + p érdidas c pacitiva).
V R Ri V L L
di dt
V c
1
dV c
i
dt
c
ic c
idt 1
c dV c
corriente en x : i1 i ( x)
dt
u ( x, t )
potencial cable
potencial en x : u1 u ( x ) potencial en x x : u 2 u ( x x )
u 2 u1
V R V L x u ( x x ) u ( x ) i Ri L x t u i Ri L x t
corriente en x x : i2 x x
i2 i1
x i R
i R ic
V r
1
u Gu
R r u dV ic c c c dt t i x x i ( x)
Gu c
x i u Gu c x t
u t
22. Demostrar que la eliminaci ón de i o u de las ecuaciones de la línea de transmisión lleva a
u xx LCutt RC GLut RGu i xx LCitt RC GLit RGi u x Ri Lit 1 i x Gu Cut 2 u xx Ri x Litx 3 i xx Gu x Cutx 4 de (1) : Lit u x Ri Litt u xt Rit 5 de (2) : Cut i x Gu Cutt i xt Gut 6
LCu tt u xx GLut Ri x
i xx G Ri Lit Cutx LCitt Rit Cu xt LCitt i xx RGi GLit RCit LCitt i xx RGi RC GL it i xx LCitt RC GL it RGi
i xt itx
23. (Ecuación de telégrafo) Para un cable submarino, G es despreciable y las frecuencias son bajas. Demostrar que esto lleva a las llamadas ecuaciones del cable submarino o ecuación del telégrafo.
u xx RCu t ,
(3) con (6)
u xx Ri x Litx Cutt i xt Gu L LCu tt GLut Li xt u xx Ri x Litx
LCu tt u xx GLut RGu RCu t u xx LCutt RC GL ut RGu (4) con (5) i xx Gu x Cutx Litt Rit u xt C
i xx RCit
u xx LCutt RC GL ut RGu i xx LCitt RC GL it RGi i xt itx
para cable submarino
G0
frecuencia s bajas L 0
u xx RC 0ut 0 u xx RCut i xx RC 0it 0 i xx RCit 24. Encontrar el potencial de un cable submarino con extremos (x=0 y x=l) conectados a tierra y distribución de voltaje inicial U 0 const
u xx RCut ut
1
u RC xx
La ecuación es semejante a la ecuación de calor por lo tanto
u ( x, t ) Bn sen n 1
c2
1
c
n x n t e l 2
1
RC RC cn n 2 2 1 n 2 n n l RCl 2 RC l n x U 0 u ( x,0) Bn sen l n 1 n x U 0 Bn sen l n 1
Bn Bn
2
l
U sen l 0
0
2U 0 1
l n
1 cos n
Bn 0 n par
u ( x, t ) n 1
2U l n x n x dx 0 0 sen dx l l l
Bn
4U 0
n l
n impar
n 2 2
n x RCl sen e n l l
4U 0
2
25. (Ecuación de la línea de alta frecuencia) Demostrar que en el caso de corrientes alternas de frecuencias altas las ecuaciones del problema (22) pueden aproximarse por las llamadas ecuaciones de l ínea de alta frecuencia. u xx LCu tt , i xx LCitt Resolver la primera, suponiendo que el potencial inicial es U o sen x / l , ut x,0 0 y u 0 en los extremos x 0 y x l para todo t .
R 0 u xx LCutt RC GL ut RGu (1) u xx LCutt i xx LCitt RC GL it RGi (2) i xx LCitt frecuencias altas
utt
1
LC
x n x U 0 sen l l n 1 x x B1 sen U 0 sen l l B1 U 0 x u ( x, t ) U 0 cos 1tsen l x u ( x, t ) U 0 cos sen l LC l
u ( x,0) Bn sen
u xx
semejante a la ecuación de onda :
utt c 2u xx c2
1
LC
c
1
LC
condicione s dadas :
u (0, t ) 0 u (l , t ) 0 ut ( x,0) 0 u ( x,0) U 0 sen
x
l
la solución es :
u ( x, t ) Bn cos nt Bn* sen nt sen n 1
como ut ( x,0) 0 Bn* 0 1 n n n c l LC l n x u ( x, t ) Bn cos ntsen l n 1
n x l
EJERCICIOS 11.13
1. Trazar un esquema semejante ala figura 281 de la página 126 del libro, si c =1y f es triangular dada por:
l 2k l xcuando0 x 2 f ( x) 2k (l x)cuando l x l l 2 Con k = (l/2)
2w 2 2w c t 2 x 2 w(0, t ) f (t ), lim w( w, t ) 0 x
tenemos w( x, o) 0 w 0 t t 0 Tomamos la transformada de laplace con respecto a t L = laplace
2 w 2 w w L 2 s 2 L( w) sw( x,0) c 2 L 2 t t 0 t x
de lo cual obtenemos mediante integraci ón
2W s 2 W 0 x 2 c 2 Como esta ecuación sólo contiene une derivada con respecto a x , consideramos como una ecuaci ón diferencial ordinaria para W(x,s) de la cual tenemos W(x,s) A( s)e sx / c B ( s )e sx / c De F(s) = L(f(t)) w(0, s) = L w(0, t ) =F(s) con lo nos queda que w( x, s) = F8s)e-sx/c Y partiendo del teorema de traslaci ón , obtenemos la transformada inversa w( x, s) = f (t-(x/c))ux/c(t) con los valores de nuestra f tenemos : w(x ,t) = t(t-x) en x< t <(t+l/2) w(x , t) =(1-t)( t- x) en l/2 < t < l con lo cual obtenemos la grafica
T Lb Lb * seg 2 m pies Como la densidad es m
2. ¿De qué manera la rapidez de la onda del ejemplo 2 depende de la tensi ón de la masa de la cuerda? Como sabemos que la ecuaci ón de la cuerda es
u 2 u c 2 t 2 x 2
2
despejado m x x pies T c2
c
donde la constante c es la velocidad de
las ondas dadas ya que dependen de la tensi ón y la masa.
c2
T
lb Lb * seg 2 pies pies
.
Una manera de demostrar que c es la rapidez que depende de la tensión y la masa de la cuerda es verificar las unidades tanto de la masa y la tenci ón, reducir para verificar las unidades que nos salen:
pies 2 seg 2 pies c seg c
x
Donde claramente podemos verificar que c es la velocidad de la onda que depende de la tensi ón y la masa, esta c ingresa en la resoluci ón de la ecuación diferencial de la cuerda donde variamos tanto la tensi ón y la masa, la onda se desplazar á en función de lo variado. 3. Comprobar la solución del ejemplo 2 ¿qué onda en movimiento se obtiene en el ejemplo 2 si se impone un movimiento senoidal (que no termina) del extremo izquierdo a partir de t=0? Solución del ejemplo 2:
x w( x, t ) f t u x / c (t ) c x w( x, t ) sen t u x / c (t ) c x sen t c w( x, t ) 0
2w 2 2w c t 2 x 2 w x x sen t cos t t t c c 2w x sen t 2 t c w x x 1 sen t cos t x x c c c 2 w 1 1 x sen t x 2 c c c 2 w 1 x 2 sen t 2 x c c
(1)
Sustituyendo en (1):
x x t 2 c c x x 2 t c c
1 x x sen t c 2 2 sen t c c c x x sen t sen t c c w(0, t ) sent f (t ) f (t 2 ) f (t )
5 x
(2) w( x, s) Ae c
5 x
Be c w(0, s) w(0, t ) f (t ) F ( s)
F ( s ) F ( s )
1 1 e 2 s 1 1 e 2 s
F ( s )
sen(t )
1
.
s 2 1 1
1 e s 2 s
st
e
lim w( x, s) lim
x
lim w( x, s)
x
1
2
x 0 st
e
w( x, t )dt
lim w( x, t ) dt
x
0
por lo tanto A=0 en (2) sx c
w( x, s) Be w(o, s ) B F ( s) w( x, s) F ( s)e w( x, s)
u u 2 x 2 x, u ( x,0) 1, u (0, t ) 1 x t
u u 2 x 2 x, u ( x,0) 1, u (0, t ) 1 x t u 2 x u 2 x x t 2 x U 2 x( sU u ( x,0)) x s U 2 x 2 x( sU 1) x s U 2 x x 1 s ( sU 1)
s
1
1 e s
4.
1 s ln ( sU 1) x 2 C s
sx c
2 s
Resolver por transformadas de Laplace:
2
1
e
sx c
1 ( sU 1) Ce x s
2
1
U
s
U s 1 U 2 x x s
1
1
Ce x
2
s
s 2
C x s 1 1 U ( s ) e 2 s s s Aplicamos transformada inversa y obtenemos :
u ( x, t ) J o (2 kt ) 1 t k x 2 k 2 k 4 k 6 J o ( x) 1 2 4 2 6 2( )
2 (2 )
2 (3 ) 2
.. ...
dx s FI e x e s ln x e ln x x s U s s 1 U x 2 x s s x x s s x ( x U ) 2 s x
s
u u xt x t u ( x,0) 0 si x 0 u (0, t ) 0 si t 0
x
x u x u ( xt ) x t u x su u ( x,0) x(t ) x 1 U x ( sU 0) x 2 s x U x sU 2 x s x
s
2
x s1 c s 2 s 1 1 c 1 x s U 2 s s s s 1 x x 1 x c s U ( x, s) 2 s s 1 x (1) x sU
5.
1
( x U ) s x x 1
u (0, t ) u (0, t ) (0) 0 U (0, s) 0 en (1) 0 0 c c 0 1 1 x U ( x, s) 2 x 2 s s 1 s s 1
temperatura inicial es 0, w( x, t ) 0 cuando x para toda t 0 fija y w(0,t)=f(t). Proceder de la siguiente manera. 7. Establecer el modelo y demostrar que la transformada de Laplace lleva a:
2W x 2 W ( x, s) F ( s)e sx / c
1 u ( x, t ) x 2 s s 1
sW ( x, s) c 2
1
1 1 1 u ( x, t ) x 1 2 s 1 s s t u ( x, t ) xe t 1 6. Resolver el ejercicio 5 por otro m étodo.
u u xt , u ( x,0) 0 si x 0, x t u (0, t ) 0 si t 0
x
u u x xt x t Encontrar la temperatura w(x,t) de una barra semiinfinita con aislamiento lateral que se extiende desde x=0 a lo largo del eje x hasta infinito, suponiendo que la
W w F f
W = temperatura
w 2 2 w c t x 2 w( x,0) 0 lim w( x, t ) 0 x
temperatura inicial nula temperatura extremo derecho nula
w( 0 ,t) f(t) temperatura extremo izquierdo 2 w w 2 c 2 t x 2 w s( w) w( x,0) c 2 2 x
2 w sw 0 c 2 2 x 2 w st 2 w 2 st x 2 0 e x 2 dt x 2 0 e wdt 2 2 w 2W x 2 x 2 w( x, t ) x 2
sW c 2
2W x 2
8. Aplicando el teorema de convoluci ón en el problema 7, demostrar que
2W sW 0 x 2 2W s W 0 x 2 c 2 s 2 2 0 c s c c2
w( x, s) Ae
s x c
Be
w( x, t ) w( x, t ) s x c
por la condicion lim w( x, t ) 0 x
/ 4 c 2
d
x t f (t ) 3 / 2 e x / 4c d 2c 0 2
2
W ( x, s ) F ( s )e s x / c Aplicando transformada inversa obtenemos : 1
W ( x, s ) 1 F ( s)e s x / c
w( x, t )
x
por lo tanto B 0 ( 2) w( x, s ) Ae
2
De 7 :
lim w( x, s ) 0
x t f (t ) 3 / 2e x 2c 0
s x c
w(0, t ) f (t ) w(0, t ) f (t ) w(0, s) F ( s)
k 2
k 2 4t
e k
x c
x x x 3 c x 32 4c t s x / c c 2 e t e 4t t e 2 2c 1 F ( s ) f (t ) 2
2
2
aplicando en (2)
w(0, s) Ae 0 F ( s) A
w( x, s) F ( s)e
e
s x / c
Sustituyendo las transformadas inversa calculadas llevamos a la ecuación inicial y nos queda de la
s x c
siguiente manera :
3
w( x, t ) f (t )
x 2 t e 2c
w(0, t ) f (t ) u0 (t ) u(t 0) x t f (t ) 3 / 2 e x / 4 c d (1) w( x, t ) 0 2c
x 2 2 4 c t
2
Aplicando el teoram de la convolución que nos dice : w(x, t) * f(t)
t
f (t ) f ( )d 0
3 x f ( ) 2 e 2c Obtenemos :
(2)
x 2 2 4c
2
x z 2
e 0
dz
erfc( x) 1 erf ( x)
2
z 2
e 0
dz
x x t 1 / 2 2c t 2c 1 x dz t 3 / 2 dt 2c 2 x dz t 3 / 2 dt 4c límites : z x z
x 2
3 t x w( x, t ) f (t ) 2 e 4c d 2c 0 2
9. Sea w(0,t)=f(t)=u(t) (sección 6.3). Denotar las w, W y F correspondientes por w0 ,W 0, F 0 Demostrar que entonces en el problema 8
w0 ( x, t )
erf ( x)
x t 3 / 2 x / 4 c x e 1 erf d 2c 0 2c t 2
2
0 t t límites de t de acuerdo a u 0 (t ) f (t )
f (t ) u0 (t )
1 f (t ) u0 (t ) 0 2 x z 2 2 4c t
t 0 t 0
2