SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON
CAPITULO 11
Ing . Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON INDICE
EJERCICIOS DEL 1 AL 60 ............................................................................................................. ............................................................................................................ 3 EJERCICIOS DEL 89 AL 132.......................................................Error! Error! Bookmark not defined. EJERCICIOS DEL 133 AL 181 ................................................ ................................................Error! Error! Bookmark not defined.
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EJERCICIOS DEL 1 AL 60 ............................................................................................................. ............................................................................................................ 3 EJERCICIOS DEL 89 AL 132.......................................................Error! Error! Bookmark not defined. EJERCICIOS DEL 133 AL 181 ................................................ ................................................Error! Error! Bookmark not defined.
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10 30 510 1. 5 4 304 5410 1. 5 4 3844802010 66 1.5 30 510 6 605 60∗45 64 3842405 149 6 605 18 60 184 60 28860
x1.5t 30t 5t
11.1 El movimiento de una partícula está definido por la relación donde x y t se expresan en metros y segundos respectivamente. Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t=4s
Reemplazo en la ecuación de la posición t=4s
Para encontrar la velocidad aplicamos:
Derivando tenemos:
Reemplazamos t=4s
Ahora para encontrar la aceleración se aplica:
Derivando se obtiene: Reemplazo t=4
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5
228
x12t 18t 2t
11.2 El movimiento de una partícula está definido por la relación donde x y t se expresan en metros y segundos respectivamente. Determine la posición, la velocidad cuando la aceleración de la partícula es ig ual a cero.
18 25 12 0
)m
12 18 25 36 362 36 362 7236 7236 0.5 18 25 12 120. 5 18 0 . 5 20. 5 5 1. 5 4. 5 15 3 362 36 360.52 360. 5 9182 7
Para encontrar la velocidad se aplicamos:
Ahora para encontrar la aceleración se aplica:
Derivando se obtiene: Reemplazo a=0
Ahora reemplazo t=0.5 en:
Reemplazo t=0.5 en
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x t t 30t8 308 0
11.3 El
movimiento
de
una
partícula
está
definido
por
la
relación
0
donde x y t se expresan en pies y segundos respectivamente.
Determine el tiempo, la posición, y la aceleración de la partícula cuando )ft
5 5 308 3 2 5 530 0 05±√530 5± 254 5± 2560024530 5 5±25√ 10 310 2 3 308 3 3 3038 59.5 5 530 105 3 105 1035
Para encontrar la velocidad aplicamos:
Reemplazo
Como no existe el tiempo negativo se utiliza Reemplazo
3
en:
)ft
)ft
Para encontrar la aceleración se aplica:
Reemplazo
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en:
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25 x6t 840cosπt 6 840cos 6 6 6 840cos 6 840cos 66 216840cos6 ∗ 216840cos1080 2168401 248 6 840cos 1240sen 6 1240sen 12 6 40 sen 6 7240 sen1080° 72
11.4 El
movimiento
de
una partícula está definido por la relación donde x y t se expresan en pulgadas y segundos
respectivamente. Determine: la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando
Reemplazo
en :
Ya que el coseno esta en radianes se lo d ebe transformar a grados con una regla de tres simple: 2 =360° 6 = ?(grados) grados= 6
grados = 1080°
Para encontrar la velocidad aplico:
Reemplazo
Para encontrar la aceleración aplico:
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1240sen 1240 6 1240 12401080° 6 382.8 x6t 2t 12t 3t3 Reemplazo
11.5 La
aceleración
de
una partícula está definido por la relación donde x y t se expresan en metros y segundos
respectivamente. Determine el tiempo la posición, y la velocidad cuando
2 12 33 6 0 6 2 12 33 24 6 243 24 6 243 72 1224 0 72 1224 072±√1224 12± 2124 47224 12±84 272 0.144667 0.5
0
Para encontrar la velocidad se aplica:
Para encontrar la aceleración se aplica:
Reemplazo
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0. 6 67 212 33 6 120.667 30.6673 60. 6 67 2 0 . 6 67 1. 1 90. 5 95. 3 423 0.26 0. 6 67 6 243 24 240. 6 67 60. 6 67 240. 6 673 7. 1 222. 6 7163 8.55 x2t 15t 24t4 Como no existe el tiempo negativo tomo
Reemplazo
11.6 El
movimiento
y reemplazo en:
en:
de
una partícula está definido por la relación donde x y t se expresan en metros y segundos respectivamente. Determine: a) Cuando la velocidad es cero b) La posición y la distancia total viajada hasta ese momento cuando la aceleración es cero
2 15 244 0 2 15 244 6 3024 0 3024 06 4 ±√ 2 30± 30 30±18 264624 412 1 0 a) Cuando
:
Reemplazo
Debido a que existe dos tiempos quiere decir que es un recorrido de id a y vuelta b) Cuando : Para calcular la aceleración se aplica:
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6 3024 1230 0 01230 2.5 2. 5 15 244 2 22. 5 15 2 . 5 242. 5 4 31. 2 593. 7 5604 1.5 Reemplazo
Reemplazo
en:
Para calcular la distancia total recorrida se toma en cuenta que nos pide la distancia total viajada hasta el momento que la aceleración es cero:
12300 01230 2.5 Reemplazo
Se debe calcular la distancia total viajada hasta cuando t=2.5 s. Se tiene el tiempo calculado anteriormente de 1 s que se encuentra dentro de los 2.5 s, por lo que Reemplazo en:
1 2 15 244
21 15 1 2414 15 150 2404 20 4 1 54151. 5 24.5 Y cuando t=0
Por lo que:
xt 6t 36t40
11.7 El movimiento de una partícula está definido por la relación , donde x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine a) cuando la velocidad es cero, b) cuando la velocidad, la aceleración y la distancia total viajada cuando x=0.
6 3640
a) Para este el literal tenemos q derivar la posición con respecto al tiempo Ing . Fernando Urrutia
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6 3640 3 1236 1 0 3 12360 ±√ 2 4 12± 1224336 3 12± √ 1644432 12±√ 6 576 12±246 + − 6 2 6 3640 0 6 36400 En este literal nos indica que la velocidad es igual a cero la ecuación que ya obtuvimos derivando de la posición
por ende igualamos
Utilizando la ecuación de la formula general podemos obtener los valores te t
Se toma el tiempo positivo ya que no existen tiempos negativos b)
Cuando la posición es cero
Debido a que tenemos una ecuación cubica la resolvemos por u no de los casos de factoreo que es el de evaluación 1 1
-6 -36 -40 10 40 40 10
44 10 10 2 2 10 2 1
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4
4
0
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10 0 1 1236 3 2 3 1 0 12 1 036 144⁄ 10 3 1236 612 6 1 012 48⁄ Para el valor de ecuación
y cuando la
vamos a calcular el valor de v en la
Para el valor de vamos a calcular el valor de aceleración derivando la velocidad en la ecuación 2
Para obtener la distancia total recorrida se debe tomar hasta cuando t=10 Cuando t= 10s ---> X=0 t= 0s --->X=-40 t= 6s---> X=-256 Xtotal= (0-(-40))+(0-(-256))=296ft
xt 9t 24t8
11.8 El movimiento de una partícula está definido por la relación , donde x y t se expresan en pulgadas y segundos respectivamente. Determine a) cuando la velocidad es cero, b) la posición y la distancia total recorrida cunado la aceleración es cero.
9 248 1 9 248 3 1824 03 1824 2 −±√− 18± 18 t 23 4324
a) Para obtener el valor de la velocidad con respecto al tiempo tenemos que derivar la ecuación 1
Como nos dice que la velocidad es igual a cero
0
Para resolver un sistema de ecuaciones de segundo grado se utiliza la formula general
Remplazamos los valores de la ecuación 2 en la formula general
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t 18±√ 3624288 t 18±√ 6 36 18±66 + 4 3 1824 618 0618 61818 6 3
− 2
b) Para obtener el valor de la aceleración con respecto al tiempo tenemos que derivar la velocidad
Como nos dice que la aceleración es igual a cero
0
Remplazamos el valor de t en la ecuación 1 para encontrar el valor de la posicion
9 248 3 93 2438 2781728 10 | ||128| 20 | ||1210|2 22 ⁄ a8ms x20m t4s x4m v16ms⁄ t 11s
11.9 La aceleración de una partícula se define mediante la relación . Si se sabe que cuando y cuando , determine a) el tiempo cuando la velocidad es cero, b) la velocidad y la distancia total recorrida cuando . Ing . Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON T 4 ? 11 ?
a)
v 0 16 ? 0
X 20 4 ?
a -8 -8 -8 -8
1 0 0 4 = = = =? 08 4 0328 4328 ∫ ∫ =?4 =11 4 = = 48 1 14 88324 56⁄ =?0 =4 = = 08 4 832 2 20 4 =? =
Para encontrar el tiempo inicial en función de la aceleración, la velocidad y el tiempo final procedemos a integrar la ecuación 1
Se resuelve a integral con límites obteniendo los datos de la tabla cuando , y con un tiempo final
b)
Resolveremos la integral con límites obteniendo los datos de la tabla cuando, y con y
Resolveremos la integral con límites obteniendo los datos de la tabla cuando, y con
Para calcular la posición en función del tiempo tenemos que integrar con limites la ecuación 2 donde y con
= =
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=? = = =832 82 32 20 4 32 20 4 32 4 4 32 4 204 3264128 4 3244 3 4 3244
En la ecuación 3 podemos obtener los valores de la posición cuando
4 1 1 32 1 144 48435244 176 t0 x24m 18m/s = 0 6= =? = = = =? = 3 6 0 18 3 3 7218 1 1872
11
,
6s x96m v
11.10 La aceleración de una partícula es directamente proporcional al cuadro del tiempo t. Cuando , la partícula está en . Si se sabe que en t , y , exprese x y v en términos de t. T x V 0 24 6 96 18
Para encontrar el valor de la aceleración que nos está dando en función d e una variable k en función de la velocidad y el tiempo se procede a integrar
Resolver la integral con límites obteniendo los datos de la tabla cuando con y
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18
,y
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1872 0 = = =− = = = =− = − 3 0 1872 3 3 1872 3 2 7218 24=? 0= = = 3 7218 243×4 7218 0 24 12 7218 12 720180 721824 3 6 12 721824 6 96 12 72618624 9610843210824
Resolveremos la integral con límites obteniendo los datos de la tabla cuando y con
Para encontrar la posición en función de la velocidad se utilizar la ecuación 2
Resolveremos la integral con límites obteniendo los datos de la tabla cuando , y con
Para calcular el valor de k podemos tomar valores de la tabla para cuándo , asi remplazarlos en la ecuación 3
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96
y
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4321081082496 324132 32436 19 3 7218 ⁄ 1 9 3 721918 27 818 27 10 12 721824 ⁄ 1 9 12 72191824 108 81824 108 1024 20i0n t1s v16in/s t7s 96
Con el valor de k ya obtenido podemos remplazarlo en la ecuación 2 y 3 y así tener los valores de v y x
Para
En la ecuación 3
Para
v15in/s x
11.11 La aceleración de una partícula es directamente proporcional al tiempo t. Cuando t , la velocidad de la partícula es . Si se sabe que , y que . Cuando , determine la velocidad, la posición y la distancia total recorrida cuando . T X V a 0 21 16 Kt 1 20 15 Kt 7 -28 -33 Kt 4 5 0 Kt La aceleración nos da en expresión del tiempo y multiplicado por una constante k Ing . Fernando Urrutia
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1 2 =0 = 1 = = 2 12 1516 2 2 0 =? =? = =2 2 162 16 16 3 7 16 7 33⁄ 0 16 016 √ 1616 4
Para encontrar el valor de k en función de la aceleración
Se resuelve la integral con límites obtenidos los datos de la tabla cuando y con un tiempo final
15
,
Se remplaza el valor de k en la ecuación 1 y así se tiene la aceleración en función del tiempo
Se resuelve la integral con límites obtenidos los datos de la tabla cuando con un tiempo inicial
Para tener el valor de la velocidad cuando
Para tener el valor de la tiempo cuando v
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y
remplazamos en la ecuación 3
remplazamos en la ecuación 3
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= = = = 16 1620
cuando tn=1
4.33 =?=. == 16 164.33 446. 9 9 71.99 Se halla x para t= 4s y t =7 en xn
Xtotal=(46.99-4.33)+(46.99-1.99) Xtotal=87.66 in 11.12 La aceleración de una partícula está definida por la relación : a) Si se sabe que v=-32 ft/s, cuando t=0 y que v= 32ft/s cuando t=4 s, determine la constante k. b) Escriba las ecuaciones de movimiento, sabiendo también que x=0, cuando t=0 s.
a=
a)
t 0 4
x 0
v -32 32
a
∫ ∫ ∫− ∫ 32+32 = k 192 = k 192
= k*(4
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON K =
.
K=3
Utilizando los valores de v y t , además remplazando el valor de la constante k, procedemos a integrar la aceleración, para poder obtener la ecuación de v. b)
∫− ∫ 3 32 ∫ ∫ 32 ∫ ∫ ∫ 32 32 32 = 32 32 3264 v+32 = k v+32 = v+32 = v=
Ahora, para obtener la ecuación de la posición, se procede a integrar la función de la velocidad recientemente obtenida. . .
-X=
Xo =
cuando t=4
Xo=64
Xn-64=
X =
aA6t
11.13 La aceleración de una partícula se define mediante la relación , donde A es constante. En t=0, la partícula inicia en x=8m con v=0. Si se sabe que t=1 s y v=30m/s determine: a) Los tiempos en los que la velocidad es cero b) La distancia total recorrida por la partícula cuando t=5 s.
t 0
x 8
v 0
1
38
30
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A
A-6
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8
0 -90
El primer paso para llegar a la resolución del problema, es despejar la constante A, integrando la aceleración, con los tiempos y velocidades dadas en los datos. . .
∫ ∫ 6 ∫ ∫ ∫ 6 V= (At - 2
30 = A-2 A = 32
a)
Vamos a proceder a realizar los cálculos para obtener los tiempos cuando v=0, entonces integramos la aceleración, remplazando el valor de la constante A.
∫ ∫326 ∫ 32 ∫ 6 ∫ 2 322 30 02 32 160 16 16 V = 32t -
-30 = (32t-2 -30=32t - 2 (
) Todo dividimos para 2
, sacamos factor común
t*(
=0
t=0 y t =0
=0
y t=4
t = 4 segundos
^ t = 0 segundos
Los tiempos en los que la velocidad es cero son a los 0s y 4s. Ahora se procederá a encontrar la ecuación general de la posición para cualquier tiempo y poder encontrar la distancia total. . .
∫ ∫322 ∫ 32 ∫2 ∫ /2 x-8= (16 -
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ahora se procederá a remplazar los valores de la integral Página 21
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/2
xn = 16 b)
)+8
Ahora se procederá a encontrar la distancia en los tiempos 1s, 4s y 5s. (5s es el tiempo hasta el cual nos piden determinar, 1s es dato y debemos conocer la distancia que se ah movio a 1s y 4s es el tiempo en el cual la velocidad es cero)
xn1s = 16 xn4s = 16 xn5s = 16
∗1 1/2 ∗4 4/2 ∗5 4 /2 -
)+8 = 23.5 m
-
)+8 = 136 m
-
)+8 = 95.5 m
con las distancias parciales encontradas podemos determinar la deistancia total recorrida por la partícula a los 5s.
= (136-8)+(136-95.5) m
= 168.5 m
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11.14 Si se sabe que desde t=2s hasta t=10s, la aceleración de una partícula es inversamente proporcional al cabo del tiempo t. cuando t=2s, v=-15m/s y cuando t=10s, v=0.36 m/s. Si se sabe que la partícula está dos veces más lejos del origen cuando t=2s, que cuando t=10s, determine: a) La posición de la partícula cuando t=2s y cuando t=10s b) La distancia total recorrida por la partícula desde t=2s hasta t=10s.
−
a=
2 10
2x
-15 0.36
El primer paso para poder llegar a la solución, en este caso es obtener el valor de la constante k, mediante la integración de la aceleración, evaluando con los datos entregados.
. − − −
Ahora se procederá a remplazar los valores de la integral.
0.36 + 15 = 15.36 =
30.72 = -k (-24 / 100) 30.72 = 24k/ 100 3072 = 24k K= 128 //
Ahora con la constante k encontrada, el siguiente paso es encontrar una ecuación de la velocidad mediante la integración de la aceleración.
− − 15 1282 1 14
Ahora se procederá a remplazar los valores de la integral y el de k.
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15 64 1 14 1615 – ∫ ∫1 v= 1
a)
Con la ecuación de la velocidad encontrada, procedemos a integrarla para poder conocer la distancia recorrida.
X=t+
X2 = 2 (x10)
2+32+c = 2[10+
]
++
34 + c= 2 [
]
170 + 5c = 164 + 10c C= 1.2
Ahora remplazamos el valor de c en la ecuación de la dis tancia cuando t= 2s ^ t= 10s
X= 2 + 32 + 1.2 X= 35.2 m
X= 10 + 6.4 + 1.2 X= 17.6 m
X= 8 + 8 + 1.2 X= 17.2 m b)
–
–
|x8 x2| = |17.2 35.2| = 18 m
–
–
|x10 x8| = |17.6 17.2| = 0.4 m
= 18.4 m
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 11.15 La aceleración de una partícula está definida por la relación a= -k/x. se ha determinado experimentalmente que v=15ft/s cuando x=0.6ft, y que v= 9ft/s cuando x=1.2 ft. Determine: a) La velocidad de la partícula cuando x=1.5ft. b) La posición de la partícula en la que su velocidad es cero.
0.6 1.2 1.5
15 9
-k/x
Procedemos a integrar la aceleración con los límites que nos da el ejercicio, para poder encontrar la constante k.
∫ = ∫.=. 112.5 lnln0.6
(1)
Cuando vn=9 y xn=1.2 K = 103.896
a)
Ahora se procederá a encontrar la ecuación de v, integrando la aceleración con los límites dados, y remplazando el valor de la constante k.
∫ ∫.. 103.896 ln 1.5 ln 1.2 − 103.896 0.223 812∗23.17 8146.34 √ 34.66 V=
V= 5.89 ft/s
b) de 1 se despeja xn cuando vn=0 y remplazando el valor de k=103.87
112.5 lnln0.6 Ing . Fernando Urrutia
(1) Página 25
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ln0.51 52.97
-112.5=-103.87 -112.5=-103.87 lnxn=0.57312 xn= 1.77 ft
11.16 Una partícula que inicia desde el reposo en x= 1 ft, se acelera de forma que la magnitud de su velocidad se duplica entre x= 2ft y x= 8ft. Si se sabe que la aceleración de la partícula está definida por la relación a=k*[x-(A/x)], determine los valores de las constantes A y K, si la partícula tiene una velocidad de 29 ft/s cuando x= 16 ft.
t
X 1 2 8 16
V 0
A K[x(A/x)]
29 ft/s
Ahora se procederá a integrar la aceleración, para poder obtener una ecuación respecto de la velocidad, para poder remplazar los datos que nos da el ejercicio.
1 2 12 12 2 2 12 12 2l n 2 12 12 32 2
Ahora remplazamos los valores de la integral. //
8 Ing . Fernando Urrutia
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12 12 8 8 12 12 32 12 8 31.5 8 8 ó 2 2 ; 2 ∗∗31.325lln2n 8 .−. – – – – 4=
6 4 Aln2 = 31.5 2.079A
6 2.77 A = 31.5 2.079 A -0.69 A = 25.5 A = -36.90 //
Remplazamos cuando x=16 ft; v = 29 ft/s
29 ∗ 16 l n 16
–
420.5 = k*(128 + 102.30 0.5) 420.5 = k*(229.8) K= 1.83
s
11.17 Una partícula oscila entre los puntos x=40mm y x=160mm con una aceleración a = k(100-x), donde a y x se expresan en mm/ y mm, respectivamente, y k es una constante. La velocidad de la partícula es de 18 mm/s cuando x=100mm y es cero cuando x = 40 mm y cuando x = 160 mm. Determine, a) el valor de k, b) la posición de la partícula cuando v = 4.5 m/s , c) la velocidad máxima de la partícula. Datos:
100 x
v
a
100
18
40
0
160
0
K(100x) K(100x) K(100x)
Ing . Fernando Urrutia
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a v ∫. ∫ . ∫ . ∫ 100 100 1 100 – =
=
- 162 = k(100x -
-
− − – −− – - 162 = k (100x -
+
)
5000)
K=
Con v=0 y x= 40
K=
K=0.09
b) utilizo la ecuación 1
100 100 – 0.18100x – 5000324 √ 288 /x4
- 162 = k (100x =2k (100x -
-
= (0.18)( 100x -
-
+
+
)
)+324
5000)+324
Ecuación de la rapidez para cualquier posición V= V=
V= 16.97 mm/s
s
11.18 Una partícula parte desde el reposo en el origen y recibe una aceleración a = k , donde a y x se expresan en m/ y m, respectivamente, y k es una constante. Si se sabe que la velocidad de la partícula es de 4 m/s cuando x = 8m, determine a) el valor de k, b) la `posición de la partícula cuando v = 4.5 m/s, c) la velocidad máxima de la partícula
T
x
v
a
Ing . Fernando Urrutia
Página 28
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 0
0
8
4
4 816 . 1 4 + 1 + + a=k/ a = k/ (
Se sabe que al igualar esta aceleración podemos despejar: a=v
= k/ (
+8x +16)
k= 48
48 + 2 48 41 041 4.25 484 12 1.875 48+
x4 1.875 →lim + 946 4.89 / x = 21.6 m
= 96
11.19 Una pieza de un equipo electrónico que está rodeada por materiales de empaque se deja caer de manera que golpea el suelo con una velocidad de 4 m/s. Después del impacto, el equipo experimenta una aceleración de a = -kx, donde k es una constante y x es la compresión del material de empaque. Si dicho material experimenta una compresión máxima de 20mm, determine la aceleración máxima del equipo.
Ing . Fernando Urrutia
Página 29
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON V=0 a = -kx
= 4 m/s x = 20 mm
= 0 mm
Sabiendo que: a=v
∫ . ∫ . ∫ ∫ . ∫ ∫ . − √ − 4∗−20∗10 =
=
-k
=
=
V= Ecuación de la rapidez función de la posición Utilizo vo = 4m/s v =0 m/s y x = 20* m = -k
10−
k =-
k = 40.000
amax = -k*xmax xmax es la comprensión máxima del material de empaque amax = -40000* 0.02m = -800m/s¨2
Ing . Fernando Urrutia
Página 30
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON
s
11.20 Con base en observación experimentales, la aceleración de una partícula está definida por la relación a = -0.1 + sen x/b), donde a y x se expresan en m/ y metros, respectivamente. Si se sabe que b=0.8m y que v = 1 m/s cuando x=0, determine a) la velocidad de la partícula cuando x = -1 m, b) la posición de la partícula en la que su velocidad es máxima, c) la velocidad máxima.
Ing . Fernando Urrutia
Página 31
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON t
x 0 -1
0.0801
v 1 ¿?
a
a = - (0.1 +sen (x/ b)) b = 0.8 m a = - (0.1 +sen (x/ 0.8))
. 0.1 0.8 1 cos ∗ 0. 8 0. . 1 2 2 0.10.8cos/0.800.8cos0 21 0.80.10.8cos0.8 20.80.10.8cos.1 a=v
= - (0.1 +sen (x/ 0.8))
V=
v = 0.323 m/s
0.1 0.8 0. 1 0. 8 −0.1∗0.8 0. 0 801m …… 2 0.10.8cos0.80.3 2 0.10.8cos0.0.88010.3 2√0. 2 115 0.991 √ v 49
s
Ing . Fernando Urrutia
Página 32
si
; a= 0
X=0.0801 m
Cuando x=
m/s 11.21 A partir de x= 0, sin velocidad inicial, la aceleración de una partícula está definida por la relación, a = 0.8 , donde, a y v, se expresan en m/ y m/s, respectivamente. Determinar a) la posición de la partícula cuando v = 24 m/s, b) la rapidez de la partícula cuando x = 40 m.
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion Datos:
√ 49
a = 0.8 x v 0 0 ? 24 40 ?
a 7.8 25.8
0.8 49 0.8 . √ 49 49 0.8 x /..2 0. 8 /− √49 √ 49 √ 49 √ √ 4949 7 Sabiendo que: a=
a= v
v=
u=
2v
dv =
0.8x =
0.8 x = 0.8x =
-
0.8x =
-7
1 0.8 2 4 0.498 7
Ecuación de posición en función de velocidad V= 24 m/s
x=
−.
x = 22.5 m
√ 490.8 7 Ing. Fernando Urrutia
Página 33
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
√ 49 49 7 √ 39 √ 49 49 √ 1472 0.8x =
0.8 (40) = = 1521 = V=
V = 38.36 m/s
√ v
11.22 La aceleración de una partícula está definida por la relación a=-k , donde, k es una constante. Si se sabe que en t = 0, x = 0 y v=81m/s y que v = 36 m/s cuando x = 18 m, determine a) la velocidad de la partícula cuando x = 20 m, b) el tiempo requerido para que la partícula quede en reposo. t 0
x 0 18 20
¿?
v 81 36 ¿? 0
A
√ √ √ / 23 36 81 180 a=-k a= v
=
− − 19 81 19 19∗ 32 81/ k =
k = 19
29.35 /
Ing. Fernando Urrutia
Página 34
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
√ 19 √ 2281 /19 19 a =
= -19
t = 0.947 s
s
11.23 La aceleración de una partícula se define mediante la relación a = -0.8v, donde, a se expresa en in/ y v en in/s, Si se sabe que cuando t = 0 la velocidad es de 40 in/s, determine a) la distancia que recorrerá la partícula antes de quedar en reposo , b) el tiempo requerido para q la partícula quede en reposo ,c) el tiempo requerido para que la velocidad de la partícula se reduzca a 50 por cierto de su valor inicial.
Datos: a= -0.8 v Cuando: t = 0 v=40 a = -0.8 (40)
a= -32
= 40 in/s V = 0 in/s Sabiendo que:
0.8 dx dv 0.8 v . a=v
-0.8 v = v
-0.8 dx = v
-0.8 x = -40 X=
X = 50 in
∫0. 0.8 8 ∫ -0.8
Ing. Fernando Urrutia
Página 35
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
– –
-0.8t = ln v ln 40
∞
-0.8t = ln 0 ln 40 El logaritmo de ln 0 es infinito -0.8t =-
∞ t∞
El tiempo es indeterminado c) utilizando la ecuación 1 -0.8t = ln v ln 40
– ln20l0.8n40
t = 0.866 segundos 11.24 Una bola de boliche se deja caer desde una lancha, de manera q golpea la superficie del lago con una rapidez de 25ft/s. si se supone que la bola experimenta una aceleración hacia abajo a = 10- 0.9 cuando está en el agua, determine la velocidad de la bola cuando golpea el fondo del lago.
v
10 0.9 a=v
= 10- 0.9
1.8 1..8 10.0.9 1.8. Ing. Fernando Urrutia
Página 36
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
9 . ∗ ln100. 100. 9 100. 9 100. 9 100.190 −− 0.9 3.33 / x(-1.8) = ln( 30(-1.8) = ln ( 54 = ln( = -
11.25 La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=0.4 (1-kv) , donde k es una constante. Si se sabe que en t=0 la partícula parte desde el reposo con x=4m , y que cuando t=15 s, v=4 m/s , determine a) la constante k , b) la posición de la partícula cuando v=6m/s , c) la velocidad máxima de la partícula. t(s) 0 15
r(m) 4 ?
v(m/s) 0 4 6 vmax=?
a(m/s2)
0
a) Sabemos que:
1 2 0.4 1 1 0.4 0.4 1
Donde a=0.4 (1-kv) está en función de la rapidez. De (1) despejamos dt:
Reemplazamos a en (2):
Tenemos:
Integramos:
Ing. Fernando Urrutia
Página 37
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion Definimos la integral:
0. 4 1 1 1 1 0.4 1 ln 0 0.4 0 1 ln10 0.40 1 ln10.4 1 ln10.4 ln10.4 Resolvemos la integral: Cambio de variable a
entonces:
u=
Reemplazando en la integral:
Reemplazamos la variable u:
Evaluamos:
(3)
Reemplazamos los datos de la tabla en la ecuación: Cuando t=15s; v=4m/s
ln10.4 ln140.415 ln146 k=0.145703 s/m
b) Sabemos que: Ing. Fernando Urrutia
Página 38
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
4 5 0.4 1 1 0.4 0.4 1k 0.4 1k
Donde a=0.4 (1-kv) está en función de la rapidez. De (4) despejamos dx:
Reemplazamos a en (5):
Tenemos:
Integramos:
Definimos la integral:
Resolvemos la integral: Sabemos que:
1 1/ 1k 1 6 1 1/ 0.4 1 1 1/ 1 0.4 1 1 1 1 0.4 1 1 11 0.4 1 Reemplazamos (6)en la integral:
Realizamos un cambio de variable a Ing. Fernando Urrutia
Página 39
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
1 1 1 1 0.4 1 1 1 0.4 1 0 1 0 0.44 1 0 1 ln1 0 0.4 4 1 1 ln1 ln1 0 0.44 1 6 0.1457031 ln10.145703∗6ln1 0 0.44 0.145703 41.1796647.104566ln0.125782ln10.41.6 41.1796647.1045662.07320 0.41.6 41.1796647.1045662.07320.41.6 41.1796697.65720.41.6 56.41.7750. 4 1. 6 656.0.44778 Reemplazamos en la integral:
Resolvemos la ecuación:
Reemplazamos la variable z:
Evaluamos:
Reemplazamos los datos de la tabla cuando v=6m/s; x=? Y k=0.145703 s/m
Ing. Fernando Urrutia
Página 40
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion x=145.2m c) la máxima velocidad ocurre cuando a=0 Donde a=0.4 (1-kv).
0.4 1 0 0.40.4 0 0.40.40.145703 0 0.40.0582812 0 0.4 0.0582812 6.86327/ Donde k=0.145703 s/m
Otra solución alternativa seria de acuerdo a la ecuación (3)
ln110.4 1−. 1 1− 1 10 1 0.1457031 s/m v 6.863276 m/ Para
consideramos que el t tiende a infinito
Reemplazo k=0.145703 s/m
11.26 Una partícula se proyecta hacia la derecha desde la posición x=0 con una velocidad inicial de 9 m/s . Si la aceleración de la partícula se define la relación a = -0.6 v 3/2 , donde a y v se expresan en m/s 2 y m/s , respectivamente, determine a) la distancia que habrá recorrido la partícula cuando su velocidad sea de 4 m/s , b) el tiempo cuando v=1 m/s , c) el tiempo requerido para que la partícula recorra 6 m . Ing. Fernando Urrutia
Página 41
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion t(s) 0 ? ?
r(m) 0 ? ? 6
v(m/s) 9 4 1
a(m/s2)
a) Sabemos que:
1 0.0.6 / 1 / 0.0.6 −/ 0.0.6
Donde a=-0.6 v 3/2 está en función de función de la rapidez.
Reemplazamos a=-0.6 v 3/2 en (1):
Despejamos de (1):
Integramos:
− 0.6
Definimos la integral: De acuerdo a la tabla cuando x=0; v=9m/s
− 0.6 2 9 0.6 0 2 90.60 2 90.60 2 30.6 Resolvemos la integral:
Evaluamos:
Ing. Fernando Urrutia
Página 42
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
2 60. 6 6 2 0.6 62 0.6 23 0.6 0.13 3 ó óó Reemplazamos los datos de la tabla en la ecuación:
Cuando v=4m/s; x=?
0.13 3 0.13 34 0.13 3 2 0.13 x3.33m 2 0.0.6 / 2 / 0.0.6 − 0.0.6
b) Sabemos que:
Donde a=-0.6 v 3/2 está en función de función de la rapidez.
Reemplazamos a=-0.6 v 3/2 en (2):
Despejamos de (2):
Ing. Fernando Urrutia
Página 43
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion Integramos:
− 0.6
Definimos la integral: De acuerdo a la tabla cuando t=0; v=9m/s
− 0.6 2− 9 0.6 0 2− 9−0.60 22 1 91 0.6 Resolvemos la integral:
Evaluamos:
22 √ 1 13 0.6 √ 1 13 0.26 √ 1 13 0.3 1 1 3 √ 0.3 1 1 3 √ 0.3 ó 1 1 3 √ 0.3 Reemplazamos los datos de la tabla en la ecuación:
Cuando v=1m/s; t=?
Ing. Fernando Urrutia
Página 44
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
1 1 3 1 √ 0.3 1 1 0.33 t2.22 1 1 3 √ 0.3 ó 3 √ 30.√ 3 30.9√ √ 0.9√ 3 √ 0.9√ √ 3 √ 0.913 √ 0.931 3 0.91 9 ó 0.91 3 c) de la ecuación:
Despejamos v:
Sabemos que:
Donde v está definida por la siguiente ecuación en función d el tiempo. Reemplazamos
.+
Ing. Fernando Urrutia
.+
en (3):
Página 45
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
0.91 9 0.991 9 0.91 Despejamos:
Integramos:
Definimos la integral:
De acuerdo a la tabla cuando t=0; x=0m/s
9 0.91 Resolvemos la integral:
Realizamos cambio de variable a
0. 9 1 0.9 0.9 9 0.9 10 1 10 − 0 10− 0
0. 9 1
Reemplazamos en la integral:
Integrando:
Reemplazo la variable z Ing. Fernando Urrutia
Página 46
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
0. 9 1 0 100.91− 0 0 100.911 0 1 100.911 0.901 100.911 1 1010.0.9191 100.0.919 100.0.919 0.991 0.919 0.991 0.991 0.919 ó ó 6 0.9169 3.6 6 t1.6667 Evaluamos:
Reemplazamos los datos de la tabla en la ecuación: Cuando x=6m; t=?
11.27 Con base en observaciones, la velocidad de un atleta puede aproximarse por medio de la relación v= 7.5 (1-0.04x) 0.3 , donde v y x se expresan en mi/h y millas , Ing. Fernando Urrutia
Página 47
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion respectivamente. Si se sabe que x=0 cuando t=0 , determine a) la distancia que ha recorrido el atleta cuando t=1h , b) la aceleración del atleta en ft/s 2 cuando t=0 , c) el tiempo requerido para que el atleta recorra 6 mi. t 0 1h ?
R 0 ? 6mi
v(ft/s) 0
a(ft/s2) ?
a) Sabemos que:
1 7.5 10.04. 10.04. 7.5 10.04. 7.5
Donde v=7.5 (1-0.04x) 0.3 está en función del desplazamiento. Reemplazamos v=7.5 (1-0.04x) 0.3 en (1):
Despejamos:
Integramos:
Definimos la integral:
De acuerdo a la tabla cuando t=0; x=0m
. 7. 5 10.04 Resolvemos la integral:
Realizamos un cambio de variable en
10. 0 4 0.04 0.04
Ing. Fernando Urrutia
10. 04 Página 48
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion Reemplazamos en la integral en cambio de variable:
1. 0.04 7. 5 1 0.04 −. 7. 5 0.0128 . 0 7.5 0 10. 0 4 0.0128 10.04. 0 7.5 0 0.0128 10.04. 10.040.7.5 0 0.0128 10.04. 17.5 110.04. 0.21 I 10.04 0.211 10.04 10. 2 1 10.04 10.21 10.04 10.21 10.04 10.21 10.04 10.21 10.0410.21 0.04110.21 1 1 0. 2 1 0.04 Integrando:
Reemplazo el cambio de variable z=
Evaluamos:
Ing. Fernando Urrutia
Página 49
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
1 1 0. 2 1 0.04 ó ó
Reemplazamos los datos de la tabla en la ecuación: Cuando t=1h; x=?
1 1 0. 2 11 0.04 1 0 . 7 9 0.04 10.0.0471 7.15 2 7.510.04. 7.510.04. 7. 510.04.−0..30.0410.04−. 0.67510.04 ecuación de aceleración para cualquier posición 5 280 1ℎ 0.675ℎ× 1 3600 10.040−. 5 280 1ℎ 0.675ℎ× 1 3600 1 275×10− 110.04. 0.21 I m
b) Sabemos que:
Donde v=7.5 (1-0.04x) 0.3 está en función del desplazamiento. Reemplazamos v=7.5 (1-0.04x) 0.3 en (2):
Resovemos:
Reemplazamos los datos de la tabla en la ecuación: Cuando t=0; x=0
c) De la ecuación (I):
Ing. Fernando Urrutia
Página 50
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion Despejo t:
110.0.2104. . 1 1 0. 0 4 0.21 ó ó Reemplazamos los datos de la tabla en la ecuación: Cuando x=6mi; t=?
. 1 1 0. 0 4 0.21 . 1 1 0. 0 46 0.21 110.0.2124. . 1 0 . 7 6 0.21 10.0.8225219 1 60 0.8322877ℎ 1ℎ 49.937268
11.28 Datos experimentales indican que en una región de la corriente de aire sale por una rejilla de ventilación, la velocidad del aire emitido está definido por v= 0.18v 0 /x , donde donde v y x se expresan en m/s y metros , respectivamente, y v o es la velocidad de descarga inicial del aire. Para v o= 36 m/s , determine a) la aceleración del aire cuando x=2 m , b) el tiempo requerido para que el aire fluya de x=1 a x=3 m . t(s) 0 ¿
r(m) 0 2 (1-3)m
v(m/s) 3.6
Ing. Fernando Urrutia
a(m/s2) ?
Página 51
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
a) Sabemos que:
1 0.18 0.1x8 0. 0 324 ecuación de la aceleración para cualquier posición 0. 0 324 0. 0 324 3 . 6 2 0.0525/ 2 0.18 Donde v= 0.18v 0 /x está en función de la posición; para v o= 36 m/s: Reemplazamos v= 0.18v 0 /x en (1):
Reemplazamos los datos de la tabla en la ecuación: Cuando x=2m; a=? y para v o= 36 m/s
b) Sabemos que:
Donde v= 0.18v 0 /x está en función de la posición; para v o= 3.6 m/s: Reemplazamos v= 0.18v 0 /x en (2):
Despejamos:
Ing. Fernando Urrutia
Página 52
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
0.18 0.18 Integramos:
Definimos la integral: De acuerdo a la tabla cuando x=1m; t=t1
0.18 12 31 0.18
y cuando x=3m; t=t3
Resolvemos la integral:
Evaluamos:
12 3 1 0.18 12 9 1 0.18 1 9 1 2 0.18 1 8 2 0.1483.6 0.648 6.172839
Reemplazamos para v o =3.6 m/s:
11.29 La aceleración debida a la gravedad a una altura y sobre la superficie de la Tierra puede expresarse como:
120.32.9×102
Ing. Fernando Urrutia
Página 53
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion Donde a y y se expresan en ft/s 2 y pies, respectivamente. Utilice esta expresión para calcular la altura que alcanza un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre si su velocidad inicial es a) 1800 ft/s, b) 3000 ft/s, c) 36700 ft/s.
t(s)
r(m) ? ? ? 0 Ymax
v(m/s) 1800 3000 36700 Vo 0
a(m/s2)
0
Sabemos que:
1 . +.× +.−.× 120.32.9×102 1 20.32.9×102 Donde
Reemplazamos
está en función de la posición.
en (1):
Despejamos:
Integramos:
Ing. Fernando Urrutia
Página 54
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
1 20.32.9×102 Definimos la integral:
0 32.2 1 20.9×10 32.2 20.20.9×10 9 ×10 32.2×4.3681 20.9×10 1.4065282×10 1 20.9×10 20. 9 ×10 20.9×10 1 1.4065282×10 1 2 0 1.4065282×10− 0 2 0 1.4065282×10 1 0 De acuerdo a la tabla cuando y=0; v=
y cuando y=
; v=
Resolvemos la integral:
Realizamos un cambio de variable a
Reemplazamos el cambio de variable en la integral:
Integramos:
Reemplazamos la variable z:
Ing. Fernando Urrutia
Página 55
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
2 0 1.4065282×10 20.9×101 0 12 0 1.4065282×10 20.9×101 20.9×101 0 12 1.4065282×10 20.9×101 20.91×10 2 20.1.4065282×10 1. 4 065282×10 9×10 20.9×10 1.20.4065282×10 1. 4 065282×10 9×10 20.9×10 2 1.20.49065282×10 ×10 2 672980000 1.4065282×10 2 67298000020.9×10 1.4672980000 065282×10 20.9×10 2 1.4672980000 065282×10 20.9×10 2 1. 4 065282×10 2 672980000 20.9×10 ecuación para ℎ erficie ter estre con cualquier velocidad inicial 1800 : 1. 4 065282×10 1800 20.9×10 2 672980000 Evaluamos:
a) para
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
1. 4 065282×10 671360000 20.9×10 50431.95901 3000 : 1. 4 065282×10 3000 20.9×10 2 672980000 1. 4 065282×10 668480000 20.9×10 140692.3169 36.700 : 1. 4 065282×10 36.700 20.9×10 2 672980000 1. 4 065282×10 672979326.6 20.9×10 20.9144619 b) para
c) para
11.30 La aceleración debida a la gravedad de una partícula que cae hacia la Tierra es a= gR2/r2, donde r es la distancia desde el centro de la tierra a la partícula, R es el radio terrestre y g es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra. Si R = 3960 mi, calcule la velocidad de escape, esto es, la velocidad mínima con la cual una partícula debe proyectarse hacia arriba desde la superficie terrestre para no regresar a la Tierra. (Sugerencia: v=0 para r= .)
∞
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
Sabemos que:
1 Donde
está en función de la posición.
Reemplazamos
en (1):
De acuerdo a la lectura del problema cuando r=R; v= r R
∞ V
y
∞ 0
cuando r= ; v=
0
Despejamos:
Integramos:
Definimos la integral:
De acuerdo a la tabla cuando r=R; v=
Ing. Fernando Urrutia
y
∞ 0
cuando r= ; v=
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
1 2 0 − ∞ 2 0 1 ∞ Integramos:
Evaluamos:
12 0 ∞1 1 12 0 1 12 1 2 2 2 ó 2×32.2 ×3960× 5280 1 1346526720 36695.05035 / Reemplazo los datos:
π
11.31 La velocidad de una partícula es v=vo[1-sen( t/T)]. Si se sabe que la partícula parte desde el origen con una velocidad inicial vo, determine a) su posición y su aceleración en t=3T, b) su velocidad promedio durante el intervalo de t=0 a t=T. t(s) 0
r(m) 0
3T
?
v(m/s) 0
a(m/s2)
4
?
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion 0-T
Vmedia=?
a) Sabemos que:
1 1 1 1 1 1 Donde
está en función del tiempo.
Reemplazamos
en (1):
Despejamos:
Integramos:
Definimos la integral:
Reemplazamos los datos de la tabla cuando t=0/s; x=0
1 1
Realizamos un cambio de variable a
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3
Reemplazamos el cambio de variable en la integral:
Resolvemos la integral:
Reemplazamos el cambio de variable:
Evaluamos:
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
3 ×3 3 3 3 1 3 3 2 30.636619 2.36 2 1 1 1} } 0 3 3
Trabajando con la calculadora en radianes:
Sabemos que:
Donde
Reemplazamos
está en función del tiempo. en (2):
Derivamos:
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
3 1 0 0 0 1 0 0 1 2 0.6366197724
Trabajando con la calculadora en radianes:
b) usando la ecuación (I) para t=0:
Usando la ecuación (I) para t=T:
Usando la calculadora en radianes:
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
0.36338 ∆ 0.3633800 0.363 Sabemos que:
11.32 La velocidad de una corredera se define mediante la relación v=v’ sen (w nt + . Si se denota la velocidad y la posición de la corredera en t=0 con v o y x o, respectivamente, y se sabe que el desplazamiento máximo de la corredera es 2x o, 2 2 demuestre que a) v’= ( v o2 + x o w n )/2 x o w n, b) el valor máximo de la velocidad 2 ocurre cuando x= x o[ 3-( v o / x o w n ) ]/2 . De acuerdo con la lectura del problema sabemos que: t 0
X
v
Donde:
=′sin∅ =′sin0∅
Reemplazando datos Para t=0; v= v o:
En el triángulo rectángulo sabemos que:
∅
Reemplazando las ecuaciones: Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
∅ 1 =′sin∅ ′sin∅ ′sin∅ ′sin∅ Sabemos que:
Donde
Reemplazamos v en la ecuación (1):
Despejando:
Integramos:
Definimos la integral:
Reemplazamos los datos de la tabla para los limites de la integral cuando t=0/s; x=
′ sin ∅ ′ si n ∅ ∅ ∅
Realizamos un cambio de variable a
Ing. Fernando Urrutia
∅
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
′ sin ′ si n ′ 0 ′ ∅ 0 ′ ∅0∅ ′ ∅cos ∅ ′ ∅cos ∅ ′ cos ∅∅ ∅1 2 ′ ∅1 − ∅ ′ 1 Reemplazamos el cambio de variable en la integral:
Resolvemos la integral:
Reemplazamos el cambio de variable:
Evaluamos:
Ahora observamos que
Sustituyendo el
Ing. Fernando Urrutia
ocurre cuando
. Entonces:
definido del triangulo rectángulo:
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion Despejando:
′ ′ 2 ′′ 2 2 2 2 ′ ∅∅ ′ ∅2 ∅2 ∅0 ∅ ∅ − Elevando al cuadrado ambos términos tenemos:
b) primero observamos que
ocurre cuando en la ecuación (I)
Reemplazamos en la ecuación (I):
∅
Utilizando la calculadora en radianes:
Sustituyendo el
Ing. Fernando Urrutia
definido del triangulo rectángulo:
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
+ 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 2 22 222 22 4 1 2 4 2 1 2 2 Reemplazando
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
11.33 Una automovilista entra a una carretera a 45 km/h y acelera uniformemente hasta 99 km/h. De acuerdo con el odómetro del automóvil, la conductora sabe que recorrió 0.2 km mientras aceleraba. Determine a) la aceleración del automóvil, b) el tiempo que se requiere para alcanzar 99 km/h.
El ejercicio es un M.R.U.V.
1 2 2
De acuerdo a la lectura del problema:
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
1ℎ 45 ℎ × 1000 × 12. 5 1 3600 1ℎ 99 ℎ × 1000 × 27. 5 1 3600 0 0.2200 2 2 2 2 7. 5 1 2. 5 22000 1.5 / 27.51.12.5 5 10 s a) En (III)
Despejamos:
Reemplazamos los datos en la ecuación (IV)
b) En (I):
Despejamos:
Reemplazamos los datos en la ecuación (V):
11.34 Un camión recorre 220 m en 10 s mientras se desacelera a una razón constante de 0.6 m/ . Determine a) su velocidad inicial, b) su velocidad final, c) la distancia recorrida durante los primeros 1.5s. Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
El ejercicio es un M.R.U.V.
1 2 2
De acuerdo a la lectura del problema: t(s)
r(m)
0
0
10
220
1.5
?
v(m/s) ?
?
a(m/ ) -0.6 -0.6
a) En (II):
12 1 2 1 2200 10 2 0.610 Despejo
:
Reemplazo los datos de la tabla:
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
25/ 25/ 250.610 19 / 12 25/ 0251.5 12 0.61.5 36.8 b) En (I):
Reemplazo los datos de la tabla y
:
c) En (II):
Reemplazo los datos de la tabla y
:
s
11.35 Si se supone una aceleración uniforme de 11 ft/ y se sabe que la rapidez de un automóvil cuando pasa por A es de 30 mi/h, determine a) el tiempo requerido para que el automóvil llegue a B, b) la rapidez del automóvil cuando pasa por B.
El ejercicio es un M.R.U.V.
1 2 2 =0 0
De acuerdo a la lectura del problema:
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
160 5280 1ℎ 30 ℎ × 1 × 3600 44 11 / 12 12 160044 12 11 5.5 441600 44± 4 4 25.455.5160 44±73.1186474125 4473.1186474125 4473.1186474125 2.714976 10.7149 2.714976 4411 2.7149761 3600 73.864736 × 5280 × 1ℎ 50.36232 /ℎ a) En (II):
Reemplazo los datos en la ecuación:
Escogemos el tiempo positivo porque no existe tiempo negativo
b) en (I):
Reemplazamos los datos y
Ing. Fernando Urrutia
=2.714976 s:
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion 11.36 Un grupo de estudiantes lanza un cohete q escala en dirección vertical. Con base en los datos registrados, determinan que la altitud del cohete fue de 89.6 ft en la parte final del vuelo en la que el cohete aún tenía impulso, y que el cohete aterriza 16 s después. Si se sabe que el paracaídas de descenso no pudo abrir y que el cohete descendió en caída libre hasta el suelo después de alcanzar la altura máxima, y suponiendo que a=32.2 ft/ , determine a) la rapidez del cohete al final del vuelo con impulso, b) la altura máxima alcanzada por el cohete.
s
El ejercicio es un M.R.U.V.
v
s
2 12 16 0 089.616 12 32.2/16 1 89. 6 32. 2 / 1 6 2 16 4032 16 252/ 32,2 ft/
es la gravedad expresada en
pies/segundo. En los cálculos se la ocupa negativa ya que la gravedad simpre se dirije hacia abajo, y en este caso el movimiento es hacia arriba
a) En (II):
Ing. Fernando Urrutia
Página 74
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion b) En (III):
2 0 0252/ 232.2/ 89.6 1076 Para
.
Reemplazamos los datos en la ecuación:
11.37 Un atleta en una carrera de 100 m acelera de manera uniforme durante los primeros 35 m y luego corre con una velocidad constante. Si el tiempo del atleta para los primeros 35 m es de 5.4 s, determine a) su aceleración, b) su velocidad final y c) el tiempo en que completa la carrera.
De 0 a 35m es M.R.U.V. Donde a=constante y t=5.4s
1 2 2
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion De 35m a 100m es M.R.U. Donde v=constante.
Para t=0; v=0 y cuando x=35m; t=5.4s Tenemos que encontrar: a) a b) v cuando x=100m c) t cuando x=100m a) En (II):
≤≤35 00 12 5.4 2.4005 / ≤≤100. s 2 0≤≤35 022.4005m/s 350 22.4005m/s 35 22.4005m/s35 12.9628/ ≤≤100 1003512. 9 628 5.4s 10035 12.9628 5.4 para 0
Reemplazamos los datos:
b) hay que notar que
para 35m
En (III):
a= 2.4005m/
se calcula a los 35m ya que a partir de ahí la velocidad
es constante hasta finalizar los 100m.
c) En (IV):
Para 35m
Reemplazamos datos:
Ing. Fernando Urrutia
Página 76
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
10.41 s
11.38 Un paquete pequeño se suelta desde el reposo en A y se mueve a lo largo del transportador ABCD formado por ruedas deslizantes. El paquete tiene una aceleración uniforme de 4.8 m/ mientras desciende sobre las secciones AB y CD, y su velocidad es constante entre B y C. Si la velocidad del paquete en D es de 7.2 m/s, determine a) la distancia d entre C y D, b) el tiempo requerido para que el paquete llegue a D.
Entre AB y CD tenemos un M.R.U.V. Y su a=constante=4.8 m/ :
1 2 2 2
Entre BC tenemos un M.R.U. Y su velocidad = constante:
a) En (III):
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion Primero calculamos la velocidad en el tramo BC para saber la velocidad inicial en el tramo CD:
024.83 / 2 2 7.2/ 5. 3666 24. 8/ 7.2/24.85./3666 2.40 =28.8
=5.3666m/s
Entonces la
es igual a la velocidad inicial en el tramo CD:
b) Tenemos q calcular los tiempos parciales de AB, BC y CD: Para el tiempo AB:
5.3666 04.8/ 1.11804 7.2 5.3666/4.8/ 0.38196 Para el tiempo CD:
Para el tiempo BC que es un M.R.U. utilizamos la ecuación (IV):
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
5.330 666/ 0.55901 5901 1.118040.559010.38196 2.06
Para encontrar en tiempo que se demora en llegar a D sumamos los tiempos parciales de los tramos AB, BC y CD:
11.39.
Un oficial de policía en una patrulla estacionada en una zona donde la rapidez es de 70 km/h observa el paso de un automóvil que marcha a una rapidez constante. Al oficial le parece que el conductor podría estar intoxicado y arranca la patrulla, acelera uniformemente hasta 90 km/h en 8 s y mantiene una velocidad constante de 90 km/h, alcanza al automovilista 42 s después. Si se sabe que transcurrieron 18 s antes de que el oficial empezara a perseguir al automovilista, determine a) la distancia que recorrió el oficial antes de alcanzar al automovilista, b) la rapidez del automovilista.
En un tiempo desde t=18s y t=26s tendremos MRUV
22
En un tiempo desde t=26s y t=42s tendremos MRU
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
1ℎ 90 ℎ × 1000 × 25 1 3600 a)
Con los datos del problema podemos utilizar la formula I y II. Cálculamos la posición tanto en MRUV y MRU de la patrulla (xp).
∗ 250 2618 1 12 00 3. 3 . 1 3 3 ∗2618 2 26100.16 ∗ 25∗ 25∗ 4226 4 226 400 ap = 3.13 m/
con la aceleración de la patrulla en el primer tramo calculamos la posición de la misma.
Posicion 1 de la patrulla cuando tiene MRUV
*Ahora calculamos la posición qu tendrá a los 42 tiempo en ql que tiene MRU.
Posición 2 de la patrulla cuando tiene MRU
Finalmente sumamos las dos posiciones y obtendremos la distancia total que recorrio la patrulla.
100.0.10 1 400400 500 > 0.5 ∗ 500 ∗ 4242 b)
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
50042 11.90 >42.9 ℎ
11.40. Cuando un corredor de relevos a ingresar a la zona de intercambio 20m de largo, con una rapidez de 12, 9 m/s empieza a desacelerar. Entrega la estrafeta al corredor B 1,82 s después y su compañero de la zona del intercambio intercambio con la misma velocidad. Determine: a) La aceleración uniforme de cada uno de los corredores. b) El momento en que el corredor B debe empezar a correr.
12,1,829 20 ?
Ing. Fernando Urrutia
1 ∆ 2∆ Página 81
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
12 ∆ ∆− ∆− 2012.1.8291.822 22012. 2,09 9,09 12, 9 20 20∆ ∆ 2, ,,06 9, 09 4, 2,046 4, 4 1, 8 2 .2.5
Utilizamos la ecuación 1 por estos son los datos que tenemos
v = 12,9-2,09(1,82)
B debe correr 2.5 s antes de que llegue A 11.41. Los automóviles A y B viajan en carriles adyacentes de una carretera y en t=0 tienen las posiciones y velocidades que se muestran. Si se sabe el automóvil A tiene Ing. Fernando Urrutia
Página 82
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion una aceleración de 1,8 ft/s2 ft/s2 y que B tiene una desaceleración de 1,2 pt/s2 determine: a) Cuando y donde A alcanzara a B b) La rapidez de cada automóvil en ese momento
Con respecto al auto A
? 0 24 ∗ 52801 ∗ 3600ℎ 352, 1,8/ 0 86 755280 1ℎ 52,8 ℎ ∗ 1 ∗ 3600 1,1,2 / 112 35,2 2 1,1,8 1 Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
∆ 12 7552,8 1,2 52,8 1,2 75 2 35,20.9 52,80,6 75 1,5 17,6750 ± √24 17.6± 17,6241,51,575 1 17,6±27,3 56 115,05 23,32 ∆35,215,05 12 1,815,05 ∆733,6 ∆733,6 115,05 35, 2 13600 ,815,051 62,3 ∗ 1ℎ ∗ 5280 42,4 /ℎ 52,81,2 15,05 1 23,7 ℎ 34,74 ∗ 36001ℎ ∗ 5280 (Términos semejantes)
Ing. Fernando Urrutia
Página 84
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion 11.42. En una carrera de lanchas, la lancha A se adelanta a la lancha B por 120ft y ambos botes bajan a una rapidez de 105 min/h. en t=0 las lanchas se aceleran en tasas. Si se sabe que cuando B rebasa a A t=8s y Va=135 mi/h. determinar: a) La aceleración A b) La aceleración B
105 ℎ ∗ 36001ℎ ∗ 5280 1 135 ℎ ∗ 36001ℎ ∗ 5280 1 12 154 8 8 123232 1 12 1 120154 8 8 2 120123232 123232aA120 2 123232 120123232 12032 325,5176120 32 0
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
9,25 / − 5,5
11.43. En una rampa se colocan cajas a intervalos uniformes de tiempo t y se deslizan hacia abajo de la rampa con aceleración uniforme. Si se sabe que cuando se suelta la caja B la caja A se ha deslizado 6m y que 1s después están separados una distancia de 10m. Determine: a) El valor de t b) La aceleración de las cajas
?0 ?0 60 0 2 Sabemos y son 0 por lo q ambos tienen las mismas condiciones iniciales y por ende
Ing. Fernando Urrutia
=0
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
2 1
1 ? ? 10 10 3
1 1 10 21110 220 4 t = tr+1
12 220
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
122420 8 240 8 30 3 12 129 1,33 /
11.44. Dos automóviles A y B se aproximan uno al otro en 2 carriles adyacentes de una autopista en t=0, A y B están a 1 km de distancia sus velocidades son VA=108km/h y VB=63km/h, y se encuentran en los puntos P y Q respectivamente, si se sabe que A pasa por el punto Q 40 s después de que B estuvo ahí, y que B pasa por el punto P 42 s después de que A estuvo ahí, determine: a) Las aceleraciones uniformes de A y B b) Cuando los vehículos pasan uno al lado del otro c) La rapidez de B en ese momento.
1ℎ 108 ℎ ∗ 100 ∗ 30 1 3600 ∆1000 ? 40 ∆ 12 1 10003040 210 1 0001200 40 Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
0.25 / 1ℎ 63 ℎ ∗ 1000 ∗ 17, 5 1 3600 ∆1000 ? ∆ 42 1 2 12 42 100017, 5 4 2 1000732 42 0,3 / aceleracion de A
aceleración de B.
0 1000 1000 ∆ 1000 ∆ ∆ 30 0,25 1 ∆ 17,5 , ∆ ∆ 1000 30 12 0,25 17,5 12 0,3 1000 0,025 3010000 Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
± √2− 47,5± 47,5 420,00,250251000 20,8 1920,8 ? 20,8 1 17,50, 33600 23,74 ∗ 1ℎ ∗ 1000 85,46 c)
rapidez de B AL MOMENTO DE CRUZARSE.
11.45. El automóvil A esta estacionado en el carril con dirección a norte de una autopista y el automóvil B viaja en el carril con dirección al sur a una rapidez de 6 0 min/h. en t=0, A empieza a acelerar a una razón aA mientras que en t=5s, B empieza a frenar con una desaceleración de magnitud aA. si se sabe que cuando los automóviles pasan uno al lado del otro, X=294ft y vA=vB. Determine: a) La aceleración aA b) El momento en que los automóviles pasan uno al lado del otro. c) Distancia entre los automóviles en t=0.
_ 0 ∆ 2∆ 294 2∗294
Ing. Fernando Urrutia
MRUV (
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
2∗294∗ / 88 6 5 1 294 12 2 8876 /56 1 29412 2 88 76 56 29412 44 3432450 0.75 7 294 12 7 12/ b)
t= 7s calculado para obtener la aceleración de a. c)
y encontrar el valor de “d”.
determinamos el desplazmaiento total de B, para sumarlo a los 294ft que tenemos de dato
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
16 ∗12 2/ "2 1 88 2 88 1 ∗5 ∗2 2 ∗2∗ 612 Sumanos los 612 ft a los 294 ft de dato y obtenemos el valor de “d” d= 612ft + 294 ft
d=906 ft
11.46. Dos bloques A y B se colocan sobre un plano inclinado, como se muestra en la figura en t=0, A se proyecta hacia arriba sobre el plano con una velocidad inicial de 27 ft/s y B se suelta desde el reposo. Los bloques pasan uno junto al otro 1 segundo después y B llega a la parte baja del plano inclinado cuando t= 4.3 segundos. Si se sabe que la máxima distancia que alcanza el bloque A desde la base del plano es de 21 ft y que las aceleraciones de A y B debidas a la gravedad y la fricción son constantes y están dirigidas hacia abajo s obre el plano inclinado, determine: a) Las aceleraciones de a y B b) La distancia d c) La rapidez de A cuando los bloques pasan uno junto al otro.
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a = conste; v=varia aplicamos MRUV
2 2 27 2 ∗21 − 17.357 12 (1)
(2)
(3)
a) Para encontrar aA se utiliza la ecuación ( 3)
=
= =
// aceleración de A
Para encontrar aB usamos la ecuación ( 2)
Ing. Fernando Urrutia
(4)
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1 ; 3.4 ; 1 1 1 2 2 2 217 12 17.357 ∗1 12 1 12 ∗3.4 2 8.68 12 12 ∗3.4 1832 12 11.256 34.64 2 11.526 34.64 11.56 34.6434.11. 5 6 10.6546 3.47 12 12 ∗3.47 ∗3.4 20.06 distancia “d” 17.357 27 ∗1 (5)
+
=
aceleración de B
b) Remplazo aB en la ecuación (5) para obtener d; xB= d
//
C) Para vA uso la Ecuación (1), con t=1s =
+
Ing. Fernando Urrutia
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27 17.357/ 9.643
rapidez de A, al momento de cruzarse.
11.47. El bloque deslizante A se mueve hacia la izquierda con una velocidad constante de 6m/s. Determine: a) La velocidad del bloque B b) La velocidad de la parte D del cable c) La velocidad relativa de la porción C del cable con respecto a la porción D.
a=0; v= constante por lo tanto aplicamos MRU
3 2 3 0 3 3 0 3 Analizando los 2 casos anteriores, tenemos:
a) Para obtener la vB remplazo vA en la ecuación (2)
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6 3 // 0 2/ 0 6/ 6 2 8/
velocidad de B
b) Para vD establezco la relación
velocidad de D
c) Para vC/D establezco la relación
velocidad relativa
11.48. El bloque B inicia su movimiento desde el reposo y desciende con una aceleración constante. Si se sabe que después de que el bloque A se ha movido 40 mm, su velocidad es de 4 m/s determine: a) Las aceleraciones de A y B b) La velocidad y el cambio en la posición del bloque B después de 2 segundos.
Ing. Fernando Urrutia
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El bloque B tiene MRUV; por lo tanto el bloque A también lo tendrá, debido a que los dos están sujetos
X=400 mm V=4 m/s
2 =0
Ecuaciones para A y B: (1)
(2)
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(3)
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− 2/ ∗− ∗. 20 / a)
Longitud de la cuerda inextensible Geométricamente 12 + 23 + 34 + 45 + 56 + 67 + 78 + 89 + 910 + 1011 = constante
6.67 / . ∗2 13. 3 34 / 2 + 1 3. 3 4 2∗6.60 13.334
+ + + = constante
Ahora derivamos para obtener la velocidad y aceleración
b)
x+3
y=0
x+3
y=0
//
//
11.49. El elevador mostrado en la figura se mueve hacia abajo con una velocidad constante de 15 ft/s. Determinar: a) La velocidad del cable C b) La velocidad del contrapeso W c) La velocidad relativa del cable C con respecto al elevador
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion d) La velocidad relativa del contrapeso W con respecto al elevador.
=15 ft/s
Longitud de la cuerda inextensible Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion Longitud=constante 65 + 54 + 43 + 32 + 21 + 1c = constante
-constante +
- constante +
- constante = constante
Derivamos (2yE+yC= constante) 2
+
= 0
=-2vE
=-2*(-15 ft/s) = 30 ft/s //
CONTRAPESO (longitud inextensible)
a+bc+cd=constante Derivamos (yW+yE = constante)
/ /E +
=0
=-(-15 ft/s)
=15 ft7s //
c)
d)
=
=
-
= 30-(-15) = 45ft/s
=
-
= 15-(-15) = 30 ft/s
11.50. El elevador mostrado en la figura inicia su movimiento desde el reposo y se mueve hacia arriba con una aceleración constante. Si el contrapeso W recorre 30 ft en 5 segundos, determine: a) La aceleración del elevador y el cable C b) La velocidad del elevador después de 5 segundos
Ing. Fernando Urrutia
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Bloque E
a= ?
=0
=0
Contrapeso
2 (x-
)= 30 ft
t=5 segundos
(1)
(2) (3)
:
Longitud=constante Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion 65 + 54 + 43 + 32 + 21 + 1c = constante
E E C E C ̅̅ ̅ W E 2∗ 2∗230 2.40 / 2.40 ∗5 12 -constante +
Derivamos (2 2
+
- constante +
+
- constante = constante
= constante)
= 0
=-2vE
= 0 ft/s //
CONTRAPESO (longitud inextensible)
Derivamos ( +
a)
+
= constante)
=0
Relacionamos las respuestas obtenidas anteriormente +
2
=0
=-
=-2
=-2*(-2.40 ft/s) =4.80 ft/s //
b)
11.51. El collarín A empieza a moverse desde el reposo y se desplaza hacia arriba con una aceleración constante. Si se sabe que después de 8 segundos la velocidad relativa del collarín B con respecto al collarín A es de 2 4 in/s, determine: Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion a) Las aceleraciones de A y B b) La velocidad y el cambio en la posición de B después de 6 segundos.
a= constante; v=varía aplico MRUV:
2 (1)
(2) (3)
De los casos (1) y (2) se obtiene a) Para obtener aA y aB utiliza la ecuación (1); en t= 8 segundos.
2 2 0 4 20 5
Ing. Fernando Urrutia
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6 / 24 / // 7 24 ∗ 24 8∗2 3 3 1/ ℎ ó, 2 1 2∗ 2/ //
b) Para encontrar vB remplazo aB en la ecuación 7; en t= 6 segundos.
1 ∗6 6 ∗1 ∗36 18
Para encontrar yB, la función de y; en t= 6 segundos
//
Ing. Fernando Urrutia
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12 ins
11.52. En la posision mostrada en el collarin B se mueve hacia abajo con una velocidad constante de . Determine a) la velocidad del colarin A, b)la velocidad de la posición C del cable, c) la velocidad de la porción C del cable con respecto al collarin B.
12 . a). Se observa en el grafico los siguientes puntos
̅12 23̌ 34̅ 45̂ 56̅ 67̌ 78̅ ̌ 4̂5 67̌, 23 ̅12 34̅ 56̅ 78̅ 2 1
= conste
Los términos
,
,
como son constantes pasan al otro lado d el igualdad
Cambiamos los puntos por posiciones con respecto al eje tomado
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion Para sacar la velocidad con respecto a la posición tenemos q derivar la ecuación 1
2 2 0 2 2 2 0 3 2 0 2 212 24 ̅12 23̌ 34̅ 45̂ 56̅ 67̌ 78̅ ̌ 4̂5 67̌, 23 ̅12 34̅ 6̅ 2 1 2 2 0 2 2 2 0 3
Para sacar la aceleración con respecto a la velocidad tenemos q derivar la ecuación 2
Para encontrar
se utiliza la ecuación 2
b)Se observa en el gráfico los siguientes puntos = conste
Los términos
,
,
como son constantes pasan al otro lado d el igualdad
Se cambia los puntos por posiciones con respecto al eje tomado
Para sacar la velocidad con respecto a la posición tenemos q derivar la ecuación 1
Para sacar la aceleración con respecto a la velocidad tenemos q derivar la ecuación 2
Ing. Fernando Urrutia
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2 0 2 224 48 48 12 36 300 Para sacar
se utiliza la ecuación 2
c)
11.53. El bloque deslizante B se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de . Determine:
a. b. c. d.
La velocidad del bloque deslizante A La velocidad de la porción C del cable La velocidad de la porción D del cable La velocidad relativa de la posición C del cable con respecto al bloque deslizante A
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300⁄ ⁄ . 0 = 0.3
a).
̅12 23̌ 35̅ 56̌ 68̅ 89̌ 910̅ ̅12 ̅35 ̅68 ̅9 10 2 3 2 3 2 2 0 3 20.33⁄ 0.2 ⁄ ̅12 23̌ 34̅ 2 2 0 = conste
+
+
+
=
Mediante la derivada de la posición obtenemos la velocidad
b). Long C = constante
Al derivar la posición se obtiene como resultado la velocidad
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2 20.3 ⁄ ⁄ 2 2 0 ⁄ – 0.2 ⁄ =−.⁄ / 0.6 ⁄ 0.2 ⁄ / 0.4 ⁄ mm⁄s Reemplazo
0.6
c).
Al realizar la derivada se obtien la velocida
Reemplazo 0.6
d).
2(
y
)=
=
mm ⁄ 150 0mm s
11.54. En el instante mostrado, el bloque deslizante B se esta moviendo con una aceleración constante y su rapidez es de . Si se sabe que después de que el bloque deslizante A se a movido 24 hacia la derecha su velocidad es 60 , determine: a) Las aceleraciones de A y B b) La aceleracio de la porción D del cable vc) La velocidad y el cambio en la posición del bloque deslizante B luego d 4s
Ing. Fernando Urrutia
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0,15 ⁄ 0.24 0,06 ⁄ Como el bloque A es dependiente del bloque B los dos se mueven con aceleración constante y tiene
1 2 2
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion Se aplica la relación de la cuerda inextensible
̅12 23̌ 35̅ 56̌ 68̅ 89̌ 910̅ ̅12 3̅5 ̅68 ̅9 10 2 3 2 3 0 2 3 2 0 , 1 5 3 ⁄ 0,1 ⁄ 2 0,06 ⁄ 0, 1 ⁄ 20. 24 0,06 ⁄20.20,41 ⁄ 0,013 2 33 0 2 3 0, 0 13 2 0,02 = conste
+
+
+
=
Mediante la derivada de la posición obtenemos la velocidad
Despejo
y reeplazo
Para calcular la aceleración de A aplico :
Reemplazo
e la ecuación y despejo
:
se crealliza la relación de la cuerda inextensible:
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
910̅̅ 89̅̂ 8̅ 910 8 0 0 0 0,013 0,15 ⁄ 0,02 4 0,07 ⁄ 12 0,15 ⁄ 4 12 0,02 4 0,44 0 30 mm⁄s t3 0
Al integarar dos veces la ecuación de la posición obtenemos la ecuación de la aceleracion
c) Para t= 4s
Para calcular la variación de posiscion se aplica la ecuación del MRUV
20 mm⁄s t 57mm
11.55. El bloque B se mueve hacia abajo con una velocidad constante de . En , el bloque A se mueve hacia arriba con una aceleración constante y su velocidad es . Si se sab que en el bloque deslizante Cse ha movido a la derecha, determine: a) La velocidad del bloque deslizante C en b) Las aceleraciones de A y C Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion c) El cambio en la posición del bloque A después de 5 s
30 ⁄ 0,03 ⁄ 1 2 2
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
20 ⁄ 0,02 ⁄ 3 57 ? 0 ̅̅ 67̌ ̅12 23̌ 34̅1415 ̅ 1213 1314 ̅ 45̌ 561516 78̅ 89̌910̅ 1011 1112 3 4 3 4 3 4 0 3 4 0 3 4 30,03 0,02 ⁄ 0,01 ⁄
(esta velocidad ds constante por tanto se puede aplicar para
cualquier tiempo)
Si:
0,057
m
Cuando
Para calcular la
realizamos la relación con la cuerda inextensible
a) Long. Cuerd= constante
Para obtener la ecuación de la aceleración realizamos las derivada de la ecuacion de la posición
De acuerdo al sistema referencial tomamaos en cuanta los signos
y despejo
0
b) Para calcular
Ing. Fernando Urrutia
despejamos de:
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2 20,057 m0,901 ⁄ 3 , ⁄ 0 3 4 3 3 0. 0 06 3 0.002 0,03 ⁄ 5 12 0.002 5 0,175 =
0.006
Como el bloque B tiene MRU
y reemplazo en :
0
0
c)
11.56. El bloque B empieza a moverse desde el reposo, el bloque A se mueve con una aceleración constante y el bloque deslizante C se desplaza hacia la derecha con una aceleración constante de . Si se sab q en las velocidades de B y C
480 mm⁄s
son determine
75280mmmms ⁄s
hacia abajo y
t2s
hacia la derecha, respectivamente ,
a) Las aceleraciones de A y B b) Las velocidades iniciales de A y C c) El cambio en la posición del bloque deslizante C después de 3s
Ing. Fernando Urrutia
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Datos
0 75 2 480 ⁄ 280 ⁄ Para el bloque A
Para el blouqe B
MRUV
2∆
a) Se utiliza la ecuación del MRUV y la
Ing. Fernando Urrutia
MRUV
0
2∆ Página 116
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
480 2 ⁄ 240 ̅̅ 67̌ ̅ 1213 1314 ̅ 12̅ 23̌ 34̅1415 45̌ 561516 78̅ 89̌910̅ 1011 1112 3 4 3 4 3 4 0 3 4 3 4 0 1 3 4240 75 0 1035 3 345 3 Long. Cuerd= constante
Para obtener la ecuación de la aceleración realizamos las derivada de la ecuacion de la posición
Para sacar la aceleración con respecto a la velocidad tenemos que derivar la ecuación 2
Para sacar
se utiliza la ecuación 1 y se reemplaza los valores que ya se tiene
b) Se utiliza la ecuación de MRUV para encontrar
Ing. Fernando Urrutia
en un
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
3 280 ⁄75 130 ⁄ 3 4 0 3 40130 ⁄0 1303 ⁄ 43.3 ⁄ ∆ 12 ∆ 12 ∆130 ⁄ 3 12 75 3 ∆728 0 7/ 8/ 20 0 2 Se utiliza la ecuación de la velocidad para encontrar
c) Se utiliza la ecuación de MRUV para calcular
11.57. El collarín A inicia su movimiento desde el reposo en y se mueve hacia abajo con una aceleración constante de . El collarín B se desplaza hacia arriba con una aceleración constante y su velocidad inicial es de . Si se sabe que el collarín B se mueve entre y , determine a) las aceleraciones del collarín B y el bloque C b) el tiempo en el cual la velocidad del bloque C es cero, c) la distancia que habrá recorrido el bloque C en ese tiempo
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
Para el collarín A
Para el collarín B
MRUV
MRUV
0 0 0 7⁄ 2∆ Ing. Fernando Urrutia
8⁄ ∆20 ∆2 2∆ Página 119
SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
1 ∆∆ 2 2 2 08 ⁄ 2 2 20 162 2 4 4 224⁄ 01̅ 12̂ 23̅ ̂34̆̆45̂̅ 56̆̂ 67̅ 78̆ 89̅ 12 3 4 56 , 7 8 01̅ 23̅ 45̅ 67̅ 89̅ 2 4 1 2 4 2 4 0 2 a)
Como en el grafico nos indica que es una sola cuerda y esta es inextensible
Se observa en el grafico los siguientes puntos
Los términos
,
,
como son constantes pasan al otro lado d el igual
Cambiamos los puntos por posiciones con respecto al eje tomado
Para sacar la velocidad con respecto a la posición tenemos q derivar la ecuación 1
Para sacar la aceleración con respecto a la velocidad tenemos q derivar la ecuación 2
2 4 2 4 0 3
Como los tres bloques tienen un mismo MRUV utilizamos la ecuación 3 para encontrar la aceleración de C y los signos dependerán del movimiento que realice
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion cada bloque será negativo cuadno el bloque sube y será positivo cuando el bloque baje
2 4 0 27 ⁄ 2 ⁄ 4 4 14⁄ 2⁄ 124 ⁄ 3⁄ 2∆ 0 7 2 14 8 2 2 12 2 4 0 22 4 4
b) Como el bloque A tiene un MRUV y el bloque B tiene un MRUV entonces el bloque C también tiene un MRUV
Calculando la velocidad en A cuando la
Calculando la velocidad en A
Para encontrar la velocidad final del bloque C utilizamos la ecuación 2
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
21 4⁄412⁄ 4 2 4 0 4 4 84⁄ 2⁄ 23 ⁄
Para encontrar la velocidad inicial del bloque C utilizamos la ecuación 2 d onde la velocidad inicial de A es cero
Para calcular el tiempo en el bloque C donde la velocidad final es cero
c)
0
0.60
con el tiempo calculado y conociendo Voc = 2in/s, t=0.60s, ac=-3in/s cálculamos la distancia que habrá recorrido el bloque C.
12 2/∗0.60 12 ∗ 3/¨2∗0.66¨2 0.66 3/
11.58. Los collarines A y B inician su movimiento desde el reposo, el collarín A se mueve hacia arriba con una aceleración de . Si se sabe que el collarín B se mueve Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
32
8 /
hacia abajo con una aceleración constante y que su velocidad es de , después de desplazarse , determine a) la aceleración del bloque C, b) la distancia que se abra movido el bloque C después de .
3
Para el collarín A
0 3 ⁄
Para el collarín B
MRUV
MRUV
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0 ∆32 8⁄
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
2∆ 2∆ 0 2∆ 2∆8 ⁄ 64232⁄ 164⁄ ̅01 12̂ 23̅ 34̆ 45̅ 56̂ 67̅ 78̆ 89̅ ̂ 3̆4 56̂, 7̆8 12 ̅01 23̅ 45̅ 67̅ 89̅ 2 4 1 2 4 2 4 0 2 2 4 2 4 0 3 a)
Como en el grafico nos indica que es una sola cuerda y esta es inextensible
Se observa en el grafico los siguientes puntos
Los términos
,
,
como son constantes pasan al otro lado d e la igualdad
Cambiamos los puntos por posiciones con respecto al eje tomado
Como en vista que d es una constante pasara al otro lado de la ig ualdad
Para sacar la velocidad con respecto a la posición tenemos que derivar la ecuación 1
Para sacar la aceleración con respecto a la velocidad tenemos que derivar la ecuación 2
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion Como los tres bloques tienen un mismo MRUV utilizamos la ecuación 3 para encontrar la aceleración de C y los signos dependerán del movimiento que realice cada bloque
2 42 0 4 2 3 41 14 6 1 2∆ 0 0 2 4 0 0 1 6 1 4 1 6 4 3 14 2 4
b) Como el bloque A tiene un MRUV y el bloque B tiene un MRUV entonces el bloque C también tiene un MRUV
Para encontrar la velocidad inicial del bloque C utilizamos la ecuación 2 d onde me dice que la , ,
Para sacar la posición del bloque C se integrar la velocidad
Ing. Fernando Urrutia
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
1 2 4 1 2 4 4 2 1 4 2 2 ∆ 8 8 5 ∆ 8 8 3 3 ∆ 8 8 ∆ 818 98 ∆ 728 ∆ 91 1 ∆ 32 9 32 ∆ 9.06
Para calcular la distancia del bloque C se remplaza el valor de 5
3
en la ecuación
11.59. el sistema mostrado inicia su movimiento desde el reposo y cada componente se mueve con una aceleración constante. Si la aceleración relativa del bloque C con respecto al collarín B es de hacia arriba y la aceleración relativa del bloque D con respecto del bloque A es de hacia abajo, determine a) la velocidad del bloque C después de , b) el cambio en la posición del bloque D luego de .
5
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60/ 110/ 3
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
Bloque A
2∆ 60 MRUV
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Bloque B
2∆
MRUV
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
60 110 110
El signo negativo (-) de la relación se da porque va para arriba
El signo positivo (+) de la relación se da porque va para abajo Como en el grafico nos indica que hay dos cuerdas y esta es inextensible Análisis de la primera cuerda
̅01 12̆ 23̅ 34̂ 45̅ 56̆ 67̅ 78́ 89̅ 910̀ 1011 ̅ 12̆ 3̂4 56̆ 78́ 910̀ ̅01 23̅ 45̅ 67̅ 1011 ̅ 2 2 1 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 3 Se observa en el grafico los siguientes puntos
Los términos igualdad
,
,
,
,
, como son constantes pasan al otro lado de la
Cambiamos los puntos por posiciones con respecto al eje tomado
Para sacar la velocidad con respecto a la posición tenemos que derivar la ecuación 1
Para sacar la aceleración con respecto a la velocidad tenemos que derivar la ecuación 2
Análisis de la segunda cuerda
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion Se observa en el grafico los siguientes puntos
̅ ̅1213 1314 1415 1314 ̅ ̅1213 1415 2 4 2 2 0 5 2 2 0 6 60 60 60 7 2 2 0 2 2 60 0 3 602 6023 8 Los términos
como es constantes pasan al otro lado d e la igualdad
Cambiamos los puntos por posiciones con respecto al eje tomado
Para sacar la velocidad con respecto a la posición tenemos que derivar la ecuación 4
Para sacar la aceleración con respecto a la velocidad tenemos que derivar la ecuación 5
a)
En la ecuación 3 remplazo la ecuación 7
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
110 110 110 9 2 0 2 110 0 2 220 0 220 10 602 220 3 602 3 660 606603 2 6005 120 220 120 220 100 60 100 60
En la ecuación 6 remplazo la ecuación 9
Igualamos la ecuación 8 y 10
El signo (-) indica que el bloque A se va para arriba
Reemplazamos el valor de
en la ecuación 10
Reemplazamos el valor de
en la ecuación 7
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion
40 110 120 110 10 40 3 120 ⁄ ∆ 5 ∆ 12 ∆ 12 10 5 ∆5 25 ∆ 125 Reemplazamos el valor de
en la ecuación 9
El signo (-) indica que el bloque D se va para arriba
Reemplazamos en la ecuación del MRUV el valor de donde la velocidad inicial es cero
b) Para obtener el valor de
40 3 y en un
reemplazamos en la ecuación del MRUV en un
donde la velocidad inicial es cero
11.60. El sistema mostrado inicia su movimiento desde el reposo y la longitud del cordón superior se ajusta de manera que A, B y C se encuentre inicialmente al mismo nivel. Cada componente se mueve con una aceleración constante y después de el cambio relativo en la posición del bloque C con respecto al bloque A es de hacia arriba. Si se sabe que cuando la velocidad relativa del collarín B con respecto al bloque A es de hacia abajo, los desplazamientos de A y B son respectivamente, de y de hacia abajo, determine a) las aceleraciones de A y B si , b) el cambio de la posición del bloque D cuando la velocidad del bloque C es de hacia arriba.
80/ 160 >10/ 320 600/
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DATOS
80⁄ 320 160 2∆ MRUV
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SOLUCIONARIO DE DINAMICA DE BEER AND JONHSTON 9na Edicion Análisis de la primera cuerda
̅01 12̆ 23̅ 34̂ 45̅ 56̆ 67̅ 78́ 89̅ 910̀ 1011 ̅ 12̆ 3̂4 56̆ 78́ 910̀ ̅01 23̅ 45̅ 67̅ 1011 ̅ 2 2 1 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 3 0 0 0 0 2∆ 2 Se observa en el grafico los siguientes puntos
Los términos igualdad
,
,
,
,
, como son constantes pasan al otro lado de la
Cambiamos los puntos por posiciones con respecto al eje tomado
Para sacar la velocidad con respecto a la posición tenemos que derivar la ecuación 1
Para sacar la aceleración con respecto a la velocidad tenemos que derivar la ecuación 2
Reemplazamos en la ecuación del MRUV
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2 80 ⁄ 2320160 6400 2160 6400 320 20 20 0 12 12 2 2320160 20 20320 16 16 4 12 12
Reemplazamos en la ecuación del MRUV donde la y
Reemplazamos en la ecuación del MRUV donde la
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320 160
y
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2∆ 2320160 4 320 16 20 20 20 40 2 2 0 2 2 240 220 120 0600120⁄ 51 2 12 20 40 12 60 30 Para tener el valor de la aceleracion de
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se remplaza en la ecuación 3
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∆ ∆ 12 30 5
0 ∆375 ⁄
NOTA: En los ejercicios del 47 al 60 los signos de la velocidad, aceleración y desplazamiento pueden variar; esto depende del eje referencial que establezcamos para resolver el problema.
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