1
Capítulo 1: Probabilidades
Capítulo I : Probabilidades 1.1.-
Introducción Debido a la incertidumbre que existe muchas veces al tomar decisiones, resulta importante que los riesgos implícitos se evalúen de manera científica. En este capítulo estudiaremos varias reglas de probabilidad que sirven para evaluar la posible ocurrencia de diferentes fenómenos, y ayudará a analiar los riesgos riesgos y minimiar minimiar el aar inherente inherente tales como
al lanar un nuevo producto al mercado o aceptar un embarque reci!n llegado que contenga partes defectuosas etc. En la mayoría de problemas hay que tomar decisiones con base a experimentos, es necesario tener como pre"requisitos la teoría básica de con#untos y el análisis combinatorio.
1.2.-
Experimento
Es la observación de alguna actividad o la acción de efectuar una medición. $os experimentos u opera operaci cione oness real reales es o hipo hipot! t!titico coss pued pueden en divi dividi dirs rse e en dos dos clas clases es%% dete determi rminí níst stic icos os y no determinísticos.
1.2.1. 1.2 .1.-- Experi Experimen mentos tos Determ Determiní inístic sticos os &n experimento es determinístico si los resultados del experimento están comp comple leta tame ment nte e dete determ rmin inad ados os y pued puede e desc descri ribi birs rse e por por una una fórm fórmul ula a matemática llamado tambi!n modelo determinísticos. E#emplos% a'
()oltar un ob#eto pesado y ver si cae o no*
b'
($anar un una pe pelota de de go goma en en el el ag agua y ve ver si si flflota o se sumerge*
)on experimentos determinísticos, pues en el primer caso es evidente que el ob#eto caerá, aún más su movimiento movimiento se describe describe por las ecuaciones ecuaciones de caída libre, en el segundo caso la pelota flotará indudablemente.
1.2.2.-- Experimen 1.2.2. Experimentos tos No Determinísti Determinísticos cos o Ale Aleatori atorios os )i los resultados del experimento no pueden predecirse con exactitud antes de realiar el experimento. E#emplo%
2
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo E+ % $anar una moneda y observar la cara superior. E % $anar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. $as características más comunes en estos experimentos son% a' -ada -ada expe experi rime mento nto pued puede e repe repetitirs rse e inde indefifini nida dame mente nte sin sin cambi cambiar ar esenc esencia ialm lment ente e las las condiciones. b' En cada experiment experimento o no se sabe exactamente exactamente cuál cuál va a ser el resultado. resultado. c' -ada experimento experimento tiene tiene varios resultados resultados posibles posibles que pueden describirse describirse de antemano con precisión, por e#emplo en E+ tal con#unto es cara, sello/ y en E es +, , 0, 1, 2, 3/
4ambi!n 4ambi!n se consideran experimentos aleatorios los siguientes e#emplos% E 3: Extraer un artículo de un lote que contiene artículos defectuosos (D* y no defectuosos (5*. E 4: Designar un delegado de aula de un grupo de 26 alumnos. E 5 5% -ontar el número de automóviles que cruan la intersección de avenidas hasta que ocurra
un accidente* 7abricar ar artícu artículos los,, hasta hasta produci producirr 2 defectu defectuoso ososs y contar contar el número número total total de artícu artículos los E 6 6: 7abric fabricados. E 7 7% 8bservar el tiempo de vida de un televisor.
1.3.-
Espacio Muestral
$lamaremos espacio muestral asociado a un experimento aleatorio E , al con#unto de todos los resultados posibles de dicho experimento aleatorio y lo denotaremos por
Ω.
Es lo equivalente equivalente al
teoría de con#un con#untos tos.. 9or e#emplo e#emplo los espacios espacios muestral muestrales es de los conjunto universal en la teoría experimentos aleatorios anteriores son%
Experimento Conjunto de resultados posiles ! Espacio Muestral E 1 donde - : cara ) : sello Ω+ : - , )/, E 2 2
Ω :
+, , 0, 1, 2, 3 /
E 3
Ω0 :
D, 5/
Ω1 :
;+, ; , ;0, ....., ;26 /
Ω2 :
6, +, , 0, 1, 2,....../
Ω3 :
2, 3, <, =, >, ......../
Ω< :
t ∈ ? @ t ≥ 6 /
E 4 E 5 5 E 6 6 E 7 7
Ejemplo 1$os artículos provenientes de una línea de producción se clasifican en defectuosos (D* y no defectuosos (5*, se observan los artículos y se anota
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Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo E+ % $anar una moneda y observar la cara superior. E % $anar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. $as características más comunes en estos experimentos son% a' -ada -ada expe experi rime mento nto pued puede e repe repetitirs rse e inde indefifini nida dame mente nte sin sin cambi cambiar ar esenc esencia ialm lment ente e las las condiciones. b' En cada experiment experimento o no se sabe exactamente exactamente cuál cuál va a ser el resultado. resultado. c' -ada experimento experimento tiene tiene varios resultados resultados posibles posibles que pueden describirse describirse de antemano con precisión, por e#emplo en E+ tal con#unto es cara, sello/ y en E es +, , 0, 1, 2, 3/
4ambi!n 4ambi!n se consideran experimentos aleatorios los siguientes e#emplos% E 3: Extraer un artículo de un lote que contiene artículos defectuosos (D* y no defectuosos (5*. E 4: Designar un delegado de aula de un grupo de 26 alumnos. E 5 5% -ontar el número de automóviles que cruan la intersección de avenidas hasta que ocurra
un accidente* 7abricar ar artícu artículos los,, hasta hasta produci producirr 2 defectu defectuoso ososs y contar contar el número número total total de artícu artículos los E 6 6: 7abric fabricados. E 7 7% 8bservar el tiempo de vida de un televisor.
1.3.-
Espacio Muestral
$lamaremos espacio muestral asociado a un experimento aleatorio E , al con#unto de todos los resultados posibles de dicho experimento aleatorio y lo denotaremos por
Ω.
Es lo equivalente equivalente al
teoría de con#un con#untos tos.. 9or e#emplo e#emplo los espacios espacios muestral muestrales es de los conjunto universal en la teoría experimentos aleatorios anteriores son%
Experimento Conjunto de resultados posiles ! Espacio Muestral E 1 donde - : cara ) : sello Ω+ : - , )/, E 2 2
Ω :
+, , 0, 1, 2, 3 /
E 3
Ω0 :
D, 5/
Ω1 :
;+, ; , ;0, ....., ;26 /
Ω2 :
6, +, , 0, 1, 2,....../
Ω3 :
2, 3, <, =, >, ......../
Ω< :
t ∈ ? @ t ≥ 6 /
E 4 E 5 5 E 6 6 E 7 7
Ejemplo 1$os artículos provenientes de una línea de producción se clasifican en defectuosos (D* y no defectuosos (5*, se observan los artículos y se anota
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Capítulo 1: Probabilidades su condición. Este proceso se continúa hasta observar dos defectuosos consecutivos o hasta que se observe tres artículos no defectuosos. Describir el espacio muestral.
"olución# utiliando el diagrama de árbol posemos representar gráficamente todos los resultados posibles, de la siguiente forma% DD
D D D D
D
D
5
5
D 5
5
5 D 5
5
D5D5D5 D5D55 D55DD D55D5 D555
D D
D5DD D5D5DD
D
5DD 5D5DD
5
5D5D5
D 5 5
5 D 5
5D55
D
55DD
5
55D5
5
555
El espacio muestral es% Ω
: DD, DD, D5DD, D5DD, D5D5DD D5D5DD,, D5D5D5 D5D5D5,, D5D55, D5D55, D55DD, D55DD, D55D5, D55D5, D55, D55, 5DD, 5DD,
5D5DD, 5D5D5, 5D55, 55DD, 55D5, 555/
Ejemplo 1)upongamos que se tiene una ca#a con = #uguetes diferentes. )e sacan 0 #uguetes, de uno en uno+, con reemplaamiento . Describir el espacio muestral asociado a este experimento.
"olución# Sean a1, a2 , a3, …., a8 . los ocho juguetes dierentes de la caja. Si se reali!a la "ri#era e$tracci%n, "uede salir cual&uiera de los 8 juguetes. Es decir:
;+ : a+, a, a0, A., a= / Si se reali!a la segunda e$tracci%n, "uede salir otra ve! cual&uiera de los 8 juguetes, 'a &ue el "ri#ero "ri#ero ue devuelto a la caja, "or "or ser con ree#"la! ree#"la!a#iento. a#iento. +
Se dice también que se ha extraído una muestra de tamaño 3. Se dice que la extracción se hace con reemplazamiento, si después de cada extracción se registra el artículo y se devuelve a la caa.
4
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo ; : a+, a, a0, A., a= / (s) sucesiva#ente, es evidente &ue en la tercera e$tracci%n tene#os:
;0 : a+, a, a0, A., a= / Entonces el es"acio #uestral ser*: Ω :
;+ x ; x ;0 : a+, a, a0, A., a= / x a+, a, a0, A., a= / x a+, a, a0, A., a= / a+, a, a0, A., a= /0
Ω :
+ ta#i-n: Ω :
B x, y, ' @ x, y, : a +, a, a0, A., a= /
Ejemplo 1)ea el experimento verificar el estado Bapagado, prendido' de seis focos iguales. &tiliando los números 6 Bcero' para (apagado* y + para (prendido*. Describir el espacio muestral.
"olución# ;$ verificar el primer foco, el resultado puede ser 6 ó +C el segundo foco tambi!n puede ser 6 ó +, y así sucesivamente. Entonces, el espacio muestral del experimento, verificar el estado de los seis focos será% Ω :
6 , +/3 : Bx+, x, x0, x1, x2, x3' @ x+, x, x0, x1, x2, x3 : 6, + /
1.3.1.- Espacio Muestral Discreto )i tiene un número finito o infinito de elementos. (1) Espacios Muestrales Discretos Finitos
-uando el espacio muestral tiene un número finito de elementos.
Ejemplo 1&n lote compuesto de 26 artículos provenientes de una línea de producción, contiene 2 artículos defectuosos. $os artículos son extraídos uno por uno B sin reemplaamiento' hasta que el último artículo defectuoso sea extraído. allar el espacio muestral de este experimento
"olución# El número de artículos extraídos será como mínimo cinco y como máximo 26. Ω :
2, 3, <, A, 26 /
(2) Espacios Muestrales Discretos Infinitos
5
Capítulo 1: Probabilidades Es cuando puede establecerse una correspondencia biunívoca de sus elementos con el con#unto de los números naturales, de modo que pueda ser enumerado como +, , 0, 1, A.∞
Ejemplo 1El experimento sea lanar una moneda hasta que ocurra sello. Describir su espacio muestral.
"olución# El espacio muestral asociado a este experimento sería% Ω :
-, -), --), ---), ----), A /
1.3.2.- Espacio Muestral Continuo )i tiene un número no numerable de elementos. Es decir cuyos elementos son todos los puntos de algún intervalo de números reales.
Ejemplo 1El experimento sea el volumen de gaseosa producida por día, la cual varía entre un valor mínimo de 266,66 litros y un valor máximo de +666,66 l. )e escoge un día al aar y se observa la cantidad producida. Escribir el espacio muestral.
"olución# El espacio muestral asociado a este experimento sería% Ω :
x ∈ ℜ @ 266 ≤ x ≤ +666/
Nota# ; un experimento aleatorio puede se le puede asociar más de un espacio muestral, de acuerdo a la característica del fenómeno que se desea medir.
9or e#emplo sea el experimento lanar 0 monedas, si estamos interesados en la secuencia de caras y sellos que aparecen, el espacio muestral sería% Ω : ---, --), -)-, )--, -)), )-), ))-, ))) / 9ero si estamos interesados en el número de sellos que salen, el espacio muestral es% Ω : 6, +, , 0/
1.$.-
"uceso
$lamaremos suceso a todo elemento de un espacio muestral y lo designaremos por x, y, ,....etc. esto es si x es un suceso, entonces x ∈ Ω
6
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo 1.%.- E&entos )e llama evento a cualquier subcon#unto del espacio muestral y lo denotaremos por ;, F, -, .. etc,. $uego si ; es un evento entonces ; ⊂ Ω.
C
A . $
*
.' .!
.u
.r
.s
.t
.
.v
."
Ejemplo 1D! un e#emplo de evento para cada uno de los siguientes experimentos% a' $anar un dado y observar el número que aparece en la cara superior. b' Extraer un artículo de un lote que contiene artículos defectuosos (D* y no defectuosos (5*. c' -ontar el número de automóviles que cruan la intersección de avenidas hasta que ocurra un accidente d' 8bservar el tiempo de vida de un televisor e' 7abricar artículos, hasta producir 2 defectuosos y contar el número total de artículos fabricados
"olución# a' ; : ( ocurre un número mayor que 0* ; : 1, 2, 3 / b' ; : (se extrae un artículo no defectuoso* ; : 5 / c' ; : (ocurre un accidente antes de que crucen +666 automóviles* ; : 6,+,, A, >>>/ d' ; : (El televisor dura más de 2 666 horas* ; : t ∈ ? @ t G 2 666 / e' ; : (se fabricaron más de 66 artículos* ; : 6+, 6, 60, A /
1.'.-
De(inición de )roailidad
7
Capítulo 1: Probabilidades $a probabilidad es la posibilidad u oportunidad de que suceda un evento particular en el futuro, sólo puede asumir valores entre 6 y +, inclusive. &n evento que no tiene probabilidad de ocurrir es un e&ento nulo porque tiene una probabilidad de cero, mientras que un evento que se tiene la certea que ocurrirá será un e&ento cierto+ y tiene una probabilidad de + Existen tres enfoques que dan lugar a tres definiciones de probabilidad%
)roailidad Clsica o a )riori
1.,.-
$a probabilidad de un evento es la raón entre el número de casos favorables y el número total de casos Bsucesos' posibles, siempre que todos los sucesos deben ser igualmente probables. )i 5BΩ' : n , es el número de elementos del espacio muestral Bnúmero total de sucesos' y 5 B; ' : n ; , es el número de elementos del evento ; Bo números de sucesos favorables'C la probabilidad del evento ; estará denotada por 9B;', la cual se calcula por la fórmula% # ( ") =
! ( ")
nº de casos favorables al evento A
=
! (Ω)
nº de casos posibles
0ser&aciones a' $a probabilidad de un evento cualquiera está comprendida entre 6 y + b' 9H;I : 6, si ; es un evento imposible c' 9H;I : +, si ; es el evento seguro de ocurrir.
Ejemplo 1)i se lana una moneda tres veces. -alcular la probabilidad de que ocurra% a' dos sellos b' al menos dos sellos c' a lo más dos sellos
"olución# El experimento E+ % (lanar una moneda tres veces*, tendría como espacio muestral%
Diarama de /rol -
---
)
--)
)
-
-)-
)
-))
-
)--
)
)-)
-
))-
) ) )
)))
8
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo
El espacio muestral sería% Ω+ :
---, --), -)-, -)), )--, )-), ))-, )))/
; % (8btener sellos* ; : -)), )-), ))-/ F% (;l menos sellos* F : -)), )-), ))-, )))/ -% ( ; lo más sellos* - : ---, --), -)-, -)), )--, )-), ))-/ $as probabilidades de los eventos estarían dadas por% 9B;' :
n ( ") n(Ω )
=
3 C 9BF' : 8
n ( $ ) n( Ω )
=
4
C
8
9B-' :
n (% )
=
n ( Ω)
7 8
Ejemplo 1-onsideremos el lanamiento de dos dados. -alcular la probabilidad de% a' obtener suma = b' obtener suma < c' obtener suma mayor que 3 d' que el resultado del primer dado sea mayor que el segundo
"olución% El experimento aleatorio es% (lanar dos dados*. El espacio muestral a este experimento estará dado por pares ordenados donde la primera componente es el resultado del primer dado y la segunda componente el resultado del segundo%
D1D2 1 2 3 $ % '
1 2 3 $ B+,+' B+,' B+,0' B+,1' B,+' B,' B,0' B,1' B0,+' B0,' B0,0' B0,1' B1,+' B1,' B1,0' B1,1' B2,+' B2,' B2,0' B2,1' B3,+' B3,' B3,0' B3,1'
(1,1) (2,1) (3,1) Ω= (4,1) (5,1) (6,1)
% B+,2' B,2' B0,2' B1,2' B2,2' B3,2'
' B+,3' B,3' B0,3' B1,3' B2,3' B3,3'
(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
(2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)
)ean los eventos siguientes% ; : (8btener suma =*
Capítulo 1: Probabilidades ; : B3,' , B2,0' , B1,1' , B0,2', B,3' / nB;' : 2 ∴ # ( ") =
5 36
F : (8btener suma <* F : B3,+', B2,' , B1,0' , B0,1' , B,2' , B+,3'/ nBF' : 3 ∴ # ( $ ) =
6
1
=
36
6
- : *8btener suma mayor que 3 - : B3,+', B2,', B1,0', B0,1', B,2', B+,3', B3,', B2,0', B1,1', B0,2', B,3', B3,0', B2,1', B1,2', B0,3', B3,1', B2,2', B1,3' , B3,2' , B2,3' , B3,3'/ 5 B - ' : + ∴ # (% ) =
21
=
36
7 12
D : (Jue el resultado del primer dado sea mayor que el segundo* D : B,+', B0,+', B0,', B1,+', B1,', B1,0', B2,+', B2,', B2,0', B2,1', B3,+', B3,', B3,0', B3,1', B3,2' / nBD'
: +2
∴ # ( ") =
15
=
36
5 12
Ejemplo 1En una ca#a hay 6 bolas numeradas del + al 6. )e extrae una bola. -uál es la probabilidad de que el número de la bola extraída% a' no exceda de 6 K b' )ea el 0 K c' )ea por lo menos +2
"olución% El experimento aleatorio es (sacar una bola de la ca#a*. Donde el espacio muestral sería% Ω :
+, , 0, ... , 6/
nBΩ'
:6
)ea el evento ; % (sacar un bola que no exceda de 6* -omo todas la bolas que se encuentran en la ca#a satisfacen las condiciones del evento entonces ; : Ω,
por lo tanto ; es un evento seguro.
# ( ") =
n ( ") n (Ω )
=
n (Ω ) n (Ω )
=1
1!
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo )ea el evento F % (El número de la bola extraída sea 0* En la ca#a solo hay bolas del + al 6, por lo tanto F sería un evento imposible de ocurrir, o sea F : / # ( $ ) =
n( $ )
0
=
n( Ω )
=
20
0
)ea el evento -% (el número de la bola extraída sea por lo menos +2* - : +2, +3, +<, +=, +>, 6 / n B-' : 3
# (% ) =
n(% )
6
=
n( Ω )
20
=
3 10
)roailidad por recuencia elati&a )i un experimento bien definido se repite n veces Bn grande'C la probabilidad de que un evento ; ocurra a largo plao se estima observando la frecuencia relativa de veces que ocurre el evento.
# ( ")
=
! ( ") ! (Ω)
=
nº de veces !ue el evento A ocurri en el pasado nº total de observaciones
Ejemplo 1&na muestra de +6 fábricas que emplean un total de +6 666 personas , demostró que ocurrieron 266 accidentes de traba#o durante un período reciente de + meses. allar la probabilidad de que un accidente de un traba#o suceda en una industria determinada.
"olución El espacio muestral estará formado por las +6 666 personas )ea el evento ; % (suceda un accidente a cualquier traba#ador*
# ( ") =
500 10000
=
0,05 : 2L
Existe la probabilidad del 2L de que suceda un accidente de traba#o en cualquiera de las industrias.
Ejemplo 1$a distribución de los miembros de los partidos políticos en la Escuela de Mndustrias es%
)artido 5N total de militantes Oilitantes mu#eres
A)A )) 4N IM 4)) M5 16% 166 ,6 $% $6 1% 1% 26 % 16 3 2
11
Capítulo 1: Probabilidades P-uál es la probabilidad que un miembro seleccionado aleatoriamente % a' sea una mu#erK b' perteneca al partido 9erú 9K c' sea un hombre del partido &nidadK
"olución% El espacio muestral, estaría formado por el total de militantes, por lo tanto nBΩ' : +62 Q +66 Q <6 Q 12 Q 16 Q +2 : 0<2 a'
)ea ;% (el miembro seleccionado es una mu#er* Entonces nB;' : +2 Q 6 Q 2 Q +6 Q 0 Q : 22. $uego, # ( ") =
b'
55 375
)ea el evento F%*el miembro seleccionado pertenece al partido 9erú 9* Entonces el nBF' : +66. $uego, # ( $ ) =
c'
100 375
)ea el evento -%*el miembro seleccionado es hombre y pertenece al partido &nidad*, entonces nB-' : <6 " 2 : 32 $uego, # (% ) =
65 375
7a )roailidad "ujeti&a Es el grado de creencia asignado a la ocurrencia de un evento por un individuo particular, basado en toda la evidencia a su disposición. )e utilia cuando se tiene poca o ninguna experiencia en la cual no se pueda basar una probabilidad como una frecuencia relativa o como una probabilidad clásica. 8tro individuo podría asignar una probabilidad diferente al mismo evento, de acuerdo a la evidencia que el dispone.
Ejemplo 1+.
Estimar la posibilidad de que la selección nacional de fútbol clasifique al próximo mundial.
.
Estimar la probabilidad de que la inflación disminuya el próximo aRo.
0.
Estime la probabilidad de que EE.&&. abandone MraS.
1.
Estime la probabilidad de que usted apruebe este curso.
12
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo
1.8.-
E&entos mutuamente exclu9entes
Dos eventos ; y F definidos en el mismo espacio muestral son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir #untos. Es decir la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro. )imbólicamente% si A * ! 9or e#emplo, ser hombre y ser mu#er son eventos mutuamente excluyentes. 5adie puede ser ambos a la ve.
Ejemplo 1)e lana un dado dos veces. )ean los eventos% ; % (la suma de los puntos obtenidos en los dos lanamientos es <* F % (En los dos dados se obtiene el mismo número* ; y F son eventos mutuamente excluyentes, dado que % ; : B0C1', B1C0', BC2', B2C', B3C+', B+C3' / y F : B+C+', BC', B0C0', B1C1', B2C2', B3C3' / 9or lo tanto A * !
1.:.-
E&entos colecti&amente ex;austi&os )e dice que una colección de (n* eventos ; + , ;, ;0, . . . , ;n , definidos sobre el mismo espacio muestral son C07EC
5A4"
;+ & ; & ;0 & . . . & ; n :
A i i 1 =
:Ω
Ejemplo 1En el experimento%* número de personas atendidas en el Fanco de -r!dito banco en un mes*. )ean los eventos% ;% (menos de ++66 personas han sido atendidas* F% (De ++66 a 666 personas han sido atendidas* -% ( más de +266 personas han sido atendidas* $os eventos ;, F, - son colectivamente exhaustivos por que se cumple que% ; 4 F 4 - : Ω : 6,+, , ..../
1.16.- /lera de E&entos $as operaciones con eventos son análogas a las operaciones con con#untos, donde% El con#unto universal sería el espacio muestral B Ω'. El con#unto vacío B∅' sería el evento imposible.
13
Capítulo 1: Probabilidades $as leyes , propiedades y operaciones de eventos se basan todas en la teoría de -on#untos, tales como la unión, intersección, inclusión, complemento, diferencia, etc.
4nión% Dados dos eventos ; y F, se llama evento unión de ; con F y se denota (; 4 F* al evento formado por todos los sucesos que pertenecen a ; ó pertenecen a F ó a ambos.
A 4 * ! ?x
@ x A x *
Intersección% dados dos sucesos aleatorios ; y F se denomina evento Mntersección de ; con F y se denota (; F* al evento formado por todos los sucesos que pertenecen a ; y a F a la ve, es decir%
A * ! ?x
@ x A
x *
Di(erencia% Dados los eventos ; y F, se llama evento diferencia de ; con F y se denota (; T F*, al evento formado por todos los sucesos favorables a ; que no son favorables a F. )imbólicamente%
A B * ! ?x
@ x A x *
Complemento% )i ; es un evento del espacio muestral
Ω,
se llama complemento de ;,
denotado por ;U ó A al evento formado por todos los sucesos que no son favorables a ;. En símbolos%
A ! A !
- A ! ?x
@ x A
7e9es de Moran % )ean los eventos ; y F, se cumple que% +V $ey % A ∩ " = A ∪ " V $ey% A ∪ " = A ∩ "
1.11.- <cnicas de Conteo En muchos casos, debido al gran número de posibilidades, no es factible enumerar cada uno de los resultados, para estas circunstancias se han desarrollado algunas t!cnicas de conteo%
1.11.1.- ela 1# Si cual&uiera de / eventos #utua#ente e$clu'entes ' colectiva#ente e$haustivos "uede ocurrir en cada uno de los n ensa'os, el n0#ero de resultados "osiles es:
14
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo n Ejemplo 1)i una moneda se arro#a +6 veces, el número de resultados posibles es % +6 : +61 C )i un dado se lana dos veces, el número de resultados posibles es 3 : 03.
1.11.2.- ela 2 Si ha' / 1 eventos del "ri#er intento, / 2 eventos del segundo intento, ... ' / n eventos del n -si#o intento, entonces el n0#ero de resultados "osiles es:
F 1 G F 2 G F 3 G . . . F n G Ejemplo 1)i una placa de un auto tiene letras Bsin la R'y cuatro dígitos, el número total de resultados posibles sería entonces% B3'B3'B+6'B+6'B+6'B+6' : 3 <36 666. )i un restaurante tuviera una cena completa con precio fi#o que consistiera en un aperitivo, entrada, bebida y postre, y tuviera la opción de escoger entre 2 aperitivos, +6 entradas, tres bebidas y 3 postres, el número total de cenas posibles sería% B2' B+6' B0' B3' : >66
1.11.3.- ela 3 El número de formas en que n ob#etos pueden ordenarse es%
nH ! n F n-1G Fn-2G ... F1G
Ejemplo 1)i un con#unto de 3 libros desean colocarse en un estante. PDe cuántas formas posibles pueden ordenarseK. El número de formas posibles en que pueden ordenarse es de 3W : 3 x 2 x 1 x 0 x x + : <6 formas
1.11.$.- ela $# er#utaciones: el n0#ero de #odos de ordenar # ojetos seleccionados de n ojetos es: n$ (n
−
#)$
Ejemplo 1)upóngase que hay ocho máquinas fotocopiadoras pero sólo tres espacios en el piso del establecimiento
15
Capítulo 1: Probabilidades donde se van instalar las máquinas. PDe cuántas formas diferentes pueden colocarse las ocho máquinas en los tres espacio disponiblesK ay = posibilidades para el primer espacio, < para el segundo y 3 para el tercero. Entonces sería% = B<' B3' : 003 permutaciones 4ambi!n esto puede expresarse de forma matemática al decir que el número de permutaciones de = en 0 es%
90 :
=
8$ (8
−
8$
3)$
=
5$
8%7%6%5$ =
5$
=
336 permutaciones
1.11.%.- ela %# -ombinaciones% El número de modos de seleccionar m ob#etos de n ob#etos, sin tomar en cuenta el orden, es igual a% n$ #$(n
−
#)$
Ejemplo 1&n estudiante tiene < libros que desearía acomodar en su maletín. )in embargo, sólo caben 1 libros. )in importar el orden. Pde cuantas formas puede escoger los libros que puede llevar en el maletínK
"olución% cuando no importa el orden se utilia la fórmula% 4
% 7 =
7$ 4$ ( 7 − 4 )
=
7$ 7%6 %5 %4$ = = 35 formas posibles 4$%3$ 3 %2%1 %4$
1.11.'.- )rincipio de Multiplicación# )i un experimento aleatorio E + ocurre de n formas y si para cada una de estas, un experimento aleatorio E ocurre de m formas, entonces los dos experimentos #untos ocurrirán de n.m formas. Esto puede ampliarse para más de dos eventos.
Nmero total de arrelos ! m .n
16
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo Ejemplo 1&n establecimiento de venta de autos desea anunciar que puede adquirir un convertible, un dos puertas o un modelo de cuatro puertas, con elección de aros deportivos o comunes Pcuántos arreglos diferentes de modelos y aros puede ofrecer el establecimientoK
"olución# &sando la regla de la multiplicación donde n : 0 Bnúmero de modelos' y m : Bnúmero de tipos de aros'% 4otal posible de arreglos : m x n : 0 x : 3
Ejemplo 1&na persona puede via#ar de una ciudad ; a otra F de 2 formas y de F a - de 3 formas. P De -uántas formas puede ir de ; a pasando por F.
"olución% $a persona puede ir de ; a F de 2 formas y de F a - de 3 formas. 9or lo tanto puede de 2 x 3 : 36 formas de ir de ; a - pasando por F.
1.11.,.- )rincipio de Adición# )i un experimento E+ puede ocurrir de n1 formas y un segundo experimento E puede ocurrir de n2 formas, entonces el experimento E, que consiste en realiar o E + ó E B(o* en el sentido de exclusión, es decir E + y E no pueden ocurrir #untos' ocurre de n1 + n2 formas, siempre que los espacios muestrales Ω+
Ω : ∅ B
sean dis#untos'
Ejemplo 1-onsideremos el experimento de lanar una moneda o un dado. PDe cuántas formas ocurreK
"olución% El experimento E dado es compuestoC sean% E+ % lanar una moneda C n+ : E % lanar una dado C n : 3 El experimento E % ( lanar una moneda o un dado (, ocurre de n : n+ Q n : 3 Q : =
Ejemplo 1&na persona puede via#ar de -hiclayo a $ima por vía a!rea o por vía terrestre y tiene a su disposición 2 líneas a!reas y +6 líneas terrestres. Pde cuántas formas puede hacer el via#eK.
17
Capítulo 1: Probabilidades "olución# $a persona debe decidir via#ar o por tierra, o por aire, tiene que elegir uno de ellos, por lo tanto tienen 2 Q +6 : +2 formas de hacer el via#e
Ejemplo 1Dos secretarias nuevas% Xanesa y Yuliana, se pueden ubicar en tres oficinas% ;dministración, ;suntos 9edagógicos y 9royección )ocial, ambas pueden estar en una misma oficina. P-uál es la probabilidad que% a' 5inguna de las dos se ubiquen en la oficina de ;dministración. b' $as dos se ubiquen en una misma oficina.
"olución# -alculando el número de elementos del espacio muestral% Xanesa puede estar en cualquiera de las 0 oficinas B 0 formas', Yuliana tambi!n puede distribuirse de 0 formas. 9or lo tanto, el número de formas de distribuir las dos personas es de 0 . 0 : > formas distintas% n B Ω' : 0. 0 : >. a' )ea el evento ; : (las dos no se ubiquen en la oficina de ;dministración* Esto quiere decir que se deben ubicar en las oficinas restantes, lo cual se puede hacer de . : 1 formas, es decir n B;' : 1
( :
4 &
b' )ea el evento F : (las dos se ubiquen en una misma oficina* )i las dos se ubican en una sola oficina, entonces la primera de ellas tiene 0 formas para ubicarse, mientras que la segunda sólo tiene + forma, ya que tiene ubicarse donde se ubicó la primera. B 0 . + : 0 formas'
# ( $ )
=
3 &
=
1 3
Ejemplo 1)e deben escoger representantes de un grupo de traba#o que consta de 3 hombres y 1 mu#eres. El procedimiento será escribir los nombres en ho#as de papel y luego se van a sacar papeles al aar. a' P-uál es la probabilidad de que los dos sean hombresK b' P-uál es la probabilidad de que los dos sean mu#eresK c' P-uál es la probabilidad de que sean un hombre y una mu#erK
18
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo "olución# El experimento es (sacar dos nombres de +6*, como cada suceso es de dos personas, entonces% n ( Ω)
= % 210 =
10 x& 1 x 2
= 45
a' )ea el evento ;% (los dos sean hombres*, ; tiene % 26 # ( ") =
15
=
45
6
1 x 2
= 15
1
=
3
b' )ea el evento F %*los dos sean mu#eres*, F tiene % 24 = # ( $ ) =
6 x5
1 x 2
=6
2
=
45
4 x3
15
c' )ea el evento - %( sean hombre y mu#er* - tiene 3 . 1 : 1 # (% )
=
24 45
=
8 15
1.12.- Axiomas 9
Axioma 1.- $a 9robabilidad de un suceso ;, no puede ser ni menor que -E?8 ni mayor que &58. Es decir%
6 ) F AG
1
Axioma 2.- $a probabilidad del suceso seguro es igual a &58, es decir% )F
G!1
Axioma 3.- 9ara cualquier número finito S de eventos mutuamente excluyentes en
Ω
se
cumple que%
'
i =1
A i =
'
∑ (A ) i
i =1
)i ; y F son dos sucesos en
Ω,
tales que ; F : ∅
9B; & F' : 9B;' Q 9BF' En una secuencia enumerable de eventos mutuamente excluyentes definidos en cumple que%
Ω
se
1
Capítulo 1: Probabilidades 9 B ;+ & ; & ;0 & . . . & ; S ' : 9 B;+' Q 9B; ' Q 9B;0' Q . . . Q 9B ;S'
=
1 (A) −
# ( ")
=
1
−
(A )
Ω,
entonces%
)FA 4 * 4 CG ! )FAG L )F*G L )FCG B )FA *G B )FA CG B )F* CG L )FA * CG
1.13.- )roailidad Condicional )e utilia cuando estamos calculando la probabilidad de que un evento particular ; suceda, dado que tenemos información sobre la ocurrencia de otro evento F, esta probabilidad se denomina 9robabilidad condicional, 9 B; Z F'. $a probabilidad condicional 9B; Z F' puede definirse de la siguiente manera% # ( " ∩ $ )
( " $ ) = con#unta de ; y F donde % 9 B; ∩ F' % # 9robabilidad
9BF'
# ( $ )
% 9robabilidad marginal de F
Ejemplo 1$a 7;-E;-, en su primer aRo de funcionamiento tuvo tres carreras profesionales% ;dministración, Economía y -ontabilidad. $a clasificación de los alumnos por su sexo, es como sigue%
Administración 26 5omres +66 Mujeres
Economía 026 26 166
Contailidad 66 26 26
2!
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo )upongamos que seleccionamos un estudiante aleatoriamente del grupo. )i se sabe que el estudiante es hombre. P-uál es la probabilidad que est! en ;dministraciónK. )i el estudiante seleccionado es mu#er P-uál es la probabilidad que est! en contabilidadK.
"olución % definimos los siguientes eventos% ;+ : (el estudiante seleccionado es ombre* C ; : (el estudiante seleccionado es Ou#er* F+ :*el estudiante está en ;dministración* F : (el estudiante está en Economía* F0 : (el estudiante está en -ontabilidad* -alculamos las probabilidades simples o llamadas tambi!n probabilidades Oarginales.
9B;+' :
9BF+' :
800 =
1000
350 1000
=
200
0%8 C 9 B; ' :
0,35 C 9BF' :
=
1000
400
=
1000
0%2
0,4 C 9BF0' :
250 1000
=
0,25
$uego calculamos las probabilidades con#untas 9 B ; i F #'C para i : +, #: +, ,0.
F+ F F0 4otal ;+ 6,2 6,02 6,6 6,=6 ; 6,+6 6,62 6,62 6,6 4otal 6,02 6,16 6,2 +,66 a'
$a 9robabilidad de que un alumno seleccionado est! en ;dministración dado que ya se sabe que es hombre será% # &$'( "' ) :
# ( "1
∩ $1 )
# ( "1 )
b'
=
0,25 0,80
= 0,325
$a probabilidad de que un alumno seleccionado est! en -ontabilidad, dado que se sabe que es mu#er será% # ( $3 "2 )
=
# ( $3
∩ "2 )
# ( "2 )
=
0%05 0,20
= 0,25
1.1$.- )roailidad Conjunta $a probabilidad con#unta es aquella donde los sucesos ocurren simultáneamente. ;sí por e#emplo% a' $a probabilidad de que un estudiante sea niRo y de buen rendimiento. b' $a probabilidad de que sea adolescente y fármaco dependiente.
21
Capítulo 1: Probabilidades # ( " ∩ $ ) = # ( ")% # ( " $ )
ó # ( " ∩ $ ) = # ( $ )% # ( $
")
Este resultado, en teoría de la probabilidad, se llama ?E[$; DE $; O&$4M9$M-;-M\5 o 9?8F;FM$MD;D DE $; M54E?)E--M\5.
Ejemplo 1&na urna contiene 2 bolas blancas y 3 negrasC se extraen al aar sucesivamente y sin reposición dos bolas, a' P-uál es la probabilidad de que las dos sean blancasK b' P-uál es la probabilidad de que sean una de cada colorK
"olución# )ean los siguientes eventos% F+% ( la primera bola resultó blanca* C
F% ( la segunda bola resultó blanca*
5+% ( la primera bola resultó negra* C
5% ( la segunda bola resultó negra*
&tiliando el diagrama de árbol tenemos que% 9BF Z F+' : 1@+6
F
F+ ∩ F : 9BF+'9BF Z F+' : 2@++ . 1@+6 ! 2 @11
5
F+ ∩ 5 : 9BF+'9B5 Z F+' : 2@++ . 3@+6 ! 3 @11
F
5+ ∩ F : 9B5+'9BF Z 5+' : 3@++ . 2@+6 ! 3 @11
5
5+ ∩ 5 : 9B5+'9B5 Z 5+' : 3@++ . 2@+6 ! 3 @11
F+ 9BF+' : 2@++ 9B5 Z F+' : 3@+6
9B5+' : 3@++
9BF Z 5+' : 2@+6 5+
9B5 Z 5+' : 2@+6
a' $a probabilidad de que las dos bolas sean blancas está dada por% 9BF+ ∩ F' : 2 @ 11 b' $a probabilidad de que sean una de cada color es% 9BF+ ∩ 5' Q 9B5+ ∩ F' : 0 @++ Q 0@++ : ' @11
22
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo
1.1%.
)roailidad
... *
... *2
...
$os eventos F+ , F, F0, . . . ,FS son mutuamente excluyentes. En símbolos Fi F # : ∅, para todo i ≠ # Ba'
$os eventos F+ , F, F 0, . . . ,FS, son colectivamente exhaustivos. En símbolo% *
$ i = Ω i =1
Ejemplo 1En el lanamiento de un dado, Ω : +, , 0, 1, 2, 3 /. )i F+ : +, / C F : 0, 1, 2/ y F0 : 3/. Entonces F+, F y F0 representan una partición de Ω porque% F+ F : ∅ C F
F0 :∅ C
F0 F+ :∅
] ;demás% F+ 4 F 4 F0 : Ω
1.1'.
)ea F+ , F, F 0, . . . ,F S una partición del espacio muestral Ω, entonces para cualquier evento ; en se cumple que% *
# ( ")
= ∑ # ( $i )% # ( " $i ) = # ( $1 )% # ( " $1 ) + # ( $2 ) # ( " $2 ) + %%% + # ( $* ) # ( " $* i =1
Ejemplo 1-
Ω
23
Capítulo 1: Probabilidades En una gran#a hay 0 corrales. En el corral ; hay dos ove#as negras y tres blancas, el corral F tiene 1 ove#as negras y blancas, en el corral - hay 2 ove#as negras y 2 ove#as blancas. )e selecciona al aar un corral y se saca una ove#a de este corral. P-uál es la probabilidad de que la ove#a escogida sea negraK.
"olución )e definen los siguientes eventos% ; : ( el corral ; es seleccionado* F : ( el corral F es seleccionado* - : ( el corral - es seleccionado* 5 : ( la ove#a seleccionada es de color negro* El espacio muestral está constituido por las ove#as de los tres corrales y estos forman una partición del espacio muestral, de tal forma que%
!A4*4C
A
*
C
N
Dado que 5 ⊂ Ω y según el teorema de probabilidad total se puede escribir como% 5 : B; ∩ 5' & BF ∩ 5' & B- ∩ 5' Entonces%
9B5' : 9B; ∩ 5' Q 9BF ∩ 5' Q 9B- ∩ 5'
$uego% 9 B5' : 9B;' 9B; Z 5' Q 9BF' 9BF Z 5' Q 9B-' 9B- Z 5' 9uesto que se escoge un corral al aar, los tres son igualmente posibles, según el diagrama de árbol tenemos%
24
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo 5
9B5 Z ;' : @ 2
9B; ∩ 5' : @ +2
;
*
9B;' : +@ 0
5
9B5 Z F' : 1@ 3 9BF' : +@ 0
9BF ∩ 5' : 1 @ +=
F
*
9B-' : +@ 0 9B5 Z -' : 2@ +6
5
-
9B- ∩ 5' : 2 @ 06
* )egún las probabilidades obtenidas tenemos que% 9B5' : @ +2 Q 1 @ += Q 2 @ 06 : $,@ :6
1.1,.
)i los eventos F+ , F, F0, . . . ,FS forman una partición del espacio muestral
Ω y
; es un evento
cualquiera de Ω, entonces se cumple que%
9BFr Z ;' :
# ( $ r ) # ( " $ r ) # ( ")
Ejemplo 1)uponga que 2L de la población de -hina padece de la enfermedad 5eumonía ;típica. )ea ; + el evento (tiene la enfermedad* y ; (5o tiene la enfermedad*. Entonces sabremos que si seleccionamos una persona de -hina al aar, la probabilidad de que el individuo elegido tenga la enfermedad es 6,62 o bien 9B;+':6,62. esta probabilidad 9 B;+' : 9 Btiene la enfermedad' : 6,62, se denomina probabilidad a priori. )e le da este nombre porque la probabilidad se asigna antes de haber obtenido datos empíricos. 9or tanto, la probabilidad a priori de que una persona no padeca la enfermedad es 6,>2, 6 bien, 9B; ' : 6,>2, que se obtiene al calcular +T 6,62. Existe una t!cnica de diagnóstico para detectar la enfermedad, pero no es muy exacta. )ea F el evento (la prueba indica que la enfermedad está presente*. -onsidere que la evidencia histórica muestra que si una persona en realidad padece la enfermedad, la probabilidad de que la prueba
25
Capítulo 1: Probabilidades indique la presencia del padecimiento es 6,>6. utiliando las definiciones de probabilidad, tal afirmación se escribe como% 9 B F Z ;+ ' : 6,>6 -onsid!rese que la probabilidad de que una persona en realidad no padeca la enfermedad, pero la prueba indique que se encuentra presente es 6,+2. 9 B F Z ; ' : 6,+2 )elecciónese a una persona de -hina y aplíquese la prueba. $os resultados indeican que está presente. P-uál es la probabilidad de que la persona padeca la enfermedadK. En forma simbólica se desea determinar 9 B ; + Z F' que se interpreta como 9Btiene la enfermedad Z $os resultados de la prueba son positivos'. ;plicando el 4eorema de Fayes tenemos%
9B;+ZF' :
: :
# ( "1 )% # ( $ "1 ) # ( "1 )% # ( $ "1 )
+ # ( "2 )% # ( $ "2 )
( 0,05)( 0,&0 ) (0,05 )( 0,&0 ) + (0,&5)( 0,15 ) 0,0450 0,1875
: 6,1 a "roailidad de &ue una "ersona tenga la ener#edad, dado &ue la "ruea result% "ositiva, es de ,24.
Ejemplo 1El gerente general de la cadena OE4?8 estima la proporción de sus establecimientos que alcanarán la meta de una venta anual equivalente a dos millones de dólares en la forma siguiente%
)0)0CI0N DE
)0*A*I7IDAD
E"
) F Ai G
Ai
;+ : 6,36 ; : 6,<6 ;0 : 6,=6
9 B A1 ' : 6,6 9 B A2 ' : 6,26 9 B A3 ' : 6,06
26
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo Es decir, el gerente general, basándose en experiencias anteriores estima que hay una probabilidad de 6,6 de que 36L de las tiendas alcanarán los dos millones de ventas anualC una probabilidad de 6,26 que alcancen el <6L y finalmente una probabilidad de 6,06 de que el =6L alcancen la meta, se selecciona al aar uno de los negocios. a' Pcuál es la probabilidad que este haya alcanado la meta consideradaK b' Dado que este negocio alcanó la meta, Pcuál es la probabilidad que el =6L de los negocios haya vendido dos millones de dólaresK
"olución# Definimos el evento O : (obtener un negocio que logró alcanar la meta considerada* &tiliando el árbol de probabilidades podemos observar las formas diferentes de obtener un negocio que alcanó la meta%
9BO Z ;+' : 6,36
O
9B;+ ∩ O' : 6,+
;+
+
9B;+' : 6,6 9BO Z ;' : 6,<6 9B;' : 6,26
O
9B; ∩ O' : 8,02
;
+
9B;0' : 6,06
9BO Z ;0' : 6,=6
O
9B;0 ∩ O' : 6,1
;0
+ aG 9or lo tanto 9 BO' : 6,+ Q 6,02 Q 6,1 : 6+,1 G 9or el teorema de Fayes se tiene que%
(A 3 + ) =
(A 3 )%(+ A 3 ) (A)
=
(0,30)(0,80) 0,71
=
0,24 0,71
= 0,338
27
Capítulo 1: Probabilidades
1.18.
E&entos Independientes
)abemos que, si los eventos ; y F son mutuamente excluyentes como indica la figura%
A
*
Entonces ; ∩ F : ∅, y si 9B;' G 6, 9BF' G 6 , se tiene%
(A ") =
(A ")
=
(")
y
0
(" A) =
(A ") (A)
=
0
4ambi!n sabemos que si * A, tal como muestra la figura siguiente%
A *
)e cumple que%
(A ") =
(A ") (")
=
(") (")
=1
En el primer caso, los eventos ; y F no pueden ocurrir simultáneamente, así que el conocimiento de la ocurrencia de F nos dice que ; no ocurre B o viceversa '. En el segundo caso si ocurre F, debe ocurrir ;. ] en general hemos visto al definir la probabilidad condicional, que la ocurrencia de un evento condiciona la probabilidad de ocurrencia de un segundo evento. )in embargo hay muchos casos donde los eventos están totalmente sin conexión, y la ocurrencia de uno de ellos no cambia la probabilidad de ocurrencia del otro. En este caso se dice que son EVENTOS INDEPENDIENTES .
28
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo
De(inición# $os eventos ; y F en
Ω son independientes si,
y solamente si se
cumple una de las siguientes condiciones% Bi'
9B; ∩ F' : 9B;' . 9BF'
Bii'
9B; Z F' : 9B;', si 9BF' G 6
Biii'
9BF Z ;' : 9BF', si 9B;' G 6
N0
2
Capítulo 1: Probabilidades
Ejercicios B Capítulo 61 &na
+.
línea
de
producción
clasifica sus productos en defectuosos *D* y no defectuoso (5*. De un almac!n donde guardan la producción diaria de !sta línea, se extraen artículos hasta observar tres defectuosos consecutivos o hasta que se hayan verificado cinco artículos. -onstruir el espacio muestral. )ean ;, F y - tres eventos cualesquiera en
.
el espacio muestral Ω. Exprese cada uno de los siguientes eventos en t!rminos de operaciones entre ;, F y -. a' 8curre exactamente uno de los eventos b' 8curre por lo menos uno de los tres eventos c' 8curren exactamente dos de los eventos. d' 8curren por lo menos dos eventos. e' 8curren todos los eventos. f'
5o ocurre ninguno de los eventos
g' 5o ocurre ;, o no ocurre F, o no ocurre -. h' 8curren a lo más dos de los eventos
$a tasa de desempleo para el siguiente
0.
período está pronosticado por un modelo económico. El pronóstico del modelo puede describirse con uno de los cinco eventos% ;+ % (el desempleo será del +6L o más* ; % (el desempleo será del =L o más, pero menos del +6L* ;0 % (el desempleo será del 3L o más, pero menos del =L* ;1 % (el desempleo será del 1L o más, pero menos del 3L* ;2 % (el desempleo será menos del 1L* 4ome Fi para representar el desempleo actual de acuerdo a las mismas cinco clasificaciones B por e#emplo F+ : (el desempleo actual es del +6L o más('. a' )on mutuamente excluyentes los eventos ; +, ; , ...,; 2.K b' )on colectivamente exhaustivosK c' PJu! indican los siguientes eventos en palabrasK A2
B3
;
A3
A4 ;
Ai
B j ;
Ai
B j (i > j)
&n inversionista planea escoger dos de las
1.
cinco oportunidades de inversión que le han recomendado. Describa el espacio muestral que represente las opciones posibles.
3!
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo 9ara cada uno de los siguientes eventos,
2.
indique si el tipo de probabilidad involucrada es un e#emplo de una probabilidad clásica, probabilidad por frecuencia relativa o una probabilidad sub#etiva. a' Jue el siguiente lanamiento de una moneda no cargada caiga en sello. b' Jue el )porting -ristal gane la copa $ibertadores de ;m!rica el aRo siguiente. c' Jue el microbús que lleva a los docentes los $unes a primera hora llegue más de +6 minutos tarde. d' Jue la suma de las caras de los dados sea < e' Jue ;lan [arcía gane las próximas elecciones presidenciales. f'
Jue haya huelga de profesores el próximo ciclo.
En los últimos aRos, las
3.
compaRías de tar#etas de cr!dito han hecho un esfuero agresivo para atraer nuevas cuentas de estudiantes universitarios. )uponga que una muestra de 66 estudiantes de su universidad apuntó la siguiente información en t!rminos de si el estudiante poseía una tar#eta de cr!ditos y@o una tar#eta de cr!dito de via#es y entretenimiento%
*ancaria "i No a'
entretenimiento "i 36 +2
No 36 32
De un e#emplo de un evento simple.
b' De un e#emplo de un evento con#unto. c' P-uál es el complemento de tener una tar#eta de cr!dito bancariaK
)ean ; y F dos eventos en
<.
Ω
tales que 9B;'
: 6, C 9B " ' : 6,1 y 9B " $ ' : 6,0 -alcular% a 9 B ( ∪ ' 9 B ( ∩ c
9B
" ∩ $
'
d 9B " ∩ $ ' e 9 B " ∪ $ ' =.
)e va a entrevistar a un grupo selecto de empleados de FacSus y Yhonstons con respecto a un nuevo plan de
31
Capítulo 1: Probabilidades pensiones. )e efectuarán entrevistas detalladas a cada uno de los empleados seleccionados en la muestra. $os empleados se clasificaron como siguen%
Clasi(icación E&ento N de empleados )upervisores ; +6 De mantenimiento F 26 De 9roducción +136 [erencia D 06 )ecretarial E 3= a' P-uál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea un empleado de mantenimientoK b' P-uál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea una secretariaK c' P-uál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea alguien de mantenimiento o una secretariaK d' P-uál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea un supervisor o un empleado de mantenimiento o un traba#ador de producción o un gerente o una secretariaK e' PEstos eventos son mutuamente excluyentesK
)i 9B;' : 6,1 C 9BF' : 6,2
>.
C 9B-' : 6,< C
9 B ; ∩ F ' : 6, C 9B; ∩ -' : 6, C 9BF ∩-' : 6,1 y 9 B ; ∩F ∩-' : 6,+. allar% a' 9 B ; ∪ F ∪ -' b' 9 B ; ∪ F ∪
c
' P-uáles de los siguientes casos representan
+6.
tres eventos que son colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes% a' 9B;' : 6,3 C 9BF' : 6, C 9B-' : 6,+ y 9B; ∩F' : 6 b' 9B;' : 6,+ C 9BF' : 6,1 C 9B-' : 6,2 C 9B; ∪ F' : 9B-' C 9B; ∪-' : 6,3 C 9BF ∩-':6
++.
&n dado tiene 0 caras negras numeradas con +, , 0 C y las otras caras son blancas numeradas con 1, 2, 3. )i se lana este dado, P-uál es la probabilidad de que apareca un número par o una cara blancaK
+.
&n estudio de 66 cadenas de tiendas de abarrotes reveló estos ingresos, despu!s del pago de impuestos%
Inreso despus de impuestos N de empresas Oenos de ^+ millón +6 ^+ millón a ^6 millones 3+ ^6 millones a más 0<
32
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo a'
P-uál es la probabilidad de que una cadena especial tenga menos de ^+ millón de dólares en ingresos despu!s de pagar impuestosK
b'
P-uál es la probabilidad de que una cadena de tiendas de abarrotes tenga un ingreso entre ^+ millón y ^6 millones, o un ingreso de ^6 millones o másK 9or cada +6666 autos
+0.
asegurados, se roban =66 al aRo, se descomponen 26 y +06 de los autos robados resultan averiados. Pcuál es la probabilidad que un auto nuevo asegurado se pierda en el primer aRoK Pcuál es la probabilidad que lo roben o lo averíenK &tiliando los datos del problema 3, si un
+1.
estudiante es seleccionado aleatoriamente. Pcuál es la probabilidad que % a'
tenga una tar#eta de cr!dito bancariaK
b'
5o tenga una tar#eta de cr!dito bancariaK
c'
4enga una tar#eta de cr!dito bancaria y no tenga una tar#eta de cr!dito de via#es y entretenimientoK
d'
5o tenga ninguna de las dos tar#etasK
e'
5o tenga una tar#eta de cr!dito bancaria o tenga una tar#eta de cr!dito de via#es y entretenimientoK
f'
)uponga que el estudiante tiene una tar#eta de cr!dito bancaria. Pcuál es la probabilidad tenga una tar#eta de cr!dito de via#es y entretenimientoK El director de una gran agencia de empleo
+2.
desea estudiar las diversas características de sus solicitantes de traba#o. )e ha seleccionado una muestra de 66 solicitantes para su análisis. )etenta solicitantes habían tenido sus traba#os actuales durante al menos cinco aRosC =6 de los solicitantes son graduados universitariosC 2 de los graduados universitarios duraron en sus traba#os al menos 2 aRos. a' -uál es la probabilidad que un solicitante escogido aleatoriamente% a.+' )ea un graduado universitarioK a.' )ea un graduado universitario y haya tenido su traba#o actual menos de 2 aRosK b' Dado que un empleado es un graduado universitario Pcuál es la probabilidad que haya durado en su traba#o menos de 2 aRosK. c' Determine si ser graduado universitario y haber durado en el traba#o al menos 2 aRos son estadísticamente independientes Bsugerencia% estableca una tabla de x '
+3.
El gerente de mercadeo de )874-8O9 está tratando de estimar su proyección de venta para el próximo aRo.
33
Capítulo 1: Probabilidades El ha limitado sus estimados a 6666 , 2666 , 06666, 02666 ó 16666 computadoras. Oás adelante estableció que estaba completamente indeciso entre la venta de 06666 y 02666 y que no podía decidir cuál era más probable. )in embargo, cree que unas ventas de 02666 son dos veces más probables que 16666 y que unas ventas de 06666 son 1 veces más probables que 6666. 7inalmente decidió que unas ventas de 2666 son sólo un 26L más probables que las de 02666. a'
P-uál es la probabilidad de vender 06666 ó 02666 computadorasK
b'
P-uál es la probabilidad de vender más de 16666, ó menos de 66666 computadorasK Durante un período específico, el =6L de las
+<.
acciones ordinarias de una empresa que incluye sólo +6 compaRías ha aumentado en valor comercial. )i un inversionista escoge aleatoriamente tres de esas acciones. Determine la probabilidad que% a'
)ólo una de las tres acciones aumente sus cotiación.
b'
)ólo dos acciones aumenten su cotiación.
c'
9or lo menos dos acciones aumenten su cotiación. &n banco tiene 26 cuentas de cr!dito, = de
+=.
las cuales están atrasadas en sus pagos. )i se selecciona al aar 2 cuentas de las 26. P-uál es la probabilidad de que por lo menos una cuenta de las cuentas escogidas corresponden a un cliente atrasado en sus pagosK
una
+>.
compaRía
comercial
tiene
+06
sucursales localiadas en las tres regiones del país y se dedican a la venta de diversos artículos tal como aparece en el cuadro%
eiones Carros repuestos Art. Elctricos
$a sucursal seleccionada no est! localiada en la selva o venda repuestos.
b'
5o venda carros o artefactos el!ctricos y est! localiada en la -osta o la )elva. En el -entro 9reuniversitario (7rancisco
6.
;guinaga -astro*, el <6L de los alumnos son de -iencias y el 06L de $etrasC de los alumnos de -iencias el 36L son varones y de los de $etras el 16L son varones. )i se elige aleatoriamente un alumno, calcular la probabilidad de que%
34
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo a' sea un alumno varón b' sea un alumno varón, si es de -iencias c' sea un alumno de -iencias, si es varón d' sea un alumno de -iencias y varón El Departamento de cr!dito de la -a#a ?ural
+.
(-ru del 9erdón* sabe por experiencia que la probabilidad de que un acreedor de#e de pagar un pr!stamo es de 6,61. 4ambi!n se encontró que dado un incumplimiento de pago de pr!stamo hay una probabilidad de 6,16 de que se pidiera el pr!stamo para salir de vacaciones. ;demás, $a ca#a rural sabe que la probabilidad de incumplimiento es la misma para empleados estatales que para el resto de la población. a'
Pcuál es la probabilidad de que un prestatario pida prestado para financiar sus vacaciones y luego no cumplaK
b'
)i la probabilidad de que se haga un pr!stamo a un empleado es de 6,6 P-uál es la probabilidad que un prestatario sea empleado estatal y no cumpla con el pagoK
4odos los miembros de un club son
.
economistas o abogados, 16L de los miembros son abogados mientras que el 06L de las mu#eres son economistas. El 26L de los economistas y el 06L de los abogados ganan más de ^ 36666 por aRo. )in embargo solamente el 6L de las mu#eres economistas y el +6L de las mu#eres abogados ganan más de 36666 por aRo. a' )i se escoge aleatoriamente un miembro del club. Pcuál es la probabilidad que gane más de ^36666 por aRoK b' )i se escoge aleatoriamente una mu#er. P-uál es la probabilidad que ella gane más de ^36666 por aRoK De todos los alumnos (cachimbos* de la
0.
&59?[ se sabe que el 16L provienen de centros secundarios privados y el 36L de centros estatales. $a oficina central de asuntos acad!micos seRala que al final del ciclo salieron invictos el 16L de los alumnos que vinieron de centros privados y sólo el 06L de los que vinieron de centros estatales. )e elige un alumno (cachimbo* al aar y se sabe que salió invicto. P-uál es la probabilidad que el alumno hubiera asistido a un centro estatalK.
1.
&na compaRía de desarrollo urbano está considerando la posibilidad de construir un centro comercial en un sector de -hiclayo. &n elemento vital en esta consideración es un proyecto de una autopista que une este sector con el centro de la ciudad. )i el -onse#o 9rovincial aprueba esta autopista, hay una probabilidad de 6,>6 de que la
35
Capítulo 1: Probabilidades compaRía construya el -entro -omercial en tanto que si la autopista no es aprobada, la posibilidad es de sólo 6,6. basándose en la información disponible, el presidente de la compaRía estima que hay una probabilidad de 6,36 que la autopista sea aprobada. a'
P-uál es la probabilidad que la compaRía construya el centro comercialK
b'
Dado que el centro comercial fue construido. P-uál es la probabilidad de que la autopista haya sido aprobadaK &n
2.
aparato
especial
para medir el contenido alcohólico en la sangre de una persona arro#ó el siguiente resultado% de 266 voluntarios, 16 estaban borrachos Bel nivel de alcohol en la sangre era de 6,66+2 o más'. $os mismos 266 voluntarios se sometieron a una prueba sanguínea inmediatamente despu!s, encontrándose =6 personas con un nivel de 6,66+2 o más. Despu!s se determinó que +=6 personas resultaron estar borrachos en ambas pruebas. PJu! porcenta#e de personas resultaron estar ebrios sin que lo indicara el aparatoK. )upóngase que una persona realmente estuviera borracha y que pasara la prueba en el aparato. )egún la información dada anteriormente. P-uál es la probabilidad que la prueba resultara positivaK El gerente de comercialiación de una
3.
compaRía fabricante de #uguetes está planeando introducir un nuevo #uguete en el mercado. En el pasado, 16L de los #uguetes introducidos por la compaRía han tenido !xito y 36L no lo han tenido. ;ntes de que se comercialice el #uguete, se lleva a cabo un estudio de mercado y se compila un informe, ya sea favorable o desfavorable. ;nteriormente, =6L de los #uguetes exitosos recibieron informes favorables y 06L de los #uguetes no exitosos tambi!n recibieron informes favorables. a' )uponga que el estudio de mercado da un informe favorable sobre un nuevo #uguete. P-uál es la probabilidad de que el nuevo #uguete tenga !xitoK b' PJu! proporción de los #uguetes nuevos reciben informes favorables de estudios de mercadoK . En una empresa dos secretarias% ;ngela y
<.
Fetty, se van a distribuir en tres oficinas numeradas del + al 0. )i las dos secretarias pueden estar en las dos oficinas, defina un espacio muestral adecuado. En -hiclayo hay tres supermercados% El
=.
-entro, )upermercados _art y El )uper. )eis amas de casa que viven en esta ciudad seleccionan al aar y en forma independiente un supermercado para hacer sus compras sin salir de la ciudad. a' Dar un espacio muestral adecuado para este experimento b' Describir los siguientes eventos%
36
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo ;: (4odas las amas de casa escogen uno de los dos primeros supermercados* F :*Dos escogen el supermercado _amt, dos El -entro y dos escogen El )uper* - : Dos escogen El -entro, y las otras diferentes supermercados. De la siguiente igualdad, hallar el evento `
>.
B ` & ; 'U & B ` & ;U ' U : F &na instalación consiste en dos calderos y
06.
un motor. )ea el vento ;% (el motor está en buenas condiciones*C sea F S %*el S"!simo cladero está en buenas condiciones* BS :+,' Cy sea - %*la instalación puede funcionar, si el motor y al menos uno de los calderos est!n en buenas condiciones*. Exprese el evento - y -U en t!rminos de ; y FS &n supervisor de personal visita = oficinas
0+.
diferentes durante el día. ; fin de impedir que los empleados sepan cuando los inspeccionará, varía el orden de las visitas. PDe cuántas maneras puede hacerloK PDe cuántas formas se pueden ordenar ++
0.
alumnos en una fila, de tal forma que tres de ellos en particular, no queden #untosK &n grupo de 06 alumnos van a via#ar a un
00.
congreso en el ómnibus de la &59?[, el cual posee 12 asientos B+6 filas de 1 asientos cada una con un pasillo en el medio, y al final 2 asientos #untos'. PDe cuantas formas se pueden ubicar todos los alumnos% a' en los 12 asientos del ómnibusK b' )i deciden no ocupar los últimos 2 asientosK c' )i via#an cinco amigos que deciden via#ar #untos en los últimos asientosK d' )i ocupan los 6 asientos que poseen ventanillaK e' )i +6 de los pasa#eros están enfermos y deben via#ar en los asientos del pasilloK 9atricia tiene += amigos. PDe cuántas
01.
maneras puede invitarlos a una cena a 3 de ellos% a' )i entre los amigos hay dos matrimonios y cada pare#a asisten #untos a cualquier reuniónK b' )i entre los amigos hay que no pueden estar en la misma reunión, porque están enfadadosK &n dado está cargado de tal forma que los
02.
números pares tienen la misma probabilidad de salir, los números impares tienen la misma probabilidad de salir, y cada número par tiene probabilidad doble de salir que la de un número impar. Determinar la probabilidad que% a' )alga un número par. b' )alga un número mayor que 1
37
Capítulo 1: Probabilidades de una bara#a de 2 cartas se extraen
03.
aleatoriamente 2 cartas. Pcuál es la probabilidad de que 0 sean del mismo palo y los otros dos de palos diferentesK De una urna que contiene + bolas, de las
0<.
cuales = son blancas y 1 negras, se extrae una muestra de tamaRo 1 con reemplao Bsin reemplao' P-uál es la probabilidad de que la muestra contenga exactamente tres bolas blancasK )upóngase que una persona está ubicada
0=.
en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en el plano. $ana una moneda. En cada lanamiento que obtiene cara avana una unidad hacia arribaC si obtiene sellos avana una unidad hacia la derecha. Determine &D $; probabilidad de que al cabo de 1 lanamientos se encuentre en el punto B,'K En un estudio de mercado para lanar
0>.
nuevos productos, se determina que la probabilidad de que una persona consuma el producto ; es 6,26, que consuma el producto F es 6,0<, que consuma el producto - es 6,06, que consuma ; y F es 6,+C que consuma solamente ; y - es 6,6=, que consuma solamente F y - es 6,62 y que consuma solamente - es 6,+2. -alcular la probabilidad que una persona escogida al aar, consuma% a' ; ó F, pero no b' )olamente ; )e extrae una carta de una bara#a de 2
16.
cartas. )e gana si el resultado es par o divisible por 0. P-uál es la probabilidad de ganarK En una urna existen 0 bolas ro#asC 3 blancasC
1+.
1 verdes y negras. Determine ud. $a probabilidad que al elegir 0 bolas al aar% a' sean del mismo color b' resulten de colores diferentes.
38
Estadística Social II Wilder Alvarado Castillo espuestas a los Ejercicios +'
Ω :
DDD, DD5DD, DD5D5, DD55D, DD555, D5DDD, D5DD5,
D5D5D, D5D55, D55DD, D555D, D5555, 5DDD, 5DD5D, 5DD55, 5D5DD, 5D5D5, 5D55D, 5D555, 55DDD, 55D55, 555DD, 555D5, 5555D, 55555 / nB Ω' : 2 '
a' B; ∩ FU ∩ -U ' & B;U ∩ F ∩ -U ' & B;U ∩ FU ∩ - ' b' B; ∩ FU ∩ -U ' &B;U ∩ F ∩ -U ' &B;U ∩ FU ∩ - ' &B; ∩ F ∩ -U ' &B; ∩ FU ∩ - ' & B;U ∩ F ∩ - ' & B; ∩ F ∩ - ' c'
B;U ∩ F ∩ - ' & B; ∩ FU ∩ - ' & B; ∩ F ∩ -U '
d'
B; ∩ F ∩ -U ' & B; ∩ FU ∩ - ' & B;U ∩ F ∩ - ' & B; ∩ F ∩ - '
e'
B; & F & - '
f'
B;U ∩ FU ∩ -U '
g'
B;U ∩ F ∩ - ' & B; ∩ FU ∩ - ' & B; ∩ F ∩ -U '
h'
B;U ∩ FU ∩ -U ' & B; ∩ FU ∩ -U ' & B;U ∩ F ∩ -U ' & B;U ∩ FU ∩ - ' & B; ∩ F ∩
-U ' & B; ∩ FU ∩ - ' & B;U ∩ F ∩ - ' F+ % menos del +6L
3)
F % menos del =L y de +6L a más
a' )on mutuamente excluyentes porque ninguno de los dos pares de eventos Ai y Aj , contienen la misma tasa de desempleo Bpredicha' b' )on colectivamente exhaustivos porque todas las predicciones posibles están comprendidas en esos cinco eventos. c' ; ∩ F0 % El desempleo predicho fue de =L al +6L mientras el desempleo real fue del 3L al =L ;0 ∩ ;1 %El desempleo fue predicho como 1L a menos de =L. ;i ∩ F # % $a predicción es correcta. ;i ∩ F # Bi G#'%El desempleo real fue más alto que lo predicho. )ean las oportunidades de inversión% 1, 2, 3, 4, 5 -
4)
El espacio muestral estará formado por - 2 : +6 elementos Ω :
1 2 . 1 3 . 1 4 . 1 3 . 1 5 . 2 3 . 2 4 . 2 5 . 3 4 . 3 5 . 4 5 a' clásica
5)
b' sub#etiva
c' frecuencia relativa
d' clásica
e'
sub#etiva f' sub#etiva 6)
; : (que un estudiante tenga una tar#eta de cr!dito bancaria* F : ( que un estudiante tenga una tar#eta de cr!dito o una de cr!dito de via#es y entretenimiento* ;U : (que un estudiante no tenga una tar#eta de cr!dito bancaria*
7)
a' 6.62 b' 6,601
c' 6,62>
d' +
8)
a' 6,<
b' 6,+
c' 6,>
d' 6,+
&)
a' 6,>
b' 6,=
e' si e' 6,>
