UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA INVESTIGACION DE OPERACIONES
INTRODUCCIÓN En este trabajo se exponen la teoría y los métodos de la Programación Lineal (PL), que comprende los problemas de optimización donde se tiene una unción objeti!o lineal y restricciones lineales" Esta es la clase de problemas m#s importante y m#s usada, porque se puede resol!er resol!er problemas muy grandes grandes en poco tiempo de c#lculo y con bajo consumo de recursos computacionales, y también porque esta teoría inspira el desarrollo de otras #reas" $n modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una unción line lineal al,, suje sujeta ta a un conj conjun unto to de rest restri ricc ccio ione nes s line lineal ales es"" $n mode modelo lo de programación lineal est# compuesto por un conjunto de !ariables de decisión, una unción objeti!o y un conjunto de restricciones En las cuales le presentaremos presentaremos mediante un problema el Método Gráfico en la que que es un proc proced edim imie ient nto o de solu soluci ción ón de prob proble lema mas s de programación lineal muy lineal muy limitado en cuanto al n%mero de !ariables, pero muy rico en materia de interpretación de resultados e incluso an#lisis de sensibilidad" Este consiste en representar cada una de las restricciones y encontrar en la medida de lo posible el polígono actible, com%nmente llamado el conjunto solución o región actible, en el cual por razones trigonométricas en uno de sus !értices se encuentra la mejor respuesta"
Método Simpl Simplex ex en la cual es una 'erramienta & utilizaremos también el Método mate matem# m#ti tica ca que que resu resuel el!e !e prob proble lema mas s de plan planea eaci ción ón y prog progra rama maci ción ón de operaciones es decir, resuel!e la pregunta sobre cuanto producir de acuerdo a la capa capaci cida dad d oper operat ati! i!a a y estu estudi dios os de merc mercad ado o util utiliz iza a el mode modelo lo de la prog progra rama maci ción ón line lineal al,, a tra! tra!és és de la solu soluci ción ón de una una matr matriz iz"" Este Este méto método do analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resol!er modelos complejos"
1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA INVESTIGACION DE OPERACIONES
JUSTIFICACIÓN. El presente trabajo pretende plantear una solución desde la perspecti!a de la programación lineal a tra!és del método gr#ico y el método simple, esto nos garantizar# cual es la solución m#s óptima" uestra idea !a orientada para maximizar las ganancias" La empresa desea saber cu#ntas 'ect#reas debe culti!ar de pl#tano y cuantas 'ect#reas debe culti!ar de mango, donde la región se !e muy necesitada de nue!as ideas, y de personal capacitado en todas las #rea relacionadas con el mejoramiento de los procesos producti!os, en *uerecotillo podemos obser!ar gran potencial, no solo en la parte agrícola, sino en la parte industrial y turística" El pl#tano y el mango son exportados y generaría grandes utilidades para la empresa"
2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA INVESTIGACION DE OPERACIONES
OJ!TI"OS. OJ!TI"OS G!N!RA#!S$ +plicar el método gr#ico y simplex de in!estigación operati!a de la empresa +grícola" +prender a aplicar la programación lineal en la !ida practica y mejorar la producti!idad en la empresa" Estudiar, diagnosticar y realizar propuestas de mejoras en la mediante la técnica de la programación lineal, ayud#ndole a resol!er problemas en los puntos críticos de la producción como a planiicar, minimizar y optimizar de mejor orma, tomando decisiones con mayor seguridad y lle!ar una !isión general de sus sistemas de producción"
OJ!TI"OS !S%!C&FICOS$ ontribuir al crecimiento de la empresa y al mejoramiento de la calidad de los productos" -aximizar las ganancias de la empresa de acuerdo a la cantidad y calidad de los productos" +plicar e implementar un sistema de programación lineal que permita la reducción importante en el costo de producción, manejo de recursos, de personal y maquinaria, así como en los tiempos debido a la mala planiicación de los procesos de producción"
%#ANT!AMI!NTO D!# %RO#!MA
3
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA INVESTIGACION DE OPERACIONES
$na empresa agrícola de *uerecotillo (.ullana) 'a adquirido recientemente un terreno de //0 'ect#reas" 1ebido a la calidad del sol y el excelente clima de la región de Piura, se puede !ender toda la producción de pl#tanos y mangos" .e desea conocer cu#nto plantar de cada !ariedad en las //0 'ect#reas, dado los costos, beneicios netos y requerimientos de mano de obra seg%n los datos que se muestran a continuación2 VARIEDAD
COSTOS
BENEFICIO
DIAS
NETO
HOMBRE/HECT
PLATANOS
100
50
MANGOS
200
120
10 30
.uponga que se posee un presupuesto de $.3/0"000 y una disponibilidad de /"400 días 'ombre durante el 'orizonte de planiicación" 5esol!er mediante el método gr#ico y luego por el método simplex de Programación Lineal para este problema" 1etalle claramente el dominio de soluciones actibles y el procedimiento utilizado para encontrar la solución óptima y !alor óptimo"
"ARIA#!S D! D!CISIÓN$ 6/2 7ect#reas destinadas al culti!o de pl#tanos 642 7ect#reas destinadas al culti!o de mangos
'. FUNCIÓN OJ!TI"O$ -aximizar z 8 9:0x/ ; /40x4<
(. R!STRICCION!S$ =" ==" ===" =@"
x/ ; x4 > //0 /00x/;400x4 > /0000 /0x/ ;?0x4 > /400 x/, x4 A 0
1onde las restricciones est#n asociadas a la disponibilidad m#xima de 'ect#reas para la plantación, presupuesto disponible, 'oras 'ombre en el período de planiicación y no negati!idad, respecti!amente"
). M!TODO GRAFICO D! SO#UCIÓN$
="
*' + ''+
x/;x4 8 //0
==="
*( ''+ +
/0x/;?0x4 8/400
*' + '(+ 4
*( ,+ +
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA INVESTIGACION DE OPERACIONES
=="
/00x/;400x4 8 /0 000
*' + '++
*( -+ + @alor a BCD C 8 9:0x/ ; /40x4<
6/
64
0
?:
H
0
6/ 0 H
:0x/ ; /40x4 8 400
:0x/ ; /40x48:000
64 ?: 0
6/
64
0
/"GI
/00
0
El #rea sombreada corresponde al dominio de soluciones actibles, donde la solución b#sica actible óptima se alcanza en el punto "
%UNTO C (==) /00x/ ; 400x4 8 /0000 (===) /0x/ ;?0x4 8/400 (F/0)
/00x/ ; 000 8 /0000
F/00x/ F?00x4 8 F/4000 /00x/ ; 400x4 8 /0000
/00x/ 8 G000 6/ 8 G0
F/00x4 8 F4000 64 840
C 8 9:0x/ ; /40x4< C 8 :0(G0) ;/40(40) CM!TODO 8 :00 SIM%#!*
'. Form !/tá0dr$ Mx$ 1 2 3-+x' 4'(+x(5 I.
/00x/ ; 400x4 8 /0000
*' 4 x( 4 /' 2 ''+ 5
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA INVESTIGACION DE OPERACIONES
II. '++x' 4 (++x( 4 /( 2 '+ +++ III. '+x' 4 )+x( 4 /) 2 '(++ *'6 x(6 /'6 /(6 /) 7 + Mx$ 1 2 -+x' 4'(+x( 4 +/' 4 +/( 4+/) *' 4 x( 4 /' 4 +/( 4 +/) 2 ''+ '++x' 4 (++x( 4 +/'4 /( 4 +/) 2 '+ +++ '+x' 4 )+x( 4 +/' 4 +/( 4 /) 2 '(++ *'6 x(6 /'6 /(6 /) 7 + *'2 + x( 2 + /' 2 ''+ /(2 '+ +++ /)2 '(++ 1 8-+x' 9 '(++ x( 9 +/' 8+/( 9 +/) 2 + : *'
*(
F ASICAS ' 8-+ 8'(+ + 1 F S' + ' ' ' F S( + '++ (++ ( F S) + '+ )+ )
S' S( S /ol;ci<0 di=i/i ) <0 + + + + '
+
+
''+
''+
+
'
+
'+ +++
-+
+
+
'
'(++
,+
"ri>le de e0trd 2? x( "ri>le de /lid 2? /) !leme0to pi=ote 2? )+ Fil pi=ote 2? F) : *' *( F+ ASICAS ' 8'+ + 1 F' S' + () + F( S( + '++) + F) *( + ') ' 6
S' +
S( +
' + +
+ ' +
S) ,
/ol;c di=i/i<0 ,@++
8')+ B+ 8(++) (+++ ')+ ,+
'++ '(+
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA INVESTIGACION DE OPERACIONES
F+ 2? f + 4'(++ f )E F+ 4 '(+ F)E
' + '
8-+ ,+ 8'+
8'(+ '(+ +
F' + ' 8' f )E + 8') + () F' 2? F' 8' F )E
+ + +
' 8' +
F' + '++ (++ 8' f )E + 8(++) 8(++ + '++) + F( 2? f( 9 (++ f )E
+ + +
+ , ,
+ ,@++ ,@++
' + '
+ + +
+ 8')+ 8')+
+ + +
' + '
+ '+ +++ 8(++) 8@+++ 8(++) B+
"ri>le de e0trd 2? x' "ri>le de /lid 2? /( !leme0to pi=ote 2? + Fil pi=ote 2? F(
J0 ;/0(4)
/ 0 /
F/0 /0 0
0 0 0
0 0 0
7
0 ?K/0 ?K/0
F40 F/G
H00 G00 :00
''+ 8,+ B+
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA INVESTIGACION DE OPERACIONES
F+ F' F( F) J/ F4K? (4)
: *' *( ASICAS ' + + 1 S' + + + *' + ' + *( + + '
S' + ' + +
S( )'
S) 8'
/ol;ci<0 -,++
8'-+ 8,')+ )'++ 8( 8 8')+ ''++
0 0
4K? F4K?
0 0
/ 0
0 F/K:0
F/K?0 K?
I0 F0
0
0
0
/
F/K:0
K?0
?0
/K? F/K? 0
/ 0 /
0 0 0
0 /K?0 0 F/K/00 F4K? F40 F/K/00 F/K?0 40
J4 0 F/K? (4) 0 0
R!S%U!STA$ %mero de 'ect#reas de pl#tano 6/ 8 G0 %mero de 'ect#reas de -ango 64 840 C 8 9:0x/ ; /40x4< C 8 :0(G0) ;/40(40) C 8 :00 dólares
8
)+ + (+
