Ejercicio 9 Fase 4 de Calculo Integral

9. A una altura de 16m se lanza verticalmente hacia abajo una pelota de béisbol con una velocidad inicial de 2 m/s. Si la pelota golpea una superficie que se encuentra a 4m de alto. eterminar la velocidad de impacto de la pelota. 2

g=10 m / s .

Sugerencia!

"a quelalabola velocidad est# en para funci$n del tiempo. hallar tiempo que tarda en impactar poder halla r laebemos velocidad finaleldel impacto mediante la integraci$n aplicada. As% que primero resolveremos el ejercicio a través de las f$rmulas de &.'.A. para hallar el tiempo ( luego aplicaremos este dato a la integraci$n del ejercicio. atos dados por el ejercicio! Vi= 2 m / s Vf =? m/ s

g=10 m / s 2 t =? s h =16 m−4 m=12 m

)ormulas! Vf =Vi + g∗t

*ero como no sabemos el tiempo que tarda en llegar a impactar+ entonces usamos la siguiente formula V f 2= Vi 2+ 2∗g∗h 2

2

V f = (2 m / s ) + 2∗10 m / s∗12 m 2

2

2

V f = 244 m / s

√ V f =√ 244 m / s 2

Vf =15.62 m / s

2

2

Nota: aqu% (a tenemos resuelta la velocidad final pero con las

f$rmulas de f%sica. Aun as%+ este dato lo usaremos para comprobar si al aplicar la integraci$n a este ejercicio+ dichos resultados concuerdan.

Ahora hallemos el tiempo! Vf =Vi + g∗t

espejamos ( queda as%! Vf − Vi =t g t=

t=

15.62 m / s −2 m / s 2

10 m / s 13.62 m / s 10 m / s

2

t =1.362 s

Bien. Ahora ya tenemos los datos necesarios para aplicar la integración a la resolución de este mismo ejercicio. atos dados por el ejercicio! Vi= 2 m / s Vf =? m/ s g=10 m / s

2

t =1.362 s x =16 m− 4 m=12 m

Nota: recordemos que+ aunque la pelota fue lanzada

desde una altura de 16m+ esta impact$ con una superficie que se encontraba a una altura de 4m. ,s por ello+ que le restamos estos 4m a la altura de lanzamiento+ para obtener la distancia real a la cual la pelota impact$. ,n c#lculo integral vemos que la aceleraci$n es la derivada de la velocidad+ ( la x . ,ntonces podemos e-presar la velocidad es la derivada de la posici$n aceleraci$n de la siguiente manera! dV =a dt dV 2 =10 m / s dt

2

dV = 10 m/ s ∗dt

Ahora integramos!

∫ dV =∫ 10 m / s ∗dt 2

Sacamos la constante

∫ dV =10 m / s ∫ dt 2

uego de aplicar la regla de la integraci$n que dice que que la inte gral

∫ dV =V

( que la int egral

∫ dt =t

∫ dx = x

sabemos

. ,ntonces la funci$n

queda as%! 2

V =10 m / s ∗t + C

Ahora debemos determinar la constante C, con base en las condiciones iniciales de la pelota. eniendo en cuenta esto+ sabremos que la velocidad inicial

Vi

que+ esa es la velocidad inicial de la pelota en el momento cero

es 2ms. "a ti seg0n lo

e-pone el problema. *or tal motivo la constanteC valdr#! 2

Vi= 10 m / s ∗ti + C 2

2 m / s =10 m / s

∗0 s + C

2 m / s =0 + C

2 m / s =C

Nota: aqu%+ debemos de notar que la constante C equivale a la velocidad inicial Vi + por lo que finalmente la funci$n que obtendr%amos seria idéntica a la f$rmula de f%sica del &.'.A. que se utiliza para hallar la velocidad final. As!, "inalmente la "unción #uedar!a de esta "orma:

2

V =10 m / s ∗t + 2 m / s

Ahora+ (a que hallamos la funci$n simplemente reemplazamos valores ( desarrollamos para hallar la velocidad final Vf de la pelota en el tiempo tf del impacto+ que como (a desvelamos previamente+ fue a los$.%&2 segundos Vf =( 10 m / s 2∗tf ) + 2 m / s Vf =( 10 m / s ∗1.362 s ) + 2 m / s 2

Vf =13.62 m / s + 2 m / s Vf =15.62 m / s

'espuesta: la velocidad final de la pelota al momento del impacto  $(.&2ms