1.1
Estudiante 1
Primera Parte: 1
1. f ( x) x
1 2 x
Desarrollo Tomamos la integral
∫ √ 2√ 1 ⅆ ∫ √ ⅆ ⅆ 12 ∫ √ 1 ⅆ / 2 ∫ √ ⅆ= ⅆ= 3 23⁄ 12 ∫ √ 1 ⅆ ∫ √ 1 ⅆ=2√ 23⁄ √ 13 √ 23 2 3
Realizamos la integral de cada término de la ecuación
Integramos cada término
Quedándonos que:
Ahora la integral de:
Unimos las partes de la integral
Que es equivalente a:
Segunda Parte: 5
4 2 x 2 d x x
5.
2
∫ 2 42 ⅆ= 14 4 ∫ 2 42 ⅆ 12 ∫ 2 4 ⅆ 12 ∫ 22 2 ⅆ 12 ∫2ⅆ 12 ∫ⅆ∫1ⅆ x la integral de x es 2 = 4 ∫1ⅆ La integr al de 1 es x = 4 ∫ +− ⅆ= 4
Procedemos a analizar la resolución. Tomamos la integral
Sacamos factor común
Factorizamos del numerador.
Simplificando se tiene que:
Ahora
Se tiene que:
Finalmente
Tercera Parte: 9 2
9. Para una empresa manufacturera, la función que determina la oferta de su producto estrella en miles de litros, tiene un comportamiento exponencial descrito por , donde t está medido en días. Según lo anterior, determinar el volumen promedio de producción de este artículo en los primeros 10 días de operación de la empresa.
=.
La siguiente función la podemos representar como una integral definida
=. =10=0 1 , =0, 1 ⅆ=0, 1 ⅆ 1100 0,ⅆ1 =10 1 10 ̅ = 101 =22025,47
Los intervalos de integración son:
Planteamos la integral
Ahora reemplazando se tiene que:
1.2
Estudiante 2: Primera Parte: 2
Encontrar la antiderivada general G (x) de las siguientes funciones:
f ( x ) 2.
x 2 1 x 2
1 ⅆ 1 = 1 1ⅆ
3
Se toma el numerador y se rompe el paréntesis
1 1 1 11 − = 11 = 11 1ⅆ ± ⅆ = ⅆ ± ⅆ ∫ ∫ ∫ = 11 ⅆ1ⅆ = 11 ⅆ + ⅆ=arctan ∫ = 1ⅆ ⅆ= ∫ =1∗ = = Se simplifica
Se reemplaza el numerador
Se aplica la propiedad de las fracciones
Se reemplaza en la ecuación de la segunda línea
Se aplica la regla de la suma
Se aplica la regla de integración
Se aplica la integral de una constante:
Se simplifica
Se unen los dos resultados
4
Se agrega una constante a la solución
=
Segunda Parte: 7
∫ =.
El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota por el símbolo
Resolver aplicando las propiedades básicas, las siguientes integrales: 7.
3 dx x 2
2 x
Se aplica la integración por sustitución
=2 ⅆ=1ⅆ = ⅆⅆ 2 = ⅆⅆ ⅆⅆ 2 = ⅆⅆ = ⅆⅆ =1 = ⅆⅆ 2 = 2
∫ ∗ⅆ= ∫ ⅆ. =
Sustituir: u=x+2
Se aplica la regla de la suma/diferencia:
±´ = ±
Se toma el primer término
Se aplica regla de derivación
=1
Se toma el segundo término
Se aplica la derivada de una constante = 0
=0
Se reemplazan valores 5
=10 =1 = ⅆⅆ =1 ⅆ=1ⅆ ⅆ=1ⅆ23 = ∗1ⅆ = 23 ⅆ =2 =2 = 223 ⅆ Entonces
De la ecuación inicial
Se despeja x
Y se reemplaza
Se descompone el numerador y el paréntesis utilizando a=2; b=u; c=-2
22 2∗22 4 4 21 = 21 ⅆ
=
2
Se reemplaza en el numerador 2
+3
Se toma la inicial y se reemplaza
6
21 + = = 2 1 =2 1 1 =2 ⅆ ± ⅆ = ⅆ ± ⅆ ∫ ∫ ∫ =2ⅆ 1 ⅆ 2ⅆ = ⅆ= ∫ =21 ⅆ ⅆ=l n|| ∫ =l=2l n|| n || =2 =2 2ln | 2| = | | Se aplican las propiedades de las fracciones
Se cancelan las u
Se aplica la regla de la suma:
Se aplica la integral de una constante
Se aplica la regla de integración
Sustituir en la ecuación
Agregar una constante a la solución
Tercera Parte: 10
Aplicar el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para determinar F’ (x), si x
F ( x)
e
4
t
dt .
1
7
√ = ⅆ ⅆⅆ [Fx] = ⅆⅆ √ ⅆ
Inicial mente se obtiene la primera derivada, se escribe a ambos lados de la igualdad el operador que indica la derivación. En el lado derecho de la igualdad se aplica la primera parte del teorema fundamental del cálculo, así:
ⅆⅆ ⅆ.′ √ ⅆ ⅆ ′ ⅆⅆ [Fx] = ⅆⅆ √ ⅆ Fx =√ ∗√′ √ == √ ′= = 12 − = 21 = ∗ 21 = 2√ está representada por
está representada por
Se reemplaza el valor
y
Se obtiene el resultado de los componentes
Resultado de la primera derivada
Se hace la operación
8
1.3
Estudiante 3:
Primera Parte: 3 Encontrar la antiderivada general G (x) de las siguientes funciones: 3 f x ( ) (4 x )( x 5) 3.
Pasos
4 5ⅆ
Aplicando la integración por partes con la fórmula: Donde:
=4ⅆ √ ´= ⅆ 4 √ = ⅆⅆ 4 ⅆⅆ √ = 2√ 1 ´= 5 = 4 5 2 =4 √ 4 5 2√ 4 5ⅆ =√ 4 4 5 425√ ⅆ 4 5 ⅆ 2√
∫ = ∫ ´
9
= 12 . 4 √ 5 ⅆ 1= 2 . 14 5√ ⅆ = 12 14 5 √ ⅆ = 12 14 ⅆ5 √ ⅆ = 12 181 103 =√ 4 4 5 12 181 103 = 14 √ 5√ 20 361 53 = 14 √ 5√ 20 361 53 Simplificando
Adicionamos una constante a la solución
Segunda Parte: 6
El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f respecto a x, y se denota por el símbolo ∫f(x)dx=F(x)+C. Resolver aplicando las propiedades básicas, las siguientes integrales:
csc( x).[ sen ( x) cot ( x)] dx Pasos
10
csc cot ⅆ csc= = sen1 cotsenⅆ = sincot ⅆ =1 cot ⅆ =1dx cot ⅆ 1dx=x cot ⅆ= 1 = 1 =csc =csc Usando la siguiente identidad
tenemos que:
Aplicando la regla de la suma
Se simplifica
Se agrega la constante a la solución
Tercera Parte: 11
La integral definida se caracteriza por tener límites de integración superior e inferior, que se reemplazan una vez se haya desarrollado el proceso de integración, teniendo en cuenta el siguiente criterio: b
f ( x)dx F (b) F (a), a
generalmente
conocido
como
el
segundo
teorema
fundamental del cálculo. 11
Evaluar la siguiente integral:
/4
/ 4
[sec( x) tan( x)] 2 dx
Pasos:
t sec − an ⅆ sec tan ⅆ =2 − Calcular la integral indefinida
+C
Calcular los límites
l→im− 2 tan221 2 = 8√ 24 ( ) l→im 2 tan221 2 = 22√ 2 8 ( ) =22√ 2 8 8√ 24 =4 2 ≈2.42920 Simplificamos
1.4
Estudiante 4: Primera Parte: 4
F(x)=
+ − 12
Usar identidad trigonométrica
+ 1=
x+
x
x = +1-
∫ 1
x
reemplazo en 1
F(x) =
Integral de
∫ ∫ ∫ dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 ⅆ
x dx=
Usar identidad
+
dx
=
dx +
=
x dx +
x =
x-1
x dx
=
x dx +
=
x dx +
x-1) dx
= Tan x+c+ tanx + c – x + c = 2 Tan x – x+c
Primera Parte: 8
1ⅆ ∫ +− −− ∫ ++− ∫ −− = = =
dx
dx
Diferencia de cuadrados
-
Diferencia de cuadrados 1= x = 1-
= (a-b) (a+b)
x+
x
x
13
= =
= = =
∫ − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ tan .sec ⅆ dx
dx
dx
x
dx
x
dx
= tan x
.
sec x
dx
dx
Primera Parte: 12
=0 , 0≤≤40 20 = 52,20 , 40<≤60 >60 ⅆ ∫ ∫ 1 ⅆ ∫ ⅆ ∫ ⅆ ∫ ⅆ ≤≤40 2 40≤≤60 ≤ ≤140 Un objeto en el origen en el instante segundo,
Evaluar la integral =
a)
tiene velocidad, medida en metros por
, de acuerdo con las anteriores consideraciones.
+
+
0
b)
c) S -
60
14
2. Conclusiones
Con el desarrollo de este trabajo se logra adquirir nuevos conocimientos fundamentales para la aplicación en el desarrollo profesional, el cálculo integral busca por medio de las integrales indefinida, definidas y los teoremas entender el mundo y que sus razonamientos puedan ser explicados y entendidos por cualquier persona. La interacción grupal es un factor fundamental en el desarrollo del curso, puesto que en los trabajos a desarrollar a lo largo del curso, se emplea ampliamente esta metodología, por lo cual es muy importante que se realicen los aportes oportunamente, de esta forma se podrán entregar las actividades a tiempo sin estar con los afanes en los últimos días.
15
