Ejercicio 8 Distribución de calor ..- Se tiene una placa rectangular cuyas orilla se mantienen a cierta
temperatura. Nos interesa encontrar la temperatura en los puntos interiores. Considere el siguiente diagrama. Hay que encontrar aproximaciones para los puntos a o sea, la temperatura de los puntos intermedios. Suponga que la temperatura en un punto interior es el promedio de la temperatura de los cuatro puntos que lo rodean: arriba, a la derecha, abajo y a la izquierda.
a) Con esta suposición, establezca un sistema de ecuaciones, considerando primero el punto , después el punto a , etc. Reescriba el sistema de manera que todas las variables se encuentren de un lado de la ecuación. Por ejemplo, para se tiene: Que se puede reescribir como:
Encuentre la matriz de coeficientes y la matriz aumentada. Describa el patrón que observe en la forma de la matriz de coeficientes. Dicha matriz se llama matriz banda. ¿Puede ver de dónde viene el nombre? b) Resuelva el sistema usando el comando rref . Observe que se obtiene una solución única. Use la notación “:” para asignar la solución a la variable x.
c) Suponga que A es la matriz de coeficientes y b es el lado derecho del sistema anterior. Dé el comando y=A\b. (La diagonal aquí se llama diagonal invertida. No se la diagonal de división) compare y y x.
SOLUCIÓN a) Se considera la suposición descrita en el problema, estableciendo las siguientes ecuaciones:
Se pueden reescribir como:
Estableciendo el sistema de ecuaciones, se puede encontrar la matriz de coeficiente de la siguiente forma mediante los siguientes comandos de matlab: >> A=4*eye(9); >> A(1,[2 4])=-[1 1]; >> A(2,[1 3 5])=-[1 1 1]; >> A(3,[2 6])=-[1 1]; >> A(4,[1 5 7])=-[1 1 1]; >> A(5,[2 4 6 8])=-[1 1 1 1]; >> A(6,[3 5 9])=-[1 1 1]; >> A(7,[4 8])=-[1 1]; >> A(8,[5 7 9])=-[1 1 1]; >> A(9,[6 8])=-[1 1]
A = 4 -1 -1 4 0 -1 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 -1 4 0 0 -1 0 0 0
-1 0 0 4 -1 0 -1 0 0
0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0
0 0 -1 0 -1 4 0 0 -1
0 0 0 -1 0 0 4 -1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 -1 0 4 -1 -1 4
Para expresar como la matriz aumentada tendremos como b la matriz de los términos independientes del sistema de ecuaciones, y se usara el comando [A b] en matlab, mostrándonos la matriz aumentada de la siguiente manera: [A b] esta es la matriz aumentada para el sistema >> A=4*eye(9); >>A(1,[2 4])=-[1 1]; >>A(2,[1 3 5])=-[1 1 1]; >>A(3,[2 6])=-[1 1]; >>A(4,[1 5 7])=-[1 1 1]; >>A(5,[2 4 6 8])=-[1 1 1 1]; >>A(6,[3 5 9])=-[1 1 1]; >>A(7,[4 8])=-[1 1]; >>A(8,[5 7 9])=-[1 1 1]; >>A(9,[6 8])=-[1 1]; >> b=[150;100;150;50;0;50;50;0;50]; >> [A b]>> b=[150;100;150;50;0;50;50;0;50]; >> [A b] ans = 4 -1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 4 -1 0 -1 0 0 0 0 0 -1 4 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 4 -1 0 -1 0 0 0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0 0 0 -1 0 -1 4 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 4 -1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 4 -1 0 0 0 0 0 -1 0 -1 4
150 100 150 50 0 50 50 0 50
De la matriz de coeficientes se puede observar el siguiente patrón: los elementos no nulos se encuentran concentrados entorno a la diagonal principal, con lo que podemos afirmar que es una matriz banda, además se observa que los elementos alejados a la diagonal principal son nulos, es decir, son iguales a cero. b) Usaremos el comando rref para resolver el sistema, además debemos asignar la solución a la variable x; por lo que usaremos los siguiente comandos y nos matlab se encargara de mostrarnos el resultado buscado. >> x=rref([A b]); >> x(:,10)' ans = Columns 1 through 8 67.8571 71.4286 67.8571 50.0000 50.0000 50.0000 32.1429 28.5714
Column 9 32.1429 Siendo A la matriz de coeficientes y b la matriz de los términos independientes del sistema de ecuaciones nos piden: y=A\b. >> y=A\b y= 67.8571 71.4286 67.8571 50.0000 50.0000 50.0000 32.1429 28.5714 32.1429 Realizando algunos arreglos, para que se vea más visible y. >> y=A\b; >> y(:,1)' ans = Columns 1 through 8 67.8571 71.4286 67.8571 50.0000 50.0000 50.0000 32.1429 28.5714 Column 9 32.1429
