MATLAB Guia de utilização
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CONTEÚDO Prefáci Prefácio o ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ _____ _ 3 1. Conceitos Conceitos Básicos de Matrizes e Vetores ______________________ ________________________________ __________ 4
1.1. Operações Operações entre matrizes____________ matrizes________________________ _______________________ _____________________ __________ 1.2. Algumas Algumas propriedades propriedades fundamentais fundamentais das matrizes _______________________ _________________________ __ 1.3. Algumas Algumas propriedades propriedades fundamentais fundamentais de operações operações entre matrizes _____________ _____________ 1.4. Valores Valores característico característicoss e vetores vetores característicos característicos de matrizes quadradas_________ quadradas _________
5 6 9 9
2. Introdução Introdução ao Matlab____________ Matlab_______________________ _______________________ _______________________ ____________ _ 11
2.1. Utilizando Utilizando strings________________ strings____________________________ _______________________ ______________________ ___________ 12 3. Utilizando Utilizando funções funções matemáticas matemáticas elementares__ elementares______________ _______________________ ______________ ___ 13 4. Trabalhan Trabalhando do com vetores vetores e matrize matrizess ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __ 13
4.1. Construindo Construindo vetores__________________________ vetores_____________________________________ ______________________ ___________ 4.3. Construindo Construindo matrizes matrizes _______________________ ___________________________________ _______________________ _____________ 4.4. Manipula Manipulando ndo vetores vetores e matrizes matrizes ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __ 4.5. Comparand Comparandoo vetores vetores e matrizes___________ matrizes_______________________ _______________________ ________________ _____ 4.6. Realizando Realizando operações matriciais matriciais ______________________ _________________________________ ________________ _____ 4.7. Utilizando Utilizando matrizes matrizes especiai especiaiss ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ____ 4.8. Ordenando Ordenando matrizes________________ matrizes____________________________ _______________________ ____________________ _________ 4.9. Utilizando Utilizando matrizes matrizes multidimensionais multidimensionais ______________________ _________________________________ ___________ 4.10. Utilizando Utilizando listas___________ listas ______________________ _______________________ _______________________ ________________ _____ 4.11. Utilizando Utilizando estruturas estruturas ______________________ _________________________________ _______________________ ______________ 4.12. Utilizando Utilizando matrizes esparsas esparsas ______________________ _________________________________ __________________ _______
14 16 16 18 19 19 20 20 21 22 22
5. Analisa Analisando ndo dados dados ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __ 23 6. Trabalhando Trabalhando com polinômios polinômios ______________________ _________________________________ __________________ _______ 24 7. Confecc Confecciona ionando ndo gráfico gráficoss ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ____ 25
7.1. Gráfico Gráficoss bidimens bidimensiona ionais is ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ____ 25 7.2. Gráficos Gráficos tridimensionais tridimensionais ______________________ _________________________________ ______________________ ___________ 28 8. Trabalha Trabalhando ndo com tempo tempo ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ____ 30 9. Obtendo Obtendo modelos modelos empíricos______ empíricos__________________ _______________________ _______________________ _____________ _ 31
9.1. Regressão Regressão linear______________ linear_________________________ _______________________ _______________________ ______________ ___ 31
10. Iniciando Iniciando um programa programa ______________________ _________________________________ ______________________ ___________ 32 11. Utiliza Utilizando ndo comando comandoss de fluxo e operadore operadoress lógicos lógicos ________ ____________ ________ ________ _____ _ 33
11.1. Utilizando a função for ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ _______ ___ 33 11.2. Utilizando a função while________ ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ 34 11.3. Utilizando a função if-else-end ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ 35 12. Resolvendo Resolvendo um um sistema sistema de equações equações algébricas______________ algébricas_________________________ ___________ 13. Resolven Resolvendo do um sistema sistema de equaçõe equaçõess diferenci diferenciais ais ________ ____________ ________ ________ _______ ___ 14. Como Como saber mais mais sobre o MATLAB?_______________ MATLAB?__________________________ __________________ _______ 15. Exercíc Exercícios ios resolvid resolvidos os ________ ____________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ________ ______ __ Exercícios______________ Exercícios_________________________ _______________________ _______________________ ______________________ ___________
36 37 38 39 42
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Prefácio O objetivo deste guia é apresentar ao usuário iniciante do MATLAB noções básicas de utilização deste aplicativo. Inicialmente, é realizada uma rápida revisão dos conceitos de Álgebra Matricial. Em seguida, é feita uma breve descrição do software , onde são apresentadas as principais características e potencialidades do aplicativo. Posteriormente, separados em itens, são descritos alguns comandos importantes para a utilização do MATLAB. Noções de programação em MATLAB também são apresentadas neste guia, bem como os comandos empregados na resolução de sistemas de equações não lineares e de equações diferenciais ordinárias. Sugestões para consultas futuras e alguns exercícios de fixação são apresentados ao final do texto. MATLAB (MATrix LABoratory) é um “software” interativo de alta performance voltado para o cálculo numérico e científico.. O MATLAB integra análise numérica, cálculo com matrizes, processamento de sinais e construção de gráficos em ambiente fácil de usar onde problemas e soluções podem ser expressos como eles são escritos na matemática ou na forma de uma linguagem de programação. No MATLAB o elemento básico de informação é uma matriz que não requer dimensionamento, dispensando tarefas como declaração de variáveis, alocação de memória, utilização de ponteiros, permitindo a resolução de muitos problemas numéricos em apenas uma fração do tempo que se gastaria para escrever um programa semelhante em linguagem Fortran, Basic ou C. A potencialidade do software está muito além do que será mostrado neste guia. Trata-se de um ambiente de alto nível que possui ferramentas avançadas de análise e visualização de dados. Mais do que um aplicativo, o MATLAB também possui características de linguagem de programação. As funções matemáticas já existentes no MATLAB são otimizadas, programadas em linguagem MATLAB e estão agrupadas de acordo com a área de interesse em toolboxes . Assim, o usuário tem acesso aos arquivos das funções matemáticas o que possibilita a realização de alterações nas rotinas já existentes. Todavia, vale ressaltar que estas alterações são desaconselháveis e só devem ser realizadas como última alternativa. Aracaju, 10 de Fevereiro de 2005
Alexandre F. Santos Montserrat Fortuny
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1. Conceitos Básicos de Matrizes e Vetores Os cálculos/operações assim como conceitos envolvendo matrizes e vetores constituem a base dos métodos numéricos que tratam da solução de sistemas lineares e não lineares de equações algébricas ou diferenciais. A representação destes sistemas em termos matriciais/vetoriais é extremamente mais compacta e é corrente na literatura técnica. Como visa-se neste capítulo apresentar os conceitos básicos deste assunto especialmente relacionados com aplicações em Engenharia de Processos, os elementos de matrizes e vetores serão em princípio números ou variáveis reais a não ser quando explicitamente especificados como complexos. Uma matriz é um arranjo retangular de números em m linhas e n colunas, mxn, sendo representada como A (letras maiúsculas em negrito) pertencente a mxn, isto é: A ∈ mxn. O elemento da linha i e coluna j de A é representado por a ij (correspondente letra minúscula com o sub-índice ij ) ou ( A)ij . A matriz completa é geralmente escrita na a11 a12 a a 22 forma: A= 21 a m1 a m2
a1n a 2n
a mn
, ou em forma mais compacta por A= (aij ), com
i=1,...,m e j =1,...,n. Se duas matrizes A e B apresentam o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas são ditas do mesmo tipo . Se A= (aij ) é tal que aij = 0 para todo i e j então a matriz A é dita nula e é representada por 0. Se n=m a matriz A é dita quadrada. Se n=m e aij = a ji para i,j =1,...,n a matriz quadrada A é dita simétrica. 1 3 2 Exemplo: M= 3 5 0 2 0 4
note que a matriz simétrica M tem sua própria imagem refletida através da diagonal principal.
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág. 5 Se n=1 tem-se um vetor coluna ou simplesmente vetor designado por v (letra minúscula v1 v em negrito) e representado por: v= 2 ∈ m. v m
Se m=1 tem-se um vetor linha designado por vT (letra minúscula em negrito com o sobre-índice T de transposto) e representada por: vT = (v1 v2 v3 ... vn) ∈ 1xn. Se m=n=1 tem-se um escalar (real)
(letra minúscula grega), ou seja: ∈.
A matriz A ∈ mxn pode ser parcionada por: a) colunas na forma:
A = (a1 a 2
a1j a 2j a n ) onde aj = ∈ m para j=1,...,n são os n vetores colunas da a mj
matriz A; b) linhas na forma: a1T T a A= 2 onde a Ti = (a i1 a i2 T a m
a in ) ∈ 1xn, para i=1,...,m são os m vetores linhas
da matriz A.
1.1. Operações entre matrizes
As operações de adição ou subtração são definidas apenas para matrizes do mesmo tipo, assim se A e B são matrizes (m x n ) então a matriz C , também (m x n ), soma ou subtração de A com B, representada por C = A ± B, tem como termo geral : cij = aij ± bij para i = 1, ... ,m e j = 1, ... ,n . Se é um escalar qualquer, a matriz A é uma matriz cujo termo geral é aij. A operação de multiplicação de matrizes A⋅Bsó é definida se o número de colunas de A (primeira parcela do produto) for igual ao número de linhas de B (segunda parcela do produto). Assim, temos: C=A⋅B, onde A é (m,n ) , B é (n,p ) e C é (m,p ) que apresenta como termo geral:
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cik = a ij ⋅ b jk , para i=1, ..., m e k=1,...,p. j=1
É importante ressaltar que a lei de comutatividade não é satisfeita pelo produto entre matrizes, ou seja, em qualquer caso temos a seguinte regra geral: A⋅B B⋅A.ª A operação de transposição de uma matriz A (m,n ) consiste em trocar as linhas pelas colunas de A; esta nova matriz é chamada de matriz transposta de A, representada por AT, e é uma matriz ( n ,m ) cujo termo da linha j e coluna i é a a ijT = a ij , para j=1,...,n e i=1,...,m. Se a matriz A é simétrica, então: A = AT.
1.2. Algumas propriedades fundamentais das matrizes
As propriedades que serão descritas a seguir aplicam-se exclusivamente a matrizes quadradas ( n,n) e a vetores coluna ( n,1) e a vetores linha (1, n). Define-se como matriz unitária ou matriz identidade a matriz I cujo elemento geral é: 1 apenas se i = j , onde (I )ij = δij = 0 sempre que i j ≠
δij é chamado de delta de Kronecker , deste
modo a matriz identidade é uma matriz diagonal cujos termos da diagonal são todos 1 0 0 1 unitários, assim: I= 0 0
0 0
1
, entendendo-se como matriz diagonal uma matriz
quadrada em que apenas os elementos da diagonal (também chamada de diagonal principal ) são não nulos. Uma matriz diagonal é um caso particular de matrizes dita esparsas, que são matrizes que apresentam um grande número de elementos nulos, sendo os elementos não nulos mais a exceção do que a regra. d1 0 0 d 2 Geralmente, uma matriz diagonal D= 0 0
compacta: D= diag (d1 d 2
0 0
dn
, é representada na forma mais
dn ).
Note que toda matriz diagonal é simétrica. Uma propriedade muito importante da matriz identidade é: I⋅A = A⋅I = A, isto é, a matriz identidade pré-multiplicada ou pós-multiplicada por qualquer matriz quadrada de mesma dimensão não altera o valor de elemento algum desta matriz.
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As matrizes triangulares são matrizes que apresentam todos os elementos sob (ou sobre) a diagonal nulos, podendo assumir as seguintes classificações: matriz triangular superior ou matriz U , com Uij =0 se i>j matriz triangular inferior ou matriz L , com Lij =0 se j>i
3 2 1 Exemplo: U= 0 − 3 − 3 0 0 2
5 0 0 Exemplo: L= 9 − 3 0 7 1 2
Matriz U é triangular superior
Matriz L é triangular inferior
O traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos de sua diagonal, isto é: n
tr ( A) = a ii i =1
Uma matriz quadrada A pode receber as seguintes classificações quando inserida em uma forma quadrática como se segue: f( x) = xTA 1- Positiva definida se xTA > 0 para todo vetor x 0 (isto é, não nulo). 2- Positiva semidefinida se xTA 0 para todo vetor x. 3- Negativa definida se xTA < 0 para todo vetor x 0. 4- Negativa semidefinida se xTA 0 para todo vetor x. 5- Indefinida se xTA assume tanto valores positivos quanto negativos. O determinante de uma matriz A é um escalar obtido através da soma de todos os produtos possíveis envolvendo um elemento de cada linha e cada coluna da matriz, com o sinal positivo ou negativo conforme o número de permutações dos índices seja par ou ímpar. Sua obtenção e sua representação, apesar de ser um dos conceitos mais preliminares envolvendo matrizes, não são tarefas triviais e o conceito de determinante será utilizado nestas notas apenas como base de outras propriedades de matrizes quadradas. Assim, o determinante de A designado por det(A) pode ser representado por: det( A) = ± a1,i1 ⋅ a 2,i 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a n,i n ou então através do conceito de cofator do elemento ij da matriz A (representado por A ij) que é o determinante da matriz obtida cancelando a linha i e a coluna j da matriz A com o sinal mais ou menos conforme i+j seja par ou ímpar, assim:
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág. 8 A ij = (−1)i + j ⋅ det(Λ ij ) onde Λij representa a matriz quadrada (n-1, n-1) obtida pela eliminação da linha i e a coluna j de A. Tem-se então: n
det( A) = a ij ⋅ A ij j=1
Na prática, entretanto é praticamente impossível calcular o determinante de matrizes através destas regras gerais por envolver um número muito grande de termos (na realidade n!, assim mesmo com matrizes relativamente pequenas como com n=10 temse 3 milhões de termos). Felizmente, para os nossos propósitos, apenas as regras a seguir serão suficientes: 1- O determinante de uma matriz A mantém-se inalterado se somarem-se a todos os elementos de qualquer linha (ou coluna) os correspondentes elementos de uma outra linha (ou coluna) multiplicados pela mesma constante ; 2- se aij é o único elemento não nulo da linha i ou da coluna j então: det( A) = a ij ⋅ A ij a b a b 3- A= então: = det( A ) c d = a ⋅ d − b ⋅ c c d
Da regra (1)verifica-se que se det(A) = 0, então A apresenta duas linhas (ou colunas) proporcionais entre si. De uma forma mais geral, pode-se afirmar que uma linha (ou coluna) de A pode ser escrita como combinação linear de alguma(s) linha(s) (ou colunas) da mesma matriz. Da regra (2) demonstra-se que se A for uma matriz triangular então det(A) é simplesmente o produto dos elementos de sua diagonal. Se det(A) = 0 diz-se que a matriz A é singular , e caso det(A) 0, então A é dita regular . Se C=A⋅B, então det(C)= det(A)⋅det(B). Se B = AT então det(B)= det(A), isto é det (AT) = det (A). A matriz adjunta de uma matriz A corresponde à transposta da matriz obtida substituindo cada elemento da matriz A pelo seu correspondente cofator, isto é, se à é a matriz adjunta de A então o elemento da linha i e coluna j de à é A ji. A propriedade mais importante da matriz adjunta diz respeito ao produto: A⋅Ã=Ã⋅A = det(A)⋅I. Se det(A)0 (A é regular) define-se a inversa de A como:
A −1 =
~ 1 ⋅ A que tem como propriedade: det( A)
A⋅A-1 = A-1⋅A = I
que existe apenas se det(A) 0.
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág. 9 Note que det(A −1 ) =
1 det( A)
Exemplo: Considere a seguinte matriz (2x2): A11 = d; A12 = −c a b , assim, seus cofatores são: , permitindo determinar a A= A b ; A a = − = c d 22 21 d − b matriz adjunta: Ã = , note que: c a − 1 0 A⋅Ã=Ã⋅A = (a ⋅ d − b ⋅ c) ⋅ = det(A)⋅I. 0 1
A −1 =
1
d
⋅
(a ⋅ d − b ⋅ c) − c
− b
, isto é, a
para determinar a inversa de uma matriz (2x2) basta trocar os elementos da diagonal principal, trocar o sinal dos elementos da diagonal secundária e dividir a matriz resultante pelo determinante da matriz original. Se A-1 = AT, isto é, a inversa da matriz é igual a sua transposta, então a matriz A é chamada de matriz ortogonal e neste caso o det(A)=+1 ou -1.
1.3. Algumas propriedades fundamentais de operações entre matrizes
As leis de associação e de comutação são válidas para as operações de adição/subtração, assim: (A+B)+C = A+(B+C) e A+B = B+A. São válidas também as leis de associação e de distribuição para a multiplicação, assim: (AB)C = A(BC) ; A(B+C) = AB + AC e (A+B)C = AC + BC Para a matriz transposta tem-se as seguintes propriedades: (A+B)T = AT + BT e (AB)T = BT AT e para a matriz inversa: (AB)-1 = B-1 A-1 e (A-1)T= (AT)-1
1.4. Valores característicos e vetores característicos de matrizes quadradas
Dada uma matriz A pode-se determinar um escalar λ e um vetor v tal que a equação: Av = λv seja satisfeita, o escalar λ é chamado de valor característico ou autovalor da matriz A e v é chamado de vetor característico ou auto vetor de A. A equação de definição do valor e vetor característicos pode também ser escrita na forma:
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.10 (A −λIv = 0, transformando-se assim em um sistema linear e homogêneo de equações que apresenta solução apenas se a matriz ( A −λI for singular, isto é:
a 12 a11 − λ a a 22 − λ det (A −λI = 21 a n2 a n1
a1n a 2n
a nn − λ
=p(λ)=0, que é o polinômio de grau n em
λ chamado de polinômio característico de A, cujas n raízes são os valores
característicos ou autovalores de A. Verifica-se, pela expansão deste determinante, que o único termo de grau
n e (n-1)
em λ
é o correspondente ao produto da diagonal principal de A −λI, isto é : (a11 3λ)(a22 3λ)(ann 3λ) sendo todos os demais termos de grau inferior a ( n-1), além disto como p(0)=det( A) o termo independente de λem p(λ) é det(A), permirtindo assim concluir que p(λ) = (3λ)n +(a11 + a22 + . . . + ann) (-λ)n-1 +. . . +det(A)=0 Multiplicando-se membro a membro por (-1) n , tem-se: p(λ) = λn 3(a11 + a22 + . . . + ann) λn-1 +. . . +(-1)n det(A)=0 (note que apesar de ter-se multiplicado membro a membro da expressão por (-1) n, manteve-se a notação p( λ) para designar o polinômio característico, já que o mesmo está igualado a zero sendo assim irrelevante seu sinal). Pela expressão de p( λ) deduzse que: ...
(a) λ1+λ2+ +λn = a11 + a22 +
...
+ ann ou seja:
n
λ i = tr ( A ) i 1 =
...
(b) λ1λ2 λn = det(A) ou seja:
n
λ i = det( A) ∏ i 1 =
(c) como p(λ) = det (A −λI se A for singular tem-se det(A)=0; desta forma p(0)=det(A)=0, isto é, se A for singular λ=0 é necessariamente valor característico de A. 3 1 Exemplo: Encontre todos os autovalores da matriz A= 1 3
Calculando p(λ) = det (A −λI
1 3 − λ det (A −λI det = (3−λ)(3−λ) − 1= λ2 3ª λ ªªªª 3 − λ 1 Solução do polinômio: λ=2 e λ=4 (autovalores de A).
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2. Introdução ao Matlab No MATLAB os nomes das variáveis devem ser palavras únicas, sem a inclusão de espaços e não devem conter acentos. As regras básicas para nomes de variáveis são apresentadas na Tabela 2.1. Tabela2.1: Regras básicas para nomes de variáveis no MATLAB. As variáveis são sensíveis a letras maiúsculas e minúsculas As variáveis podem possuir até 31 caracteres. Os caracteres além do 31º são ignorados. O nome da variável deve começar com uma letra, seguida de qualquer número, letra ou sublinhado.
Itens, itens e ITENS São entendidas como diferentes variáveis. Oquevoceachadestenomedevariavel Pode ser usado como nome de variável. O_que_voce_acha_deste_nome e X51 podem ser utilizados como nome de variáveis.
Existem algumas variáveis especiais que o MATLAB utiliza que são apresentadas na Tabela 2.2. Se o usuário redefine estas variáveis, o MATLAB passa a atribuir a nova função às mesmas. Tabela 2.2: Variáveis especiais utilizadas pelo MATLAB Variável
Significado
Ans Pi
Variável padrão usada para resultados. Razão entre o perímetro da circunferência e seu diâmetro. Precisão relativa da máquina. Infinito Não numérico
Eps Inf NaN nan i j Nargin Nargout Realmin Realmax
i = j = − 1 Número de argumentos de entrada de uma função. Número de argumentos de saída de uma função. Menor número real positivo utilizável pela máquina. Maior número real positivo utilizável pela máquina.
Caso o usuário necessite apagar alguma variável da memória do MATLAB, isto pode ser realizado utilizando-se o comando “ clear”. Por exemplo: » a=10; » a a = 10 » clear a » a ??? Undefined function or variable 'a'.
Se a necessidade do usuário for de apagar todas as variáveis que estão sendo utilizadas deve-se utilizar o comando “clear all”. Se por outro lado, o usuário deseja a
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.12 listagem de todas as variáveis que estão sendo utilizadas, basta utilizar o comando “who”. Por exemplo: >> a=10; b=a; >> who Your variables are: a b >>
Todo o texto depois do sinal de porcentagem (%) é considerado comentário. Além disso, pode-se colocar mais de um comando em uma linha, separando-os por vírgula ou ponto e vírgula. A vírgula diz ao MATLAB para mostrar o resultado após executar o comando. Já o ponto-e-vírgula dispensa a visualização. Por exemplo: » a=10; b =
b=20,
% isto é um comentário
20 » a a = 10
Quando se deseja continuar o comando na próxima linha, o sinal utilizado pelo MATLAB é representado por 3 pontos (...). Isso só funcionará se os pontos estiverem entre nomes de variáveis e operações. Este comando não funciona para comentários. Ou seja: >> a=10; b=20; >> c=a+... b c = 30 >>
O usuário pode interromper a execução do MATLAB, a qualquer momento, pressionando o Crtl-c. Para limpar o workspace o usuário deve utilizar o comando “clc”.
2.1. Utilizando strings
O MATLAB entende como strings o conjunto de caracteres (vetor de caracteres) colocados entre aspas simples. Assim, para acessar uma parte da variável é necessário listar a localização dos caracteres. Ou seja: >> s='esta variavel e uma string' s = esta variavel e uma string >> >> s(6:13), % retirando a palavra variavel da string s ans = variavel >>
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.13
3. Utilizando funções matemáticas elementares A Tabela 3.1 apresenta uma listagem das principais funções matemáticas que o MATLAB possui. Vale ressaltar que o MATLAB trabalha apenas com radianos (2 π radianos = 360º). Tabela 3.1: Principais funções matemáticas utilizadas pelo MATLAB. Função
Significado
acos(x) acosh(x) asin(x) asinh(x) atan(x) atanh(x) cos(x) cosh(x) exp(x) gcd(x,y) log(x) log10(x) rem(x,y) round(x) sign(x) sin(x) sinh(x) sqrt(x) tan(x) tanh(x)
Arco coseno. Arco coseno hiperbólico. Arco seno. Arco seno hiperbólico. Arco tangente. Arco tangente hiperbólico. Coseno Coseno hiperbólico. Exponencial: ex Máximo divisor comum entre os inteiros x e y. Logaritmo natural. Logaritmo na base 10. Resto da divisão de x por y. Arredondamento para o número inteiro mais próximo. Função sinal. Retorna o sinal do argumento x. Seno Seno hiperbólico. Raiz quadrada. Tangente Tangente hiperbólica.
4. Trabalhando com vetores e matrizes O MATLAB foi desenvolvido especialmente para trabalhar com representações matriciais. Desta forma, o usuário deve dar preferência para este tipo de representação quanto estiver utilizando o MATLAB, já que isto significa a realização de cálculos com maior eficiência. O MATLAB manipula vetores de uma maneira simples e intuitiva. Considere que se deseja calcular a função y = sen(x) em 0 < x ≤ π. O primeiro passo é criar um vetor com todos os valores de x para os quais se deseja calcular y. Uma vez definido o vetor, calculam-se os valores correspondentes de y. Ou seja: »x=[0 0.1*pi 0.2*pi 0.3*pi 0.4*pi 0.5*pi 0.6*pi 0.7*pi .8*pi .9*pi pi] x = Columns 1 through 7 0
0.3142
0.6283
0.9425
1.2566
Columns 8 through 11 2.1991
2.5133
2.8274
3.1416
1.5708
1.8850
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.14 » y=sin(x) y = Columns 1 through 7 0
0.3090
0.5878
0.8090
0.9511
1.0000
0.9511
Columns 8 through 11 0.8090
0.5878
0.3090
0.0000
Para se resgatar um determinado elemento do vetor, basta indicar entre parênteses a localização do mesmo. Ou seja: » x=[0 0.1*pi 0.2*pi 0.3*pi 0.4*pi 0.5*pi 0.6*pi 0.7*pi 0.8*pi 0.9*pi pi]; » x(1) ans = 0 » x(11) ans = 3.1416 »
Para ter acesso a blocos de componentes ao mesmo tempo, o MATLAB utiliza a notação de dois pontos. Ou seja: • componentes de x, do primeiro ao quinto elemento: » x(1:5) ans = 0 0.3142
0.6283
0.9425
1.2566
• componentes de x, iniciando do sétimo e indo até o final: » x(7:end) ans = 1.8850 »
2.1991
2.5133
2.8274
3.1416
• componentes de x, iniciando do terceiro, contanto regressivamente de um em um e
parando no primeiro: » x(3:-1:1) ans = 0.6283 »
0.3142
0
4.1. Construindo vetores
Existem formas para construção de vetores que dispensam a tarefa de digitar termo a termo. São elas: • cria um vetor que começa em zero e vai até o valor π, incrementado 0,1* π:
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.15 » x=(0:0.1:1)*pi x = Columns 1 through 7 0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566 1.8850 Columns 8 through 11 2.1991 2.5133 2.8274 3.1416 »
1.5708
• cria um vetor que começa em zero e vai até o valor π com 11 elementos
utilizando a função linspace. Os argumentos desta função são: linspace(primeiro_valor, ultimo_valor, numero_de_valores). » » linspace(0,pi,11) ans = Columns 1 through 7 0 0.3142 0.6283 0.9425 1.2566 1.8850 Columns 8 through 11 2.1991 2.5133 2.8274 3.1416
1.5708
• cria um vetor em escala logarítmica que começa em 10 0 e vai até o valor 102 com
11 elementos utilizando a função
logspace. Os argumentos desta função são:
logspace(primeiro_expoente, ultimo_expoente, numero_de_valores). » » logspace(0,2,11) ans = Columns 1 through 7 1.0000 1.5849 2.5119 3.9811 15.8489 Columns 8 through 11 25.1189 39.8107 63.0957 100.0000
6.3096 10.0000
Até agora foram construídos apenas vetores linhas. Todavia, muitas vezes se faz necessária a utilização de vetores colunas. A maneira mais direta de construção de um vetor coluna é especificando elemento por elemento e separando os valores com ponto e vírgula: » a=[1; 2; 3] a = 1 2 3 »
Uma alternativa a esta proposta é transpor um vetor linha, já especificado, transformando-o em um vetor coluna: » a=1:3 a = 1 2 » b=a' b = 1 2 3 »
3
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.16
Além da forma de transposição vista anteriormente ( ‘ ), o MATLAB tem o recurso de transposição pontuada ( .’). Este comando é interpretado como a transposição sem a operação de conjugação complexa. Isto porque quando um vetor é complexo, o operador de transposição ( ‘ ) nos dá a transposição do complexo conjugado, isto é, o sinal da parte imaginária é mudado como parte da operação de transposição. Já o operador de transposição pontuada ( .’) transpõe o vetor mas não o conjuga. Vale ressaltar que para vetores reais estes operadores são equivalentes. Ou seja: >> a=(-4)^.5; b=[a a a] b = 0.00 + 2.00i 0.00 + 2.00i 0.00 + 2.00i >> b=[a a a]' b = 0.00 - 2.00i 0.00 - 2.00i 0.00 - 2.00i >> b=[a a a].' b = 0.00 + 2.00i 0.00 + 2.00i 0.00 + 2.00i >>
4.3. Construindo matrizes
Para a construção de matrizes no MATLAB utilizam-se ponto e vírgula para separar os elementos de uma linha da outra: » g=[1 2 3 4; 5 6 7 8] g = 1 2 3 4 5 6 7 8 »
4.4. Manipulando vetores e matrizes
Considerando-se vetores ou matrizes, a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão por um escalar simplesmente aplica a operação a todos os elementos do vetor. Ou seja: » g=[1 2 3 4; 5 6 7 8]; » 2*g-1 ans = 1 3 5 7 9 11 13 15 » g/2+1 ans = 1.5000 2.0000 2.5000 3.5000 4.0000 4.5000 »
3.0000 5.0000
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.17 Já as operações entre vetores e/ou matrizes não são tão simples. Quando dois vetores ou matrizes possuem a mesma dimensão, a adição e a subtração são realizadas elemento a elemento pelo MATLAB. Ou seja: » g=[1 2 3 4; 5 6 7 8]; » h=[1 1 1 1; 2 2 2 2]; » g+h ans = 2 3 4 5 7 8 9 10 » g-h ans = 0 1 2 3 3 4 5 6 »
Quando se deseja multiplicar duas matrizes, elemento por elemento, deve-se utilizar o símbolo de multiplicação escalar pontuada ( .*). O ponto que precede o asterisco, símbolo padrão de multiplicação, diz ao MATLAB para fazer a multiplicação elemento por elemento. A multiplicação sem o ponto significa multiplicação matricial. Ou seja: » g=[1 2; 5 6]; » h=[1 1; 2 2]; » g.*h ans = 1 2 10 12 » g*h ans = 5 5 17 17 »
Para a divisão de matrizes, elemento por elemento, deve-se utilizar o símbolo de divisão escalar pontuada ./. Novamente o ponto que precede o símbolo padrão de divisão diz ao MATLAB para fazer a divisão elemento por elemento. A divisão sem o ponto significa divisão matricial. Ou seja: » g=[1 2; 5 6]; » h=[1 8; 2 4]; » g./h ans = 1.0000 0.2500 2.5000 1.5000 » g/h ans = 0 0.5000 -0.6667 2.8333 »
É possível elevar cada elemento de uma matriz a uma dada potência. Para isto aplicase o operador .^n, onde n é potência que se deseja aplicar a cada elemento da matriz. Ou seja:
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.18 » g=[1 2; 5 6]; » g.^2 ans = 1 4 25 36 »
A Tabela 4.4.1 fornece ainda a listagem de alguns comandos úteis de manipulação matricial. Tabela 4.4.1: Comandos úteis de manipulação matricial utilizados pelo MATLAB. Função
Significado
Exemplo
1 2 ; 3 4
Considere em todos os exemplos: A =
r=1
A(r,:)
Fornece a submatriz de A cujas linhas são definidas pelo vetor r e que inclui todas as colunas.
A(:,r)
Fornece a submatriz de A cujas colunas são definidas pelo vetor r e que inclui todas as linhas.
A(:)
Fornece todos os elementos de A em um vetor coluna, percorrendo as colunas de A pela ordem crescente de seus índices.
»A(r,:) ans = 1 2 » A(:,r) ans = 1 3 » A(:) ans = 1 3 2 4
4.5. Comparando vetores e matrizes
Os comandos mais utilizados para comparação entre vetores e matrizes são listados na Tabela 4.5.1. Tabela 4.5.1: Comandos úteis de comparação entre vetores e matrizes. Função
Significado
Exemplo
1 2 1 6 1 2 ; B ; C = = 5 2 3 4 3 4
Considere em todos os exemplos: A = isequal(A,B)
Variável lógica: verdadeira se A e B são idênticos.
ismember(A,B)
Variável lógica: verdadeira quando os elementos de A são também elementos de B.
» isequal(A,B) ans = 0 » isequal(A,C) ans = 1 » » ismember(A,B) ans = 1 1 0 0 » ismember(A,C) ans = 1 1 1 1 »
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.19 4.6. Realizando operações matriciais
A Tabela 4.6.1 fornece as principais funções matriciais existentes no MATLAB. Tabela 4.6.1: Principais funções matriciais existentes no MATLAB. Função
Significado
Exemplo
Considere em todos os exemplos: A = 1 2 3 4 » det(A) Calcula o determinante da matriz A.
det(A)
ans =
d=eig(A) [V,D]=eig(A)
Determina os autovalores e autovetores de A.
inv(A)
Calcula a matriz inversa da matriz
poly(A)
Calcula a equação característica de A.
rank(A)
Determina o número de linhas e colunas linearmente independentes de A.
svd(A)
Calcula a decomposição em valores singulares.
-2 » » d=eig(A) d = -0.3723 5.3723 » [V,D]=eig(A) V = -0.8246 -0.4160 0.5658 -0.9094 D = -0.3723 0 0 5.3723 » » inv(A) ans = -2.0000 1.0000 1.5000 -0.5000 » » poly(A) ans = 1.00 -5.00 -2.00 » » rank(A) ans = 2 » » svd(A) ans = 5.4650 0.3660 »
4.7. Utilizando matrizes especiais
A Tabela 4.7.1 fornece algumas matrizes especiais existentes no MATLAB. Tabela 4.7.1: Matrizes especiais existentes no MATLAB. Função eye
Significado
Matriz identidade.
ones
Matriz onde todos os elementos são iguais a 1.
rand
Matriz com elementos aleatórios distribuídos entre 0 e 1.
Exemplo » eye(3) ans = 1 0 0 1 0 0 » » ones(2) ans = 1 1 1 1 » » rand(2) ans = 0.9501
0 0 1
0.6068
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.20 0.2311
0.4860
» randn
zeros
Matriz com elementos aleatórios distribuídos que seguem a distribuição normal e têm média zero e variância igual a 1 Matriz onde todos os elementos são iguais a 0.
» rand(3) ans = 0.8913 0.7621 0.4565 » » zeros(2) ans = 0 0 0 0 »
0.0185 0.8214 0.4447
0.6154 0.7919 0.9218
4.8. Ordenando matrizes
A ordenação dos elementos de um vetor ou de uma matriz pode ser realizada utilizando o comando “ sort”. A utilização deste comando possibilita ainda o armazenamento da localização original dos dados. Assim: >> a=rand(1,3) a = 0.04389532534714 0.02718512299667 0.31268504808015 >> sort(a) ans = 0.02718512299667 0.04389532534714 0.31268504808015 >> a=rand(4,3) a = 0.01286257467300 0.03533832396916 0.01635493355000 0.38396728849430 0.61239548137302 0.19007458907973 0.68311596780460 0.60854036122399 0.58691847188467 0.09284246174092 0.01575981791975 0.05758108987829 >> [a_ordenado_l,ord]=sort(a(1,:)), % ordena a linha 1 de "a" a_ordenado_l = 0.01286257467300 0.01635493355000 0.03533832396916 ord = 1 3 2 >> [a_ordenado_c,ord]=sort(a(:,2)), % ordena a coluna 2 de "a" a_ordenado_c = 0.01575981791975 0.03533832396916 0.60854036122399 0.61239548137302 ord = 4 1 3 2
4.9. Utilizando matrizes multidimensionais
Para a utilização de matrizes multidimensionais são necessários 3 índices ao invés dos 2 adotados durante a utilização de matrizes bidimensionais. A Figura 4.8.1 mostra a forma visual de interpretar matrizes multidimensionais.
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.21
Figura 4.8.1: Forma visual de interpretar matrizes multidimensionais. As matrizes multidimensionais podem ser construídas e manipuladas utilizando os mesmos comandos apresentados para as matrizes bidimensionais, desta forma: >> M = rand(2,4,3) M(:,:,1) = 0.49655244970310 0.82162916073534 0.89976917516961 0.64491038419384 M(:,:,2) = 0.34119356941488 0.72711321692968 0.53407901762660 0.30929015979096 M(:,:,3) = 0.54657115182911 0.69456724042555 0.44488020467291 0.62131013079541 >> M(1,1,1) ans = 0.49655244970310
0.81797434083925 0.66022755644160
0.34197061827022 0.28972589585624
0.83849604493808 0.56807246100778
0.37041355663212 0.70273991324038
0.79482108020093 0.95684344844488
0.52259034908071 0.88014220741133
4.10. Utilizando listas
As listas (ou disposição em células , cell arrays ) são formas especiais de representar de matrizes. Neste tipo de representação, cada elemento da matriz pode conter matrizes com diferentes dimensões. O exemplo abaixo ilustra a criação de uma lista. >> a=1:3; b=rand(2,2); c=1; d={a c}; >> lista={a b c d} lista = [1x3 double] [2x2 double] [1] >>
{1x2 cell}
Para a manipulação dos elementos de uma lista também são utilizadas chaves e parênteses como exemplificado abaixo. >> a=1:3; b=rand(2,2); c=1; d={a c}; >> lista={a b c d}; >> lista{1} ans = 1 2 3 >> lista{1}(1,2) ans = 2 >>
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.22
4.11. Utilizando estruturas
As estruturas são matrizes especiais utilizadas pelo MATLAB para armazenar dados de naturezas diferentes. As estruturas diferem das listas por possuírem nomes que identificam a localização dos dados. O exemplo abaixo evidencia a utilização de estruturas. >> resultado.alunos='maria'; >> resultado.notas=[9 8.5]; >> resultado resultado = alunos: 'maria' notas: [9 8.50000000000000] >> resultado(2).alunos='joao'; >> resultado(2).notas=[10 7]; >> resultado resultado = 1x2 struct array with fields: alunos notas >> resultado.alunos ans = maria ans = joao >>
Uma outra forma de gerar estruturas é utilizando o comando ‘ struct’. >> resultado=struct('alunos','maria','notas',[9 8.5]); >> resultado resultado = alunos: 'maria' notas: [9 8.50000000000000] >> resultado.notas ans = 9.00000000000000 8.50000000000000 >>
4.12. Utilizando matrizes esparsas
As matrizes esparsas são aquelas onde apenas alguns de seus elementos possuem valores diferentes de zero. Neste caso, o armazenamento de toda a matriz representa um desperdício de espaço de armazenagem e de poder computacional em operações aritméticas com zeros. No MATLAB é possível considerar a esparticidade de uma matriz utilizando os comandos “ sparse” e “full”. O comando “ sparse” armazena os elementos não nulos da matriz original, desconsiderando os elementos iguais a zero. Já o comando “ full” rescreve a matriz esparsa original. Ou seja:
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.23
>> clear all >> X=[1 0 5 6 0 0 0; 0 0 0 0 1 0 0] X = 1 0 5 6 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 >> >> >> S = sparse(X) S = (1,1) 1 (1,3) 5 (1,4) 6 (2,5) 1 >> whos Name Size Bytes Class S 2x7 80 sparse array X 2x7 112 double array Grand total is 18 elements using 192 bytes >> X2=full(S) X2 = 1 0 5 0 0 0
6 0
0 1
0 0
0 0
>> whos Name Size Bytes Class S 2x7 80 sparse array X 2x7 112 double array X2 2x7 112 double array Grand total is 32 elements using 304 bytes >> >>
5. Analisando dados A análise de dados no MATLAB é feita utilizando-se matrizes orientadas por coluna. As diversas variáveis são armazenadas em diferentes colunas e cada linha representa uma observação diferente de cada variável. As principais funções de análise de dados são apresentadas na Tabela 5.1 Tabela 5.1: Principais funções de análise de dados. Função
Significado
Exemplo
1 2 3 Considere em todos os exemplos: A = 4 5 6 7 8 9 corrcoef(A)
Coeficientes de correlação >>
cumprod(A)
Produto acumulativo das colunas de A.
corrcoef(A) ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 » » cumprod(A) ans = 1 2
3
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.24 4 28 cumsum(A)
Soma acumulativa ao longo das colunas de A.
max(A)
Máximo ao longo das colunas de A.
mean(A)
Média ao longo das colunas de A.
min(A)
Mínimo ao longo das colunas de A.
prod(A)
Produto ao longo das colunas de A.
std(A)
Calcula o desvio padrão ao longo das colunas de A.
sum(A)
Soma os elementos ao longo das colunas de A.
10 80
18 162
» » cumsum(A) ans = 1 2 3 5 7 9 12 15 18 » » max(A) ans = 7 8 9 » » mean(A) ans = 4 5 6 » » min(A) ans = 1 2 3 » » prod(A) ans = 28 80 162 » » std(A) ans = 3 3 3 » » sum(A) ans = 12 15 »
18
6. Trabalhando com polinômios No MATLAB, um polinômio é representado por um vetor linha contendo seus coeficientes em ordem decrescente. Por exemplo, o polinômio x 4 – 12.x3 + 25.x + 116 é representado da seguinte forma: » p=[1 -12 0 25 116] p = 1 -12 0 25 »
116
Vale ressaltar que os termos com coeficientes iguais a zero devem ser incluídos. Através do uso do comando roots é possível encontrar as raízes de um dado polinômio. Ou seja: » p=[1 -12 0 25 116]; » r=roots(p) r = 11.7473 2.7028 -1.2251 + 1.4672i -1.2251 - 1.4672i »
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.25 Dadas as raízes do polinômio, também é possível construir o polinômio associado. Para isto, é utilizado o comando poly: » pp=poly(r) pp = 1.0000 -12.0000 »
0
25.0000
116.0000
A multiplicação de polinômios é realizada pelo comando “ conv”. Desta forma, considerando o produto de dois polinômios f 1(x) = x3 + 2.x2 + 3.x + 4 e f2(x) = x3 + 4.x2 + 9.x + 16 temos: » » f1=[1 2 3 4]; f2=[1 4 9 16]; » f3=conv(f1,f2) f3 = 1 6 20 50 75 84 64 »
O resultado desta operação é o polinômio f 3(x) = x6 + 6.x5 + 20.x4 + 50.x3 + 75.x2 + 84.x + 64. A função “deconv“ é utilizada para dividir um polinômio por outro. Considerando-se as funções f3(x) e f2(x) anteriores, temos: » [q,r]=deconv(f3,f2) q = 1 2 3 4 r = 0 0 0 0 0 0 »
0
Como resultado, o comando retorna o polinômio resultante q, que neste caso é a função f1(x), e o resto da divisão r. O MATLAB possui a função “ polyder“ que é utilizada na obtenção de derivadas de polinômios. Ou seja: » » f1=[1 2 3 4]; » d=polyder(f1) d = 3 4 3 »
7. Confeccionando gráficos 7.1. Gráficos bidimensionais
Uma das funções que o MATLAB possui para elaboração de gráficos é a função “fplot”. Este comando calcula a função a ser representada e certifica-se de que suas
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.26 propriedades estejam bem representadas. Como entrada, o “ fplot” precisa da função a ser representada (como variável string ) e do domínio do gráfico. Ou seja: » f='2*exp(-x).*sin(x)'; » fplot(f,[0 8])
Outra função utilizada para confeccionar gráficos bidimensionais, onde f = f(x), é a função “ezplot”. Esta função também tem como argumentos de entrada uma função string e um intervalo de variação. Se f = f(x,y), o comando “ ezplot” representa a função considerando f(x,y)=0. >> ezplot('x^3 + y^3 - 5*x*y + 1/5',[-3,3])
O comando mais comum utilizado para elaboração de gráficos bidimensionais no MATLAB é o comando “ plot“. Esse comando cria gráficos de vetores de dados em eixos adequados e conecta os pontos a linhas retas. Por exemplo: » x=linspace(0, 2*pi, 30); » y=sin(x); » plot(x,y)
É possível utilizar o comando “ plot“ para traçar mais de um gráfico no mesmo sistema de eixos. Ou seja: » » » »
x=linspace(0, 2*pi, 30); y=sin(x); z=cos(x); plot(x,y,x,z)
Durante a confecção de um gráfico no MATLAB , o usuário pode escolher a cor e o estilo das linhas bem como o marcador utilizado. A Tabela 7.1 mostra os códigos utilizados e o exemplo abaixo evidencia a utilização dos mesmos. » » » »
x=linspace(0, 2*pi, 30); y=sin(x); z=cos(x); plot(x,y,'b:p',x,z,'m+--')
O usuário pode ainda modificar a cor de fundo do gráfico utilizando o comando “colordef“. Neste caso, sugere-se ao usuário consultar o help na área de trabalho do MATLAB (» help colordef). O comando “ grid on“ adiciona linhas de grade ao gráfico nas posições dos eixos que há marcadores. O comando “ grid off“ remove as linhas de grade. Vale ressaltar que o MATLAB começa sempre com “ grid off“.
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.27 Tabela 7.1: Códigos para marcadores, cores e tipos de linha na confecção de gráficos no MATLAB. Cores de linhas
símbolo B G R C M Y K W
Marcadores
Tipo de linha
cor Símbolo Marcador Símbolo Tipo de linha . azul ponto linha contínua O : verde círculo linha pontilhada x -. vermelho x traços e pontos + -ciano + linha tracejada * magenta estrela s amarelo quadrado d preto Losango < branco triângulo para a esquerda > triângulo para a direita p pentagrama h hexagrama
Para atribuir nomes aos eixos, pode ser utilizado os comandos comando “ xlabel“ e “ylabel“. O comando “title“ adiciona um título ao gráfico. Ou seja: » » » » » » » » »
x=linspace(0, 2*pi, 30); y=sin(x); plot(x,y,'r-.>') grid on xlabel('x') ylabel('seno(x)') title('gráfico') grid off
Para criar legendas no gráfico, o usuário pode utilizar os comandos “ legend“ ou “gtext“. Ou seja: » » » » » » » » »
x=linspace(0, 2*pi, 30); y=sin(x); z=cos(x); plot(x,y,x,z) legend('seno(x)','coseno(x)') legend off % retira a legenda gtext('seno(x)') gtext('coseno(x)')
É possível criar uma janela com mais de um sistema de eixos. Para isto, é utilizado o comando “subplot(m,n,p) “. Este comando subdivide a janela de gráficos em uma matriz com m por n regiões. A variável p indica a localização do gráfico. Ou seja: » » » » » » » » » » » » » » »
x=linspace(0, 2*pi, 30); y=sin(x); z=cos(x); a=2*sin(x).*cos(x); b=sin(x)./(cos(x)+eps); subplot(2,2,1) plot(x,y) axis([0 2*pi -1 1]) % define os valores: mínimos e máximos p/ x e y title('seno(x)') subplot(2,2,2) plot(x,z), axis([0 2*pi -1 1]), title('coseno(x)') subplot(2,2,3) plot(x,a), axis([0 2*pi -1 1]), title('2.seno(x).coseno(x)') subplot(2,2,4) plot(x,b), axis([0 2*pi -20 20]), title('seno(x)/coseno(x)')
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.28
Além dos gráficos já elaborados, outros recursos gráficos bidimensionais são disponíveis no MATLAB. São eles: • gráfico tipo torta: » a=[.05 .15 .5 .05 .05 .2]; pie(a) » pie(a, a==max(a)) % traça o gráfico separando a maior fatia »
• gráficos com escalas diferentes: » » » » » »
x=-2*pi:pi/10:2*pi; y=sin(x); z=2*cos(x); subplot(2,1,1),plot(x,y,x,z), title('escalas iguais'), subplot(2,1,2),plotyy(x,y,x,z), title('escalas diferentes'),
• gráficos de barras: » » » » » » »
x=-2.9:0.2:2.9; y=exp(-x.*x); subplot(2,2,1), subplot(2,2,2), subplot(2,2,3), subplot(2,2,4),
bar(x,y), bar3(x,y), stairs(x,y), barh(x,y),
• gráfico com barras de erros: » x=linspace(0,2,21); » y=erf(x); % y é a função erro de x » e=rand(size(x))/10; % contém valores de erros aleatórios » errorbar(x,y,e) »
• gráficos com pontos selecionados manualmente: » » » » » » » »
x=linspace(-2*pi, 2*pi,60); y=sin(x).^2./(x+eps); plot(x,y) [a,b]=ginput(5) % toma 5 pontos hold on % Para escrever por cima do gráfico anterior plot(a,b,'mo') hold off % Libera o gráfico anterior para ser eliminado
7.2. Gráficos tridimensionais
O comando “ plot“ para gráficos bidimensionais é estendido para os tridimensionais com o comando “ plot3“. Este comando cria gráficos de linhas tridimensionais. » t=linspace(0,10*pi,1000); » plot3(sin(t),cos(t),t) »
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.29 O comando “meshgrid“ é utilizado para gerar matrizes x e y, contendo linhas e colunas repetidas. Esse par de matrizes, x e y, pode ser então usado para calcular funções de duas variáveis usando os recursos do MATLAB de matemática vetorial. Uma vez estabelecidos os valores dos pontos a serem representados em um gráfico tridimensional, o comando “ mesh“ pode ser utilizado para gerar um gráfico de rede e o comando “ surf“ pode ser utilizado para gerar uma superfície. Já os comandos “contour“ e “contour3“ geram as curvas de nível. Uma forma similar do comando “contour“ é o comando “ pcolor“ onde são utilizadas cores distintas para delimitar regiões de alturas diferentes. Ou seja: >> >> >> >> >> >>
x=-3:0.1:3; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=X.^3 + Y.^3 - 5*X.*Y + 1/5; mesh(X,Y,Z) surf(X,Y,Z) contour(X,Y,Z,40) contour3(X,Y,Z,40) pcolor(X,Y,Z)
É possível para o usuário trocar as cores padrão utilizadas pelo MATLAB na confecção de gráficos. Para isto, utiliza-se dos mapas de cores que são matrizes com três colunas. Cada linha define uma cor particular, usando os números 0 a 1. >> x=-3:0.1:3; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=X.^3 + Y.^3 - 5*X.*Y + 1/5; >> surf(X,Y,Z), colormap([1 1 1]) % branco >> surf(X,Y,Z), colormap([.5 .5 .5]) % cinza >>
O usuário pode ainda escolher um dos mapas de cores já existente no MATLAB (Tabela 7.2.1). Tabela 7.2.1: Mapas de cores utilizadas pelo MATLAB. Função
Descrição do mapa de cores
Hsv Hot Gray Bone Copper Pink White Flag Jet Prism Cool lines colorcube summer autumn winter spring
Escalar com cores saturadas. Preto-vermelho-amarelo-branco Escalar linear de tons de cinza. Escala de tons de cinza levemente azulados. Escala linear de tons acobreados. Tons pastéis de rosa. Mapa de cores totalmente branco. Vermelho, branco, azul e preto alternados. Uma variante do mapa hsv Mapa de cores denominado “prisma”. Tons de ciano e magenta. Mapa de cores que usa as mesmas cores do comando plot. Mapa de cores denominado “cubo colorido”. Tons de amarelo e verde. Tons de vermelho e amarelo. Tons de azul e verde. Tons de magenta e amarelo.
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.30 >> x=-3:0.1:3; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=X.^3 + Y.^3 - 5*X.*Y + 1/5; >> surf(X,Y,Z), colormap([summer]) >> surf(X,Y,Z), colormap([hot])
Para acrescentar uma legenda no gráfico tridimensional, o usuário deve utilizar o comando colorbar. >> >> x=-3:0.1:3; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=X.^3 + Y.^3 - 5*X.*Y + 1/5; >> surf(X,Y,Z), colormap([winter]), colorbar >>
8. Trabalhando com tempo O MATLAB possui várias funções para manipular datas e horas. A função “ clock“ , por exemplo, fornece a data e a hora atuais em um vetor. >> T=clock T = 1.0e+003 * 2.003 0.001
>>
0.009
0.010
0.031
0.057
Os elementos que retornam no vetor T ao se aplicar o comando “ clock“ são: ano,mês, dia do mês, hora, minutos e segundos. Já a função “ date“ fornece a data atual como um texto no formado dia-mês-ano. Ou seja: >> date ans = 09-Jan-2003
Os comandos “ tic“ e “ toc“ podem ser utilizados para cronometrar uma operação. Ou seja: >> tic; plot(rand(5)); toc elapsed_time = 0.11000000000000
A função “cputime“ fornece o tempo, em segundos, da Unidade Central de Processamento (CPU) usado pelo MATLAB desde o início da sessão corrente. Ou seja: >> to=cputime; plot(rand(5)); cputime-to ans = 0.11000000000058
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.31
9. Obtendo modelos empíricos O MATLAB possui funções que possibilitam a obtenção de diferentes modelos empíricos tais como: modelos ARX, ARMAX, redes neuronais e ainda modelos obtidos via regressão linear e não linear. Nesta apostila, a utilização da regressão linear é exemplificada.
9.1. Regressão linear
O comando utilizado pelo MATLAB para a realização de regressão linear é denominado “regress”. Para utilizar este comando o usuário deve fornecer a matriz com as variáveis independes e um vetor com a variável dependente. Cada linha da matriz ou do vetor deve corresponder a uma observação. Caso o modelo linear possua uma constante, a matriz com as variáveis independentes deve possuir uma última coluna com valores iguais a 1. O exemplo abaixo ilustra a utilização deste comando: >> clear all >> x=[(100:200)'+randn(101,1) (300:400)'+randn(101,1) ones(101,1)]; >> % matriz com variaveis independentes >> P1=2; P2=1; P3=100; y=P1*x(:,1)+P2*x(:,2)+P3; y=y+randn(101,1); >> % vetor com variaveis dependentes >> [P,Pin,R,Rin,stat]=regress(y,x,0.05); >> P % parametros do modelo P = 1.93344230551157 1.06793100944515 86.20341131968449 >> Pin % intervalo de confiança para os parametros Pin = 1.0e+002 * 0.01813296312069 0.02053588298954 0.00947622221814 0.01188239797076 0.62069772941691 1.10337049697678 >> stat stat = 1.0e+005 * 0.00000999899004 4.85119348155784 >>
0
Os intervalos de confiança para os parâmetros do modelo foram calculados considerando um nível de confiança igual a 95%. Isto porque usamos o valor 0,05 como terceiro argumento de entrada para a função “ regress”. O 5o argumento de saída, neste caso denominado “ stat”, fornece respectivamente: o valor de R2, o resultado do teste de hipótese F (testa-se se todos os coeficientes do modelo obtido são iguais a zero) e o p-valor associado a este teste. Durante a realização do teste F assume-se a existência de uma constante no modelo. Neste caso, o modelo obtido consegue descrever cerca de 99,9899% da variabilidade experimental e podemos
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.32 considerar, com grande segurança, que todos os coeficientes do modelo não são iguais a zero. Os erros verificados entre os valores preditos pelo modelo e os reais, bem como o intervalo de confiança para estes valores são fornecidos através do 3 o e do 4o argumento de saída da função “ regress”. Neste caso: “R” e “Rin”. Uma melhor visualização desta informação pode ser obtida através do comando “ rcoplot” como exemplificado abaixo. >> rcoplot(R, Rin)
Neste caso, todos os resíduos que não atingirem o valor zero são considerados outliers . O MATLAB também possui funções destinadas à realização de regressões não lineares. Neste caso, a soma dos quadrados dos resíduos, verificados entre os valores reais e preditos pelo modelo, é minimizada utilizando um método de otimização Quasi Newton (Levenberg-Marquardt). Para mais detalhes sugere-se a consulta ao comando “nlinfit”. (“help nlinfit”).
10. Iniciando um programa Todos os comandos descritos anteriormente podem ser utilizados durante a elaboração de um programa em MATLAB. Antes de começar a programar, você deve escolher qual o diretório de trabalho. A programação em MATLAB é realizada através da elaboração de arquivos tipo “m”. Sendo assim, uma vez escolhido o diretório de trabalho, você deve abrir um arquivo “m” seguindo o seguinte caminho: File New M-file . Neste arquivo deve ser escrito o programa. Uma vez escrita a rotina a ser executada, deve-se salvar o arquivo. Para “rodar” a rotina, deve-se digitar o nome do arquivo tipo “m” no workspace do MATLAB. O MATLAB possui diversas funções que são particularmente apropriadas para o uso em arquivos tipo “m”. Estas funções são apresentadas na Tabela 10.1. Tabela 10.1: Principais funções utilizadas em arquivos tipo “m”. Variável
Significado
Disp(‘texto’) Input Pause Pause(n)
Mostra o texto escrito entre as aspas. Solicita ao usuário que forneça algum dado de entrada. Suspende a execução até que o usuário pressione alguma tecla. Suspende a execução por n segundos.
Exemplo:
1. Abra um arquivo novo tipo “m”;
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.33
2. Digite: % Primeiro programa clear all %limpa toda a memória disp('Rodando programa ...'); n=input('Qual o valor final de x desejado?'); x=0:n; y=x.^2; plot(x,y); pause(2) xlabel('x'); ylabel ('y');
3. Salve o programa com o nome “prog1”; 4. Vá à área de trabalho do MATLAB e digite “prog1”. A(s) primeira(s) linha(s) comentada(s) existente(s) no arquivo “.m” é(são) exibida(s) caso o usuário utilize o comando help + nome do arquivo . Ou seja: >> help prog1 Primeiro programa >>
11. Utilizando comandos de fluxo e operadores lógicos 11.1. Utilizando a função for
Os loops for possibilitam que uma série de comandos seja repetida por um número de vezes fixo e predefinido. Vale ressaltar que o comando for não pode ser encerrado atribuindo-se valores ao contador (no exemplo ‘n’) dentro do loop .
Exemplo:
1. Abra um arquivo novo tipo “m”; 2. Digite: clear all for n=1:10 x(n)=n/2; n=10; % ao final do primeiro cálculo de x n = valor maximo end x
3. Salve o programa com o nome “prog2”; 4. Vá à área de trabalho do MATLAB e digite “prog2”. 5. A resposta obtida será: » prog2 x = Columns 1 through 7 0.5000 1.0000 1.5000
2.0000
2.5000
3.0000
3.5000
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.34 Columns 8 through 10 4.0000 4.5000 5.0000 »
Naturalmente, é possível a utilização de mais de uma estrutura for.
Exemplo:
1. Abra um arquivo novo tipo “m”; 2. Digite: clear all for n=1:5 for m=5:-1:1 A(n,m)=n^2+m^2; end disp(n) end A
3. Salve o programa com o nome “prog3”; 4. Vá à área de trabalho do MATLAB e digite “prog3”. 5. A resposta obtida será: » prog3 1 2 3 4 5 A = 2 5 5 8 10 13 17 20 26 29 »
10 13 18 25 34
17 20 25 32 41
26 29 34 41 50
11.2. Utilizando a função while
Os loops while executam um grupo de comandos um número indefinido de vezes.
Exemplo:
1. Abra um arquivo novo tipo “m”; 2. Digite: clear all n=1; while n<10 x(n)=1; n=n+1; end x
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.35 3. Salve o programa com o nome “prog4”; 4. Vá à área de trabalho do MATLAB e digite “prog4”. 5. A resposta obtida será: » prog4 x = 1
1
1
1
1
1
1
1
1
11.3. Utilizando a função if-else-end
Quando ações devem ser executados condicionalmente, com base em um teste relacional, são utilizados comandos if-else-end. Como no comando for, é possível utilizar vários comandos if-else-end simultaneamente.
Exemplo:
1. Abra um arquivo novo tipo “m”; 2. Digite: clear all macas=10; custo=macas*10; if macas>5 custo=0.8*custo; % desconto de 20% end custo
3. Salve o programa com o nome “prog5”; 4. Vá à área de trabalho do MATLAB e digite “prog5”. 5. A resposta obtida será: » prog5 custo = 200 »
Exemplo:
1. Abra um arquivo novo tipo “m”; 2. Digite: clear all m=5 if m==10; disp('m é igual a 10'); elseif m<10; disp('m é menor que 10'); else m~=10; disp('m é diferente de 10'); end
3. Salve o programa com o nome “prog6”; 4. Vá à área de trabalho do MATLAB e digite “prog6”. 5. A resposta obtida será:
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.36 >> prog6 m = 5 m é menor que 10 >>
Observação importante: Como já mencionado anteriormente, o MATLAB é um programa desenvolvido para trabalhar com matrizes. Sendo assim, quando se deseja um loop onde o objetivo é calcular uma expressão diversas vezes, é mais eficiente trabalhar utilizando notação matricial. Por exemplo: o prog2.m seria mais eficiente se o loop fosse eliminado e a variável x fosse definida da seguinte forma: x=0.5*(1:10).
12. Resolvendo um sistema de equações algébricas No MATLAB a função utilizada para resolver sistemas de equações algébricas não lineares é denominada “ fsolve” e se localiza no toolbox de otimização. Para mais detalhes a respeito desta função, sugere-se consultar o help digitando “help fsolve ” na página principal do MATLAB. O método padrão, utilizado para resolução do sistema pelo comando “fsolve”, é o Gauss-Newton com um método misto (quadrático e cúbico) de busca em linha. Caso o usuário prefira, pode ser utilizado o método de Levenberg-Marquardt em alternativa ao Gauss-Newton.
Exemplo:
Considere o sistema de equações algébricas não lineares apresentado abaixo (12.1): 2 ⋅ x 1 − x 2 − e − x1 = 0 (12.1) − x 1 + 2 ⋅ x 2 − e − x 2 = 0 Para resolver este sistema no MATLAB, realize as seguintes tarefas: 1. abra um novo arquivo “m” e escreva: function F=fun1(x) F(1)=2*x(1)-x(2)-exp(-x(1)); F(2)=-x(1)+2*x(2)-exp(-x(2));
2. salve o arquivo como “fun1”; 3. abra um segundo arquivo “m” e escreva: clear all x0=[-5 -5]; % estimativas iniciais para x(1) e x(2) options(1)=1; % p/ mostrar detalhes sobre o cálculo que será realizado x=fsolve('fun1',x0,options) % chamada da rotina que resolve o sistema
4. salve este segundo arquivo como “teste1”;
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.37 5. vá à área de trabalho do MATLAB e digite “teste1”. O programa retornará o seguinte resultado: » teste1 f-COUNT RESID STEP-SIZE 3 47071.2 1 8 966.828 1 15 1.99465 3.85 20 0.000632051 0.895 25 1.39647e-015 0.998 Optimization Terminated Successfully
GRAD/SD -9.41e+004 -1.81e+003 5.6 -0.0867 -1.89e-009
x = 0.5671
0.5671
13. Resolvendo um sistema de equações diferenciais O MATLAB possui diversas funções destinadas à resolução de sistemas de equações diferenciais ordinárias. Nesta apostila utilizaremos a função “ ode23”. Para mais detalhes a respeito destas funções, sugere-se consultar o help digitando “help ode23 ” na área de trabalho do MATLAB. O método padrão utilizado para resolução do sistema de equações diferenciais pelo comando “ode23” é o Runge Kutta.
Exe mplo: Considere o sistema de equações diferenciais apresentado por Simmons (1988) descrito em 13.1: dx dt = x + 2 ⋅ y dy = 3 ⋅ x + 2 ⋅ y dt Assuma as condições iniciais apresentadas pela equação (13.2):
t = 0:
x=2
y=3
Para resolver este sistema no MATLAB, realize as seguintes tarefas: 1. abra um novo arquivo “m” e escreva: function [dy]=fun2(t,y) dy(1)=y(1)+2*y(2); dy(2)=3*y(1)+2*y(2); dy=[dy(1);dy(2)];
2. salve o arquivo como “fun2”; 3. abra um segundo arquivo “m” e escreva:
(13.1)
(13.2)
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.38 clear all yo=[2 3]; % condição inicial tspan=[0 1]; % intervalo no qual será realizada a integração [de 0 à 1] [t,y]=ode23('fun2',tspan,yo); plot(t,y); xlabel('tempo'); ylabel('variáveis x e y'); legend(['x(t)';'y(t)'])
4. salve este segundo arquivo como “teste2”; 5. vá à área de trabalho do MATLAB e digite “teste2”. O programa retornará como resultado um gráfico apresentando a evolução das funções x(t) e y(t) de 0 a 1. De acordo com Simmons (1988) o sistema apresentado (13.1) possui a solução analítica descrita pela equação 13.3. Esta solução confere com a solução numérica apresentada pelo programa. x = 2 ⋅ e 4⋅t y = 3 ⋅ e 4⋅t
(13.3)
SIMMONS, G. F., Cálculo com Geometria Analítica , Vol. 2, 1ª ed. São Paulo,McGraw-Hill, 1988
14. Como saber mais sobre o MATLAB? O MATLAB possui uma biblioteca com vários arquivos tipo pdf. Cada um destes arquivos diz respeito a um toolbox do MATLAB. A seguir é apresentada uma listagem com a indicação de qual arquivo deve ser consultado pelo usuário, se o mesmo necessitar aprofundar seus conhecimentos sobre os tópicos apresentados nesta apostila. Além disso, buscou-se adicionar alguns assuntos de interesse para profissionais da engenharia que não são tratados neste material. Parte da literatura citada foi utilizada para a confecção desta apostila. Tabela 14.1: Arquivos pdf recomendados. Assunto
Arquivo
pdf
Comandos básicos de utilização, descrição do programa
getstart.pdf
Tratamento estatístico de dados (regressão linear, ANOVA, regressão não linear, matriz de correlação, planejamento fatorial, PCA) Controle de processos
stats_tb.pdf
The Language of Technical Computing, Getting Started with MATLAB, 136 páginas, 6 a versão, 2000 Statistics Toolbox, 560 páginas, 3a versão, 2000
usingcontrol.pdf
Controle preditivo de processos
mpc.pdf
Resolução de sistemas de equações diferenciais parciais
pde.pdf
Control System Toolbox, 591 páginas, 1 a versão, 2000 Model Predictive Control Toolbox, 250 páginas, 1 a versão, 1998 Partial Differential Equation Toolbox, 284 páginas, 1997
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.39
Redes neuronais
nnet.pdf
Neural Networks Toolbox, 846 páginas, 4 a vesão, 2000
Identificação de processos (modelos ARX, ARMAX,)
ident.pdf
System Identification Toolbox, 368 páginas,5a versão, 2000
optim_tb.pdf
Optimization Toolbox, 330 páginas, 2 a versão, 2000 Excel Link , 74 páginas, versão 1.1.2, 1999
Otimização Utilização simultânea do Excel e do MATLAB
exlink.pdf
15. Exercícios resolvidos Exercício 1 - Dinâmica de Populações Os arquivos-m a seguir contêm os comandos necessários para solucionar o problema de dinâmica de populações. Para fácil utilização o código do arquivo deve ser gravado no diretório do MATLAB com o nome runpop.m Primeiramente vamos criar o que chamaremos de “programa principal” (runpop.m),utilizaremos este nome pois este arquivo “chamará” o arquivo subseqüente (pop.m) que funciona neste caso como “função”. % leitura dos dados iniciais para um sistema de edo 2x2 %initial = [0 0.25]; clg %axis; initial(1) = input('Primeiro dado inicial da presa '); initial(2) = input('Segundo dado inicial do predador '); % Intervalo de tempo usado [ti,tf] ti = input('Tempo inicial '); tf = input('Tempo final '); % Constantes referentes a presa e ao predador %k1 = input('Taxa de nascimento da presa '); %k2 = input('Taxa de mortandade da presa '); %k3 = input('Taxa de nascimento do predador '); %k4 = input('Taxa de mortandade do predador '); k1 = 3. k2 = 0.002 k3 = 0.0006 k4 = 0.5 [x, num_y] = ode23('pop',ti,tf,initial); subplot(211), plot(x,num_y(:,1),'- g'),... title('Populacao da Presa'),xlabel('t'),grid,... subplot(212),plot(x,num_y(:,2),'- g'),... title('Populacao do Predador'),xlabel('t'),grid
function xf = pop (t,x) global k1 k2 k3 k4 k1=3.; k2=0.002; k3=0.0006; k4=0.5; xf(1)= k1*x(1)-k2*x(1)*x(2);
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.40 xf(2)= k3*x(1)*x(2)-k4*x(2);
Agora que já criamos os arquivos necessários para a solução do problema, é só digitar no prompt do MATLAB >> runpop
serão pedidos alguns dados como população inicial de presa, predadores, tempo inicial e final. Para os dados População inicial da presa = 0,8 População inicial do predador = 0,2 Tempo Inicial = 0 Tempo Final = 50 O resultado será exibido graficamente, apresentando a relação entre crescimento da presa em relação ao predator e vice-versa. Exemplo 2 - Trajetória de uma bola de tênis com “ top –spin ” Os arquivos-m a seguir contém os comandos necessários para solucionar e disponibilizar visualmente o problema da trajetória de tênis em diferentes casos. Veja o código do programa principal que será salvo com o nome “tenis.m” (Preste atenção no diretório onde estão sendo gravado os arquivos; se não quiser ter problemas, salve todos os arquivos no diretório do MATLAB). % Problema para a trajetória de uma bola de tênis viajando no vácuo, % e no ar na presença de um spin (rotação) % tenisV = caso no vácuo % As 4 funções tenisA = caso no ar sem spin % utilizadas são : tenisAsp = caso no ar com rotação positiva % tenisAfs = caso no ar com rotação negativa % Variáveis que serão usadas pelas funções com os campos vetoriais global g alpha w etha % Inicializando as variáveis % Constantes básicas em unidades MKS clg g = 9.81; d = 0.063; m = 0.05; rho = 1.29; alpha = pi*d^2/(8*m)*rho; etha = 1; w = 20; % Condições iniciais h = 1; v0 = 25; theta = pi/180*15; xin = [0, h, v0*cos(theta), v0*sin(theta)]; % Tempo de vôo no vácuo tmaxid = (xin(4) + sqrt(xin(4)^2 + 2*g*xin(2)))/g; % solução no vácuo [tV, xV] = ode23('tenisV',0,tmaxid,xin); % solução no ar sem spin [tA, xA] = ode23('tenisA',0,tmaxid,xin); % solução com spin [tAsp, xAsp] = ode23('tenisAsp',0,tmaxid,xin);
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.41 % Preparando a saída gráfica do problema N = max(xV(:,1)); x =0:N/100:N; axis([0, max(xV(:,1)), 0 , max(xV(:,2))]) hold % comando que permite sobrepor os três gráficos (plots) seguintes %1 plot(x, spline(xV(:,1), xV(:,2), x), ':g'); %2 plot(x, spline(xA(:,1), xA(:,2), x), '-- g'); %3 plot(x, spline(xAsp(:,1), xAsp(:,2), x), '-w'); plot(xV(:,1), xV(:,2), ':g'); plot(xA(:,1), xA(:,2), '-- g'); plot(xAsp(:,1), xAsp(:,2), '-w');
Função que calcula o campo vetorial para a bola no vácuo. function xdot = tenisV(t,x) global g g=9.81; xdot(1) = x(3); xdot(2) = x(4); xdot(3) = 0; xdot(4) = -g;
Função que calcula o campo vetorial para a bola no ar sem rotação. function xdot = tenisA(t,x) %sem spin a constante de Magnus CM e ZERO. global g alpha v = sqrt(x(3)^2+x(4)^2); xdot(1) = x(3); xdot(2) = x(4); xdot(3) = -alpha*0.508*x(3)*v; xdot(4) = -g -alpha*0.508*x(4)*v;
Função que calcula o campo vetorial para a bola no ar com rotação. function xdot = tenisAsp(t,x) global g alpha w etha v = sqrt(x(3)^2+x(4)^2); % cálculo do campo levando em conta as constantes de arraste CD % e a de Magnus CM aux1 = (0.508 +1/(22.503 + 4.196*(v/w)^0.4))*alpha*v; aux2 = etha*w/(2.022*w + 0.981*v)*alpha*v; xdot(1) = x(3); xdot(2) = x(4); xdot(3) = -aux1*x(3) + aux2*x(4); xdot(4) = -g -aux1*x(4) - aux2*x(3);
Agora que já criamos os arquivos necessários para a solução do problema, é só digitar no prompt do MATLAB >> tenis
Então obteremos um gráfico que ilustra a trajetória da bola de tênis nos 3 casos que foram estudados: 1- A linha pontilhada indica a trajetória da bola no vácuo. 2- A linha tracejada indica a trajetória da bola no ar com rotação. 3- A linha contínua indica a trajetória da bola no ar com rotação.
MATLAB – Programa de Engenharia de Processos/NDTR/UNIT pág.42
Exercícios Série A 1) Considere os resultados experimentais apresentados na Tabela A: Tabela A: Resultados experimentais. Experimento 1 2
Concentrações: Ca e Cb 0,5 0,8 0,4 0,75
1.1) armazene os dados da Tabela A em uma matriz bidimensional; 1.2) armazene os dados da Tabela A em uma matriz multidimensional. 2) Crie uma matriz de dimensão 4x4 e a chame de A. (Sugestão: crie uma matriz com números aleatórios). 2.1) apague a 2ª linha de A; 2.2) apague a 3ª coluna de A.
Série B 1) Represente graficamente as seguintes funções: 1. z = -x2 + 2.y2 onde –10< x <10, –10< y <10 2. z = -x2 + 2.y2 + 5.x.sen(y) onde –10< x <10, –10< y <10
Série C 1) Considere o seguinte problema: Uma indústria produtora de alumínio deseja conhecer a influência das variáveis razão Al2O3 /NaOH e temperatura de reação sobre o teor de Na2O presente na alumina. Utilizando os dados operacionais disponíveis na Tabela C proponha um modelo linear que descreva o processo. Tabela C: Dados operacionais. Teor de Na 2O (p/p)
Al 2 O3 /NaOH
Temperatura de reação ( o C)
0,43 0,647 77,1 0,39 0,638 78,3 0,44 0,651 76,0 0,42 0,648 77,9 0,43 0,640 74,1 0,42 0,643 74,6 0,41 0,643 76,0 0,46 0,651 73,3 0,42 0,650 78,6 0,40 0,639 78,7 Este problema é originalmente apresentado por: WERKEMA, M. C. C., AGUIAR, S., Análise de Regressão: Como entender o relacionamento entre as variáveis de um processo , 1ª ed. Belo Horizonte, Fundação Christiano Ottoni, 1996. Nesta apostila é utilizada uma versão simplificada do problema original.
