EJERCICIOS Pag. 67 (1,5,9,13,17,21,25,29) (total 8) Pag. 143 1, 5, 7, 13,15,17, 25, 27, 29, 31 (total 10) Pag. 167 impares (total 6) Pag 223 1,5,13,17,19,21 (total 6)
Pag. 67 (1,5,9,13,17,21,25,29) (total 8) P.2-1 Un rombo es un paralelogramo equilátero. Denote dos lados vecinos del rombo con los vectores A y B. a) Verifique que las dos diagonales sean A + B y A - B. b) Demuestre que las diagonales son perpendiculares entre sí.
a) Verifique que las dos diagonales sean A + B y A - B. El vector suma resultante suma resultante ( A+B) será la diagonal del paralelogramo con origen común a los dos vectores originales. Por eso la diagonal principal es A+ B
⃗ ⃗
Y la resta de vectores no da como resultante la unión de los dos vectores lo q seria en este caso la diagonal secundaria Por eso la diagonal secundaria es A- B
⃗ ⃗ . ⃗ . .. ⃗ 0 ⃗ . Por⃗ lo ta.nto ⃗
b) Demuestre que las diagonales son perpendiculares entre sí.
⃗ ⊥ ⃗
P.2-5 Los tres vértices de un triángulo rectángulo están en P1 (1, 0, 2), P2 (-3, 1,5) P3 (3, — 4, 4, 6). a) Determine cuál de los vértices corresponde a un ángulo recto. b) Encuentre el área del triángulo.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 645 3 2 4 4 ⃗ . ⃗ ⃗ 0 ⃗ ⃗
Determine cuál de los vértices corresponde a un ángulo recto.
1⃗ 12 ⃗⃗ ×⃗ 1 12 ⃗ ⃗ 2 2 √ 2 6×615.3 , ∅
b) Encuentre el área del triángulo.
P.2.13 Exprese la componente de un vector A en (r1, En función de Ax y Ay en coordenadas cartesianas En función de Ar y A en coordenadas esféricas
,z1)
∅ → → →. → →. →. →. → ∅1∅1 → → →. ∅ ∅∅ ∅ 11 √ 111 √ 111 ,, ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1⃗ 1 − 1 1 1 1 ∇∙ ⃗ −⃗ ⃗ − − ∇∙1 2 ⃗ 2 ⃗ 2 ⃗ ∇∙ 2 2 2 ∇∙1 1 ⃗ ⃗ ⃗ ∇∙1 1⃗ ⃗ ∙ ∇∙⃗ 1⃗ 1⃗ ∇∙1 1⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∇∙ En coordenadas cartesianas
b.-En coordenadas esféricas
P.2-17 Denote con R el vector de posición de un punto En coordenadas cartesianas y
En coordenadas esféricas
Despejando
. Determine
∙ ⃗ .
⃗ ⃗ ⃗
P.2-21 Dado un campo vectorial , Calcule el flujo de salida total a través de la superficie de un cubo unidad en el primer octante con un vértice en el origen, y Encuentre y verifique el teorema de la divergencia.
Φ∫ ⃗ ⃗ Φ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Φ∫ ∫ | Φ∫| | | 1 0 Φ∫ Φ ⃗ Φ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∫ Φ∫ | 10 | Φ∫| | Φ∫ Φ ⃗ Φ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Φ∫ ∫ Φ∫ Φ 2 ∫ Φ || || 1 0 Φ Encontrar
Evaluando
Evaluando
(1)
Evaluando
Evaluando
(2)
Evaluando
Evaluando
(3)
Φ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Φ∫ ∫ Φ∫ Φ 2 . .. ∇. ∇. . ∇ ⃗ ∇. ∙ , , ∇. . ∇ × ×× ∇× ∇××∇ ∇. ⃗ ∙ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
P2.25 Para un campo escalar coordenadas cartesianas.
Evaluando
y una función vectorial A, demuestre que
en
Ordenando y agrupando términos
P2.29 Para una funcion escalar en coordenadas cartesianas.
y una función vectorial G, demuestre que
Ordenando y agrupando términos
Pag. 143 1, 5, 7, 13,15,17, 25, 27, 29, 31 (total 10) 3.1) Un osciloscopio de rayos catódicos (ORC) de la figura 3-2 se usa para medir el voltaje aplicado a las placas de desviación paralelas.
Suponiendo que no hay rupturas en el aislamiento, ¿cuál es el voltaje máximo que puede medirse si la distancia de separación entre las placas es h?
ℎ2 ℎ
Despejando
ℎ2 2 ℎ ℎ 1 2 ℎ 2
¿Cuál es la restricción de L si el diámetro de la pantalla es D?
¿Qué puede hacerse con una geometría fija para duplicar el voltaje máximo que puede medir del ORC? Duplicando para duplicar
3.5) En el ejemplo 3.8, determine la posición del punto P en el eje de z más allá del cual el disco puede considerarse como una carga puntual si el error en el cálculo de no es mayor que el 1%.
Densidad superficial de carga
− ⃗ 2 11 − ⃗ 2 11 2 38 ……… 2 38 …… ⃗ 2 11 ⃗ 2 12 338 3⃗ 4 1 4 ⋯ 4 ≤0.01 →≥√758.66
3.7) Una línea de carga con densidad uniforme Pl forma un semicírculo de radio b en la mitad superior del plano xy. Determine la magnitud y la dirección de la intensidad de campo eléctrico en el centro del semicírculo.
⃗ ∈∅ ∅ ⃗ ⃗ ⃗ ∈ ∅ ∅ ⃗ ∈ ⃗ . 2 ∇⃗ ⃗ 3 6 3 3 3 30 00 3.13) = a)
La polarización en un cubo dieléctrico de lados L, centrado en el origen, esta expresado por . Determine las densidades superficiales y volumétricas de carga ligada.
.
b)
Demuestre que la carga total ligada es cero. 1)
2)
3.15. El eje de un largo tubo dieléctrico, con radio interior y radio exterior Existe un vector de polarización P = ( ) en el dieléctrico. Determine las densidades superficial y volumétrica de carga ligada. Demuestre que la carga total ligada es cero
, coincide con el eje z.
τ ( 3∅ 4 ∅ ) 33cossin∅ ∅4 sin ∅ 3 sin ∅ = = = =
=
= ∇ ° =
=∫ ∅ = 3= sin ∅∅ = =
3.17. Resolver Determine el voltaje de ruptura de un condensador de placas paralelas, suponiendo que las placas conductoras están separadas 50 (mm) y que el medio entre ellas es aire. Determine el voltaje de ruptura se el espacio entre las placas conductoras está lleno de plexiglás, que tiene una constante dieléctrica de 3 y rigidez dieléctrica de 20 (KV/mm). Si se introduce una lámina de plexiglás de 10 (mm) de grosor, ¿cuál es el vo ltaje máximo que puede aplicarse a las placas sin llegar a la ruptura?
10 10− ∗ 10 10− ∗ V == ∗ ==∗ ⃗ 6 sen cos ⃗ ⃗ ⃗ ∫ ⃗ ⃗ 10− ∫ 3 ∫−π/−π/ −π/ − 6sen π 32 −π/ 10 − 6sen π 6sen π 32 π 32 π 10 10− v=
V= (3 ) (50 V= 150000 (v) V= 150(KV)
)
v=
V= (20 ) (50 V= (1000000v) V= (1000 KV)
)
) +
+
+
3.25 Calcule la energía gastada en mover una carga puntual de 500(pC) de P1(2,π/3, -1)en un campo eléctrico E= , Haciendo primero el movimiento de =π/3 a- π/2 en r=2 y luego de r=2 a4 en =- π/2, Haciendo primero el movimiento de r=2 a4 en = π/3 y luego de =π/3 a –π/2 en r=4 = Transformación a coordenadas cilíndricas dl= dr+ rd + dz, =π/3 a- π/2 en r=2 y luego de r=2 a4 en =- π/2,
.
-(5x
=-(5x )
-(5x
)
-(5x
)[-36-18]
) [6sen
⃗ ⃗
10− π π − 1010− 6sen 6sen 32 π 32 π 10−
2.7x 27nJ Haciendo primero el movimiento de r=2 a4 en -(5x
= π/3 y luego de
=π/3 a –π/2 en r=4
)
-(5x )[72-18] 2.7x 27nJ Cuando el campo es igual a cero es un campo incompresible x =0 P3-27. Un condensador de placas paralelas de anchura w, longitud L y separación d tiene entre las placas una lámina de dieléctrico solido de permitividad €. El condensador se carga a un voltaje usando una batería, como se muestra en la figura 3-32. Suponiendo que se retira la lámina dieléctrica a la posición indicada en la figura y que después se abre el interruptor, determine la fuerza que actúa sobre la lámina.
= 2 [ ] − =−∇⃗=− ⃗ . = 2 .[−]2 2 < << ∇ , ln { , 0 ln l n l n lnlnl n ln
<
P.3.29 Suponga que el espacio entre los conductores interior y exterior de una larga estructura cilíndrica coaxial está lleno con una nube de electrones cuya densidad volumétrica de carga es:
donde a y b son los radios de los conductores interior y exterior respectivamente. El conductor interior se mantiene a un potencial y el conductor exterior está puesto a tierra. Determine la diferencia de potencial en la región resolviendo la ecuación de Poisson. Ecuación de Poisson
Solución:
P.3.31 Un cono conductor infinito de medio ángulo α se mantiene a un potencial Vo y está aislado d e un plano conductor puesto a tierra. Determine: a) La distribución de potencial en la región α < θ < π/2 b) la intensidad de campo eléctrico en la región α < θ < π/2 c) las densidades superficiales de carga del cono y del plano puesto a tierra.
sin 0 1. l n t a n 2 2. 0 ln tan 0 lntan⁄2 lnlntatnan⁄⁄22 ln tan lntan⁄2 sin , lntan⁄2 sin 2 , 2 lntan⁄2 Solución:
Pag. 167 impares (total 6) P.4.1 Un voltaje de corriente continua de 6(V) aplicado a los ext remos de un alambre conductor de 1 Km de longitud y 0.5 (mm) de radio produce una corriente de 1/6 . (A). Determine a) la conductividad del alambre. b) la intensidad de campo eléctrico en el alambre. c) la potencia disipada en el alambre. a)
b)
c)
0.1000005166 3.5310 10006− 6 10 6 16
1
P.4.3 Un rayo cae sobre una esfera dieléctrica con pérdidas E = 1.2 E o1 δ= 10 (S/m)) de radio 0.1 (m) en el instante t=0, depositando en la esfera una carga total de 1(mC) de manera uniforme. Determine, parat 3. La intensidad de campo eléctrico dentro y fuera de la esfera. La densidad de corriente en la esfera.
. Para el interior de la esfera
Para el exterior de la esfera
0.239 −⁄ 1⃗ 443 ⃗1 3 −⁄ 1⃗ 0.2339 1⁄.06100.−1 −.⁄. 1⃗ 7.5 10 −.⁄.
⃗2 2⃗ . . ⃗2 7507 10 ⁄ ⃗1 ⃗1 ⃗1 10 7.5 10 −.⁄. ⁄ ⃗2 ⃗1 ⃗2 0 Para el interior de la esfera
Para el exterior de la esfera
La densidad de corriente en el exterior de la esfera es cero por la ausencia de campo eléctrico.
P.4.5 Encuentre la corriente y el calor disipado en cada una de las cinco resistencias de la red mostrada en la figura, R1=1/3 Ω, R2=20Ω , R3=30Ω, R4=8Ω, R5= 10Ω
Y la fuente es un generador de voltaje es ideal de 0.7 (V), con la polaridad positiva en el terminal 1. Cuál es la resistencia total vista por la fuente en los terminales 1-2?
35 V 1.050105 1V1∗I0. 1 R1V1 0.0.3333Ω 3 5V∗1. 0 50105 A0. 3 67536 W V2 0. 1 75 V 2V2∗I 2 R2 20.20Ω175V∗0. 0.0087500875 A0.00153125 W 3V3∗I 3 R3V3 0.330Ω10.75V10.75V∗0.0058333 0 05833 A0. 0 010208333 W V4 0. 3 5 V 4V4∗I 4 R4 48Ω0.30.5V∗0.0437504375 A0.0153125 W 5V5∗I 5 R5V5 0.510Ω30.5 V30.5V∗0.035035 A0.001225 W R2∗R3 6 00 7 12 Ω R2R3 50 8R7R481220 Ω R8∗R5 2 00 9 6. 6 6667Ω R8R5 30 R9R16.66670.3336.99667 Ω
4.7 El espacio entre dos placas conductoras paralelas de área S esta relleno con un medio óhmico homogéneo cuya conductividad varia linealmente de sigma1 en una placa (y=0) a sigma 2 en la otra (y =d). Se aplica una fuente cc de voltaje a las placas. Determine La resistencia total entre las placas Las densidades superficiales de carga en las placas.
σyσ1 σ 2σ1 / ̅ σ ̅ /σy σ2 ∗ σ1σ2σ1y/d σ2σ1 ∗ σ1
∗ln σ2σ1 σ σ2σ1 − d / 20 −/
; la densidad de carga en la placa superior
; la densidad de carga en la placa inferior
4.9.- Se aplica un voltaje cc V 0 a un condensador cilíndrico de l ongitud L. Los radios de los conductores interior y exterior son a y b respectivamente, permitividad € 1 y conductividad σ 1 en la región a < r < c y permitividad €2 y conductividad σ2 en la región c < r < b. Determine: El circuito R-C equivalente entre los conductores interior y exterior La densidad de corriente en cada región Sugerencia: use los resultados del ejemplo 4-3(a)
∈ Ω
Respuesta ejemplo 4-3
a)
∫∮∈ ∫∮ = = ∈ = = ∈
4.11.- Remítase a la arandela conductora plana de cuarto de círculo del ejemplo 4-4 y a la figura 44.Encuentre la resistencia entre los lados curvos.
.
LAPLACE COOR CILINDRICAS solo con respecto al radio
Condiciones 1.
⃗ ⃗ . ⃗ ∅ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ × 0 0 (. 0. . ) (. . ) . ( . 0. ) . . ,, 2.
Densidad de corriente
Pag 223 1,5,13,17,19,21 (total 6) P4.1Una carga puntual Q con velocidad entra en una región donde existe un campo magnético uniforme B= . ¿Cuál es el campo E que debe existir en la región para que la carga prosiga sin cambio de velocidad? =0
-
P.4.5 Remítase al problema 5-4 y a la figura 5.2. Determine la densidad de flujo magnético punto
en el
Direccion de la corriente en el unitario
⃗
⃗ ⃗2 ⃗ ⃗ 2 + ⃗ ⃗ 2 ln1 2
Integramos a ambos lados y obtenemos:
P.4.13. Una esfera ferromagnética de radio b se magnética de manera uniforme con una magnetización . Determine la densidad de corriente de magnetización equivalente . Determine la densidad de flujo magnético en el centro de la esfera.
∇× Literal a:
Z
∅ ∅ si∅n∅∅ × ∅ ∅ 2∅ ∅ 2 ∅ 2 2 ∅∅ 3
Literal b Aplicando para un lapso de radio b sin
llevando una corriente
Comentado [HM1]:
Escriba aquí la ecuación.
En el centro 0
23
4.17 determine la inductancia mutua entre dos espiras rectangulares coplanares con lados paralelos, como se muestra en la figura 5-28 suponga que .
ℎ ≫ℎℎ > >
Aproxime el flujo magnético debido al lazo largo acoplando con el lazo pequeño por esa razón debido a infinitamente al los alambres llevando corriente igual y opuesta
1 12ℎ2ℎ 1 l n . 2 12 12 2ℎ ln
5.19 En la figura 5.30 se muestra el corte transversal de una tira de metal larga y delgada y un alambre paralelo. Por los conductores fluyen corrientes I iguales y opuestas. Calcule la fuerza por unidad de longitud en los conductores.
En un Elemento
Calculo de
⃗
:
:
Fuerza por unidad de longitud:
⃗ 2 ⃗ 2 ⃗ 2 ⃗ ∗ ⃗ 2 ∗ / ⃗ 2 2 / ⃗ 2t2an− ⃗ tan− 2 −∗∗⃗ ⃗ tan 2
P5.21 Una corriente continua I = 10 (A) fluye por una espira triangular en el plano xy, como se muestra en la figura 5-32. Suponga una densidad de flujo magnético B = a y6 (mT) en la región y determine las fuerzas y el par sobre la espira. Las dimensiones están en (cm).
B = ay6 (mT)
dAB = (-a x0,1-ay0,2 )m dCA = (-a x0,1 + a y0,2)m dBC = (ax0,1 + a x0,1)m = a x0,2m F = -B x (I.L) F1 = - a y0,6 T x (10A.dAB) F1 = - a y0,6 T x (10A . (-a x0,1-ay0,2 )m) F1 = - a y0,6 T x (-ax1-a y2 )m) ax ay az F1=
0 -0,6
0
-1
0
-2
= (ax0+ay0+az0) - (ax0+ay0+az(-0,6x-1)) = - 0,6 az N.
F2 = - a y0,6 T x (10A.dCA) F2 = - a y0,6 T x (10A . (-a x0,1 + a y0,2)m) F2 = - a y0,6 T x (-ax1 + a y2 )m) ax ay az F2=
0 -0,6
0
-1
0
2
= (ax0+ay0+az0) - (ax0+ay0+az (-0,6x-1)) = - 0,6 az N.
F3 = - a y0,6 T x (10A.dBC) F3 = - a y0,6 T x (10A . (a x0,2)m) F3 = - a y0,6 T x (a x2)m) ax ay az F3=
0 -0,6
0
2
0
0
= (ax0+ay0+az0) - (ax0+ay0+az (-0,6x2)) = 1,2 az N.
Par sobre la espira. S = (bxh)/2 T = mxB T = (az.I.S)xB T = (az.(10A).(1/2.0,2,0,2))x(ay0,6) T = (az0,2)x(ay0,6) ax ay az T=
0
0,6
0
0
0
0,2
= (ax(0,6x0,2)+ay0+az0) - (ax0+ay0+az0) = 0,12 ax N.m