Ejer Cici Os

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA SECCIÓN JAÉN

FACULTAD DE INGENIERÍA

APLICACIONES APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

1. Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes X e ! las

coor"ena"as "el centro "e #ra$e"a" "el arco "e lo astroi"e sit%a"a en el primer c%a"rante.

Sol%ci&n'

c =( x , y )

ANALISIS MATEMAT MATEMATICO ICO II

LIC: ELADIO SANCHEZ CULQUI



Desarrollan"o la inte#ral

m=

2

1 3

∗3∗ x

|

2 3

2

2 0

E$al%an"o los $alores 1

m=

2

3

2

∗3∗2

3

2

m =3

x =


M y m




Desarrollan"o la inte#ral

m=

2

1 3

∗3∗ x

|

2 3

2

2 0

E$al%an"o los $alores 1

m=

2

3

2

∗3∗2

3

2

m =3

x =


M y m




1

My=

2

3

5

∗3∗ x 5

My =

2

1 3

|

2 0

∗3∗2

5 3

5

My=

x =

3

12 5

12 5∗3

x =0.8





y =

M x m

Hacien"o cam(io "e $aria(le 2

2

u=2 ∗ x 3

−2

dx (

3 x

ANALISIS MATEMATICO II

1 3

3

)= du




5

−3∗2∗u Mx= 5∗2

3

1

0

3

5

Mx=

−6∗u

3

1

∗

5 2

3

|

2

|

2 0

Rempla)an"o en *%+ 1

2

−6∗(2 − x ) 3

Mx =

3

1

∗

5 2

3

5 2

|

2 0

Mx =

E$al%an"o los $alores

6∗(2

1 5 3 2

5∗2

Mx =

y =

)

1 3

|

2 0

12 5

12

∗3

5

y =0.8

c =( 0.8, 0.8)




FACULTAD DE INGENIERÍA ,- Hallar el centro "e #ra$e"a" "e la re#i&n .nita! en el primer c%a"rante! compren"i"a entre la c%r$a Sol%ci&n'

/ el eje X

Inte#raci&n por partes

− x

m=(− x e

−e− x )|+ ∞ 0

− x

m =−e

m= lim

t →+ ∞


( x + 1 )|+ ∞ 0

−e− x ( x + 1 )|+1




−( x +1 )|

m= lim

− x

e

t →+ ∞

+1

m =1

c =( x , y )

x =

M y m

Desarrollan"o por inte#raci&n por partes x

2

xdx =d u

=u

∫ e− dx=∫ v x

−e− x =v − x

My=−e


( x + 2 x + 2 )|+ ∞ 2

0




My = lim

t → +∞

−e− x ( x + 2 x + 2)| t 2

0

My =2

0- El Centro "e #ra$e"a" "e la re#i&n acota"a por las c%r$as

1

es %n es %n p%nto "e a(scisa i#%al a ,- Hallar el $alor "e m Sol%ci&n'

Intersecciones 2

X 4

=mx 2

x (

X 4

− m)= 0

x =0


x 4

− m=0 …dondex = 4 m




m=

m=(

mx 2

−

x

3

12

|

1 4

(

4 mx 2

3

|

− ) +∞ x

3

0

) +∞ 0


3

m=

m=

16 m 2

8m

−

64 m

3

12

3

3

c =( x , y ) c =( 2 , 0 )

Mx=0

x =

M y m





Desarrollan"o la inte#ral My=

1 4

My=(

(

4mx

mx

3

3

3

−

3

x

x

−

4

16

4

4

|

|

) 4m 0

) 4m 0


My =

My=

64 m

4

3

16 m

− 256

m

4

16

4

3





2=

16∗3 m

4

18∗3 m

3

1=m

c =( x , y )

x =0

2- Hallar el centro "e masa "e %n cono 3omo#4neo circ%lar recto "e alt%ra 3 / ra"io "e (ase r-

Sol%ci&n' Hallan"o la recta

m=



−h r



v=

2 πh

r

2

(

x r 2

E$al%an"o los $alores v=

2 πh

r

v=

r

3

r

3

( − ) 2

2 πh

r

r

3

( ) 6

m= v =

y =

3

πh r

2

3

M x m

Calc%lan"o el 56



x

3

|

− ) r 3

0



2

2

2r x − 2 3

r x

3

x

+

4

4

¿|r Mx =

0 2 2π h

r

¿

2


En

y =

y =

3π h

2

2

r 2 6 πh r

h 2

h c =( 0 , ) 2




FACULTAD DE INGENIERÍA 5. . Hallar el centro "e #ra$e"a" "el arco "e la circ%n7erencia "e ra"io a! α

el c%al se tiene el án#%lo central

Sol%ci&n'

y α

2

x =

M y m

, y =

M x m

B

∩ x α Como el arco A8 es sim4trico respecto y

=0

al eje X' / 9:! entonces

−

-

α

2

A

x

Solo 3allemos'



9;



2

d  =

 dr  d θ r 2 +    d θ 

= a 2 + 0d θ = a.d θ

x = a. cos θ , dm = a.d θ

dm = p.d , p = 1

= a.d θ m=a

α 2

∫ d θ − α 2

= a.α dM y


= x.dm




= x.a.d θ = a. cos θ .ad .θ = a 2 . cos θ .d θ M y

=a

2

α 2

∫ cosθ .d θ − α 2

= 2a 2 sen α 2

x =

2a 2 sen a.α

α

2

=

2asen

α

2

α

Concl%si&n'

2aSen α 2   ,0  G =  α 





=- Hallar las coor"ena"as "el centro "e #ra$e"a" "e %n arco completo "e x = a ( t − sent ) y la cicloi"e ' !

= a (1 − cos t ) Sol%ci&n'

El Grá.co es'

x = aπ

2aπ aπ

G

= ( x, y )

Hallar





x

= M y ; y = M x m

m

x = aπ El arco es sim4trico respecto a la recta!

x = aπ

entonces

y

Hallar

dm = ρ .d 

ρ = 1 , 2

2

 dx   dy  d  =     dt  dt   dt 

=a

2 1 − cos t dt

m=a 2

2π

∫ 0

1 − cos t dt

m = 8a

dm x

= ydm

= a(1 − cos t ) a


2 1 − cos t dt




M x

2π

= 4a 2 ∫ 0 sen 3

M x

=

32

y

=

4

2

3

t dt 2

a2

a

Concl%si&n' G

4  =   aπ , a   3 

>- Determinar el cancroi"e "el arco "e la CARDOIDE Sol%ci&n'

El #ra.co es' π

2

G = ( x, y )

Hallar





La c%r$a es sim4trica respecto al eje X'

( x,0)

3π 2

0

y = 0 π

/9: entonces

x =

= 2a. cos

2

m

Hallar

•

θ

M y

2

.d θ d  = r

2

d θ  +    d θ  d θ 

dm = p.d , p = 1 m=2

π

∫ • d  0

π

= 4a ∫ 0 cos

π 2

d θ

= 8a





dM y

= 2 x.dm

π

∫

M y = 2 x.dm, x = r cos θ 0

π

= 2∫ 0 r cos θ .2a cos

θ

2

d θ , r = a (1 − cos θ )

π

= 2∫ 0 [ a (1 + cos θ )] cos θ 2a cos π

= 4a ∫ 0 (1 + cosθ ) cosθ cos =

32 5

x =

θ 2

a

4 5

θ

2

d θ

d θ , cosθ = 1 − sen 2

θ 2

2

a

?- Hallar las coor"ena"as "el centro "e #ra$e"a" "el arco "el

θ 1 = 0

r = a (1 + cos θ ) car"io"e


"es"e!

θ 2 3asta

= π -



FACULTAD DE INGENIERÍA Sol%ci&n'

 4 4  G =  a, a   5 5 

@- Hallar las coor"ena"as "el centro "e #ra$e"a" "el arco "e la

x = a cos 3 t , y = asen 3t astroi"e c%a"rante-

el c%al se 3alla en el primer

Sol%ci&n'

x = •

M y m

, y =

M x m

Hallar

y = x La c%r$a es sim4trica

y = x respecto a la recta

x = y Entonces

-

x

Hallar





2

2

 dx   dy  d  =   +   dt  dt   dt  dm = d  ,

= [ − 3a cos 2 t . sent ] + [3asen 2t cos t ] 2

2

dt

π 2

= 3a. cos t . sent .dt m = ∫ 3a cos t . sent .dt 0

=

3a

π 2

sen2tdt ∫ 2 0

= dM y

=


3a 2

= x.dm

a cos 3 t [ 3a. cos t . sent .dt ]




M y

= 3a

2

π 2

∫ 0

=

x = y =

:-

2a 5

cos 4 t . sent .dt

3a 2 2

x =

3a 2 3a

5

=

2a

2

5

Hallar las coor"ena"as "el centro "e #ra$e"a" "el arco "e r = a, e

θ 1

θ

la espiral lo#arBtmica

=

π 2

hastaθ 1

= π

"es"e

-

Sol%ci&n'

G Hallar

x

= ( x, y )

= M y ; y = M x m

m

donde:

dm = .d 





2

=

=

2

r

dr  +    d θ  d θ 

+ a θ e 2θ d θ

a 2 e 2θ

= m=

2aeθ π

∫ π

2ae

θ

2

 π π 2  m = 2a e − e      dM x

= x.d 

= r cosθ

= xdm

x = r cos θ ,

r = aeθ

2aeθ d θ ,





= aeθ . cosθ

M y

=a

2

2aeθ d θ

π

∫

2θ e . cos θ d θ π

2

2

M x

= y.d ; y = rsen θ ; r = aeθ Concl%si&n'

π

x = −

2 2e 5

2π

+e

π

π

e

π

−e

2

; y

=

ae

5

2π

− 2e 2 π

e

π

−e2

14.
"e 0: cm a 0 cm- Calc%lar el tra(ajo %e se reali)a al estirar el resorte "e s% lon#it%" ori#inal a 2: cm-





•

•

Calculando F(x)

Realizando transformaciones: (N.m)

Por lo tanto la ec%aci&n %e"a "e.ni"a'

•


De la variación del trabajo tenemos:



FACULTAD DE INGENIERÍA 15. Hallar la lon#it%" "e %n m%elle metálico pesa"o! si el tra(ajo

e7ect%a"o al alar#arlo "es"e %na lon#it%" "e , pies 3asta %na lon#it%" "e 0 pies es la mita" "el tra(ajo e7ect%a"o al alar#arlo "es"e %na lon#it%" "e 0 pies 3asta %na lon#it%" "e 2 pies-

16.
rectan#%lar "e  pies "e pro7%n"i"a"!  pies "e anc3o / , pies "e lar#o- Calc%lar el tra(ajo necesario para (om(ear el a#%a "el tan%e 3asta %n ni$el "e  pies arri(a "e la s%per.cie "el tan%eSol%ci&n' •

De la variación del volumen

Trans7orman"o a m,'

•


De la variación de la fuerza:




•

De la variación del trabajo:

El tra(ajo para (om(ear %n ni$el  pies más arri(a "el tan%e es ,>,-,

17.
se enc%entra lleno "e a#%a- Halar el tra(ajo al (om(ear el a#%a' a Hasta el ni$el más alto "el "ep&sito( Hasta el ni$el "e  metros por encima "e "ic3o "ep&sito 9 :::#Jm0





•

De las variaciones del volumen, fuerza  trabajo! tenemos:





•

"nte#rando en el intervalo de $ a % (altura):

Para: r = 4 y h = 6

1.
"e pro7%n"i"a"! encontrar la 7%er)a "e(i"a a la presi&n "el lB%i"o so(re %n e6tremo "el tan%e-

•

De la variación de la fuerza de &resión, 'rea tenemos:

Inte#ran"o'





1!.
s%mer#e $erticalmente en %n lB%i"o con s% eje ma/or paralelo a la s%per.cie "el lB%i"o 3asta %e el centro "e la elipse se enc%entre a %na pro7%n"i"a" 3- KC%ál es la presi&n "el lB%i"o so(re la s%per.cie;

Sol%ci&n' •

•

De la variación de la fuerza de &resión:

"nte#rando &ara un intervalo de la eli&se:



Ejer Cici Os

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