ECUACIONES LINEALES Definición.- Diremos que una ecuación es lineal en la variable x si puede escribir en la forma ax + b = 0
con a y b constantes y a ≠ 0 . Para resolver ecuaciones lineales se deberá realizar una serie de operaciones que conduzcan a ecuaciones equivalentes a la original hasta obtener una ecuación de la forma x c cuya solución es explícita. Normalmente se dice que la x debe quedar despejada en un lado de la ecuación. Veamos el siguiente ejemplo que ilustra como vamos obteniendo ecuaciones equivalentes: =
Ejemplo 2.- Resolver la siguiente ecuación. 4 x
=
2x − 5
Solución.4 x
−
2 x
=
2 x
−
5
−
2 x
Restamos 2 x a ambos miembros
2x =−5 2x 2 x
=
=
−5
Dividimos Dividimos por 2 a ambos miembros
2
−5 2
De aquí,
x =−
5 2
es la única solución de la ecuación
4x= 2x−5
.
Comentario: Como se puede observar en este ejemplo una expresión que este sumando un miembro miembro puede puede pasar restando, restando, esto es lo mismo mismo que restar ambos ambos lados por la expresión. De manera, similar si una expresión está dividiendo todo un miembro de la ecuación pasa multiplicando. Si está multiplicando todo un miembro de la ecuación pasa dividiendo al otro miembro. Ejemplo 2.- Resolver la siguiente ecuación x − 1 = 3 x − 5 Solución: Se resuelven primero los paréntesis para luego agrupar las x ´s ´s de un lado y las constantes del otro. En general, es conveniente eliminar los paréntesis. Para ello aplicamos la propiedad distributiva en el lado derecho: x
−1 =3 x −5
Pasa Pasam mos el 15 sum sumando ando al otro otro lado lado,, equivalentemente equivalentemente sumamos 15 a ambos lados.
x − =x −
x −= x
4= x − x = x
4 = x x = 7
Pasamos Pasamos el x restan restando do al otro otro lado, lado, equivalentemente equivalentemente sumamos x a ambos lados Pasam Pasamos os el 2 dividi dividiend endo o al otro otro lado, lado, equivalentemente equivalentemente dividimos por 2 a ambos lados.
Ejemplo 3: Resolver la siguiente ecuación x −1
2
−
1 6
=3
Solución.- Cuando existen denominadores numéricos podemos multiplicar ambos lado lados s por por el m.c. m.c.m. m. de los los deno denomi min nador adores es.. Con ello ello se elimi limin nan los los denomina denominadore dores s y se evita de esta forma sumar sumar fraccione fracciones s que puede ser más tedioso. En este caso el m.c.m. de los denominadores es 6. 6
x −1
6⋅.
2
1 −
x −1
2
6
3⋅6
Se distribuye el 6
= 18
Se simplifica
=
1
− 6⋅
6
3⋅. x −1 −1 =18
Se distribuye el 3
3x − 3− 1=18 3x=22 x
=
22 3
Tres consejos se han dado en esta sección para resolver ecuaciones lineales: 1) Si existen existen denomi denominado nadores res numéric numéricos, os, elimíne elimínelos los multipli multiplicand cando o ambos ambos miembros por el m.c.m. de los denominadores. 2) Resuelva los paréntesis de acuerdo con las reglas enseñadas. 3) Agrupe los términos en x en un miembro y las constantes en otro para despejar x. x. Hay Hay que que reit reiter erar ar que que esto estos s son son sólo sólo cons consej ejos os prác prácti tico cos s muy muy gene genera rale les, s, seguramente en casos particulares existan otros procedimientos más rápidos.
