TEMA 1 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE
PRÁCTICAS
Dr. Alberto Gutiérrez B.
Universidad Nacional San Luis Gonzaga de Ica Departamento de Matemáticas
Ecuaciones Diferenciales Diferenciales
TRANSFORMADA DE LAPLACE
PRÁCTICA 1 ------------------------------------------------------------------------------Alberto Gutiérrez Borda Email:
[email protected] Web: http://www.sabermatem http://www.sabermatematica.bl atica.blogdiario.com ogdiario.com
1.
a)
( (
b)
d)
( ( ( ((}
1 si 0 t 1 1 si t 1
2.
f (t )
3.
f (t )
t si 0 t 1 1 si t 1
4.
f (t ) et sent sent
5.
f (t ) t 2 6t 3
7. 8. 9. 10. 11.
R.:
R.:
F ( s) 1 s
R.: F ( s)
2
2 s
1
e s
1 s
2
e
s
s
1 s 2 2s 2 2 6 3
R.: F ( s) s3 s 2 s
(( | (( |∫ ( ( , ( (
. Justifica tu
para cada una de las funciones:
F ( s)
.
R.: F ( s)
senht 12. f (t ) et senht 13.
c)
e)
En los problemas del 2 al 21, encontrar
6.
[ (
Dadas las siguientes funciones, estudie cuales son continuas en respuesta.
1 2 s 2
1 2s
.
). cos(2t ) 14. f (t) sen(2t).
R.: F ( s )
2 s 2 16
2t 5 15. f (t ) e 3t sen(3t ) 2 2t) t n , n Z 16. f (t ) cos ((2
2
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Ecuaciones Diferenciales Diferenciales
(
17.
.
R.:
bt msen( nt) c 18. f (t ) ae msen 3 19. f (t ) t cos(3t) tsen(2t ) 1
20. f (t ) e5t senh senh3t
R.: F ( s )
2t 21. f (t ) te sen(6t )
R.: F ( s)
, s>0
3 2 s 5 9
12 s 24
s 2 2 36
2
Determine la transformada de Laplace dada: 22. 23. 24. 25.
,∫ ,∫ } } ( {( ( .
.
R.:
.
R.:
.
R.:
26. Halle la transformada de Laplace de: a) c)
( [(] ( ( ( ( ([(] ( { R.:
b)
d) Figura 1.
Figura 1.
e) Figura 2.
f)
( (
3
Figura 2.
)
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g)
( (
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Ecuaciones Diferenciales Diferenciales
( ( ( ((
h) 27. Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones periódicas: a)
Figura 3.
b)
Figura 4
c)
Figura 4.
d)
Figura 5.
4
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Ecuaciones Diferenciales Diferenciales
e
28. La función gama de x de x se se define como, ( x)
t x 1
t
dt, x 0 : Demuestre que,
0
L t n
(n 1) s n
1
, n > -1.
resultado se obtiene cuando se hace u = st en L t Sugerencia: El resultado 29. Sea
( √
, evaluar
1 2 2 R.: F (s ) 3 1
s 2
30. Si
( ((}
((}
n
t
n
. e st dt
0
.
3
2s 2
, demuestra que
(} [( (] ( .
Sugerencia: El resultado se obtiene de
y del primer teorema de
traslación. 31. Hallar la transformada de Laplace de la función escalera , .
32. Demuestre que la función f (t )
1
t 2
no tiene transformada de Laplace.
1
, si
Sugerencia: considere L f (t ) e
st
f (t ) dt e st f (t ) dt . Use la definición de
0
1 1
integral impropia para demostrar que
e
st
f (t )dt
no existe.
En 0
t
1,
0
e
st
e
s
1
(s > 0) . Por tanto
e 0
1
st
1 1 s d t e 2 0 t 2 dt , la última integral es divergente. t
En los problemas del 33 al 36, mediante el teorema de la función periódica, encuentra la transformada de Laplace de la función periódica que se indica: 33. De la función serpentina, figura 6.
R.: ( 5
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Figura 6. Función serpentina
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Ecuaciones Diferenciales Diferenciales 34. De la función sierra, figura 7.
R.:
Figura 7. Función sierra
)
35. Dela función de onda sent onda sent , figura 8.
36.
) R.: .
Figura 8. Rectificación completa de la onda de sent.
( ( ( R.:
.
.
Escriba las funciones dadas en término de funciones escalón unitario. Encuentre la transformada de Laplace de cada función:
2 , 0 t 3 . t 3 2 ,
37. f (t ) 38. 39. 40. 41.
R.: f R.: f (t) (t) = 2 – 4U(t 4U(t – 3) 3)
( { ( , ( , ( ( ,( ( ( ( ( ( .
.
R.:
42. Figura 9.
6
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Ecuaciones Diferenciales Diferenciales
Figura 9: Pulso rectangular
R.: f(t) = U(t – a) a) – u(t u(t – b) b) Use la transformada de Laplace de las funciones descritas por las gráficas: 43. Figura 10
, R.:
44. Figura 11:
Figura 10. .
Figura 11.
Halle la transformada de Laplace de las funciones:
45. 46. 47. 48.
( ( ( ( ( ( ( ( ∑ ( (} ( .
.
* + ( R.:
.cos(3t).
R.:
.
49. La función escalonada se define de la siguiente forma: si : a) Bosqueje la gráfica de f de f b) Demuestre que para todo t > > 0. c) Suponga que la transformada de Laplace de la serie que aparece en (b) se puede aplicar término a término. Aplique la serie geométrica para obtene r el resultado .
50. En la figura 12, se muestra la gráfica de la función f función f .
7
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Ecuaciones Diferenciales Diferenciales
( ∑ ((
a) Demuestre que f que f puede puede expresarse en la forma todo t > > 0. b) Demuestre que
(} (
para
Figura 12.
51. Demuestre que . 52. ¿Cuál es la transformada de Laplace de d e la función que a cada c ada número real le asigna su parte entera? 53. Las siguientes funciones se definen sobre un intervalo y se extienden periódicamente. Calcule su transformada de Laplace.
( , ( ( ( ) (( ((( ( ( (( ( ( ( ( (( ( ∫ ( ∫∫ ( ( (}
a) La función de onda cuadrada
.
b) La función de onda dentada
,
c) La función de onda triangular
.
d) La función de onda sinusoidal rectificada
.
54. Calcule la transformada de Laplace de las siguientes funciones: a) . b) . c) . d) . e)
.
55. Usando las propiedades de la transformada tran sformada de Laplace, calcule las siguientes integrales: a) b) c)
;
.
;
.
.
56. Demuestre que
8
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(
.
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Ecuaciones Diferenciales Diferenciales
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
PRÁCTICA 2 ------------------------------------------------------------------------------Alberto Gutiérrez Borda
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.
(}
Encuentre de las sifuientes funciones: 7 s 2 9s 1 11 1 F ( s) 3 . R.: f ( x) e x e2 x 2 s 3s 2s 2 2 1 . R.: f (t ) e 3t sent sent F ( s) 2 s 6s 10 s . R.: f (t ) e2t cos t F ( s) 2 s 4s 5 2 s 1 3 . R.: f (t ) 5 t 5et 4tet t 2 et F ( s) 3 2 s 2 s 1 F ( s)
e 2 s 3
R.: f (t )
.
( ( F ( s )
F ( s )
s
e s
s ( s 1)
1 2
t 2
2
U (t 2)
1) e (t 1) u( t 1) 1) R.: f (t ) u(t 1)
.
s 2 s 1 s 2 2s 2
((( ( (( (( ( ( (( ( (
.
.
, a y b constantes. .
.
.
.
.
17. F ( s) 18. F ( s) 19.
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s 1 s 1 2
2
1
( 9
s
R.: f (t ) 1 3t
.
4
s
1 s2
.
R.:
3 2
t2
1 6
t 3
f (t ) t 1 e2t
.
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Ecuaciones Diferenciales Diferenciales
20. F ( s) F ( s) 21. 22. F ( s )
4 s
t R.: f (t ) cos 2 3 1 f (t ) e3t et 4 4 R.:
.
4 s 1 s 2
s 2 2s 3 . 2 s 4
s 2 s 2 4s 3 s
23. F ( s)
s 4 s 2 2
.
1 8 1 R.: f (t ) et e2t e3t 3 15 5 R.: f (t )
1 4
e2t
1 4
cos(2t )
1 4
sen(2t )
Usar el teorema de convolución para convolución para encontrar f(t) encontrar f(t),, si: 1 24. F ( s) R.: f (t ) 1 et s s 1 F ( s) 25.
1 s s 2 1
26. F ( s ) 27. F ( s)
.
1
s 1 s 2 s
s
2
4
2
R.: f (t )
.
R.: f (t )
.
28. Calcule: a)
, ,( ,( - ( ,(((} ) ) ) b)
c)
29. Use convolución para calcular: a)
b)
30. Determinar f(t) Determinar f(t) cuando cuando a)
c)
es dada por:
b)
c)
1 3 1 4
e t
1 3
e2t
t.sen(2t )
, ,( - ) ,
.
31. Calcule las antitransformada de Laplace de las siguientes funciones: a)
b)
c)
------------------------------------------
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10
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SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
PRÁCTICA 3 ------------------------------------------------------------------------------Dr. Alberto Gutiérrez Borda Email:
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1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Utilizar la transformada de Laplace de Laplace para para resolver cada uno de los problemas de valores iniciales de los problemas de 1 a 19. dx x(0) = 2. x e2t , x(0) dt dx x(0) = 2. R: x(t ) te4t 2e4t 4 x e4t , x(0) dt 4 1 x(0) = 1, x´ (0) (0) = 0. R: x(t ) et e4t x´´5x´4x 0 , x(0) 3 3 1 2 2 10 x(0) = 0, x´ (0) (0) = 1. R.: x(t ) t e3t te3t x´´ 6x´9x t , x(0) 9 27 27 9 d2x dt 2 d2x 2
dt
x(0) = 1, x´(0) x´(0) = - 1. x sent , x(0)
5
dx dt
R.: x(t ) co cos t
2
( ( ) ,
d2x 2
dt
d3x
dx dt
1 2
t cos t
.
R.:
R.: x(t )
1
2
1
1
2
2
et cos t et sent
2 x 2et sen(3t ) , x(0) x(0) = 0, x´(0) x´(0) = 2.
d2x
13.
d4x dt 4
7
dx
3 x 3sent , x(0) x(0) = 0, x´(0) x´(0) = 0, x´´(0) x´´(0) = -1. dt dt 3 dt 2 11. x + 4x + x = 6x – 12; x 12; x(0) (0) = 1, x 1, x(0) = 4, x(0) = - 2. 2t 12. x ´´ - 4x´ + 4x = e , x (0) = 0, x´ x´ (0) = 0. 10.
5
sent
6 x 0 , x(0) x(0) =1, x´(0) x´(0) = - 2.
8. x´´ x´ et cos t , x(0) x(0) = 0, x´(0) x´(0) = 0. 9.
1
x 0 , x(0) x(0) = 1; x´(0) x´(0) = 0 ; x´´(0) x´´(0) = -1 ; x ; x´´´(0) ´´´(0) = 0.
R.: x(t ) cos t
14. 2 x´´´ 3x´´ 3x´2 x et , x(0) x(0) = 0; x´(0) x´(0) = 0, x 0, x´´ ´´ = 1. 8
R.: x(t ) e 9 15.
d2x dt 2
11
3
t 2
1
5
9
18
e2t
et
1 2
et
1 , 2 x G (t ) , en donde: G(t ) dt 0 ,
dx
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0 t 4 t 4
; x(0) x(0) = 0, x´(0) x´(0) = 0.
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Ecuaciones Diferenciales Diferenciales
t ,
0 t 1
0 ,
t 1
16. x´2 x f (t ) , en donde f (t ) R.: x(t ) 17. 18.
d2x dt 2 d2x dt 2
5
1 4
, x(0) x(0) = 0.
1
1
1
1
1
2
4
4
2
4
t e2t U (t 1) (t 1)U (t 1) e2(t 1)U (t 1) 0 t 1
2 , 6 x F (t ) , donde: F (t ) dt 0 ,
dx
t 1
; x(0) x(0) = 1, x´(0) x´(0) = 0.
x(0) = 1; x´(0) x´(0) = 0. 4 x f (t ) , en dónde f (t ) sent sent.U (t 2 ) ; x(0)
R.: x(t ) cos 2t
1 6
sen2(t 2 )U (t 2 )
1 3
sen t 2 U t 2
0, 0 t f ( t ) 19. x f ( t ) , en dónde x(0) = 0, x 0, x(0) = 1. 1, t 2 ; x(0) dt 2 0, t 2 d2x
R.: x(t ) sent 1 cos t .U (t ) 1 cos t 2 .U ( t 2 )
En los problemas de 20 a 24, resuelva la ecuación integral o integro diferencial dada. t
20.
f (t )
t u f (u)du t .
R.. f (t ) sent
0 t
1 1 3 1 R.: f (t ) et et tet t 2 et 8 8 4 4
21. f (t ) te uf (t u) du t
0 t
22. f (t )
f (u)du 1
R.: f (t ) et
0
23. f (t ) 1 t
8
t
t u 3
3
e2 t
1
R.: x(t ) sent
1
R.: f (t )
f (u) du
0
3 8
t
24. x´(t ) 1 sent x(u) du , x(0) = 0. 0
8
2
e
2t
1
1
2
4
cos 2t sen2t
tsent
En los problemas de 25 a 30, mediante transformada de Laplace resolver los problemas con condiciones iniciales:
25. 26. 27. 28. 29.
( ( ( ( (( (( (( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (( ( (( ( ,
.
;
;
.
R.:
.
R.:
;
.
;
.
R.:
12
R.:
R.:
donde
Dr. A. Gutierrez Borda
√
.
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Ecuaciones Diferenciales Diferenciales 30.
( ( ( [( (] ( ( (( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (( ( ( ( ( ( (( (∫ ( ∫ ( ( ( ∫ ( ;
.
R.:
Dado los problemas del 31 a 34, transforme la ecuación diferencial dada para encontrar una solución no trivial tal que . 31. . R.: ; . 32. . R.: ; . 33. . R.: ; . 34. . R.: En los problemas del 35 a 38, deducir la solución de las ecuaciones diferenciales dadas, con las condiciones iniciales . 35. 36. 37.
.
.
38. Use la ecuación L
di
dt
Ri
t
1
.
i(u)du E(t ) , donde i(t)
C 0
es la corriente, L, L, R, C son
constantes para determinar la corriente i(t) en i(t) en un circuito simple simple L-R-C; si L = 0,005H, 0,005H, U(t – 1)]V e i(0) = 0. R 1 , C = 0,02F, E( t ) = 100[ 1 – U(t R.: i (t ) 20000 te100t (t 1) e100 (t 1)U ( t 1) 39. Recuerde que la ecuación diferencial para la corriente i(t) i(t) en un circuito en serie que di contiene un inductor y un resistor es, L Ri E (t ) , donde E(t) E(t) es la tensión dt aplicada: Use la transformada de Laplace para determinar la corriente i(t) cuando i(0) = 0 y si L = 1 H, H, R 10 , y
sent, F (t ) 0, R.: i (t )
1
10t
1
0 t t
3 2
3
.
2
cos t
10
sent
10
3 10 t 2
U ( t
3
) 101 101 101 101 2 40. Determinar la carga q(t) y la corriente i(t) en i(t) en un circuito en serie en el cual L = 1 H, R 20 , C = 0, 01F, E(t) = 120sen(10t).V, 120sen(10t).V, q(0) = 0 e i(0) = 0. ¿Cuál es la corriente estable?
13
e
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e
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Ecuaciones Diferenciales Diferenciales R.: q(t )
3
e
10 t
3
6te10 t cos10t ,
i(t ) 60te10t 6sen10t . La corriente del
5 5 régimen estacionario es 6 sen10t . 41. Un cuerpo que pesa 4 lbF estira un resorte en 2 pie. El peso se suelta desde un punto que está 18 plg sobre la posición de equilibrio a partir del reposo, y el movimiento resultante se efectúa en un medio que opone una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 7/8 veces veces la velocidad instantánea. Use la transformada de Laplace para determinar la ecuación del movimiento. R.: x(t )
3 2
7
e
t 2
15 7 15 72 t 15 cos e sen 2 t 10 2 t 1 0
42. Use la transformada de Laplace para obtener una solución de la ecuación tx´´ x´ t 2 con x con x(0) (0) = 0. 1 1 R.: x(t ) t 3 ct 2 3 2 En cada uno de los problemas del 43 al 47, usando la transformación de Laplace de Laplace,, hallar la solución de los sistemas lineales dados que satisfacen las condiciones iniciales.
dx 2 t 3e y dt 43. , x(0) x(0) = 2, y(0) y(0) = 0. dy x 0 dt
dx dt 2 x 4 y 0 44. , x(0) x(0) = 0, y(0) y(0) = 3. dy 2 x t dt dx 3t dt x y e 45. , x(0) x(0) = 1, y(0) y(0) = 2. dy x 4 y 1 dt dx dy t 2 dt dt x y e 46. ; x(0) x(0) = 2, y(0) y(0) = 1. d x d y 2 x y et dt dt
d 2x dx dy dt 2 3 dt dt 2 x y 0 47. , x(0) x(0) = 0, y(0) y(0) = -1, x´(0) x´(0) = 0. d x d y 2 x y 0 dt dt En cada uno de los problemas del 47 a 49, utilice la transformada de Laplace para resolver el problema de valores iniciales.
14
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Ecuaciones Diferenciales Diferenciales 48. 49.
50. 51. 52. 53. 54. 55.
( ( ( ( ,
.
, . En cada uno de los problemas del 50 al 55, escriba la función f(t) f(t) en términos de la función salto y utilice la transformada de Laplace para resolver el problema de valores iniciales.
( ( ( ( , ( ( ( ( , ( ( ( ( , ( ( ( ( , ( ( ( { ( , ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ∫ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (( ( ( ( { ( ( ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
En cada uno de los problemas del 56 al 63, resuelva el problema de valores iniciales utilizando la transformada de Laplace. 56. ; . 57. ; . 58. ; . 59. ; . 60. 61. 62. 63.
,
.
.
,
constante,
,
.
En cada uno de los problemas del 64 transformada de Laplace. 64. . 65. ; 66. ; 67. ; 68. ; . 69. ; En los problemas de 70 al 74, usando siguientes problemas de valor inicial: 70.
al 69, resuelva el problema utilizando la
. . .
. la transformada de Laplace, resuelva los
.
15
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Ecuaciones Diferenciales Diferenciales
71. 72. 73. 74.
( ( { ( ( { ( ( ( { ( ( ( ( ( ( ( (( ( ( ( , ( ( ( ( ( ( , ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( { { ( ( ( ( ( ( ( ( ((( ( ( ( ( ( ( ( ( .
.
.
.
En los problemas del 75 al 82, use la transformada de Laplace para resolver los siguientes problemas de valor inicial: 75. , . 76. , . 77. , . 78. 79. 80.
,
; donde
,
. Con
,
.
.
.
81. , . 82. , . 83. Resuelva la ecuación diferencial ; , para una función f(t) función f(t) general general y para . 84. Resuelva el problema el siguiente problema de valores iniciales con términos independientes continuo a trozos, ;
.
85. Resuelva el problema el siguiente problema de valores iniciales con términos independientes continuo a trozos ;
.
86. La corriente de un circuito RLC en series está regida por el problema de valor inicial , , donde .
Determine la corriente en función del tiempo t . 87. Resuelva el siguiente problema de valores iniciales 0, con , . (Resonancia en vibraciones mecánicas, caso no forzado). 88. Resuelva el siguiente problema de valores iniciales , con , . Discuta la solución e n términos de los parámetros positivos m, k ,
16
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Ecuaciones Diferenciales Diferenciales
( ( ( ) ( ) )) ( ) )) ( )
,
, ¿Qué ocurre cuando
? (Resonancia en vibraciones mecánicas, caso caso
forzado). 89. La ecuación diferencial , se conoce como la ecuación de Bessel de orden 0. Demuestre que Y(t) Y(t) es la transformada de Laplace de la solución de esta ecuación diferencial con y(0) = 1, demuestre que entonces Y satisface la ecuación . 90. Mediante la transformada de Laplace resuelva el PVI de las ecuaciones: a)
,
,
b)
,
c)
,
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17
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